带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程解的存在性

Existence of Solutions for Conformable Fractional Langevin Equation with Integral Boundary Conditions

摘要

运用Banach压缩映像原理、Leray-Schauder非线性抉择、Krasnoselskii’s不动点定理和Schaefer不动点定理，讨论带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程解的存在性，并举例说明所得结果的适用性。

Abstract

By utilizing Banach contraction mapping principle, Leray-Schauder’s nonlinear alternative, Krasnoselskii’s fixed point theorem and Schaefer fixed point theorem, we discussed the existence of solutions for conformable fractional Langevin equation with integral boundary conditions, and gave some examples to illustrate the applicability of the results obtained.

关键词

一致分数阶导数 / Langevin 方程 / 积分边值问题 / 不动点定理

Key words

conformable fractional derivative / Langevin equation / integral boundary value problems / fixed point theorem

0　 引 言

Langevin方程^［1］是用于描述波动环境下物理现象变化的重要工具。随着分数阶微积分的迅速发展，1995年，Mainardi等^［2］提出了分数阶Langevin方程。此后，许多学者运用Banach压缩映像原理、Krasnoselskii’s不动点定理、Schaefer不动点定理和Leray-Schauder度理论等非线性方法研究了分数阶Langevin方程解的存在性和唯一性，主要工作参见文献［3~7］。但以上工作讨论的分数阶Langevin方程大部分是在Riemann-Liouville或Caputo定义下的，很少有文章讨论某种新定义下的分数阶Langevin方程。2014年，Khalil等^［8］提出了一种与整数阶导数相兼容的分数阶导数的定义，与其他定义不同的是，这个新定义下的分数阶导数不仅满足两个函数的乘积和商的导数公式，还具有更简单的复合函数求导的链式法则。此外，其在牛顿力学^［9］、量子力学^［10］、任意时间尺度问题^［11］、混沌系统^［12］、随机过程^［13］、扩散迁移^［14~16］等多个领域应用广泛。

2015年，Thaiprayoon等^［17］运用Banach压缩映像原理、Krasnoselskii’s不动点定理、Leray-Schauder非线性抉择和Leray-Schauder度理论研究了如下带有非局部Katugampola分数阶积分条件的分数阶Langevin 方程

解的存在唯一性。其中，D^{p_i}为标准的Riemann-Liouville分数阶导数，\le \mathrm{2},\lambda是给定的常数，{}_{}{}^{{\rho }_i}{I}^{q_i}是q_i,{\rho }_i>\mathrm{0}阶Katugampola分数阶积分，\eta ,{\xi }_i\in \left(\mathrm{0},T\right),{\alpha }_i\in \mathbb{R}\mathrm{。}

2018年，Zhang等^［18］运用锥拉伸不动点定理得到了如下带积分边界条件的一致分数阶微分方程

正解的存在性。其中，\alpha \in \left(\mathrm{1,2}\right],T_{\alpha }u\left(t\right)表示函数u\left(t\right)的\alpha阶一致分数阶导数，f:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)是连续函数。

受以上工作的启发，本文主要运用Banach压缩映像原理、Leray-Schauder非线性抉择、Krasnoselskii’s 不动点定理和Schaefer不动点定理讨论如下带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程

（1）

解的存在唯一性。其中T_{\alpha }和T_{\beta }为一致分数阶导数，\lambda\mathrm{和}\mu是常数，f:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}是连续函数。

1　 预备知识

定义1^［8］ 设\alpha \in \left(n,n+\mathrm{1}\right],函数f:\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \mathbb{R}，则f 的\alpha阶一致分数阶微分定义为

T_{\alpha }f\left(t\right)=\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f^{(⌊\alpha ⌋-\mathrm{1})}\left(t+\epsilon t^{⌊\alpha ⌋-\alpha }\right)-f^{{}^{(⌊\alpha ⌋-\mathrm{1})}}\left(t\right)}{\epsilon }（2）

常用f^{(\alpha )}表示。其中⌊\alpha ⌋表示大于等于\alpha的最小整数。

特别地，在本文中当\alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right]时，f 的\alpha阶一致分数阶微分为

T_{\alpha }f\left(t\right)=\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f\left(t+\epsilon t^{\mathrm{1}-\alpha }\right)-f\left(t\right)}{\epsilon },t>\mathrm{0}（3）

