微极流方程组确定结点个数估计

Estimation of the Number of Determining Nodes to the Non-Autonomous Micropolar Fluid Equations

摘要

在二维有界区域上研究非自治微极流方程组的渐近行为，对其确定结点个数进行估计。结果表明，当微极流方程组的任意两个强解在空间的有限个点处具有相同的渐近行为时，这两个解几乎在整个空间上具有相同的渐近行为。

Abstract

In this paper, we study the asymptotic behavior of non-autonomous micropolar fluid equations on 2D bounded domains. To be exact, we estimate the number of determining nodes of the equations. The results indicate that any two strong solutions of the micropolar fluid flow almost have the same asymptotic behavior in the whole space when they have the same asymptotic behavior at finite points in the space.

关键词

微极流方程组 / 确定结点 / 渐近行为

Key words

micropolar fluid equations / determining nodes / asymptotic behavior

0　 引 言

本文将在二维有界区域\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}上研究非自治微极流方程组：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}-\left(\nu +{\nu }_r\right)\mathrm{\Delta }u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\nabla p=\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega +f\\ \frac{\partial \omega }{\partial t}-\alpha \mathrm{\Delta }\omega +\left(u\cdot \nabla \right)\omega +\mathrm{4}{\upsilon }_r\omega =\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u+g\\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}u=\mathrm{0},\hspace{1em}\left(t,x\right)\in \left(t,T\right)\times \mathrm{\Omega }\end{array}\right.(1)

其中,u:=u(t,x)=\left(u^{(\mathrm{1})}(t,x),u^{(\mathrm{2})}(t,x)\right)表示速度，\omega :=\omega (t,x)表示角速度，p表示压力，f:=f(t,x)=\left(f^{(\mathrm{1})}(t,x),f^{(\mathrm{2})}(t,x)\right)表示外力，g:=g\left(t,x\right)表示力矩，正参数\nu ,{\nu }_r,\alpha表示粘度系数。具体地，\nu是通常的牛顿粘度系数，{\nu }_r是微旋转粘度系数，并且有：

\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u=\frac{\partial u}{\partial x_{\mathrm{1}}}-\frac{\partial u}{\partial x_{\mathrm{2}}}，\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega =\left(\frac{\partial \omega }{\partial x_{\mathrm{2}}},-\frac{\partial \omega }{\partial x_{\mathrm{1}}}\right)

微极流模型是Eringen^[1]首次提出的，是Navier-Stokes模型的推广。作为一类重要的非线性偏微分方程组，它刻画了一类包含微旋转效应和惯性力的非牛顿流体的运动。相比较经典的Navier-Stokes方程组而言，微极流方程组考虑了微粒子的流体运动和旋转运动之间的相互作用，即多了角速度\omega。从而使得微极流方程组能较好地表征一些经典的Navier-Stokes模型无法描述的不可压流体的动力学行为，如动物血液，液晶和稀释水溶性聚合物溶液的流动等^[2，3]。这些不同体现在文中的微极流方程组(1)中第一式多了\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega项，以及多了方程组(1)的第三式。由于非线性项不同了，这将导致微极流方程组的结构相对更复杂，从而使得我们在做能量估计时需要更精细更细心。

鉴于微极流模型在数学，物理和工业实操方面具有广泛的应用性，现今有许多专家对微极流方程组做了深入研究。例如，关于方程组解的存在性：Dong等^[4]和Ferreira等^[5]证明了微极流方程组解的整体存在唯一性，Lukaszewicz^[6]，Zhao等^[7]证明了弱解的整体适定性，Galdi等^[8]研究了微极流方程组的非稳态问题解的存在性和唯一性，更多相关结果可参阅文献[9~11]等。另外关于解的长时间动力学行为也有许多研究成果，例如在有界区域上：Chen等^[12]证明了H^{\mathrm{2}}-整体吸引子的存在性；Chen等^[13]得到了一致吸引子的存在性；Chen^[14]在利普希兹(Lipschitz)有界区域上证明了L^{\mathrm{2}}-拉回吸引子的存在性；Sun等^[15]研究了随机吸引子的存在性；更多相关结果可参阅文献[16~20]等。在无界区域上：Sun等^[21]和Zhao等^[22]分别在二维区域上得到了整体吸引子，一致吸引子和拉回吸引子的存在性；Nowakowski^[23]证明了三维区域上一致吸引子的存在性。

