电磁Dalitz衰变{\mathit{K}}^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to \mathit{K}{\mathit{l}}^{+}{\mathit{l}}^{-}的研究

Electromagnetic Dalitz Decays {\mathit{K}}^{\mathbf{*}}(\mathrm{892})\to \mathit{K}{\mathit{l}}^{+}{\mathit{l}}^{-}

摘要

研究了电磁Dalitz衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}(l=e,\mu )，通过矢量介子主导（vector meson dominance，VMD）模型的跃迁形状因子（transition form factor，TFF）计算了K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的相对衰变分支比，给出了双轻子不变质量谱和轻子极角角分布。K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}和K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的相对衰变分支比分别为（0.818±0.004）%和（0.027±0.001）%。本文的研究结果为在北京谱仪Ⅲ（Beijing spectrometer Ⅲ，BESⅢ）实验和未来的超级陶粲装置（Super Tau-Charm Facility，STCF）实验上研究奇异粲介子K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})的辐射衰变及电磁Dalitz衰变过程提供了必要的理论支持。

Abstract

The electromagnetic(EM) Dalitz decays K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}(l=e,\mu ) are studied. The relative branching fractions of K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-} to K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma are calculated by transition form factors(TFFs) of vector meson dominance(VMD) model, and the dileptonic invariant mass spectra and the leptonic polar angular distributions are given. The relative branching fractions of K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-} and K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-} to K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma are (0.818±0.004)% and (0.027±0.001)%, respectively. The research results in this paper provide necessary theoretical supports for the study of radiative decays and EM Dalitz decays of strange charmed mesons K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892}) in Beijing Spectrometer Ⅲ(BESⅢ) experiment and future Super Tau-Charm Facility(STCF) experiment.

Graphical abstract

关键词

奇异矢量粒子 / 矢量介子主导模型 / 跃迁形状因子 / 衰变分支比

Key words

strange vector particle / vector meson dominance model / transition form factor / decay branching fraction

0　 引 言

奇异粒子及其多种衰变模式的发现带来了关于基本粒子本性与衰变机制的思考，协同产生与奇异数部分守恒被提出，随之而来的宇称破坏和SU（3）味对称性的思想加深了人们对基本粒子及基本对称性的认识。共振态K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})是最轻的奇异矢量介子，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})的研究可以为低能强子相互作用三味结构及味对称性破缺提供信息。基于夸克无质量极限下的量子色动力学（quantum chromodynamics，QCD）的手征微扰论以及矢量介子主导（vector meson dominance，VMD）模型等被用于轻强子尤其是含轻夸克u、d和s的介子体系^［1~3］。格点QCD的进展使得手征拉氏量中的低能常数的计算成为可能^［4］。手征微扰论及格点QCD在K^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{892}\right)介子衰变中的应用，有助于理解中低能区非微扰QCD。K^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{892}\right)的夸克组成为q\overline{q}。K^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{892}\right)几乎100%地通过强相互作用衰变到一个\pi介子和一个K介子^［5］，因此K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})中间态可以通过K、\pi末态重建。北京谱仪Ⅲ（Beijing Spectrometer Ⅲ，BESⅢ）、BaBar、LHCb和Crystal Barrel等国际合作组利用Dalitz图分析或分波分析，通过K\pi共振谱和非共振谱测量了K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})的质量、宽度和衰变分支比等物理量^［6~12］。

电磁衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的分支比尽管比较小，但是可以用来研究SU（3）味对称性破缺^［13］。欧洲核子中心^［14］、Brookhaven国家实验室^［15］和Fermi国家加速器实验室^{［16，17］}从奇异介子K^{+}、{\overline{K}}^{\mathrm{0}}和K_L与原子核碰撞的Primakoff效应中抽取了K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的衰变宽度。K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma衰变宽度正比于组分夸克磁矩和的平方，在SU（3）极限下，u、d、s夸克质量相等，此时中性和带电K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})介子的K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma衰变宽度的比值为4^［17］。目前这个比值的实验测量值为\mathrm{2.31}\pm \mathrm{0.29}^［5］，表明SU（3）味对称性破缺^{［16，17］}。

