一类华罗庚域与复欧氏空间的不相关性

Non-Relativity of a Class of Hua Domains and Complex Euclidean Spaces

摘要

华罗庚域是Cartan-Egg域的推广，其矩阵形式要复杂得多。本文主要考虑\mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数，而p_r是正实数时的华罗庚域，证明了这类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的。

Abstract

Hua domain is a generalization of Cartan-Egg domain. Its matrix form is much more complex. We mainly consider the Hua domain, in which \mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}} are the positive integers,p_r is the positive real number. It is proved that Hua domain equipped with Bergman metrics is not related to complex Euclidean spaces equipped with canonical metrics.

关键词

华罗庚域 / 全纯等距嵌入 / Nash函数 / Bergman度量

Key words

Hua domain / holomorphic isometric embedding / Nash function / Bergman metric

0　 引 言

全纯等距嵌入是多复变与复几何领域的经典问题。1953年,Calabi^[1]得到了复Kähler流形与Fubini-Study空间之间的局部全纯等距的存在性、唯一性和全局延拓,证明了在典则Kähler度量下具有不同曲率符号的任何两个Fubini-Study空间不能局部全纯等距嵌入。如果两个Kähler流形具有公共的Kähler子流形,则称它们是相关的,否则称为不相关的。1987年,Umehara^[2]推广了Calabi的结果,证明了两个具有不同曲率符号的复空间型不能在各自的诱导度量下具有公共Kähler子流形,并且具有Bergman度量的有界域和具有正则度量的紧型Hermite对称空间是不相关的。2007年,Di Scala和Loi^[3]证明了不同紧型的Hermite对称空间是不相关的。2010年,Di Scala和Loi^[4]证明了具有Bergman度量的有界域与具有Fubini-Study度量的复射影流形是不相关的。2015年,Huang和Yuan^[5]证明了复欧氏空间和非紧型Hermite对称空间也是不相关的。2017年,Cheng,Di Scala和Yuan^[6]证明了具有平坦度量的不定复空间型与具有非平坦度量的不定复空间型是不相关的,并给出了两个有限维Fubini-Study空间是相关的充分条件和必要条件,这是Umehara结论的非平凡推广。同年,Cheng和Niu^[7]证明了具有Bergman度量的Cartan-Hartogs域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的。2018年,Su,Tang和Tu^[8]证明了具有正则度量的对称多圆盘与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的。2021年,Cheng和Hao^[9]给出了实解析Kähler流形与具有典则度量的复空间型不相关的充分条件。作为直接应用,可以得出具有Bergman度量的最小球、有界齐性域与复欧氏空间均是不相关的。

Cartan对不可约有界对称域在双全纯等价的条件下进行分类,得到了四类对称典型域和两个复维数分别为16和27的例外情况。殷慰萍等^[10]将四类对称典型域依次推广为Cartan-Hartogs域,Cartan-Egg域,华罗庚域,广义华罗庚域和华罗庚结构。华罗庚域是Cartan-Egg域的推广,本文主要研究\mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数,而p_r是正实数时,这类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间的相关性。

下面首先介绍华罗庚域的定义。

1　 华罗庚域

华罗庚域是在对称典型域和Egg域的基础上建立起来的,其形式定义如下：

其中{\left|{\mathit{W}}_j\right|}^{\mathrm{2}}={{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{N_j}}\left|{\mathit{w}}_{jk}\right|}^{\mathrm{2}},N_j是正整数,j=\mathrm{1,2},\cdots ,r,{\mathfrak{R}}_D是四类典型域,D=\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I},\mathrm{I}\mathrm{V},N_{{\mathfrak{R}}_D}\left(\mathit{Z},\overline{\mathit{Z}}\right)表示典型域上的一般模,\overline{\mathit{Z}}表示\mathit{Z}的共轭,{\mathit{Z}}^{\mathrm{T}}表示\mathit{Z}的转置。

殷慰萍等^[10]给出了5种情况下华罗庚域的Bergman核函数表达式：

1) r=\mathrm{1},p_r=p_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}时,此时即为Cartan-Hartogs域^[11]。

2) p_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{2}}=\cdots =p_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{1},p_r>\mathrm{0}时,此时即为Cartan-Egg域^[12]。

3) \mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_r都是正整数。

4) \mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数,而p_r是正实数。

5) p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},\cdots ,p_r都是正整数。

下面给出\mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数,而p_r是正实数时,这类华罗庚域的Bergman核函数表达式^[10]。