研究方程组的动力学行为(吸引子)固然重要，进一步揭示吸引子的内部结构特性有着同等重要的地位。确定模，自由度与确定结点描述的是系统的渐近行为可以被某些有限量所确定，其概念是由数学家Foias等^[24，25]提出的。现已有部分相关研究，见文献[26~29]等。

本文的主要目的是研究微极流方程组的确定结点个数。为此，考虑如下初边值条件：

u=\mathrm{0}, \omega =\mathrm{0},\hspace{1em} (t,x)\in (\tau ,T)\times \partial \mathrm{\Omega }(2)

(u(\tau ,x),\omega (\tau ,x))=(u_{\tau }(x),{\omega }_{\tau }(x)), \hspace{1em}x\in \mathrm{\Omega },\tau \in \mathbb{R}(3)

本文将对系统(1)~(3)的确定结点个数进行研究，即证明当微极流方程组的任意两个解在空间的有限个点处具有相同的渐近行为时，这两个解几乎在整个空间上具有相同的渐近行为。

本文剩余部分安排如下。第1部分，引入一些符号和已有的相关结果。第2部分，估计微极流方程组的确定结点个数。第3部分，总结本文工作。

1　 预备知识

在这一部分，首先引入一些必要的函数空间和范数，然后定义几个重要的算子，并给出相关的一些结论。

在本文中，\mathbb{R}表示实数集，\mathbb{N}表示自然数集；L^p(\mathrm{\Omega })和W^{m,p}(\mathrm{\Omega })分别表示Lebesgue和Sobolev空间^[30]，其相应的范数定义如下：

{‖\phi ‖}_{L^p}={\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\phi \right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}，{‖\phi ‖}_{m,p}={\left(\sum _{\left|\beta \right|\le m}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|D^{\beta }\phi \right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}

特别地，H^m(\mathrm{\Omega })≔W^{m,\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })。令：

H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{\Omega })≔\left\{\phi \in {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\right\}在W^{\mathrm{1,2}}(\mathrm{\Omega })范数下的完备化空间；

\mathit{𝒞}(I;X)≔取值于X空间中，在区间I上的连续函数全体，其范数为一般连续函数空间中的范数；

L^p(I;X)≔取值于X空间中，在区间I上p次可积的函数全体，其范数为：

{‖\phi ‖}_{L^p\left(I;X\right)}≔{\left({\int }_I{‖\phi ‖}_X^p\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}，\forall \phi \in L^p(I;X)，；

\mathit{𝒱}≔\left\{\phi \in {\mathit{𝒞}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\times {\mathit{𝒞}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\left|\phi =\left({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{2}}\right)\right.,\nabla \cdot \phi =\mathrm{0}\right\}；

H≔\mathrm{𝒱}在L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })范数下的完备化空间，范数为{‖\cdot ‖}_H，对偶空间为H^{\mathrm{*}}；

V≔\mathrm{𝒱}在H^{\mathrm{1}}(\mathrm{\Omega })\times H^{\mathrm{1}}(\mathrm{\Omega })范数下的完备化空间，范数为{‖\cdot ‖}_V，对偶空间为V^{\mathrm{*}}。

在不引起混淆的情况下，我们把范数{‖\cdot ‖}_{L^{\mathrm{2}}}和{‖\cdot ‖}_H简记为‖\cdot ‖。另外，\left(\cdot ,\cdot \right)表示H空间或者V空间中的内积，〈\cdot ,\cdot 〉表示V空间与V^{\mathrm{*}}空间中函数的对偶积。

接下来定义三个算子。首先定义算子A：

Au=-P_L\mathrm{\Delta }u，\forall u\in D(A)

其中P_L：L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })\times L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })\to H或L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })\to L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })是Helmholtz-Leray投影算子，D(A)≔V\bigcap (H^{\mathrm{2}}{(\mathrm{\Omega }))}^{\mathrm{2}}或H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}。易知A为D(A)\to H或V\to V^{\mathrm{*}}上的连续线性算子。根据椭圆算子的谱理论^[8]，存在A的特征值组成的序列{\left\{{\lambda }_n\right\}}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}和构成空间H的标准正交基的序列{\left\{{\upsilon }_n\right\}}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\subseteq D(A)，其中span\{{\upsilon }_{\mathrm{1}},{\upsilon }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\upsilon }_n\}在空间V中稠密，使得

