支持MEC的D2D多播网络中的任务卸载与资源分配

Task Offloading and Resource Allocation for D2D Multicast Networks with MEC-Enable

摘要

在支持移动边缘计算（mobile edge computing，MEC）的D2D（device-to-device）多播网络中，考虑到资源受限时的任务卸载与资源分配问题。首先，提出联合用户社会属性、可用能量和传输速率的D2D多播簇首选择策略和分簇策略。其次，在考虑用户选择、任务卸载和资源分配的条件下，将最大化用户的收益作为最优化问题进行了建模。为了求解最优化问题，将其分解为用户选择最优化（user selection optimization，USO）和资源分配最优化（resource allocation optimization，RAO）两个子问题，并采用贪婪算法对USO问题进行求解，采用拉格朗日乘数法得到RAO问题的最优解。通过仿真实验表明了本文提出的算法与其他算法相比，能有效提升用户的收益。

Abstract

In this paper, we investigate the task offloading and resource allocation in mobile edge computing (MEC) for enabling device-to-device(D2D) multicast networks， exceptionally when the resources are constrained. Firstly, we propose a D2D multicast cluster head selection strategy and a clustering strategy that combines user social attributes, available energy, and transmission rate. Subsequently, a maximization optimization problem of users’ revenues is formulated, in which user association, computation offloading strategy policy, and computation resource scheduling are all considered. Furthermore, we transform this optimization problem into two distinct sub-problems: the user selection optimization (USO) problem and resource allocation optimization (RAO) problem. The greedy algorithm is used to solve the USO problem, and the Lagrange multiplier method is used to get the optimal solution to the RAO problem. In conclusion, the simulation results show that our proposed schemes can effectively increase the users’ revenues in comparison to other algorithms.

Graphical abstract

关键词

移动边缘计算 / 任务卸载 / 资源分配 / D2D多播

Key words

mobile edge computing / task offloading / resource allocation / D2D multicast

0　 引 言

随着移动通信技术的快速发展，越来越多的智能设备上安装了移动应用程序，例如多播视频分享和实时在线游戏等，这些应用将产生大量各种类型的数据^[1，2]。随着数据通信量爆炸性的增长，移动设备将面对不同带宽密集型和广泛计算的无线网络的接入请求。这些新的应用和服务增加了核心网与基站之间回传链路的传输负担。现阶段大量研究工作多关注于移动设备将本地海量密集的计算任务卸载到云端执行的方式^[3，4]。当移动设备通过基站连接到云端执行计算任务时，由于传输距离较长，会出现较长延迟的情况，因此这种将本地计算任务卸载到云端执行的操作，不适合时延敏感的任务。

D2D（device-to-device）通信作为一种引人注目的技术，能够满足上面提到的大数据量的传输需求和实现较高的网络容量^[5]。在实际的蜂窝网中，D2D用户到基站的传输任务是在基站控制下进行的，D2D用户之间直接使用授权的频谱进行通信，通过D2D多播通信技术，用户间可以同时分享感兴趣的内容。在D2D多播传输模式下，地理位置和社会属性等都是影响D2D多播簇首选择和D2D多播分簇的因素^[6，7]。而且，移动设备还会面临能量受限、容量受限、计算能力受限等不可避免的情况。近几年，移动边缘计算（MEC）的提出解决了计算能力受限的问题^[8，9]。通过在网络边缘设置计算服务单元（即MEC服务器），用户将计算任务卸载给MEC服务器执行，该服务器可为用户提供较高的计算能力和大量的无线资源，因此可以缩短传输延迟和提高计算性能。

现阶段有一些文献研究了基于MEC的D2D网络中的任务卸载问题^[10~15]。文献[10]在支持MEC的D2D网络中，考虑计算资源受限的条件下，将计算任务卸载到邻近移动终端进行执行，并提出了最小化平均通信费用和计算服务费用的最优化问题。文献[11]在支持MEC的D2D网络中，综合考虑了D2D选择策略、卸载率和计算资源分配，并提出了最大化用户收益的最优化问题，同时将该最优化问题拆分为两个次优化问题进行了求解。文献[12]同时利用了D2D和MEC两种技术的优势，提出了在通信资源和计算资源受限的条件下，通过优化D2D通信最大化可支持设备的数量。文献[13]研究了基于D2D通信的多MEC服务器的网络，分析了在时分多址接入系统中本地用户将他们的任务分配给多个卸载设备，并通过联合考虑传输时间、传输速率和下载结果，最小化计算延迟。文献[14]研究了基于D2D通信的MEC网络，为了最小化MEC系统的总能量消耗，并且满足任务的延迟限制，提出了一个联合协作者选择和计算资源分配的最优化问题。文献[15]研究了一个基于D2D通信的MEC网络，将任务执行的消耗定义为总任务执行延迟和能量消耗的权重，并提出了一个联合最优化问题最小化任务执行时能量的消耗。

