高斯坐标和瑞利坐标在电磁统计中的应用

Gaussian Scale and Rayleigh Scale with Application to Electromagnetic Statistics

摘要

电磁测量数据、模拟数据需与已知的统计分布曲线比对，以判断数据是否满足该分布。然而，仅仅依赖非线性曲线间的相似性，其判断往往不可靠，甚至错误，除非利用拟合优度R^{\mathrm{2}}辅助评价。本文提出高斯坐标和瑞利坐标产生方法，分别将高斯和瑞利累积分布函数曲线都变换成直线，通过观察数据点是否在该直线上或均匀地分布在该直线两侧附近，直观而准确判断数据是否满足相应统计分布。该方法灵敏度极高且通用，能克服拟合优度的一定缺陷，可推广到其他非线性物理规律的判定。

Abstract

Electromagnetic measurement data or simulation data need to be compared with the known statistical distribution curves, to check which statistical law is satisfied. However, just by the similarity between non-linear curves, its judgement is often unreliable or even wrong, unless the goodness of fit (R^{\mathrm{2}}) is used. In this paper Gaussian scale and Rayleigh scale are proposed, so that the cumulative distribution function (CDF) curves of both Gaussian and Rayleigh distributions can be converted into straight lines, respectively. Thus it is very intuitive and accurate to judge whether the measurement data or simulation data meet the corresponding statistical distribution, by checking whether the data points are distributed on the line or evenly distributed near both sides of the line. Being extremely sensitive and general, this method overcomes certain shortcomings of the goodness of fit, and can be easily extended to other non-linear physical laws.

Graphical abstract

关键词

高斯分布 / 瑞利分布 / 概率密度函数 / 累积分布函数 / 坐标变换

Key words

Gaussian distribution / Rayleigh distribution / probability density function / cumulative distribution function / coordinate transformation

0　 引 言

人眼只对满足线性关系的直线敏感，所以，经常采用对数坐标绘图，将幂函数物理关系曲线y=k{x}^n转变为直线，其斜率为n。类似地，满足指数函数物理关系数据y=a{\mathrm{e}}^{kx}，只需利用对数纵坐标变换，数据点可均匀分布在一条直线上或两侧附近，通过直线斜率和截距可分别换算出系数k和a。

自然界中很多电磁信号，满足高斯分布或瑞利分布等。如被动遥感信号斯托克斯参数遵行高斯分布^[1]，海浪斜率遵行准高斯分布^[2]，粗糙面散射矩阵近似于瑞利分布^[3]，城市环境中电磁场慢衰落满足对数正态分布^[4，5]。然而，这些非线性关系曲线不能利用对数坐标转换成直线。学界一般简单地用标准的概率密度函数（PDF）曲线来比对，判断是否满足高斯分布或瑞利分布^[2,3,6~9]。由于人眼仅对线性关系敏感，通过数据点比对PDF曲线，可能得出似是而非的判断。这种对数据点偏离曲线判断的不可靠是人眼的天然缺陷，最小二乘法可作为最大似然估计R^{\mathrm{2}}，能一定程度估计偏差，但并不直观。如果同时比对累积分布函数（CDF）曲线，会提高一定的判断准确度。然而它依然是非线性关系曲线，准确度提升有限。

CDF曲线是单调的，通过特殊的坐标变换设计，把弯曲的CDF曲线拉直，观察相应的测量或模拟数据是否在“拉直”的标准CDF上，或均匀分布在两侧附近，能直观地反映数据是否遵循该规律。在城市环境电磁波慢衰落的统计分布判断中^[4，5]，高斯坐标已得到较好地应用，但未见阐述如何建立该坐标；瑞利坐标也未见有文献提出和使用。基于此，本文详细分析了直接比对PDF或CDF曲线，判断是否满足相关统计分布的局限性，提出了瑞利坐标及如何在绘图工具上实现瑞利坐标和高斯坐标方法，并验证了其独特优势及效果。该方法易于延伸到其他非线性物理规律检验（如K分布、Weibull分布）所需特殊坐标的建立。

