一类三阶多点边值问题在\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}共振情形下的可解性

Solvability for a Class of Third-Order Multi-Point Boundary Value Problems at Resonance with dim Ker L=3

摘要

讨论在\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}共振情形下三阶多点边值问题\left\{\begin{array}{l}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=f(t,u(t),u\mathrm{\text{'}}(t),u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t))+e(t),t\in [\mathrm{0,1}]\\ u(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_{i}u({\xi }_i),u(\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_{j}u({\eta }_j),u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_{k}u({\zeta }_k)\end{array}\right.的可解性。其中，函数f:[\mathrm{0,1}]\times {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}\to \mathbb{R}满足Carath\dot{\mathrm{e}}odory条件，e:[\mathrm{0,1}]\to \mathbb{R}\in L^{\mathrm{1}}［0，1］，{\mathrm{\alpha }}_i,{\beta }_j,{\gamma }_k\in \mathbb{R}，0<，0<，0<<1，并且边值条件满足：（C₁） {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\xi }_i=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}；（C₂） {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\eta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}；（C₃） {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\zeta }_k=\mathrm{0}。

Abstract

The author considers the solvability for a class of third-order multi-point boundary valueproblems at resonance with \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}

\left\{\begin{array}{l}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=f(t,u(t),u\mathrm{\text{'}}(t),u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t))+e(t),t\in [\mathrm{0,1}]\\ u(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_{i}u({\xi }_i),u(\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_{j}u({\eta }_j),u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_{k}u({\zeta }_k)\end{array}\right.

where f:[\mathrm{0,1}]\times {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}\to \mathbb{R} satisfies Carath\dot{\mathrm{e}}odory conditions,e:[\mathrm{0,1}]\to \mathbb{R}\in L^{\mathrm{1}}[0,1],{\mathrm{\alpha }}_i,{\beta }_j,{\gamma }_k\in \mathbb{R},0<,0<,0<<1,and the boundary value conditions satisfy the following conditions:(C₁) {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\xi }_i=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}；(C₂) {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\eta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}；(C₃) {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\zeta }_k=\mathrm{0}.

关键词

边值问题 / 共振 / Mawhin重合度

Key words

boundary value problem / resonance / Mawhin degree

0　 引 言

非线性常微分方程边值问题来源于应用数学和物理学科等领域，是非线性分析中的一个重要分支。因其在工程技术和应用数学,尤其是在气体力学和生物数学方面的广泛应用而受到国内外学者的广泛关注,并获得了诸多研究结果^[1~5]。在已有的文献中,大多数多点边值问题解的存在性结果均是在相关算子L满足\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{1}^[6]或\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{2}^[7，8]的共振情形下得到的。

例如,在文献[8]中,作者讨论了二阶常微分方程多点边值问题

\left\{\begin{array}{l}x\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=f(t,x(t),x\mathrm{\text{'}}(t)+e(t),t\in (\mathrm{0,1})\\ x(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_{j}x({\xi }_i),u(\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\beta }_{j}x({\eta }_j)\end{array}\right.

在条件

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\beta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_j{\xi }_i=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\beta }_j{\eta }_j=\mathrm{0}

和

\Lambda ={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_j{{\xi }_i}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}})-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\alpha }_j{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{2}})\ne \mathrm{0}

下解的存在性，其中算子L满足共振条件\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{2},而对于算子L满足\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}时共振情形下存在性结果的获得并不多见。

三阶常微分方程多点边值问题在\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}共振条件下解的存在性的研究较为稀少。究其原因，一方面是因为方程阶数的增加和核的维数的变高增加了研究此类问题的难度和复杂性；另一方面，对于共振情形下核的维数相同的方程，其边值条件的复杂程度也会加深问题的难度，使其解的存在性的获得变得困难。

基于对以上问题的考虑,本文拟讨论在算子L满足\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}共振情形下，方程满足较为复杂的多点边值条件下的三阶边值问题

\left\{\begin{array}{l}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=f(t,u(t),u\mathrm{\text{'}}(t),u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t))+e(t),t\in [\mathrm{0,1}]\\ u(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_{i}u({\xi }_i),u(\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_{j}u({\eta }_j),u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_{k}u({\zeta }_k)\end{array}\right.(1)

