两类张量变分不等式问题解的存在性

Existence of Solutions for Two Classes of Tensor Variational Inequality Problems

摘要

利用最优化问题解的存在性研究两类张量变分不等式解的存在性。当张量在无界闭凸集上不具有正定性时，利用无界闭凸集上强制最优化问题存在解得到张量变分不等式存在解；利用变分不等式解集性质证明了张量变分不等式解集为紧致集。对于无界闭凸集上的半正定张量，将张量变分不等式问题转化为凸优化问题，给出了张量变分不等式问题解集为非空有界集的几个充分条件。

Abstract

We investigate the existence of solutions for two classes of tensor variational inequality problems by utilizing the existence of solutions for optimization problems. When the tensor is not positively definite on the unbounded closed convex set, the existence of solutions of tensor variational inequality problems is obtained by using the existence of solutions of coercive optimization problems on the unbounded closed convex set, and the solution set of tensor variational inequality problems is proved to be compact by using the properties of the solution set of variational inequality problems. For the positive semidefinite tensor on the unbounded closed convex set, the tensor variational inequality problems are transformed into convex optimization problems, and several sufficient conditions are presented such that the solution sets of tensor variational inequality problems are nonempty and bounded.

关键词

张量变分不等式 / 凸优化问题 / 非空紧致性

Key words

tensor variational inequalities / convex optimization problems / nonemptiness and compactness

0　 引　言

本文考虑如下张量变分不等式问题：存在向量{\mathit{x}}^{\mathrm{*}}\in K，使得

〈\mathit{A}({\mathit{x}}^{\mathrm{*}}{)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{y}-{\mathit{x}}^{\mathrm{*}}〉\ge \mathrm{0},\forall \mathit{y}\in K

其中\mathit{A}为m阶n维实对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，K为{\mathbb{R}}^n中的非空闭凸子集。将上述张量变分不等式问题记为\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}(K,\mathit{A},\mathit{q})，将其解集记为\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)。当K={\mathbb{R}}_{+}^n时,\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}(K,\mathit{A},\mathit{q})转化为张量互补问题\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}\left(\mathit{A},\mathit{q}\right)。

张量互补问题不但是线性互补问题的推广,而且是非线性互补问题和变分不等式问题的特例。其基本模型是找到{\mathit{x}}^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{R}}^n,使得

\begin{array}{r}{\mathit{x}}^{\mathbf{*}}\ge \mathrm{0},\mathit{A}{\left({\mathit{x}}^{\mathbf{*}}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q}\ge \mathrm{0},\\ {\left({\mathit{x}}^{\mathbf{*}}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\left({\mathit{x}}^{\mathbf{*}}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q}\right)=\mathrm{0}\end{array}

张量互补问题自从Song和Qi^[1]提出以来就引起了许多学者的关注,已得到广泛研究。Che等^[2]研究了对称正定张量和共正张量互补问题解的存在性和可对角化张量互补问题解的唯一性；Luo等^[3]研究了\mathit{Z}张量及其对应的互补问题的稀疏解；Ding等^[4]证明了\mathit{P}张量互补问题解集的紧致性；李夏和黄正海^[5]利用J\left(p\right)模式乘积的张量收缩积新定义了一类张量空间上的线性互补问题；刘康等^[6]定义了一类新的结构张量，并证明了当所涉及的张量是\mathit{Q}张量时，对应的张量互补问题的解集是有界集。

张量变分不等式是非线性变分不等式和张量互补问题的自然推广，在最优控制、经济均衡模型中具有广泛应用。Wang等^[7]证明了n人非合作博弈问题可被转化为张量变分不等式模型。解的存在性研究是张量变分不等式理论研究中的重要问题。Wang等^[7]在\mathrm{0}\in K及\mathit{A}在K上正定的条件下,研究了张量变分不等式解集的非空紧致性；刘亚珍等^[8]利用例外簇方法，当长方形张量在其可行域上为半正定时,得到长方形张量变分不等式解集的非空紧致性；Barbagallo等^[9]研究了张量变分不等式解的稳定性，研究寡头垄断市场博弈模型问题；牟文杰等^[10]研究了张量变分不等式问题解的存在性,当张量在集合的退化锥上正定时，证明了张量变分不等式问题的解集为非空紧致集。

