Banach空间中带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程解的存在性

Existence of Solutions for Fractional Differential Equations with Sturm-Liouville Boundary Conditions in Banach Space

摘要

抽象空间微分方程的难点在于积分算子不再具有紧性，为了对相应的算子应用凝聚映射的不动点理论，通常要给非线性项添加非紧性条件。本文运用非紧性测度估计技巧、Sadovskii’s不动点定理和凝聚映射的Leray-Schauder不动点定理，研究了Banach空间中带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程解的存在性，并举例说明所得结果的适用性。

Abstract

The difficulty of abstract space differential equation is that the integral operator is no longer compact. In order to apply the fixed point theorem of condensing mapping to the corresponding operator, it is usually necessary to add compactness conditions to the nonlinear term. In this paper, the existence of solutions for fractional differential equations with Sturm-Liouville boundary conditions in Banach space is investigated by using a new estimation technique for the measure of noncompactness, the Sadovskii’s fixed point theorem and the Leray-Schauder type fixed point theorem of condensing mapping. An example is given to show the applicability of main results.

关键词

一致分数阶导数 / 非紧性测度 / Sadovskii’s不动点定理 / Leray⁃Schauder不动点定理

Key words

conformable fractional derivative / measure of noncompactness / Sadovskii’s fixed point theorem / Leray-Schauder type fixed point theorem

0　 引 言

由于经典的整数阶导数是局部的,不能用记忆来模拟动态过程。为了避免经典整数阶导数的这一缺点,许多作者试图用分数阶导数来代替经典导数,而绝大部分作者是基于Riemann-Liouville或Caputo定义研究分数阶微分方程^[1~3]。2014年,Khalil等^[4]提出了一个新的分数阶导数定义,即一致分数阶导数,其与经典导数相兼容,满足经典导数的基本性质。关于一致分数阶导数的介绍与应用可参见文献[5~10]。

2014年,Yu等在文献[11]中讨论了含两个分数阶的Langevin方程初值问题

解的唯一性。其中，{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\beta },{}_{\mathrm{0}}{}^{c}D{D}_t^{\rho }是标准的Caputo分数阶导数,f:[\mathrm{0,1}]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}是给定的连续可导函数,。

2017年,Baghani在文献[12]中，将上述方程中的非线性项f 弱化，在满足f:[\mathrm{0,1}]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}是Lebesgue可测的条件下，进一步讨论了上述含两个分数阶的Langevin方程初值问题。

2018年,Gao等在文献[13]中运用Sadovskii’s不动点定理和凝聚映射的Leray-Schauder不动点定理,讨论了Banach空间中分数阶微分方程边值问题

\left\{\begin{array}{ll}{}_{}{}^c{D}_{{\mathrm{0}}^{+}}^{\beta }u(t)=f\left(t,u\left(t\right)\right),& t\in J\\ u(\mathrm{0})=u(\mathrm{1})=\theta & \end{array}\right.

解的存在性。其中，为实数,J=[\mathrm{0,1}],{}^c{D}_{{\mathrm{0}}^{+}}^{\beta }是标准的Caputo分数阶导数,f:J\times E\to E为连续函数,E是Banach空间,\theta是Banach空间E中的零元素。

受以上工作的启发,本文主要运用非紧性测度估计技巧、Sadovskii’s不动点定理和凝聚映射的Leray-Schauder不动点定理,研究了Banach空间中带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程

\left\{\begin{array}{ll}-D^{\beta }{D}^{\rho }u\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right)\right),& t\in J\\ \gamma u\left(\mathrm{0}\right)-\delta D^{\rho }u(\mathrm{0})=\theta & \\ \eta u(\mathrm{1})+\zeta D^{\rho }u\left(\mathrm{1}\right)=\theta & \end{array}\right.（1）

解的存在性。其中，\rho ,\beta \in \left(\mathrm{0,1}\right],\rho +\beta \in \left(\mathrm{1,2}\right],J=\left[\mathrm{0,1}\right],\gamma ,\delta ,\eta ,\zeta \ge \mathrm{0},D^{\rho },D^{\beta }是\rho ,\beta阶一致分数阶导数,f:J\times E\to E连续,E是Banach空间,\theta是Banach空间E中的零元素。

1　 预备知识

C(J,E)表示由J映到E的全体连续函数构成的空间,其范数为{‖u‖}_c=\underset{t\in J}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}‖u(t)‖。

