相对于Frobenius对的合冲对象

Syzygy Objects with Respect to Frobenius Pairs

摘要

定义了相对于Frobenius对的合冲对象。刻画了合冲对象的性质，研究了Frobenius对在Gorenstein合冲模上的应用，得到了关于Gorenstein合冲模的相关定理。特别地，定义了Gorenstein平坦合冲模，研究了Gorenstein平坦合冲模的一些性质。

Abstract

In this paper, we define syzygy objects with respect to Frobenius pairs, describe the nature of the syzygy object, study some applications of Frobenius pairs to Gorenstein syzygy modules and get a theorem about Gorenstein syzygy modules. In particular, we define Gorenstein flat syzygy modules and study the nature of Gorenstein flat syzygy modules.

Graphical abstract

关键词

合冲对象 / Frobenius对 / Gorenstein合冲模 / Gorenstein平坦合冲模

Key words

syzygy objects / Frobenius pairs / Gorenstein syzygy modules / Gorenstein flat syzygy modules

0　 引 言

本文中的\mathit{𝒜} 表示Abel范畴，所有的子范畴均为全子加法范畴且关于同构封闭，环R指有单位元的结合环。令R是环，用R-模表示所有的左R-模，R°-模表示所有的右R-模。分别用\mathit{𝒫}(R)，\mathrm{ℱ}(R)，\mathrm{ℱ}\mathit{𝒞}(R)表示所有的投射模构成的类、平坦模构成的类和平坦余挠模构成的类。

称R-模M是Gorenstein投射模，如果存在投射 R-模的正合列

\mathbf{P}:\cdots \to P_{\mathrm{1}}\to P_{\mathrm{0}}\to P^{\mathrm{0}}\to P^{\mathrm{1}}\to \cdots

使得M\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(P_{\mathrm{0}}\to P^{\mathrm{0}})并且对任意投射R-模Q，有\mathrm{H}\mathrm{o}{\mathrm{m}}_R(\mathbf{P},Q)正合，用\mathit{𝒢}(R)表示所有的Gorenstein投射模构成的类。定义M的Gorenstein投射维数为

\begin{array}{l}\mathrm{G}\mathrm{p}{\mathrm{d}}_R(M)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{n\in \mathbb{N}|\mathrm{0}\to G_n\to \dots \to G_{\mathrm{0}}\to \\ M\to \mathrm{0}\mathrm{是}\mathrm{正}\mathrm{合}\mathrm{列},\mathrm{其}\mathrm{中}{\mathit{𝒢}}_i\in \mathit{𝒢}(R)\}\end{array}

称R-模M是Gorenstein平坦模，如果存在平坦R-模的正合列

\mathbf{F}:\cdots \to F_{\mathrm{1}}\to F_{\mathrm{0}}\to F^{\mathrm{0}}\to F^{\mathrm{1}}\to \cdots

使得M\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(F_{\mathrm{0}}\to F^{\mathrm{0}})，并且对任意内射R°-模I，有I\underset{R}{\otimes }\mathbf{F}正合，用\mathit{𝒢}\mathrm{ℱ}(R)表示所有的Gorenstein平坦模构成的类。对Gorenstein同调模的基本性质，读者可阅读文献[1~4]。

借助模的投射分解可以定义合冲模。类似地，Huang等^[5]定义了Gorenstein合冲模。设M是任意一个R-模，对任意正整数n，一个R-模A称为(M的)Gorenstein-n-合冲模，如果存在正合列\mathrm{0}\to A\to G_{n-\mathrm{1}}\to G_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to G_{\mathrm{1}}\to G_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中G_i\in \mathit{𝒢}(R)。基于对文献[5]理解，我们认为可以将合冲模这一概念放到更一般的范畴中，进而可得到其他具体范畴中的结果，有重要的现实意义。我们定义了\mathit{𝒳}-n-合冲对象。设M是\mathit{𝒜} 中任意一个对象，对任意正整数n，称\mathit{𝒜} 中的对象A是(M的)\mathit{𝒳}-n-合冲对象，如果存在正合列\mathrm{0}\to A\to X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\toM\to \mathrm{0}，其中X_i\in \mathrm{𝒳}。设(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜} 中的Frobenius对，由Frobenius对的定义知若\mathit{𝒜} 中对象A是\mathit{𝒲}-n-合冲对象，则A是\mathit{𝒳}-n-合冲对象。

