图基BCJ关系的弦论导出

柳景沛; 杜一剑

doi:10.14188/j.1671-8836.2021.0082

武汉大学学报（理学版） ›› 2022, Vol. 68 ›› Issue (3) : 245 -251. DOI: 10.14188/j.1671-8836.2021.0082

物理学

图基BCJ关系的弦论导出

柳景沛, 杜一剑

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A String Theory Approach to Graph-Based BCJ Relation

Jingpei LIU, Yijian DU

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摘要

量子场论的散射振幅可视为弦论散射振幅的近似，因此，量子场论的振幅关系可以从弦论中导出。对开弦树级散射振幅进行适当的组合，结合弦论中已有的Kleiss-Kuijf（KK）和Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）关系，给出弦论中开弦树级散射振幅的图基关系。在场论近似下，这一关系进一步给出量子场论中的图基BCJ关系以及一个新的振幅关系——图基KK关系。具体例子的计算可以直接推广到一般情况。

Abstract

Scattering amplitudes in quantum field theory can be regarded as approximations of scattering amplitudes in string theory. Therefore amplitudes relations of quantum field theory can be derived from string theory. Based on a proper combination of tree-level open string amplitudes and the Kleiss-Kuijf (KK) and Bern-Carrasco-Johansson (BCJ) relations that were already founded, a graph-based relation for open string amplitudes is proposed. In the field theory limit, this relation provides the existing graph-based BCJ relation and a new amplitudes relation — graph-based KK relation. The caculation of specific examples can be directly extended to general cases.

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柳景沛, 杜一剑. 图基BCJ关系的弦论导出[J]. 武汉大学学报（理学版）, 2022, 68(3): 245-251 DOI:10.14188/j.1671-8836.2021.0082

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0　引言

近年来研究表明，杨-米尔斯理论树级色排序散射振幅满足非平庸的Bern-Carrasco-Johansson （BCJ）关系^［1］，这与早期发现的Kleiss-Kuijf（KK）关系^［2］一起对树级色排序振幅的计算起到化简作用。近期对爱因斯坦-杨-米尔斯理论振幅递推展开公式^［3~5］的研究引出了杨-米尔斯理论树级色排序振幅的图基BCJ关系。由于已有的KK和BCJ关系可以由弦论振幅关系的场论极限给出^［6］，而场论中的图基BCJ关系是已有BCJ关系的组合^［7］，因此我们期望通过适当组合弦论散射振幅，导出场论中的图基BCJ关系。

本文从具体例子出发，借助弦论中的KK和BCJ关系，找到弦论振幅满足的图基关系。这一关系在场论极限下给出了杨-米尔斯场振幅的图基BCJ关系以及与其伴随的图基KK关系。

1　已知的弦论与场论散射振幅关系

树级色排序杨-米尔斯场散射振幅满足以下的KK关系^［2］

A (β, 1, α, n) = (- 1) | β | ∑ σ ∈ α ∪ O P β T A (1, σ, n)

（1）

其中，

A (1, σ, n)

表示给定排序

(1, σ, n)

下的杨-米尔斯场散射振幅；

α, β

是给定的粒子排序；

β T

表示

β

中粒子排序的逆序；符号

∪ O P

表示两个有序集的有序并集，在这个并集中每个有序集中元素保持原来的相对顺序。杨-米尔斯场树级色排序振幅还满足以下BCJ关系

B (1 | β, α | n) = 0

（2）

（2）式左边定义为

B (1 | β, α | n) ≡ ∑ σ ∈ α ∪ O P β ∑ l ∈ β (k l ⋅ Y l (σ)) A (1, σ, n)

（3）

上式中

(k l ⋅ Y l (σ))

表示

Y l μ (σ)

和

k l μ

之间的洛伦兹缩并

k l 0 ⋅ Y l 0 (σ) - ∑ i = 1,2, 3 k l i ⋅ Y l i (σ)

，其中

0

分量为时间分量，

i = 1,2, 3

分量为空间分量，

Y l μ (σ)

