{\mathit{\eta }}_{\mathit{c}}\to \mathit{\gamma }{\mathit{l}}^{+}{\mathit{l}}^{-}衰变研究

The Decays of {\mathit{\eta }}_{\mathit{c}}\to \mathit{\gamma }{\mathit{l}}^{+}{\mathit{l}}^{-}

摘要

在有效场理论和几种不同矢量介子主导（vector meson dominance，VMD）模型的基础上，考虑介子波函数尺寸效应，引入量子色动力学（quantum chromodynamics，QCD）因子，研究了{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}的单达利兹衰变；计算了{\eta }_c衰变到\gamma l^{+}{l}^{-}（l=e,\mu）与双光子的相对衰变宽度，给出了相对微分衰变宽度随轻子对l^{+}{l}^{-}的不变质量谱的分布，并估计了区分不同模型需要的{\eta }_c、J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、h_c和B介子事例数。

Abstract

In this paper, based on the effective field theory and several different Vector Meson Dominant (VMD) Models, a quantum chromodynamics (QCD) factor is introduced because of the size effect of meson wave function, and the decays of {\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-} are studied. We calculate the relative decay width of {\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}(l=e,\mu) over {\eta }_c\to \gamma \gamma, and obtain the dependencies of the relative differential decay widths on the invariant mass spectrum distributions of the lepton pairs l^{+}{l}^{-}, and estimate the number of cases of {\eta }_c, J/\psi, \psi (\mathrm{3686}), h_c and B meson needed to distinguish between different models.

Graphical abstract

关键词

赝标量介子 /

{\eta }_{\mathrm{c}}

衰变 / 矢量介子主导（VMD）模型 / 量子色动力学（QCD）因子 / 衰变振幅

Key words

pseudoscalar meson /

{\eta }_c

decay / vector meson dominant (VMD) model / quantum chromodynamics (QCD) factor / decay amplitude

0　 引 言

{\eta }_c（J^{PC}={\mathrm{0}}^{-+}）是粲偶素家族中最轻的粒子和最低阶的S波自旋单态。{\eta }_c自旋为零，故而它不能通过正负电子对湮灭直接产生。{\eta }_c可通过J/\psi、\psi (\mathrm{3686})和h_c的辐射衰变、B介子的衰变及两光子碰撞过程等方式获得^［1~5］。{\eta }_c质量和宽度的实验测量值与{\eta }_c的产生机制、衰变产物等都有关系。截至目前，观测到的{\eta }_c衰变分支比的总和约为\mathrm{63.5}\mathrm{\%}^［6］，尚有大量的{\eta }_c衰变过程未被实验发现，{\eta }_c及其衰变研究充满挑战。

{\eta }_c位于量子色动力学（quantum chromodynamics，QCD）中能区，其辐射衰变过程以电磁过程为主导，也包含强相互作用的修正效应。因此{\eta }_c的辐射衰变过程为人们理解QCD非微扰的本质提供了一个理想的手段。{\eta }_c\to \gamma \gamma是目前唯一已观测到的{\eta }_c辐射衰变过程。{\eta }_c到双光子过程的理论研究手段包括微扰QCD框架下的理论计算与有效场论、非相对论QCD（nonrelativistic QCD，NRQCD）框架下的各种模型理论、格点QCD等^［7~10］。但是{\eta }_c\to \gamma \gamma衰变宽度或分支比的理论预言与当前实验测量值之间还存在差异，最新的格点QCD结果在2个标准差内与当前实验测量的世界平均值保持一致^［6，11］。

单达利兹衰变{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}能为研究强子电磁结构提供重要信息^［12］。辐射衰变{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}可由{\eta }_c\to \gamma {\gamma }^{*}，{\gamma }^{*}\to l^{+}{l}^{-}得到。达利兹衰变中电磁形状因子为虚光子四动量平方的函数，而双光子衰变中电磁形状因子退化为一个常数（即形状因子在零点处的值）。作为中能区的辐射轻子对跃迁，{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程拥有很大的相空间，因而可作为探测{\eta }_c介子的电磁结构、微扰及非微扰QCD效应的敏感探针。此外，{\eta }_c介子的达利兹衰变末态中的光子若为软光子，该过程将成为{\eta }_c介子双轻子衰变的本底^［13］。{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}的研究有利于{\eta }_c介子的双轻子衰变及其中包含的新物理的探寻。

