次线性期望下随机加权END序列的完全积分收敛

Complete Integral Convergence of Randomly Weighted END Sequence Under Sub-Linear Expectation

摘要

次线性期望下的极限理论具有挑战性，并且引起了人们的广泛关注和探索。运用不同于概率空间的研究方法，在Choquet积分存在的条件下，利用Hölder 不等式和广义负相依（END）序列的容度不等式，研究次线性期望下随机加权END随机变量序列的完全积分收敛性，得到了完全收敛和完全积分收敛定理，从而把该定理从传统概率空间拓展到次线性期望空间。此外，定理的结果也对次线性期望下的一些结果进行了推广。

Abstract

Limit theory under sub-linear expectation is challenging and has attracted a great deal of attention and exploration. Adopt the different approach than probability space, under the condition that Choquet integrals existed, we used Hölder inequality and extended negatively dependent (END) capacities inequality to study the complete integral convergence for randomly weighted END random variables sequence under the sub-linear expectation, and obtained the theorems of complete convergence and complete integral convergence, thereby extending the corresponding results from the probability space to the sub-linear expectations space. Moreover, the results extend some corresponding ones under sub-linear expectations.

关键词

次线性期望 / 完全积分收敛 / 随机加权 / END序列

Key words

sub-linear expectation / complete integral convergence / randomly weighted / END sequence

0　 引 言

在经典的概率空间中，期望具备可加性的假设可以用来解释一些确定的现象。但随着经济问题的持续快速发展，在金融保险、统计预测和其他领域逐渐出现了一些不确定的现象，不确定的问题并不能运用具有可加性的概率和期望来模拟。因此，Peng^[1，2]勾勒了次线性期望的理论框架，研究了正态分布的特征，证明了一些重要的定理，Li^[3]在一些更弱的条件下，也研究了中心极限定理，并拓展了Peng^[2]的结论。近年来，许多学者对次线性期望的研究更加深刻，呈现出越来越多优秀的成果。例如，Chen^[4]等建立了次可加概率下的强大数律和Hölder不等式；Zhang^[5]研究了次线性期望下END（extended negatively dependent）的强大数律和重对数律，Wu和Jiang^[6]在更一般的条件下，拓展了Zhang^[5]的相应结果，获得了强大数律以及Chover重对数律；Lu和Meng^[7]证明了次线性期望下行WND（widely negative dependent）随机变量阵列的完全收敛和完全积分收敛性。

1988年，Chow^[8]提出了完全矩收敛，这是一种比Hsu和Robbins^[9]提出的完全收敛更强的收敛。诸多学者对此展开了研究。如Wang等^[10]证明了WOD（widely orthant-dependent）这类随机变量阵列的完全收敛性；Wu^[11]给出了行END随机变量阵列的完全矩收敛和平均收敛的证明；Wu和Jiang^[12]得到了NA（negatively associated）列的完全收敛和完全矩收敛；Yan^[13]研究了END最大加权和的完全收敛性和完全矩收敛性；Xu等^[14]获得了END最大随机加权和的完全矩收敛，并且将这种结果运用到了非参数模型中。在次线性期望下，Zhong和Wu^[15]证明了权重是实数列的广义ND（negatively dependent）的完全收敛和完全积分收敛；张冰冰和吴群英^[16]运用Hölder不等式和Rosenthal不等式，在，权重是A_{ni}，并且{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{E}{A_{ni}}^{\mathrm{2}}=O\left(n^{\beta }\right),\beta \ge \mathrm{1}的条件下，获得了随机加权ND序列的完全积分收敛。本文在文献[14]的基础上，将文中定理2.1的条件，改为且\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left({\left|X\right|}^p-c\right)}^{+}=\mathrm{0}，，并做了一些假设，得到了次线性期望下权重为随机变量的完全积分收敛。