表示在序列

σ

中排在

l

前的粒子的四动量之和，

k l μ

表示粒子

l

的四动量。

在弦论中，开弦树级散射振幅满足如下关系^［1，8］

A I (β 1, ⋯, β r, 1, α 1, ⋯, a s, n) = (- 1) r ∏ 1 ≤ i < j ≤ r e 2 π i α' k β i ⋅ Y β j ∑ σ ∈ α ∪ O P β T ∏ i = 0 s ∏ j = 1 r e 2 π i α' k α i ⋅ k β j (σ) A I (1, σ, n)

（4）

A I

表示相应色排序的开弦散射振幅。当考虑外线为开弦无质量态并取场论极限

α' → 0

后，（4）式左右两边的实部相等，所以可推出（1）中的KK关系，等式右边虚部为零则（2）式成立。因此，场论中的KK和BCJ关系可视为弦论中对应关系的近似。

文献［5］提出了如下图基BCJ关系

B G β i (1 | F, α | n) ≡ ∑ β j ∈ F (- 1) f (β i, β j) ∑ σ ∈ ξ ∪ O P α ∑ ξ ∈ P β j [F] (k β j ⋅ Y β j (σ)) A (1, σ, n) = 0

（5）

其中，

F

表示由点和线构成的树图；

β i

是任意选定的图中的一个点，称为基点；

f (β i, β j)

表示图中

β i

与

β j

的距离，即图中两点相隔的最短路线的线段数；

P β i [F]

表示一个排序的集合，其中元素的排序由下列规则确定：1）

β i

在排序最左边；2）任意相邻两点与

β i

距离较近的排在左边；3）当两个分支连在同一点上时，可能的排序集合为各自分支排序的有序并集。这里以一个四点图作为例子，如图1所示，图中的点表示一部分外粒子。

对应图1的表达式为

B G β 4 (1 | F 4, α | n) = ∑ σ ∈ {β 1, β 4, σ 1} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} (k β 1 ⋅ Y β 1 (σ)) A (1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 2, β 4, σ 1} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 3} (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ)) A (1, σ, n) +

∑ σ ∈ {β 3, β 4, σ 1} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} (k β 3 ⋅ Y β 3 (σ)) A (1, σ, n) - ∑ σ ∈ {β 4, σ 1} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} (k β 1 ⋅ Y β 1 (σ)) A (1, σ, n)

（6）

文献［7］证明了图基BCJ关系等号左边的式子可以表示为（2）式左边项的组合。于是可以证明有如下的图BCJ关系

B G β i (1 | F, α | n) = 0

（7）

本文给出弦论中的图基散射振幅关系，这些关系在场论极限下可以导出相应的杨·米尔斯场图基BCJ关系（5）。

2　少点弦散射振幅图基关系及与场论的对应

通过整合弦论振幅关系，计算两点、三点和一个四点的图基BCJ关系。这一计算方法可以推广至任意形式的图基BCJ关系。

对于杨-米尔斯场理论，单点的图基BCJ关系（5）会退化到一般BCJ关系（2）。因此，只需使用与文献［6］中相同的方法，便可得到最终结果，同时得到相应的KK关系。在这里，可以看见弦散射振幅的BCJ及KK关系与场论的BCJ及KK关系有着一一对应的关系。后面可以看到，证明高点的图基BCJ关系依赖于低点的这种对应。

先考虑两点图情况的弦论散射振幅关系，也就是选取

β 1

为基点，且（5）式中

F

取图2的情况。

为了找到与此情况对应的弦论中的关系，考虑如下的弦散射振幅组合

A I (β 2, β 1, 1, α, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 2, 1, σ, n)

（8）

为了表示方便，有如下简记

C i (σ) = c o s (2 π α' k β 1 ⋅ Y β 1 (σ)), S i (σ) = s i n (2 π α' k β 1 ⋅ Y β 1 (σ))

（9）

对于（8）式中的第一项，可以同样利用（4）式写成如下的关系

A I (β 2, β 1, 1, α, n) = ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α e 2 π i α' k β 1 ⋅ Y β 1 (σ) A I (1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α e 2 π i α' k β 2 ⋅ Y β 2 (σ) A I (1, σ, n)