本文利用最优化问题解的存在性研究两类张量变分不等式解的存在性。当张量在无界闭凸集上不具有正定性时，利用无界闭凸集上强制最优化问题存在解得到张量变分不等式存在解；利用变分不等式解集性质证明了张量变分不等式解集为紧致集。定理\mathrm{1}推广了文献[7]中主要定理。对于无界闭凸集上的半正定张量，将张量变分不等式问题转化为一类凸优化问题，给出了张量变分不等式问题解集为非空有界集的几个充分条件。

1　 预备知识

本节给出张量与最优化问题的一些定义与基本知识。

对任意给定的正整数n，我们用\left[n\right]表示集合\left\{\mathrm{1,2},\cdots ,n\right\}。对任意给定的正整数m,r_{\mathrm{1}},\cdots ,r_m，一个m阶r_{\mathrm{1}}\times r_{\mathrm{2}}\times \cdots \times r_m维实张量\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{r_{\mathrm{1}}}\times {\mathbb{R}}^{r_{\mathrm{2}}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}^{r_m}可表示为(a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m})，其中i_j\in \left[r_j\right]，j\in \left[m\right],a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m}\in \mathbb{R}。若对任意j\in \left[m\right]，有r_j=n，则称\mathit{A}为m阶n维实张量，我们用{\mathbb{T}}_{m,n}表示m阶n维实张量的集合。

定义1 设张量\mathit{A}=(a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m})\in {\mathbb{T}}_{m,n}，则\mathit{A}同向量\mathit{v}\in {\mathbb{R}}^n的模⁃k乘积是一个m-\mathrm{1}阶张量，用符号\mathit{A}{\overline{\times }}_k\mathit{v}表示，\mathit{A}{\overline{\times }}_k\mathit{v}\in {\mathbb{R}}^{r_{\mathrm{1}}}\times {\mathbb{R}}^{r_{\mathrm{2}}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}^{r_{k-\mathrm{1}}}\times {\mathbb{R}}^{r_{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}\times \cdots \times {\mathbb{R}}^{r_m}，其分量表示为

{\left(\mathit{A}{\overline{\times }}_k\mathit{v}\right)}_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_{k-\mathrm{1}}{i}_{k+\mathrm{1}}\cdots i_m}={\displaystyle \sum _{i_k=\mathrm{1}}^n}{a}_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m}{v}_{i_k}

其中i_j\in \left[n\right]，j\in \left[m\right]\backslash k。

定义2 设张量\mathit{A}=(a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m})\in {\mathbb{T}}_{m,n}，\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^n，将n维向量\mathit{A}{\overline{\times }}_{\mathrm{2}}\mathit{x}{\overline{\times }}_{\mathrm{3}}\cdots {\overline{\times }}_n\mathit{x}记为\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}，其第i个分量表示为

{\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}\right)}_i={\displaystyle \sum _{i_{\mathrm{2}},\cdots ,i_m=\mathrm{1}}^n}{a}_{i{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m}{x}_{i_{\mathrm{2}}}\cdots x_{i_m}

\mathit{A}{\mathit{x}}^m={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}\right)表示m次齐次多项式，其定义为

\mathit{A}{\mathit{x}}^m={\displaystyle \sum _{i_{\mathrm{1}},i_{\mathrm{2}},\cdots ,i_m=\mathrm{1}}^n}{a}_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m}{x}_{i_{\mathrm{1}}}{x}_{i_{\mathrm{2}}}\cdots x_{i_m}

定义3 设\mathit{A}=(a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m})\in {\mathbb{T}}_{m,n}，若任意置换元素a_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m}的下标i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_m其值保持不变，则称张量\mathit{A}为对称张量。

定义4 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空子集，\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{m,n}，称张量\mathit{A}

