GCD封闭集上倒数幂GCD矩阵的非奇异性

Nonsingularity of Reciprocal Power GCD Matrices on Gcd-Closed Sets

摘要

设a为正整数，S=\{x_{\mathrm{1}},\cdots ,x_n\}为n个不同的正整数构成的集合。若对任意\mathrm{1}\le i,j\le n，均有\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x_i,x_j)\in S，则称S是GCD封闭集。如果一个n阶方阵的第i行第j列元素为\frac{\mathrm{1}}{(\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x_i,x_j{))}^a}，那么称它是定义在集合S上的a次倒数幂GCD矩阵。本文给出了某些特殊类型的GCD封闭集S上a次倒数幂GCD矩阵的行列式的计算公式，并且得到了有关其非奇异性的一些结果。

Abstract

Let a be a positive integer and let S=\{x_{\mathrm{1}},\cdots ,x_n\} be a set of n distinct positive integers. The n\times n matrix having the reciprocal ath power of the greatest common divisor (GCD) of x_i and x_j as its (i,j)-entry is called reciprocal ath power GCD matrix defined on S. In this paper, we give the formula for the determinant of reciprocal ath power GCD matrix if S is a gcd-closed set (i.e. \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(x_i,x_j)\in S for all integers i and j with \mathrm{1}\le i,j\le n). Moreover, we establish some results on the nonsingularity of reciprocal ath power GCD matrix defined on certain classes of gcd-closed sets S.

0　 引 言

在本文中，a,b均表示正整数，S=\{x_{\mathrm{1}},\cdots ,x_n\}表示n个不同正整数构成的集合。为方便起见，本文总是假设集合S满足。以(x,y)和\left[x,y\right]分别表示正整数x与y的最大公因子和最小公倍数。令n\times n矩阵({\xi }_a(x_i,x_j)) (简记为(S^a))和({\xi }_a[x_i,x_j])(简记为[S^a])分别表示定义在S上的a次幂GCD矩阵和a次幂LCM矩阵。当a=\mathrm{1}时,它们分别简称为GCD矩阵(S)和LCM矩阵[S]。如果一个n阶方阵第i行第j列元素为\frac{\mathrm{1}}{(x_i,x_j{)}^a}，则称它为定义在S上的a次倒数幂GCD矩阵，表示为\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)。令f为一个算术函数，n\times n矩阵(f(i,j))的第i行第j列元素为f((i,j))。在1875年,Smith^[1]证明了公式\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(f(i,j))={\displaystyle \prod _{k=\mathrm{1}}^n}(f*\mu )(k)成立,其中f\mathrm{*}\mu是算术函数f与M\ddot{\mathrm{o}}bius函数\mu的Dirichlet乘积。自此以后,关于Smith行列式的众多推广及相关结果陆续发表(参考文献[2~15])。

令\mathbb{Z}表示整数集，|T|表示整数的有限集合T的基数。近四十年来，有关GCD幂矩阵的研究源于 Bourque和Ligh^[3]。他们证明了每个GCD幂矩阵都是正定的。若集合S满足条件：x\in S和d|x可推出d\in S，则称S是一个因子封闭集。若集合S满足条件：(x_i,x_j)\in S对所有\mathrm{1}\le i,j\le n均成立，则称S是一个GCD封闭集。显然,任意因子封闭集必然是GCD封闭集，但反之不然。由文献[1]我们知道当S是因子封闭集时，GCD矩阵(S)和LCM矩阵[S]都是非奇异的。Bourque和Ligh^[2]给出定义在因子封闭集S上的GCD矩阵(S)和LCM矩阵[S]的逆阵的表达式，并且他们猜想定义在GCD封闭集S上的LCM矩阵[S]是非奇异的。在1999年，Hong^[6]证明了当n\le \mathrm{7}时，Bourque-Ligh猜想成立；当n\ge \mathrm{8}时，Bourque-Ligh猜想不成立。此外，对于某些特殊类型的GCD封闭集S，Hong^[5]证明了Bourque-Ligh猜想是正确的。在文献[7]的结尾,Hong提出以下猜想：

猜想1^[7] 设a为正整数，那么存在依赖于a的正整数k(a)，使得当n\le k(a)时，定义在n元GCD封闭集S上的LCM幂矩阵[S^a]是非奇异的；而对于任意整数n\ge k(a)+\mathrm{1},均存在n元GCD封闭集S，使得定义在S上的LCM幂矩阵[S^a]是奇异的。