的可解性,这里函数f:[\mathrm{0,1}]\times {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}\to \mathbb{R}满足Carath\dot{\mathrm{e}}odory条件，e:[\mathrm{0,1}]\to \mathbb{R}\in L^{\mathrm{1}}[0,1]，{\alpha }_i,{\beta }_j,{\gamma }_k\in \mathbb{R}，0<，0<，0<<1，并且满足下列条件：

(C₁) {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\xi }_i=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}；

(C₂) {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\eta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}；

(C₃) {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\zeta }_k=\mathrm{0}。

本文用到的主要非线性工具为Mawhin重合度理论:

定理A^[9] 设L为零指标的Fredholm算子,算子N在\overline{\Omega }中是L-紧的。假设下列条件满足：

1) Lu\ne \lambda Nu,(u,\lambda )\in [(D(L)\backslash \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L\bigcap \partial \Omega ];

2) Nu\notin \mathrm{I}\mathrm{m}L,u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L\bigcap \partial \Omega ;

3) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(QN{|}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L},\Omega \bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,\mathrm{0})\ne \mathrm{0}。

其中，算子Q:Z\to Z满足\mathrm{I}\mathrm{m}L=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q，则方程Lu=Nu在D(L)\bigcap \overline{\Omega }中至少存在一个解。这里Z为实Banach空间。

定义 1^[10] 称函数f:[\mathrm{0,1}]\times {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}\to \mathbb{R}满足Carath\dot{\mathrm{e}}odory条件，如果下列条件成立：

1) f(t,\cdot ),\mathrm{a}.\mathrm{e}.t\in [\mathrm{0,1}]在{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}上是连续函数;

2) f(\cdot ,u),u\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}在[0,1]上是Lebsgue可积的;

3) 对每一个常数\rho >\mathrm{0}，存在函数f_{\rho }\in L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0,1}]使得

注 1 本文总假设条件(C₁)、(C₂)、(C₃)、(C₄)成立，其中

(C₄)　 \Lambda =\left|\begin{array}{ccc}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{4}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{5}}\\ \mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}}& \mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{4}}& \mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{5}}\\ \mathrm{3}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{2}}& \mathrm{4}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{3}}& \mathrm{5}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{4}}\end{array}\right|:=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right|\ne \mathrm{0}

1　 预备知识

定义 2 设X,Z为实Banach空间。若下列条件成立,则称线性算子L:D(L)\subset X\to Z为零指标的Fredholm算子：

1) \mathrm{I}\mathrm{m}L是Z中的闭子集；

2) 。

以下是本文的理论基础。

以X,Z分别表示赋范为||u||=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{||u|{|}_{\mathrm{0}},||u\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}},||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}\}，||u|{|}_{\mathrm{1}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|u(s)|\mathrm{d}s的Banach空间C^{\mathrm{2}}[\mathrm{0,1}],L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0,1}]，其中||u|{|}_{\mathrm{0}}=\underset{t\in [\mathrm{0,1}]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|u(t)|。本文还用到Sobolev空间W^{\mathrm{3,1}}(\mathrm{0,1}):=\{u:[\mathrm{0,1}]\to \mathbb{R},u\mathrm{\text{'}},u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{连}\mathrm{续},u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\in L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0,1}]\}。

定义线性算子L:D(L)\subset X\to Z，

Lu=u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}},u\in D(L)\subset X(2)

其中，D(L)=u\in \{W^{\mathrm{3,1}}(\mathrm{0,1}),u(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_{i}u({\xi }_i),u(\mathrm{1})={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_{j}u({\eta }_j),u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{k-\mathrm{2}}}{\gamma }_{l}u({\zeta }_l)\}。

定义非线性算子N:X\to Z，

Nu:=f(t,u(t),u\mathrm{\text{'}}(t),u″(t))+e(t),t\in [\mathrm{0,1}]

引理1 算子L如(2)式所定义,则L为零指标的Fredholm算子。定义线性算子

K_{P}y(t)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L

则K_P为算子L在D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P上的逆算子,即K_P={L^{-\mathrm{1}}}_{D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P},其中,

\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P=\{u\in X|u(\mathrm{0})+u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\}

