分数阶漂移-扩散模型整体解的Gevrey解析性和衰减率

Gevrey Analyticity and Decay Rates of Global Solutions for Fractional Drift-Diffusion System

摘要

研究了一类分数阶漂移-扩散模型整体解的解析性和衰减率。分数阶漂移-扩散模型是半导体中经典模型Poisson-Nernst-Planck方程组的推广模型，数学形式上表现为分数阶非线性抛物型和二阶椭圆型偏微分方程耦合而成的混合型方程组。利用多线性奇异积分算子理论和Fourier微局部分析，建立了该模型在临界Besov空间中的整体解是Gevrey解析的。作为该结果的直接推论，还得到了此整体解关于时间的衰减率。

Abstract

We mainly study the analyticity and decay rates of global solutions for a class of fractional drift-diffusion system. The system is a generalization of the classical Poisson-Nernst-Planck equations in semiconductor devices, which mathematically exhibits the mixed partial differential equations by the fractional nonlinear parabolic equations coupled with the second-order elliptic equations. By using multilinear singular integral theories and the Fourier localization argument, we show that the global-in-time solutions are Gevrey analytical in critical Besov spaces. As a corollary, we also obtain temporal decay rates of this global solutions.

关键词

分数阶漂移-扩散模型 / 整体解 / Gevrey解析性 / 衰减率

Key words

fractional drift-diffusion system / global solutions / Gevrey analyticity / decay rates

0　 引言与主要结果

本文主要研究经典的漂移-扩散模型的推广模型,其初值问题形式如下

\left\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}v+{\left(-∆\right)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}v=\nabla \bullet \left(w\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right),& x\in {\mathbb{R}}^d,t>\mathrm{0}\\ {\partial }_{t}w+{\left(-∆\right)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}w=\nabla \bullet \left(v\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right),& x\in {\mathbb{R}}^d,t>\mathrm{0}\\ v\left(x,\mathrm{0}\right)=v_{\mathrm{0}}\left(x\right),w\left(x,\mathrm{0}\right)=w_{\mathrm{0}}\left(x\right),& x\in {\mathbb{R}}^d\end{array}\right.(1)

其中,v=v\left(x,t\right)和w=w\left(x,t\right)是未知函数,v_{\mathrm{0}}\left(x\right)和w_{\mathrm{0}}\left(x\right)是给定的初始值函数。分数阶Laplace算子的定义如下

{\left(-∆\right)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}u\left(x\right)≔{\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\left[{\left|\xi \right|}^{\alpha }\mathrm{ℱ}\left(u\right)\left(\xi \right)\right]

其中,\mathrm{ℱ}\left(u\right)=\widehat{u}表示u的Fourier变换,{\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\left(u\right)表示u的Fourier逆变换。

方程组(1)是半导体中刻画带电粒子漂移和扩散现象的经典的Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程组的推广模型

\left\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}N-\mathrm{\Delta }N=-\nabla \bullet \left(N\nabla \varphi \right),& x\in {\mathbb{R}}^d,t>\mathrm{0}\\ {\partial }_{t}P-\mathrm{\Delta }P=\nabla \bullet \left(P\nabla \varphi \right),& x\in {\mathbb{R}}^d,t>\mathrm{0}\\ -∆\varphi =P-N,& x\in {\mathbb{R}}^d,t>\mathrm{0}\\ N\left(x,\mathrm{0}\right)=N_{\mathrm{0}}\left(x\right),P\left(x,\mathrm{0}\right)=P_{\mathrm{0}}\left(x\right),& x\in {\mathbb{R}}^d\end{array}\right.(2)

其中,N=N\left(x,t\right)和P=P\left(x,t\right)分别表示带负电荷和正电荷粒子的密度函数,\varphi表示电子静电势。易见经变换v:=N-P,w:=N+P,即可由方程组(2)推得方程组(1)(对应于\alpha =\mathrm{2}的情形)。作为半导体理论的经典模型,方程组(2)的研究已经很成熟,我们在此介绍一些与本文相关的数学结果。1999年,Karch^[1]证明了PNP方程组在临界Besov空间中的局部适定性和小初值问题的整体适定性。随后Zhao-Liu-Cui^[2]利用Fourier微局部分析方法将上述结果中p的范围改进到了。Deng-Li^[3]在低正则性临界Besov空间中给出了二维PNP方程组适定性和不适定性的完整刻画,即他们证明了PNP方程组在临界Besov空间{\dot{B}}_{\mathrm{4,2}}^{-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\left({\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}\right)中是适定的,而在中是不适定的。相应的高维情形也有类似的结果,见文献[4]。