1　 高斯分布和瑞利分布的PDF和CDF

高斯分布和瑞利分布是应用最广泛的分布规律。高斯分布在均值两边对称，其PDF表示如下

p(t)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\sigma }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{(t-\mu )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right)（1）

其中，\mu =〈t〉为均值，\sigma为标准差。相应的CDF可用误差函数来表示^[10]

F(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}p\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{t-\mu }{\sigma \sqrt[]{\mathrm{2}}}\right)\right)（2）

令t\mathrm{\text{'}}=\frac{t-\mu }{\sigma }，即把数据均值平移至0、标准差归一化，则

F(t\mathrm{\text{'}})=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{t\mathrm{\text{'}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\right)\right)（3）

其中,误差函数定义为

\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t\mathrm{\text{'}})=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt[]{\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t\mathrm{\text{'}}}{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t（4）

与高斯分布不同，瑞利分布是不对称分布，其PDF为

p(t)=\frac{t}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right),t>\mathrm{0}（5）

其中，\sigma =\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}}〈t〉。相应的CDF为

F(t)=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right),t>\mathrm{0}（6）

2　 结果及讨论

2.1　高斯分布

学界一般通过比对高斯PDF，依据相似程度判断相关物理参数是否满足高斯分布。但高斯PDF并不是线性关系，主观随意性较大，一般需辅以拟合优度R^{\mathrm{2}}评价。如图1（a）所示，我们绘出了高斯分布曲线，其均值已平移到0且标准差归一化。另外，将上下平移±0.01/σ的分布曲线置于图中作比较

p_{\pm \mathrm{0.01}}(t)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\sigma }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{(t-\mu )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right)\pm \frac{\mathrm{0.01}}{\sigma }（7）

范围控制在t\in \left[\mu -\mathrm{4}\sigma ,\mu +\mathrm{4}\sigma \right]。从PDF图中基本看不出它们与高斯分布的差别。我们取文献[2]图4.11（a）中海浪斜率分布数据，并用正方形符号重画于图1（a）中。为方便同一标准下比对，将其斜率用标准差归一化，为保证PDF曲线下面积（即总概率）不变，同时使其PDF数据乘以标准差。尽管它与高斯分布曲线不重合，但因曲线形状相似，被该作者认为是准高斯分布。最后，将格陵兰岛积雪第四斯托克斯参数模拟信号^[1]在图1（a）中用圆圈表示，数据点分布在高斯曲线附近，但数据较分散，即使拟合优度R^{\mathrm{2}}来评价也不易判断它是否满足高斯分布。

仅从PDF曲线比对，平移±0.01/σ的分布、海浪斜率的准分布，都形似高斯分布。然而，真正满足高斯分布的第四斯托克斯参数（后文将证实），反而因有一定分散度，不能轻易下结论。

如果将上述数据全部用CDF曲线重绘于图1（b）中，平移±0.01/σ的分布、海浪斜率的准高斯分布曲线，外观上依然相似于高斯分布曲线。而第四斯托克斯参数数据点则基本在高斯曲线上。这说明CDF图比PDF图的判断效果要好。但人眼仅对直线关系敏感，对非线性关系判断的天然缺陷，限制了CDF图形在判据上的应用精度。

如图1（c）所示，将CDF曲线用高斯坐标重绘，高斯分布曲线被转换成光滑直线，其他数据是否满足高斯分布，非常直观地表现在：数据点是否在高斯直线上，或均匀分布在直线两侧附近。±0.01/σ的平移好似不大，但是在其两端区分非常明显，说明高斯坐标CDF图作为判据的敏感度极高。准高斯的海浪斜率分布明显与高斯直线有别，其高端数据点甚至超出图形之外，所以，这个“准”字值得商榷。而斯托克斯参数严格分布在高斯直线上或直线两侧附近，能被精准确定符合高斯分布。高斯坐标方法绘图相比常规坐标显示出巨大的优势，比拟合优度R^{\mathrm{2}}要一目了然。