2　 一类华罗庚域的Bergman核函数

情形1:当{\mathfrak{R}}_D={\mathfrak{R}}_{\mathrm{I}}时,华罗庚域为：

其Bergman核函数表达式为^[10]：

K_{\mathrm{I}}\left(\mathit{w},\mathit{z};\overline{\mathit{w}},\overline{\mathit{z}}\right)=\frac{{\displaystyle \prod _{l=\mathrm{1}}^r}{p}_l}{{\mathrm{\pi }}^{mn+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^r}{N}_l}}\frac{{\partial }^{N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\cdots +N_{r-\mathrm{1}}+N_r-\mathrm{1}}}{\partial x_{\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}\partial x_{\mathrm{2}}^{N_{\mathrm{2}}}\cdots \partial x_r^{N_r-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{k_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}\cdots {\displaystyle \sum _{k_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{r-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{mn+\mathrm{1}}}\mathrm{\Gamma }\left(k+\mathrm{1}\right)\cdot {\left(\mathrm{1}-\frac{x_r}{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{k_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_r}}}\right)}^{-\left(k+\mathrm{1}\right)}\cdot {\displaystyle \sum _{h=k-\mathrm{1}}^{mn}}\frac{b_h{c}_{hk}}{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{k_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\mathrm{1}+h+\frac{\mathrm{1}}{p_r}}}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\left(\mathit{I}-\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\left(m+n+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^r}\frac{N_l}{p_l}\right)}

情形2:当{\mathfrak{R}}_D={\mathfrak{R}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}时,华罗庚域为：

其Bergman核函数表达式为^[13]：

K_{\mathrm{I}\mathrm{I}}\left(\mathit{w},\mathit{z};\overline{\mathit{w}},\overline{\mathit{z}}\right)=\frac{{\displaystyle \prod _{l=\mathrm{1}}^r}{p}_l}{{\mathrm{\pi }}^{N_{\mathrm{1}}+\cdots +N_r+\frac{p\left(p+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}\frac{\mathrm{1}}{{\sqrt[]{\mathrm{2}}}^{\left(p^{\mathrm{2}}-p\right)}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\frac{p\left(p+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}{b}_k\frac{\partial {}_{}{}^{N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\cdots +N_r-r}}{\partial x_{\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\partial x_{\mathrm{2}}^{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\cdots \partial x_r^{N_r-\mathrm{1}}}\cdot {\displaystyle \sum _{j_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}\cdots {\displaystyle \sum _{j_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{r-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}}{c}_j\left(k\right)j!\frac{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{j_{\mathrm{1}}}{x}_{\mathrm{1}}^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{j}{q-\left(k+\mathrm{1}\right)}}}{{\left[{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{j_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{q}}-x_r\right]}^{j+\mathrm{1}}}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\left(\mathit{I}-\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\left(p+\mathrm{1}+\frac{N_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}}+\cdots +\frac{N_r}{p_r}\right)}

情形3:当{\mathfrak{R}}_D={\mathfrak{R}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}时,华罗庚域为：

其Bergman核函数表达式为^[14]：

K_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}\left(\mathit{w},\mathit{z};\overline{\mathit{w}},\overline{\mathit{z}}\right)=\frac{{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^r}{p}_j}{{\mathrm{\pi }}^{N_{\mathrm{1}}+\cdots +N_r+\frac{q\left(q-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}\frac{{\partial }^{N_{\mathrm{1}}+\cdots +N_r-\mathrm{1}}}{\partial {x_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{1}}}\cdots \partial {x_{r-\mathrm{1}}}^{N_{r-\mathrm{1}}}\partial {x_r}^{N_r-\mathrm{1}}}\cdot {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\frac{q\left(q-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}{b}_k{\displaystyle \sum _{j_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}\cdots {\displaystyle \sum _{j_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{r-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{k+\mathrm{1}}}{c}_j\left(k\right)j!\cdot \frac{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{{\omega }_l}^{j_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{j}{q_r}-\left(\mathrm{1}+k\right)}}{{\left[{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{{\omega }_l}^{j_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{q_r}}-x_r\right]}^{j+\mathrm{1}}}\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\left(\mathit{I}+\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\left({\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^r}\frac{N_l}{p_l}+q-\mathrm{1}\right)}

上述三种情形中x_l={\left|{\mathit{w}}_l\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\left(\mathit{I}-\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{p_l}},{\left|{\mathit{w}}_l\right|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{N_j}}{\left|{\mathit{w}}_{lk}\right|}^{\mathrm{2}},l=\mathrm{1,2},\cdots ,r；p_l,q_l,{\omega }_l,b,c皆为常数。