1　 定义及引理

若\left(\Omega ,\mathrm{ℱ}\right)是给定的可测空间，设\mathrm{\mathscr{H}}是\left(\Omega ,\mathrm{ℱ}\right)上由实函数组成的线性空间。若X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\in \mathrm{\mathscr{H}}，则对于\forall \phi \in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_n)，有\phi \left(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\right)\in \mathrm{\mathscr{H}}，其中C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_n)表示局部Lipschitz函数的线性空间，即对\phi \in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_n)，存在常数c>\mathrm{0}，m\in \mathbb{N}依赖于\phi，使得对\forall \mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}_n都有

\left|\phi (\mathit{x})-\phi (\mathit{y})\right|\le c\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{x}\right|}^m+{\left|\mathit{y}\right|}^m\right)\left|\mathit{x}-\mathit{y}\right|

称\mathrm{\mathscr{H}}是由随机变量构成的空间，并记X\in \mathrm{\mathscr{H}}。

定义1^[1] 若对于\forall X,Y\in \mathrm{\mathscr{H}}，\widehat{\mathit{𝔼}}:\mathrm{\mathscr{H}}\to [-{\infty },+{\infty }]满足以下条件：

1） 单调性：若X\ge Y，则\widehat{\mathit{𝔼}}(X)\ge \widehat{\mathit{𝔼}}(Y)；

2） 保持常数不变性：\widehat{\mathit{𝔼}}(c)=c；

3） 次可加性：\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X+Y\right)\le \widehat{\mathit{𝔼}}\left(X\right)+\widehat{\mathit{𝔼}}\left(Y\right)，其中\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X\right)+\widehat{\mathit{𝔼}}\left(Y\right)不是+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }或者-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }这样的形式；

4） 正齐性：\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\lambda X\right)=\lambda \widehat{\mathit{𝔼}}\left(X\right)，\lambda \ge \mathrm{0}。

三元组(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})被称为次线性期望空间，\widehat{\mathit{𝔼}}是次线性期望，对任意的X\in \mathrm{\mathscr{H}}，有

\widehat{\epsilon }(X):=-\widehat{\mathit{𝔼}}(-X),\forall X\in \mathrm{\mathscr{H}}

称\widehat{\epsilon }是\widehat{\mathit{𝔼}}的共轭期望。从定义1得出，对于所有的X,Y\in \mathrm{\mathscr{H}}，有

\widehat{\epsilon }\left(X\right)\le \widehat{\mathit{𝔼}}\left(X\right),\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X+c\right)=\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X\right)+c,\left|\widehat{\mathit{𝔼}}(X-Y)\right|\le \widehat{\mathit{𝔼}}\left|X-Y\right|,\widehat{\mathit{𝔼}}(X-Y)\ge \widehat{\mathit{𝔼}}(X)-\widehat{\mathit{𝔼}}(Y)

定义2^[1] 令\mathrm{𝒢}\subset \mathrm{ℱ}，函数V：\mathrm{𝒢}\to [\mathrm{0,1}]称为容度，若

1） V\left(\mathrm{\varnothing }\right)=\mathrm{0},V\left(\Omega \right)=\mathrm{1}；

2） 对\forall A\subseteq B,A,B\in \mathrm{𝒢}，都有V\left(A\right)\le V\left(B\right)。

如果对所有的A,B\in \mathrm{𝒢}，A\bigcup B\in \mathrm{𝒢}，有V\left(A\bigcup B\right)\le V\left(A\right)+V\left(B\right)，则称V具有次可加性。

在次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下，定义一对容度(\mathit{𝕍},\mathrm{𝒱})，即对于\forall A\in \mathrm{ℱ}，\mathit{𝕍}(A):=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{\widehat{\mathit{𝔼}}\xi :{\rm I}(A)\le \xi ,\xi \in \mathrm{\mathscr{H}}\right\},\mathrm{𝒱}(A):=\mathrm{1}-\mathit{𝕍}(A^c)。其中，A^{\mathrm{c}}是A的补集，{\rm I}(\cdot )为示性函数。由\mathit{𝕍}的定义可以看出\mathit{𝕍}具有次可加性，并且\mathrm{𝒱}(A)\le \mathit{𝕍}(A),\forall A\in \mathrm{ℱ}。