且满足||K_P||\le ||y|{|}_{\mathrm{1}},y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L。

证 首先证明

\mathrm{I}\mathrm{m}L=\{y\in Z:Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{2}}y=Q_{\mathrm{3}}y=\mathrm{0}\}(3)

其中,

Q_{\mathrm{1}}y={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\int }_{\mathrm{0}}^{{\xi }_i}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s

Q_{\mathrm{2}}y={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\int }_{\mathrm{0}}^{{\eta }_j}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s

Q_{\mathrm{3}}y={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\int }_{\mathrm{0}}^{{\zeta }_k}{\int }_{\mathrm{0}}^{s}y(\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s

由条件(C₁)、(C₂)、(C₃)可得\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\{u\in D(L):u(t)=a+bt+c{t}^{\mathrm{2}},a,b,c\in \mathbb{R}\}。设

u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=y(4)

有解u(t)满足边值条件,则

u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}y(s)\mathrm{d}s,u(t)=u(\mathrm{0})+u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s

由边值条件和(C₁)、(C₂)、(C₃)可得Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{2}}y=Q_{\mathrm{3}}y=\mathrm{0},即y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L。反之,若y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L,则

Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{2}}y=Q_{\mathrm{3}}y=\mathrm{0}(5)

令u(t)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s+a{t}^{\mathrm{2}}+bt+c,a,b,c\in \mathbb{R}，易验证u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=y且满足边值条件,因此(3)式成立。其次证明\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q=\mathrm{I}\mathrm{m}L。令

T_{\mathrm{1}}y=\frac{\mathrm{6}}{\Lambda }[A_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{31}}{Q}_{\mathrm{3}}y]

T_{\mathrm{2}}y=\frac{\mathrm{24}}{\Lambda }[A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{32}}{Q}_{\mathrm{3}}y]

T_{\mathrm{3}}y=\frac{\mathrm{60}}{\Lambda }[A_{\mathrm{13}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{23}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{33}}{Q}_{\mathrm{3}}y]

其中,A_{i,j}为条件(C₄)中行列式元素a_{i,j}的代数余子式，Qy=T_{\mathrm{1}}y+(T_{\mathrm{2}}y)t+(T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}}。由T_{\mathrm{1}}y,T_{\mathrm{2}}y,T_{\mathrm{3}}y,Q_{\mathrm{1}}y,Q_{\mathrm{2}}y,Q_{\mathrm{3}}y的定义,经计算可得

Q_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{11}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{1}}y)，Q_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{21}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}})(T_{\mathrm{1}}y)

Q_{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{31}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}(\mathrm{3}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{2}})(T_{\mathrm{1}}y)，Q_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{2}}y)t=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}{a}_{\mathrm{12}}(T_{\mathrm{2}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{4}}(T_{\mathrm{2}}y)

Q_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{2}}y)t=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{22}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{4}})(T_{\mathrm{2}}y)，Q_{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{2}}y)t=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{32}}(T_{\mathrm{1}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}(\mathrm{4}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{3}})(T_{\mathrm{2}}y)

Q_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}}y)t^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{a}_{\mathrm{13}}(T_{\mathrm{3}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{5}}(T_{\mathrm{5}}y)，Q_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}{a}_{\mathrm{33}}(T_{\mathrm{3}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{5}}(T_{\mathrm{3}}y)，

Q_{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}{a}_{\mathrm{33}}(T_{\mathrm{3}}y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}(\mathrm{5}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{4}})(T_{\mathrm{3}}y)

易验证T_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}}y)=T_{\mathrm{1}}y，T_{\mathrm{1}}((T_{\mathrm{2}}y)t)=\mathrm{0}，T_{\mathrm{1}}((T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}，T_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{1}}y)=\mathrm{0}，T_{\mathrm{2}}((T_{\mathrm{2}}y)t)=T_{\mathrm{2}}y，T_{\mathrm{2}}((T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}，T_{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{1}}y)=\mathrm{0}，T_{\mathrm{3}}((T_{\mathrm{2}}y)t)=\mathrm{0}，T_{\mathrm{3}}((T_{\mathrm{3}}y)t^{\mathrm{2}})=T_{\mathrm{3}}y，因此可得Q^{\mathrm{2}}y=Qy,Q为线性算子。