情形4:当{\mathfrak{R}}_D={\mathfrak{R}}_{\mathrm{I}\mathrm{V}}时,华罗庚域为：

其Bergman核函数表达式为^[15]：

K_{\mathrm{I}\mathrm{V}}\left(\mathit{w},\mathit{z},\overline{\mathit{w}},\overline{\mathit{z}}\right)=\frac{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\cdots p_{r-\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{p}_r{\mathrm{2}}^{n-\mathrm{1}}}{{\mathrm{\pi }}^{r+N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\cdots +N_r}}\frac{{\partial }^{N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\cdots +N_r-r}}{\partial x_{\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\partial x_{\mathrm{2}}^{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\cdots \partial x_r^{N_r-\mathrm{1}}}\cdot {\displaystyle \sum _{{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{1}}}}\cdots {\displaystyle \sum _{{\alpha }_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{1}}^{q_{r-\mathrm{1}}}}\left({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{x}_j^{p_j-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}_{{\alpha }_j}\right){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{r+n}}{b}_r\mathrm{\Gamma }\left(k+\mathrm{1}\right)\cdot {{\left(f^{\frac{\mathrm{1}}{p_r}}-x_r\right)}^{-\left(k+\mathrm{1}\right)}}^{-\left(k+\mathrm{1}\right)}\cdot \left[f^{-r-n+\frac{k}{p_r}}+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^{r+n+\mathrm{1}}}{c}_k\mathrm{\Gamma }\left(k+\mathrm{1}\right)f^{-r-n+\mathrm{1}+\frac{k}{p_r}}\right]\cdot {\left[\mathrm{1}+{\left|\mathit{z}{\mathit{z}}^{\mathrm{T}}\right|}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right]}^{-\left(n+\frac{N_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}}+\cdots +\frac{N_r}{p_r}\right)}

其中f={\left(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}}^{p_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}_{{\alpha }_{\mathrm{1}}}-\cdots -x_{r-\mathrm{1}}^{p_{r-\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}_{{\alpha }_{r-\mathrm{1}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_r}},x_j=\frac{{\left|{\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{z}{\mathit{z}}^{\mathrm{T}}\right|}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mathit{z}{\overline{\mathit{z}}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\frac{N_j}{p_j}}},{\left|{\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{N_j}}{\left|{\mathit{w}}_{jk}\right|}^{\mathrm{2}},{\mathrm{e}}_{{\alpha }_j}是全部q_j次单位根,{\alpha }_j=\mathrm{1,2},\cdots ,q_j,j=\mathrm{1},\cdots ,r,b,c是常数。

本文借助Huang和Yuan^[5]的方法证明\mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数,而p_r是正实数时这类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的。

3　 一类华罗庚域与复欧氏空间不相关

Nash函数是一类具有代数性的特殊的全纯函数,它是复空间中非零多项式的根。全纯多项式和全纯有理函数都是Nash函数^[9]。本文借助Nash函数的性质得到具有Bergman度量的一类华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间不相关的充分条件。

下面给出域扩张的相关定义和Nash函数的性质。

若域\mathrm{\Im }包含域R作为它的子域,则称\mathrm{\Im }是R的一个扩域。若S是\mathrm{\Im }的子集,则称R\left(S\right)为\mathrm{\Im }的包含R与S的最小子域。设x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\in S,多项式P\in R,若P\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\right)=\mathrm{0}当且仅当P=\mathrm{0},则称S在R上是代数无关的。扩域的极大代数无关子集称为超越基,其元素个数称为超越次数^[16]。

引理1^[16] 设\mathit{\mathbb{Q}}是有理函数域,\mathrm{\Im }是\mathit{\mathbb{Q}}的一个扩域,若B是\mathrm{\Im }的超越基,则\mathrm{\Im }\backslash \mathit{\mathbb{Q}}\left(B\right)中的每一个元素都是Nash函数,且\mathrm{\Im }\backslash \mathit{\mathbb{Q}}\left(B\right)的超越次数为0。

引理2^[9] 设D是{\mathbb{C}}^n的连通开集，D上的Nash函数族记作N\left(D\right),设f,g\in N\left(D\right),则有以下性质：

1） f\pm g,fg,\frac{f}{g}\in N\left(D\right),且对于\mathrm{1}\le i\le n,都有\frac{\partial f}{\partial z_i}\in N\left(D\right)。

2） 固定\left(z_{k+\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\cdots ,z_n^{\mathrm{0}}\right),则f\left(z_{\mathrm{1}},\cdots ,z_k,z_{k+\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\cdots ,z_n^{\mathrm{0}}\right)是关于z_{\mathrm{1}},\cdots ,z_k的Nash函数。

引理3 设D是{\mathbb{C}}^n的连通开集,f\left(z\right)是D上的Nash函数,Q\left(z\right)=\frac{p\left(z\right)}{q\left(z\right)}是D上的有理式,则Q\left(f\left(z\right)\right)=\frac{p\left(f\left(z\right)\right)}{q\left(f\left(z\right)\right)}是D上的Nash函数。