注1 一致分数阶导数满足整数阶导数的和、差、积、商的求导法则，并且还有如下性质

T_{\alpha }f\left(t\right)=t^{{}^{⌊\alpha ⌋-\alpha }}{f}^{\left(⌊\alpha ⌋\right)}\left(t\right)（4）

其中，\alpha \in \left(n,n+\mathrm{1}\right],f 是n+\mathrm{1}阶可微的。

定义2^［19］ 设\alpha \in \left(n,n+\mathrm{1}\right],函数f:[\mathrm{0},\mathrm{\infty })\to \mathbb{R},则f的\alpha阶一致分数阶积分定义为

I_{\alpha }f\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{n!}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\left(t-s\right)}^n{s}^{\alpha -n-\mathrm{1}}f\left(s\right)\mathrm{d}s（5）

引理1^［19］ 设\alpha \in \left(n,n+\mathrm{1}\right],函数f在\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)上连续，则

T_{\alpha }{I}_{\alpha }f\left(t\right)=f\left(t\right)（6）

引理2^［19］ 设\alpha \in \left(n,n+\mathrm{1}\right],T_{\alpha }f\left(t\right)在\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)上连续，则

I_{\alpha }{T}_{\alpha }f\left(t\right)=f\left(t\right)+c_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}t+\cdots +c_n{t}^n（7）

其中，c_i\in \mathbb{R},i=\mathrm{1},\dots ,n\mathrm{。}

引理3 设h\left(t\right)\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],\mathbb{R}\right),则带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程

（8）

与下面的积分方程等价

u\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s+t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s\right]（9）

证 由引理2可得

u\left(t\right)=I_{\alpha }{I}_{\beta }h\left(t\right)-\lambda I_{\alpha }u\left(t\right)+I_{\alpha }{c}_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}

其中c_{\mathrm{0}},c_{\mathrm{1}}\in \mathbb{R}\mathrm{。}由边界条件u\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，知c_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},则

u\left(t\right)=I_{\alpha }{I}_{\beta }h\left(t\right)-\lambda I_{\alpha }u\left(t\right)+\frac{c_{\mathrm{0}}}{\alpha }{t}^{\alpha }（10）

再利用边界条件u\left(\mathrm{1}\right)=\mu {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\left(t\right)\mathrm{d}t,可得

c_{\mathrm{0}}=\alpha {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s（11）

把常数c_{\mathrm{0}}代入（10）式，可得

u\left(t\right)=I_{\alpha }{I}_{\beta }h\left(t\right)-\lambda I^{\alpha }u\left(t\right)+t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s\right]

即

u\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s+t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)h\left(s\right)\mathrm{d}s\right]

2　 主要结论

设E=C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],\mathbb{R}\right)是\left[\mathrm{0,1}\right]上所有的连续函数按范数‖u‖=\underset{t\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u\left(t\right)\right|构成的Banach空间。定义积分算子\mathrm{Q}:E\to E如下

\begin{array}{l}\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s+\\ t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right]\end{array}（12）

则积分边值问题（1）可以转化为不动点问题u=\mathrm{Q}u,当算子\mathrm{Q}存在不动点时，积分边值问题（1）有解。

下面，主要利用各种不动点定理来研究积分边值问题（1）的解的存在性。为了方便，引入以下记号

{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}},{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\beta \left(\alpha +\beta \right)},{\Lambda }_{\mathrm{3}}=\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }，

2.1　运用Banach压缩映像原理和Hölder’s不等式证明存在唯一解

定理1 假设以下条件成立：

（H₁） f:\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}是连续函数；

（H₂） 存在函数\delta \left(t\right)\in L^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\left(\left[\mathrm{0,1}\right],{\mathbb{R}}^{+}\right)，使得对\forall t\in \left[\mathrm{0,1}\right],任取u,v\in \mathbb{R},有\left|f\left(t,u\right)-f\left(t,v\right)\right|\le \delta \left(t\right)\left|u-v\right|,若

（13）

其中‖\delta ‖={\left({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\delta }^{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，则积分边值问题（1）存在唯一解。

证 首先，设并选择

R\ge \frac{M{\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-‖\delta ‖{\Lambda }_{\mathrm{1}}-{\Lambda }_{\mathrm{3}}}(14)

下面证明\mathrm{Q}\left(B_R\right)\subset B_R,其中B_R=\left\{u\in E:‖u‖\le R\right\}\mathrm{。}对\forall u\in B_R,有

