色玻璃凝聚中Sudakov效应对矢量介子产生的影响

Sudakov Effect on Vector Meson Production in the Framework of Color Glass Condensate

摘要

在色玻璃凝聚框架下，将Sudakov效应运用到矢量介子产生中，计算了衍射遍举和衍射离解两种过程中轻（\varphi）和重（J/\psi）介子产生的微分截面和总截面。首先，利用数值方法求解微分积分形式的领头阶偶极子演化方程和Sudakov抑制的次领头阶偶极子演化方程，得到相应的偶极子散射振幅，研究发现Sudakov抑制的次领头阶偶极子散射振幅小于同一快度下领头阶的偶极子散射振幅，随着快度增加两者之间的差距越来越大，由此表明Sudakov效应压低了偶极子散射振幅的演化速度。其次，将这些偶极子散射振幅应用到衍射矢量介子产生模型中，描述HERA（hadron electron ring accelerator）能区\varphi和J/\psi介子产生相关实验数据，得到Sudakov抑制时的{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}=\mathrm{1.26}远小于领头阶时的{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}=\mathrm{1.87}，由此Sudakov效应提高了模型的精度，使得修正后的偶极子散射振幅能较好地描述相关数据，表明了Sudakov效应在矢量介子产生中起着重要的作用。

Abstract

In the framework of color glass condensate, the Sudakov effect is applied to study vector meson production. The differential cross sections and total cross sections of light (\varphi) and heavy (J/\psi) mesons productions in diffractive exclusive process and diffractive dissociative process are calculated. Firstly, the leading order and next-to-leading order Sudakov suppressed dipole scattering amplitudes are obtained by numerically solving the integro-differential dipole evolution equations. We found that the next-to-leading order Sudakov suppressed dipole scattering amplitudes are smaller than the leading ones for a same rapidity, and the gap between these two amplitudes becomes larger and larger with the rapidity increasing, which indicates that the Sudakov effect suppresses the evolution speed of the dipole amplitude. Secondly, these numerical solutions are used in the diffractive vector meson production model to describe the \varphi and J/\psi experimental data at HERA（hadron electron ring accelerator） energies. The corresponding {\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}=\mathrm{1.26} for Sudakov case is much smaller than {\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}=\mathrm{1.87} for leading order case, which shows that the Sudakov effect improves the precision of vector meson production model. The Sudakov modified dipole scattering amplitudes give a better description of the experimental data, which indicates that the Sudakov effect plays an important role in vector meson production.

Graphical abstract

0　 引 言

在高能强子碰撞初期，由于胶子劈裂效应使得强子中的胶子密度会随着能量的增加（或者动量分数x的减小）而增大。根据量子色动力学预言，当胶子密度达到一定程度时胶子融合现象变得重要，因此胶子的密度并不会无限制地增加。当能量达到临界值时，非线性效应使得胶子融合与劈裂达到一种平衡状态，形成饱和胶子物质，也称之为色玻璃凝聚态（color glass condensate,CGC）^[1]。在高能碰撞中寻找CGC存在的信号一直是高能核物理领域研究的热点。在实验方面，从HERA（hadron electron ring accelerator）能区到RHIC（relativistic heavy ion collider）能区，再到LHC（large hadron collider）能区都有大量的实验致力于寻找CGC存在的证据，例如在HERA能区，H1和ZEUS实验组发现了质子的结构函数满足几何标度效应^[2]，验证了CGC理论的其中一个预言，间接地表明了HERA能区可能存在CGC物质。在理论方面，高能物理学家们在色玻璃凝聚理论框架下计算了不同能区的各种实验观测量，如质子结构函数、末态强子横动量分布、粒子多重数等，在一定的误差范围内理论计算很好地描述了相关实验数据，显示出了CGC理论的有效性^[3]。然而除CGC理论外，其他一些理论，如DGLAP(Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi)演化也能对相应的实验观测量给出较好的描述^[4，5]。因此，目前人们还很难甄别高能强子碰撞中初态形成的高密部分子系统到底是服从CGC演化机制、DGLAP演化机制还是其他演化机制。

大量的研究显示单举质子结构函数对强子/核中的胶子分布比较敏感，可将单举质子结构函数作为CGC物质的一个探针^[6~8]。在单举质子结构函数上，目前已积累了大量的实验数据，从实验数据中发现在小动量分数（x）区域胶子的密度随x的减小而快速地增长^[9]。但单举过程的散射截面仅正比于胶子密度的一次方，对胶子饱和效应的敏感度不高，故人们开始从衍射过程中寻找更多胶子饱和的证据。衍射过程的散射截面正比于胶子密度的平方，因此对胶子饱和更为敏感^[10]，故衍射过程可作为CGC物质的一个重要探针。尤其是衍射遍举矢量介子产生是探测CGC物质的一个理想方法，因为在此过程中通过测量转移动量的平方t就可以得到胶子在强子中的横向分布信息，而在单举过程中无法实现这一研究^[11]。此外，衍射离解过程中矢量介子的产生也是探测CGC物质的一个理想方法。Cepila等^[12]研究了J/\psi介子的衍射离解产生，发现J/\psi产生截面随能量变化的过程中会出现一个峰，该峰可作为CGC物质产生的一个特有信号。以上研究中在计算矢量介子产生时都采用了领头阶偶极子散射振幅，导致计算结果精度不高。为了提高模型的精度，我们在之前的研究中考虑到了跑动耦合常数效应和共线修正对偶极子散射振幅的影响，推广矢量介子产生模型到次领头阶精度水平^[13]，并加入了热点效应以及虚度对热点数的影响，建立了一个次领头阶矢量介子产生模型^[14]，有效地提高了模型对实验数据的描述水平。

