单位双圆盘Hardy空间上乘法算子的一些性质

Some Properties of Multiplication Operators on the Hardy Space over the Bidisk

摘要

设\phi是单位双圆盘上的解析函数，研究了单位双圆盘Hardy空间上乘法算子M_{\phi }的一些性质。具体地，给出了单位双圆盘Hardy空间上有界线性算子是乘法算子的一种刻画。证明了有界乘法算子M_{\phi }的本性范数等于\phi的上确界范数，揭示了单位双圆盘Hardy空间上没有非平凡的紧乘法算子。给出了乘法算子是满射的充分必要条件，描述了乘法算子的谱。利用Poisson积分的方法刻画了闭值域的乘法算子。

Abstract

This paper considers some properties of multiplication operators M_{\phi } on the Hardy space over the bidisk, where \phi is an analytic function on the bidisk. Concretely, we gave a characterization when a bounded linear operator on the Hardy space over the bidisk is a multiplication operator. The essential norm of a bounded multiplication operator M_{\phi } was proved to be equal to the supremum norm of \phi, which reveals that there exists no non-trivial compact multiplication operators on the Hardy space over the bidisk. Moreover, we gave a sufficient and necessary condition when a multiplication operator was surjective, and described the spectra of multiplication operators. Finally, by using Poisson integral, we characterized multiplication operators with closed range.

关键词

单位双圆盘Hardy空间 / 乘法算子 / 本性范数 / 谱

Key words

Hardy space over the bidisk / multiplication operator / essential norm / spectrum

0　 引 言

设D为复平面\mathrm{ℂ}中的单位圆盘，即。设T为单位圆周，即T=\{z\in \mathrm{ℂ}:|z|=\mathrm{1}\}。记单位双圆盘D^{\mathrm{2}}表示D与自身的笛卡尔乘积集合，T^{\mathrm{2}}表示T与自身的笛卡尔乘积集合。设H(D^{\mathrm{2}})表示单位双圆盘D^{\mathrm{2}}上解析函数的全体，单位双圆盘D^{\mathrm{2}}上Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})的定义为

其中m_{\mathrm{2}}表示T^{\mathrm{2}}上标准化的Haar测度。设f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，则对几乎处处的\zeta \in T^{\mathrm{2}}，径向极限\tilde{f}(\zeta )=\underset{r\to {\mathrm{1}}^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f(r\zeta )存在^［1］，而且H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})与L^{\mathrm{2}}(T^{\mathrm{2}},m_{\mathrm{2}})的某个闭子空间等距同构。对任意f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，

{‖f‖}^{\mathrm{2}}={\int }_{T^{\mathrm{2}}}{\left|\tilde{f}(\zeta )\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )（1）

Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})的再生核函数与标准化再生核函数分别记为

K_w(z)=\frac{\mathrm{1}}{(\mathrm{1}-\overline{w_{\mathrm{1}}}{z}_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}-\overline{w_{\mathrm{2}}}{z}_{\mathrm{2}})}

k_w(z)=\frac{(\mathrm{1}-|w_{\mathrm{1}}{|}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\mathrm{1}-|w_{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}-\overline{w_{\mathrm{1}}}{z}_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}-\overline{w_{\mathrm{2}}}{z}_{\mathrm{2}})}

其中，w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}),z=(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})\in D^{\mathrm{2}}。设H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})表示单位双圆盘D^{\mathrm{2}}上有界解析函数的全体，即

设\phi \in H(D^{\mathrm{2}})，由\phi诱导的乘法算子M_{\phi }的定义为：M_{\phi }f=\phi f，f\in H(D^{\mathrm{2}})。由文献［2］可知，乘法算子M_{\phi }在Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上有界当且仅当\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})。进一步地，若M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上有界，则‖M_{\phi }‖={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。近些年，各种解析函数空间上的乘法算子得到了广泛研究。文献［3］研究了Hardy-Sobolev空间上乘法算子的谱理论。文献［4］运用Berezin变换刻画了Bergman空间上闭值域的乘法算子。文献［5］研究了平面区域Hardy空间和加权Bergman空间上的乘法算子。本文将研究单位双圆盘Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上乘法算子的一些基本性质。