（10）

同理，对于（8）式第二项有

∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 2, 1, σ, n) = - ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α e 2 π i α' k β 2 ⋅ Y β 2 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（11）

组合后取（8）式的虚部，因为式子是散射振幅的组合，其应该是实数，故虚部应为0，即

0 = ∑ i ∈ {1,2} ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α S 1 (σ) A I (1, σ, n) + ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α S 2 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（12）

考虑（8）式的实部有如下关系

A I (β 2, β 1, 1, α, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 2, 1, σ, n) =

∑ i ∈ {1,2} ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α C 1 (σ) A I (1, σ, n) + ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α C 2 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（13）

这两个关系就是弦散射振幅的图基BCJ和KK关系。在场论极限

α' → 0

下，（13）式变为

A (β 2, β 1, 1, α, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A (β 2, 1, σ, n) =

∑ i ∈ {1,2} ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α A (1, σ, n) + ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A (1, σ 1, n)

（14）

（14）式就是相应的图基KK关系。下面证明在场论极限下，（12）式退回到场的图基BCJ关系。场论极限

α' → 0

下，（12）式可写为

0 = ∑ i ∈ {1,2} ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α (k β 1 ⋅ Y β 1 (σ)) A (1, σ, n) + ∑ σ 1 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ 1)) A (1, σ 1, n)

（15）

（15）式等号左边的第二项和（12）式第一项中

i = 2

的项相加，可以得到

∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ)) A (1, σ, n)

（16）

可以看到（16）式和（15）式第一项

i = 1

的组合，正是杨-米尔斯场两点图基BCJ关系等式的右边。由此印证了弦散射振幅与杨-米尔斯场之间的对应关系。

弦散射振幅在三点图的情况下有两种不同的形式，但是它们对应着场论中的同一个关系。下面考虑三点图的弦论散射振幅关系，也就是定义式（5）中F取图3时的情况。

我们首先考虑选取

β 1

为基点。

考虑如下的弦散射振幅组合

- A I (β 3, β 2, β 1, 1, α, n) - ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 3, β 2, 1, σ, n) - ∑ σ {β 2, β 1} ∪ O P α A I (β 3, 1, σ, n)

（17）

对（17）式中的第一项，利用（4）式的规则写成如下的关系

- A I (β 3, β 2, β 1, 1, α, n) = ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α e 2 π i α' k β 1 ⋅ Y β 1 (σ) A I (1, σ, n) +

∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α e 2 π i α' k β 2 ⋅ Y β 2 (σ) A I (1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α e 2 π i α' k β 3 ⋅ Y β 3 (σ) A I (1, σ, n)

（18）

同理，对（17）式第二项有

- ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 3, β 2, 1, σ, n) = - ∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α e 2 π i α' k β 2 ⋅ Y β 2 (σ 1) A I (1, σ 1, n) -

∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α e 2 π i α' k β 3 ⋅ Y β 3 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（19）

对（17）式第三项有

- ∑ σ {β 2, β 1} ∪ O P α A I (β 3, 1, σ, n) = ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α e 2 π i α' k β 3 ⋅ Y β 3 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（20）

组合后，由于（17）式是散射振幅的组合，故虚部为0，得到如下关系

0 = ∑ i ∈ {1,2, 3} ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α S i (σ) A I (1, σ, n) - ∑ i ∈ {2,3} ∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α S i (σ 1) A I (1, σ 1, n) +

∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α S 3 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（21）

再取（17）式的实部，得到如下等式

A I (β 3, β 2, β 1, 1, α, n) - ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A I (β 3, β 2, 1, σ, n) - ∑ σ {β 2, β 1} ∪ O P α A I (β 3, 1, σ, n) =

∑ i ∈ {1,2, 3} ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α C i (σ) A I (1, σ, n) - ∑ i ∈ {2,3} ∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α C i (σ 1) A I (1, σ 1, n) +

∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α C 3 (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（22）

这两个关系就是弦散射振幅的图基BCJ和KK关系。在场论极限下，（22）式变为

A (β 3, β 2, β 1, 1, α, n) - ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A (β 3, β 2, 1, σ, n) - ∑ σ {β 2, β 1} ∪ O P α A (β 3, 1, σ, n) =