以上这些工作都是在D2D单播情况下进行的，没有考虑D2D多播场景。当前的研究工作很少同时考虑D2D多播簇首选择、分簇策略和MEC的计算能力受限的问题。并且，现阶段关于D2D任务卸载问题的研究，大都假设MEC有足够的计算资源支撑对卸载任务的执行。但这样的假设在实际的MEC工作中是不可行的。因为，MEC服务器安置在距离用户较近的基站端，本身计算能力要远低于云端服务器的计算能力，并且MEC服务器将面临大量的不同用户、不同类型业务上的并发任务请求服务，这也使得现有的MEC服务器很难完全应付并发的数据请求。与以往的研究不同的是，本文在支持MEC的D2D多播网络中，在资源受限的条件下，研究D2D多播任务卸载和资源分配问题。

1　 系统模型

网络模型如图1所示，在基站覆盖范围内，用户根据地理位置被分为多个D2D多播簇。在每个簇中，有唯一的一个用户被选中作为D2D多播簇首，D2D多播簇首有全双工天线，通过无线的方式连接到用户端和基站端。这些D2D多播簇首能够帮助用户终端连接到网络，并且协助用户将任务传输给基站端的MEC服务器进行计算。簇首主动保存一些内容，并且可以将内容多播传输给同簇内的用户。用户分别属于并且唯一属于一个簇。D2D多播用户的集合表示为\mathrm{𝒦}=\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},\cdots ,u_i,\cdots ,u_K\}，其中,u_i表示第i个用户，K表示用户的总数。D2D多播簇首的集合表示为\mathrm{ℳ}=\left\{\mathrm{c}{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\right.,\mathrm{c}{\mathrm{h}}_{\mathrm{2}},\cdots ,\mathrm{c}{\mathrm{h}}_{m^{\mathrm{*}}},\cdots ,\mathrm{c}{\mathrm{h}}_M\}，其中,\mathrm{c}{\mathrm{h}}_{m^{\mathrm{*}}}表示第m^{\mathrm{*}}个簇首，m^{\mathrm{*}}表示多播用户，M表示簇首的总数。x_{i,m^{\mathrm{*}}}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}，\forall i\in \left\{\mathrm{1,2},\cdots ,K\right\}，\forall m^{\mathrm{*}}\in \left\{\mathrm{1,2},\right.\cdots ,\left.M\right\}，其中，x_{i,m^{\mathrm{*}}}=\mathrm{1}表示用户i属于以用户m^{\mathrm{*}}作为簇首的D2D多播簇。X=\{x_{\mathrm{1},m^{\mathrm{*}}},x_{\mathrm{2},m^{\mathrm{*}}},\cdots ,x_{i,m^{\mathrm{*}}}\}表示以用户m^{\mathrm{*}}为簇首的用户集合。

2　 联合用户社会属性、可用能量和传输速率的D2D多播簇首选择和分簇策略

在D2D用户中先进行簇首选择，在一个簇中，D2D多播簇首是作为中继来传输内容给它簇内的用户。如果D2D多播簇首和D2D多播用户相互间不信任，则他们之间也许很难传输和接收相同的内容。如果D2D多播簇首没有足够的能量，通信也会中断。另外，如果簇首和用户都处在基站覆盖的蜂窝小区边缘，则它们的信道质量很难满足传输所需要的条件。因此，在簇首选择中我们会综合考虑用户的社会属性、可用能量和基站与用户间的传输速率。在簇首选择完成后，进行分簇策略。

2.1　簇首选择

在簇首选择中，采用的是著名的中餐馆过程（Chinese restaurant process，CRP）模型，该模型是一个著名的随机模型，被广泛应用在非参数的建模中。在簇c_n中，用户j被选为簇首的概率可以表示为：

P_j^{c_n}=\left[P^{c_n}(z_j=\mathrm{1}\left|Z_{-j}\right.,a_w),\cdots ,P^{c_n}(z_j=m\left|Z_{-j}\right.,a_w)\right]（1）

其中，a_w表示CRP的参数；m\left(m\ge \mathrm{3}\right)是簇c_n内的用户数；P^{c_n}(z_j=i\left|Z_{-j}\right.,a_w)是用户j选择用户i作为簇首的概率，z_j表示用户j的簇首选择变量，Z_{-j}表示非用户j的用户集合。

因此，在簇c_n中，用户被选为簇首的概率矩阵可以表示为：

{\mathit{P}}^{c_n}={\left[P_{\mathrm{1}}^{c_n},P_{\mathrm{2}}^{c_n},\cdots ,P_m^{c_n}\right]}^{\mathrm{T}}（2）

概率矩阵{\mathit{P}}^{c_n}中，第i行表示用户i被选作簇首的概率，第i行元素之和表示用户i被选中的概率，其中，选中概率最大的用户就是簇首。

因此，在簇c_n中，任意一个用户j选择任意一个用户i作为簇首的概率可以通过公式（3）计算得到。

P^{c_n}(z_j=i\left|Z_{-j}\right.,a_w)=\left\{\begin{array}{c}\frac{w_{i,j}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{w}_{i,j}^{c_n}+a_w},i\ne j\\ \frac{a_w}{\sum _{i\ne j}{w}_{i,j}^{c_n}+a_w},i=j\end{array}\right.（3）