一方面,若y\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q,则Qy=\mathrm{0},即得T_{\mathrm{1}}y=T_{\mathrm{2}}y=T_{\mathrm{3}}y=\mathrm{0},则

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{6}}{\Lambda }[A_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{31}}{Q}_{\mathrm{3}}y]=\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{24}}{\Lambda }[A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{32}}{Q}_{\mathrm{3}}y]=\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{60}}{\Lambda }[A_{\mathrm{13}}{Q}_{\mathrm{1}}y+A_{\mathrm{23}}{Q}_{\mathrm{2}}y+A_{\mathrm{33}}{Q}_{\mathrm{3}}y]=\mathrm{0}\end{array}\right.

由于\left|\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{31}}\\ A_{\mathrm{12}}& A_{\mathrm{22}}& A_{\mathrm{32}}\\ A_{\mathrm{13}}& A_{\mathrm{23}}& A_{\mathrm{33}}\end{array}\right|={\Lambda }^{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}，其中A_{i,j}为条件(C₄)中行列式\Lambda中元素a_{i,j}(i,j=\mathrm{1,2},\mathrm{3})的代数余子式,因此可得Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{2}}y=Q_{\mathrm{3}}y=\mathrm{0},即y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L,\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q\subset \mathrm{I}\mathrm{m}L。反之,若Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{2}}y=\mathrm{0},则Qy=\mathrm{0},y\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q得\mathrm{I}\mathrm{m}L\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q。综上可得\mathrm{I}\mathrm{m}L=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q。下证\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{m}L=\mathrm{3},L为零指标的Fredholm算子。

设y\in Z,令y=y-(Qy)+Qy,则Qy\in \mathrm{I}\mathrm{m}Q,y-Qy\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q=\mathrm{I}\mathrm{m}L,因此Z=\mathrm{I}\mathrm{m}L+\mathrm{I}\mathrm{m}Q。

令y=a+bt+c{t}^{\mathrm{2}},a,b,c\in \mathbb{R},则y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L\bigcap \mathrm{I}\mathrm{m}Q。由y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L以及Qy的定义,可知

Q_{\mathrm{1}}y=Q_{\mathrm{1}}(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\int }_{\mathrm{0}}^{{\xi }_i}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(a+bv+c{v}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{5}}=\mathrm{0}

Q_{\mathrm{2}}y={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(a+bv+c{v}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\int }_{\mathrm{0}}^{{\eta }_j}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(a+bv+c{v}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{4}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{5}})=\mathrm{0}

Q_{\mathrm{3}}y={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\int }_{\mathrm{0}}^{{\zeta }_k}{\int }_{\mathrm{0}}^{s}y(a+b\tau +c{\tau }^{\mathrm{2}})\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{3}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{2}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{4}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{3}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}(\mathrm{5}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{4}})=\mathrm{0}

即

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{5}}=\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{4}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{5}})=\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{3}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{2}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{4}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{3}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c(\mathrm{5}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{4}})=\mathrm{0}\end{array}\right.

由于

\left|\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{3}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{4}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{5}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{3}})& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{4}})& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{5}})\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}a(\mathrm{3}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{2}})& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}b(\mathrm{4}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{3}})& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}c(\mathrm{5}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{{\zeta }_k}^{\mathrm{4}})\end{array}\right|=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\mathrm{640}}\Lambda \ne \mathrm{0}

可得a=b=c=\mathrm{0},这表明y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L\bigcap \mathrm{I}\mathrm{m}Q=\{\mathrm{0}\},Z=\mathrm{I}\mathrm{m}L\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}Q。因此\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{m}L=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{m}Q=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\mathrm{3}。

定义算子P:X\to X,

Pu(t)=u(\mathrm{0})+u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t),t\in [\mathrm{0,1}]

下面证明

K_{P}y(t)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }y(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L

为算子L限制在D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P上的逆算子。

事实上,若y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L,一方面(L{K}_P)y(t)=(K_{P}y)\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}=y(t)，另一方面,若u\in D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P,则

(K_{P}L)u(t)=K_{P}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }u‴(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^{s}u″(\tau )-u″(\mathrm{0})\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=u(t)-u(\mathrm{0})-u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u″(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}