∑ i ∈ {1,2, 3} ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α A (1, σ, n) - ∑ i ∈ {2,3} ∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α A (1, σ 1, n) + ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α A (1, σ 1, n)

（23）

下面证明在场论极限下，（21）式退回到场的图基BCJ关系。场论极限下（21）式可写为

0 = ∑ i ∈ {1,2, 3} ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β i ⋅ Y β i (σ)) A I (1, σ, n) - ∑ i ∈ {2,3} ∑ σ 1 ∈ {β 2, β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α (k β i ⋅ Y β i (σ 1)) A I (1, σ 1, n) +

∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 2, β 1} ∪ O P α (k β 3 ⋅ Y β 3 (σ 1)) A I (1, σ 1, n)

（24）

联系之前写出的BCJ关系式，（24）式中的第一项中

i = 2,3

的部分可以记作

∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α B (1 | {β 2, β 3}, σ | n) | β 1 ≺ β 2

（25）

（25）式中B的定义与（3）式中的定义相同，

β 1 ≺ β 2

表示只包含在色排序中

β 1

排在

β 2

的左边的那些项。（25）式和（24）式中的第二项结合得到

- ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P α B (1 | {β 2, β 3}, σ | n) | β 1 ≻ β 2

（26）

（26）式再与（24）式的最后一项合并，可以得到

- ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ)) A (1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β 3 ⋅ Y β 3 (σ)) A (1, σ, n)

（27）

对（27）式和（24）式的第一项求和，可以看到这正是三点的图基BCJ关系。三点图还有另一种情况，即依旧使用图3，但以其中的中间点

β 2

为基点。此时考虑如下的弦振幅组合

∑ σ {β 2, β 3} ∪ O P α A I (β 1, 1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1, β 2} ∪ O P α A I (β 3, 1, σ, n) - ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 3} A I (σ, β 2, 1, α, n)

（28）

运用同样的方法可以得到

0 = - ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β 1 ⋅ Y β 1 (σ)) A I (1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ)) A I (1, σ, n) -

∑ σ ∈ {β 1, β 2, β 3} ∪ O P α (k β 3 ⋅ Y β 3 (σ)) A I (1, σ, n)

（29）

这也是三点的图基BCJ关系，只是基点不相同，因此与前一种方法得到的结果是相符合的。

考虑四点图的弦论散射振幅关系。对于四点图的散射振幅，也有多种不同情况，这里只重点计算最非平凡和有代表性的例子。考察定义式（5）中

F

如图1所示，以

β 4

为基点的情况。考虑如下的弦散射振幅组合

∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} A I (β 1, 1, σ 1, n) + ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} A I (β 2, 1, σ, n) +

∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} A I (β 3, 1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} A I (σ, β 4, 1, α, n)

（30）

对（30）式中的第一项，同样利用公式（4）的规则写成如下的关系

∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} A I (β 1, 1, σ 1, n) = - ∑ σ 2 ∈ {β 1} ∪ O P σ ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} e 2 π i α' k β 1 ⋅ Y β 1 (σ 2) A I (1, σ 2, n)

（31）

同理，对（30）式第二项有

∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} A I (β 2, 1, σ, n) = - ∑ σ 2 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} e 2 π i α' k β 2 ⋅ Y β 2 (σ 2) A I (1, σ 2, n)

（32）

对（30）式第三项有

∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} A I (β 3, 1, σ, n) = - ∑ σ 2 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} e 2 π i α' k β 3 ⋅ Y β 3 (σ 2) A I (1, σ 2, n)

（33）

对（30）式第四项有

∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} A I (σ, β 4, 1, α, n) = ∑ i ∈ {1,2, 3,4} ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} e 2 π i α' k β i ⋅ Y β i (σ 1) A I (1, σ 1, n)

（34）

与前面同样的理由，等式（31）~（34）两边求和后式子的虚部为0，得到如下的关系

0 = - ∑ σ 2 ∈ {β 1} ∪ O P σ ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} S 1 (σ 2) A I (1, σ 2, n) - ∑ σ 2 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} S 2 (σ 2) A I (1, σ 2, n) -