设D\subset C\left(J,E\right)为有界集,记D(t)=\left\{u(t)\left|u\in D\right.\right\},D(J)=\left\{u(t)\left|u\in D,t\in J\right.\right\},则D(t),D(J)为E中的有界集,C(J,E)中的非紧性测度用\alpha表示。

定义1^[4] 函数f:\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \mathbb{R}的\rho阶一致分数阶导数的定义为

T_{\rho }(f)(t)=\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f(t+\epsilon t^{\mathrm{1}-\rho })-f(t)}{\epsilon }

其中t>\mathrm{0},\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right]。若函数f在区间(\mathrm{0},a),a>\mathrm{0}是\rho阶可导的,且\underset{t\to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{f}^{(\rho )}(t)存在,则记f^{(\rho )}(\mathrm{0})=\underset{t\to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{f}^{(\rho )}(t)。

定义2^[5] 函数f:\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \mathbb{R}的\rho阶一致分数阶积分的定义为

\left(I^{\rho }f\right)\left(t\right)={\int }_{\mathrm{0}}^t{x}^{\rho -\mathrm{1}}f\left(x\right)\mathrm{d}x

其中t>\mathrm{0},\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right]。

定义3 ^[14] 设E_{\mathrm{1}},E_{\mathrm{2}}是Banach空间,D\subset E_{\mathrm{1}},A:D\to E_{\mathrm{2}}连续有界,若对任何非相对紧的有界集S\subset D都满足

则称A是D上的凝聚映射。

引理1^[4] 令\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right],若函数f,g在点t>\mathrm{0}处\rho阶可导,则

（i） D^{\rho }\left(af+bg\right)=a{D}^{\rho }\left(f\right)+b{D}^{\rho }\left(g\right),\forall a,b\in \mathbb{R};

（ii） D^{\rho }\left(t^p\right)=p{t}^{p-\rho },\forall p\in \mathbb{R};

（iii） D^{\rho }\left(\lambda \right)=\mathrm{0},\forall \lambda \in \mathbb{R};

（iv） D^{\rho }\left(f g\right)=f D^{\rho }\left(g\right)+g{D}^{\rho }\left(f\right);

（v） D^{\rho }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g{D}^{\rho }\left(f\right)-f D^{\rho }\left(g\right)}{g^{\mathrm{2}}};

（vi） D^{\rho }\left(f\right)\left(t\right)=t^{\mathrm{1}-\rho }\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\left(t\right)。

引理2^[5] 令\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right],若函数f:\left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)\to \mathbb{R}是\rho阶可导的,则对\forall t\ge \mathrm{0}有

I^{\rho }{D}^{\rho }\left(f\right)\left(t\right)=f\left(t\right)+c

引理3 令\rho ,\beta \in \left(\mathrm{0,1}\right]且J=\left[\mathrm{0,1}\right],则对\forall g\in C\left(J,E\right),Banach空间E中的线性分数阶微分方程边值问题

\left\{\begin{array}{ll}-D^{\beta }{D}^{\rho }u\left(t\right)=g\left(t\right),& t\in J\\ \gamma u\left(\mathrm{0}\right)-\delta D^{\rho }u(\mathrm{0})=\theta & \\ \eta u(\mathrm{1})+\zeta D^{\rho }u\left(\mathrm{1}\right)=\theta & \end{array}\right.（2）

存在唯一解

u(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)g\left(s\right)\mathrm{d}s:=Tg(t)（3）

其中

G\left(t,s\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1}}{d}[\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho }][\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-t^{\rho })]s^{\beta -\mathrm{1}}\begin{array}{cc},& \mathrm{0}\le s\le t\le \mathrm{1}\end{array}\\ \frac{\mathrm{1}}{d}[\delta +\frac{\gamma }{\rho }{t}^{\rho }][\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })]\begin{array}{cc}{s}^{\beta -\mathrm{1}},& \mathrm{0}\le t\le s\le \mathrm{1}\end{array}\end{array}\right.

d=\eta \delta +\gamma \zeta +\frac{\gamma \eta }{\rho }

引理4 由（3）式定义的算子T:C(J,E)\to C(J,E),满足

‖T‖\le \frac{\mathrm{1}}{\rho d}(\frac{\rho \delta \zeta +\eta \delta }{\beta }+\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\beta }+\frac{\gamma \eta }{(\rho +\beta )(\mathrm{2}\rho +\beta )})