A{\upsilon }_n={\lambda }_n{\upsilon }_n，\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}

且进一步有，当n\to \mathrm{\infty }时，有{\lambda }_n\to +\mathrm{\infty }。同理，算子-\mathrm{\Delta }具有与A算子相同的性质，记{\left\{{\lambda }_i^{·}\right\}}_{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}为算子-\mathrm{\Delta }的特征值，且满足。其次定义如下算子：

b(u,v,w)={\displaystyle \sum _{i,j=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_i\frac{\partial v_j}{\partial x_i}{w}_j\mathrm{d}x，\forall u,v,w\in V

和

b_{\mathrm{1}}(u,\omega ,\psi )={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}_i\frac{\partial \omega }{\partial x_i}\psi \mathrm{d}x，\forall u\in V,\omega ,\psi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}

不难验证下面的估计式成立：

\left|b(u,v,Aw)\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u‖‖\nabla v‖‖Aw‖,\hspace{1em}\forall u,v\in V,w\in D(A)(4)

\left|b_{\mathrm{1}}(u,\omega ,A\psi )\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u‖‖\nabla \omega ‖‖A\psi ‖,\hspace{1em}\forall u\in V,\omega \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}},\psi \in D(A)(5)

定义 1^[6] 设f\in L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;H)，g\in L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;L^{\mathrm{2}})。若函数：

u\in \mathrm{𝒞}([\tau ,T];H)\bigcap L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;V)，\omega \in \mathrm{𝒞}([\tau ,T];L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega }))\bigcap L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}})，\forall T>\tau

且下列等式：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u,\phi )+\left(\nu +{\nu }_r\right)(\nabla u,\nabla \phi )+b\left(u,u,\phi \right)=\mathrm{2}{\nu }_r(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega ,\phi )+(f,\phi )，\forall \phi \in V

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\omega ,\psi )+\alpha (\nabla \omega ,\nabla \psi )+b_{\mathrm{1}}\left(u,\omega ,\psi \right)+\mathrm{4}{\nu }_r(\omega ,\psi )=\mathrm{2}{\nu }_r(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u,\psi )+(g,\psi )，\forall \psi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}

在分布意义{\mathrm{𝒟}}^{\text{'}}(\tau ,T)下成立，则称(u,\omega )为方程组(1)的弱解。若(u,\omega )是方程组(1)的弱解，且

u\in \mathrm{𝒞}([\tau ,T];V)\bigcap L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;D(A))，\omega \in \mathrm{𝒞}([\tau ,T];H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}})\bigcap L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;D(A))，\forall T>\tau

则称(u,\omega )为方程组(1)的强解。

关于系统(1)~(3)的解的存在唯一性已经在文献[6]中得到，即：

引理 1 设f\in L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;H)，g\in L^{\mathrm{2}}(\tau ,T;L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega }))。

(i) 若初值u_{\tau }\in H，{\omega }_{\tau }\in L^{\mathrm{2}}(\mathrm{\Omega })，则系统(1)~(3)存在唯一的弱解。

(ii) 若初值u_{\tau }\in V，{\omega }_{\tau }\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{\Omega })，则系统(1)~(3)存在唯一的强解。

引理 2^[27] 若\varphi (t)和\beta (t)是[\tau ,+\mathrm{\infty })上的实值函数，且存在T>\mathrm{0}，使得：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\varphi (\theta )\mathrm{d}\theta >\mathrm{0}(6)

(7)

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}{\beta }^{+}(\theta )\mathrm{d}\theta =\mathrm{0}(8)

其中{\varphi }^{-}(t)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{-\varphi (t),\mathrm{0}\}，{\beta }^{+}(t)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\beta (t),\mathrm{0}\}。设\xi =\xi (t)是[\tau ,+\mathrm{\infty })上的非负绝对连续函数，若：

\frac{\mathrm{d}\xi (t)}{\mathrm{d}t}+\varphi (t)\xi (t)\le \beta (t)