\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left(\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,\mathrm{0}\right)\right|+\left|f\left(s,\mathrm{0}\right)\right|\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\right.\left.+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left(\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,\mathrm{0}\right)\right|+\left|f\left(s,\mathrm{0}\right)\right|\right)\mathrm{d}s\right]\le

\begin{array}{l}\frac{‖u‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\delta \left(s\right)\mathrm{d}s+\frac{M}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+\\ t^{\alpha }\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s\right.\left.+\frac{‖u‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\delta \left(s\right)\mathrm{d}s+\frac{M}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right]\le \end{array}

\frac{‖u‖}{\alpha }{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\left(t^{\alpha }{s}^{\beta -\mathrm{1}}-s^{\alpha +\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\delta }^{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{M}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha +\beta }+t^{\alpha }\left[\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u‖+\right.

\left.\frac{‖u‖}{\alpha }{\left({{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(s^{\beta -\mathrm{1}}-s^{\alpha +\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\delta }^{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{M}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\right]\le

\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u‖t^{\alpha +\beta -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{M}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha +\beta }+

\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u‖t^{\alpha }+\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u‖t^{\alpha }+\frac{M}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha }\le

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u‖+\frac{\mathrm{2}M}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}+\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u‖\le \\ {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖\delta ‖R+M{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}}R \end{array}

则‖\mathrm{Q}u‖\le R\mathrm{。}因此，算子\mathrm{Q}将B_R中的有界子集映射为B_R的有界子集。

最后，证明算子\mathrm{Q}是压缩映射。任取u,v\in E,对\forall t\in \left[\mathrm{0,1}\right],有

\begin{array}{l}\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)-\left(\mathrm{Q}v\right)\left(t\right)\right|\le \\ \frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+\end{array}

t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\right.\left.+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖u-v‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\delta \left(s\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|‖u-v‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

\left.t^{\alpha }\left[‖u-v‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s\right.+\frac{‖u-v‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\delta \left(s\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖u-v‖}{\alpha }{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\left(t^{\alpha }{s}^{\beta -\mathrm{1}}-s^{\alpha +\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\delta }^{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\frac{\left|\lambda \right|‖u-v‖}{\alpha }{t}^{\alpha }+

t^{\alpha }\left[\left(\left|\mu \right|+\frac{\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u-v‖+\frac{‖u-v‖}{\alpha }{\left({{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(s^{\beta -\mathrm{1}}-s^{\alpha +\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\delta }^{\mathrm{2}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]\le

\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u-v‖t^{\alpha +\beta -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u-v‖t^{\alpha }+

\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u-v‖t^{\alpha }\le

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}‖\delta ‖‖u-v‖+\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u-v‖\le \\ \left({\Lambda }_{\mathrm{1}}‖\delta ‖+{\Lambda }_{\mathrm{3}}\right)‖u-v‖\end{array}

则‖\mathrm{Q}u-\mathrm{Q}v‖\le \left({\Lambda }_{\mathrm{1}}‖\delta ‖+{\Lambda }_{\mathrm{3}}\right)‖u-v‖\mathrm{。}因为所以算子\mathrm{Q}是压缩映射。因此，由Banach压缩映像原理知算子\mathrm{Q}有唯一的不动点，故积分边值问题（1）有唯一解。

2.2　运用 Leray-Schauder 非线性抉择证明解的存在性

引理4^［17］ 设E是Banach空间，C\subset E为凸闭集，U是相对于C的开集且\mathrm{0}\in U,若\mathrm{Q}:\overline{U}\to E是一个全连续算子，且\mathrm{Q}\left(\overline{U}\right)有界，则

（C1） \mathrm{Q}在\overline{U}中存在一个不动点；或

（C2） 存在u\in \partial U和\gamma \in \left(\mathrm{0,1}\right),使得u=\gamma Tu \mathrm{。}

定理2 假设条件（H₁）成立，以下条件也成立：

（H₃） 存在连续非减函数\phi \left(t\right):\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \left(\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)和函数r\left(t\right)\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],{\mathbb{R}}^{+}\right),使得\forall \left(t,u\right)\in\left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathbb{R}有

\left|f\left(t,u\right)\right|\le r\left(t\right)\phi \left(\left|u\right|\right)（15）