其中，w_{i,j}^{c_n}是用户i对用户j的影响因子。w_{i,j}^{c_n}可以表示为：

w_{i,j}^{c_n}=w_{\mathrm{S}}{s}_{i,j}^{c_n}+w_{\mathrm{E}}{e}_{i,j}^{c_n}+w_{\mathrm{R}}{r}_{i,j}^{c_n}（4）

其中，w_{\mathrm{S}}+w_{\mathrm{E}}+w_{\mathrm{R}}=\mathrm{1}。w_{\mathrm{S}}、w_{\mathrm{E}}和w_{\mathrm{R}}分别表示用户社会影响因子、可用能量影响因子和传输速率影响因子的系数。s_{i,j}^{c_n}，e_{i,j}^{c_n}和r_{i,j}^{c_n}分别表示用户i对用户j的社会影响因子，可用能量影响因子和传输速率影响因子。

1） 社会影响因子

s_{i,j}^{c_n}\in \left[\mathrm{0,1}\right]表示用户i对用户j的用户社会影响因子。通过分析用户间的社会关系，我们提出了用户i与用户j之间的社会相似因子，表示为：

s^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}=\frac{\mathrm{1}}{-\mathrm{l}\mathrm{n}\left(a_{i,j}^{c_n}\right)}（5）

其中，a_{i,j}^{c_n}\in \left[\mathrm{0,1}\right]表示用户i与用户j之间的业务相似因子，例如需求相同的多播业务。a_{i,j}^{c_n}的值越高表示相似度越高。如果，则表示用户i与用户j之间将不会建立D2D通信链路。对于用户簇c_n中的用户，将社会属性相似因子归一化处理后，得到的社会影响因子可以表示为：

s_{i,j}^{c_n}=\frac{s^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{s}^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}}（6）

其中，\sum _{i\ne j}{s}^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}表示用户簇c_n中，其余用户对用户i的社会相似因子之和。

2） 可用能量影响因子

e_{i,j}^{c_n}\in \left[\mathrm{0,1}\right]表示用户簇c_n中，用户i在用户j上的可用能量影响因子。用户i在用户j上能够衡量出的最大可用传输时间表示为：

T_{i,j}^{c_n}=\frac{E_{i,j}^{c_n}}{P_{i,j}^{c_n}+P_{\mathrm{0}}}（7）

其中，E_{i,j}^{c_n}表示用户i给用户j传输数据时可利用的能量，P_{\mathrm{0}}表示用户i的电路损耗，P_{i,j}^{c_n}表示用户i给用户j传输数据时的传输功率，计算式如下：

P_{i,j}^{c_n}=\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{0}}}{G_{i,j}^{c_n}}（8）

其中，{\sigma }^{\mathrm{2}}表示噪声功率，{\gamma }_{\mathrm{0}}表示接收的信噪比门限。为了保证传输质量，需要用户实际的接收信噪比（signal noise ratio, SNR）大于{\gamma }_{\mathrm{0}}。G_{i,j}^{c_n}表示用户i与用户j间的信道增益，可以表示为：

G_{i,j}^{c_n}={\left|h_{i,j}^{c_n}\right|}^{\mathrm{2}}(d_{i,j}^{c_n}{)}^{-{\alpha }_h}（9）

其中，h_{i,j}^{c_n}表示瑞利衰落，{\alpha }_h表示路损参数，d_{i,j}^{c_n}表示用户i与用户j间的距离。

将公式（8）和（9）代入公式（7），可得用户i与用户j间的最大传输时间：

T_{i,j}^{c_n}=\frac{E_{i,j}^{c_n}{\left|h_{i,j}^{c_n}\right|}^{\mathrm{2}}(d_{i,j}^{c_n}{)}^{-{\alpha }_h}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{0}}+P_{\mathrm{0}}{\left|h_{i,j}^{c_n}\right|}^{\mathrm{2}}(d_{i,j}^{c_n}{)}^{-{\alpha }_h}}（10）

T_{i,j}^{c_n}值越高表示用户i对用户j的可用能量影响越大。考虑整个用户簇c_n，将T_{i,j}^{c_n}进行归一化处理，得到的可用能量影响因子为：

e_{i,j}^{c_n}=\frac{T_{i,j}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{T}_{i,j}^{c_n}}（11）

其中，\sum _{i\ne j}{T}_{i,j}^{c_n}表示用户簇c_n中，其余用户对用户i的最大可用传输时间之和。

3） 传输速率影响因子

r_{i,j}^{c_n}\in \left[\mathrm{0,1}\right]表示用户簇c_n中用户i对用户j传输数据时的传输速率影响因子。如果基站以定量的功率传输数据，则用户i的传输速率可以表示为：

R_{\mathrm{B},i}^{c_n}=B\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\frac{P_{\mathrm{B}}{G}_{\mathrm{B},i}^{c_n}}{N_{\mathrm{0}}})（12）

其中，G_{\mathrm{B},i}^{c_n}={\left|h_{\mathrm{B},i}^{c_n}\right|}^{\mathrm{2}}(d_{\mathrm{B},i}^{c_n}{)}^{-{\alpha }_B}表示基站与用户i之间的信道增益，d_{\mathrm{B},i}^{c_n}表示用户i与基站间的距离，{\alpha }_{\mathrm{B}}表示路损参数，h_{\mathrm{B},i}^{c_n}表示用户i与基站间的瑞利衰落；P_{\mathrm{B}}表示基站的发射功率；B表示用户i与基站间的信道带宽；N_{\mathrm{0}}表示加性高斯白噪声功率。根据公式（12）可知传输速率越大，用户i对其他用户的影响也越大。