则当t\to \mathrm{\infty }时，有\xi (t)\to \mathrm{0}。

2　 确定结点个数估计

本部分的主要目的是估计系统(1)~(3)的确定结点的个数。为此，设(u_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{1}})和(u_{\mathrm{2}},{\omega }_{\mathrm{2}})为系统(1)~(3)分别对应于外力及力矩(f_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{1}})和(f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{2}})的两个强解，其中外力和力矩的渐近强度用其L^{\mathrm{2}}⁃范数进行刻画，即：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left[{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left({\left|f_i(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|g_i(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}≔F,\hspace{1em}i=\mathrm{1,2}(9)

接下来，引入确定结点的定义如下。

定义 2 考虑空间\mathrm{\Omega }\subseteq R^{\mathrm{2}}中的N个测量点\{x^i{\}}_{i=\mathrm{1}}^N，记\Lambda =\left\{x^{\mathrm{1}},x^{\mathrm{2}},\cdots ,x^N\right\}。假设(u_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{1}})和(u_{\mathrm{2}},{\omega }_{\mathrm{2}})是系统(1)~(3)的两个强解，如果由

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\underset{j=\mathrm{1},\cdots ,N}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left(\left|u_{\mathrm{1}}(x^j,t)-u_{\mathrm{2}}(x^j,t)\right|+\left|{\omega }_{\mathrm{1}}(x^j,t)-{\omega }_{\mathrm{2}}(x^j,t)\right|\right)=\mathrm{0}(10)

可推得

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left({\left|u_{\mathrm{1}}(x,t)-u_{\mathrm{2}}(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|{\omega }_{\mathrm{1}}(x,t)-{\omega }_{\mathrm{2}}(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x=\mathrm{0}(11)

则称点集\Lambda为系统(1)~(3)的确定结点集，\Lambda中的点称为系统(1)~(3)的确定结点。

在证明本文的主要结论之前需要引入如下的重要引理。

引理 3^[25] 设\mathrm{\Omega }被N个恒等的正方形覆盖，记点集\Lambda =\left\{x^{\mathrm{1}},x^{\mathrm{2}},\cdots ,x^N\right\}\subset \mathrm{\Omega }，且每个点x^i属于且只属于其中的一个正方形，则对任意u,\omega \in D(A)存在仅与\mathrm{\Omega }有关的正常数c_{\mathrm{1}}使得：

{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{1}}N\left({\eta }^{\mathrm{2}}(u)+{\eta }^{\mathrm{2}}(\omega )\right)+\frac{c_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}N}\left({‖Au‖}^{\mathrm{2}}+{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)(12)

其中{\lambda }_{\mathrm{1}}是算子A的第一个特征值，\eta (u)=\underset{{}_{j=\mathrm{1},\cdots ,N}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|u(x^j)\right|，\eta (\omega )=\underset{{}_{j=\mathrm{1},\cdots ,N}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|\omega (x^j)\right|。

现在，证明本文的主要结论，即如下定理1。

定理 1 设\mathrm{\Omega }被N个恒等的正方形覆盖，记点集\Lambda =\left\{x^{\mathrm{1}},x^{\mathrm{2}},\cdots ,x^N\right\}\subset \mathrm{\Omega }，且每个点x^i属于且只属于其中的一个正方形，(u_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{1}})和(u_{\mathrm{2}},{\omega }_{\mathrm{2}})为系统(1)~(3)分别对应于外力及力矩(f_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{1}})和(f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{2}})的两个强解，且(f_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{1}})与(f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{2}})具有相同的渐近强度，即当t\to \mathrm{\infty }时，有：

{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left({\left|f_{\mathrm{1}}(x,t)-f_{\mathrm{2}}(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|g_{\mathrm{1}}(x,t)-g_{\mathrm{2}}(x,t)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x\to \mathrm{0}(13)

如果

N>\frac{c_{\mathrm{1}}\left(k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}+\mathrm{16}{k}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{F}^{\mathrm{2}}\right)}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}}

则点集\Lambda为系统(1)~(3)的确定结点集，其中，

k_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\nu +{\nu }_r,\alpha \}，k_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\mathrm{16}{\nu }_r^{\mathrm{2}},\mathrm{8}{\nu }_r({\nu }_r-\nu )\right\}，k_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\nu ,\alpha \}，k_{\mathrm{4}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\nu {\lambda }_{\mathrm{1}}},\frac{\mathrm{1}}{\alpha {\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}\right\}