（H₄） 存在常数M>\mathrm{0},使得

\frac{M}{‖r‖\phi \left(M\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+M{\Lambda }_{\mathrm{3}}}>\mathrm{1}（16）

其中‖r‖=\underset{\mathrm{0}\le t\le \mathrm{1}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|r\left(t\right)\right|,则积分边值问题（1）至少有一个解。

证 由算子\mathrm{Q}的定义和f\left(t,u\left(t\right)\right)的连续性，容易证明\mathrm{Q}是连续的。

首先，证明\mathrm{Q}把E中的有界集映为有界集。对任意的常数R>\mathrm{0}，设B_R=\left\{u\in \right.E:\left.‖u‖\le R\right\}是E中的有界闭球，则对\forall t\in \left[\mathrm{0,1}\right],有

\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s+\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha +\beta }+\frac{\left|\lambda \right|‖u‖}{\alpha }{t}^{\alpha }+‖u‖\left(\left|\mu \right|+\frac{\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)t^{\alpha }+\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha }\le

‖r‖\phi \left(R\right)\frac{\mathrm{2}}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}+R\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)=‖r‖\phi \left(R\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+R{\Lambda }_{\mathrm{3}}

因此，

‖\mathrm{Q}u‖\le ‖r‖\phi \left(R\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+R{\Lambda }_{\mathrm{3}}（17）

下面证明\mathrm{Q}是等度连续的，对任意的u\in B_R,t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}}\in \left[\mathrm{0,1}\right],，有

\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\le

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+

\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\right.\left.+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\alpha }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right|+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s+\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha +\beta }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha +\beta }\right)+\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u‖\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)+\frac{‖r‖\phi \left(‖u‖\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\le

\frac{‖r‖\phi \left(R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha +\beta }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha +\beta }\right)+{\Lambda }_{\mathrm{3}}R\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)+\frac{‖r‖\phi \left(R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)

即当t_{\mathrm{1}}\to t_{\mathrm{2}}时，\left|\mathrm{Q}u\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\mathrm{Q}u\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\to \mathrm{0}\mathrm{。}由Arzelá-Ascoli定理可知，\mathrm{Q}是相对紧的，从而\mathrm{Q}:E\to E是一个全连续算子。

设u是积分边值问题（1）的一个解，则对于t\in \left[\mathrm{0,1}\right]，类似于前面的方法，可得

‖u\left(t\right)‖\le ‖r‖\phi \left(‖u‖\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+‖u‖{\Lambda }_{\mathrm{3}}

即

\frac{‖u‖}{‖r‖\phi \left(‖u‖\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+‖u‖{\Lambda }_{\mathrm{3}}}\le \mathrm{1}（18）

由条件（H₃）知，存在常数M使得‖u‖\ne M \mathrm{。}设因为算子\mathrm{Q}:{\overline{B}}_M\to E是全连续的，从B_M的选择来看，对于某个\gamma \in \left(\mathrm{0,1}\right)，不存在u\in \partial B_M使得u=\gamma \mathrm{Q}u。由引理4知，算子\mathrm{Q}至少有一个不动点u\in {\overline{B}}_M，故积分边值问题（1）至少有一个解。

2.3　运用 Krasnoselskii’s 不动点定理证明解的存在性

引理5^［20］ （Krasnoselskii’s不动点定理）设D是Banach空间E中的非空有界凸闭集，A、B是两个算子， 满足：（a） 对\forall u,v\in D有\mathrm{A}u+\mathrm{B}v\in D；（b） A是一个全连续算子；（c） \mathrm{B}是压缩映射，则存在z\in D,使得z=\mathrm{A}z+\mathrm{B}z\mathrm{。}

定理3 假设条件（H₁）成立，以下条件也成立：

（H₅） 存在函数\psi \left(t\right)\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],{\mathbb{R}}^{+}\right)，使得对\forall \left(t,u\right)\in \left(\left[\mathrm{0,1}\right],\mathbb{R}\right)有

\left|f\left(t,u\right)\right|\le \psi \left(t\right)

若

（19）

则积分边值问题（1）至少有一个解。

证 设\underset{t\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|\psi \left(t\right)\right|=‖\psi ‖,B_R=\left\{u\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],\mathbb{R}\right):‖u‖\le R\right\},并选择

R\ge \frac{{\Lambda }_{\mathrm{2}}‖\psi ‖}{\mathrm{1}-{\Lambda }_{\mathrm{3}}}（20）