引理4^[5] 设V\subset {\mathbb{C}}^{\kappa }是连通开集,\xi =\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right)\in V,H_{\mathrm{1}}\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right),\cdots ,H_S\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,\right.\left.{\xi }_{\kappa }\right)和H\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right)是V上的全纯Nash函数,其中\kappa和S是正整数。如果对于某些实数{\mu }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\mu }_S有\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}H\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right)={\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^S}{\left(H_i\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right)\right)}^{{\mu }_i},那么H\left({\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_{\kappa }\right)是V上的常值函数。

设HE为四类华罗庚域,H{E}_{{}_D}为华罗庚域的子集。由于HE是圆型域,则对于任意的\theta \in \mathbb{R},\xi ,\eta \in HE,HE的Bergman核函数满足K\left({\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\xi ,\overline{{\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\eta }\right)=K\left(\xi ,\overline{\eta }\right),即K\left({\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\xi ,\mathrm{0}\right)=K\left(\xi ,\mathrm{0}\right)。因为K\left(\xi ,\mathrm{0}\right)是正常数,所以K\left(\xi ,\overline{\eta }\right)不包含\xi的任何非常值全纯项,K_{HE}\left(\xi ,\overline{\eta }\right)也不包含\eta的任何非常值共轭全纯项,因此K_{HE}\left(\xi ,\overline{\xi }\right)不包含\xi的非常值的多重调和项,正规化后得K_{HE}\left(\xi ,\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}。

华罗庚域的Bergman度量记为{\omega }_{HE}=\sqrt[]{-\mathrm{1}}\partial \overline{\partial }\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{HE}。设D\subset{\mathbb{C}}^{\kappa }\left(\kappa \le n,\kappa \in {\mathbb{N}}^{+}\right)是连通开集,{\omega }_D是D上的Kähler度量。不失一般性,假设\mathrm{0}\in D。下面将证明不存在全纯等距嵌入既能满足F:\left(D,{\omega }_D\right)\to \left({\mathbb{C}}^n,{\omega }_{{\mathbb{C}}^n}\right)又能使L:\left(D,{\omega }_D\right)\to \left(HE,{\omega }_{HE}\right)成立。

定理5 设D是\mathbb{C}的连通开集,F:D\to {\mathbb{C}}^n和L=\left(G,H_{N_{\mathrm{1}}},H_{N_{\mathrm{2}}},\cdots ,H_{N_r}\right)=\left(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right):D\to HE都是全纯映射且满足L\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}。如果在D上有F^{\mathrm{*}}{\omega }_{{\mathbb{C}}^n}=L^{\mathrm{*}}{\omega }_{HE},那么F一定是常值映射。

对于四类华罗庚域HE，定理的证明方法类似,本文主要对情形一时的华罗庚域H{E}_{\mathrm{I}}加以详细证明。

证 设映射F:D\to {\mathbb{C}}^n和L=\left(G,H_N\right)=\left(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right):D\to H{E}_{\mathrm{I}},H_N=\left(H_{N_{\mathrm{1}}},H_{N_{\mathrm{2}}},\cdots ,H_{N_r}\right)满足F^{\mathrm{*}}{\omega }_{{\mathbb{C}}^n}=L^{\mathrm{*}}{\omega }_{H{E}_{\mathrm{I}}}。利用反证法,假设F不是常值映射。不失一般性,可以假设D是包含原点的单连通域且F(\mathrm{0})=\mathrm{0}。根据F^{\mathrm{*}}{\omega }_{{\mathbb{C}}^n}=L^{\mathrm{*}}{\omega }_{H{E}_{\mathrm{I}}},可得对于任意的\mathit{z}\in D都有：

\partial \overline{\partial }\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|f_i\left(\mathit{z}\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)=\partial \overline{\partial }\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right),\overline{G\left(\mathit{z}\right)},\overline{H_N\left(\mathit{z}\right)}\right)\right)(1)

其中K_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(\xi ,\overline{\eta }\right)={\sum }_l{h}_l\left(\xi \right)\overline{h_l\left(\eta \right)}是H{E}_{\mathrm{I}}上的Bergman核函数,\left\{h_l\left(\xi \right)\right\}是H{E}_{\mathrm{I}}上平方可积的全纯函数的一组标准正交基。通过比较\left(\mathrm{1}\right)式中\mathit{z}的全纯项和共轭全纯项,去掉\partial \overline{\partial }得：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|f_i\left(\mathit{z}\right)\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right),\overline{G\left(\mathit{z}\right)},\overline{H_N\left(\mathit{z}\right)}\right)(2)