相比于经典PNP方程组(2)的诸多研究,其推广模型(1)的研究始于近十年。当时,Biler-Karch^[5]建立了单分支分数阶漂移-扩散模型在临界Lebesgue空间L^{\frac{d}{\alpha }}\left({\mathbb{R}}^d\right)中小初值问题的整体适定性,他们还证明了当初值具有大质量或者满足某种集中条件时,其对应的局部解将在有限时间内发生爆破。进一步,Biler-Wu^[6]建立了方程组(1)在二维情形下,小初值问题在临界Besov空间{\dot{B}}_{\mathrm{2},q}^{\mathrm{1}-\alpha }\left({\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}\right)中的整体适定性,Wu-Zheng^[7]证明了方程组(1)在临界Fourier-Herz空间{\dot{\mathrm{ℬ}}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }\left({\mathbb{R}}^d\right)中的局部适定性和小初值问题的整体适定性,并且他们还证明了方程组(1)在临界Fourier-Herz空间{\dot{\mathrm{ℬ}}}_q^{-\mathrm{2}}\left({\mathbb{R}}^d\right)及临界Besov空间中的不适定性。对于分数阶漂移-扩散模型的更多研究可见文献[8~11]。

本文,我们主要研究分数阶漂移-扩散模型(1)在临界Besov空间中整体解的解析性和最优衰减估计。对于方程组(2),Zhao^[12]已经证明了其整体解关于时间的Gevrey解析性和衰减率,即当时,方程组(2)的整体解\left(N,P\right)满足

({\mathrm{e}}^{\sqrt[]{t}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}N,{\mathrm{e}}^{\sqrt[]{t}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}P)\in {\mathrm{ℒ}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{0},\mathrm{\infty };{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{2}+\frac{d}{p}}({\mathbb{R}}^d))\bigcap {\mathrm{ℒ}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0},\mathrm{\infty };{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}}({\mathbb{R}}^d))

其中{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}是Fourier乘子,其象征由{\left|\xi \right|}_{\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^d}\left|{\xi }_i\right|给出。进一步,由解的Gevrey解析性易得其关于时间的最优衰减率

{‖\left({\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\sigma }N\left(t\right),{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\sigma }P\left(t\right)\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{2}+\frac{d}{p}}}\le C_{\sigma }{t}^{-\frac{\sigma }{\mathrm{2}}}{‖\left(N_{\mathrm{0}},P_{\mathrm{0}}\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{2}+\frac{d}{p}}}(3)

其中，C_{\sigma }:={‖{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\sigma }{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}‖}_{L^{\mathrm{1}}},{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}是Fourier乘子,其象征由\left|\xi \right|={\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^d}{\left|{\xi }_i\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}给出。

本文的主要目的是将文献[12]中的结果推广至分数阶漂移-扩散模型(1),并拓展解空间至更广的范围。在给出本文主要结果前,我们先给出齐次Besov空间和Chemin-Lerner型混合时空空间的定义。贯穿全文,我们用符号A\lesssim B表示估计A\le CB,其中C是与所研究问题无关的一致常数,用S\left({\mathbb{R}}^d\right)表示Schwartz速降函数空间,用S\text{'}\left({\mathbb{R}}^d\right)表示S\left({\mathbb{R}}^d\right)的拓扑对偶空间,即Schwartz缓增分布函数空间。

定义1^[13] 设光滑径向函数\phi满足:\mathrm{0}\le \phi \le \mathrm{1},\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\phi \subset C:=\left\{x\in {\mathbb{R}}^d,\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\le \xi \le \frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right\},且

\sum _{j\in \mathit{\mathbb{Z}}}\phi \left({\mathrm{2}}^{-j}\xi \right)=\mathrm{1},\forall \xi \in {\mathbb{R}}^d\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}

令h\left(x\right)={\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\left(\phi \right)\left(x\right)。则对任意的f\in S\text{'}\left({\mathbb{R}}^d\right),定义二进制分解算子{∆}_j和S_j如下：

{∆}_{j}f\left(x\right):={\mathrm{2}}^{dj}{\int }_{{\mathit{ℝ}}^d}h\left({\mathrm{2}}^{j}y\right)f\left(x-y\right)\mathrm{d}y, S_{j}f\left(x\right):=\sum _{k\le j-\mathrm{1}}{∆}_{k}f\left(x\right)

设S_h^{\mathrm{\text{'}}}\left({\mathbb{R}}^d\right)是由满足下面性质的分布函数构成:f\in S\text{'}\left({\mathbb{R}}^d\right)且满足\underset{j\to -\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{S}_{j}f\left(x\right)=\mathrm{0}。再对任意的s\in \mathbb{R},\mathrm{1}\le p,r\le \mathrm{\infty },f\in S\text{'}\left({\mathbb{R}}^d\right),令

