一类随机发展方程mild解的存在唯一性

Existence and Uniqueness of Mild Solutions for a Class of Stochastic Evolution Equations

摘要

运用分数幂算子、逐次逼近法及不动点定理研究Hilbert空间中的非自治中立型随机时滞发展方程mild解的存在唯一性。考虑到无界线性算子族A(t)可以在Hilbert空间中生成唯一的线性发展系统\{U(t,s):\mathrm{0}\le s\le t\le T\}，且方程中的非线性项不满足Lipschitz条件，使得所讨论的方程作为数学模型更符合实际应用。

Abstract

In this paper, we mainly use fractional power operator, successive approximation method and fixed point theorem to study the existence and uniqueness of mild solutions for nonautonomous neutral stochastic delay evolution equation in Hilbert spaces. Considering that the unbounded family of linear operators A(t) can generate a unique linear evolution system \{U(t,s):\mathrm{0}\le s\le t\le T\} in Hilbert spaces, and the nonlinear term in the equation does not satisfy Lipschitz conditions, the equation is more suitable for practical application as a mathematical model.

关键词

mild解 / 非Lipschitz系数 / 分数幂算子 / 逐次逼近法 / 不动点定理

Key words

mild solution / non-Lipschitz coefficients / fractional power operator / successive approximation method / fixed point theorem

0　 引 言

近20年来，由于随机偏微分方程在物理、化学等自然科学领域有广泛应用，所以学者对这类随机系统的一些性质进行了详细地研究。2002年，文献[1]研究了Lipschitz条件下随机泛函微分方程mild解的存在唯一性；2007年，文献[2]得到了Hilbert空间中非自治中立型随机时滞偏微分方程解的一些性质；2009年，文献[3]考虑了A(t)是无界线性算子族的情形，利用分数幂算子和半群理论讨论了如下非自治中立型随机时滞发展方程

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d}(Z(t)-k(t,Z_t))=[-A(t)(Z(t)-k(t,Z_t))+F(t,Z_t)]\mathrm{d}t+G(t,Z_t)\mathrm{d}W(t),\mathrm{0}\le t\le T\\ Z_{\mathrm{0}}=\varphi \in L^p(\mathrm{\Omega },C_{\alpha })\end{array}\right.

mild解的存在唯一性和P阶指数稳定性。

非自治发展方程被许多学者用来研究一些抽象的、受外力影响的数学模型。例如，文献[4，5]在Banach空间中运用非紧性测度研究了非线性时间分数阶非自治发展方程mild解的存在性。文献[6]得到了Hilbert空间中具有非局部初始条件的抛物型非自治随机发展方程mild解的存在性结果。文献[7]运用凸幂凝聚算子不动点定理及非紧性测度讨论了Hilbert空间中抛物型随机非自治发展方程Cauchy问题mild解的存在性。文献[8，9]研究了具有非局部初始条件的抛物型非自治发展系统的近似可控性。

当考虑到实际应用时，方程中的非线性项往往无法满足Lipschitz条件，因此文献[10]研究了非Lipschitz系数下\mathrm{I}\mathrm{t}\widehat{\mathrm{o}}型随机微分方程mild解的近似解。2005年，文献[11]通过运用逐次逼近法得到了非Lipschitz条件下无穷维非线性随机微分方程mild解的存在唯一性结论。2012年，文献[12]利用逐次逼近法讨论了下列非Lipschitz系数下随机时滞微分方程

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d}X(t)=[-AX(t)+f(t,X_t)]\mathrm{d}t+g(t,X_t)\mathrm{d}W(t),t\ge t_{\mathrm{0}}\\ X_{t_{\mathrm{0}}}=\varphi \in L^p(\mathrm{\Omega },C_{\alpha }),t_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0}\end{array}\right.