\left(\mathrm{i}\right)在K上半正定，若对任意\mathit{x},\mathit{y}\in K，有〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}-\mathit{A}{\mathit{y}}^{m-\mathrm{1}},\mathit{x}-\mathit{y}〉\ge \mathrm{0}；

\left(\mathrm{i}\mathrm{i}\right)在K上正定，若对任一\mathit{x}\in K\backslash \{\mathrm{0}\}，有\mathit{A}{\mathit{x}}^m>\mathrm{0}；

\left(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}\right)在K上严格正定，若对任意\mathit{x},\mathit{y}\in K且\mathit{x}\ne \mathit{y}，有〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}-\mathit{A}{\mathit{y}}^{m-\mathrm{1}},\mathit{x}-\mathit{y}〉>\mathrm{0}

\left(\mathrm{i}\mathrm{v}\right)在K上共正，若对任一\mathit{x}\in K，有\mathit{A}{\mathit{x}}^m\ge \mathrm{0}。

下面举例说明张量\mathit{A}在K上半正定，不一定在K上正定。

例1 设\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{\mathrm{3},\mathrm{2}}，其中a_{\mathrm{111}}=a_{\mathrm{222}}=\mathrm{1}，其他元素均取值为0，

K=\left\{\mathit{x}=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}:x_{\mathrm{1}}=-x_{\mathrm{2}}\right\}

则对任意\mathit{x},\mathit{y}\in K\backslash \{\mathrm{0}\}，有

\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}-\mathit{A}{\mathit{y}}^{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

\begin{array}{l}〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}-\mathit{A}{\mathit{y}}^{\mathrm{2}},\mathit{x}-\mathit{y}〉=\\ {\left(x_{\mathrm{1}}-y_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}\right)+{\left(x_{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{2}}\right)=\end{array}

{\left(x_{\mathrm{1}}-y_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}\right)-{\left(y_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0}

故\mathit{A}在K上半正定。当\mathit{x}={\left(\mathrm{1},-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}时，就有

\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{2}}\right)=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)=x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}+y_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}

故\mathit{A}不在K上正定。

下面举例说明张量\mathit{A}在K上正定，不一定在K上半正定。

例2 设\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{\mathrm{4,2}}，其中a_{\mathrm{1111}}=a_{\mathrm{2222}}=a_{\mathrm{2112}}=\mathrm{1}，a_{\mathrm{1122}}=-\mathrm{1}，其他元素均取值为\mathrm{1}，K={\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}。

则对任一\mathit{x}\in K，有

\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}\end{array}\right)

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{4}}={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\right)=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\\ x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}-x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}>\mathrm{0}\end{array}

故\mathit{A}在K上正定。当\mathit{x}={\left(\mathrm{2,3}\right)}^{\mathrm{T}}，\mathit{y}={\left(\mathrm{1,3}\right)}^{\mathrm{T}}\in K时，就有

〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}-\mathit{A}{\mathit{y}}^{\mathrm{3}},\mathit{x}-\mathit{y}〉=\left(x_{\mathrm{1}}-y_{\mathrm{1}}\right)\left[{\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\right)}_{\mathrm{1}}-{\left(\mathit{A}{\mathit{y}}^{\mathrm{3}}\right)}_{\mathrm{1}}\right]+\left(x_{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{2}}\right)\left[{\left(\mathit{A}{\mathit{x}}^{\mathrm{3}}\right)}_{\mathrm{2}}-{\left(\mathit{A}{\mathit{y}}^{\mathrm{3}}\right)}_{\mathrm{2}}\right]=

故\mathit{A}不在K上半正定。

本文讨论如下形式的最优化问题

\underset{\mathit{x}\in K}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(\mathit{x})

其中,K为{\mathbb{R}}^n中的非空闭凸集，f:K\to \mathbb{R}为下半连续函数。记最优化问题解集为S(K,f)，即S\left(K,f\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{\mathit{x}\in K}f(\mathit{x})。