近年来有研究发现Sudakov效应对偶极子演化方程有很强的修正作用，并推导得到了Sudakov压低的Balitsky-Kovchegov (SSBK)方程^[15]。在前期研究中，通过在饱和区域近似地求解SSBK方程，获得解析形式的偶极子散射振幅^[16]，发现了Sudakov效应对偶极子散射振幅演化速度的压低作用。本文采用数值方法求解了SSBK方程，并把数值形式的偶极子散射振幅应用于研究衍射遍举和离解过程的矢量介子产生，结果显示Sudakov修正的散射振幅能够对实验观察值给出很好的描述。

1　 CGC理论中衍射矢量介子的产生

本节将以CGC理论为基础，首先介绍偶极子模型下衍射遍举和衍射离解过程中矢量介子的产生截面；其次介绍矢量介子和光子波函数。

1.1　矢量介子的衍射产生

衍射事件是电子与质子深度非弹散射中的一个重要过程，此过程的特征是光子和质子之间通过交换胶子对发生相互作用且存在快度间隙^[17]。按照相互作用后质子的状态，衍射过程可细分为遍举过程和离解过程，如图1所示。其中，p表示质子,γ表示光子,V表示矢量介子,X表示其他成分。图1(a)为矢量介子的衍射遍举产生过程示意图，在此过程中光子与质子通过交换胶子发生相互作用，作用后产生矢量介子，但质子保持完好状态。图1(b)为矢量介子的衍射离解产生过程示意图，此过程与衍射遍举产生过程类似，但相互作用后质子被击碎。

在CGC理论框架下，人们通常用偶极子模型统一描述衍射遍举过程和衍射离解过程。在偶极子模型中，电子与质子相互作用分为三个步骤：1） 来自电子的虚光子劈裂成正反夸克对（偶极子）；2） 偶极子通过交换胶子与质子发生相互作用；3） 正反夸克对重新结合成矢量介子。由因子化理论可知，矢量介子衍射产生的虚光子-质子散射振幅虚部可写为^[18]

A_{\mathrm{T},\mathrm{L}}(x,Q^{\mathrm{2}},\vec{\Delta })=\mathrm{i}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}\int {\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\vec{r}\int {\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\vec{b}({\psi }_{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}{\psi )}_{\mathrm{T},\mathrm{L}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(\vec{b}-(\mathrm{1}-z)\vec{r})·\vec{\Delta }}\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}}{\mathrm{d}\vec{b}}（1）

其中，x称为Bjorken变量，表示胶子所携带质子的动量分数；Q^{\mathrm{2}}表示光子虚度；z和\mathrm{1}-z分别表示夸克和反夸克携带虚光子的纵向动量分数；\vec{\Delta }表示动量转移，其与转移动量的平方的函数关系为：{\Delta }^{\mathrm{2}}=-t；积分变量\vec{r}表示偶极子在横向平面的大小；积分变量\vec{b}表示碰撞参数，即偶极子中心到质子中心的横向距离；({\psi }_{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\psi )为光子和矢量介子的向前重叠波函数,对于非向前部分可通过引入相因子\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[\pm \mathrm{i}(\mathrm{1}-z)\vec{r}·\vec{\Delta }/\mathrm{2}]考虑其贡献；向前重叠波函数中\psi表示入射光子的光锥波函数，其含义是虚光子劈裂成正反夸克对的概率；{\psi }_{\mathrm{V}}表示矢量介子的光锥波函数，其含义是正反夸克对结合成矢量介子的概率。由于末态矢量介子可分为横向和纵向极化两种情况，所以波函数写为横向（\mathrm{T}）和纵向（\mathrm{L}）部分，重叠波函数的具体形式我们将在下一小节进行介绍。

（1）式中的\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}/\mathrm{d}\vec{b}为偶极子-质子散射截面，它包含了偶极子-质子相互作用的所有信息。根据光学定理，偶极子-质子散射截面与偶极子-质子散射振幅之间的关系为^[18]

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}}{\mathrm{d}\vec{b}}=\mathrm{2}N(x,\vec{r},\vec{b})（2）

为了简化计算，我们沿用Cepila等^[12]的方法，将偶极子-质子散射振幅因子化成三个部分

N(x,\vec{r},\vec{b})={\sigma }_{\mathrm{0}}N(x,r)T(\vec{b})（3）

其中，{\sigma }_{\mathrm{0}}为常数，在因子化过程中我们用r表示\vec{r}的模。N(x,r)为偶极子散射振幅，它仅是偶极子模的函数，与偶极子方向无关，其值可以通过解偶极子演化方程得到。本研究中我们首次将Sudakov抑制演化方程所得的偶极子散射振幅运用于矢量介子产生的研究，以揭示Sudakov效应对矢量介子产生的影响，下一节我们将对相应的偶极子演化方程进行详细介绍。