考虑整个用户簇c_n，对传输速率进行归一化处理，得到用户i对用户j的传输速率影响因子为：

r_{i,j}^{c_n}=\frac{R_{\mathrm{B},i}^{c_n}}{\sum _{l\ne j}{R}_{\mathrm{B},l}^{c_n}}（13）

其中，\sum _{l\ne j}{R}_{\mathrm{B},l}^{c_n}表示用户簇c_n中，除用户j外的其余用户的传输速率之和。

综上所述，将公式（6），（11）和（13）代入公式（4）可得用户i对用户j的影响因子：

w_{i,j}^{c_n}=w_{\mathrm{S}}\frac{s^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{s}^{\text{'}}{}_{i,j}^{c_n}}+w_{\mathrm{E}}\frac{T_{i,j}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{T}_{i,j}^{c_n}}+w_{\mathrm{R}}\frac{R_{\mathrm{B},i}^{c_n}}{\sum _{i\ne j}{R}_{\mathrm{B},i}^{c_n}}（14）

用公式（14）代替（3），可以得到选择用户i为簇首的概率。最后，将计算出的各用户被选作簇首的概率降序排列，概率最大的用户即被选作簇首。基于3个影响因子下的簇首选择策略如算法1所示。

2.2　分簇策略

基于3个影响因子下的簇首选择策略，本文提出了分簇策略，如算法2所示。

3　 任务卸载和资源分配

3.1　支持MEC的D2D多播网络通信模型与计算模型

本文假设用户的任务被分割，部分任务通过D2D多播簇首传输到基站端的MEC服务器上执行。定义L_i=({\sigma }_i,s_i,T_i)为用户i需要处理的任务，其中，{\sigma }_i表示处理多播用户的任务时，该任务需要的计算资源；s_i（bit）表示需要执行的任务的数据量；T_i（s）表示该任务可以接受的最大时延值。需要注意的是由于用户计算能力有限，所有任务不能在最大容忍延迟时间内完成。因此，用户将传输一部分任务给MEC。

支持MEC的D2D多播网络的任务卸载的步骤包括：用户发送一定比例的任务给与他们相联系的D2D多播簇首；D2D多播簇首接收任务后，使用前向链路相同的频带进一步将任务传输给基站中的MEC。对于用户i其任务卸载比例可以表示为o_i\in \left[\mathrm{0,1}\right]，其中，o_i=\mathrm{1}表示全部任务卸载到MEC执行，o_i=\mathrm{0}表示全部任务在本地执行。

1） 通信模型

我们假设用户和D2D多播簇首的前向链路和反向链路工作在正交的频谱上，因此相互之间没有干扰。前向链路的带宽与反向链路的带宽相同，用B表示。用户i（i\in \mathrm{𝒦}）到D2D多播簇首（m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}）的链路上能够获得的传输速率可以表示为：

R_{i,m^{\mathrm{*}}}^a=B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+\frac{p_i{g}_{i,m^{\mathrm{*}}}}{{\delta }^{\mathrm{2}}})（15）

其中，p_i表示用户i的发送功率；g_{i,m^{\mathrm{*}}}表示从用户i到D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}的信道增益；{\delta }^{\mathrm{2}}表示噪声功率。类似地，从D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}到基站的反向链路的数据速率可以表示为：

R_{i,m^{\mathrm{*}}}^b=B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+\frac{b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}{g}_{m^{\mathrm{*}}}}{{\delta }^{\mathrm{2}}})（16）

其中，p_{m^{\mathrm{*}}}表示簇首m^{\mathrm{*}}的发送功率；g_{m^{\mathrm{*}}}表示D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}到基站的信道增益；b_{i,m^{\mathrm{*}}}\in \left.\left(\mathrm{0,1}\right.\right]表示簇首m^{\mathrm{*}}为用户i所卸载的任务分配的功率因子。根据文献[16]，用户i卸载任务给基站端的MEC的传输速率R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S等同于用户i通过簇首m^{\mathrm{*}}传输到基站端的上行传输速率R_{i,m^{\mathrm{*}}}，可以用公式（17）表示。

R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S=R_{i,m^{\mathrm{*}}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(R_{i,m^{\mathrm{*}}}^a,R_{i,m^{\mathrm{*}}}^b)（17）

2) 计算模型

定义w_i^l为本地多播用户i的在处理任务时，设备所具有的计算资源，因此，用户设备的全部计算任务，将在本地进行计算，其计算执行时延为：

t_i^l=\frac{{\sigma }_i}{w_i^l}（18）

来自用户i的任务在MEC上执行时，总的计算执行时延为：

t_i^e=\frac{{\sigma }_i}{a_i{w}^e}（19）

其中，w^e表示MEC上的计算能力；a_i表示MEC上执行用户i的卸载任务时的计算因子。任务L_i从用户i传输到D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}的传输延迟可以表示为：

t_{i,m^{\mathrm{*}}}^d=\frac{s_i}{R_{i,m^{\mathrm{*}}}^a}（20）

任务L_i从用户i通过D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}传到MEC的传输延迟可以表示为：

t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s=\frac{s_i}{R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S}（21）