若{\rm I}(A)\in \mathrm{\mathscr{H}}，则\mathit{𝕍}(A)=\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\rm I}(A)\right)，若f\le {\rm I}(A)\le g且f,g\in \mathrm{\mathscr{H}}，则

\widehat{\mathit{𝔼}}f\le \mathit{𝕍}(A)\le \widehat{\mathit{𝔼}}g（1）

定义3^[1] 定义\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{t}积分为

C_V(X)={\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }V(X\ge t)\mathrm{d}t+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{0}}\left(V(X\ge t)-\mathrm{1}\right)\mathrm{d}t

\mathit{𝕍}和\mathrm{𝒱}可以分别用来替代V。

定义4（同分布）^[1] 设{\mathit{X}}_{\mathrm{1}},{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}定义在({\Omega }_{\mathrm{1}},{\mathrm{\mathscr{H}}}_{\mathrm{1}},{\widehat{\mathit{𝔼}}}_{\mathrm{1}})和({\Omega }_{\mathrm{2}},{\mathrm{\mathscr{H}}}_{\mathrm{2}},{\widehat{\mathit{𝔼}}}_{\mathrm{2}})中的两个n维随机向量，若满足

{\widehat{\mathit{𝔼}}}_{\mathrm{1}}\left(\phi ({\mathit{X}}_{\mathrm{1}})\right)={\widehat{\mathit{𝔼}}}_{\mathrm{2}}\left(\phi ({\mathit{X}}_{\mathrm{2}})\right),\forall \phi \in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_n)

则称{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}同分布，记为{{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}}^{\underline{\underline{\mathrm{d}}}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}。若\forall i\ge \mathrm{1},{X_i}^{\underline{\underline{\mathrm{d}}}}{X}_{\mathrm{1}}，则称随机变量序列\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是同分布的。

定义5（独立性）^[2] 在次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下，假设对于每一个函数\phi \in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_m\times {\mathbb{R}}_n)，使得并且，对所有x，都有

\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\phi (\mathit{X},\mathit{Y})\right)=\widehat{\mathit{𝔼}}\left[\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\phi (\mathit{x},\mathit{Y})\right){|}_{\mathit{x}=\mathit{X}}\right]

则称随机向量\mathit{Y}=(Y_{\mathrm{1}},\cdots ,Y_n)关于随机向量\mathit{X}=(X_{\mathrm{1}},\cdots ,X_m)在\widehat{\mathit{𝔼}}下是独立的。其中，Y_i,X_i\in \mathrm{\mathscr{H}}。

由独立性的定义可以得到下面的性质。

性质1 在次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})中，若向量\mathit{Y}=(Y_{\mathrm{1}},\cdots ,Y_n),(Y_i\in \mathrm{\mathscr{H}})独立于向量\mathit{X}=(X_{\mathrm{1}},\cdots ,X_m),X_i\in \mathrm{\mathscr{H}}，则对任意一对函数{\phi }_{\mathrm{1}}\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_m)和{\phi }_{\mathrm{2}}\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}({\mathbb{R}}_n)，且{\phi }_{\mathrm{1}}(\mathit{X})\ge \mathrm{0},\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\phi }_{\mathrm{2}}(\mathit{Y})\right)\ge \mathrm{0}，有

\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\phi }_{\mathrm{1}}(\mathit{X}){\phi }_{\mathrm{2}}(\mathit{Y})\right)=\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\phi }_{\mathrm{1}}(\mathit{X})\right)\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\phi }_{\mathrm{2}}(\mathit{Y})\right)（2）

定义6（END）^[5] 在次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})中，如果存在常数K\ge \mathrm{1}，使得下式成立

\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n}{\phi }_i\left(X_i\right)\right)\le K{\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left({\phi }_i\left(X_i\right)\right),n\ge \mathrm{1}

则称\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}为END序列。上式中，非负函数{\phi }_i\in C_{b,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}(\mathbb{R})是非增或非减的。