由u\in D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P，u(\mathrm{0})+u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},可得(K_{P}L)u(t)=u(t),从而

K_P={L^{-\mathrm{1}}}_{D(L)\bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P}

最后证明当y\in \mathrm{I}\mathrm{m}L时,算子K_P满足||K_{P}y||\le ||y|{|}_{\mathrm{1}}。由K_P的定义可知

||K_{P}y|{|}_{\mathrm{0}}\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|y(s)\mathrm{d}s|\le ||y|{|}_{\mathrm{1}}，||(K_{P}y)\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|y(s)\mathrm{d}s|\le ||y|{|}_{\mathrm{1}}，||(K_{P}y)\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|y(s)\mathrm{d}s|\le ||y|{|}_{\mathrm{1}}

可得||K_{P}y||\le ||y|{|}_{\mathrm{1}}，引理1得证。

2　 主要结果及证明

定理 1 假设下列条件(H₁),(H₂),(H₃)成立：

(H₁) 存在函数m(t),n(t),p(t),q(t),r(t)\in L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0,1}],以及常数\theta \in [\mathrm{0,1})满足

|f(t,x,y,z)|\le m(t)|x|+n(t)|y|+p(t)|z|+q(t)|w{|}^{\vartheta }+r(t)(6)

其中w=x,y,z。

(H₂) 存在常数M>\mathrm{0},当|u(t)|>M或|u\mathrm{\text{'}}(t)|>M或|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)|>M时,

Q_{\mathrm{1}}Nu(t)\ne \mathrm{0} 或 Q_{\mathrm{2}}Nu(t)\ne \mathrm{0} 或 Q_{\mathrm{3}}Nu(t)\ne \mathrm{0}

(H₃) 存在常数N>\mathrm{0}使对任意实数a,b,c\in \mathbb{R},|a|>N或|b|>N或|c|>N时,

Q_{\mathrm{1}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})+Q_{\mathrm{2}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})+Q_{\mathrm{3}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})>\mathrm{0}(7a)

或

(7b)

Q_{\mathrm{1}},Q_{\mathrm{2}},Q_{\mathrm{3}}如引理1所定义。若成立,则边值问题(1)在C^{\mathrm{2}}[\mathrm{0,1}]中至少存在一个解。

证 假设w=x时，(6)式成立,令{\Omega }_{\mathrm{1}}=\{u\in D(L)\backslash \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L:Lu=\lambda Nu,\lambda \in [\mathrm{0,1}]\}。设u\in {\Omega }_{\mathrm{1}},则由\lambda \ne \mathrm{0},QNu(t)=\mathrm{0}可知Q_{\mathrm{1}}Nu(t)=Q_{\mathrm{2}}Nu(t)=Q_{\mathrm{3}}Nu(t)=\mathrm{0},即

Q_{\mathrm{1}}Nu(t)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{2}}}{\alpha }_i{\int }_{\mathrm{0}}^{{\xi }_i}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }Nu(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\mathrm{0}

Q_{\mathrm{2}}Nu(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }Nu(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\beta }_j{\int }_{\mathrm{0}}^{{\eta }_j}{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }Nu(v)\mathrm{d}v\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\mathrm{0}

Q_{\mathrm{3}}Nu(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{l-\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\int }_{\mathrm{0}}^{{\zeta }_k}{\int }_{\mathrm{0}}^{s}Nu(\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s=\mathrm{0}

由(H₂)可知,存在t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}},t_{\mathrm{3}}\in [\mathrm{0,1}]满足u(t_{\mathrm{1}})\le M,u(t_{\mathrm{2}})\le M,u(t_{\mathrm{3}})\le M。又因为

|u(\mathrm{0})|=|u(t_{\mathrm{1}})-{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}u\mathrm{\text{'}}(s)\mathrm{d}s|\le |u(t_{\mathrm{1}})|+{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|u\mathrm{\text{'}}(s)|\mathrm{d}s\le M+||u\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}(8)

|u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|=|u\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{2}})-{\int }_{\mathrm{0}}^{t\mathrm{2}}u″(s)\mathrm{d}s|\le |u\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{2}})|+{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}|u″(s)|\mathrm{d}s\le M+||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}(9)