非相对论QCD（NRQCD）模型、微扰QCDI（QCD-inspired）、矢量介子主导（vector meson dominance，VMD）模型可以给出{\eta }_c{\gamma }^{*}\gamma的电磁形状因子，进而给出{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程的衰变分支比均在{\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}数量级，其中VMD模型给出的分支比理论预言较大^［12~16］。考虑到中能区初末态介子空间波函数的尺寸效应，在粲偶素衰变过程中一般会考虑QCD压低因子（以下简称QCD因子）的贡献^［17~20］。赝标量粒子的双光子衰变，例如{\pi }^{\mathrm{0}}\to \gamma \gamma，\sigma \to \gamma \gamma，考虑了规范不变性，并用含四动量平方的高斯函数表征介子波函数的尺寸效应^［21］。

BESⅢ采集了100亿个J/\psi事例^［22］和\mathrm{4.481}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{8}}个\psi (\mathrm{3686})事例^［23］，并且在3.9 GeV到4.42 GeV能量点收集了3 400.1 \mathrm{p}{\mathrm{b}}^{-\mathrm{1}}的e^{+}{e}^{-}碰撞数据^［24］，可通过e^{+}{e}^{-}\to {\pi }^{+}{\pi }^{-}{h}_c过程产生h_c样本^{［25，26］}。J/\psi、\psi (\mathrm{3686})和h_c都可以通过辐射衰变产生{\eta }_c的事例样本，其中h_c\to \mathrm{\gamma }{\eta }_c的衰变分支比约为50%^［6］。超级B介子工厂实验Belle Ⅱ也进入物理取数阶段，目前在{\rm Y}(nS)(n=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})共振态能量及附近数据的积分亮度已达到980 fb^-1，可以用于双光子对撞过程的物理分析，其中大约70%为{\rm Y}(\mathrm{4}S)共振态数据，{\rm Y}(\mathrm{4}S)共振态及略低于其共振态的能量点的数据通常可被用于B介子的衰变研究^{［27，28］}，未来几年Belle Ⅱ将在{\rm Y}(nS)及共振态能量附近取更多数据。这些都为研究{\eta }_c的稀有衰变提供了条件。此外，LHCb也有大量B介子事例亦可用于{\eta }_c的达利兹衰变，尤其是含缪子末态单达利兹过程的研究^［29］。

本文在有效场理论框架下，在VMD模型基础上，考虑介子波函数尺寸效应，将规范不变的QCD因子引入衰变振幅，计算了{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}单达利兹衰变对于{\eta }_c\to \gamma \gamma的相对分支比，并给出末态中轻子对l^{+}{l}^{-}的不变质量分布。文章的第1节介绍了{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}衰变振幅和相对衰变宽度的计算。第2节介绍了VMD模型的形状因子及QCD因子。第3节给出了{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}衰变分支比的计算结果，并给出了相对微分衰变宽度随双轻子不变质量变化的曲线。第4节为总结。

1　 {\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}衰变振幅和宽度

1.1　衰变振幅

稀有辐射衰变{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}又称为{\eta }_c的单达利兹衰变，其末态包括一个光子和一对正负轻子，费曼图及初末态粒子的四动量定义见图1。根据洛伦兹不变性、宇称守恒及规范不变性的要求，{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}的衰变振幅^［30］可以表示为

\begin{array}{l}\mathit{𝒜}({\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-})=F(p^{\mathrm{2}},k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\\ {\epsilon }_{\mu \nu \rho \sigma }\frac{\mathrm{1}}{p^{\mathrm{2}}}{j}^{\mu }(p_{+},s_{+};p_{-},s_{-})p^{\nu }{ϵ}^{\rho }{k}^{\sigma }\end{array}（1）

其中，p_{+}和p_{-}分别是两个轻子的四动量，p=p_{+}+p_{-}是虚光子的四动量，k是光子的四动量，{\epsilon }_{\mu \nu \rho \sigma }是全反对称张量，ϵ是末态光子的极化矢量，s_{+}和s_{-}分别是两个轻子的自旋矢量，F(p^{\mathrm{2}},k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})为形状因子。j^{\mu }描述轻子的带电流。

{\eta }_c的单达利兹衰变过程与其双光子过程的形状因子形式类似，仅动量依赖不同。{\eta }_c\to \gamma \gamma的费曼图及初末态粒子的四动量定义见图2，其衰变振幅^［30］可以表示为