定义5 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空凸集，函数f:K\to \mathbb{R}若满足对任意的\mathit{x},\mathit{y}\in K,t\in \left[\mathrm{0,1}\right]，有

f\left(t\mathit{x}+\left(\mathrm{1}-t\right)\mathit{y}\right)\le tf\left(\mathit{x}\right)+\left(\mathrm{1}-t\right)f\left(\mathit{y}\right)

则称f在K上是凸函数。

定义6 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空闭凸集，函数f:K\to \mathbb{R}是一实泛函，若对任一{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K及任一序列\left\{{\mathit{x}}_n\right\}\subset K，当{\mathit{x}}_n\to {\mathit{x}}_{\mathrm{0}}时，满足

f({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}f({\mathit{x}}_n)

则称f在K上是下半连续函数。

定义7 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空闭凸集，算子T:K\to \mathbb{R}若满足对任意的\mathit{x},\mathit{y}\in K，有

〈T\left(\mathit{x}\right)-T\left(\mathit{y}\right),\mathit{x}-\mathit{y}〉\ge \mathrm{0}

则称T在K上是单调算子。

定义8 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空子集，用K_{\mathrm{\infty }}表示K的退化锥，定义为

K_{\mathrm{\infty }}=\left\{\mathit{d}\in {\mathbb{R}}^n:\exists t_n\to +\mathrm{\infty },{\mathit{x}}_n\in K\mathrm{使}\mathrm{得}\mathit{d}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\mathit{x}}_n}{t_n}\right\}

若K为闭凸集，给定{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K，则K_{\mathrm{\infty }}可定义为

K_{\mathrm{\infty }}=\left\{\mathit{d}\in {\mathbb{R}}^n:{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}+t\mathit{d}\in K,\forall t>\mathrm{0}\right\}=\bigcap _{t>\mathrm{0}}t(K-{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})

此时，K_{\mathrm{\infty }}与{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K的选取无关。

定义9 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空子集，f:K\to \mathbb{R}为实函数，用f^{\mathrm{\infty }}:K\to \mathbb{R}表示函数f的渐近函数，定义为

f^{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{f(t_n{\mathit{d}}_n)}{t_n}:t_n\to +\mathrm{\infty },{\mathit{d}}_n\to \mathit{d}\}

若f为凸下半连续函数，则f^{\mathrm{\infty }}\left(u\right)可定义为

f^{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}+t\mathit{d}\right)+f\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\right)}{t}=\underset{t>\mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{f\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}+t\mathit{d}\right)+f\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\right)}{t},\forall {\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f

其中。

2　 一般张量变分不等式解集的紧致性

本节不要求张量A在K上为半正定张量。我们利用最优化问题的解集包含于张量变分不等式的解集，和强制最优化问题的存在解得到张量变分不等式解集的存在性；然后利用变分不等式解集性质证明了张量变分不等式解集为紧致集。

引理\mathrm{1}说明强制最优化问题解集为非空有界集。

引理1^[11] 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空无界闭凸子集，f:K\to \mathbb{R}为强制下半连续函数，则\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{\mathit{x}\in K}f为非空紧致集。

引理2说明最优化问题的解集S\left(K,f\right)包含于张量变分不等式的解集\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)。

引理2^[11] 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空闭凸子集，f\left(\mathit{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{x}}^m+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}\mathit{x}，其中，\mathit{A}为任意m阶n维对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，若{\mathit{x}}^{*}\in S\left(K,f\right)，则{\mathit{x}}^{*}\in \mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)。

下面给出张量变分不等式问题解集为非空紧致集的两个充分条件。

定理1 设K为{\mathbb{R}}^n中的非空无界闭凸子集，A\in {\mathbb{T}}_{m,n}为对称张量，若下列条件之一成立：

1)　对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \{\mathrm{0}\}，\mathit{A}{\mathit{d}}^m>\mathrm{0}；

2)　 \mathit{A}在K上共正，\mathrm{0}\in K，且对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \{\mathrm{0}\}，有〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}；