则我们定义齐次Besov空间{\dot{B}}_{p,r}^s\left({\mathbb{R}}^d\right)如下：

• 当或者当s=\frac{d}{p}且r=\mathrm{1}时,我们有

• 如果k\in \mathbb{N},或者s=\frac{d}{p}+k+\mathrm{1}且r=\mathrm{1}时,则{\dot{B}}_{p,r}^s\left({\mathbb{R}}^d\right)可定义为满足如下条件的f\in S\text{'}\left({\mathbb{R}}^d\right)的全体构成的空间:对任意的\left|\beta \right|=k,{\partial }^{\beta }f\in {\dot{B}}_{p,r}^{s-k}\left({\mathbb{R}}^d\right)。

定义2 假设,s\in \mathbb{R},\mathrm{1}\le p,r,\rho \le \mathrm{\infty }。则Chemin-Lerner型混合时空空间{\mathrm{ℒ}}^{\rho }\left(\mathrm{0},T;{\dot{B}}_{p,r}^s\left({\mathbb{R}}^d\right)\right)可定义为空间C\left(\left[\mathrm{0},T\right];S\left({\mathbb{R}}^d\right)\right)在如下范数下的完备化函数空间

当\rho =\mathrm{\infty }或r=\mathrm{\infty }时上述范数需做相应的无穷范数的修改。

需要指出的是,上述定义的齐次二进制算子{∆}_j和S_j满足如下的拟正交性质

{∆}_i{∆}_{j}f\equiv \mathrm{0}若\left|i-j\right|\ge \mathrm{2}；{∆}_i\left(S_{j-\mathrm{1}}f{∆}_{j}g\right)\equiv \mathrm{0}若\left|i-j\right|\ge \mathrm{5}

进一步,利用Bony仿积分解^[14],两个缓增分布函数的乘积可在形式上进行如下分解

fg=T_{f}g+T_{g}f+R(f,g)

其中T_{f}g称fg的仿积,可表示为T_{f}g:=\sum _{j\in \mathbb{Z}}{S}_{j-\mathrm{1}}f{∆}_{j}g,T_{g}f是其对称项,R(f,g)称fg的余项,可表示为R(f,g):=\sum _{j\in \mathbb{Z}}{∆}_{j}f{\widetilde{∆}}_{j}g且{\widetilde{∆}}_j:={∆}_{j-\mathrm{1}}+{∆}_j+{∆}_{j+\mathrm{1}}。

本文的主要结果如下：

定理 1 设,,\mathrm{1}\le r\le \mathrm{\infty }且满足条件

(4)

则对任意的\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)\in {\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\left({\mathbb{R}}^d\right)\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}\left({\mathbb{R}}^d\right),存在常数\epsilon >\mathrm{0},使得当{‖\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}\le \epsilon时,方程组(1)存在唯一的整体解\left(v,w\right)\in {\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }\times {\mathit{𝒳}}_{q,r}^{\alpha },其中

{\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }:={\mathrm{ℒ}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{0},\mathrm{\infty };{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}({\mathbb{R}}^d))\bigcap {\mathrm{ℒ}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0},\mathrm{\infty };{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}}({\mathbb{R}}^d))

并且还可得

\left({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v,{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\right)\in {\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }\times {\mathit{𝒳}}_{q,r}^{\alpha }(5)

推论1 在定理1的假设条件下,对任意的\sigma >\mathrm{0},方程组(1)的整体解\left(v,w\right)关于时间满足如下的衰减估计

{‖\left({\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}v\left(t\right),{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}w\left(t\right)\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}\le C_{\sigma }{t}^{-\frac{\sigma }{\alpha }}{‖\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}(6)

其中常数C_{\sigma }:={‖{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}‖}_{L^{\mathrm{1}}}。

1　 定理1的证明

本节我们给出定理1的证明。由于方程组(1)在解空间{\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }\times {\mathit{𝒳}}_{q,r}^{\alpha }中小初值问题解的整体存在性的证明和建立解的Gevrey解析性的证明过程类似,因此我们略去其证明。进一步,要建立解的Gevrey解析性，关键在于建立方程组(1)在算子{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}作用下解的线性和非线性项的估计。对于线性项,文献[10]已经建立了如下的线性估计：

引理 1^[10] 设,\mathrm{1}\le r\le \mathrm{\infty },则对任意的v_{\mathrm{0}}\in {\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\left({\mathbb{R}}^d\right),有

{‖{\mathrm{e}}^{-t{(-∆)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}}{v}_{\mathrm{0}}‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}})}+{‖{\mathrm{e}}^{-t{(-∆)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}}{v}_{\mathrm{0}}‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}})}\lesssim {‖v_{\mathrm{0}}‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}}(7)