在偶极子-质子相互作用过程中，由于高能质子本身是一个量子体，其结构会因为量子效应而波动，在质子中形成一些高密的部分子区域，也称为热点^[19]。因此，因子化（3）式中的质子轮廓函数T(\vec{b})可以表示为这些热点的和

T(\vec{b})=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{h}\mathrm{s}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N_{hs}}}{T}_{hs}(\vec{b}-{\vec{b}}_i)（4）

这里T_{\mathrm{h}\mathrm{s}}为热点在质子中的分布，其具有高斯形式^[12]

T_{\mathrm{h}\mathrm{s}}(\vec{b}-{\vec{b}}_i)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{B}_{\mathrm{h}\mathrm{s}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{(\vec{b}-{\vec{b}}_i{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{B}_{\mathrm{h}\mathrm{s}}}}（5）

其中，{\vec{b}}_i表示第i个热点的横向位置，它的取值满足中心在坐标原点、宽度为B_{\mathrm{p}}的二维高斯分布。这里，B_{\mathrm{p}}和B_{\mathrm{h}\mathrm{s}}分别是与质子半径和热点半径相关的物理量，本研究中我们取B_{\mathrm{p}}=\mathrm{4.7}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-\mathrm{2}}，B_{\mathrm{h}\mathrm{s}}=\mathrm{0.8}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-\mathrm{2}}。（4）式中，N_{\mathrm{h}\mathrm{s}}表示质子中的热点数，其取值可以用参数化的公式表示^[12]

N_{\mathrm{h}\mathrm{s}}(x)=p_{\mathrm{0}}{x}^{p_{\mathrm{1}}}(\mathrm{1}+p_{\mathrm{2}}\sqrt[]{x})（6）

其中，p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.011}，p_{\mathrm{1}}=-\mathrm{0.58}，p_{\mathrm{2}}=\mathrm{250}。

前面我们介绍了计算矢量介子衍射产生所需的偶极子-质子散射振幅和质子轮廓函数的具体形式，将它们代到（1）式中，并进行相应的积分和化简可得

A_{\mathrm{T},\mathrm{L}}(x,Q^{\mathrm{2}},\vec{\Delta })=\mathrm{i}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{d}zr\int \mathrm{d}rN(x,r)J_{\mathrm{0}}(r(\mathrm{1}-z)\Delta )({\psi }_V^{\mathrm{*}}{\psi )}_{\mathrm{T},\mathrm{L}}\int {\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\vec{b}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\vec{b}·\vec{\Delta }}T(\vec{b})（7）

与（3）式约定相同，上式中\Delta表示\vec{\Delta }的模。利用（7）式，就可以分别计算衍射遍举过程和衍射离解过程中的矢量介子产生微分截面^[12]

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{T},\mathrm{L}}^{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}\to \mathrm{V}\mathrm{p}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }}{\left|〈A_{T,L}(x,Q^{\mathrm{2}},\vec{\Delta })〉\right|}^{\mathrm{2}}（8）

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{T},\mathrm{L}}^{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}\to \mathrm{V}\mathrm{X}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }}(〈{\left|A_{T,L}(x,Q^{\mathrm{2}},\vec{\Delta })\right|}^{\mathrm{2}}〉-\\ {\left|〈A_{T,L}(x,Q^{\mathrm{2}},\vec{\Delta })〉\right|}^{\mathrm{2}})\end{array}（9）

其中，{\gamma }^{\mathrm{*}}表示入射虚光子。（8）式和（9）式是计算矢量介子产生微分截面的核心公式，将这两个式子对t进行积分可以得到衍射遍举过程和衍射离解过程中的矢量介子产生总截面。

1.2　矢量介子与光子波函数

矢量介子与光子的波函数是计算矢量介子产生的一个重要部分。对于光子光锥波函数，可通过微扰量子电动力学精确计算；对于矢量介子光锥波函数，由于其参数化形式中包含一个额外的顶点函数，需要引入相应的模型来处理，对顶点函数的不同处理方法导致了不同的矢量介子光锥波函数模型，如boosted Gaussian模型^[18]，Gauss-LC模型^[20]和DGKP模型^[21]。这些模型都能对特定的矢量介子产生给出解释，但不同模型对同一矢量介子的描述能力存在差异，所以并不能确定哪种模型更优。从（7）式可以看出，影响计算矢量介子产生精度的两个主要因素是矢量介子与光子重叠波函数({\psi }_{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}\psi )和偶极子散射振幅N(x,r)。但本文主要研究Sudakov效应对矢量介子产生的影响（即散射振幅对矢量介子产生的影响）。为了更好地研究这一影响，我们将采用统一的波函数模型。

横向和纵向矢量介子与光子重叠波函数可分别写为^[18]