1　 主要结论及证明

设z=(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})\in D^{\mathrm{2}}，\zeta =({\zeta }_{\mathrm{1}},{\zeta }_{\mathrm{2}})\in T^{\mathrm{2}}，z_j=r_j{\mathrm{e}}^{i{\theta }_j}，{\zeta }_j={\mathrm{e}}^{i{\phi }_j}，j=\mathrm{1,2}。Poisson核函数定义如下：P(z,\zeta )=P_{r_{\mathrm{1}}}({\theta }_{\mathrm{1}}-{\phi }_{\mathrm{1}})P_{r_{\mathrm{2}}}({\theta }_{\mathrm{2}}-{\phi }_{\mathrm{2}})，其中P_{r_j}({\theta }_j-{\phi }_j)=(\mathrm{1}-r_j^{\mathrm{2}})/(\mathrm{1}-\mathrm{2}{r}_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_j-{\phi }_j)+r_j^{\mathrm{2}})，j=\mathrm{1,2}。注意到P(z,\zeta )>\mathrm{0}，以及{\int }_{T^{\mathrm{2}}}P(z,\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )=\mathrm{1}^［1］。

引理1 设f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})。若存在常数K>\mathrm{0}，满足对几乎处处的\zeta \in T^{\mathrm{2}}，\left|\tilde{f}(\zeta )\right|\le K成立，则对任意z\in D^{\mathrm{2}}，\left|f(z)\right|\le K成立。

证 对任意z\in D^{\mathrm{2}}，由文献［1］可得，f(z)={\int }_{T^{\mathrm{2}}}P(z,\zeta )\tilde{f}(\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )。于是

\left|f(z)\right|=\left|{\int }_{T^{\mathrm{2}}}P(z,\zeta )\tilde{f}(\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )\right|\le K{\int }_{T^{\mathrm{2}}}P(z,\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )=K

证毕。

定理1 设S是Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上的有界线性算子，则S是乘法算子当且仅当S与M_{z_{\mathrm{1}}}和M_{z_{\mathrm{2}}}均交换，其中M_{z_j}f(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})=z_j\cdot f(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})，j=\mathrm{1,2}。

证 必要性是显然的，只需证充分性。设S与M_{z_{\mathrm{1}}}和M_{z_{\mathrm{2}}}均交换。令\phi =S(\mathrm{1})，下证\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})，并且S=M_{\phi }。对任意n,m\in \mathrm{\mathbb{N}}，直接计算可得S(z_{\mathrm{1}}^n{z}_{\mathrm{2}}^m)=z_{\mathrm{1}}^n{z}_{\mathrm{2}}^m\cdot \phi。因此，对任意多项式p，S(p)=p\cdot \phi。

注意到‖\phi ‖=‖S(\mathrm{1})‖\le ‖S‖。因为多项式在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})中是稠密的，则存在一列多项式\left\{q_n\right\}依范数收敛到\phi。由文献［2］引理2可得，\left\{q_n\right\}在D^{\mathrm{2}}上点点收敛到\phi。因为S在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上有界，则\left\{S{q}_n\right\}依范数收敛到S\phi，于是\left\{S{q}_n\right\}在D^{\mathrm{2}}上点点收敛到S\phi。另一方面，因为S{q}_n=q_n\cdot \phi，则\left\{S{q}_n\right\}在D^{\mathrm{2}}上点点收敛到{\phi }^{\mathrm{2}}。由此可得，S\phi ={\phi }^{\mathrm{2}}，以及{\phi }^{\mathrm{2}}\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})。归纳可得，对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，S{\phi }^n={\phi }^{n+\mathrm{1}}成立，以及{\phi }^n\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})。于是，‖{\phi }^{\mathrm{2}}‖\le ‖S‖\cdot ‖\phi ‖\le {‖S‖}^{\mathrm{2}}。归纳可得，对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，‖{\phi }^n‖\le {‖S‖}^n成立。若S=\mathrm{0}，结论是显然的。所以设S\ne \mathrm{0}，令\psi =\phi /‖S‖。则对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，‖{\psi }^n‖\le \mathrm{1}成立。假设存在正数\epsilon >\mathrm{0}，使得集合E=\left\{\zeta \in T^{\mathrm{2}}:\left|\tilde{\psi }(\zeta )\right|\ge \mathrm{1}+\epsilon \right\}具有正测度，即m_{\mathrm{2}}(E)>\mathrm{0}。则对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，由（1）式可得

{‖{\psi }^n‖}^{\mathrm{2}}={\int }_{T^{\mathrm{2}}}|\tilde{\psi }(\zeta ){|}^{\mathrm{2}n}\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )\ge {(\mathrm{1}+\epsilon )}^{\mathrm{2}n}\cdot m_{\mathrm{2}}(E)