电磁Dalitz衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}(l=e,\mu )可以通过K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\gamma }^{\mathrm{*}}产生，其中不在壳光子{\gamma }^{\mathrm{*}}衰变成l^{+}{l}^{-}轻子对。BESⅢ实验近年来累计采集了100亿J/\psi事例，通过J/\psi \to K_S^{\mathrm{0}}{K}^{\mathrm{*}}{(\mathrm{892})}^{\mathrm{0}}、K^{\mp }{K}^{\mathrm{*}}{(\mathrm{892})}^{\pm }等过程产生K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})样本，具备了通过正负电子对撞实验研究K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma以及K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的条件。计划建设的超级陶粲装置（Super Tau-Charm Facility，STCF）的亮度可达到\mathrm{0.5}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{35}}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-\mathrm{2}}\bullet {\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}^［18］，具备了对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}精确测量的条件。同位旋对称性要求{\mathrm{\Gamma }}_{K^{\mathrm{0}}{l}^{+}{l}^{-}}/{\mathrm{\Gamma }}_{K^{\pm }{l}^{+}{l}^{-}}={\mathrm{\Gamma }}_{K^{\mathrm{0}}\gamma }/{\mathrm{\Gamma }}_{K^{\pm }\gamma }，因此测量K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的衰变分支比也可以研究SU（3）味对称性破缺。矢量介子的电磁Dalitz衰变过程的衰变振幅和宽度可以通过手征有效拉氏量得到，其中跃迁形状因子（transition form factor，TFF）可以通过VMD模型得到。手征微扰论和VMD模型已经在无味轻矢量介子的电磁Dalitz衰变中得到广泛应用^{［19，20］}。

基于VMD模型，我们给出了K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}衰变的跃迁形状因子，计算了电磁Dalitz衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}\to K\gamma的相对分支比，给出了K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}衰变中双轻子不变质量谱和轻子极角角分布。

1　 K^{\mathrm{*}}\to K{l}^{+}{l}^{-}的微分衰变宽度

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\gamma }^{\mathrm{*}}的有效拉氏量为^［21］

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=g(q^{\mathrm{2}}){ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }({\partial }_{\alpha }{V}_{K^{\mathrm{*}}\beta }{\partial }_{\gamma }{A}_{\delta })P_K（1）

其中，g(q^{\mathrm{2}})是和光子四动量q有关的相互作用顶点的等效耦合常数，{ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }是全反对称张量，V_{K^{\mathrm{*}}}、A和P_K分别是K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})介子场、光子场和K介子场，{\partial }_{\alpha /\gamma }是对逆变坐标x^{\alpha /\gamma }的偏微分\partial /\partial x^{\alpha /\gamma }。根据有效拉氏量（（1）式），K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})、K和{\gamma }^{\mathrm{*}}的相互作用顶点因子是\mathrm{i}g(q^{\mathrm{2}}){ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }{p}_{\alpha }{q}_{\gamma }，其中p是K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})介子四动量。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的衰变振幅为^{［19，20］}

{\mathit{𝒜}}_{Kll}=j_{K^{\mathrm{*}}K}^{\delta }\frac{\mathrm{1}}{q^{\mathrm{2}}}{j}_{l\delta }（2）

其中，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})-K流j_{K^{\mathrm{*}}K}^{\delta }=\mathrm{i}g(q^{\mathrm{2}}){ϵ}^{\alpha \beta \gamma \delta }{p}_{\alpha }{\epsilon }_{p\beta }{q}_{\gamma }，正负轻子流j_{l\delta }=\overline{u}(p_{-})\mathrm{i}{g}_{\mathrm{e}}{\gamma }_{\delta }v(p_{+})，{\epsilon }_p是入射矢量介子K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})的极化矢量，p_{\pm }是正负轻子的四动量，\overline{u}(p_{-})和v(p_{+})分别是两个出射轻子的旋量，电磁相互作用耦合常数g_{\mathrm{e}}=\sqrt[]{\mathrm{4}\mathrm{\pi }\alpha }，{\gamma }_{\delta }是狄拉克\gamma矩阵。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的微分衰变宽度为^［22］