2.2　瑞利分布

物理参数的瑞利分布判断同样具有主观随意性问题。图2（a）中，我们绘出了瑞利分布PDF曲线，其均值已归一化。同样，将相对误差\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}的分布曲线置于图2（a）作比较

p_{\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}}(t)=\left(\mathrm{1}\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}\right)\frac{t}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right),t>\mathrm{0}（8）

其PDF曲线看起来与瑞利分布也不大。另外，我们取文献[3]中粗糙面模拟散射矩阵水平极化分量数据，并用正方形符号重画于图2（a）中。为方便同一标准下比对，将其极化分量用其平均值归一化，为保证PDF曲线下面积不变，同时使其PDF数据乘以平均值。看起来散射矩阵水平极化分量似乎“满足”瑞利分布。最后，我们用计算机随机模拟了一组均值为1的瑞利数据，用圆圈符号显示于图2（a），同样分布在瑞利曲线附近，但有些分散，即使采用拟合优度R^{\mathrm{2}}来评价也不易判断它是否满足瑞利分布。

仅从PDF曲线比对，这些数据与标准瑞利分布的区别程度难以识别，似乎都符合瑞利分布，而散射矩阵水平极化分量和模拟数据离瑞利分布更远。但后文将证实，散射矩阵水平极化分量离瑞利分布仍有一定差距，模拟数据则精确满足瑞利分布，PDF曲线判断瑞利分布存在一定的局限性。

如果将上述数据全部用CDF曲线重绘于图2（b）中，误差\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}的分布与瑞利分布的区分度仍然不明显，散射矩阵水平极化分量与瑞利分布有偏离，但曲线依然与瑞利分布曲线相似，而模拟数据点则基本在瑞利曲线上。这同样说明，对瑞利分布，CDF图比PDF图的判断效果要好。但人眼对曲线关系判断的缺陷，限制了CDF图形在瑞利判据上的充分应用。

将CDF曲线用瑞利坐标重绘于图2（c）中，瑞利分布曲线被转换成光滑直线，其他数据是否满足瑞利分布，非常直观地显示在：数据点是否在瑞利直线上，或均匀分布在直线两侧附近。\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}的误差好似不大，但是在其高端差异仍然明显，说明瑞利坐标CDF图作为判据的敏感度极高。散射矩阵水平极化分量分布明显与瑞利直线有别，说明文献[3]利用PDF曲线直接比对的局限性。而随机模拟数据严格分布在瑞利直线上或直线两侧附近，能被精准确定符合瑞利分布。瑞利坐标方法绘图同样显示出巨大的优势，\pm \mathrm{1}\mathrm{\%}误差以及更多误差的分布曲线甚至可用来度量一般数据偏离标准瑞利分布的程度。

从图1（a）的“第四斯托克斯参数模拟数据”和图2（a）的“本文模拟数据”来看，数据较分散，相对标准曲线的起伏较大，利用拟合优度R^{\mathrm{2}}对该数据评价是否满足相应PDF有一定缺陷。然而，利用高斯坐标/瑞利坐标的CDF图来评价，显示出更好的高斯/瑞利相关性，体现了特殊坐标判据上的优势。

3　 特殊坐标变换的实现方法

高斯坐标和瑞利坐标的优势如此明显，但如何实现呢？目前国内外鲜有文献提及。借鉴指数曲线通过对数坐标转化为直线的思路，类似地，统计分布函数也是利用其逆函数将相应的CDF曲线转化为直线。