在B_R上定义两个算子{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}和{\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}，如下

\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u\right)\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right) f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-\frac{t^{\alpha }}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s（21）

\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}u\right)\left(t\right)=-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s+t^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s,t\in \left[\mathrm{0,1}\right]（22）

则对\forall u,v\in B_R,有

\left|\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u\right)\left(t\right)+\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}v\right)\left(t\right)\right|=\left|\frac{\mathrm{1}}{\alpha }\right.{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-\frac{t^{\alpha }}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-

\left.\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}v\left(s\right)\mathrm{d}s+t^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right) v\left(s\right)\mathrm{d}s\right|\le

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{t^{\alpha }}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+

\left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+t^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\le

\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{t}^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+

\left|\lambda \right|‖v‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+‖v‖t^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s\le

\frac{\mathrm{2}‖\psi ‖}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha }+‖v‖\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)t^{\alpha }\le {\Lambda }_{\mathrm{2}}‖\psi ‖+R{\Lambda }_{\mathrm{3}}\le R

因此‖{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u+{\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}v‖\le R,即{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u+{\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}v\in B_R \mathrm{。}

对\forall t\in \left[\mathrm{0,1}\right],u,v\in E,有

\left|\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}u\right)\left(t\right)-\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}v\right)\left(t\right)\right|\le \left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+t^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\le

\frac{\left|\lambda \right|}{\alpha }‖u-v‖t^{\alpha }+\left(\left|\mu \right|+\frac{\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)‖u-v‖t^{\alpha }\le {\Lambda }_{\mathrm{3}}‖u-v‖

由（19）式知{\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}是压缩映射。

由f的连续性知，{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}是连续算子。对\forall u\in B_R,有

\left|\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{t^{\alpha }}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\le

\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{t}^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\le \frac{‖\psi ‖}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha +\beta }+\frac{‖\psi ‖}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha }\le {\Lambda }_{\mathrm{2}}‖\psi ‖

则{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}在B_R上一致有界。

下面证明{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}是紧算子。设对\forall u\in B_R,t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}}\in \left[\mathrm{0,1}\right],有

\left|\left(Q_{\mathrm{1}}u\right)\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\left(Q_{\mathrm{1}}u\right)\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\alpha }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s+{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right|+

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right|\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\le

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\le

\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\frac{‖\psi ‖}{\alpha }{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\frac{‖\psi ‖}{\alpha }\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right){\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\le

\frac{‖\psi ‖}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha +\beta }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha +\beta }\right)+\frac{‖\psi ‖}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)

即当t_{\mathrm{1}}\to t_{\mathrm{2}}时，\left|\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u\right)\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\left({\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}u\right)\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\to \mathrm{0} \mathrm{。}因此，算子{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}是等度连续的。由Arzelá-Ascoli定理可知，{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}是相对紧的，从而{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}:E\to E是一个全连续算子。

综上，算子{\mathrm{Q}}_{\mathrm{1}}\mathrm{和}{\mathrm{Q}}_{\mathrm{2}}满足引理5的所有条件，故积分边值问题（1）至少有一个解。

2.4　运用 Schaefer 不动点定理证明解的存在性

引理6^［6］ 设E是Banach空间，\mathrm{Q}:E\to E是一个全连续算子，如果集合\Omega =\left\{u\in E\right.:u=\rho \mathrm{Q}u,有界，那么\mathrm{Q}在E中存在不动点。

定理4 假设条件（H₁）成立，以下条件也成立：

（H₆） 存在非负连续函数 \sigma \left(t\right),\varphi \left(t\right):\left[\mathrm{0,1}\right]\to \left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right],使得对 \forall \left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0,1}\right]\times \mathbb{R},

\left|f\left(t,u\right)\right|\le \sigma \left(t\right)+\varphi \left(t\right)\left|u\right|

则积分边值问题（1）至少有一个解。

证 由条件（H₁）和算子\mathrm{Q}的定义知\mathrm{Q}是连续的。

第一步：证明\mathrm{Q}把E中的有界集映射为有界集。即对任意的常数R>\mathrm{0}，存在正数M，使得对\forall u\in {\overline{B}}_R=\left\{u\in E:‖u‖\le R\right\},有‖\mathrm{Q}u‖\le M\mathrm{。}设{\sigma }^{\mathrm{*}}=\underset{t\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\sigma \left(t\right),{\varphi }^{\mathrm{*}}=\underset{t\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\varphi \left(t\right),任取t\in \left[\mathrm{0,1}\right],u\in{\overline{B}}_R,有