({\psi }_{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}{\psi )}_{\mathrm{T}}={\widehat{e}}_f{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\frac{N_c}{\mathrm{\pi }z(\mathrm{1}-z)}\{m_f^{\mathrm{2}}{\mathrm{K}}_{\mathrm{0}}(Q_{f}r){\varphi }_{\mathrm{T}}(r,z)-[z^{\mathrm{2}}+{(\mathrm{1}-z)}^{\mathrm{2}}]Q_f{\mathrm{K}}_{\mathrm{1}}(Q_{f}r){\partial }_r{\varphi }_{\mathrm{T}}(r,z)\}（10）

和

({\psi }_{\mathrm{V}}^{\mathrm{*}}{\psi )}_{\mathrm{L}}={\widehat{e}}_f{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\frac{N_c}{\mathrm{\pi }}\mathrm{2}Qz(\mathrm{1}-z){\mathrm{K}}_{\mathrm{0}}(Q_{f}r)\cdot \left[M_{\mathrm{V}}{\varphi }_{\mathrm{L}}(r,z)+\delta \frac{m_f^{\mathrm{2}}-{\nabla }_r^{\mathrm{2}}}{M_{\mathrm{V}}z(\mathrm{1}-z)}{\varphi }_{\mathrm{L}}(r,z)\right]（11）

其中，Q_f=\sqrt[]{z(\mathrm{1}-z)Q^{\mathrm{2}}+m_f^{\mathrm{2}}}，m_f是夸克的质量，M_{\mathrm{V}}为末态矢量介子质量，{\widehat{e}}_f为夸克电荷，{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}为电磁精细结构常数，N_c为色数目，{\mathrm{K}}_{\mathrm{0}}和{\mathrm{K}}_{\mathrm{1}}为零阶和一阶贝塞尔函数。重叠波函数中{\varphi }_{\mathrm{T}}(r,z)和{\varphi }_{\mathrm{L}}(r,z)为横向和纵向标量函数，由于boosted Gaussian模型对轻矢量介子\varphi和重矢量介子J/\psi都能给出较好的描述，所以本研究中将采用boosted Gaussian模型的标量函数

{\varphi }_{\mathrm{T},\mathrm{L}}(r,z)=N_{\mathrm{T},\mathrm{L}}z(\mathrm{1}-z)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{m_f^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}z(\mathrm{1}-z)}-\frac{\mathrm{2}z(\mathrm{1}-z)r^{\mathrm{2}}}{R^{\mathrm{2}}}+\frac{m_f^{\mathrm{2}}{R}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right]（12）

其中，N_{\mathrm{T},\mathrm{L}}和R为模型参数。对于矢量介子与光子重叠波函数，在我们的计算中参数\delta取1，其余参数的取值如表1所示^[18]。

2　 偶极子演化方程

在CGC理论中，偶极子模型的核心思想是光子涨落成正反夸克对，然后正反夸克对形成的偶极子与质子发生相互作用，因此偶极子-质子散射振幅的精度在很大程度上决定了模型对实验数据的描述能力。在以往的研究中，人们通常采用唯象模型或领头阶的演化方程来获得偶极子散射振幅，由于模型精度不高，未能对矢量介子的产生作出较好的描述。本研究中我们将偶极子散射振幅由领头阶提升至Sudakov抑制的次领头阶精度水平，并将其数值解用于研究衍射过程中矢量介子的产生。

领头阶的偶极子演化方程通常指的是领头阶Balitsky-Kovchegov（LOBK）方程，LOBK方程描述了偶极子散射振幅随快度Y的演化情况，在大色自由度极限下可写为^[22，23]

\frac{\partial N(r,Y)}{\partial Y}=\int d^{\mathrm{2}}{\vec{r}}_{\mathrm{1}}{K}^{LO}[N(r_{\mathrm{1}},Y)+N(r_{\mathrm{2}},Y)-N(r,Y)-N(r_{\mathrm{1}},Y)N(r_{\mathrm{2}},Y)]（13）

其中，r、r_{\mathrm{1}}和r_{\mathrm{2}}分别表示母偶极子和演化一步后产生的两个子偶极子的横向大小；演化方程最后一项N(r_{\mathrm{1}},Y)N(r_{\mathrm{2}},Y)是非线性项，表示产生的两个新偶极子同时与靶的相互作用，非线性项的出现使得偶极子散射振幅满足幺正性，即胶子饱和时N(r,Y)趋近于1的特性；上式中K^{\mathrm{L}\mathrm{O}}为LOBK方程的演化核，其表达式为

K^{\mathrm{L}\mathrm{O}}=\frac{\overline{\alpha }}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\frac{r^{\mathrm{2}}}{r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}（14）