{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}为算子-\mathrm{\Delta }的第一个特征值，c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}}为仅与\mathrm{\Omega }有关的常数。

证 由于(u_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{1}})和(u_{\mathrm{2}},{\omega }_{\mathrm{2}})分别是方程组(1)对应于(f_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{1}})和(f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{2}})的两个解，则有：

\begin{array}{l}\frac{\partial u_{\mathrm{1}}}{\partial t}-\left(\nu +{\nu }_r\right)\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{1}}+\left(u_{\mathrm{1}}\cdot \nabla \right)u_{\mathrm{1}}+\nabla p=\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\omega }_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{u}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\\ \frac{\partial {\omega }_{\mathrm{1}}}{\partial t}-\alpha \mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{1}}+\left(u_{\mathrm{1}}\cdot \nabla \right){\omega }_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}{\nu }_r{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{u}_{\mathrm{1}}+g_{\mathrm{1}}\end{array}

与

\begin{array}{l}\frac{\partial u_{\mathrm{2}}}{\partial t}-\left(\nu +{\nu }_r\right)\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{2}}+\left(u_{\mathrm{2}}\cdot \nabla \right)u_{\mathrm{2}}+\nabla q=\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\omega }_{\mathrm{2}}+f_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{u}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\\ \frac{\partial {\omega }_{\mathrm{2}}}{\partial t}-\alpha \mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{2}}+\left(u_{\mathrm{2}}\cdot \nabla \right){\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\nu }_r{\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{u}_{\mathrm{2}}+g_{\mathrm{2}}\end{array}

记u=u_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}，\omega ={\omega }_{\mathrm{1}}-{\omega }_{\mathrm{2}}，f=f_{\mathrm{1}}-f_{\mathrm{2}}，g=g_{\mathrm{1}}-g_{\mathrm{2}}，则：

\frac{\partial u}{\partial t}-\left(\nu +{\nu }_r\right)\mathrm{\Delta }u+\left(u\cdot \nabla \right)u_{\mathrm{1}}+\left(u_{\mathrm{2}}\cdot \nabla \right)u-\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega +\nabla (p-q)=f(14)

\frac{\partial \omega }{\partial t}-\alpha \mathrm{\Delta }\omega +\left(u\cdot \nabla \right){\omega }_{\mathrm{1}}+\left(u_{\mathrm{2}}\cdot \nabla \right)\omega +\mathrm{4}{\nu }_r\omega -\mathrm{2}{\nu }_r\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u=g(15)

我们需要证明在定理1的条件下，若(10)式成立，则有：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({‖u(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖\omega (t)‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}

事实上，可以证明：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({‖\nabla u(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega (t)‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}

首先，用Au和A\omega分别与(14)式和(15)式作内积，可得：

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\left(\nu +{\nu }_r\right){‖Au‖}^{\mathrm{2}}=-b\left(u,u_{\mathrm{1}},Au\right)-b\left(u_{\mathrm{2}},u,Au\right)+\mathrm{2}{\nu }_r\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega ,Au\right)+\left(f,Au\right)

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}+\alpha {‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\nu }_r{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}=-b_{\mathrm{1}}\left(u,{\omega }_{\mathrm{1}},A\omega \right)-b_{\mathrm{1}}\left(u_{\mathrm{2}},\omega ,A\omega \right)+\mathrm{2}{\nu }_r\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u,A\omega \right)+\left(g,A\omega \right)

上述两式相加，可得：

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+\left(\nu +{\nu }_r\right){‖Au‖}^{\mathrm{2}}+\alpha {‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\nu }_r{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}=

-b_{\mathrm{1}}\left(u,{\omega }_{\mathrm{1}},A\omega \right)-b_{\mathrm{1}}\left(u_{\mathrm{2}},\omega ,A\omega \right)-b\left(u,u_{\mathrm{1}},Au\right)-b\left(u_{\mathrm{2}},u,Au\right)+

\mathrm{2}{\nu }_r\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u,A\omega \right)+\left(g,A\omega \right)+\mathrm{2}{\nu }_r\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega ,Au\right)+\left(f,Au\right)(16)