通过极化,\left(\mathrm{2}\right)式等价于：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(\mathit{z}\right){\overline{f}}_i\left(\mathit{w}\right)=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),{\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)，\left(\mathit{z},\mathit{w}\right)\in D\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(D\right)(3)

其中,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(D\right)=\left\{\left.\mathit{z}\in \mathbb{C}\right|\overline{\mathit{z}}\in D\right\},{\overline{f}}_i\left(\mathit{w}\right)=\overline{f_i\left(\overline{\mathit{w}}\right)},\overline{G}\left(\mathit{w}\right)=\overline{G\left(\overline{\mathit{w}}\right)},{\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)=\overline{H_N\left(\overline{\mathit{w}}\right)}。

下面将分三步来证明定理。

步骤I:对于任意的\mathrm{1}\le i\le n,可证f_i\left(\mathit{z}\right)是L\left(\mathit{z}\right)=\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right)\right)的全纯有理式。即证明存在全纯有理式P_i\left(\mathit{z},\mathit{X}\right),i=\mathrm{1},\cdots ,n,使得f_i\left(\mathit{z}\right)=P_i\left(\mathit{z},L\left(\mathit{z}\right)\right)。必要时可以将D向原点收缩。

等式\left(\mathrm{3}\right)两侧同时对\mathit{w}微分,并令\mathit{w}\to \mathrm{0}可得：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(\mathit{z}\right)\frac{\partial }{\partial \mathit{w}}{\overline{f}}_i\left(\mathit{w}\right)=\frac{\partial A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\cdot \frac{\mathrm{1}}{A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}+\frac{\lambda }{B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)}\cdot \frac{\partial B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}(4)

其中，

A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)=\frac{{\partial }^{N_{\mathrm{1}}+N_{\mathrm{2}}+\cdots +N_{r-\mathrm{1}}+N_r-\mathrm{1}}}{\partial x_{\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{1}}}\partial x_{\mathrm{2}}^{N_{\mathrm{2}}}\cdots \partial x_r^{N_r-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{k_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}\cdots {\displaystyle \sum _{k_{r-\mathrm{1}}=\mathrm{0}}^{q_{r-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{mn+\mathrm{1}}}\mathrm{\Gamma }\left(k+\mathrm{1}\right){\left(\mathrm{1}-\frac{x_r}{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{k_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_r}}}\right)}^{-\left(k+\mathrm{1}\right)}\cdot {\displaystyle \sum _{h=k-\mathrm{1}}^{mn}}\frac{b_h{c}_{hk}}{{\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}}{\omega }_l^{k_l}{x}_l^{\frac{\mathrm{1}}{q_l}}\right)}^{\mathrm{1}+h+\frac{\mathrm{1}}{p_r}}},

x_l=H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N{\left({\mathit{w}}_l\right)}^{\mathrm{T}}{\left[\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathit{I}-G\left(\mathit{z}\right)\overline{G}{\left({\mathit{w}}_l\right)}^{\mathrm{T}}\right)\right]}^{-\frac{\mathrm{1}}{p_l}},{\left|{\mathit{w}}_l\right|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{N_l}}{\left|{\mathit{w}}_{lk}\right|}^{\mathrm{2}},q_l=\frac{\mathrm{1}}{p_l},{\omega }_l={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{q_l}},l=\mathrm{1},\cdots ,r,

B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathit{I}-G\left(\mathit{z}\right)\overline{G}{\left(\mathit{w}\right)}^{\mathrm{T}}\right),\lambda =-\left(m+n+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^r}\frac{N_l}{p_l}\right)

由于L\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},即G\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},H_N(\mathrm{0})=\mathrm{0},因此B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathrm{0}\right)\right)\equiv \mathrm{1}。因为B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)是关于G\left(\mathit{z}\right)和\overline{G}\left(\mathit{w}\right)的多项式,因此{\left.\frac{\partial B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\right|}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}是关于G\left(\mathit{z}\right)的全纯多项式,{\left.\frac{\lambda }{B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)}\cdot \frac{\partial B\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\right|}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}是关于G\left(\mathit{z}\right)的全纯有理式,也是关于L(\mathit{z})=(G\left(\mathit{z}\right),H_N(\mathit{z}))的Nash函数。由于A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.和{\left.\frac{\partial A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\right|}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}都是关于L(\mathit{z})=(G\left(\mathit{z}\right),H_N(\mathit{z}))的全纯有理式,因此\frac{\partial A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\cdot{\left.\frac{\mathrm{1}}{A\left(G\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),H_N\left(\mathit{z}\right){\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}\right|}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}是关于L(\mathit{z})=(G\left(\mathit{z}\right),H_N(\mathit{z}))的全纯有理式,也是关于L(\mathit{z})=(G\left(\mathit{z}\right),H_N(\mathit{z}))的Nash函数。