\mathrm{d}{\mathrm{\Gamma }}_{K{l}^{+}{l}^{-}}=

g^{\mathrm{2}}(q^{\mathrm{2}})f\beta (q^{\mathrm{2}}){\lambda }^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}(m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},q^{\mathrm{2}})\Theta ({\theta }^{\mathrm{*}},q^{\mathrm{2}})\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}{\Omega }^{\mathrm{*}}\mathrm{d}\Omega（3）

f=\frac{{g_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}\times {\mathrm{2}}^{\mathrm{9}}{(\mathrm{2}\mathrm{\pi })}^{\mathrm{5}}{m}_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{3}}}（4）

\beta (q^{\mathrm{2}})=\sqrt[]{\mathrm{1}-\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}}/q^{\mathrm{2}}}（5）

\lambda (a,b,c)=a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}ab-\mathrm{2}ac-\mathrm{2}bc（6）

\Theta ({\theta }^{\mathrm{*}},q^{\mathrm{2}})=\frac{(q^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}})(\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{\theta }^{\mathrm{*}}-\mathrm{1})+(\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{q}^{\mathrm{2}})}{(q^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}（7）

其中，m_{K^{\mathrm{*}}}、m_K和m_l分别是K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})、K介子和轻子的质量，极角{\theta }^{\mathrm{*}}是虚光子参照系下带正电轻子出射方向与K介子出射方向的夹角，{\Omega }^{\mathrm{*}}和\Omega分别是虚光子参照系下带正电轻子的立体角和母粒子参照系下K介子的立体角。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的衰变宽度为^［22］

{\Gamma }_{K\gamma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{g^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}{\left|\vec{q}\right|}^{\mathrm{3}}（8）

其中，出射光子的动量大小\left|\vec{q}\right|=\frac{m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}-m_K^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{m}_{K^{\mathrm{*}}}}。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的相对微分衰变宽度为^{［19，20］}

\frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}}{{\Gamma }_{K\gamma }\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}}}=

\frac{{\left|{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(q^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}{g_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{12}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}\beta (q^{\mathrm{2}})\frac{\mathrm{2}{m}_l^{\mathrm{2}}+q^{\mathrm{2}}}{(q^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\left[\frac{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},q^{\mathrm{2}})}{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},\mathrm{0})}\right]}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}（9）

其中，归一化跃迁形状因子^{［19，20］}

{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(q^{\mathrm{2}})=\frac{g(q^{\mathrm{2}})}{g(\mathrm{0})}（10）

跃迁形状因子{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(q^{\mathrm{2}})需要根据模型给出，满足归一化条件：即q^{\mathrm{2}}\to \mathrm{0}时，{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(q^{\mathrm{2}})\to \mathrm{1}。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma关于双轻子不变质量m_{l^{+}{l}^{-}}的相对微分衰变宽度为

\frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}}{{\Gamma }_{K\gamma }\mathrm{d}{m}_{l^{+}{l}^{-}}}=\frac{{\left|{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}{g_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{6}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}\beta (m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{2}})\cdot \frac{\mathrm{2}{m}_l^{\mathrm{2}}+m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{2}}}{m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{3}}}{\left[\frac{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{2}})}{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},\mathrm{0})}\right]}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}（11）

其中，双轻子不变质量m_{l^{+}{l}^{-}}=\sqrt[]{q^{\mathrm{2}}}。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma关于极角{\theta }^{*}的相对微分衰变宽度为

\frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}}{{\Gamma }_{K\gamma }\mathrm{d}{\theta }^{\mathrm{*}}}=\int \frac{{\left|{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(q^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}{g_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{2}\mathrm{\pi })}^{\mathrm{2}}}\beta (q^{\mathrm{2}})\Theta ({\theta }^{*},q^{\mathrm{2}})\cdot {\left[\frac{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},q^{\mathrm{2}})}{\lambda (m_{K^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}},m_K^{\mathrm{2}},\mathrm{0})}\right]}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\mathrm{*}}\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}}（12）