这与对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，‖{\psi }^n‖\le \mathrm{1}矛盾。因此，对几乎处处的\zeta \in T^{\mathrm{2}}，\left|\tilde{\psi }(\zeta )\right|\le \mathrm{1}。由引理1可得，\psi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})。于是，\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})。

对任意f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，存在一列多项式\left\{p_n\right\}依范数收敛到f。因为S在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上有界以及\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})，则Sf=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}S(p_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{p}_n\phi =f\phi。因此S=M_{\phi }。证毕。

设X是复Banach空间，\mathrm{ℬ}(X)表示X上全体有界线性算子构成的代数，\mathit{𝒦}(X)表示X上紧算子的全体。设S\in \mathrm{ℬ}(X)，S本性范数的定义为{‖S‖}_e=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{‖S-R‖:R\in \mathit{𝒦}(X)\right\}。S是紧算子当且仅当{‖S‖}_e=\mathrm{0}。对任意n\in \mathrm{\mathbb{N}}，S第n个逼近数的定义为

a_n(S)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{‖S-A_n‖:A_n\in \mathrm{ℬ}(X),\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{A}_n\le n\right\}

因为有限秩算子是紧算子，则对任意n\in \mathrm{\mathbb{N}}，成立{‖S‖}_e\le a_n(S)\le {‖S‖}^{[\mathrm{6}]}。

定理2 设\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})，则在Hardy空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上下式成立

{‖M_{\phi }‖}_e=‖M_{\phi }‖={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}=a_n(M_{\phi }),\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}

因此，M_{\phi }是紧算子当且仅当\phi \equiv \mathrm{0}。

证 因为{‖M_{\phi }‖}_e\le a_n(M_{\phi })\le ‖M_{\phi }‖={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}，所以只需证明{‖M_{\phi }‖}_e\ge {‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。因为，则存在D^{\mathrm{2}}中一个点列(u_n{)}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}，满足\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left|u_n\right|=\sqrt[]{\mathrm{2}}，以及\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left|\phi (u_n)\right|={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。由文献［2］中引理2可得，对任意n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}，有\left|\phi (u_n)\right|\le ‖\phi k_{u_n}‖\le {‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。于是，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖\phi k_{u_n}‖={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。显然，对任意z\in D^{\mathrm{2}}，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{k}_{u_n}(z)=\mathrm{0}。根据文献［7］可得，k_{u_n}在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})中弱收敛于\mathrm{0}。对H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上任意紧算子R，则\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖R{k}_{u_n}‖=\mathrm{0}。于是

‖M_{\phi }-R‖\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}‖\phi k_{u_n}-R{k}_{u_n}‖\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left(‖\phi k_{u_n}‖-‖R{k}_{u_n}‖\right)={‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}

由此可得，{‖M_{\phi }‖}_e\ge {‖\phi ‖}_{\mathrm{\infty }}。证毕。

定理3 设\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})，下列结论成立。

（a） 若\phi不恒为零，则M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上是满射当且仅当存在常数M>\mathrm{0}，使得对任意z\in D^{\mathrm{2}}，\left|\phi (z)\right|\ge M成立。

（b） M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上的谱\sigma (M_{\phi })=\overline{\phi (D^{\mathrm{2}})}。

证 （a） 设\phi不恒为零，充分性是显然的，只需证明必要性。设M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上是满射。若f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，满足M_{\phi }f=\mathrm{0}，则对任意z\in D^{\mathrm{2}}，\phi (z)f(z)=\mathrm{0}。因为\phi在D^{\mathrm{2}}上解析且不恒为零，则集合E=\left\{z\in D^{\mathrm{2}}:\phi (z)\ne \mathrm{0}\right\}是D^{\mathrm{2}}中的非空开集。由此可得，对任意z\in E，f(z)=\mathrm{0}成立。于是f\equiv \mathrm{0}，这表明M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上是单射，从而M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上可逆。因此存在常数M>\mathrm{0}，使得对任意z\in D^{\mathrm{2}}，成立\left|\phi (z)\right|\cdot ‖K_z‖=‖M_{\phi }^{\mathrm{*}}{K}_z‖\ge M‖K_z‖。