\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\right]\le

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left(\sigma \left(s\right)+\varphi \left(s\right)\left|u\left(s\right)\right|\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{t}^{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left(\sigma \left(s\right)+\varphi \left(s\right)\left|u\left(s\right)\right|\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

t^{\alpha }\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s+\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha +\beta }+R\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)t^{\alpha }+\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}{t}^{\alpha }\le \left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+R{\Lambda }_{\mathrm{3}}

即

‖\mathrm{Q}u‖\le \left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+R{\Lambda }_{\mathrm{3}}:=M（23）

第二步：证明\mathrm{Q}是等度连续的，对任意的，有

\left|\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\left(\mathrm{Q}u\right)\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|=

\left|\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left({t_{\mathrm{2}}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s\right.+t_{\mathrm{2}}^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s\right.-

\left.\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right]-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left({t_{\mathrm{1}}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s+\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s-

\left.t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right]\right|\le

\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s+\left|\lambda \right|{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s+

\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\left|u\left(s\right)\right|\mathrm{d}s\right.\left.+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\left|f\left(s,u\left(s\right)\right)\right|\mathrm{d}s\right]\le

\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right)}{\alpha }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\mathrm{d}s+{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right|+\left|\lambda \right|‖u‖{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}{s}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s+

\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\left[‖u‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}s+\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right)}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)\mathrm{d}s\right]\le

\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha +\beta }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha +\beta }\right)+\left(\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\right)R\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)+\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)\le

\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha +\beta }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha +\beta }\right)+{\Lambda }_{\mathrm{3}}R\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)+\frac{\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}R\right)}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}\left(t_{\mathrm{2}}^{\alpha }-t_{\mathrm{1}}^{\alpha }\right)

即当t_{\mathrm{1}}\to t_{\mathrm{2}}时，\left|\mathrm{Q}u\left(t_{\mathrm{2}}\right)-\mathrm{Q}u\left(t_{\mathrm{1}}\right)\right|\to \mathrm{0}。

由Arzelá-Ascoli定理可知，\mathrm{Q}是相对紧的，从而\mathrm{Q}:E\to E是一个全连续算子。

第三步：证明集合\Omega =\left\{u\in E:u=\rho \mathrm{Q}u,\mathrm{0}\le \rho \le \mathrm{1}\right\}是有界的。算子\mathrm{Q}先验有界，令u\in \Omega ,对 则u=\rho \mathrm{Q}u \mathrm{。}由条件（H₆）知，对\forall t\in \left[\mathrm{0,1}\right],有

‖u\left(t\right)‖=‖\rho \left(\mathrm{Q}u\right)\left(t\right)‖\le \left|\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(t^{\alpha }-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s-\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\alpha -\mathrm{1}}u\left(s\right)\mathrm{d}s\right.+

\left.t^{\alpha }\left[{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mu +\lambda s^{\alpha -\mathrm{1}}\right)u\left(s\right)\mathrm{d}s-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{s}^{\beta -\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-s^{\alpha }\right)f\left(s,u\left(s\right)\right)\mathrm{d}s\right]\right|\le

\left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+‖u‖{\Lambda }_{\mathrm{3}}

即

‖u‖\le \left({\sigma }^{\mathrm{*}}+{\varphi }^{\mathrm{*}}‖u‖\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+‖u‖{\Lambda }_{\mathrm{3}}

因此，

‖u‖\le \frac{{\sigma }^{\mathrm{*}}{\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-{\varphi }^{\mathrm{*}}{\Lambda }_{\mathrm{2}}-{\Lambda }_{\mathrm{3}}}

这意味着集合\Omega有界。由Schaefer不动点定理知，算子\mathrm{Q}至少有一个不动点，则积分边值问题（1）至少有一个解。

3　 例

例1 考虑下面的带积分边界条件的一致分数阶 Langevin 方程

（24）

其中，\alpha =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}},\beta =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}},\lambda =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}},\mu =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{30}},f\left(t,u\right)=\frac{u{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}t}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}t-u}{\mathrm{4}-t}\mathrm{。}因为\left|f\left(t,u\right)\right.-\left.f(t,v)\right|\le t^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}t}\left|u-v\right|,所以存在\delta \left(t\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}t}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}t\in L^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\left(\left[\mathrm{0,1}\right],{\mathbb{R}}^{+}\right),使得f\left(t,u\right)满足条件（H₂）。又因为