其中，\overline{\alpha }=\alpha N_c/\mathrm{\pi }，\alpha为跑动耦合常数。

LOBK方程中只考虑了领头对数\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}(x)重求和修正且\alpha为一固定常数，故其精度不高。将LOBK方程的数值解用于研究质子结构函数时，人们发现理论值大于实验观测值，究其原因是LOBK方程给出的偶极子散射振幅随快度的演化速度过快^[7]。因此，人们开始考虑高阶修正以压低散射振幅的演化速度，这类高阶修正中最先考虑的是跑动耦合常数修正^[24，25]。从费曼图的角度看，跑动耦合常数修正相当于考虑了夸克圈的贡献，但夸克圈修正并不是唯一的高阶修正，而且仅考虑夸克圈修正的演化方程过度地压低了方程的演化速度^[26]，致使方程并不能有效地描述质子结构函数。一个更完整的高阶修正还应该包括胶子圈和非线性的平方、立方胶子树图，考虑所有这些高阶修正后，可以得到一个完整的次领头阶演化方程(NLOBK)^[27]。与LOBK方程相比，NLOBK方程结构极其复杂，以至于在得出方程多年后人们才得到其数值解。然而NLOBK方程的数值解并不稳定，人们发现随着快度的增加，当偶极子足够小时，偶极子散射振幅会出现负值情形^[28]。这一现象违背了散射振幅非负性的物理属性。导致演化方程不稳定的根本原因是NLOBK方程的演化核中的双对数项\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{r^{\mathrm{2}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{r^{\mathrm{2}}}产生了过大的辐射修正。

为了解决双对数项导致的不稳定性问题，人们进行了大量的研究，发展了不同的处理方法。早期，人们所使用的方法是在射弹快度Y表示下对双对数项进行重求和，根据重求和的方案可将重求和分为两类：一类是对演化方程的演化核进行动力学限制，从而得到射弹快度表示下的非局域演化方程^[29]；另一类是对所有阶的双对数修正进行重求和，从而得到射弹快度表示下共线改进的演化方程^[8，30]。这两种重求和方法都能使NLOBK方程稳定，并且在领头双对数精度下两种方案等效。随后的研究发现，尽管这两种方法解决了双对数项导致的不稳定性问题，但射弹快度并不是偶极子演化方程合适的演化变量，这是因为它有两个固有缺陷^[31]：一方面，射弹快度表示下的演化中存在违反时间顺序的胶子辐射，但在靶快度\eta表示下，胶子辐射的时间顺序自动得到满足；另一方面，Bjorken变量x通过\eta =\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/x)与靶快度自然联系，而并非射弹快度。进一步的研究发现，在靶快度表示下的演化方程中双对数项自动抵消，由双对数项引起的不稳定性问题也随之解决^[31]。因此，靶快度表示的演化方程将更具有优越性。最新研究发现，Sudakov效应对演化方程有着十分重要的修正作用^[15]。Sudakov效应产生的根源是：在高阶情况下，t通道的实修正和虚修正并没有完全抵消，从而产生次领头的双对数项，这些双对数项具有典型的Sudakov特征。将双对数项重求和可得到SSBK方程^[15]

\begin{array}{l}\frac{\partial N(r,\eta )}{\partial \eta }=\int d^{\mathrm{2}}{\vec{r}}_{\mathrm{1}}{K}^{SS}[N(r_{\mathrm{1}},\eta )+N(r_{\mathrm{2}},\eta )-\\ N(r,\eta )-N(r_{\mathrm{1}},\eta )N(r_{\mathrm{2}},\eta )]\end{array}（15）

其中

K^{\mathrm{S}\mathrm{S}}=\frac{\overline{\alpha }}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\frac{r^{\mathrm{2}}}{r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{\overline{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{l}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\frac{r^{\mathrm{2}}}{r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\right]+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{\overline{\alpha }}{\mathrm{2}}\mathrm{l}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\frac{r^{\mathrm{2}}}{r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right]\right\}（16）

从SSBK方程的演化核可以看出重求和后双对数变成了指数型。值得注意的是SSBK方程是靶快度表示下的次领头阶演化方程，我们前期的研究表明，SSBK方程所得到的偶极子散射振幅能很好地描述HERA能区的单举散射过程的约化截面^[16]。本研究首次将SSBK演化方程用于研究衍射过程中的矢量介子产生，发现由于Sudakov效应压低了偶极子散射振幅的演化速度，从而使得SSBK演化方程能更好地描述衍射遍举和离解过程的矢量介子产生。

3　 数值结果

本节将利用SSBK方程所得到的偶极子散射振幅计算衍射过程中的矢量介子产生。为了便于比较，也给出了LOBK方程所计算的结果。本节首先对求解微分积分形式的LOBK和SSBK演化方程数值方法和初始条件进行介绍，给出数值形式的偶极子散射振幅。其次，将它们用于计算衍射过程中的遍举和离解矢量介子产生。

3.1　偶极子散射振幅的数值解

从（13）和（15）式可以看出，LOBK和SSBK演化方程都属于复杂的微分积分方程，目前还无法得到完整的解析解，因此我们采用计算机程序计算它们的数值解。在数值计算中，将r离散化为256个点，对应于r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{2.06}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{9}} GeV，r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{5.46}\times \mathrm{10}\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{V}，快度步长设为\mathrm{\Delta }\eta =\mathrm{0.1}。对于演化方程中的微分，采用龙格库塔方法求解；对于演化方程中的积分，采用自适应辛普森方法求解。另外，采用三次样条插值得到任意r和\eta时的散射振幅。为得到微分积分方程的数值解，本文采用McLerran-Venugopalan（MV）模型作为初始条件，其参数化形式为^[32]

N(r,\eta =\mathrm{0})=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{\left(\frac{r^{\mathrm{2}}{Q}_{s\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)}^{\gamma }\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}}{r{\Lambda }_{\mathrm{Q}\mathrm{C}\mathrm{D}}}+\mathrm{e}\right)\right]（17）