我们将在第一节中证明若(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜}中的强Frobenius对，则\mathit{𝒜}中对象A是\mathit{𝒳} -n-合冲对象合冲对象当且仅当它是\mathit{𝒲} -n-合冲对象(见命题1)。根据对Frobenius对的研究以及在第一节中对\mathit{𝒳} -n-合冲对象的定义及其性质的刻画，我们在第二节中得到了Huang等人^[5]关于Gorenstein合冲模的相关定理。除此之外，我们还得到了Gorenstein平坦合冲模与平坦合冲模的一些性质。

1　 \mathit{𝒳} -合冲对象

定义 1 设\mathit{𝒜} 是Abel范畴，\mathit{𝒳} 和\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒜} 的两个子范畴。称\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒳} 的余生成子，如果\mathit{𝒲}\subseteq \mathit{𝒳} 且对任意的X\in \mathrm{𝒳}都有短正合列\mathrm{0}\to X\to W\to X^{\text{'}}\to \mathrm{0},其中W\in \mathrm{𝒲}，X^{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}。称\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒳} 的内射余生成子，如果\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒳} 的余生成子且对任意X\in \mathrm{𝒳}，W\in \mathrm{𝒲}，有\mathrm{E}\mathrm{x}{\mathrm{t}}_{\mathit{𝒜}}^i(X,W)=\mathrm{0}，其中i\ge \mathrm{1}。对偶地，可以定义\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒳} 的投射生成子。

定义 2 设\mathit{𝒳} 和\mathit{𝒲} 是\mathit{𝒜} 的两个子范畴。称\mathit{𝒜} 中的二元组(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是左Frobenius对，如果满足以下条件：

(1) \mathit{𝒳} 关于扩张，满同态的核，以及直和项封闭；

(2) \mathit{𝒲} 是\mathit{𝒳} 的内射余生成子且关于直和项封闭。

若除此之外\mathit{𝒲} 还是\mathit{𝒳} 的投射生成子，则称 (\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是强左Frobenius对。对偶地，可定义(强)右Frobenius对，无特殊说明的情况下本文中所有Frobenius对均指左Frobenius对。

引理 1 设(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲}) 是\mathit{𝒜} 中的Frobenius对且存在\mathit{𝒜} 中的正合列\mathrm{0}\to A\to X_{\mathrm{1}}\stackrel{f}{\to }{X}_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中X_{\mathrm{0}},X_{\mathrm{1}}\in \mathrm{𝒳}，则以下成立:

(1) 存在正合列\mathrm{0}\to A\to W\to X\to M\to \mathrm{0}，其中X\in \mathrm{𝒳},W\in \mathrm{𝒲}；

(2) 若(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲}) 还是\mathit{𝒜} 中的强Frobenius对，则存在正合列\mathrm{0}\to A\to Y\to V\to M\to \mathrm{0}，其中Y\in \mathrm{𝒳},V\in \mathrm{𝒲}。

证 (1)　因为X_{\mathrm{1}}\in \mathrm{𝒳}，所以存在正合列\mathrm{0}\to X_{\mathrm{1}}\toW\to X_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\to \mathrm{0}，其中W\in \mathrm{𝒲},X_{\mathrm{1}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}。考虑推出图1。可得正合列\mathrm{0}\to \mathrm{I}\mathrm{m}f\to B\to X_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\to \mathrm{0}，借其再考虑推出图2。