∑ σ 2 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} S 3 (σ 2) A I (1, σ 2, n) + ∑ i ∈ {1,2, 3,4} ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} S i (σ 2) A I (1, σ 1, n)

（35）

（31）~（34）式的实部相等，有

∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} A I (β 1, 1, σ 1, n) + ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} A I (β 2, 1, σ, n)

∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} A I (β 3, 1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} A I (σ, β 4, 1, α, n)

- ∑ σ 2 ∈ {β 1} ∪ O P σ ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} C 1 (σ 2) A I (1, σ 2, n) - ∑ σ 2 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} C 2 (σ 2) A I (1, σ 2, n) -

∑ σ 2 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} C 3 (σ 2) A I (1, σ 2, n) + ∑ i ∈ {1,2, 3,4} ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} C i (σ 2) A I (1, σ 1, n)

（36）

（35）和（36）式这两个关系就是弦散射振幅的图基BCJ和KK关系。在场论极限下，（36）式变为

∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} A (β 1, 1, σ 1, n) + ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} A (β 2, 1, σ, n)

∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} A (β 3, 1, σ, n) + ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} A (σ, β 4, 1, α, n)

- ∑ σ 2 ∈ {β 1} ∪ O P σ ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} A (1, σ 2, n) - ∑ σ 2 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} A (1, σ 2, n) -

∑ σ 2 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} A (1, σ 2, n) + ∑ i ∈ {1,2, 3,4} ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} A (1, σ 1, n)

（37）

下面证明在场论极限下，（35）式退回到场的图BCJ关系。场论极限下（35）式可写为

0 = - ∑ σ 2 ∈ {β 1} ∪ O P σ ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} (k β 1 ⋅ Y β 1 (σ 1)) A I (1, σ 2, n) -

∑ σ 2 ∈ {β 2} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 3} ∪ O P {β 1} (k β 2 ⋅ Y β 2 (σ 1)) A I (1, σ 2, n) -

∑ σ 2 ∈ {β 3} ∪ O P σ ∑ σ ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ 1 ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} (k β 3 ⋅ Y β 3 (σ 1)) A I (1, σ 2, n) +

∑ i ∈ {1,2, 3,4} ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 1} ∪ O P {β 2} ∪ O P {β 3} (k β i ⋅ Y β i (σ 1)) A I (1, σ 1, n)

（38）

（38）式右边的第四项

i = 1

部分可以写成

∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} B G β 4 (1 | F 1, σ | n) | β 1 ≻ β 4

（39）

其中

F 1

表示由

β 1

组成的单点图。（39）式和（38）式右边第一项相加，得到如下结果

- ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} B G β 4 (1 | F 1, σ | n) | β 1 ≺ β 4

（40）

同样的方法处理（38）式右边的第四项

i = 2,3

部分也能得到

- ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} B G β 4 (1 | F 1', σ | n) | β 2 ≺ β 4

（41）

- ∑ σ 1 ∈ {β 4, σ} ∪ O P α ∑ σ ∈ {β 2} ∪ O P {β 3} B G β 4 (1 | F 1'', σ | n) | β 3 ≺ β 4

（42）

其中

F 1'

和

F 1''

分别表示

β 2

和

β 3

组成的单点图。联合上面三个式子，以及（38）式右边的最后一项

i = 4

的部分，我们可以得到对应的杨-米尔斯场散射振幅的图基BCJ关系。在这个证明的过程中，我们利用到了更少点的图BCJ关系。

3　结语

从本文的证明中可以看出，弦论中的开弦散射振幅关系与杨-米尔斯场的散射振幅关系存在对应。通过找到弦论振幅的图基关系，并对其虚部取场论极限，就能方便地得到场论中的图基BCJ关系。若对其实部取场论极限，可得到与图基BCJ关系相伴随的新关系。这一证明方法更加清晰地揭示了场论振幅与弦理论振幅之间的关联。如何将相关讨论推广至圈级振幅，仍有待进一步研究。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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