下面对(16)式等号右端的每一项进行估计，首先由(4)式和Cauchy不等式，有：

\left|b\left(u,u_{\mathrm{1}},Au\right)\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u‖‖\nabla u_{\mathrm{1}}‖‖Au‖\le \frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}{‖\nabla u_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\nu +{\nu }_r}{\mathrm{8}}{‖Au‖}^{\mathrm{2}}(17)

\left|b\left(u_{\mathrm{2}},u,Au\right)\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖‖\nabla u‖‖Au‖\le \frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\nu +{\nu }_r}{\mathrm{8}}{‖Au‖}^{\mathrm{2}}(18)

同理，由(5)式和Cauchy不等式，有：

\left|b_{\mathrm{1}}\left(u,{\omega }_{\mathrm{1}},A\omega \right)\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u‖‖\nabla {\omega }_{\mathrm{1}}‖‖A\omega ‖\le \frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\alpha }{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\alpha }{\mathrm{8}}{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}(19)

\left|b_{\mathrm{1}}\left(u_{\mathrm{2}},\omega ,A\omega \right)\right|\le c_{\mathrm{2}}‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖‖\nabla \omega ‖‖A\omega ‖\le \frac{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\alpha }{‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\alpha }{\mathrm{8}}{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}(20)

其次运用Hölder不等式和Cauchy不等式，可得：

\mathrm{2}{\nu }_r\left|\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega ,Au\right)\right|\le \mathrm{2}{\nu }_r{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\omega \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|Au\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le \mathrm{2}{\nu }_r{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\nabla \omega \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|Au\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le

\frac{\mathrm{8}{\nu }_r^{\mathrm{2}}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\nu +{\nu }_r}{\mathrm{8}}{‖Au‖}^{\mathrm{2}}(21)

\mathrm{2}{\nu }_r\left|\left(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u,A\omega \right)\right|\le \mathrm{2}{\nu }_r{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|A\omega \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le \mathrm{2}{\nu }_r{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|A\omega \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le

\frac{\mathrm{8}{\nu }_r^{\mathrm{2}}}{\alpha }{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\alpha }{\mathrm{8}}{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}(22)

再者，显然有：

\left(f,Au\right)\le \frac{\nu +{\nu }_r}{\mathrm{8}}{‖Au‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\nu +{\nu }_r}{‖f‖}^{\mathrm{2}}(23)

\left(g,A\omega \right)\le \frac{\alpha }{\mathrm{8}}{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\alpha }{‖g‖}^{\mathrm{2}}(24)

结合(16)和(17)~(24)式，可得：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+(\nu +{\nu }_r){‖Au‖}^{\mathrm{2}}+\alpha {‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}\le

\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+

\frac{\mathrm{16}{\nu }_r^{\mathrm{2}}}{\alpha }{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{8}{\nu }_r({\nu }_r-\nu )}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\nu +{\nu }_r}{‖f‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\alpha }{‖g‖}^{\mathrm{2}}\le

\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right)+

\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left({‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha }{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+

\frac{\mathrm{16}{\nu }_r^{\mathrm{2}}}{\alpha }{‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{8}{\nu }_r({\nu }_r-\nu )}{\nu +{\nu }_r}{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\nu +{\nu }_r}{‖f‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\alpha }{‖g‖}^{\mathrm{2}}(25)

记k_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\nu +{\nu }_r,\alpha \}，k_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\mathrm{16}{\nu }_r^{\mathrm{2}},\mathrm{8}{\nu }_r({\nu }_r-\nu )\}，则有：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+k_{\mathrm{1}}\left({‖Au‖}^{\mathrm{2}}+{‖A\omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)-\frac{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)\left({‖\nabla u_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right)-

\frac{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖\nabla u_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_{\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}\right)\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)-\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)\le

\frac{\mathrm{4}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖f‖}^{\mathrm{2}}+{‖g‖}^{\mathrm{2}}\right)