（b） 设\lambda \in \phi (D^{\mathrm{2}})，则存在w\in D^{\mathrm{2}}，使得\lambda =\phi (w)。对任意f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，

(M_{\phi }-\lambda )f(w)=\phi (w)f(w)-\lambda f(w)=\mathrm{0}

由此可得，M_{\phi }-\lambda不是满射，因此M_{\phi }-\lambda不可逆。于是，\phi (D^{\mathrm{2}})\subseteq \sigma (M_{\phi })，从而\overline{\phi (D^{\mathrm{2}})}\subseteq \sigma (M_{\phi })。

对任意\lambda \notin \overline{\phi (D^{\mathrm{2}})}，令\delta =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\lambda ,\overline{\phi (D^{\mathrm{2}})})，则\delta >\mathrm{0}，其中\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\lambda ,\overline{\phi (D^{\mathrm{2}})})表示\lambda到集合\overline{\phi (D^{\mathrm{2}})}的距离。因为对任意z\in D^{\mathrm{2}}，\left|\phi (z)-\lambda \right|\ge \delta，则\mathrm{1}/(\phi (z)-\lambda )在D^{\mathrm{2}}上解析，并且\mathrm{1}/\left|\phi (z)-\lambda \right|\le \mathrm{1}/\delta。显然(M_{\phi }{-\lambda )}^{-\mathrm{1}}=M_{\mathrm{1}/(\phi -\lambda )}，于是\lambda \notin \sigma (M_{\phi })。证毕。

设X是复Banach空间，S\in \mathrm{ℬ}(X)。若S(X)是X的闭子空间，则称S具有闭值域。设\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})且\phi不恒等于零，由定理3的证明可得，M_{\phi }在H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上是单射。根据文献［8］中定理1.2可知，M_{\phi }具有闭值域当且仅当存在常数M>\mathrm{0}，使得对任意f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，成立‖\phi f‖\ge M‖f‖。

定理4 设\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})且\phi不恒等于零，则M_{\phi }在空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上具有闭值域当且仅当存在常数M>\mathrm{0}，使得对几乎处处的\zeta \in T^{\mathrm{2}}，\left|\tilde{\phi }(\zeta )\right|\ge M。

证 充分性是显然的，只需证明必要性。设M_{\phi }在空间H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})上具有闭值域，则存在常数M>\mathrm{0}，使得对任意f\in H^{\mathrm{2}}(D^{\mathrm{2}})，成立‖\phi f‖\ge M‖f‖。因为\phi \in H^{\mathrm{\infty }}(D^{\mathrm{2}})，则\tilde{\phi }\in L^{\mathrm{\infty }}(T^{\mathrm{2}},m_{\mathrm{2}})。由文献［1］中定理2.1.3和文献［9］中定理3.12可得，对几乎处处的\xi \in T^{\mathrm{2}}，{\left|\tilde{\phi }(\xi )\right|}^{\mathrm{2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{T^{\mathrm{2}}}{\left|\tilde{\phi }(\zeta )\right|}^{\mathrm{2}}P(r_n\xi ,\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )，其中，r_n\to {\mathrm{1}}^{-}。令u_n=r_n\xi，则u_n\in D^{\mathrm{2}}并且

{\int }_{T^{\mathrm{2}}}{\left|\tilde{\phi }(\zeta )\right|}^{\mathrm{2}}P(r_n\xi ,\zeta )\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )={\int }_{T^{\mathrm{2}}}{\left|\tilde{\phi }(\zeta )\right|}^{\mathrm{2}}{\left|k_{u_n}(\zeta )\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}{m}_{\mathrm{2}}(\zeta )={‖\phi k_{u_n}‖}^{\mathrm{2}}

于是，{\left|\tilde{\phi }(\xi )\right|}^{\mathrm{2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{‖\phi k_{u_n}‖}^{\mathrm{2}}\ge M^{\mathrm{2}}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{‖k_{u_n}‖}^{\mathrm{2}}=M^{\mathrm{2}}。证毕。

2　 结 语

本文给出了单位双圆盘Hardy空间上有界线性算子是乘法算子的一种刻画。研究了单位双圆盘Hardy空间上乘法算子的一些基本性质，包括乘法算子的本性范数、逼近数、谱与闭值域性质。Vukotić^［6］研究了单位圆盘Hardy空间H^p上解析Toeplitz算子的一些性质，本文的相关结论是在单位双圆盘Hardy空间上得到的，是其工作的推广。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金(11771340)