证 由（3）式知

‖Tg(t)‖=‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)g(s)\mathrm{d}s‖\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s){‖g‖}_c\mathrm{d}s\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(s,s)\mathrm{d}s{‖g‖}_c=

\frac{\mathrm{1}}{\rho }{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{d}[\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho }][\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })]s^{\beta -\mathrm{1}}\mathrm{d}s{‖g‖}_c=

\frac{\mathrm{1}}{\rho d}(\frac{\rho \delta \zeta +\eta \delta }{\beta }+\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\beta }+\frac{\gamma \eta }{(\rho +\beta )(\mathrm{2}\rho +\beta )}){‖g‖}_c

因此

‖Tg‖\le \frac{\mathrm{1}}{\rho d}(\frac{\rho \delta \zeta +\eta \delta }{\beta }+\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\beta }+\frac{\gamma \eta }{(\rho +\beta )(\mathrm{2}\rho +\beta )}){‖g‖}_c

从而

‖T‖\le \frac{\mathrm{1}}{\rho d}(\frac{\rho \delta \zeta +\eta \delta }{\beta }+\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\beta }+\frac{\gamma \eta }{(\rho +\beta )(\mathrm{2}\rho +\beta )})

证毕。

引理5^[15] 若D是Banach空间E中的有界集,则存在可数子集D_{\mathrm{0}}\subset D,使得

\alpha (D)\le \mathrm{2}\alpha (D_{\mathrm{0}})

引理6^[1] 设E为Banach空间,D\subset C(J,E)有界且等度连续,则

（i） \alpha (D(t))在区间J上连续,

（ii） \alpha (D)=\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\alpha (D(t))=\alpha (D(J))。

引理7^[1] 设E为Banach空间,D=\left\{u_n\right\}\subset C(J,E)有界且可数,则\alpha (D(t))在区间J可积,且

\alpha (\left\{{\int }_J{u}_n(t)dt|n\in \mathbb{N}\right\})\le \mathrm{2}{\int }_J\alpha (D(t))\mathrm{d}t

引理8^[16] 令u\in C(J,E),\psi \in L(J,{\mathbb{R}}^{+}),u(J)=\left\{u(t)|t\in J\right\},则

{\int }_{J}u(s)\psi (s)\mathrm{d}s\in {\int }_J\psi (s)ds\overline{co}u(J)

引理9^[13]（Sadovskii’s不动点定理） 设E为Banach空间,D\subset E是有界闭凸集,若Q:D\to D是凝聚映射,则Q在D上至少有一个不动点。

引理10^[13]（Leray-Schauder不动点定理） 设E是Banach空间,若Q:D\to D是凝聚映射,是有界集,则Q在D上至少有一个不动点。

2　 主要结论

定义积分算子Q:C(J,E)\to C(J,E)，Qu(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f\left(s,u(s)\right)\mathrm{d}s,则Q:C(J,E)\to C(J,E)连续,且方程（1）的解等价于积分算子Q的不动点。为了叙述方便引入以下参数和条件

{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\rho \delta \zeta +\eta \delta }{\beta },\hspace{1em}{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\beta },\hspace{1em}{\Lambda }_{\mathrm{3}}=\frac{\gamma \eta }{(\rho +\beta )(\mathrm{2}\rho +\beta )}

（H1） 存在常数c_{\mathrm{0}},c_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}且,使得对\forall t\in J,x\in E,有‖f(t,x)‖\le c_{\mathrm{1}}‖x‖+c_{\mathrm{0}}；

（H2） 存在常数L,,使得对有界集D\subset E,有\alpha (f(t,D))\le L\alpha (D)；

（H3） 存在常数L,,使得对有界集D\subset E,有\alpha (f(t,D))\le L\alpha (D)。

2.1　运用 Sadovskii’s不动点定理证明至少存在一个解

定理1 若f 满足（H1）和（H2）,则边值问题（1）在[0,1]上至少存在一个解。

证 若f满足（H2）,为了使用Sadovskii’s不动点定理,记B_R:=\left\{u\in C(J,E)\left|{‖u‖}_c\le R\right.\right\},\forall R>\mathrm{0}。