正如上文所提及的，任务是被分割处理的。令o_i^s表示卸载到MEC的任务的比例。因此，当任务被卸载到MEC上时，剩余任务在本地的处理时间可以表示为：

t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls}=(\mathrm{1}-o_i^s)t_i^l（22）

卸载的任务从用户i到MEC的总执行时延可以表示为：

{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}=o_i^s(t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s+t_i^e)（23）

假设任务被同时分配给本地用户和基站端的MEC上执行，因此任务L_i总的完成时间是本地执行时间与MEC上执行时间中的最大值，当任务被卸载到MEC时，总的完成时间为：

t_i^{\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{C}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls},{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}})（24）

3.2　收益最大化问题

通过建模解决D2D多播簇内用户的收益最大化问题。首先，定义效用函数为服务收益和成本之间的减函数，基于效用函数推导最大化收益的表达式。其次，将原始的最优化问题分解为用户选择最优化问题和资源分配最优化问题。最后，分别采用贪婪算法和拉格朗日乘数法进行求解。

1） 效用函数和最优化问题建模

服务收益可以表示为包括获得任务数据的多少和使用计算资源的多少。损耗包括MEC分配的计算资源的价格和簇首传输数据给MEC所需要的功率。因此任务L_i的效用函数可以表示为：

u_{i,m^{\mathrm{*}}}=x_{i,m^{\mathrm{*}}}{d}_{m^{\mathrm{*}}}(\kappa s_i+\rho {\sigma }_i-\eta b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}-\beta a_i{w}^e)（25）

其中，d_{m^{\mathrm{*}}}表示D2D多播簇首m^{\mathrm{*}}的当前状态，d_{m^{\mathrm{*}}}=\mathrm{1}表示处于工作状态，d_{m^{\mathrm{*}}}=\mathrm{0}则表示处于空闲状态；\kappa和\eta分别表示每单元卸载数据的收益系数和D2D多播簇首传输每单元卸载数据给MEC的传输功率的价格系数；\rho和\beta分别表示每单元卸载数据所需计算资源的收益系数和每单元时间内MEC所分配的计算资源的价格系数；x_{i,m^{\mathrm{*}}}表示用户i属于以用户m^{\mathrm{*}}作为簇首的D2D多播簇；s_i表示需要执行的任务的数据量；p_{m^{\mathrm{*}}}表示多播簇首m^{\mathrm{*}}的发射功率。

本文的最优化问题是使所有用户的全部任务的效用函数之和最大化，因此该最优化问题可以表示为：

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}U={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}{u}_{i,m^{\mathrm{*}}}（26）

s.t.\mathrm{C}\mathrm{1}:t_i\le T_i,\forall i\in \mathrm{𝒦}

\mathrm{C}\mathrm{2}:{\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}{x}_{i,m^{\mathrm{*}}}\le \mathrm{1},\forall i\in \mathrm{𝒦}

\mathrm{C}\mathrm{3}:{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{x}_{i,m^{\mathrm{*}}}\le N,\forall m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}

\mathrm{C}\mathrm{4}:{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{b}_{i,m^{\mathrm{*}}}\le \mathrm{1},\forall m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}

\mathrm{C}\mathrm{5}:{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{a}_i\le \mathrm{1},\forall i\in \mathrm{𝒦}

\mathrm{C}\mathrm{6}:R_{i,m^{\mathrm{*}}}^a\ge R_{i,m^{\mathrm{*}}}^b,\forall i\in \mathrm{𝒦},\forall m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}

其中，C1表示任务执行时间要小于任务最大容忍时延；C2表示保障用户每次只能连接到一个D2D多播簇首；C3表示要求每个D2D多播簇首同时接入的用户数量不能超过其能够接受的最大值；C4表示每个D2D多播簇首分配的功率不能超过他的最大传输功率；C5表示MEC分配出去的计算资源不能超过MEC最大的计算能力；C6表示对于每个用户其反向链路的传输速率小于前向链路的传输速率。

2） 最优化问题转化

由于x_{i,m^{\mathrm{*}}}(\forall i\in \mathrm{𝒦})是二进制的变量，因此目标函数（26）是一个非凸函数。原始的问题是一个混合离散非凸的最优化问题。将原始问题分解为两个子问题，分别命名为资源分配最优化（RAO）问题和用户选择最优化（USO）问题。

对一个固定值X（即确定用户选择策略时），RAO问题可以表示为：

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\underset{X}{U(A,B,O)}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}{u}_{i,m^{\mathrm{*}}}（27）

s.t. C1,C2,C5,C6

其中，A表示分配的计算资源，B表示功率分配，O表示任务卸载率。

令\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\underset{X}{Z(A,B,O)}=-\underset{X}{U(A,B,O)}，公式（27）可以重构为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\underset{X^{\mathrm{*}}}{Z(A,B,O)}=-x_{i,m^{\mathrm{*}}}{d}_{m^{\mathrm{*}}}(\kappa s_i+\rho {\sigma }_i-\eta b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}-\beta a_i{w}^e)（28）

s.t. C1，C2，C5，C6

命题1 对于任务L_i将被卸载到MEC中，其中最优的卸载率o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}是\mathrm{1}-T_i{w}_i^l/{\sigma }_i，任务卸载总的执行时间是T_i。