2　 跃迁形状因子

实验上可观测的量包括K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的相对分支比、双轻子的不变质量谱和轻子角分布等。为了得到这些可观测量，我们考虑基于VMD模型的q^{\mathrm{2}}依赖耦合常数^［23］

g_{K^{\mathrm{*}\pm }{K}^{\pm }\gamma }(q^{\mathrm{2}})=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left[g_{K^{\mathrm{*}\pm }\omega K^{\pm }}\frac{g_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}{g}_{\omega \gamma }}{G}_{\omega }(q^{\mathrm{2}})+g_{K^{\mathrm{*}\pm }{\rho }^{\mathrm{0}}{K}^{\pm }}\frac{e}{\mathrm{2}{g}_{{\rho }^{\mathrm{0}}\gamma }}{G}_{{\rho }^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})\right]+g_{K^{\mathrm{*}\pm }\varphi K^{\pm }}\frac{g_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}{g}_{\varphi \gamma }}R{G}_{\varphi }(q^{\mathrm{2}})（13）

g_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}{K}^{\mathrm{0}}\gamma }(q^{\mathrm{2}})=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left[g_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}\omega K^{\mathrm{0}}}\frac{g_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}{g}_{\omega \gamma }}{G}_{\omega }(q^{\mathrm{2}})+g_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}{\rho }^{\mathrm{0}}{K}^{\mathrm{0}}}\frac{e}{\mathrm{2}{g}_{{\rho }^{\mathrm{0}}\gamma }}{G}_{{\rho }^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})\right]+g_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}\varphi K^{\mathrm{0}}}\frac{g_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}{g}_{\varphi \gamma }}R{G}_{\varphi }(q^{\mathrm{2}})（14）

其中，g_{K^{\mathrm{*}}VK}和g_{V\gamma }表示耦合常数，G_V(q^{\mathrm{2}})=\mathrm{1}/\left(\mathrm{1}-q^{\mathrm{2}}/m_V^{\mathrm{2}}-\mathrm{i}{\Gamma }_V/m_V\right)，m_V是矢量介子质量，V={\rho }^{\mathrm{0}}、\omega和\varphi，上下夸克和奇异夸克的质量比值R=\mathrm{0.8}。{\Gamma }_{\omega }和{\Gamma }_{\varphi }是\omega ,\varphi介子的衰变宽度。由于{\rho }^{\mathrm{0}}介子衰变宽度比较宽，{\Gamma }_{{\rho }^{\mathrm{0}}}采用能量依赖的衰变宽度，其表达式为^［24］

{\Gamma }_{{\rho }^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})={\Gamma }_{{\rho }^{\mathrm{0}}}\sqrt[]{\frac{q^{\mathrm{2}}}{m_{{\rho }^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}}{\left(\frac{\mathrm{1}-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}/q^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}/m_{{\rho }^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}\Theta (q^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}})（15）

其中，{\Gamma }_{{\rho }^{\mathrm{0}}}为{\rho }^{\mathrm{0}}介子衰变宽度，m_{\pi }为{\pi }^{\pm }介子质量，\Theta (q^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}})是阶跃函数。

g_{V\gamma }可以通过衰变V\to e^{+}{e}^{-}的衰变宽度得到。衰变V\to e^{+}{e}^{-}的宽度为^［21］

\Gamma \left(V\to e^{+}{e}^{-}\right)=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{\alpha }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}{g}_{V\gamma }^{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{m}_e^{\mathrm{2}}}{m_V^{\mathrm{2}}})\left|{\vec{p}}_e\right|（16）

其中，{\vec{p}}_e表示在矢量介子静止参照系下出射电子的动量。表1为V\to e^{+}{e}^{-}衰变宽度及对应g_{V\gamma }的数值。

g_{K^{\mathrm{*}}VK}与常数g_{VVP}有关^［25］，如g_{VVP}=-\sqrt[]{\mathrm{2}}{g}_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}{\rho }^{\mathrm{0}}{K}^{\mathrm{0}}}=\sqrt[]{\mathrm{2}}{g}_{K^{\mathrm{*}\pm }{\rho }^{\mathrm{0}}{K}^{\pm }}=\sqrt[]{\mathrm{2}}{g}_{K^{\mathrm{*}}\omega K}=g_{K^{\mathrm{*}}\varphi K}等。g_{VVP}可以通过拟合矢量介子或赝标量介子的电磁辐射衰变宽度得到，其最佳拟合结果为-\mathrm{8.17}\pm \mathrm{0.10}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-\mathrm{1}}。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}形状因子分别为