\mathit{𝒜}({\eta }_c\to \gamma \gamma )=F(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}){\epsilon }_{\mu \nu \rho \sigma }{ϵ}_{\mathrm{1}}^{\mu }{p}_{\mathrm{0}}^{\nu }{ϵ}_{\mathrm{2}}^{\rho }{k}_{\mathrm{0}}^{\sigma }（2）

其中{ϵ}_{\mathrm{1}}和{ϵ}_{\mathrm{2}}分别是两个光子的极化矢量，p_{\mathrm{0}}和k_{\mathrm{0}}分别是两个光子的四动量。

利用p_{-}=p-p_{+}，k=P-p，P^{\mathrm{2}}=m_{{\eta }_c}^{\mathrm{2}}，并对末态轻子自旋和光子极化求和，得到{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程衰变振幅的平方

\begin{array}{l}{\left|\mathit{𝒜}({\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-})\right|}^{\mathrm{2}}=\\ e^{\mathrm{2}}{\left|F(s,k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}s}(m_{{\eta }_c}^{\mathrm{2}}{-s)}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\beta }_p^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_p)\end{array}（3）

其中，e为是荷，{\theta }_p是l^{+}{l}^{-}静止参照系下l^{+}三维动量的极角（\mathrm{0}\le {\theta }_p\le \mathrm{\pi }，{\eta }_c静止时虚光子的飞行方向为z轴方向），m_{{\eta }_c}是{\eta }_c的质量，m_l是轻子的质量，s=p^{\mathrm{2}}是虚光子四动量的平方，{\beta }_p=\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{4}{m}_l^{\mathrm{2}}}{s}}。

同理，对末态光子极化求和得到双光子衰变振幅的平方为

{\left|\mathit{𝒜}({\eta }_c\to \gamma \gamma )\right|}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\left|F(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}{m}_{{\eta }_c}^{\mathrm{4}}（4）

1.2　衰变宽度

二体和三体衰变的微分宽度公式分别为^［6］：

\mathrm{d}\Gamma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{𝒜}\right|}^{\mathrm{2}}\frac{\left|{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}\right|}{m^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}\Omega（5）

\mathrm{d}\Gamma =\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{2}\mathrm{\pi })}^{\mathrm{5}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}{m}^{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{𝒜}\right|}^{\mathrm{2}}\left|{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}^{*}\right|\left|{\mathit{p}}_{\mathrm{3}}\right|\mathrm{d}{m}_{\mathrm{12}}\mathrm{d}{\Omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\mathrm{d}{\Omega }_{\mathrm{3}}（6）

其中\mathit{𝒜}是振幅，{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}是末态粒子1的三维动量，\mathrm{d}\Omega是末态粒子1的立体角，m是母粒子的质量，{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}^{*}和\mathrm{d}{\Omega }_{\mathrm{1}}^{*}分别是末态粒子1在末态粒子1和2静止坐标系下的三维动量及立体角，{\mathit{p}}_{\mathrm{3}}是末态粒子3的三维动量，m_{\mathrm{12}}是末态粒子1和2的不变质量，\mathrm{d}{\Omega }_{\mathrm{3}}是末态粒子3的立体角。

单达利兹衰变与双光子衰变的相对微分衰变宽度可以通过对{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}与{\eta }_c\to \gamma \gamma的微分宽度的立体角积分并计算它们的比值得到

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}{{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma \gamma }\mathrm{d}{m}_{\mathrm{12}}}=\frac{\mathrm{2}\alpha }{\mathrm{3}\mathrm{\pi }{m}_{{\eta }_c}^{\mathrm{6}}}(\mathrm{3}-{\beta }_p^{\mathrm{2}}){\beta }_p\cdot \\ \frac{{\left|F(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}},k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|F(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}}\frac{(m_{{\eta }_c}^{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{m_{\mathrm{12}}}\end{array}（7）

其中\alpha =\frac{e^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}是精细结构常数^［30］，m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}=s。

2　 形状因子

电磁形状因子揭示了强子内部荷与流的分布信息，对于研究强子结构及其相互作用非常重要。不同的形状因子模型将影响跃迁过程的分支比、末态粒子的不变质量谱及角分布等。强子领域的高精度测量对形状因子的理论研究也提出需求，并有可能甄别不同的理论模型的有效性。