证 首先，分析在MEC上的任务卸载，C1可以被改写为：

\begin{array}{l}{t}_i^{\mathrm{M}\mathrm{E}\mathrm{C}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls},{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}})\\ =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{(\mathrm{1}-o_i^s){\sigma }_i}{w_i^l},\frac{o_i^s{s}_i}{B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^b)}+\frac{o_i^s{\sigma }_i}{a_i{w}^e})\right\}\le T_i\end{array}（29）

其中，h_{i,m^{\mathrm{*}}}^b=g_{m^{\mathrm{*}}}/{\delta }^{\mathrm{2}}，表示从D2D多播簇首到MEC反向链路的信道增益。由于o_i^s\in \left[\mathrm{0,1}\right]，因此一定存在一个点o_{i^{\mathrm{*}}}^s\in \left[\mathrm{0,1}\right]满足下式：

\frac{(\mathrm{1}-o_{i^{\mathrm{*}}}^s){\sigma }_i}{w_i^l}=o_{i^{\mathrm{*}}}^s(\frac{s_i}{B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+b_{i,m}{p}_m{h}_{i,m}^b)}+\frac{{\sigma }_i}{a_i{w}^e})（30）

当o_i^s从o_{i^{\mathrm{*}}}^s递减到0时，t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls}开始递增，{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}开始递减。o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}是在t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls}=T_i时取得，因为{\sigma }_i/w_i^l\succ T_i并且t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls}\ge {t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}。因此：

o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\mathrm{1}-\frac{T_i{w}_i^l}{{\sigma }_i}（31）

结合公式（21），卸载任务总的执行延时可以重新写为：

{t_{i,m}^s}^{\mathrm{*}}=\frac{o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{s}_i}{B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^b)}+\frac{o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{\sigma }_i}{a_i{w}^e}（32）

由公式（32）可知，{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}越大意味着分配的传输功率越大或消耗的计算资源越多。当{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}越大，则用户增加的成本将会代替获得的收益。因此，最优的{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}应该是t_{i,m^{\mathrm{*}}}^{ls}={t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}=T_i。命题证明完毕。

令{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}=R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S/B=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+b_{i,m^{\mathrm{*}}}{p}_{m^{\mathrm{*}}}{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^b)，整合公式（26）和（27），并替代相关变量后可得：

a_i({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})=\frac{-B{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}+B{w}_i^l{T}_i{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}{w^e(s_i{\sigma }_i-B{T}_i{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-s_i{T}_i{w}_i^l)}（33）

b_{i,m^{\mathrm{*}}}({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})=\frac{{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}}（34）

公式（28）可以重新写为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\underset{X}{Z^{\mathrm{*}}(A,B,O)}=-x_{i,m^{\mathrm{*}}}{d}_{m^{\mathrm{*}}}\left[\kappa s_i+\rho {\sigma }_i -\eta b_{i,m^{\mathrm{*}}}({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})p_{m^{\mathrm{*}}}-\beta a_i({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})w^e\right]（35）

s.t.\mathrm{C}\mathrm{7}:{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}\frac{{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}^b}\le \mathrm{1},\forall m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}

\mathrm{C}\mathrm{8}:{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{a}_i({\xi }_{i,m^{*}})\le \mathrm{1}

\mathrm{C}\mathrm{9}:{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}\le \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+p_i{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^a)

3） 最优化问题的求解

A. RAO问题的求解

我们首先讨论RAO问题的求解。对Z中{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}的二阶导数可以表示为：

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}Z}{\partial {\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{2}{s}_i{B}^{\mathrm{2}}{T}_i({\sigma }_i-w_i^l{T}_i{)}^{\mathrm{2}}}{w^e(B{T}_i{\sigma }_i{\xi }_i-s_i{\sigma }_i+s_i{T}_i{w}_i^l{)}^{\mathrm{3}}}+\frac{{(\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}^b}（36）

从命题1可知，{t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s}^{\mathrm{*}}=T_i。因此可得：

s_i{T}_i{w}_i^l=(\mathrm{1}-o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}){\sigma }_i{s}_i（37）

同理，t_{i,m^{\mathrm{*}}}^s=T_i-t_i^e并且t_i^e\succ \mathrm{0}，能够得到：

B{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}{T}_i=R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S{T}_i{\sigma }_i\succ R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S{t}_{i,m^{\mathrm{*}}}^s{\sigma }_i（38）

当R_{i,m^{\mathrm{*}}}^S{t}_{i,m^{\mathrm{*}}}^s=o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{s}_i时，合并（33）和（34）式可得：

B{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}{T}_i+s_i{T}_i{w}_i-s_i{\sigma }_i\succ