其中，\gamma =\mathrm{1.13}，{\Lambda }_{\mathrm{Q}\mathrm{C}\mathrm{D}}=\mathrm{0.24} GeV，Q_{s\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.15} GeV²。

为了更好地看出LOBK和SSBK演化方程随快度演化速度的差异，我们给出了4种快度下LOBK和SSBK演化方程所得N(r,\eta )随r的变化，如图2。图2（a）中纵轴为普通坐标，突出显示饱和区域的演化情况，图2（b）纵轴为对数坐标，突出显示非饱和区域的演化情况。图2中实线表示SSBK演化方程的数值解，虚线表示LOBK演化方程的数值解，黑实线（I.C.）表示快度为0的初始条件，紫色、蓝色和棕色分别代表快度\eta为4、8和12的数值解。从图2中可以看出虽然初始条件相同，但随着方程的演化，SSBK演化方程的数值解和LOBK演化方程的数值解在非饱和区域差距越来越大，并且LOBK方程的解大于SSBK方程的解。这表明偶极子散射振幅的演化速度被Sudakov效应压低了，极大弥补LOBK方程演化速度过快的不足，将能更好地描述实验数据。

3.2　衍射矢量介子产生

为了显示Sudakov效应修正的偶极子散射振幅具有更好地描述实验数据的能力，本小节我们利用前面所得到的偶极子散射振幅计算HERA能区衍射矢量介子产生，并与H1实验组所测数据^[33，34]作比较。

图3给出了不同光子虚度Q^{\mathrm{2}}下衍射遍举过程的J/\psi和\varphi介子产生的微分截面随\left|t\right|的变化。由于本研究是基于CGC理论框架，所以我们只考虑Q^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{1} GeV²的实验数据。图3中实线表示的结果源自SSBK演化方程所得的微分截面，虚线表示的结果源自SSBK演化方程所得的微分截面（下同）。从图3(a)和3(c)我们可以看出，SSBK的偶极子散射振幅与LOBK的偶极子散射振幅给出了相似的结果，并不能明显区分出那种偶极子散射振幅更能描述J/\psi介子实验数据。此外，在\left|t\right|大于0.5 GeV²时，SSBK的偶极子散射振幅与LOBK的偶极子散射振幅均与实验存在偏差。这一方面是由于实验本身存在一定的误差，另一方面是由于计算中所使用的偶极子散射振幅是向前的（\left|t\right|=0），对于非向前部分的贡献只能通过相因子引入，这也影响了理论计算的精度。从图3(b)和3(d)可以明显看出，SSBK的偶极子散射振幅比LOBK的偶极子散射振幅更能描述\varphi介子实验数据。从图3中还可以看出，LOBK给出的偶极子散射振幅所得结果大于SSBK的偶极子散射振幅所得结果，并且在大多数区域LOBK的偶极子散射振幅所得结果都高于实验数据。从总体趋势来看，由于Sudakov效应抑制了偶极子散射振幅的演化速度，因此所得结果比LOBK小，从而能对不同Q^{\mathrm{2}}的矢量介子都作出较好的描述。

图4给出了不同Q^{\mathrm{2}}下衍射离解过程的矢量介子（J/\psi和\varphi）产生的微分截面随\left|t\right|的变化。在HERA能区衍射离解过程数据还很少，为了计算的完整性，对于无实验数据的衍射离解过程，给出了与衍射遍举过程对应Q^{\mathrm{2}}的预测结果（下同）。对于J/\psi介子，由于缺乏相关的实验数据，因此仅给出了Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{3.2} GeV²和Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{7} GeV²的预测结果。对于\varphi介子，给出了Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{3.3} GeV²的预测结果，同时也给出了Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5} GeV²时的计算结果并与实验数据比较。从图4可以看出SSBK给出的偶极子散射振幅比LOBK给出的偶极子射振幅能更好地描述\varphi介子产生实验数据。

为了进一步显示出Sudakov效应修正的偶极子散射振幅在描述轻、重矢量介子产生中的优越性，图5给出了不同Q^{\mathrm{2}}下衍射遍举过程的J/\psi和\varphi介子产生的总截面随光子-质子质心系能量W_{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}}的变化。从图5可以看出SSBK给出的偶极子散射振幅能对轻、重矢量介子都作出较好的描述。从图5中还可知，随着W_{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}}的增加，Sudakov效应修正的偶极子散射振幅所给结果与领头阶偶极子散射振幅所给出的结果差距逐渐增大。其原因是对于同一Q^{\mathrm{2}}，随着W_{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}}的增加快度也随之增加，偶极子散射振幅之间的差异也随之变大，这一结果与图2相一致。因此，图5也间接表明了Sudakov效应抑制散射振幅的演化速度。

图6给出了不同Q^{\mathrm{2}}下衍射离解过程中J/\psi和\varphi介子产生的总截面随W_{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}}的变化。从图6中可以看出，领头阶总截面普遍都大于Sudakov效应修正的次领头阶总截面，由此也反映出Sudakov效应对偶极子散射振幅演化速度的抑制性。此外，从图6中Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}时理论计算值与实验测量值的比较可知，Sudakov效应修正的次领头阶总截面与实验数据吻合得更好，由此表明了Sudakov效应在描述矢量介子产生时抑制作用的重要性。