{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\alpha +\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)}}\approx \mathrm{2.484}\mathrm{5}

{\Lambda }_{\mathrm{3}}=\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\approx \mathrm{0.366}\mathrm{7}

并且‖\delta ‖\approx \mathrm{0.1},所以，。因此，由定理1知，方程（24）有唯一解。

例2 考虑下面的带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程

\left\{\begin{array}{l}{T}_{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\left(T_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)u\left(t\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{-t}{u}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+\mathrm{6}t}{\mathrm{10}\left|u\left(t\right)\right|+\mathrm{60}t}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{t}{\mathrm{2}}}{{\left(t+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},u\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}\right.（25）

其中，\alpha =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}},\beta =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\lambda =-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}},\mu =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},f\left(t,u\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{-t}{u}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+\mathrm{6}t}{\mathrm{10}\left|u\left(t\right)\right|+\mathrm{60}t}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{t}{\mathrm{2}}}{{\left(t+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right),则

{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\beta \left(\alpha +\beta \right)}=\mathrm{3.2},{\Lambda }_{\mathrm{3}}=\left|\mu \right|+\frac{\mathrm{2}\left|\lambda \right|}{\alpha }\approx \mathrm{0.533}\mathrm{3}

\left|f\left(t,u\right)\right|=\left|\frac{{\mathrm{e}}^{-t}{u}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+\mathrm{6}t}{\mathrm{10}\left|u\left(t\right)\right|+\mathrm{60}t}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{t}{\mathrm{2}}}{{\left(t+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right)\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\left(\left|u\right|+\mathrm{1}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{t}{\mathrm{2}}

因此，存在连续非减函数\phi \left(\left|u\right|\right)=\left|u\right|+\mathrm{1}和非负连续函数r\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{t}{\mathrm{2}},使得f\left(t,u\right)满足条件 （H₃）。存在常数M>\mathrm{0.489}\mathrm{66},使得\frac{M}{‖r‖\phi \left(M\right){\Lambda }_{\mathrm{2}}+M{\Lambda }_{\mathrm{3}}}>\mathrm{1},由定理2知，方程（25）至少有一个解。

例3 考虑下面的带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程

\left\{\begin{array}{l}{T}_{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}}\left(T_{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\right)u\left(t\right)=\frac{t\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t}{t+\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}u\left(t\right)}{\mathrm{2}\left|u\left(t\right)\right|+\mathrm{3}}\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]\\ u\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},u\left(\mathrm{1}\right)=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}u\left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}\right.（26）

其中，\alpha =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}},\beta =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},\lambda =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}},\mu =-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}},f\left(t,u\right)=\frac{{\mathrm{e}}^t}{t+\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u\left(t\right)}{\mathrm{2}\left|u\left(t\right)\right|+\mathrm{3}}\right),因为\left|f\left(t,u\right)\right|\le\frac{{\mathrm{e}}^t}{\mathrm{2}t+\mathrm{4}},所以存在函数\psi \left(t\right)=\frac{t{\mathrm{e}}^t}{\mathrm{2}t+\mathrm{4}}\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],{\mathbb{R}}^{+}\right),使得f\left(t,u\right)满足条件（H₅）。

又因为

所以，由定理3知，方程（26）至少有一个解。

4　 结 语

本文首先利用Banach压缩映像原理并借助Hölder’s不等式证明了在非线项满足较弱的条件下，带积分边界条件的一致分数阶Langevin方程（1）解的存在唯一性定理；其次在非线性项满足不同条件下，运用Leray-Schauder非线性抉择、Krasnoselskii’s不动点定理和Schaefer不动点定理得到了方程（1）解的存在性定理；最后给出了三个例子来说明所得结果的适用性。考虑到针对不同模型所建立的分数阶Langevin方程不同、满足的边值条件不同，后面的工作将讨论若改变边界条件能否得到分数阶Langevin方程解的存在唯一性。

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基金资助

国家自然科学基金(11961039)

国家自然科学基金(11801243)

兰州交通大学校青年科学基金(2017012)