(\mathrm{1}-o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}){\sigma }_i{s}_i+o_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{s}_i\succ \mathrm{0}（39）

因此可得{\partial }^{\mathrm{2}}Z/\partial {\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}\succ \mathrm{0}，并且公式（35）是凸函数。公式（35）的拉格朗日表达式为：

\begin{array}{l}\underset{X}{L(\xi ,\lambda ,\mu )}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}Z({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})+\lambda ({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}\frac{{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1})\\ +\mu \left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{a}_i({\xi }_{i,m^{*}})-\mathrm{1}\right]+{\tau }_i\left[{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+p_i{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^a)\right]\end{array}（40）

对于\forall i\in \mathrm{𝒦},\forall m^{\mathrm{*}}\in \mathrm{ℳ}，KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件表示为：

\frac{\partial L}{\partial {\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}=\frac{(\eta p_i+\lambda ){\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}}+(\beta w^e+\mu )a_i^{\text{'}}({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})+{\tau }_i=\mathrm{0}（41）

\lambda ({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}\frac{{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1})=\mathrm{0}（42）

\mu \left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}\frac{-B{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}+B{w}_i^l{T}_i{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}{w^e(s_i{\sigma }_i-B{T}_i{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-s_i{T}_i{w}_i^l)}-\mathrm{1}\right]（43）

{\tau }_i\left[{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-B\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+p_i{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^a)\right]=\mathrm{0}（44）

在这里a_i^{\text{'}}({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}})=JV/(J-C{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}{)}^{\mathrm{2}}，其中J=w^e{s}_i{\sigma }_i-w^e{s}_i{T}_i{w}_i^l，C=w^{e}B{T}_i{\sigma }_i，V=B{w}_i^l{T}_i{\sigma }_i-B{\sigma }_i^{\mathrm{2}}令{\left[y\right]}^{+}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{y,\mathrm{0}\right\}，结合公式（37）~（39），拉格朗日乘数可以重新写为：

\lambda (t+\mathrm{1})={\left[\lambda (t)+\delta (t)({\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}\frac{{\mathrm{2}}^{{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1}}{h_{i,m^{\mathrm{*}}}}-\mathrm{1})\right]}^{+}（45）

\begin{array}{l}\mu (t+\mathrm{1})=\\ {\left[\delta (t)({\displaystyle \sum _{m^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}}^M}\frac{-B{\sigma }_i^{\mathrm{2}}{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}+B{w}_i^l{T}_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}}{w^e(s_i{\sigma }_i-B{T}_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_i{\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-s_i{T}_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{w}_i^l)}-\mathrm{1})+\mu (t)\right]}^{+}\end{array}（46）

{\tau }_i(t+\mathrm{1})={\left[{\tau }_i(t)+\delta (t)({\xi }_{i,m^{\mathrm{*}}}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{1}+p_i{h}_{i,m^{\mathrm{*}}}^a))\right]}^{+}（47）

其中，t是迭代次数，\delta (t)表示第t次迭代的间距。利用KKT条件，可以获得最优的资源分配结果。最优的{\xi }_{i,m}可以从公式（41）~（44）获得。按照公式（28）和（29），可以获得a_i^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}和b_{i,m^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}，因此，在给定用户选择策略X时，可以确定资源分配中的最优计算资源A^*、最优功率分配B^*以及最优任务卸载率O^*。

B. USO问题的求解

根据上文，可以获得公式（27）最优的资源分配结果，即A^*、B^*、O^*，这时对最优用户选择问题X^*的求解，则是一个0-1的非线性最优化问题，属于NP（Non-deterministic Polynomial）难题。当前有很多算法可以用于解决这种NP难题，如蚁群优化算法、遗传算法、模拟退火算法和贪婪算法。在这些算法中，贪婪算法在逼近全局最优解方面复杂度较低且有效。因此，本文采用贪婪算法解决USO问题，具体如算法3所示。

4　 仿真分析

4.1　仿真参数及对比算法

在仿真场景中，基站设置在100 m×100 m的小区中心，MEC服务器设置在基站处，D2D多播用户均匀的分布在基站覆盖的小区内。用户的传输功率是p_i=\mathrm{10} dBm，D2D多播簇首的传输功率p_m=\mathrm{20} dBm。对无线链路而言，用户的信道功率增益服从CN(\mathrm{10};\mathrm{5})的高斯分布。用户的热噪声功率被设置为-100 dBm。K=20~70，M=1~7，每单元卸载数据的收益系数\kappa=0.05 yuan/Mbit，每单元卸载数据所需传输功率的价格系数\eta=0.1 yuan/mW，每单元卸载数据所需计算资源的收益系数\rho=0.05 yuan/（GHz·s），每单元时间上MEC所分配的计算资源的价格系数\beta=2 yuan/（GHz·s），带宽B=0.5 MHz。

将本文提出的算法与其他3种算法进行比较。这三种算法是：文献[11]在基于MEC的D2D网络中，考虑社会感知的卸载策略和资源分配策略（social-aware offloading strategy and resource allocation scheme， SOSRAS）算法；采用随机的分配任务执行比例和最优的资源分配算法 (random ratio of execution and optimal resource allocation， RREORA)算法；采用任务全部卸载到MEC执行和最优的资源分配算法 (MEC execution and optimal resource allocation， MEORA)算法。