为了更直观地显示出Sudakov效应对矢量介子产生的影响，我们计算了图3~6中所涉及实验数据的{\chi }^{\mathrm{2}}与总数据个数N_{\mathrm{p}}的比值{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}。从Sudakov效应修正的散射振幅和领头阶散射振幅计算所得的{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}结果分别是1.26和1.87。由此可知，考虑了Sudakov修正所得的{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}更接近于1且远小于领头阶的情形，从而再次表明Sudakov修正的偶极子散射振幅能对衍射遍举和衍射离解过程中的轻、重矢量介子的产生给出较好的描述。

4　 结 语

本文首先通过数值方法求解了LOBK和SSBK演化方程，得到领头阶和Sudakov修正的偶极子散射振幅的数值形式。然后，基于偶极子模型，采用数值形式的偶极子散射振幅计算了衍射遍举和离解过程中重矢量介子（J/\psi）和轻矢量介子（\varphi）的产生。研究发现Sudakov效应抑制了偶极子散射振幅的演化速度，从而使得次领头阶的散射振幅能够更好地描述HERA的实验数据，也即考虑到Sudakov抑制后得到{\chi }^{\mathrm{2}}/N_{\mathrm{p}}更接近于1且远小于领头阶的情形，由此表明Sudakov效应在矢量介子产生中起着重要的作用。然而，由于HERA能区的动量分数x还未到深度饱和区域，因此所对应的测量结果还不能确切地甄别矢量介子的产生机制。在下一步的研究中，我们将Sudakov效应推广到更高能量的EIC能区，研究其对光子-重核碰撞中的矢量介子产生的影响，相关结果能为矢量介子产生的CGC机制提供进一步的理论支持。

参考文献

[1] MCLERRAN L. The color glass condensate ［J］. Nuclear Physics A， 2002， 702（1/2/3/4）： 49-64. DOI：10.1016/S0375-9474（02）00688-7 .

[2] STAŚTO A M， GOLEC-BIERNAT K， KWIECIŃSKI J. Geometric scaling for the total γ * p cross section in the low x region ［J］. Physical Review Letters， 2001， 86（4）：596-599. DOI： 10.1103/PhysRevLett.86.596 .

[3] MCLERRAN L. What is the evidence for the color glass condensate？［C］// Structure and Dynamics of Elementary Matter. Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2004：183-205. DOI：10.1007/978-1-4020-2705-5_15 .

[4] ESKOLA K J， HONKANEN H， KOLHINEN V J， et al. Nonlinear corrections to the DGLAP equations in view of the HERA data ［J］. Nuclear Physics B， 2003， 660（1/2）：211-224. DOI： 10.1016/S0550-3213（03）00257-8 .

[5] CAOLA F， FORTE S. Geometric scaling from GLAP evolution ［J］. Physical Review Letters， 2008， 101：022001. DOI： 10.1103/PhysRevLett.101.022001 .

[6] BOROUN G R， REZAEI B. The study of the gluon distribution function and reduced cross section behavior using the proton structure function ［J］. Nuclear Physics A， 2021， 1006：122062. DOI： 10.1016/j.nuclphysa.2020.122062 .

[7] ALBACETE J L， ARMESTO N， MILHANO J G， et al. Nonlinear QCD meets data： A global analysis of lepton-proton scattering with running coupling Balitsky-Kovchegov evolution ［J］. Physical Review D， 2009， 80（3）：034031. DOI： 10.1103/PhysRevD.80.034031 .

[8] IANCU E， MADRIGAL J D， MUELLER A H， et al. Collinearly-improved BK evolution meets the HERA data ［J］. Physics Letters B， 2015， 750：643-652. DOI： 10.1016/j.physletb.2015.09.071 .

[9] H1 and ZEUS Collaborations. Combination of measurements of inclusive deep inelastic e ± p scattering cross sections and QCD Analysis of HERA data ［J］. European Physical Journal C， 2015， 75：580. DOI： 10.1140/epjc/s10052-015-3710-4 .

[10] GONÇALVES V P， MARTINS L A S， SAUTER W K. Probing the gluon density of the proton in the exclusive photoproduction of vector mesons at the LHC： A phenomenological analysis ［J］. The European Physical Journal C， 2016， 76（2）： 97. DOI：10.1140/epjc/s10052-016-3917-z .

[11] ARMESTO N， REZAEIAN A H. Exclusive vector meson production at high energies and gluon saturation ［J］. Physical Review D， 2014， 90（5）：054003. DOI： 10.1103/PhysRevD.90.054003 .

[12] CEPILA J， CONTRERAS J G， TAKAKI J T. Energy dependence of dissociative J / ψ photo production as a signature of gluon saturation at the LHC ［J］. Physics Letters B， 2017， 766：186-191. DOI： 10.1016/j.physletb.2016.12.063 .

[13] CAI Y B， XIANG W C， WANG M L， et al. Exclusive photoproduction of vector meson at next-to-leading order from color glass condensate ［J］. Chinese Physics C， 2020， 44（7）： 074110. DOI：10.1088/1674-1137/44/7/074110 .