中性轻赝标量介子的双光子形状因子在理论上已有广泛的研究，在实验上也进行了大量的测量^［31~35］，而近期美国费米国家实验室进行的缪子反常磁矩实验结果进一步增强了人们对该问题的研究热情^［36］。唯象理论的VMD模型将局域规范不变性扩展到强子世界，利用矢量介子与光子混合作为媒介子传递强子间的电磁相互作用，实现了强子类点行为偏离的参数化，在描述赝标量介子形状因子并预言手征微扰理论的低能常数上取得了巨大的成功。轻的中性赝标量介子的双光子形状因子可以被不同VMD模型，如隐规模型（hidden gauge model，HGM）以及修正VMD模型（modified VMD，MVMD）等来描述。双光子衰变和达利兹衰变的VMD形状因子满足{\mathrm{ℳ}}_{{\eta }_c}(s,k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})={\mathrm{ℳ}}_{{\eta }_c}(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})F_{{\eta }_c\gamma }(s)，其中F_{{\eta }_c\gamma }(s)是VMD因子^［30］。矢量介子主导的P\gamma {\gamma }^{*}单极点VMD因子可以表述为^［31］

F_{{\eta }_c\gamma }(s)=\mathrm{1}-c_{\mathrm{3}}+c_{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\frac{s}{m_V^{\mathrm{2}}}-i\frac{{\Gamma }_V(s)}{m_V}}（8）

式中，c_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}时为隐规模型，c_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.93}时为修正VMD模型^［28］。{\Gamma }_V(s)是矢量介子V的能量依赖宽度^［31］

{\Gamma }_V(s)=g_{m_V}{\left(\frac{s}{m_V^{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left(\frac{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}}{s}}{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}}{m_V^{\mathrm{2}}}}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\Theta (s-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}）（9）

其中，g_{m_V}是质量为m_V的矢量介子的衰变宽度，\Theta (s-\mathrm{4}{m}_{\pi }^{\mathrm{2}}）是阶跃函数，m_{\pi }是\pi介子的质量，在轻赝标量介子衰变中多采用\rho介子主导的形式。

VMD模型也被推广到基态赝标量粲偶素{\eta }_c的双光子形状因子，如文献［12］采用了J/\psi介子和\rho介子主导的零宽度双极点电磁跃迁形状因子

F(s)=\pm \left|F(\mathrm{0})\right|\frac{m_{\rho }^{\mathrm{2}}{m}_{J/\psi }^{\mathrm{2}}}{m_{J/\psi }^{\mathrm{2}}-m_{\rho }^{\mathrm{2}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{s-m_{\rho }^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{s-m_{J/\psi }^{\mathrm{2}}}\right)（10）

L3合作组^［37］通过实验验证了{\eta }_c的双光子形状因子采用单极点VMD模型时J/\psi介子比\rho介子能更好地描述实验数据；BaBar合作组^［38］测量了{\eta }_c单极点形状因子\left|F(Q^{\mathrm{2}})/F(\mathrm{0})\right|=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+Q^{\mathrm{2}}/\Lambda }，其中参数\Lambda =(\mathrm{8.5}\pm \mathrm{0.6}\pm \mathrm{0.7})GeV²，即对应的VMD模型单极点矢量介子质量为2.92 GeV，接近J/\psi介子质量。

本文考虑了两种不同的有宽度矢量介子主导情况：一种是J/\psi介子主导的单极点VMD因子^{［30，31，39］}，其表达式如下

F_{{\eta }_c\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}(s)=\mathrm{1}-c_{\mathrm{3}}+c_{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\frac{s}{m_V^{\mathrm{2}}}-i\frac{{\Gamma }_V(s)}{m_V}}（11）

另一种是J/\psi介子和\rho介子主导的双极点VMD因子，其表达式如下^{［12，18，39］}

F_{{\eta }_c\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{P}}(s)=\mathrm{1}-c_{\mathrm{3}}+c_{\mathrm{3}}\frac{m_{V_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{m}_{V_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}{m_{V_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-m_{V_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}\times \left(\frac{\mathrm{1}/m_{V_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-\frac{s}{m_{V_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}-i\frac{{\Gamma }_{V_{\mathrm{1}}}(s)}{m_{V_{\mathrm{1}}}}}-\frac{\mathrm{1}/m_{V_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-\frac{s}{m_{V_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}-i\frac{{\Gamma }_{V_{\mathrm{2}}}(s)}{m_{V_{\mathrm{2}}}}}\right)（12）