因为X_{\mathrm{0}},X_{\mathrm{1}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}，所以X\in \mathrm{𝒳}。连接\mathrm{0}\to A\to W\toB\to \mathrm{0}和\mathrm{0}\to B\to X\to M\to \mathrm{0},即得所求正合列\mathrm{0}\to A\toW\to X\to M\to \mathrm{0}，其中W\in \mathrm{𝒲},X\in \mathrm{𝒳}。

(2)　因为\mathit{𝒲} 还是 \mathit{𝒳} 的投射生成子，所以对任意X_{\mathrm{0}}\in \mathrm{𝒳}，存在正合列\mathrm{0}\to X_{\mathrm{0}}\mathrm{\text{'}}\to V\to X_{\mathrm{0}}\to \mathrm{0}，其中V\in \mathrm{𝒲},X_{\mathrm{0}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}。对偶地利用拉回图可得到所求正合列\mathrm{0}\to A\to Y\to V\to M\to \mathrm{0},其中Y\in \mathrm{𝒳},V\in \mathrm{𝒲}。

定义 3 设M是\mathit{𝒜} 中的一个对象，\mathit{𝒳} 是\mathit{𝒜} 的一个子范畴。M的\mathit{𝒳} ⁃分解是指正合列\cdots \to X_n\to \cdots\to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},其中X_j\in \mathrm{𝒳}，j\in \mathbb{N}。M的\mathit{𝒳} ⁃分解维数用\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)表示，定义

\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{n\in \mathbb{N}|\mathrm{0}\to X_n\to \dots \to X_{\mathrm{0}}\toM\to \mathrm{0}\mathrm{是}\mathrm{M}\mathrm{的}\mathit{𝒳}⁃\mathrm{分}\mathrm{解}\}

用\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\widehat{\mathrm{𝒳}} 表示\mathit{𝒜} 中\mathit{𝒳} 分解维数有限的对象构成的子范畴。

定理 1 设(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜} 中的强Frobenius对，M是\mathit{𝒜} 中的一个对象。对任意正整数n，以下等价:

(1) \mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\le n;

(2) 对任意满足\mathrm{0}\le t\le n的整数t，都存在正合列\mathrm{0}\to X_n\to X_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中X_t\in \mathrm{𝒳} 且X_i\in \mathrm{𝒲},i\ne t。

证 (2)推(1)显然成立，下证(1)推(2)。用数学归纳法。当n=1时由引理1知结论成立(取A=\mathrm{0}即可)。假设结论对n-\mathrm{1}成立，即当\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\len-\mathrm{1}时，对任意满足\mathrm{1}\le t\le n的整数t，都存在正合列\mathrm{0}\to X_n\to X_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to X_{\mathrm{2}}\to X_{\mathrm{1}}\to M\to \mathrm{0}，其中X_t\in \mathrm{𝒳} 且X_i\in \mathrm{𝒲},i\ne t。下证结论对n成立。设\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\le n，存在正合列\mathrm{0}\to Y_n\to Y_{n-\mathrm{1}}\to\cdots \to Y_{\mathrm{1}}\to Y_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中Y_i\in \mathrm{𝒳}，令A=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(Y_{\mathrm{3}}\to Y_{\mathrm{2}})，引理1知存在正合列\mathrm{0}\to A\to Y_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\to W_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中Y_{\mathrm{1}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳},W_{\mathrm{0}}\in \mathrm{𝒲}，因此有正合列\mathrm{0}\to Y_n\toY_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to Y_{\mathrm{2}}\to Y_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\to W_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}。令B=\mathrm{I}\mathrm{m}(Y_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\to W_{\mathrm{0}})，有\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(B)\le n-\mathrm{1}，由归纳假设知，对任意满足\mathrm{1}\le t\le n的整数t，都存在正合列\mathrm{0}\to X_n\to X_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to X_{\mathrm{2}}\to X_{\mathrm{1}}\to B\to \mathrm{0}，其中X_t\in \mathrm{𝒳}且X_i\in \mathrm{𝒲},i\ne t，同时有正合列\mathrm{0}\to X_n\to X_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \toX_{\mathrm{1}}\to W_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}。