mild解的存在唯一性和几乎确定指数稳定性。文献[13~15]得到了Hilbert空间中具有卡氏条件的中立型随机偏积微分方程mild解的存在唯一性。

受以上文献的启发，本文在Hilbert空间H中研究如下在非Lipschitz系数下的非自治中立型随机时滞发展方程

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d}(X(t)+k(t,X_t))=[-A(t)X(t)+F(t,X_t)]\mathrm{d}t+G(t,X_t)\mathrm{d}W(t),t\in J\\ X_{\mathrm{0}}=\varphi \in L^p(\mathrm{\Omega },C_{\alpha })\end{array}\right.（1）

mild解的存在唯一性。这里的A(t)是一族闭线性算子族，在可分的Hilbert空间H上生成线性发展系统\{U(t,s):\mathrm{0}\le s\le t\le T\}；J=[\mathrm{0},T]，T>\mathrm{0}为常数；X_t是状态函数且满足关系式X_t(\theta )=X(t+\theta )，\theta \in [-r,\mathrm{0}]，；函数k:J\times C_{\alpha }\to H_{\alpha }为中立项；F:J\times C_{\alpha }\to H，G:J\times C_{\alpha }\to {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}(K,H)是非线性项且不满足Lipschitz条件；W(t)是一个具有有限迹核协方差算子Q的K-值Wiener过程；\varphi是{\mathrm{ℱ}}_t-可测的。

在A(t)是无界线性算子族的情形下，方程（1）形式更为复杂，且方程中的非线性项所满足的条件更弱，故方程（1）作为数学模型更具有实用性。

1　 预备知识

设H是一个具有内积(\cdot ,\cdot )和范数||\cdot ||的可分的Hilbert空间，K是另一个可分的Hilbert空间，这里使用相同的符号||\cdot ||表示\mathrm{ℒ}(K,H)的范数，而\mathrm{ℒ}(K,H)表示从K到H的所有有界线性算子构成的空间。

设D(A^{\alpha })()表示分数幂算子A^{\alpha }:H\to H的定义域，其范数形式为||x|{|}_{\alpha }:=||A^{\alpha }x||，简记H_{\alpha }:=D(A^{\alpha })，A^{\alpha }的相关性质可参考文献[16]。设C_{\alpha }=C([-r,\mathrm{0}],H_{\alpha })是从[-r,\mathrm{0}]到H_{\alpha }的所有连续函数构成的空间，其中。定义M{C}_{\alpha }(p)(p>\mathrm{2})是所有{\mathrm{ℱ}}_t-可测C_{\alpha }-值函数\psi :\mathrm{\Omega }\to C_{\alpha }构成的空间，且范数形式为。

下面给出线性发展系统的相关性质及随机过程的相关定义和引理。

引理1^[3，17] 若定义在Hilbert空间H上的线性算子族\{A(t):\mathrm{0}\le t\le T\}满足下列条件

(A₁) \{A(t):\mathrm{0}\le t\le T\}的定义域D(A)在空间H上稠密且不依赖于t；

(A₂) 对任意t\in J，预解式R(\lambda ,A(t))对于所有使得\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda \le \mathrm{0}的\lambda存在，且存在常数c>\mathrm{0}，使得

||R(\lambda ,A(t))||\le \frac{c}{|\lambda |+\mathrm{1}}

(A₃) 对任意s,t,\tau \in J，存在常数c>\mathrm{0}和，有

||(A(t)-A(s))A^{-\mathrm{1}}(\tau )||\le c|t-s{|}^{\delta }

那么线性算子族A(t)能够在Hilbert空间H上生成唯一的线性发展系统\{U(t,s):\mathrm{0}\le s\le t\le T\}，即存在一个有界线性算子族\{R(t,\tau )|\mathrm{0}\le \tau \le t\le T\}且满足||R(t,\tau )||\le k|t-\tau {|}^{\delta -\mathrm{1}}，有

U(t,s)={\mathrm{e}}^{-(t-s)A(t)}+{\int }_s^t{\mathrm{e}}^{-(t-\tau )A(\tau )}R(\tau ,s)\mathrm{d}\tau

其中-A(t)为解析半群{\mathrm{e}}^{-\tau A(t)}的无穷小生成元。

对于s,t,\tau \in J，和w>\mathrm{0}，线性发展系统U(t,s)满足下列性质

||U(t,s)||\le M{\mathrm{e}}^{-w(t-s)}（2）

||A^{\alpha }(t)A^{-\beta }(\tau )||\le K(\alpha ,\beta )（3）

||A^{\beta }(t)U(t,s)||\le \frac{K(\beta )}{|t-s{|}^{\beta }}（4）

其中M>\mathrm{0}为常数，K(\alpha ,\beta )和K(\beta )是与\alpha,\beta相关的常数。

在本文中，设线性算子族A(t)生成Hilbert空间H上的线性发展系统为\{U(t,s):\mathrm{0}\le s\le t\le T\}。

引理2^[3] 若线性算子族\{A(t):\mathrm{0}\le t\le T\}满足条件(A₁)~(A₃)，且有\mathrm{0}\le \gamma \le \mathrm{1}，， ，那么对任意，\mathrm{0}\le \xi \le T，得到