根据定义可知，若\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}为END序列，f_{\mathrm{1}}(x),f_{\mathrm{2}}(x),\cdots ,f_n(x)\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}(\mathbb{R})是非增或非减的，则\left\{f_n(X_n);n\ge \mathrm{1}\right\}也是END序列。

在次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下，同分布根据\widehat{\mathit{𝔼}}定义，随机控制定义如下

定义7 如果存在一个常数c，使得

\widehat{\mathit{𝔼}}\left(h\left(\left|X_n\right|\right)\right)\le c\widehat{\mathit{𝔼}}\left(h\left(\left|X\right|\right)\right),\forall n\ge \mathrm{1}，\mathrm{0}\le h\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}(\mathbb{R})（3）

成立，那么称\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}这个随机变量序列被随机变量X控制。

在本文中，a_n\ll b_n表示存在一个常数c>\mathrm{0}，使得当n充分大时，恒有a_n\le c{b}_n，{\rm I}(\cdot )表示示性函数。

为了证明本文的结论，我们需要下面的引理。

引理1 Hölder不等式^[4]：假设X,Y是(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下的两个随机变量，对p,q>\mathrm{1}，且\frac{\mathrm{1}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{q}=\mathrm{1}，有

\widehat{\mathit{𝔼}}\left|XY\right|\le {\left(\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\right)}^{\mathrm{1}/p}{\left(\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|Y\right|}^q\right)}^{\mathrm{1}/q}

引理2^[15] 设X\in \mathrm{\mathscr{H}}，\alpha >\mathrm{0}，p>\mathrm{0}，

1） 则对\forall c>\mathrm{0}，有

2） 如果，则对于\theta >\mathrm{1},c>\mathrm{0}有

引理3^[5] 设\{X_n,n\ge \mathrm{1}\}是次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下的END随机变量序列，且\widehat{\mathit{𝔼}}{X}_k\le \mathrm{0}，记S_n={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{X}_k，B_n={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}\widehat{E}{X_k}^{\mathrm{2}}，则\forall x>\mathrm{0}，有

\mathit{𝕍}\left(S_n>x\right)\le \left(\mathrm{1}+K\mathrm{e}\right)\frac{B_n}{x^{\mathrm{2}}}

其中K的含义同定义6。

2　 主要结果及其证明

设\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下的随机变量序列，对\forall \mathrm{1}\le i\le n，n\ge \mathrm{1}，对\alpha >\mathrm{1}/\mathrm{2}，记

定理1 设\{X,X_n,n\ge \mathrm{1}\}和\left\{A_{ni},\mathrm{1}\le i\le n\right\}是次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下的两个随机变量序列，\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}关于\left\{A_{ni},\mathrm{1}\le i\le n\right\}独立，且\left\{A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right\}是END的。\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}被随机变量X控制，对并且对某一个\mathrm{1}\le \beta \le \alpha p，满足

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{E}{A_{ni}}^{\mathrm{2}}=O(n^{\beta })（4）

且\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left({\left|X\right|}^p-c\right)}^{+}=\mathrm{0}（5）

则对\forall \epsilon >\mathrm{0}，有

（6）

（7）

特别地，如果\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\widehat{\epsilon }(A_{ni}{X}_i)，则有

（8）

设\left\{X_n,n\ge \mathrm{1}\right\}是次线性期望空间(\Omega ,\mathrm{\mathscr{H}},\widehat{\mathit{𝔼}})下的随机变量序列。对\forall \mathrm{1}\le i\le n，n\ge \mathrm{1}以及x\ge n^{\alpha r}，对，记

定理2 假设定理1的条件成立，将“\left\{A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right\}是END的”改成“\left\{A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right\}是END的”，并且\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\widehat{\epsilon }(A_{ni}{X}_i)，则对，\forall \epsilon >\mathrm{0}，有

（9）

注1 定理2推广了文献[16]的相应结果，当r=\mathrm{1}时，文献[16]的结论是本文结果的特殊情况。

定理1的证明

先证（6）式，不失一般性，我们可以假设\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\mathrm{0}。