证明分以下4步。

首先,证明存在R_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},使得Q:B_{R_{\mathrm{0}}}\to B_{R_{\mathrm{0}}}。

‖Q(u(t))‖=‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s‖\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)‖f(s,u(s))‖\mathrm{d}s\le

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\left(c_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}{‖u(s)‖}_c\right)\mathrm{d}s\le (c_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}R)\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})

因此可取R_{\mathrm{0}}\ge \frac{c_{\mathrm{0}}}{{\left[\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})\right]}^{-\mathrm{1}}-c_{\mathrm{1}}},使得Q:B_{R_{\mathrm{0}}}\to B_{R_{\mathrm{0}}}。

其次,证明Q:B_{R_{\mathrm{0}}}\to B_{R_{\mathrm{0}}}是连续的。

令\left\{u_n\right\}\subset B_{R_{\mathrm{0}}}且在闭球B_{R_{\mathrm{0}}}中u_n\to u,可得：f(s,u_n(s))\to f(s,u(s)),n\to +\mathrm{\infty }。由三角不等式可得

‖f(s,u_n(s))-f(s,u(s))‖\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})\le \mathrm{2}(c_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}{R}_{\mathrm{0}})\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})

由引理4可得

‖Q{u}_n-Qu‖=‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\left(f(s,u_n(s))-f(s,u(s))\right)\mathrm{d}s‖\le ‖f(s,u_n(s))-f(s,u(s))‖\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})

于是根据Lebesgue控制收敛定理可知‖Q{u}_n-Qu‖\to \mathrm{0},即Q是连续的。

再次,证明Q\left(B_{R_{\mathrm{0}}}\right)是等度连续的。

对\forall u\in B_{R_{\mathrm{0}}},\mathrm{0}\le t_{\mathrm{1}}\le t_{\mathrm{2}}\le \mathrm{1},

‖Q\left(u\right)(t_{\mathrm{2}})-Q\left(u\right)(t_{\mathrm{1}})‖=‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(G(t_{\mathrm{2}},s)-G(t_{\mathrm{1}},s)\right)f(s,u(s))\mathrm{d}s‖=

‖\frac{\eta }{\rho d}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho })({t_{\mathrm{1}}}^{\rho }-{t_{\mathrm{2}}}^{\rho })s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s+{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{d}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho })\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-{t_{\mathrm{2}}}^{\rho })\right]s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s-

{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{d}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{t_{\mathrm{1}}}^{\rho })\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })\right]s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s+\frac{\gamma }{\rho d}{\int }_{t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })\right]({t_{\mathrm{2}}}^{\rho }-{t_{\mathrm{1}}}^{\rho })s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s‖\le

\frac{\eta }{\rho d}‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho })({t_{\mathrm{1}}}^{\rho }-{t_{\mathrm{2}}}^{\rho })s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s‖+\frac{\mathrm{1}}{d}‖{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{s}^{\rho })\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-{t_{\mathrm{2}}}^{\rho })\right]s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s‖+

\frac{\mathrm{1}}{d}‖{\int }_{t_{\mathrm{1}}}^{t_{\mathrm{2}}}(\delta +\frac{\gamma }{\rho }{t_{\mathrm{1}}}^{\rho })\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })\right]s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s‖+\frac{\gamma }{\rho d}‖{\int }_{t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\left[\zeta +\frac{\eta }{\rho }(\mathrm{1}-s^{\rho })\right]({t_{\mathrm{2}}}^{\rho }-{t_{\mathrm{1}}}^{\rho })s^{\beta -\mathrm{1}}f(s,u(s))\mathrm{d}s‖

当t_{\mathrm{1}}\to t_{\mathrm{2}}时,‖Q\left(u\right)(t_{\mathrm{2}})-Q\left(u\right)(t_{\mathrm{1}})‖\to \mathrm{0},故Q\left(B_{R_{\mathrm{0}}}\right)为C(J,E)中的等度连续函数。

令B_{\mathrm{0}}=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}Q(B_{R_{\mathrm{0}}}),则B_{\mathrm{0}}\subset B_{R_{\mathrm{0}}},可得B_{\mathrm{0}}是C(J,E)上的凸闭集且等度连续,Q:B_{\mathrm{0}}\to B_{\mathrm{0}}连续。