则张量变分不等式\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)的解集为非空紧致集。

证 定义函数f:K\to \mathbb{R}如下：

f\left(\mathit{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{x}}^m+{\mathit{q}}^T\mathit{x},\forall \mathit{x}\in K

由引理1可得，我们需要证明1)或2)成立时，f:K\to \mathbb{R}为强制函数。假设f:K\to \mathbb{R}不为强制函数，则存在序列\{{\mathit{x}}_n\}\subset K，有\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\mathit{x}}_n‖=+\mathrm{\infty }，且\{f\left({\mathit{x}}_n\right)\}有界。则\{\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\}有子序列，为书写方便，仍记为\{\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\}，且\{\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\}收敛，设\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}‖=\mathit{d}，显然‖\mathit{d}‖=\mathrm{1}。

若条件1)成立，则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{f({\mathit{x}}_n)}{{‖{\mathit{x}}_n‖}^m}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^m+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}{\mathit{x}}_n}{{‖{\mathit{x}}_n‖}^m}=

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{(\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖})}^m=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{d}}^m>\mathrm{0}

因\{f\left({\mathit{x}}_n\right)\}有界，且‖{\mathit{x}}_n‖\to +\mathrm{\infty }，故显然有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{f({\mathit{x}}_n)}{{‖{\mathit{x}}_n‖}^m}=\mathrm{0}。与上式矛盾，故f:K\to \mathbb{R}为强制函数。

若条件2)成立，因\mathit{A}在K上共正，故\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^m>\mathrm{0}，则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{f\left({\mathit{x}}_n\right)}{‖{\mathit{x}}_n‖}=

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{m‖{\mathit{x}}_n‖}\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^m+〈\mathit{q},\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}〉\right)\ge

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}〈\mathit{q},\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}〉=〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}(1)

因\{f\left({\mathit{x}}_n\right)\}有界，且‖{\mathit{x}}_n‖\to +\mathrm{\infty }，故显然有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{f({\mathit{x}}_n)}{{‖{\mathit{x}}_n‖}^m}=\mathrm{0}。与(1)矛盾，故f:K\to \mathbb{R}为强制函数，故最优化问题解集S\left(K,f\right)非空。由引理2可得，最优化问题的解集S\left(K,f\right)包含于张量变分不等式的解集\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)，故张量变分不等式的解集\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空集。

显然，张量变分不等式的解集\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为闭集。

下证\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为有界集。假设\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为无界集，则存在序列\{{\mathit{x}}_n\}\in \mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)，且\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\mathit{x}}_n‖=+\mathrm{\infty }，\left\{\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\right\}有收敛子序列，为书写方便，将收敛子序列仍记为\left\{\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\right\}。设\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}‖=\mathit{d}，则\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}且‖\mathit{d}‖=\mathrm{1}。故

〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{y}-{\mathit{x}}_n〉\ge \mathrm{0},\forall \mathit{y}>K

若条件(1)成立，则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈\mathit{A}{\left(\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\frac{\mathit{q}}{{‖{\mathit{x}}_n‖}^{m-\mathrm{1}}},\frac{\mathit{y}}{‖{\mathit{x}}_n‖}-\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}〉\ge \mathrm{0}(2)

而

(3)

则(2)式与(3)式矛盾。

若条件2)成立，因\mathit{A}在K上共正，故

〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^{m-\mathrm{1}},{\mathit{x}}_n〉\ge \mathrm{0}

因\mathrm{0}\in K，则有

〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},-{\mathit{x}}_n〉\ge \mathrm{0}

从而有

〈\mathit{q},{\mathit{x}}_n〉\le -〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^{m-\mathrm{1}},{\mathit{x}}_n〉=\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_n\right)}^m\le \mathrm{0}

故

〈\mathit{q},\mathit{d}〉=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈\mathit{q},\frac{{\mathit{x}}_n}{‖{\mathit{x}}_n‖}〉\le \mathrm{0}(4)