3.1 高斯坐标实现方法

对于CDF的\left(t_i^{\mathrm{\text{'}}},F_i\right)数据序列，不直接对\left(t_i^{\mathrm{\text{'}}},F_i\right)作图，利用（3）式高斯CDF求F_i逆函数

\begin{array}{l}{T}_i^{\mathrm{\text{'}}}(F_i)=\mathrm{C}\mathrm{D}{\mathrm{F}}_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}(F_i)=\\ \sqrt[]{\mathrm{2}}\times \mathrm{e}\mathrm{r}{\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{2}{F}_i-\mathrm{1})\end{array}（9）

然后对\left(t_i^{\mathrm{\text{'}}},T_i^{\mathrm{\text{'}}}\right)数据序列作图。即，如果是高斯分布曲线，通过逆变换，校正为直线，反之，偏离直线。相应地，在纵轴上以F_i=0.001，0.01，0.1，0.2，…，0.9，0.99，0.999为刻度值（YTickLabel），以对应点T_i^{\mathrm{\text{'}}}为刻度（YTick），从而实现高斯坐标。如果其他物理数据满足高斯分布，数据点也会均匀分布在这条直线上或两侧附近。注意F_i=0，1的刻度分别在下、上无穷远处。上下刻度对称，与高斯分布的对称性相呼应。

也可将其反平移到均值μ，用标准差σ反归一化，则

t_i=\sigma t_i^{\mathrm{\text{'}}}+\mu（10）

T_i(F_i)=\sqrt[]{\mathrm{2}}\sigma \times \mathrm{e}\mathrm{r}{\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{2}{F}_i-\mathrm{1})+\mu（11）

若对\left(t_i,T_i\right)数据序列作图，可回到高斯坐标CDF图的原始状态，但不同均值和标准差的高斯分布不方便比对。

3.2　瑞利坐标实现方法

对于CDF的\left(t_i,F_i\right)数据序列，不直接对\left(t_i,F_i\right)作图，利用（6）式瑞利CDF求F_i逆函数

\begin{array}{l}{T}_i(F_i)=\mathrm{C}\mathrm{D}{\mathrm{F}}_{\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}}^{-\mathrm{1}}(F_i)=\\ \sqrt[]{\mathrm{2}}\sigma \times \sqrt[]{-\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-F_i)}\end{array}（12）

然后对\left(t_i,T_i\right)数据序列作图。同理，该逆变换将瑞利分布曲线校正为直线。相应地，在纵轴上以F_i=0，0.01，0.1，0.2，…，0.9，0.99，0.999为刻度值，以对应点T_i为刻度，从而实现瑞利坐标。如果其他数据满足瑞利分布，数据点也会均匀分布在这条直线上或两侧附近。注意，与高斯坐标不同，只有F_i=1刻度的位置才在无穷远处。上下刻度不对称，与瑞利分布的不对称性相呼应。

若〈t〉\ne \mathrm{1}，比对不统一。可将均值归一化，则

t_i^{\mathrm{\text{'}}}=t_i/〈t〉（13）

T_i^{\mathrm{\text{'}}}(F_i)=\mathrm{2}\sqrt[]{-\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-F_i)/\mathrm{\pi }}（14）

然后对\left(t_i^{\mathrm{\text{'}}},T_i^{\mathrm{\text{'}}}\right)数据序列作图，即可在同一标准下比对瑞利坐标CDF图。

4　 结 语

仅依靠PDF或CDF外观对比相似性，不足以准确判断数据是否满足相关统计分布，而拟合优度R^{\mathrm{2}}辅助对离散较大的数据统计评价有一定缺陷。高斯坐标和瑞利坐标下的CDF极敏感，能更容易、更直观地判断实验数据或模拟数据是否满足相应统计分布，且避免了R^{\mathrm{2}}评价上的缺陷。采取逆函数转换形成特殊坐标的办法，可方便推广到Weibull分布等其他统计规律，且不限于统计规律的验证或判断中。

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基金资助

国家自然科学基金(41171291)

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