由于u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)在[0,1]绝对连续,u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)-u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{3}})={\int }_{t_{\mathrm{3}}}^{t}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(s)\mathrm{d}s,则|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)|\le |u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{3}})|+|{\int }_{t_{\mathrm{3}}}^{t}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(s)\mathrm{d}s|，所以

||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}\le |u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{3}})|+||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{1}}=|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{3}})|+||Lu|{|}_{\mathrm{1}}=|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t_{\mathrm{3}})|+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}(10)

则||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}\le M+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}。由(8),(9),(10)式可知

||Pu||=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\underset{t\in [\mathrm{0,1}]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|u(\mathrm{0})+u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}|,|u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|,\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|\}\le |u(\mathrm{0})|+|u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|+|u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|\le

M+||u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|{|}_{\mathrm{0}}+M+||u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|{|}_{\mathrm{0}}+M+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}\le \mathrm{3}M+\mathrm{2}||u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})|{|}_{\mathrm{0}}+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}\le

\mathrm{3}M+\mathrm{2}(M+||Nu|{|}_{\mathrm{1}})+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}\le \mathrm{5}M+\mathrm{3}||Nu|{|}_{\mathrm{1}}

对任意u\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{1}},(I-P)u\in D(L)\backslash \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P,Qu=\mathrm{0},则由引理1,可得

||(I-P)u||=||K_{P}L(I-P)u||\le ||L(I-P)u|{|}_{\mathrm{1}}=||Lu|{|}_{\mathrm{1}}\le ||Nu|{|}_{\mathrm{1}}

从而||u||=||Pu+(I-Pu)||\le ||Pu||+||I-Pu||\le \mathrm{5}M+\mathrm{3}||Nu|{|}_{\mathrm{1}}+||Nu|{|}_{\mathrm{1}}。由(6)式可得

||Lu|{|}_{\mathrm{1}}=||Nu|{|}_{\mathrm{1}}=||f(t,u(t),u\mathrm{\text{'}}(t),u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)+e(t)|{|}_{\mathrm{1}}\le

||r|{|}_{\mathrm{1}}+||m|{|}_{\mathrm{1}}||u||+||n|{|}_{\mathrm{1}}||u\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}+||p|{|}_{\mathrm{1}}||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{0}}+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}}\le

||r|{|}_{\mathrm{1}}+||m|{|}_{\mathrm{1}}||u||+||n|{|}_{\mathrm{1}}||u\mathrm{\text{'}}||+||p|{|}_{\mathrm{1}}||u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}|{|}_{\mathrm{1}}+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}}\le

||r|{|}_{\mathrm{1}}+||m|{|}_{\mathrm{1}}||u||+||n|{|}_{\mathrm{1}}||u\mathrm{\text{'}}||+||p|{|}_{\mathrm{1}}||Nu|{|}_{\mathrm{1}}+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}}

则||u||\le \mathrm{5}M+\mathrm{4}||Nu|{|}_{\mathrm{1}}\le \mathrm{5}M+\mathrm{4}[||r|{|}_{\mathrm{1}}+(||m|{|}_{\mathrm{1}}+||n|{|}_{\mathrm{1}}+||p|{|}_{\mathrm{1}})]||u||+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}}\mathrm{。}从而

[\mathrm{1}-\mathrm{4}(||m|{|}_{\mathrm{1}}+||n|{|}_{\mathrm{1}}+||p|{|}_{\mathrm{1}})]||u||\le \mathrm{5}M+\mathrm{4}[||r|{|}_{\mathrm{1}}+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}}

整理得

||u||\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\mathrm{4}(||m|{|}_{\mathrm{1}}+||n|{|}_{\mathrm{1}}+||p|{|}_{\mathrm{1}})}[\mathrm{5}M+\mathrm{4}(||r|{|}_{\mathrm{1}}+||q|{|}_{\mathrm{1}}||u|{|}^{\theta }+||e|{|}_{\mathrm{1}})]

由常数\theta \in [\mathrm{0,1})可知，存在常数M_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},使得||u||\le M_{\mathrm{1}},因此{\Omega }_{\mathrm{1}}有界。若w=y或w=z时(6)式成立，类似可证明{\Omega }_{\mathrm{1}}有界。