4.2　D2D多播用户分簇和簇首选择

如图2所示，在基站覆盖的小区内，分布着地理位置不同的45个多播用户，采用2.2节的分簇策略共分为7个簇，观察各个簇的地理位置可以看出，本文所提分簇方法因为综合考虑了联合用户社会属性、可用能量和传输速率的因素，能较好地将信道质量相近、社会属性相近和传输功率相近的用户分为一簇，避免了信道质量差的用户对功率的过度占用。

4.3　不同计算价格系数与功率价格系数比例对用户总收益的影响

图3展示了MEC上不同比例下的每单元计算价格系数与功率价格系数的比值（β/η）对用户总收益的影响。在仿真过程中每单元的功率价格系数η固定不变，仅改变每单元的计算价格系数β。仿真结果显示，用户总收益会随着β/η的增加而减少。这是因为随着每单元计算价格系数β的增加，系统总的损耗增加，因此使得用户总收益减少。

4.4　任务的平均数据量与用户总收益之间的关系

由图4可以看出，初始阶段，所有算法下用户总收益都随着任务的平均数据量的增加而增加，但随着任务的平均数据量不断增加，各算法下用户总收益增长速率减缓，SOSRAS算法下用户总收益甚至开始下降。所有算法出现用户总收益增长速率减缓的原因是，当任务的平均数据量较小时，通过卸载数据到MEC所获得的收益要高过所消耗的计算资源和功率资源，因此用户总收益提升，但是随着任务的平均数据量增加，消耗的计算资源和功率资源也在不断增加，在需要满足用户卸载任务的时延小于任务所需的最大时延的要求下，使得各种算法下的用户总收益增加减缓。但本文提出的算法的收益要高于其他算法，这是因为本文提出的算法采用了最优的任务卸载和资源分配方法，因此能获得更多的收益。

4.5　用户数量与用户总收益之间的关系

以用户数量与用户总收益之间的关系为评价指标，将本文提出的算法与SOSRAS算法^[11]、REORA算法和MEORA算法进行对比，得到结果如图5所示。

由图5可以看出，随着用户数量的增加，各算法下的用户总收益都在快速的增加，当用户数量超过55时，用户总收益的增长率出现了减缓。这是因为D2D多播簇首的功率受限，并且MEC服务器的计算能力也受限所造成的。当用户数量较少时，现有的功率资源和计算资源可以很好地分配给用户，但是当用户数量较多时，功率资源和计算资源受限的问题就使用户之间存在资源竞争的问题，因此，各算法将用户的消耗的功率资源和计算资源与最大化用户的收益之间进行了平衡，因此总收益增长率减缓。

4.6　D2D多播簇首数量与用户总收益之间的关系

从图6可以看到，随着D2D多播簇首数量的增加，各算法下的用户总收益在初始阶段都会快速的增加，当簇首数量超过3时，其增长率趋于平坦。这是因为当总的用户数量不变时，随着D2D多播簇首数量的增加，越来越多的用户可以通过D2D多播簇首将任务传输给MEC服务器获得用户收益，当簇首数量继续增多时，已经能够满足所有s多播用户的任务卸载需求，这时消耗的计算资源和功率资源趋于稳定，因此，通过卸载任务所得的用户总收益将不再增加。

4.7　任务最大容忍时延与用户总收益之间的关系

从图7的仿真结果可以看到，随着任务最大容忍时延的增加(0.15~0.2 ms)，用户总收益增加的速率最快，但是随着任务最大容忍时延的继续增加(超过0.2 ms)时，所有算法所获得的用户总收益的速率开始放缓。这是因为，当任务最大容忍时延增加时，D2D多播簇首消耗的功率和MEC服务器上消耗的计算资源都减少，因此用户的收益可以提升，但是，随着任务最大容忍时延的不断提升，任务可以在本地执行而不用再传输给MEC服务器的数量也会越来越多，因此，得到的用户收益的增长速率会降低。虽然所有仿真的算法随着任务最大容忍时延的增加，用户收益的增长都在减慢，但本文提出的算法减慢速度小于其他算法，这是因为本文提出的算法采用了最优的任务卸载和资源分配方法，因此能获得更多的收益。

5　 结 语

本文研究了支持MEC的D2D多播网络中的任务卸载和资源分配的最优化问题。首先，提出考虑用户社会属性、可用能量和传输速率的簇首选择和分簇策略。其次，我们考虑在联合用户选择、任务卸载和计算资源分配时的最优化用户收益问题。再次，我们将原始的最优问题转化为资源分配的最优化问题和用户选择的最优化问题。最后，提出基于拉格朗日的算法解决资源分配的最优化问题，并采用贪婪算法来解决用户选择问题。仿真实验表明，本文提出的算法的收益要优于现存的其他算法。

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基金资助

辽宁省自然科学基金(20180550046)

辽宁省教育厅科学研究项目(ZGXJ2020005)

辽宁省社会科学基金(L20BGL008)

2023年度中国刑事警察学院重大培育项目(D2023002)