‖A^{\gamma }(\xi )(U(t+\mathrm{\Delta }t,\tau )-U(t,\tau ))A^{-\beta }(\tau )‖\le C(\beta ,\gamma ,\alpha ){(\mathrm{\Delta }t)}^{\alpha -\gamma }|t-\tau {|}^{\beta -\alpha }

设(\Omega ,\mathrm{ℱ},P)是完备的概率空间，其中\Omega上带有\sigma代数流\{{\mathrm{ℱ}}_t{\}}_{t\ge \mathrm{0}}且满足单调递增右连续。设W(t)是一个具有有限迹核协方差算子Q>\mathrm{0}的K-值Wiener过程，{\beta }_n(t)(n=\mathrm{1,2},\dots )是概率空间(\Omega ,\mathrm{ℱ},P)上相互独立的一维实值标准布朗运动序列。定义集合

W(t)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{+\mathrm{\infty }}}\sqrt[]{{\lambda }_n}{\beta }_n(t)e_n,t\ge \mathrm{0}

其中{\lambda }_n\ge \mathrm{0}(n=\mathrm{1,2},\dots )是非负实数，\{e_n\}(n=\mathrm{1,2},\dots )是K中的标准正交基。设Q\in \mathrm{ℒ}(K,K)是由Q{e}_n={\lambda }_n{e}_n定义的算子且有有限迹，那么K-值随机过程W(t)称为Q-Wiener过程。

定义1^[3] 设\sigma \in \mathrm{ℒ}(K,H)，定义

||\sigma |{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}:=\mathrm{t}\mathrm{r}(\sigma Q{\sigma }^{\mathrm{*}})={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{+\mathrm{\infty }}}{‖\sqrt[]{{\lambda }_n}\sigma e_n‖}^{\mathrm{2}}

如果，那么\sigma称为Q-Hilbert-Schmidt算子。这里的{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}(K,H)是由所有Q-Hilbert-Schmidt算子\sigma :K\to H构成的空间。

引理3^[16] 对任意t\ge \mathrm{0}，p>\mathrm{0}及\mathrm{ℒ}{}_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{0}}-值可测过程\Phi (t)，存在常数C_p>\mathrm{0}，有

E\left(\underset{s\in [\mathrm{0},t]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||{\int }_{\mathrm{0}}^s\Phi (s)dW(s)|{|}^p\right)\le C_{p}E{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t||\Phi (s)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{p}{\mathrm{2}}}

下面给出方程（1）mild解的定义。

定义2^[3] 如果下列条件成立，

(i) 对任意t\in J，X(t)是可测的，{\mathrm{ℱ}}_t-适定的且有，\mathrm{a}.\mathrm{s}.；

(ii) X(t)在J上满足随机积分方程

X(t)=U(t,\mathrm{0})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]-k(t,X_t)+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)F(s,X_s)\mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)\lambda (s,X_s)\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)G(s,X_s)\mathrm{d}W(s)（5）

其中\lambda (t,X_t):=A(t)k(t,X_t)，且对任意t\in [-r,\mathrm{0}]，X(t)=\varphi (t)。

则过程X:[-r,T]\times \mathrm{\Omega }\to H称为方程（1）的mild解。

2　 主要结果

为了研究方程（1）\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{d}解的存在唯一性，假设

(H₁) 函数k:J\times C_{\alpha }\to H_{\alpha }是Lipschitz连续的，即存在常数L_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，对任意X_t,Y_t\in M{C}_{\alpha }(t,p)，t\in J，有

||k(t,X_t)-k(t,Y_t)|{|}_{\alpha }^p\le L_{\mathrm{0}}||X_t-Y_t|{|}_{C_{\alpha }}^p