由Hong^[6]定理可知k(\mathrm{1})=\mathrm{8}。Hong^[7]注意到对任意整数a\ge \mathrm{2}，有k(a)\ge \mathrm{7}。在2004年，Hong^[8]证明若GCD封闭集S中每个元素至多有两个不同素因子时，[S^a]是非奇异的。在2006年,Hong,Shum和Sun^[9]证明除a=\mathrm{1}和\mathrm{270,520}\in S外,若GCD封闭集S中每个元素具有形式pqr、p^{\mathrm{2}}qr或p^{\mathrm{3}}qr(其中p、q、r是不同的素数),则[S^a]是非奇异的。Cao^[4]稍微发展了Hong的方法，并证明当a\ge \mathrm{2}时，k(a)\ge \mathrm{8}。在2007年，Li^[10]证明若实数e\ge \mathrm{1}及|S|\le \mathrm{7}，则定义在GCD封闭集S上的实数幂LCM矩阵\left([x_i,x_j{]}^e\right)和倒数幂GCD矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{(x_i,x_j{)}^e}\right)均是非奇异的。Wan，Hu和Tan^[11]改进了Hong的结果^[8，9]，他们证明除a=\mathrm{1}和\mathrm{270,520,810,1}\mathrm{040}\in S外，若GCD封闭集S中每个元素至多有两个不同素因子或S中每个元素具有形式p^{l}qr(其中正整数l满足条件\mathrm{1}\le l\le \mathrm{4}，且p、q、r是不同的素数)时，则[S^a]是非奇异的。

在本文中，我们的主要目的是研究Hong猜想(即猜想1)关于倒数幂GCD矩阵的模拟,即研究定义在GCD封闭集上的倒数幂GCD矩阵的非奇异性。我们首先给出了定义在某些特殊类型的GCD封闭集S上的倒数幂GCD矩阵的行列式计算公式。其次，我们研究了倒数幂GCD矩阵的非奇异性。

1　 引 理

在本节中，我们给出几个预备引理。

引理 1^[8] 定义在GCD封闭集S上的LCM幂矩阵[S^a]的行列式等于

{\displaystyle \prod _{k=\mathrm{1}}^n}{x}_k^{\mathrm{2}a}{\alpha }_{a,k}（1）

其中

（2）

及关于正整数x的算术函数\frac{\mathrm{1}}{{\xi }_a}定义为\frac{\mathrm{1}}{{\xi }_a}(x)=\frac{\mathrm{1}}{{\xi }_a(x)}。

引理 2^[16] 算术函数f是半积性的当且仅当对任意正整数m和n, 有

f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])

引理 3 ^[8] 若n是正整数，则

\sum _{d|n}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\xi }_a}\mathrm{*}\mu \right)(d)=n^{-a}（3）

引理 4 设{\alpha }_{a,k}如（2）式定义，则{\alpha }_{a,\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}}^{-a}。

证 引理3立即推得引理4。

引理 5^[8] 设S是GCD封闭集。若{\alpha }_{a,k}如（2）式定义,则对于k\ge \mathrm{2},有

（4）

引理 6 设S是GCD封闭集。若{\alpha }_{a,k}如（2）式定义,则对于k\ge \mathrm{3},有

（5）

证 因S是GCD封闭集,则对任意，有(x_k,x_{\mathrm{1}},x_{i_{\mathrm{1}}},\cdots ,x_{i_t})=x_{\mathrm{1}}。由引理5立即推得引理6。

2　 主要结果

定理 1 定义在GCD封闭集上的倒数幂GCD矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)的行列式等于{\displaystyle \prod _{k=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_{a,k}，即

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)={\displaystyle \prod _{k=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_{a,k}（6）

其中{\alpha }_{a,k}如（2）式定义。

证 因为{\xi }_a是完全积性函数,所以由引理2,有

\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{(x_i,x_j{)}^a}\right)=

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{x_{\mathrm{1}}^a},\cdots ,\frac{\mathrm{1}}{x_n^a}\right)\left([x_i,x_j{]}^a\right)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{x_{\mathrm{1}}^a},\cdots ,\frac{\mathrm{1}}{x_n^a}\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{x_{\mathrm{1}}^a},\cdots ,\frac{\mathrm{1}}{x_n^a}\right)[S^a]\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{1}}{x_{\mathrm{1}}^a},\cdots ,\frac{\mathrm{1}}{x_n^a}\right)

由引理1可计算得\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)={\displaystyle \prod _{k=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_{a,k}。证毕。

对任意非零整数n及素数p,定义\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(n)为最大的非负整数v使得p^v|n，即\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(n)是非负整数,且\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(n)\ge \mathrm{1}当且仅当p|n。若\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(n)=v,我们称p^v恰整除n,表示为p^v||n。

定理 2 设S是GCD封闭集。若\mathrm{3}\le k\le n,存在素数p_k使得

\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_k)>\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1}}\{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_i)\}（7）

则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 由引理4,{\alpha }_{a,\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}}^{-a}。因为(x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}})=x_{\mathrm{1}}，由引理5知

{\alpha }_{a,\mathrm{2}}=x_{\mathrm{2}}^{-a}-(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}{)}^{-a}=x_{\mathrm{2}}^{-a}-x_{\mathrm{1}}^{-a}

因此{\alpha }_{a,\mathrm{1}}\ne \mathrm{0},{\alpha }_{a,\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}。现令k\ge \mathrm{3}。对(\mathrm{1}\le t\le k-\mathrm{2}),由（7）式得

因此

\frac{x_k}{(x_k,x_{i_{\mathrm{1}}},\cdots ,x_{i_t})}\equiv \mathrm{0}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_k)（8）