介子波函数的尺寸效应一般用与四动量平方相关联的指数函数表示，其表达式如下^［21］

\mathrm{ℱ}(s)={\mathrm{e}}^{-s/{\Lambda }_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{2}}}（13）

其中{\Lambda }_{\mathrm{Q}}是尺寸参数，取值范围是\mathrm{0.7}~\mathrm{1.5} GeV^［21］。

本文同时考虑了VMD形状因子和QCD因子，因此（7）式中的形状因子\frac{{\left|F(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}},k^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|F(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},k_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}}可写为\frac{{\left|F_{{\eta }_c\gamma }(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}{\left|\mathrm{ℱ}(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|\mathrm{ℱ}(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})\right|}^{\mathrm{2}}}，双光子过程QCD因子\mathrm{ℱ}(p_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0})=\mathrm{1}。单达利兹衰变与双光子衰变的相对微分衰变宽度为

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}{{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma \gamma }\mathrm{d}{m}_{\mathrm{12}}}=\frac{\mathrm{2}\alpha }{\mathrm{3}\mathrm{\pi }{m}_{{\eta }_c}^{\mathrm{6}}}(\mathrm{3}-{\beta }_p^{\mathrm{2}}){\beta }_p\cdot \\ {\left|F_{{\eta }_c\gamma }(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}{\left|\mathrm{ℱ}(m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}})\right|}^{\mathrm{2}}\frac{(m_{{\eta }_c}^{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{m_{\mathrm{12}}}\end{array}（14）

不同VMD模型下{\eta }_c单达利兹衰变过程相对于双光子衰变过程的相对分支比可通过将相应的形状因子表达式代入上式并对虚光子四动量的平方进行积分得到。

3　 结果分析

本节给出有宽度的单极与双极、隐规与修正VMD以及考虑QCD因子的不同情况下，{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程相对于{\eta }_c\to \gamma \gamma过程的衰变分支比，比较不同VMD模型的结果，并与其他理论结果作对比，如表1所示。在数值计算中，所有的粒子的质量和宽度都来自于粒子数据组（particle data group，PDG）^［6］。在其他条件相同的情况下，隐规模型给出的理论计算结果略大于修正VMD模型的计算结果，对于单极点的情况，差别小于2%（表1第6行和第8行），而对于双极点的情况差别小于12%（表1第7行和第9行）。单极点计算结果（表1中第6行和第8行）与NRQCD及QCDI理论的计算结果（表1第1行、第3到5行）比较接近，而有宽度的双极点结果（表1第7行，第9行）与文献［12］中的零宽度双极点VMD模型结果（表1第2行）接近。整体上末态含电子对的达利兹过程，双极点VMD模型计算的分支比结果为单极点VMD模型计算结果的2倍左右，而末态含缪子对的过程，双极点VMD结果大概为单极点结果的3~5倍，这是形状因子中\rho介子极点的贡献带来的显著区别。另外，考虑QCD因子会降低相对分支比的结果，对于含电子对过程，QCD因子会将分支比结果降低10%到20%，而对于含缪子对的过程会降低30%到45%。这是因为QCD因子对高动量有压低效应。

根据表1的结果，本文预测了5倍标准偏差（5\sigma）内区分不同的模型需要的{\eta }_c的事例数，以及需要的J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、h_c和B介子事例数。{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}的遍举信号事例数近似满足高斯分布，故

\frac{\sigma }{\mu }=\frac{\sqrt[]{N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}}{N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}(15)

其中，\mu为{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}衰变分支比，\sigma为其测量结果的标准偏差，N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}为信号事例数。{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}的遍举事例数N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}为

N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}=\frac{{\mu }^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}（16）

{\eta }_c的单举事例数N_{{\eta }_c}为

N_{{\eta }_c}=\frac{N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}{\mathrm{ℬ}({\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-})}（17）

假设{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}两种模型的衰变分支比为{\mu }_{\mathrm{1}}和{\mu }_{\mathrm{2}}，则\sigma的值为\frac{\left|{\mu }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{2}}\right|}{\mathrm{5}}，结合分支比的计算公式可以得到M(J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、h_c、B介子)事例数为