[14] ZHANG S Y， CAI S H， XIANG W C， et al. Exclusive and dissociative J/ψ production with collinear-improved Balitsky-Kovchegov equation ［J］. Chinese Physics C， 2021， 45（7）： 073110. DOI：10.1088/1674-1137/abfbca .

[15] ZHENG D X， ZHOU J. Sudakov suppression of the Balitsky-Kovchegov kernel ［J］. Journal of High Energy Physics， 2019（11）：177. DOI： 10.1007/JHEP11（2019）177 .

[16] XIANG W C， WANG M L， CAI Y B， et al. Solution to the Sudakov suppressed Balitsky-Kovchegov equation and its application to HERA data ［J］. Chinese Physics C， 2021， 45（1）：014103. DOI： 10.1088/1674-1137/abc0cc .

[17] H1 Collaboration. Elastic and proton-dissociative photoproduction of J / ψ mesons at HERA ［J］. The European Physical Journal C， 2013， 73：2466. DOI： 10.1140/epjc/s10052-013-2466-y .

[18] KOWALSKI H， MOTYKA L， WATT G. Exclusive diffractive processes at HERA within the dipole picture ［J］. Physical Review D， 2006， 74（7）： 074016. DOI： 10.1103/PhysRevD.74.074016 .

[19] CEPILA J， CONTRERAS J G， KRELINA M. Coherent and incoherent J / ψ photonuclear production in an energy-dependent hot-spot model ［J］. Physical Review C， 2018， 97（2）：024901. DOI： 10.1103/PhysRevC.97.024901 .

[20] KOWALSKI H， TEANEY D. Impact parameter dipole saturation model ［J］. Physical Review D， 2003， 68（11）：114005. DOI： 10.1103/PhysRevD.68.114005 .

[21] DOSCH H G， GOUSSET T， KULZINGER G， et al. Vector meson leptoproduction and nonperturbative gluon fluctuations in QCD ［J］. Physical Review D， 1997， 55（5）：2602. DOI： 10.1103/PhysRevD.55.2602 .

[22] BALITSKY I. Operator expansion for high-energy scattering ［J］. Nuclear Physics B， 1996， 463（1）：99-157. DOI： 10.1016/0550-3213（95）00638-9 .

[23] KOVCHEGOV Y. Small- x F₂ structure function of a nucleus including multiple Pomeron exchanges ［J］. Physical Review D， 1999， 60（3）：034008. DOI： 10.1103/PhysRevD.60.034008 .

[24] BALITSKY I. Quark contribution to the small- x evolution of color dipole ［J］. Physical Review D， 2007， 75（1）：1400. DOI： 10.1103/PhysRevD.75.014001 .

[25] KOVCHEGOV Y V， WEIGERT H. Triumvirate of running couplings in small- x evolution ［J］. Nuclear Physics A， 2007， 784（1/2/3/4）：188-226. DOI： 10.1016/j.nuclphysa.2006.10.075 .

[26] XIANG W C， CAI S H， ZHOU D C. Approximate solution to the NLL BK equation in the saturation region ［J］. Physical Review D， 2017， 95（11）：116009. DOI： 10.1103/PhysRevD.95.116009 .

[27] BALITSKY I， CHIRILLI G A. Next-to-leading order evolution of color dipoles ［J］. Physical Review D， 2008， 77（1）：014019. DOI： 10.1103/PhysRevD.77.014019 .

[28] LAPPI T， MÄNTYSAARI H. Direct numerical solution of the coordinate space Balitsky-Kovchegov equation at next-to-leading order ［J］. Physical Review D， 2015， 91（7）：074016. DOI： 10.1103/PhysRevD.91.074016 .

[29] BEUF G. Improving the kinematics for low-x QCD evolution equations in coordinate space ［J］. Physical Review D， 2014， 89（7）：074039. DOI： 10.1103/PhysRevD.89.074039 .

[30] IANCU E， MADRIGAL J D， MUELLER A H， et al. Resumming double logarithms in the QCD evolution of color dipoles ［J］. Physics Letters B， 2015， 744（C）：293-302. DOI： 10.1016/j.physletb.2015.03.068 .

[31] DUCLOUÉ B， IANCU E， MUELLER A H， et al. Non-linear evolution in QCD at high-energy beyond leading order ［J］. Journal of High Energy Physics， 2019， 2019（4）： 81. DOI：10.1007/JHEP04（2019）081 .

[32] MCLERRAN L， VENUGOPALAN R. Boost covariant gluon distributions in large nuclei ［J］. Physics Letters B， 1998， 424（1/2）： 15-24. DOI：10.1016/S0370-2693（98）00214-7 .

[33] H1 Collaboration. Elastic J / ψ production at HERA ［J］. The European Physical Journal C， 2006， 46（3）：585-603. DOI： 10.1140/epjc/s2006-02519-5 .

[34] H1 Collaboration. Diffractive electroproduction of ρ and ϕ mesons at HERA ［J］. Journal of High Energy Physics， 2010（5）：032. DOI： 10.1007/jhep05（2010）032 .