(H₂) 对固定(t,w)\in J\times \mathrm{\Omega }，函数F(t,w,x)，G(t,w,x)和\lambda (t,w,x)关于x是连续的，且对任意t\in J和X_t\in M{C}_{\alpha }(t,p)，存在函数M:J\times [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })\to [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，(t,u)\to M(t,u)，有

E||F(t,X_t)|{|}^p+E||G(t,X_t)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p+E||\lambda (t,X_t)|{|}_{\alpha }^p\le M(t,E(||X_t|{|}_{C_{\alpha }}^p))

(H₃) 对固定的u\in [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，M(t,u)关于t是局部可积的；对固定的t\in J，M(t,u)关于u是连续递增的，且对任意的\gamma >\mathrm{0}，u_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0}，积分方程u(t)=u_{\mathrm{0}}+\gamma {\int }_{\mathrm{0}}^{t}M(s,u(s))\mathrm{d}s在J上有全局解。

(H₄) 存在函数N:J\times [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })\to [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，对固定的u\in [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，N(t,u)关于t是局部可积的；对固定的t\in J，它关于u是连续递增的，且N(t,\mathrm{0})\equiv \mathrm{0}。则对任意的t\in J和X_t,Y_t\in M{C}_{\alpha }(t,p)，有

E||F(t,X_t)-F(t,Y_t)|{|}^p+E||G(t,X_t)-G(t,Y_t)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p+E||\lambda (t,X_t)-\lambda (t,Y_t)|{|}_{\alpha }^p\le N(t,E(||X_t-Y_t|{|}_{C_{\alpha }}^p))

(H₅) 存在常数\gamma >\mathrm{0}及非负连续函数Z满足

\left\{\begin{array}{l}Z(t)\le \gamma {\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,Z(s))\mathrm{d}s,t\in J\\ Z(\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}\right.

则对任意t\in J，有Z(t)=\mathrm{0}。

对固定的T>\mathrm{0}，定义D_T是属于C([-r,T],L^p(\Omega ,\mathrm{ℱ},H))的所有连续过程Z构成的子空间，且满足，其中

||Z|{|}_{D_T}:=\underset{\mathrm{0}\le t\le T}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left(E||Z_t|{|}_C^p\right)}^{\mathrm{1}/p}

E||Z_t|{|}_C^p:=E\left\{\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||Z_t(\theta )|{|}^p\right\}

另外，设Z(t):\Omega \to H_{\alpha }(t\ge -r)是{\mathrm{ℱ}}_t-适定H_{\alpha }-值的连续随机过程，由Z_t(\theta )=Z(t+\theta )，\theta \in [-r,\mathrm{0}]，可得到过程Z_t:\Omega \to C_{\alpha }(t\ge \mathrm{0})是由过程Z(t)生成的。

定义映射\Phi :D_T\to D_T，

(\Phi Z)(t)=A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,\mathrm{0})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]-A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})k(t,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t)+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}W(s),t\in J（6）

且对任意t\in [-r,\mathrm{0}]，(\Phi Z)(t)=A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})\varphi (t)。

做如下的逐次逼近，

Z^{n+\mathrm{1}}(t)=A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,\mathrm{0})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]-A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})k(t,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t^n)+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t^n)\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t^n)\mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t,s)G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t^n)\mathrm{d}W(s),t\in J,n=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots（7）

且对任意t\in [-r,\mathrm{0}]，Z^{\mathrm{0}}(t)=A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})\varphi (t)。

事实上，在后面的主要结果中可以证明，序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是空间D_T中的Cauchy列。

本文主要结果的证明基于以下3个引理。

引理4 若假设条件(H₁)~(H₅)成立，则由（6）式定义的算子\Phi :D_T\to D_T是适定的、连续的。

证 首先证明\Phi :D_T\to D_T的适定性。对于任意Z\in D_T，有

E||(\Phi \mathrm{Z})(t)|{|}_C^p\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,\mathrm{0})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]|{|}^p+

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})k(t+\theta ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{t+\theta })|{|}^p+

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}s‖}^p+

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}s‖}^p+

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)\mathrm{d}W(s)‖}^p:=

I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{4}}+I_{\mathrm{5}}（8）

由引理2可得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})(U(t+\theta ,\mathrm{0})-U(\mathrm{0,0}))A^{-\beta }(t_{\mathrm{0}})A^{\beta }(t_{\mathrm{0}})\\ [\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]+A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]|{|}^p\le \end{array}

{\mathrm{10}}^{p-\mathrm{1}}\left(E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})(U(t+\theta ,\mathrm{0})-U(\mathrm{0,0}))A^{-\beta }(t_{\mathrm{0}})A^{\beta }(t_{\mathrm{0}})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]|{|}^p+\right.