等式（5）的两边同乘以x_k^a,由（8）式得x_k^a{\alpha }_{a,k}\equiv \mathrm{1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_k)。因此{\alpha }_{a,k}\ne \mathrm{0}(k\ge \mathrm{3})，所以{\alpha }_{a,\mathrm{1}}{\alpha }_{a,\mathrm{2}}\cdots {\alpha }_{a,n}\ne \mathrm{0}。由定理1即可推出矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。证毕。

推论 1 设S是GCD封闭集。若对于,有x_i|x_j，则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 由定理2,只需要证明对\mathrm{3}\le k\le n，存在一个素数p_k使得（7）式成立即可。对任意素数p,由于x_{k-\mathrm{1}}|x_k，则有\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(x_k)\ge \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p(x_{k-\mathrm{1}})。又，则存在一个素数p_k使得\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_k)>\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{k-\mathrm{1}})。另x_{\mathrm{2}}|x_{\mathrm{3}}|\cdots |x_{k-\mathrm{1}}意味着

\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{\mathrm{2}})\le \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{\mathrm{3}})\le \cdots \le \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{k-\mathrm{1}})

因此\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1}}\{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_i)\}=\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{k-\mathrm{1}})。所以（7）式成立。由定理2知矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

推论 2 设S是GCD封闭集。若\frac{x_{\mathrm{2}}}{x_{\mathrm{1}}},\frac{x_{\mathrm{3}}}{x_{\mathrm{1}}},\cdots ,\frac{x_n}{x_{\mathrm{1}}}两两互素,则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 令\mathrm{3}\le k\le n。根据已知，\frac{x_k}{x_{\mathrm{1}}}与\frac{x_i}{x_{\mathrm{1}}}互素对于\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1}均成立。注意到\frac{x_k}{x_{\mathrm{1}}}>\frac{x_i}{x_{\mathrm{1}}}(\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1})。设p_k是\frac{x_k}{x_{\mathrm{1}}}的任意素因子。则p_k\nmid \frac{x_i}{x_{\mathrm{1}}},故

\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}\left(\frac{x_i}{x_{\mathrm{1}}}\right)=\mathrm{0}(\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1})

因此

\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1}}\left\{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}\left(\frac{x_i}{x_{\mathrm{1}}}\right)\right\}=\mathrm{0}

所以\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}\le i\le k-\mathrm{1}}\{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_i)\}=\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{\mathrm{1}})。而p_k|\frac{x_k}{x_{\mathrm{1}}},则\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}\left(\frac{x_k}{x_{\mathrm{1}}}\right)\ge \mathrm{1}。由此推出\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_k)\ge \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{\mathrm{1}})+\mathrm{1}>\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{p_k}(x_{\mathrm{1}})。所以（7）式成立。由定理2知矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。证毕。

设A是由有限个正整数构成的集合。\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(A)表示A中所有元素的最小公倍数。

定理 3 设S是GCD封闭集，F_k=\{x\in S|x\nex_k\mathrm{且}\mathrm{x}|x_k\}。若对于\mathrm{2}\le k\le n,有

x_k>\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(F_k)（9）

则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 由（4）式知

{\alpha }_{a,k}=\frac{\mathrm{1}}{x_k^a}+\frac{t}{y^a}（10）

其中t\in \mathbb{Z}及y=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(F_k)，则y|x_k，可推出\frac{x_k}{y}\in \mathbb{Z}。另由（9）式知，则x_k存在一个素因子p使得。因此可得

\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_p\left(\frac{x_k}{y}\right)>\mathrm{0}（11）

等式(10)的两边同乘以x_k^a,由（11）式得{\alpha }_{a,k}{x}_k^a\equiv \mathrm{1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),\mathrm{所}\mathrm{以}{\alpha }_{a,k}\ne \mathrm{0},{\mathrm{得}}_{a,\mathrm{1}}{\alpha }_{a,\mathrm{2}}\cdots {\alpha }_{a,n}\ne \mathrm{0}。由定理1即可推出矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。证毕。

推论 3 设S是GCD封闭集，若对于\mathrm{2}\le k\le n,有

x_k>\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(H_k)（12）

其中H_k=\{x_i|\mathrm{1}\le i\le k-\mathrm{1}\},则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 设F_k如定理3定义。因为F_k\subseteq H_k,有

\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(H_k)\ge \mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(F_k)（13）

（12）和（13）式诱导出（9）式成立。则由定理3可得结论成立。

推论 4 设S是GCD封闭集。若对每个x_k(\mathrm{3}\le k\le n),至多存在一个x_{i_k}(\mathrm{2}\le i_k\le k-\mathrm{1})使得x_{i_k}|x_k,则矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

证 分如下两种情形进行证明。

情形1 若不存在任何整数i_k(其中\mathrm{2}\le i_k\le k-\mathrm{1})使得x_{i_k}|x_k,则有\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(F_k)=x_{\mathrm{1}}，因此（9）式成立。由定理3可得矩阵\left(\frac{\mathrm{1}}{S^a}\right)是非奇异的。

情形2 若恰好存在一个x_{i_k}(\mathrm{2}\le i_k\le k-\mathrm{1})使得x_{i_k}|x_k,则\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(F_k)=x_{i_k}。又，所以（9）式成立。由定理3立即推得结论成立。

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