由引理3知：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)+\left[\frac{k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}N}{c_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\left({‖\nabla u_i‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_i‖}^{\mathrm{2}}\right)-\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\right]\cdot \left({‖\nabla u‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega ‖}^{\mathrm{2}}\right)\le

k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}{N}^{\mathrm{2}}\left({\eta }^{\mathrm{2}}(u)+{\eta }^{\mathrm{2}}(\omega )\right)+\frac{\mathrm{4}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖f‖}^{\mathrm{2}}+{‖g‖}^{\mathrm{2}}\right)(26)

令：

\begin{array}{l}\xi (t)={‖\nabla u(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega (t)‖}^{\mathrm{2}}\\ \varphi (t)=\frac{k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}N}{c_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\left({‖\nabla u_i(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_i(t)‖}^{\mathrm{2}}\right)-\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\\ \beta (t)=k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}{N}^{\mathrm{2}}\left({\eta }^{\mathrm{2}}(u(t))+{\eta }^{\mathrm{2}}(\omega (t))\right)+\frac{\mathrm{4}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖f(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖g(t)‖}^{\mathrm{2}}\right)\end{array}

则(26)式可表示成：

\frac{\mathrm{d}\xi (t)}{\mathrm{d}t}+\varphi (t)\xi (t)\le \beta (t)(27)

接下来我们验证\varphi (t)和\beta (t)满足引理2的条件，由文献[29]中的(26)式可知对充分大的T有：

\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\left({‖\nabla u_i(\theta )‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla {\omega }_i(\theta )‖}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}\theta \le \frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{4}}}{k_{\mathrm{3}}}{F}^{\mathrm{2}}，i=\mathrm{1,2}

其中，k_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\nu ,\alpha \}，k_{\mathrm{4}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\nu {\lambda }_{\mathrm{1}}},\frac{\mathrm{1}}{\alpha {\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}\right\}。因此，当N>\frac{c_{\mathrm{1}}\left(k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}+\mathrm{16}{k}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{F}^{\mathrm{2}}\right)}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}}时，有：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\varphi (\theta )\mathrm{d}\theta \ge \frac{k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}N}{c_{\mathrm{1}}}-\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{8}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\left({‖\nabla u(\theta )‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega (\theta )‖}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}\theta \ge

\frac{k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}N}{c_{\mathrm{1}}}-\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{16}{k}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{F}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{3}}}>\mathrm{0}

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}{\varphi }^{-}(\theta )\mathrm{d}\theta \le \frac{k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}N}{c_{\mathrm{1}}}+\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{8}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\left({‖\nabla u(\theta )‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega (\theta )‖}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}\theta \le

故\varphi (t)满足条件(6)，{\varphi }^{-}(t)满足条件(7)。由\eta (\cdot )的定义及(10)式可知：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\eta (u(t))=\mathrm{0}，\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\eta (\omega (t))=\mathrm{0}

另外，由(13)式可推得：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}{\beta }^{+}(\theta )\mathrm{d}\theta =\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{T}{\int }_t^{t+T}\left(k_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}{N}^{\mathrm{2}}\left({\eta }^{\mathrm{2}}(u(t))+{\eta }^{\mathrm{2}}(\omega (t))\right)+\frac{\mathrm{4}}{k_{\mathrm{1}}}\left({‖f(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖g(t)‖}^{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{d}\theta =\mathrm{0}

即{\beta }^{+}(t)满足条件(8)。所以由引理2和(27)式，下式成立：

\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\xi (t)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({‖\nabla u(t)‖}^{\mathrm{2}}+{‖\nabla \omega (t)‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}

因此根据定义2知，当N>\frac{c_{\mathrm{1}}\left(k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}+\mathrm{16}{k}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{F}^{\mathrm{2}}\right)}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}}时，点集\Lambda为系统(1)~(3)的确定结点集，证毕。

3　 结 语

本文在二维有界区域上研究了非自治微极流方程组的渐近行为，主要采用能量方法，结合空间嵌入关系证明了微极流方程组具有有限的确定结点个数。该结果表明，微极流方程组的任意强解的渐近行为几乎可以由这个解在空间有限个点处的渐近行为确定。对微极流方程组的确定结点个数估计，可以为流体力学中的数值模拟工程等提供一定的理论依据和参考价值。

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基金资助

国家自然科学基金青年项目(12301294)

湖北省科技厅自然科学基金青年项目(2022CFB661)

湖北省教育厅中青年人才项目(Q20201307)