\left.E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]|{|}^p\right)\le

{\mathrm{10}}^{p-\mathrm{1}}(C^p{T}^{p(\beta -\alpha )}E||\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )|{|}_{\alpha }^p+E||\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )|{|}_{\alpha }^p)（9）

根据假设条件(H₁)得

I_{\mathrm{2}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{0}}||Z|{|}_{D_T}^p（10）

由（3）、（4）式及\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}’s不等式有

I_{\mathrm{3}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})A^{-\beta }(t+\theta )||\cdot ||A^{\beta }(t+\theta )U(t+\theta ,s)||\cdot ||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)||\mathrm{d}s\right)}^p\le

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K(\beta )){}^{p}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }\frac{\mathrm{1}}{{(t+\theta -s)}^{\beta }}||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)||\mathrm{d}s\right)}^p\le

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)|{|}^p\mathrm{d}s\le

{\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}s（11）

其中，V_{\mathrm{1}}=E||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)|{|}^p。

类似地

I_{\mathrm{4}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{2}}\mathrm{d}s（12）

其中，V_{\mathrm{2}}=E||\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)|{|}^p。

由（3）、（4）式及\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}’s不等式，再根据等式\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\alpha }={\int }_{\sigma }^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}{(s-\sigma )}^{-\alpha }\mathrm{d}s，有

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{5}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^{p}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s){(t+\theta -s)}^{\gamma -\mathrm{1}}R(s)\mathrm{d}s‖}^p\le \\ {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^{p}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})A^{-\beta }(t+\theta )A^{\beta }(t+\theta )U(t+\theta ,s){(t+\theta -s)}^{\gamma -\mathrm{1}}R(s)\mathrm{d}s‖}^p\le \\ {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{\left(K(\alpha ,\beta )K(\beta )\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^{p}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{(t+\theta -s)}^{\gamma -\beta -\mathrm{1}}R(s)\mathrm{d}s‖}^p\le \\ {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{\left(K(\alpha ,\beta )K(\beta )\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p(\gamma -\beta )-\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p(\gamma -\beta -\mathrm{1})}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }||R(s)|{|}^p\mathrm{d}s\right)\end{array}

其中，R(s)={\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\sigma )}^{-\gamma }U(s,\sigma )G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })dW(\sigma )。

根据Young不等式、（2）式及引理3得

E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }||R(s)|{|}^p\mathrm{d}s\right)\le {\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||R(s)|{|}^p\mathrm{d}s\le

{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E{‖{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\sigma )}^{-\gamma }U(s,\sigma )G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })\mathrm{d}W(\sigma )‖}^p\mathrm{d}s\le

{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E{\left[{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\sigma )}^{-\gamma }M{e}^{-w(s-\sigma )}||G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })||dW(\sigma )\right]}^p\mathrm{d}s\le

M^p{C}_{p}E{\int }_{\mathrm{0}}^t{\left[{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\sigma )}^{-\mathrm{2}\gamma }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}w(s-\sigma )}||G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\sigma \right]}^{p/\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le

M^p{C}_p{\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{(s-\sigma )}^{-\mathrm{2}\gamma }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}w(s-\sigma )}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{p}{\mathrm{2}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p\mathrm{d}\sigma \le

M^p{C}_p(\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-\mathrm{2}\gamma ){(\mathrm{2}w)}^{\mathrm{2}\gamma -\mathrm{1}}{)}^{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{2}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p\mathrm{d}\sigma \le

M^p{C}_p(\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-\mathrm{2}\gamma ){(\mathrm{2}w)}^{\mathrm{2}\gamma -\mathrm{1}}{)}^{\frac{p}{\mathrm{2}}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{3}}\mathrm{d}\sigma

其中，V_{\mathrm{3}}=E||G(\sigma ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{\sigma })|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p，故