{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}\pm }{K}^{\pm }}(q^{\mathrm{2}})=\mathrm{1.400}{G}_{{\rho }^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})+\mathrm{0.417}{G}_{\omega }(q^{\mathrm{2}})-\mathrm{0.817}{G}_{\varphi }(q^{\mathrm{2}})（17）

{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}\mathrm{0}}{K}^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})=\mathrm{0.778}{G}_{{\rho }^{\mathrm{0}}}(q^{\mathrm{2}})-\mathrm{0.232}{G}_{\omega }(q^{\mathrm{2}})+\mathrm{0.454}{G}_{\varphi }(q^{\mathrm{2}})（18）

跃迁形状因子大小\left|{\mathrm{ℱ}}_{K^{\mathrm{*}}K}(m_{l^{+}{l}^{-}}^{\mathrm{2}})\right|如图1所示。由于归一化条件，跃迁形状因子在低能区的数值相差不大。

3　 相对分支比、不变质量谱和角分布

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的相对分支比需要通过对（9）式的q^{\mathrm{2}}从\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}}到(m_{K^{\mathrm{*}}}-m_K{)}^{\mathrm{2}}的积分得到，即{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}/{\Gamma }_{K\gamma }={\int }_{\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}}}^{(m_{K^{\mathrm{*}}}-m_K{)}^{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{d}{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}/({\mathrm{\Gamma }}_{K\gamma }\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}})\right]\mathrm{d}{q}^{\mathrm{2}}。结果见表2。由于K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}相对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\toK\gamma多了一个电磁相互作用顶点，因此前者的分支比相对后者有一个\alpha \approx \mathrm{1}/\mathrm{137}的因子压低，这与K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}的相对分支比的均值在0.818%左右相符。由于\mu子质量远大于电子质量，并且K^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{892}\right)和K质量接近，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}的相对分支比被相空间压低，这与K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}的相对分支比的均值大约为0.027%相符。带电和中性K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})衰变到同一种轻子末态的相对分支比一致，这满足同位旋对称性的要求。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}和K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}的双轻子不变质量谱可由（11）式得到，分别如图2和图3所示。由图2和图3可知，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}(l=e,\mu )的相对分支比对不同轻子末态随双轻子不变质量的变化谱存在明显差异。由于电子质量非常小，在K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})质心系中，正负电子几乎都沿着K的反冲方向运动，因此K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}中的不变质量谱在m_{e^{+}{e}^{-}}下限处存在峰值。

K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}和K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}的极角角分布可由（12）式得到，分别如图4和图5所示，其中归一化的微分衰变宽度R_{l^{+}{l}^{-}}^{{\theta }^{\mathrm{*}}}=(\mathrm{d}{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}/\mathrm{d}{\theta }^{\mathrm{*}})/{\Gamma }_{K{l}^{+}{l}^{-}}。由图4和图5可知，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\toK{l}^{+}{l}^{-}(l=e,\mu )的归一化的微分衰变宽度关于极角{\theta }^{\mathrm{*}}的分布谱与K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})是否带电无关，但对于不同轻子末态的过程，极角在［1.0，2.0］弧度区间的走势存在明显差异。

4　 结 语

本文研究了电磁Dalitz衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}。在VMD模型的跃迁形状因子下计算了电磁Dalitz衰变K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的相对分支比，给出了双轻子不变质量谱和轻子极角角分布。由于同位旋对称性，中性和带电的K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}相对K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K\gamma的分支比相等。K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{e}^{+}{e}^{-}的相对分支比是(\mathrm{0.818}\pm \mathrm{0.004})\mathrm{\%}，K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{\mu }^{+}{\mu }^{-}的相对分支比是(\mathrm{0.027}\pm \mathrm{0.001})\mathrm{\%}。BESⅢ实验累计采集了100亿J/\psi事例，具备了研究K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\toK{l}^{+}{l}^{-}的能力。未来的STCF实验具备了研究K^{\mathrm{*}}(\mathrm{892})\to K{l}^{+}{l}^{-}的跃迁形状因子的能力。我们的研究为通过K^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{892}\right)的电磁Dalitz衰变研究非微扰QCD及SU（3）味对称破缺程度提供了条件。

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基金资助

国家自然科学基金(U2032114)