以下只需证明存在正合列\mathrm{0}\to W_n\to W_{n-\mathrm{1}}\to \cdots\to W_{\mathrm{1}}\to X\to M\to \mathrm{0}。

令D=\mathrm{I}\mathrm{m}(Y_{\mathrm{1}}\to Y_{\mathrm{0}})，有\mathit{𝒳}⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(D)\le n-\mathrm{1}，根据文献[6]推论1.9(c)知存在正合列\mathrm{0}\to W_n\toW_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to W_{\mathrm{2}}\to X_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\to D\to \mathrm{0},其中W_i\in \mathrm{𝒲},X_{\mathrm{1}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}，则有正合列\mathrm{0}\to W_n\to W_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to W_{\mathrm{2}}\toX_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\to Y_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}。

令E=\mathrm{I}\mathrm{m}(W_{\mathrm{2}}\to X_{\mathrm{1}}^{\text{'}})，由引理1知存在正合列\mathrm{0}\to E\to W_{\mathrm{1}}\to X\to M\to \mathrm{0}，其中W_{\mathrm{1}}\in \mathrm{𝒲},X\in \mathrm{𝒳}，所以存在正合列\mathrm{0}\to W_n\to W_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to W_{\mathrm{2}}\to W_{\mathrm{1}}\to X\toM\to \mathrm{0}。

接下来定义\mathit{𝒲}-n-合冲对象并证明若(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜}中的强Frobenius对，则\mathit{𝒜}中对象A是\mathit{𝒲}-n-合冲对象当且仅当它是\mathit{𝒲}-n-合冲对象。

定义 4 设\mathit{𝒳} 是\mathit{𝒜} 的一个子范畴，M是\mathit{𝒜}中的一个对象，对任意正整数n，称\mathit{𝒜}中的一个对象A是(M的)\mathit{𝒲}-n-合冲对象，如果存在正合列\mathrm{0}\to A\to X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},其中X_i\in \mathrm{𝒳}。

命题 1 设(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜} 中的Frobenius对且存在\mathit{𝒜}中的正合列\mathrm{0}\to A\to X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\toX_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},其中n\ge \mathrm{1},X_i\in \mathrm{𝒳}，则以下成立：

(1) 存在正合列\mathrm{0}\to A\to W_{n-\mathrm{1}}\to W_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \toW_{\mathrm{1}}\to W_{\mathrm{0}}\to N\to \mathrm{0}，其中W_i\in \mathrm{𝒲}和正合列\mathrm{0}\to M\toN\to X\to \mathrm{0}，其中X\in \mathrm{𝒳}；

(2) 若(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜}中的强Frobenius对，则存在正合列\mathrm{0}\to B\to V_{n-\mathrm{1}}\to V_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to V_{\mathrm{1}}\to V_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中V_i\in \mathrm{𝒲}和正合列\mathrm{0}\to Y\to B\to A\to \mathrm{0}，其中Y\in \mathrm{𝒳}。