则(4)式与〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}矛盾。

故若条件1)或条件2)成立，均可推出\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为有界集。

综上可知，\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)的解集为非空紧致集。

注 当\mathrm{0}\in K,\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{m,n}，且\mathit{A}为K上的正定张量时，文献[7]中定理4.2证明了张量变分不等式解集的非空紧致性。当\mathrm{0}\in K时，由定义8可知，K_{\mathrm{\infty }}\subset K。因此若\mathit{A}在K上共正，则定理1中条件1)显然成立。定理1推广了文献[7]中主要定理。

下面例3、例4分别满足定理1中条件1)和2)，不满足文献[7]中定理4.2的条件。

例3 设

K=\left(-\mathrm{1},-\mathrm{2}\right)+\left\{\left(d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}:\mathrm{3}{d}_{\mathrm{2}}\le d_{\mathrm{1}}\le \mathrm{4}{d}_{\mathrm{2}}\right\}

\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{\mathrm{3,2}}，其中，a_{\mathrm{111}}=a_{\mathrm{211}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{112}}=a_{\mathrm{121}}=a_{\mathrm{212}}=a_{\mathrm{221}}=-\mathrm{2},a_{\mathrm{122}}=a_{\mathrm{222}}=\mathrm{4}，其他元素均取值为\mathrm{0}，\mathit{q}=\mathrm{0},则

K_{\mathrm{\infty }}=\left\{\left(d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}:\mathrm{3}{d}_{\mathrm{2}}\le d_{\mathrm{1}}\le \mathrm{4}{d}_{\mathrm{2}}\right\}

对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，有

\mathit{A}{\mathit{d}}^{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{c}(d_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\\ (d_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{d}}^{\mathrm{3}}={\mathit{d}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\mathit{d}}^{\mathrm{2}}\right)=\left(d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}}\right)\left(\begin{array}{c}(d_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\\ (d_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\\ \left(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}\right){\left(d_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}\end{array}

故\mathit{A}在K_{\mathrm{\infty }}上正定，满足定理1中1)的条件。

当\mathit{u}=\left(-\mathrm{1},-\mathrm{2}\right)\in K时，有

故该例不满足文献[7]中定理4.2的条件。

例4 设

K=\left\{\left(d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}:\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}\le d_{\mathrm{1}}\le \mathrm{3}{d}_{\mathrm{2}}\right\}

\mathit{A}\in {\mathbb{T}}_{\mathrm{3,2}}，其中a_{\mathrm{111}}=a_{\mathrm{211}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{112}}=a_{\mathrm{121}}=a_{\mathrm{212}}=a_{\mathrm{221}}=-\mathrm{2},a_{\mathrm{122}}=a_{\mathrm{222}}=\mathrm{4}，其他元素均取值为\mathrm{0}，\mathit{q}=(\mathrm{1,1}),则

K_{\mathrm{\infty }}=\left\{\left(d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}:\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}\le d_{\mathrm{1}}\le \mathrm{3}{d}_{\mathrm{2}}\right\}

对任一\mathit{u}\in K，有

\mathit{A}{\mathit{u}}^{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{c}{\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\\ {\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{u}}^{\mathrm{3}}={\mathit{u}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}{\mathit{u}}^{\mathrm{2}}\right)=\left(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}\right)\left(\begin{array}{c}{\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\\ {\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\\ \left(u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}\right){\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}\end{array}

故\mathit{A}在K上共正。对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，显然有〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}，故满足定理1中2)的条件。

当\mathit{u}=\left(\mathrm{2,1}\right)\in K时，有

\mathit{A}{\mathit{u}}^{\mathrm{3}}=\left(u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}\right){\left(u_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}

故该例不满足文献[7]中定理\mathrm{4.2}的条件。

3　 半正定张量变分不等式解的存在性

本节利用半正定张量变分不等式问题等价于一类凸优化问题，利用凸优化问题解的存在性得到张量变分不等式解的存在性，并给出了张量变分不等式问题解集为非空有界集的几个充分条件。

引理3^[12] 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，f:K\to \mathbb{R}为可微函数，则f:K\to \mathbb{R}为凸函数当且仅当\nabla f:K\to {\mathbb{R}}^n为单调映射。