最后,证明Q:B_{\mathrm{0}}\to B_{\mathrm{0}}是凝聚映射。

任取非相对紧的有界集B\subset B_{\mathrm{0}},则B,Q(B)有界且等度连续,由引理6可得

\alpha (B)=\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\alpha (B(t))=\alpha (B(J)),\alpha (Q(B))=\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\alpha (Q(B(t)))

由引理8可知

Qu(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f\left(s,u(s)\right)\mathrm{d}s\in {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\mathrm{d}s\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}f\left(J\times B(J)\right)

故Q(B)(t)\subset {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\mathrm{d}s\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}f\left(J\times B(J)\right)。

由非紧性测度的性质可得

\alpha (Q(B)(t))\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)ds\alpha (\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}f(J\times B(J)))\le L{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)ds\alpha (B(J))=L{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)ds\alpha (B)

结合非紧性测度的性质和（H2）可得

因此Q:B_{\mathrm{0}}\to B_{\mathrm{0}}是凝聚映射。

由引理9(Sadovskii’s不动点定理)可得边值问题（1）在[0,1]上至少存在一个解,证毕。

2.2　运用 Leray-Schauder不动点定理证明至少存在一个解

定理2 若f 满足（H1）和（H3）,则边值问题（1）在[0,1]上至少存在一个解。

证 若f满足假设条件（H3）,证明分以下两步。

首先,证明为有界集。

u(t)=\lambda Qu(t)=\lambda {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s

由（H1）可得

{‖u(t)‖}_c=\lambda ‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f(s,u(s))\mathrm{d}s‖\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\left(c_{\mathrm{1}}‖u(s)‖+c_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}s\le c_{\mathrm{0}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)ds+c_{\mathrm{1}}T{‖u(t)‖}_c

由引理4可知

由微扰定理知I-c_{\mathrm{1}}T存在有界逆算子,且(I-c_{\mathrm{1}}{T)}^{-\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left(c_{\mathrm{1}}T\right)}^n,因此

{‖u‖}_c\le \frac{c_{\mathrm{0}}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}}){\left(I-c_{\mathrm{1}}T\right)}^{-\mathrm{1}}=\frac{c_{\mathrm{0}}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}}){\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left(c_{\mathrm{1}}T\right)}^n

取\epsilon >\mathrm{0},使得,则

‖{c_{\mathrm{1}}}^n{T}^n‖\le {c_{\mathrm{1}}}^n{‖T‖}^n\le {\left(\frac{c_{\mathrm{1}}}{c_{\mathrm{1}}+\epsilon }\right)}^n

而{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left(\frac{c_{\mathrm{1}}}{c_{\mathrm{1}}+\epsilon }\right)}^n收敛,即级数{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{c_{\mathrm{1}}}^n{‖T‖}^n收敛,记S={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{c_{\mathrm{1}}}^n{‖T‖}^n,则

{‖u‖}_c\le \frac{c_{\mathrm{0}}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})S

故\Omega为有界集。

最后,证明Q:C(J,E)\to C(J,E)是凝聚映射。

令A\subset C(J,E),由引理5可知存在可数集A_{\mathrm{1}}=\left\{u_n\right\}\subset A,使得\alpha (Q(A))\le \mathrm{2}\alpha (Q(A_{\mathrm{1}}))。由引理6可知

\alpha (Q(A_{\mathrm{1}}))=\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\alpha (Q{A}_{\mathrm{1}}(t))

由引理7可知

\alpha (Q(A_{\mathrm{1}}(t))=\alpha \left({\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)f(s,u_n(s)\mathrm{d}s\right)\le \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\alpha \left(G(t,s)f(s,u_n(s)\right)\mathrm{d}s\le \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\alpha \left(f(s,A_{\mathrm{1}}(s)\right)\mathrm{d}s

结合非紧性测度的性质和（H3）可得

\alpha \left(f(s,A_{\mathrm{1}}(s)\right)\le L\alpha \left(A_{\mathrm{1}}(s)\right)\le L\alpha \left(A_{\mathrm{1}}\right)\le L\alpha \left(A\right)

于是

\alpha (Q(A_{\mathrm{1}}))=\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\alpha (Q{A}_{\mathrm{1}}(t))\le \underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\alpha \left(f(s,A_{\mathrm{1}}(s)\right)\mathrm{d}s\le

\mathrm{2}L\alpha \left(A\right)\underset{t\in J}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}G(t,s)\mathrm{d}s\le \alpha \left(A\right)\frac{\mathrm{2}L}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})