对\forall \mathrm{1}\le i\le n，n\ge \mathrm{1}，对\alpha >\mathrm{1}/\mathrm{2}，记

则有X_i=X_i^{\text{'}}+X_i^{″}。

\begin{array}{l}\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{A}_{ni}{X}_i>\epsilon n^{\alpha }\right)\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathit{𝕍}\left(\left|X_i\right|>n^{\alpha }\right)+\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{A}_{ni}{X}_i^{\text{'}}>\epsilon n^{\alpha }\right)\\ \le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathit{𝕍}\left(\left|X_i\right|>n^{\alpha }\right)+\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i^{\text{'}})\right)>\epsilon n^{\alpha }-\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i^{\text{'}})\right|\right)\end{array}

因而

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{A}_{ni}{X}_i>\epsilon n^{\alpha }\right)\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathit{𝕍}\left(\left|X_i\right|>n^{\alpha }\right)

+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\mathit{𝕍}\left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right)>\epsilon n^{\alpha }-\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right|\right\}:={{\rm I}}_{\mathrm{1}}+{{\rm I}}_{\mathrm{2}}

因此，为了证明（6）式，只需证明。

在次线性期望空间下，由于\widehat{\mathit{𝔼}}是用连续函数C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}来定义，并且{\rm I}(\left|X\right|\le a)不一定连续，所以表达式\widehat{\mathit{𝔼}}{\rm I}\left(\left|X\right|\le a\right)不一定存在，因此需要通过C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}来修正示性函数，我们做如下定义：

对于，假设偶函数g(x)\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}(\mathbb{R})，并且g(x)在x\ge \mathrm{0}是单调下降的，使得\forall x\in \mathbb{R}，有\mathrm{0}\le g(x)\le \mathrm{1}，当\left|x\right|\le \mu ,g(x)=\mathrm{1}，当\left|x\right|>\mathrm{1},g(x)=\mathrm{0}，则有

{\rm I}\left(\left|x\right|\le \mu \right)\le g\left(\left|x\right|\right)\le {\rm I}\left(\left|x\right|\le \mathrm{1}\right),{\rm I}\left(\left|x\right|>\mathrm{1}\right)\le \mathrm{1}-g\left(\left|x\right|\right)\le {\rm I}\left(\left|x\right|>\mu \right)（10）

根据（1）式，（10）式，（3）式，（5）式和引理2以及\beta \ge \mathrm{1}，有

接着证。由（10）式和C_r不等式，对任意的\gamma >\mathrm{0}，有

{\left|X_i^{\text{'}}\right|}^{\gamma }\ll {\left|X_i\right|}^{\gamma }{\rm I}\left(\left|X_i\right|\le n^{\alpha }\right)+n^{\alpha \gamma }{\rm I}\left(\left|X_i\right|>n^{\alpha }\right)\le {\left|X_i\right|}^{\gamma }g\left(\frac{\mu \left|X_i\right|}{n^{\alpha }}\right)+n^{\alpha \gamma }\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X_i\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)

（11）

由（11）式，（1）式和（3）式，有

\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X_i^{″}\right|}^{\gamma }\le \widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X_i\right|}^{\gamma }\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X_i\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\ll \widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^{\gamma }\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)（12）

根据\left|A_{ni}\right|\ge \mathrm{0},\widehat{\mathit{𝔼}}\left|X_{i_{}}^{″}\right|\ge \mathrm{0}，由（2）式可知，\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\left|A_{ni}\right|\left|X_{i_{}}^{″}\right|\right)=\widehat{\mathit{𝔼}}\left|A_{ni}\right|\widehat{\mathit{𝔼}}\left|X_{i_{}}^{″}\right|。