I_{\mathrm{5}}\le {\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{C}_p{\left(MK(\alpha ,\beta )K(\beta )\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p(\gamma -\beta )-\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p(\gamma -\beta -\mathrm{1})}(\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-\mathrm{2}\gamma ){(\mathrm{2}w)}^{\mathrm{2}\gamma -\mathrm{1}}{)}^{p/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{3}}\mathrm{d}s（13）

为方便起见，记

\begin{array}{l}{l}_{\mathrm{1}}={\mathrm{10}}^{p-\mathrm{1}}(C^p{T}^{p(\beta -\alpha )}E||\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )|{|}_{\alpha }^p+E||\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )|{|}_{\alpha }^p)\\ l_{\mathrm{2}}={\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{0}}||Z|{|}_{D_T}^p\\ l_{\mathrm{3}}={\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}\\ l_{\mathrm{4}}={\mathrm{5}}^{p-\mathrm{1}}{C}_p{\left(MK(\alpha ,\beta )K(\beta )\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }\gamma }{\mathrm{\pi }}\right)}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p(\gamma -\beta )-\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p(\gamma -\beta -\mathrm{1})}(\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-\mathrm{2}\gamma ){(\mathrm{2}w)}^{\mathrm{2}\gamma -\mathrm{1}}{)}^{p/\mathrm{2}}\end{array}

取l=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{l_{\mathrm{3}},l_{\mathrm{4}}\}，再根据（8）~（13）式及假设条件(H₃)，就有

I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{4}}+I_{\mathrm{5}}\le l_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{2}}+l{\int }_{\mathrm{0}}^t(V_{\mathrm{1}}+V_{\mathrm{2}}+V_{\mathrm{3}})\mathrm{d}s\le

l_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{2}}+l{\int }_{\mathrm{0}}^{t}M(t,E(||A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t|{|}_{C_{\alpha }}^p))\mathrm{d}s\le CE(||A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t|{|}_{C_{\alpha }}^p)\le C||Z_t|{|}_{D_T}^p（14）

又因为，故有。

接下来证明算子\Phi的连续性。对于序列\{Z^n\}\subset D_T，Z\in D_T且\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{Z}^n=Z，有

E||(\Phi Z)(t)-(\Phi Z^{n+\mathrm{1}})(t)|{|}_C^p\le

E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||(\Phi Z)(t+\theta )-(\Phi Z^{n+\mathrm{1}})(t+\theta )|{|}_C^p\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})[k(t+\theta ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{t+\theta }^n)-k(t+\theta ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{t+\theta })]|{|}^p+

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)[F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)]\mathrm{d}s‖}^p+

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)[\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)]\mathrm{d}s‖}^p+

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t+\theta ,s)[G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)]\mathrm{d}W(s)‖}^p:=

I_{\mathrm{6}}+I_{\mathrm{7}}+I_{\mathrm{8}}+I_{\mathrm{9}}（15）

根据假设条件(H₁)可得

I_{\mathrm{6}}\le {\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}||k(t+\theta ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{t+\theta }^n)-k(t+\theta ,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_{t+\theta })|{|}_{\alpha }^p\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{0}}||A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t^n-A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_t|{|}_{C_{\alpha }}^p\le {\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{0}}||Z_t^n-Z_t|{|}_C^p（16）

由（3）、（4）式及\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}’s不等式得

I_{\mathrm{7}}\le {\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})A^{-\beta }(t+\theta )A^{\beta }(t+\theta )U(t+\theta ,s)[F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)]\mathrm{d}s‖}^p\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^{p}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }\frac{\mathrm{1}}{{(t+\theta -s)}^{\beta }}||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)||\mathrm{d}s\right)}^p\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}^p\mathrm{d}s\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{4}}\mathrm{d}s（17）

其中，V_{\mathrm{4}}=E||F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-F(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}^p。

类似地

I_{\mathrm{8}}\le {\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{5}}\mathrm{d}s（18）

其中，V_{\mathrm{5}}=E||\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-\lambda (s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}^p。

另外根据（3）、（4）式及引理3得

I_{\mathrm{9}}\le {\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}E\underset{-r\le \theta \le \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }{A}^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})A^{-\beta }(t+\theta )A^{\beta }(t+\theta )U(t+\theta ,s)[G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)]\mathrm{d}W(s)‖}^p\le{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{C}_{p}E{\left({\int }_{\mathrm{0}}^{t+\theta }||A^{\alpha }(t_{\mathrm{0}})A^{-\beta }(t+\theta )|{|}^{\mathrm{2}}||A^{\beta }(t+\theta )U(t+\theta ,s)|{|}^{\mathrm{2}}||G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)}^{p/\mathrm{2}}\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{C}_p(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{2}}{p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2}}\right)}^{(p-\mathrm{2})/\mathrm{2}}{T}^{(p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2})/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E||G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p\mathrm{d}s\le