令{\Omega }_{\mathrm{2}}=\{u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L:Nu\in \mathrm{I}\mathrm{m}L\}。设u\in {\Omega }_{\mathrm{2}},则u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,其中,\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L=\{u\in D(L):u(t)=a+bt+c{t}^{\mathrm{2}},a,b,c\in \mathbb{R},t\in [\mathrm{0,1}]\}。因为QNu=\mathrm{0},因此Q_{\mathrm{1}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=Q_{\mathrm{2}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=Q_{\mathrm{3}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0},则由条件(H₃)可知|a|\le N,|b|\le N,|c|\le N,从而||u||\le |a|+|b|+|c|\le \mathrm{3}N,即{\Omega }_{\mathrm{2}}有界。

设a,b,c\in \mathbb{R},t\in [\mathrm{0,1}],定义算子J:\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L\to \mathrm{I}\mathrm{m}Q,

J(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\frac{\mathrm{6}}{\Lambda }[A_{\mathrm{11}}|a|+A_{\mathrm{21}}|b|+A_{\mathrm{31}}|c|]+\frac{\mathrm{24}}{\Lambda }[A_{\mathrm{12}}|a|+A_{\mathrm{22}}|b|+A_{\mathrm{32}}|c|]t+\frac{\mathrm{60}}{\Lambda }[A_{\mathrm{13}}|a|+A_{\mathrm{23}}|b|+A_{\mathrm{33}}|c|]t^{\mathrm{2}}

若(7a)成立,令{\Omega }_{\mathrm{3}}=\{u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L:\lambda Ju+(\mathrm{1}-\lambda )QNu=\mathrm{0},\lambda \in [\mathrm{0,1}]\}。

设u(t)=a+bt+c{t}^{\mathrm{2}},a,b,c\in \mathbb{R},u\in {\Omega }_{\mathrm{3}},由\lambda Ju+(\mathrm{1}-\lambda )QNu=\mathrm{0},即Q_{\mathrm{1}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=Q_{\mathrm{2}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=Q_{\mathrm{3}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}。整理得

\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{11}}[\lambda |a|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{1}}Nu]+A_{\mathrm{21}}[\lambda |b|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{2}}Nu]+A_{\mathrm{31}}[\lambda |c|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{3}}Nu]=\mathrm{0}\\ A_{\mathrm{12}}[\lambda |a|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{1}}Nu]+A_{\mathrm{22}}[\lambda |b|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{2}}Nu]+A_{\mathrm{32}}[\lambda |c|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{3}}Nu]=\mathrm{0}\\ A_{\mathrm{13}}[\lambda |a|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{1}}Nu]+A_{\mathrm{23}}[\lambda |b|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{2}}Nu]+A_{\mathrm{33}}[\lambda |c|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{3}}Nu]=\mathrm{0}\end{array}\right.

由于\left|\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{31}}\\ A_{\mathrm{12}}& A_{\mathrm{22}}& A_{\mathrm{32}}\\ A_{\mathrm{12}}& A_{\mathrm{23}}& A_{\mathrm{33}}\end{array}\right|={\Lambda }^{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}，从而\left\{\begin{array}{l}\lambda |a|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{1}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}\\ \lambda |b|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{2}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}\\ \lambda |c|+(\mathrm{1}-\lambda )Q_{\mathrm{3}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}\end{array}\right.，若\lambda =\mathrm{1},则a=b=c=\mathrm{0}；若\lambda \ne \mathrm{1},由(7a)及|a|>N或|b|>N或|c|>N可知

这与\lambda (|a|+|b|+|c|)\le \mathrm{0}矛盾!故{\Omega }_{\mathrm{3}}有界。若(7b)成立,类似可证明{\Omega }_{\mathrm{3}}有界。

令\Omega ={\displaystyle \underset{j=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{\overline{\Omega }}_j\subset X,运用Ascoli-Arzel\dot{\mathrm{a}}定理可证明,K_P(I-Q)N:\overline{\Omega }\to Y是紧的,故N在\overline{\Omega }是L⁃紧,可知：1) Lu\ne \lambda Nu,(u,\lambda )\in [D(L)\backslash \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L\bigcap \partial \Omega ]；2) Nu\notin \mathrm{I}\mathrm{m}L,u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L\bigcap \partial \Omega。