令D^{\delta }=\frac{{\partial }^{\delta }}{\partial {\mathit{w}}^{\delta }},当\delta =\mathrm{1}时,\left(\mathrm{4}\right)式可以改写成：

F\left(\mathit{z}\right)\cdot D^{\mathrm{1}}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)={\varphi }_{\mathrm{1}}\left(\mathit{w},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)(5)

其中F\left(\mathit{z}\right)=\left(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\cdots ,f_n\right)。令\mathit{w}=\mathrm{0},则{\varphi }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)是

L=\left(g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_{mn}\left(\mathit{z}\right),\right.h_{\mathrm{11}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{r\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\left(\mathit{z}\right)\right)

的全纯有理式。等式\left(\mathrm{5}\right)两侧对\mathit{w}进行微分,当\mathit{w}=\mathrm{0},\delta >\mathrm{0}为任意阶时：

F\left(\mathit{z}\right)\cdot D^{\delta }\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)={\varphi }_{\delta }\left(\mathit{w},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)(6)

则{\varphi }_{\delta }\left(\mathrm{0},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)是

L=\left(g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_{mn}\left(\mathit{z}\right),\right.h_{\mathrm{11}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{r\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\left(\mathit{z}\right)\right)

的全纯有理式。

设L=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}{\mathrm{n}}_{\mathbb{C}}{\left\{D^{\delta }\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\right\}}_{\delta \ge \mathrm{1}}是{\mathbb{C}}^n的一个向量子空间,{\left\{D^{{\delta }_j}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\right\}}_{j=\mathrm{1}}^{\tau }是L的一组基。当\mathit{w}\to \mathrm{0}时,\overline{F}\left(\mathit{w}\right)的泰勒展式为\overline{F}\left(\mathit{w}\right)=\sum _{\delta \ge \mathrm{1}}\frac{D^{\delta }\left(\overline{F}\right)\left(\mathrm{0}\right)}{\delta !}{\mathit{w}}^{\delta }\in L。用{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{0}}表示\mathbb{C}中以0为圆心的开圆盘,则有\overline{F}\left({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{0}}\right)\subset L。

设{\mathit{v}}_j\left(j=\mathrm{1},\cdots ,n-\tau \right)是L的欧氏正交补的一组基,则有:

F\left(\mathit{z}\right)\cdot {\mathit{v}}_j=\mathrm{0}(7)

当\mathit{w}=\mathrm{0},\delta =\left({\delta }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\delta }_{\mathrm{\tau }}\right)时将\left(\mathrm{6}\right)式和\left(\mathrm{7}\right)式整理成下列矩阵形式：

\left(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\cdots ,f_n\right){\left(\begin{array}{c}{D}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\\ ⋮\\ D^{{\delta }_{\tau }}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\\ {\mathit{v}}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ {\mathit{v}}_{n-\tau }\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}={\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)\\ ⋮\\ {\varphi }_{\tau }\left(\mathrm{0},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},\right.h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\right)\\ \mathrm{0}\\ ⋮\\ \mathrm{0}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}(8)

当\mathit{w}=\mathrm{0}时,等式\left(\mathrm{8}\right)左侧的系数矩阵{\left(\begin{array}{c}{D}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\\ ⋮\\ D^{{\delta }_{\tau }}\left(\overline{F}\left(\mathit{w}\right)\right)\left|{}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}\right.\\ {\mathit{v}}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ {\mathit{v}}_{n-\tau }\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}是非奇异阵。等式\left(\mathrm{8}\right)右侧矩阵的每一行元素是L=\left(G,H_N\right)的全纯有理式。应用克莱姆法则解上述线性方程组,可知f_i\left(\mathit{z}\right)是关于\left(g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_{mn}\left(\mathit{z}\right),\right.h_{\mathrm{11}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{r\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\left(\mathit{z}\right)\right)的全纯有理式,也是Nash函数。

设\mathit{\mathbb{Q}}是由变量\mathit{z}形成的有理函数域,其中\mathit{z}\in D。考虑域的扩张\mathrm{\Im }=\mathit{\mathbb{Q}}(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,h_{r{N}_r}),即\mathrm{\Im }是包含\left\{g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,h_{r{N}_r}\right\}和Nash函数的有理函数域的最小子域,记l是扩域\mathrm{\Im }的超越次数。