由\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\mathrm{0}，结合（4）式，（5）式和引理1以及（12）式，因为p\ge \mathrm{1}，\mathrm{1}\le \beta \le \alpha p，\frac{\beta }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\alpha p\le \beta -\alpha p\le \mathrm{0}，所以有

n^{-\alpha }\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right|\le n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left|\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i\right)-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right|\le n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left|A_{ni}{X}_i-A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right|=n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left|A_{ni}{X}_{i_{}}^{″}\right|=

n^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left|A_{ni}\right|\widehat{\mathit{𝔼}}\left|X_i^{″}{}_{}\right|\le c{n}^{-\alpha }{\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|A_{ni}\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathrm{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left|X\right|\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\ll n^{-\alpha +\frac{\beta }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left|X\right|\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\le

n^{\frac{\beta }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\alpha p}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\ll \widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)（13）

下面证明\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\to \mathrm{0}。

由（5）式，对\forall \left|\xi \right|\le {\left|X\right|}^p，因为\mathrm{0}\le {\left(\left|\xi \right|-c\right)}^{+}\le {\left({\left|X\right|}^p-c\right)}^{+}，所以\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(\left|\xi \right|-c\right)}^{+}=\mathrm{0}，根据Zhang^[17]的引理3.9(c)，有\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\left|\xi \right|\right)\le C_{\mathit{𝕍}}\left(\left|\xi \right|\right)。又因为{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\le {\left|X\right|}^p，所以

\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\le C_{\mathit{𝕍}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\le C_{\mathit{𝕍}}\left({\left|X\right|}^{p}I\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right)\right)=

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}V\left(\left|X\right|I\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right)>x^{\mathrm{1}/p}\right)\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{0}}^{(\mu n^{\alpha }{)}^p}V\left(\left|X\right|I\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right)>x^{\mathrm{1}/p}\right)\mathrm{d}x

+{\int }_{(\mu n^{\alpha }{)}^p}^{\mathrm{\infty }}V\left(\left|X\right|I\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right)>x^{\mathrm{1}/p}\right)\mathrm{d}x=(\mu n^{\alpha }{)}^p\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right)+{\int }_{(\mu n^{\alpha }{)}^p}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>x^{\mathrm{1}/p}\right)\mathrm{d}x:=L_{\mathrm{1}}+L_{\mathrm{2}}

因为，所以当n\to \mathrm{\infty }时，L_{\mathrm{2}}\to \mathrm{0}。接下来证L_{\mathrm{1}}\to \mathrm{0}。

因为

，并且\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>x^{\mathrm{1}/p}\right)\downarrow

所以\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}x\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>x^{\mathrm{1}/p}\right)=\mathrm{0}。令x={\left(\mu y^{\alpha }\right)}^p，则有

\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\mu y^{\alpha }\right)}^p\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>\mu y^{\alpha }\right)=\mathrm{0}

因此，当n\to \mathrm{\infty }，有L_{\mathrm{1}}\to \mathrm{0}。所以，当n充分大时，\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right|\le \frac{\epsilon n^{\alpha }}{\mathrm{2}}，由此可得

{{\rm I}}_{\mathrm{2}}\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\mathit{𝕍}\left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right)>\frac{\epsilon n^{\alpha }}{\mathrm{2}}\right\}

根据定理1的假设，\left\{A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right\}是END的随机变量序列，\left\{A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right),\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\right\}仍满足定义6，且\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right)=\mathrm{0}，对\left\{A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right\}用引理3，结合（4），（10），（11），（1），（3）式，有

{{\rm I}}_{\mathrm{2}}\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)\right)}^{\mathrm{2}}}{n^{\mathrm{2}\alpha }}\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\mathrm{2}\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(A_{ni}{X}_i^{\text{'}}\right)}^{\mathrm{2}}=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\mathrm{2}\alpha }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{E}{\left|A_{ni}\right|}^{\mathrm{2}}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X_i^{\text{'}}\right|}^{\mathrm{2}}\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\mathrm{2}\alpha }\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\le

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\mathrm{2}\alpha }\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}}\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>\mu n^{\alpha }\right):=I_{\mathrm{21}}+I_{\mathrm{22}}