{\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{C}_p(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{2}}{p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2}}\right)}^{(p-\mathrm{2})/\mathrm{2}}{T}^{(p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2})/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{V}_{\mathrm{6}}\mathrm{d}s（19）

其中，V_{\mathrm{6}}=E||G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s)-G(s,A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n)|{|}_{{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}}^p。

结合（15）~（19）式及假设条件(H₄)，有

E||(\Phi Z)(t)-(\Phi Z^{n+\mathrm{1}})(t)|{|}_C^p\le C_{\mathrm{0}}||Z_t^n-Z_t|{|}_C^p+l^{\text{'}}{\int }_{\mathrm{0}}^t(V_{\mathrm{4}}+V_{\mathrm{5}}+V_{\mathrm{6}})\mathrm{d}s\le

C_{\mathrm{0}}||Z_t^n-Z_t|{|}_C^p+l^{\text{'}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,E(||A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s-A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})Z_s^n|{|}_{C_{\alpha }}^p))\mathrm{d}s\le

C_{\mathrm{0}}||Z_t^n-Z_t|{|}_C^p+l^{\text{'}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,E(||Z_s-Z_s^n|{|}_C^p))\mathrm{d}s（20）

其中，

\begin{array}{l}{l}_{\mathrm{5}}={\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{1}}{p-p\beta -\mathrm{1}}\right)}^{p-\mathrm{1}}{T}^{p-p\beta -\mathrm{1}}\\ l_{\mathrm{6}}={\mathrm{4}}^{p-\mathrm{1}}{C}_p(K(\alpha ,\beta )K{(\beta ))}^p{\left(\frac{p-\mathrm{2}}{p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2}}\right)}^{(p-\mathrm{2})/\mathrm{2}}{T}^{(p-\mathrm{2}p\beta -\mathrm{2})/\mathrm{2}}\\ l^{\text{'}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{l_{\mathrm{5}},l_{\mathrm{6}}\}\end{array}

根据（7）式可知||Z_t-Z_t^n|{|}_C^p\to \mathrm{0}成立，进而得到||(\Phi Z)(t)-(\Phi Z^{n+\mathrm{1}})(t)|{|}_C^p\to \mathrm{0}。又因为，且满足||Z_t-Z_t^n|{|}_{D_T}^p\to \mathrm{0}，则有||Z_t-Z_t^n|{|}_{C_{\alpha }}^p\to \mathrm{0}。

由（20）式很容易得到下面的引理。

引理5 对任意t\in J，X,Y\in D_T，如果假设条件(H₁)~(H₅)成立，那么存在常数{C_T}^{\mathrm{\text{'}}}>\mathrm{0}，有

||(\Phi X)(t)-(\Phi Y)(t)|{|}_{D_T}^p\le C_{\mathrm{0}}||X_t-Y_t|{|}_{D_T}^p+C_T^{\text{'}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,||X_t-Y_t|{|}_{D_T}^p)\mathrm{d}s

引理6 若假设条件(H₂)和(H₃)成立，则序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}在空间D_T中是有界的。

证 令n\ge \mathrm{0}，由(14)式可知

||Z^{n+\mathrm{1}}|{|}_{D_T}^p\le K_{\mathrm{1}}+K_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}M(s,||Z^n|{|}_{D_T}^p)\mathrm{d}s（21）

其中K_{\mathrm{1}}和K_{\mathrm{2}}是与n无关的常数。

设u(t)是积分方程u(t)=u_{\mathrm{0}}+K_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}M(s,u(s))\mathrm{d}s在J上的全局解，接下来运用数学归纳法证明

||Z^n|{|}_{D_T}^p\le u(t),t\in J,n=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots

当n=\mathrm{0}时，由u(t)的定义可知上述不等式是成立的。

假设n\le k时，有||Z^k|{|}_{D_T}^p\le u(t)，t\in J成立。

下面考虑n=k+\mathrm{1}的情况，根据（21）式可以得到

u(t)-||Z^{k+\mathrm{1}}|{|}_{D_T}^p\ge K_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t(M(s,u(s))-M(s,||Z^k|{|}_{D_T}^p))\mathrm{d}s

又由于M(t,u)关于u是连续递增的，且满足假设条件(H₃)，则有u(t)-||Z^{k+\mathrm{1}}|{|}_{D_T}^p\ge \mathrm{0}。故序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}在空间D_T中是有界的。

下面是本文的主要结果。

定理1 令，p>\mathrm{2}，如果假设条件(H₁)~(H₅)成立，那么对任意初始值\varphi \in M{C}_{\alpha }(p)，序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是空间D_T中的Cauchy列，且方程（1）有唯一的mild解。

证 设r_n(t)=\underset{m\ge n}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\{||Z^m-Z^n|{|}_{D_T}^p\},t\in J,n\ge \mathrm{0}，由引理6可知，序列r_n(t)是一致有界的，则对任意t\in J，序列\{r_n{(t)\}}_{n\ge \mathrm{0}}是单调递增的，那么存在函数r(t)满足

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{r}_n(t)=r(t)（22）

正如引理5所述，存在某个常数K^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}，有||Z^m-Z^n|{|}_{D_T}^p\le K^{\mathrm{*}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,||Z^m-Z^n|{|}_{D_T}^p)\mathrm{d}s，那么

r(t)\le r_n(t)\le K^{\mathrm{*}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,r_{n-\mathrm{1}}(s))\mathrm{d}s

通过（22）式和Lebesgue控制收敛定理有r(t)\le K^{\mathrm{*}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,r(s))\mathrm{d}s。由假设条件(H₅)和Gronwall不等式可以得到r\equiv \mathrm{0}，则函数r_n(t)是连续的。

根据上面得到的结果，当m,n\to \mathrm{\infty }时，||Z^m-Z^n|{|}_{D_T}^p\le r(T)且r_n(T)\to r(T)=\mathrm{0}，得到||Z^m-Z^n|{|}_{D_T}^p\to \mathrm{0}，因此序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是空间D_T中的Cauchy列。又由于算子\Phi的连续性，就得到\Phi Z=Z,故根据不动点定理得，序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的极限Z是算子\Phi的一个不动点。

再证明算子\Phi有唯一不动点。设X,Y\in D_T是算子\Phi的两个不动点，则有

||X-Y|{|}_{D_T}^p\le K^{\mathrm{*}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}N(s,||X-Y|{|}_{D_T}^p)\mathrm{d}s

根据假设条件(H₄)，得到||X-Y|{|}_{D_T}^p\equiv \mathrm{0}，即X\equiv Y，故算子\Phi有唯一不动点。

设U\in D_T是算子\Phi唯一的不动点，令X(t)=A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t)，则得到

\begin{array}{l}X(t)=U(t,\mathrm{0})[\varphi (\mathrm{0})+k(\mathrm{0},\varphi )]-k(t,X_t)+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)F(s,X_s)\mathrm{d}s+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)\lambda (s,X_s)\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}U(t,s)G(s,X_s)\mathrm{d}W(s),t\in J\end{array}

且对任意t\in [-r,\mathrm{0}]，X(t)=\varphi (t)。

故X(t)是方程(1)在[-r,T]上唯一的mild解，证毕。

3　 结 语

本文首先利用分数幂算子证明空间D_T中所定义的算子\Phi的适定性和连续性；然后根据数学归纳法得到了定义在空间D_T中的序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是有界的；其次证明序列\{Z^n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}是空间D_T中的Cauchy列，且其极限是算子\Phi的不动点；最后假设U\in D_T是算子\Phi的唯一不动点，则X(t)=A^{-\alpha }(t_{\mathrm{0}})U(t)为方程（1）唯一的mild解。考虑到无界线性算子族A(t)可以在Hilbert空间中生成唯一的线性发展系统，且所选的非线性项不满足Lipschitz条件，使得所讨论的方程（1）作为数学模型更符合实际应用。以后的工作将会进一步讨论此模型mild解的其他性质，如稳定性、近似可控性等。

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基金资助

国家自然科学基金(11561040)

甘肃省自然科学基金(20JR5RA418)