引理4^[11] 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，f:K\to \mathbb{R}为下半连续凸函数，则S(K,f)为非空有界集当且仅当对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，有f_{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)>\mathrm{0}。

引理5^[11] 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，f:K\to \mathbb{R}为可微凸函数，则f_{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)=\underset{\mathit{x}\in K}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}〈\nabla f\left(\mathit{x}\right),\mathit{d}〉。

引理6 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，令f\left(\mathit{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{x}}^m+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}\mathit{x},\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，则\mathit{A}为K上半正定对称张量当且仅当f:K\to \mathbb{R}为可微凸函数。

证 由引理3可得，f:K\to \mathbb{R}为可微凸函数当且仅当\nabla f为单调映射。因为\mathit{A}为K上对称张量，所以\nabla f\left(\mathit{x}\right)=\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q}，由单调映射和半正定张量的定义知，\nabla f是单调映射当且仅当\mathit{A}为半正定张量。

引理7 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，f\left(\mathit{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{x}}^m+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}\mathit{x}，其中\mathit{A}为K上半正定对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，则{\mathit{x}}^{\mathit{*}}\in \mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)当且仅当{\mathit{x}}^{\mathit{*}}\in \mathrm{S}(K,f)。

证 因为\mathit{A}为K上半正定对称张量，由引理6可得f:K\to \mathbb{R}为凸函数。由于K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，由文献[7]命题3.1，{\mathit{x}}^{\mathit{*}}为\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)的解当且仅当{\mathit{x}}^{\mathit{*}}为最优化问题\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{f\left(\mathit{x}\right):\mathit{x}\in K\}的解。

定理2 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，令f\left(\mathit{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{m}\mathit{A}{\mathit{x}}^m+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}\mathit{x}，\mathit{A}为K上半正定对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，则\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集当且仅当对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，存在{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K，使得〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}。

证 因为\mathit{A}为K上半正定对称张量，故f:K\to \mathbb{R}为凸函数。由引理4得\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集当且仅当对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\},f_{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)>\mathrm{0}。

由引理5可得

f_{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)=\underset{x\in K}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}〈\nabla f\left(\mathit{x}\right),\mathit{d}〉=\underset{x\in K}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉

故对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，f_{\mathrm{\infty }}\left(\mathit{d}\right)>\mathrm{0}等价于存在{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K，使得〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉\ge \mathrm{0}。因此\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集当且仅当对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，存在{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K，使得〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}。

推论1 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，\mathit{A}为K上半正定对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，若\mathrm{0}\in K，〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}，则\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集。

证 在定理2中取{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，则〈\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}，由定理2知\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集。

定理3 设K为{\mathbb{R}}^n中非空闭凸子集，\mathit{A}为K上半正定对称张量，\mathit{q}\in {\mathbb{R}}^n，对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，都有\mathit{A}{\mathit{d}}^m>\mathrm{0}，则\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集。

证 对任一\mathit{d}\in K_{\mathrm{\infty }}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，取定{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in K，由K_{\mathrm{\infty }}的定义可知，对任一t>\mathrm{0}，有{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}+t\mathit{d}\in K，则

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{〈\mathit{A}{\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}+t\mathit{d}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉}{t^{m-\mathrm{1}}}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈\mathit{A}{\left(\frac{{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}{t}+\mathit{d}\right)}^{m-\mathrm{1}}+\frac{\mathit{q}}{t^{m-\mathrm{1}}},\mathit{d}〉=\mathit{A}{\mathit{d}}^m>\mathrm{0}

故

\underset{\mathit{x}\in K}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}〈\mathit{A}{\mathit{x}}^{m-\mathrm{1}}+\mathit{q},\mathit{d}〉>\mathrm{0}

由定理2可知\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(K,\mathit{A},\mathit{q}\right)为非空有界集。

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基金资助

国家自然科学基金(11801102)

广西研究生教育创新计划项目基金(XYCSZ2020062)