由引理2和（5）式可得。接着证。

对于，设g_j(x)\in C_{l,\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}}(\mathbb{R})，j\ge \mathrm{1}，使得\forall x\in \mathbb{R}，有\mathrm{0}\le g_j(x)\le \mathrm{1}，且当{\mathrm{2}}^{\left(j-\mathrm{1}\right)\alpha }\le \left|x\right|\le {\mathrm{2}}^{j\alpha }，g_j\left(\frac{x}{{\mathrm{2}}^{j\alpha }}\right)=\mathrm{1}，当或\left|x\right|>\left(\mathrm{1}+\mu \right){\mathrm{2}}^{j\alpha }，g_j\left(\frac{x}{{\mathrm{2}}^{j\alpha }}\right)=\mathrm{0}。则有

（14）

根据（14），（1）式及g(x)在x\ge \mathrm{0}单调下降，有

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{2}}^{k\alpha \left(p-\mathrm{2}\right)}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\mu }^{\mathrm{2}}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{X}^{\mathrm{2}}{g}_j\left(\frac{\mu \left|X\right|}{{\mathrm{2}}^{j\alpha }}\right)\right)\le c{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{2}}^{\alpha k(p-\mathrm{2})}+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{2}}^{\alpha k\left(p-\mathrm{2}\right)}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}{g}_j\left(\frac{\mu \left|X\right|}{{\mathrm{2}}^{j\alpha }}\right)\right):=I_{\mathrm{211}}+I_{\mathrm{212}}（15）

因为，所以，然后估计{{\rm I}}_{\mathrm{212}}，结合（1）式，（14）式，（5）式以及引理2，有

（16）

因此（6）式成立。因为\{-X,-X_k,k\ge \mathrm{1}\}也满足定理1的条件，因此，将 \{-X_n,n\ge \mathrm{1}\}代入（6）式，根据\widehat{\mathit{𝔼}}(-X_n)=-\widehat{\epsilon }(X_n)，我们可以得到（7）式成立。

特别地，如果\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\widehat{\epsilon }(A_{ni}{X}_i)，由（6）式和（7）式得

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i-\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)\right)\right|>\epsilon n^{\alpha }\right)\le

因此，定理1证明完毕。

定理2的证明

先证（9）式，不失一般性，我们仍然假设\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\mathrm{0}。

因为

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{C}_{\mathit{𝕍}}{\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|-\epsilon n^{\alpha }\right)}_{+}^r=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|-\epsilon n^{\alpha }>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{\mathrm{0}}^{n^{\alpha r}}\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|-\epsilon n^{\alpha }>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|-\epsilon n^{\alpha }>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x\le

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta }\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|>\epsilon n^{\alpha }\right)+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left(\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{X}_i\right)\right|>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x:=J_{\mathrm{1}}+J_{\mathrm{2}}

并且由定理1，我们有，因此要证明（9）式，只需要证明。

要证，首先证

（17）

对任意的\mathrm{1}\le i\le n，n\ge \mathrm{1}以及x\ge n^{\alpha r}，对，记

则有

H\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathit{𝕍}\left(\left|X_i\right|>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x\le

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\mathit{𝕍}\left(\left|X_i\right|>x^{\mathrm{1}/r}\right)\mathrm{d}x+

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right)>x^{\mathrm{1}/r}-\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right|\right)\mathrm{d}x:=H_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{2}}

要证，只要证和。首先证，因为\beta \ge \mathrm{1}，p>r>\mathrm{0}，\alpha >\mathrm{1}/\mathrm{2}，由（1）式，（10）式和（3）式以及g(x)在x\ge \mathrm{0}单调下降和（5）式、引理2，有

H_{\mathrm{1}}\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X_i\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\mathrm{d}x\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\mathrm{d}x=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\beta -\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{k^{\alpha r}}^{{(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\mathrm{d}x\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\beta -\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}}\left({(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}-k^{\alpha r}\right)\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{k^{\alpha }}\right)\right)\le

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}}\left({(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}-k^{\alpha r}\right)\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{k^{\alpha }}\right)\right)\ll {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{k}^{\alpha r-\mathrm{1}}\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>\mu k^{\alpha }\right){\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^k}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}\ll