证 (1)　用数学归纳法。当n=1时，存在正合列\mathrm{0}\to A\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，因为X_{\mathrm{0}}\in \mathrm{𝒳}，所以存在正合列\mathrm{0}\to X_{\mathrm{0}}\to W\to X\to \mathrm{0}，其中W\in \mathrm{𝒲},X\in \mathrm{𝒳}。考虑推出图3。可得正合列\mathrm{0}\to A\to W\to N\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to X\to \mathrm{0}，其中X\in \mathrm{𝒳},W\in \mathrm{𝒲}。假设结论对n=1成立，即当A是(M的)\mathit{𝒳}-(n-1)合冲对象时，有正合列\mathrm{0}\to A\to W_{n-\mathrm{2}}\to W_{n-\mathrm{3}}\to \cdots \to W_{\mathrm{1}}\toW_{\mathrm{0}}\to N\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to X\to \mathrm{0}，其中 W_i\in \mathrm{𝒲},X\in \mathrm{𝒳}。下证结论对n成立。在正合列\mathrm{0}\to A\to X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}中，令K=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}})，由引理1知存在正合列\mathrm{0}\to A\to W_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\to K\to \mathrm{0},其中W_{n-\mathrm{1}}\in \mathrm{𝒲},X_{n-\mathrm{2}}{\text{'}}\in \mathrm{𝒳}。令A^{\text{'}}=\mathrm{I}\mathrm{m}(W_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}})，有正合列\mathrm{0}\to A^{\text{'}}\to X_{n-\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\to X_{n-\mathrm{3}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},即A\mathrm{\text{'}}是(M的)\mathit{𝒳}-(n-1)合冲对象，由归纳假设知存在正合列\mathrm{0}\to A^{\text{'}}\to W_{n-\mathrm{2}}\to W_{n-\mathrm{3}}\to \cdots \to W_{\mathrm{1}}\to W_{\mathrm{0}}\toN\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to X\to \mathrm{0}。因此有正合列\mathrm{0}\to A\to W_{n-\mathrm{1}}\to W_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to W_{\mathrm{1}}\to W_{\mathrm{0}}\to N\to \mathrm{0}，和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to X\to \mathrm{0}，其中W_i\in \mathrm{𝒲},X\in \mathrm{𝒳}。

结论(2)对偶可证。

在上面结论中取A=0，即可得到以下结果。

推论 1 设(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})是\mathit{𝒜} 中的Frobenius对。对任意正整数n，若\mathit{𝒳} ⁃\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\le n，则以下结论成立:

(1) 存在正合列\mathrm{0}\to M\to N\to X\to \mathrm{0}，其中\mathit{𝒲}-\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)\le n，X\in \mathrm{𝒳}；

(2) 若(\mathrm{𝒳},\mathrm{𝒲})还是\mathit{𝒜} 中的强Frobenius对，则存在正合列\mathrm{0}\to B\to V_n\to V_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to V_{\mathrm{1}}\to V_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},

其中V_i\in \mathrm{𝒲},B\in \mathrm{𝒳}。

2　 应 用

由文献[7]知(\mathit{𝒢}(R),\mathit{𝒫}(R))是强Frobenius对，根据第1节对\mathit{𝒳}-n-合冲对象的定义及其性质的刻画，可得到Huang等在文献[5]中关于Gorenstein合冲模的相关定理。除此之外，还可得到Gorenstein平坦合冲模与平坦合冲模的一些性质。

推论2(文献[5]定理2.4) 设n是一个正整数，若存在R-模中的正合列\mathrm{0}\to A\to G_{n-\mathrm{1}}\to G_{n-\mathrm{2}}\to \cdots

\to G_{\mathrm{1}}\to G_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中G_i\in \mathit{𝒢}(R)，则以下结论成立:

(1) 存在正合列\mathrm{0}\to A\to P_{n-\mathrm{1}}\to P_{n-\mathrm{2}}\to \cdots\to P_{\mathrm{1}}\to P_{\mathrm{0}}\to N\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to G\to \mathrm{0} 其中P_i\in \mathit{𝒫}(R),G\in \mathit{𝒢}(R)。

(2) 存在正合列\mathrm{0}\to B\to Q_{n-\mathrm{1}}\to Q_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \toQ_{\mathrm{1}}\to Q_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to Y\to B\to A\to \mathrm{0}其中Q_i\in \mathit{𝒫}(R),Y\in \mathit{𝒢}(R)。

证 由命题1可得该结论。

推论 3(文献[5]定理2.6) 设M是R-模，对任意正整数n，以下等价:

(1) \mathrm{G}\mathrm{p}{\mathrm{d}}_R(M)\le n；

(2) 对任意满足\mathrm{0}\le t\le n的整数t，都存在正合列\mathrm{0}\to X_n\to X_{n-\mathrm{1}}\to X_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to X_{\mathrm{1}}\to X_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中X_t\in \mathit{𝒢}(R)且X_i\in \mathit{𝒫}(R),i\ne t。

证 由定理1可得该结论。

定义 5 设M是任意R-模。对任意正整数n，称R-模A是(M的)Gorenstein平坦n-合冲模，如果存在正合列\mathrm{0}\to A\to F_{n-\mathrm{1}}\to \cdots \to F_{\mathrm{1}}\to F_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}，其中F_i\in \mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R)。类似地可定义平坦n-合冲模，即将上述正合列中的每一项都换成平坦模。

由文献[7]我们知道(\mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R),\mathrm{ℱ}\mathrm{𝒞}(R))和(\mathrm{ℱ}(R),\mathrm{ℱ}\mathrm{𝒞}(R))都是\mathit{𝒜}中的Frobenius对。以下结论均在Gorenstein平坦n-合冲模中考虑，类似地,平坦n-合冲模也有相似的性质，本文将不再赘述。

推论 4 设\mathrm{0}\to A\to F_{\mathrm{1}}\to F_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0}是R-模中的短正合列，其中F_{\mathrm{0}},F_{\mathrm{1}}\in \mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R)，则存在正合列 \mathrm{0}\to A\to W\to F\to M\to \mathrm{0}，其中F\in \mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R),W\in \mathrm{ℱ}\mathrm{𝒞}(R)。

证 由引理1可得该结论。

推论 5 设n是一个正整数，若存在R-模中的正合列\mathrm{0}\to A\to F_{n-\mathrm{1}}\to F_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to F_{\mathrm{1}}\to F_{\mathrm{0}}\to M\to \mathrm{0},其中F_i\in \mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R)，则存在正合列\mathrm{0}\to A\to C_{n-\mathrm{1}}\toC_{n-\mathrm{2}}\to \cdots \to C_{\mathrm{1}}\to C_{\mathrm{0}}\to N\to \mathrm{0}和正合列\mathrm{0}\to M\to N\to F\to \mathrm{0}，其中C_i\in \mathrm{ℱ}\mathrm{𝒞}(R),F\in \mathrm{𝒢}\mathrm{ℱ}(R)。

证 由命题1可得该结论。

参考文献

[1] HOLM H. Gorenstein homological dimensions ［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2004， 189（1/2/3）： 167-193. DOI：10.1016/j.jpaa.2003.11.007 .

[2] ENOCHS E E， JENDA O M G. Relative Homological Algebra ［M］. Berlin： Walter de Gruyter， 2000. DOI: 10.1515/9783110803662 .

[3] CHEN X W. Gorenstein homological algebra of Artin algebras［EB/OL］. ［2021-02-03］. DOI: 10.1201/9781420010763-18 .

[4] LUO Y X， REN W. On Gorenstein homological dimension of groups ［EB/OL］. ［2021-02-03］. DOI: 10.1201/9781420010763-18 .

[5] HUANG C H， HUANG Z Y. Gorenstein syzygy modules［J］. Journal of Algebra， 2010， 324（12）： 3408-3419. DOI：10.1016/j.jalgebra.2010.10.010 .

[6] LIANG L， YANG G. Constructions of Frobenius pairs in abelian categories［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2022， 19（2）： 76. DOI：10.1007/s00009-022-01999-3 .

[7] BECERRIL V， MENDOZA O， PÉREZ M A， et al. Frobenius pairs in abelian categories［J］. Journal of Homotopy and Related Structures， 2019， 14（1）： 1-50. DOI：10.1007/s40062-018-0208-4 .

基金资助

国家自然科学基金资助项目(11761045)

甘肃省自然科学基金资助项目(21JR7RA297)