下面证明定理A条件3)也满足。

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(Q{N}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L},\Omega \bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,\mathrm{0})=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(H(\cdot ,\mathrm{0}),\Omega \bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,\mathrm{0})=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(H(\cdot ,\mathrm{1}),\Omega \bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,\mathrm{0})=

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(\pm J,\Omega \bigcap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L,\mathrm{0})=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\left|\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{6}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{11}}& \frac{\mathrm{6}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{21}}& \frac{\mathrm{6}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{31}}\\ \frac{\mathrm{24}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{12}}& \frac{\mathrm{24}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{22}}& \frac{\mathrm{24}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{32}}\\ \frac{\mathrm{60}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{13}}& \frac{\mathrm{60}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{23}}& \frac{\mathrm{60}}{\Lambda }{A}_{\mathrm{33}}\end{array}\right|\right)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\pm \frac{\mathrm{8}\mathrm{640}}{\Lambda })=\pm \mathrm{1}\ne \mathrm{0}

则由定理A可知,方程Lu=Nu在D(L)\bigcap \overline{\Omega }中至少存在一个解,即边值问题(1)在C^{\mathrm{2}}[\mathrm{0,1}]中至少存在一个解。

3　 应用举例

例1 考虑边值问题

\left\{\begin{array}{l}u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}{g}_{\mathrm{1}}(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u(t)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}{g}_{\mathrm{2}}(t)u\mathrm{\text{'}}(t)+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}(u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t))+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(u\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}(t))+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(t),t\in [\mathrm{0,1}]\\ u(\mathrm{0})=\mathrm{2}u(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}})-\mathrm{2}u(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}})+u(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}),u(\mathrm{1})=u(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}})-\mathrm{2}u(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}})+\mathrm{2}u(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{9}}),u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0})=\mathrm{2}u(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}})-u(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}})\end{array}\right.(11)

的可解性,其中，。

解 令{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2},{\alpha }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{2},{\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1},{\xi }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}},{\xi }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},{\xi }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}，{\beta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},{\beta }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{2},{\beta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}，{\eta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}，{\eta }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},{\eta }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{9}}，{\gamma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2},{\gamma }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}，{\zeta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},{\zeta }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},则

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\alpha }_i=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\alpha }_i{\xi }_i=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\alpha }_i{{\xi }_i}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\beta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\beta }_j{\eta }_j=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\beta }_j{{\eta }_j}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\gamma }_k=\mathrm{1},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\gamma }_k{\zeta }_k=\mathrm{0}

且\Lambda =\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{9}}^{\mathrm{9}}}\mathrm{499}\mathrm{330}\ne \mathrm{0}，因此满足条件(C₁),(C₂),(C₃),(C₄)。又因为

f(t,x,y,z)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}{g}_{\mathrm{1}}(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}{g}_{\mathrm{2}}(t)y+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}z+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}z,e(t)=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(t)

显然|f(t,x,y,z)|\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}|x|+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}|y|+|z{|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}。

取m(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}},n(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}},p(t)=\mathrm{0},q(t)=\mathrm{1},\vartheta =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},r(t)=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}，易见w=y时，(6)式成立,且

。易验证Q_{\mathrm{1}}(Nu))>\mathrm{0}或成立,条件(H₂)满足。

令N=\mathrm{297}+\mathrm{135}\mathrm{\pi },a,b,c\in \mathbb{R},当|b|>N时,即b>N或。不妨设b>N,易验证Q_{\mathrm{1}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})+Q_{\mathrm{2}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})+Q_{\mathrm{3}}N(a+bt+c{t}^{\mathrm{2}})>\mathrm{0}成立,条件(H₃)满足,由定理1,边值问题(11)在C^{\mathrm{2}}[\mathrm{0,1}]中至少存在一个解。

注 2 详细验证过程与文献[8]例2.1类似,此处省略。

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基金资助

国家自然科学基金(12161079)

2021年甘肃省高校课程思政示范项目(GSkcsz-2021-054)

2020年甘肃省高校教育教学成果培育项目(001010715/161)

甘肃政法大学教学改革一般项目(GZJG2020-B35)