（18）

接下来证。由（1）式，（10）式和C_r不等式可以得到，\forall l>\mathrm{0}，

\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|Y_i^{\text{'}}\right|}^l\ll \widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^{l}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)+x^{l/r}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\le \widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^{l}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)+x^{l/r}\mathit{𝕍}\left(\left|X\right|>\mu x^{\mathrm{1}/r}\right)（19）

因为p\ge \mathrm{1}，\mathrm{1}\le \beta \le \alpha p，r>\mathrm{0}，类似（13）式的证明，有

\underset{x\ge n^{\alpha r}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{x}^{-\mathrm{1}/r}\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right|\le n^{\frac{\beta }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\alpha p}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left|X\right|}^p\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{n^{\alpha }}\right)\right)\to \mathrm{0},n\to \mathrm{\infty }

所以，对于足够大的n，有，由此可得

H_{\mathrm{2}}\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\mathit{𝕍}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right)>\frac{x^{\mathrm{1}/r}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x

根据{A_{ni}}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0},\widehat{\mathit{𝔼}}\left({Y_{i_{}}^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}\right)\ge \mathrm{0}，由（2）式可知，\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)}^{\mathrm{2}}=\widehat{\mathit{𝔼}}({A_{ni}}^{\mathrm{2}})\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(Y_i^{\text{'}}\right)}^{\mathrm{2}}。

对于x\ge n^{\alpha r}，由于\left\{A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right\}是END的，由定义6可得 \left\{A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right),\mathrm{1}\le i\le n,n\ge \mathrm{1}\right\}仍满足END的条件，并且\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right)=\mathrm{0}，对\left\{A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}-\widehat{\mathit{𝔼}}\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)\right\}用引理3，结合（2）式、（19）式，有

H_{\mathrm{2}}\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-\mathrm{2}/r}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{\mathit{𝔼}}{\left(A_{ni}{Y}_i^{\text{'}}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\beta -\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-\mathrm{2}/r}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{E}{A_{ni}}^{\mathrm{2}}\widehat{\mathit{𝔼}}{Y_i^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ll

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\int }_{n^{\alpha r}}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-\mathrm{2}/r}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)\mathrm{d}x:=H_{\mathrm{21}}+H_{\mathrm{22}}

要证，只要证和。首先证，由（1）式，（10）式，，及g(x)在x\ge \mathrm{0}单调下降和（5）式和引理2，有

H_{\mathrm{21}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }}{\int }_{k^{\alpha r}}^{{(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)dx\le {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}}\left({(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}-k^{\alpha r}\right)\widehat{\mathit{𝔼}}\left(\mathrm{1}-g\left(\frac{\left|X\right|}{k^{\alpha }}\right)\right)\ll

接下来证。由（1）式，（10）式及g(x)在x\ge \mathrm{0}单调下降和（5）式和引理2，再结合（15），（16）式，，有

H_{\mathrm{22}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }}{\int }_{k^{\alpha r}}^{{(k+\mathrm{1})}^{\alpha r}}{x}^{-\mathrm{2}/r}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{x^{\mathrm{1}/r}}\right)\right)dx\ll {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{n}^{\alpha p-\mathrm{1}-\alpha r}{\displaystyle \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}}{k}^{\alpha r-\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}\widehat{\mathit{𝔼}}\left(X^{\mathrm{2}}g\left(\frac{\mu \left|X\right|}{k^{\alpha }}\right)\right)=

由此完成了（17）式的证明。

因为\widehat{\mathit{𝔼}}(A_{ni}{X}_i)=\widehat{\epsilon }(A_{ni}{X}_i)=\mathrm{0}。\{-X_n,n\ge \mathrm{1}\}仍满足定理2的条件，所以，可以将\{-X_n,n\ge \mathrm{1}\}代入（17）式，得到

（20）

由（17）和（20）式成立，可以得到。则定理2证毕。

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基金资助

国家自然科学基金(12061028)

广西自然科学基金面上项目(2018GXNSFAA281011)