步骤Ⅱ:假设l=\mathrm{0},则\mathrm{\Im }的超越基是空集,即\left\{g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,h_{r{N}_r}\right\}中每个元素都是Nash函数,根据步骤I,f_i\left(\mathit{z}\right)可以写成如下形式：

f_i\left(\mathit{z}\right)=\widehat{f_i}\left(g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_{mn}\left(\mathit{z}\right),\right.h_{\mathrm{11}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,h_{r\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,\left.h_{r{N}_r}\left(\mathit{z}\right)\right)

其中\widehat{f_i}\left(\mathit{X}\right)=\widehat{f_i}\left({\mathit{X}}_{\mathrm{1}},{\mathit{X}}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\mathit{X}}_{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i}\right)是全纯有理函数,则f_i\left(\mathit{z}\right)是全纯Nash函数。考虑下列等式

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(\mathit{z}\right){\overline{f}}_i\left(\mathit{w}\right)\right)=K_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),{\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)(9)

该式等价于式\left(\mathrm{3}\right)。由引理4知,F=\left(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\cdots ,f_n\right)是常值映射。

步骤Ⅲ:假设l>\mathrm{0},即\left\{g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn},h_{\mathrm{11}},\cdots ,h_{\mathrm{1}{N}_{\mathrm{1}}},\cdots ,h_{r\mathrm{1}},\cdots ,h_{r{N}_r}\right\}中存在一些元素不是Nash函数。简记L=\left(G,H_N\right)=\left(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i}\right)。设\mathrm{\wp }=\left\{g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right\}\left(l\le mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i\right)是\mathrm{\Im }的极大代数无关子集,即\mathrm{\wp }是\mathrm{\Im }的超越基,\mathrm{\Im }\backslash \mathit{\mathbb{Q}}\left(\mathrm{\wp }\right)是由Nash函数生成的集合,所以\mathrm{\Im }\backslash \mathit{\mathbb{Q}}\left(\mathrm{\wp }\right)的超越次数为0。

存在连通开集U,使得对于任意的j有g_j\notin \mathrm{\wp }，不失一般性，假设\mathrm{0}\in U。设\widehat{U}是\left\{\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_l\right)\left|\mathit{z}\in U\right.\right\}\subseteq\mathbb{C}\times {\mathbb{C}}^l的邻域,则存在\widehat{U}上的Nash函数{\left\{{\widehat{g}}_j\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)\right\}}_{j=l+\mathrm{1}}^{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i},\mathit{X}=\left({\mathit{X}}_{\mathrm{1}},\cdots ,{\mathit{X}}_l\right),使得对于\forall \mathit{z}\in U,有g_j\left(\mathit{z}\right)={\widehat{g}}_j\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_l\right),j=l+\mathrm{1},\cdots ,mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i。

根据\left(\mathrm{4}\right)式和\left(\mathrm{5}\right)式知,{\left.\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(G\left(\mathit{z}\right),H_N\left(\mathit{z}\right),\overline{G}\left(\mathit{w}\right),{\overline{H}}_N\left(\mathit{w}\right)\right)}{\partial \mathit{w}}\right|}_{\mathit{w}=\mathrm{0}}是关于\left(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i}\right)的全纯有理式,由于对于任意的\mathrm{1}\le i\le n,f_i\left(\mathit{z}\right)是关于\left(g_{\mathrm{1}},\cdots ,g_{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i}\right)的全纯有理式,因此存在\widehat{U}上的全纯Nash函数\widehat{f_i}\left(\mathit{z},{\mathit{X}}_{\mathrm{1}},\cdots ,{\mathit{X}}_l\right)\left(\mathit{z}\in U\right),使得f_i\left(\mathit{z}\right)={\widehat{f}}_i\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right)。令：

\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)\overline{f_i}\left(\mathit{w}\right)-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}KH{E}_{\mathrm{I}}\left(\cdots ,{\mathit{X}}_r,\cdots ,\widehat{g_j}\left(\mathit{z},\mathit{X}\right),\cdots ,\overline{g_j}\left(\mathit{w}\right),\cdots \right),{\Phi }_k\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)=\frac{{\partial }^k}{\partial w^k}\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)

其中\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)\in \widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right),k=\mathrm{1,2},\cdots ,X=\left({\mathit{X}}_{\mathrm{1}}, \cdots ,{\mathit{X}}_l\right)。下证\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)在\widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right)上恒为零。