因此

\alpha (Q(A))\le \mathrm{2}\alpha (Q(A_{\mathrm{1}}))

所以Q:C(J,E)\to C(J,E)是凝聚映射。

由引理10（Leray-Schauder不动点定理）可得边值问题（1）在[0,1]上至少存在一个解,证毕。

3　 例

例1 设C(J,E)表示由J映到E的全体连续函数构成的空间,其范数为{‖u‖}_c=\underset{t\in J}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}‖u(t)‖。讨论下面带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程

\left\{\begin{array}{c}-D^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}}{D}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}u\left(t\right)=\frac{u(t)}{\mathrm{8}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{6}}}+\frac{u(t)}{\mathrm{6}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{1}+u(t))},t\in J\\ \mathrm{2}u(\mathrm{0})-D^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}u(\mathrm{0})=\mathrm{0}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\\ \mathrm{2}u(\mathrm{1})+\mathrm{3}{D}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}u(\mathrm{1})=\mathrm{0}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\end{array}\right.

解的存在性。

证 由题知d=\eta \delta +\gamma \zeta +\frac{\gamma \eta }{\rho }=\mathrm{16},{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\rho \delta \zeta +\eta \delta =\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{8}},{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{\gamma \zeta -\delta \eta }{\rho +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{13}},{\Lambda }_{\mathrm{3}}=\frac{\gamma \eta }{(\rho +\mathrm{1})(\mathrm{2}\rho +\mathrm{1})}=\frac{\mathrm{200}}{\mathrm{117}},则\frac{\mathrm{1}}{\rho d}({\Lambda }_{\mathrm{1}}+{\Lambda }_{\mathrm{2}}+{\Lambda }_{\mathrm{3}})=\frac{\mathrm{8}\mathrm{575}}{\mathrm{7}\mathrm{488}}。

取则

‖f(t,u(t))‖=‖\frac{u(t)}{\mathrm{8}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{6}}}+\frac{u(t)}{\mathrm{6}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{1}+u(t))}‖\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{‖u‖}_c+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}=c_{\mathrm{1}}{‖u‖}_c+c_{\mathrm{0}}

令

D=\left\{u(t)\left|u(t)\in \overline{B}(\theta ,R),t\in J\right.\right\}

H=\left\{\frac{u(t)}{\mathrm{1}+u(t)}\left|u(t)\in \overline{B}(\theta ,R),t\in J\right.\right\}

取\forall x\in H,有

\left|x(t)\right|=\left|\frac{u(t)}{\mathrm{1}+u(t)}\right|\le \left|u(t)\right|\le R

则H\subset D。

取则

\alpha (f(t,D))=\alpha \left(\left\{\frac{u(t)}{\mathrm{8}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{6}}}+\frac{u(t)}{\mathrm{6}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{1}+u(t))}\right\}\right)\le

\alpha \left(\left\{\frac{u(t)}{\mathrm{8}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{6}}}\right\}\right)+\alpha \left(\left\{\frac{u(t)}{\mathrm{6}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{4}}(\mathrm{1}+u(t))}\right\}\right)\le

‖\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{6}}}‖\alpha \left(\left\{u(t)\right\}\right)+‖\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{4}}}‖\alpha \left(\left\{\frac{u(t)}{\mathrm{1}+u(t)}\right\}\right)=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\alpha \left(D\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\alpha (H)\le \frac{\mathrm{7}}{\mathrm{24}}\alpha (D)=L\alpha (D)

故f(t,u(t))满足(H1),\alpha (f(t,D))满足(H2),由定理1可知此边值问题在J上至少有一个解。

4　 结 语

为了克服抽象空间微分方程中积分算子不再具有紧性这一困难,本文首先对非线性项添加非紧性条件,然后运用非紧性测度估计技巧、Sadovskii’s不动点定理、凝聚映射的Leray-Schauder不动点定理得到了Banach空间中带有Sturm-Liouville边界条件的分数阶微分方程解的存在性,最后给出了例子来说明所得结果的适用性。后面的工作将讨论若增加随机项能否得到分数阶随机微分方程解的存在性,并研究此解的性态。

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基金资助

国家自然科学基金(11961039)

国家自然科学基金(11801243)

兰州交通大学校青年科学基金(2017012)