N_M=\frac{\mathrm{1}}{\epsilon \mathrm{ℬ}(M\to {\eta }_{c}X)}\bullet \frac{N_{{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}}}{\mathrm{ℬ}({\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-})}（18）

上式中\epsilon是探测效率，取30%^［40］，\mathrm{ℬ}(M\to {\eta }_{c}X)、\mathrm{ℬ}({\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-})是衰变分支比，M\to {\eta }_{c}X表示J/\psi \to \gamma {\eta }_c、\psi (\mathrm{3686})\to \gamma {\eta }_c、h_c\to \gamma {\eta }_c和B\to {\eta }_c{K}^{+}。

本文以{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}为例给出了区分单极点和双极点模型以及考虑和不考虑QCD因子所需要的{\eta }_c的事例数以及J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、h_c和B介子母粒子事例数，结果见表2和表3，其中QCD因子中的尺寸参数{\Lambda }_{\mathrm{Q}}取\mathrm{1.5} GeV。

{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}相对双光子衰变的微分衰变宽度随末态粒子中的正负轻子对不变质量变化谱见图3~6。单极点VMD条件下，隐规模型和VMD修正模型对{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}过程的微分衰变宽度关于正负电子对不变质量谱的预言几乎相同，且相对衰变宽度主要集中在正负电子对质量谱的低质量区，如图3所示。双极点VMD条件下，隐规模型和VMD修正模型在低能区性能相同，在\rho介子质量附近修正VMD的结果略小于隐规模型的结果，如图4所示。图4和图6显示在双极点VMD条件下，在770 MeV附近出现了明显的峰值，这代表了VMD模型中矢量介子\rho的贡献。如图5和图6所示，{\eta }_c\to \gamma {\mu }^{+}{\mu }^{-}过程缪子对不变质量谱在单极点条件下隐规模型和修正模型也几乎相同，双极点条件下隐规模型的结果大于修正VMD模型的结果。双极点VMD模型下缪子对不变质量分布与单极点情况有非常明显的区别，单极点情况下双轻子不变质量分布主要集中在低质量区而双极点结果则集中于\rho介子质量附近。对于{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}过程，由于单极点VMD模型下的双轻子不变质量谱集中在20 MeV以内，QCD因子对不变质量谱分布几乎没有影响。但是对于{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}过程的双极点VMD模型和{\eta }_c\to \gamma {\mu }^{+}{\mu }^{-}过程，考虑QCD因子后的双轻子不变质量谱被明显压低，并且{\Lambda }_{\mathrm{Q}}的值越小压低效应越明显。

\mathrm{R}\mathrm{B}\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma \gamma }}\times \frac{\mathrm{d}{\Gamma }_{{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}}}{\mathrm{d}{m}_{e^{+}{e}^{-}}}

4　 结 语

本文在有效场下，以VMD模型为基础，考虑了介子波函数尺寸效应并引入QCD因子，研究了{\eta }_c的单达利兹衰变{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程；计算出了不同形状因子情况下{\eta }_c\to \gamma l^{+}{l}^{-}过程相对于{\eta }_c\to \gamma \gamma过程的衰变分支比，并给出了双轻子不变质量谱的分布；还以{\eta }_c\to \gamma e^{+}{e}^{-}为例，估算了区分单极点和双极点以及区分不考虑QCD因子和考虑QCD因子在实验上需要的{\eta }_c的事例数以及J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、h_c和B介子等的事例数。由于矢量介子极点\rho的贡献，整体上双极点VMD模型的预言明显大于单极点VMD模型的预言，单极点与双极点模型下不变质量分布也有着显著的差别。在其他条件相同的情况下，隐规模型的结果略大于修正VMD模型的结果。由于QCD因子的高动量压低效应，考虑QCD因子的结果明显小于不考虑QCD因子的结果，并且{\Lambda }_{\mathrm{Q}}的值越小压低效应越明显。BESⅢ、Belle Ⅱ、LHCb等合作组采集了大量的J/\psi、\psi (\mathrm{3686})、e^{+}{e}^{-}碰撞、B介子及双光子碰撞数据有望从实验上测量{\eta }_c的单达利兹衰变，我们希望本次研究可以为实验测量{\eta }_c的单达利兹衰变提供指导。

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基金资助

国家自然科学基金(U2032114)