对于任意的\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)\approx \left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right),\mathit{w}=\mathrm{0},易证{\Phi }_k\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)对于任意的k都是\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)的Nash函数。假设{\Phi }_k\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathrm{0}\right)\ne \mathrm{0},则存在某些k依赖于\mathit{X},即当\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)}{\partial {\mathit{w}}^k}\ne \mathrm{0}时,存在{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\to \mathrm{0},使得\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)}{\partial {\mathit{w}}^k}\ne \mathrm{0}。由\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)的定义可知\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)}{\partial {\mathit{w}}^k}是\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)的Nash函数,则存在P_k\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{t}\right)=a_{d_k}\left(\mathit{z},\mathit{X}\right){\mathit{t}}^{d_k}+\cdots +a_{{\mathrm{0}}_k}\left(\mathit{z},\mathit{X}\right),其中，a_{{\mathrm{0}}_k}\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)\ne \mathrm{0},a_i\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)是\left(\mathit{z},\mathit{X}\right)有理式,使得P\left(\mathit{z},\mathit{X},\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)}{\partial {\mathit{w}}^k}\right)\equiv \mathrm{0}。对\forall \mathit{z}\in U,\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right.,\left.\mathit{w}\right)\equiv \mathrm{0},因此

\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }}{\partial {\mathit{w}}^k}\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right),{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)\equiv \mathrm{0},

P\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right),\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }}{\partial {\mathit{w}}^k}\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right),{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)\right)=a_{d_k}\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right)\cdot

\frac{{\partial }^k\mathit{\Psi }}{\partial {\mathit{w}}^k}{\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right),{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)}^{d_k}+\cdots +a_{{\mathrm{0}}_k}\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right)=a_{{\mathrm{0}}_k}\left(\mathit{z},g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right)\equiv \mathrm{0}

所以\left\{g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right\}在\mathit{\mathbb{Q}}上是代数相关的,与假设\mathrm{\wp }=\left\{g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{z}\right),\cdots ,g_l\left(\mathit{z}\right)\right\}是\mathrm{\Im }的极大代数无关子集矛盾,故{\Phi }_k\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathrm{0}\right)\equiv \mathrm{0}。令\Phi \left(\mathit{z},\mathit{X},\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},则有\mathit{\Psi }\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)=\mathrm{0},即:

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}(\mathit{z},\mathit{X})\overline{f_i}(\mathit{w})=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{H{E}_{\mathrm{I}}}(\dots ,{\mathit{X}}_r,\dots ,{\widehat{g}}_j(\mathit{z},\mathit{X}),\dots ,{\overline{g}}_{\mathrm{j}}(\mathit{w}),\dots )(10)

其中\left(\mathit{z},\mathit{X},\mathit{w}\right)\in \widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}(U)。

若{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}(\mathit{z},\mathit{X})\overline{f_i}(\mathit{w})\equiv \mathrm{0},令\mathit{w}=\mathit{z},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}|f_i(\mathit{z}){|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}(\mathit{z},g_{\mathrm{1}},\dots ,g_l)\overline{f_i}\left(\mathit{z}\right)\equiv \mathrm{0},则F是常值映射,与假设矛盾。

若存在\left({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},{\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)\in U\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right),使得{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},\mathit{X})\overline{f_i}({\mathit{w}}_{\mathrm{0}})\ne \mathrm{0},则{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},\mathit{X})\overline{f_i}({\mathit{w}}_{\mathrm{0}})是\mathit{X}上非常值的Nash函数。由(\mathrm{10})式得:

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\widehat{f_i}({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},\mathit{X})\overline{f_i}({\mathit{w}}_{\mathrm{0}})\right)=K_{H{E}_{\mathrm{I}}}\left(\mathit{X},{\widehat{g}}_{l+\mathrm{1}}({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},\mathit{X}),\dots ,{\widehat{g}}_{mn+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^r}{N}_i}({\mathit{z}}_{\mathrm{0}},\mathit{X}),{\overline{g}}_{\mathrm{1}}\left({\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right),\cdots ,\left.{\overline{g}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{i}=\mathrm{1}}^{\mathrm{r}}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{i}}}\left({\mathit{w}}_{\mathrm{0}}\right)\right)\right)

由引理4可知,F是常值映射,与假设矛盾。综上所述，定理5得证。

在上述情形下可得到如下推论。

推论6 一类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间不存在包含零点的公共Kähler子流形,即一类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间不相关。

4　 结 语

殷慰萍等^[10]给出了5种情况下华罗庚域的Bergman核函数表达式,其中包含Cartan-Hartogs域和Cartan-Egg域两种特殊情形,还包含其Bergman核函数是多维超几何函数的情形。本文考虑\mathrm{1}/p_{\mathrm{1}},\cdots ,\mathrm{1}/p_{r-\mathrm{1}}都是正整数,而p_r是正实数时的华罗庚域,证明了一类具有Bergman度量的华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的。

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基金资助

国家自然科学基金(12026420)