为处理非线性项的估计,借鉴文献[15],引入如下的双线性算子

{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left({\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}f{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}g\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{2}\mathrm{\pi }\right)}^d}{\int }_{{\mathbb{R}}^d}{\int }_{{\mathbb{R}}^d}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\bullet (\xi +\eta )}{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }\left({\left|\xi +\eta \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\xi \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\eta \right|}_{\mathrm{1}}\right)}\widehat{f}\left(\xi \right)\widehat{g}\left(\eta \right)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta(8)

对任意的\varsigma =\left({\varsigma }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\varsigma }_d\right),\mu =\left({\mu }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\mu }_d\right),v=\left(v_{\mathrm{1}},\cdots ,v_d\right)\in {\mathbb{R}}^d,其中{\varsigma }_i,{\mu }_i,v_i\in \left\{-\mathrm{1,1}\right\},令

D_{\varsigma }:=\left\{\eta |{\zeta }_i{\eta }_i\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,d\right\}

D_{\mu }:=\left\{\xi |{\mu }_i{\xi }_i\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,d\right\}

D_v:=\left\{\xi +\eta |v_i\left({\eta }_i+{\xi }_i\right)\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,d\right\}

并用{\chi }_D表示区域D上的特征函数,则(8)式可以重新表示为

{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right):=\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{2}\mathrm{\pi }\right)}^d}{\int }_{{\mathbb{R}}^d}{\int }_{{\mathbb{R}}^d}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\bullet (\xi +\eta )}{\mathrm{\chi }}_{D_v}{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }\left({\left|\xi +\eta \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\xi \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\eta \right|}_{\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{\chi }}_{D_{\mu }}\widehat{f}\left(\xi \right){\mathrm{\chi }}_{D_{\varsigma }}\widehat{g}\left(\eta \right)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta(9)

基于等式(9),再引入一维算子：

K_{-\mathrm{1}}f:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\widehat{f}\left(\xi \right)\mathrm{d}\xi, K_{\mathrm{1}}f:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\widehat{f}\left(\xi \right)\mathrm{d}\xi

L_{t,{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}}}f:=\left\{\begin{array}{ll}f,& {\epsilon }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{t}^{\mathrm{1}/\alpha }{\left|\xi \right|}_{\mathrm{1}}}\widehat{f}\left(\xi \right)\mathrm{d}\xi ,& {\epsilon }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}\end{array}\right.

并且对任意的t>\mathrm{0},引入符号

Z_{t,\varsigma ,\mu }:=K_{{\mu }_{\mathrm{1}}}{L}_{t,{\varsigma }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\mu }_d}{L}_{t,{\varsigma }_d,{\mu }_d}

上述张量积表示等式右边第j个算子作用于函数f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_d\right)的第j个变量x_j。由奇异积分算子理论可知双线性算子{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right)可进一步表示为

{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right)=\sum _{\varsigma ,\mu ,v\in {\left\{-\mathrm{1,1}\right\}}^{d\times \mathrm{3}}}{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }f{Z}_{t,\varsigma ,v}g\right)

注意到\xi +\eta \in D_v,\xi \in D_{\mu }和\eta \in D_{\varsigma },从而{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }\left({\left|\xi +\eta \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\xi \right|}_{\mathrm{1}}-{\left|\eta \right|}_{\mathrm{1}}\right)}一定属于集合

\mathit{𝔼}:=\left\{\mathrm{1},{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{t}^{\mathrm{1}/\alpha }{\left|{\xi }_i+{\eta }_i\right|}_{\mathrm{1}}},{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{t}^{\mathrm{1}/\alpha }{\left|{\xi }_i\right|}_{\mathrm{1}}},{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{t}^{\mathrm{1}/\alpha }{\left|{\eta }_i\right|}_{\mathrm{1}}},i=\mathrm{1,2},\cdots ,d\right\}

用{\mathrm{ℳ}}_p表示L^p空间上所有Fourier乘子所构成的线性空间,其上范数定义为

{‖f‖}_{{\mathrm{ℳ}}_p}:=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{{‖{\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\left(f\mathrm{ℱ}g\right)‖}_{L^p}:\forall g\in S\left({\mathbb{R}}^d\right),{‖g‖}_{L^p}=\mathrm{1}\right\}

则易见{\mathrm{𝒳}}_{D_{\varsigma }},{\mathrm{𝒳}}_{D_{\mu }},{\mathrm{𝒳}}_{D_v}以及集合\mathit{𝔼}中的元素都是上的Fourier乘子,因此上述引入的算子K_{\varsigma }和Z_{t,\varsigma ,\mu }都是L^p\left({\mathbb{R}}^d\right)上的有界线性算子,且Z_{t,\varsigma ,\mu }对应的算子范数关于时间t\ge \mathrm{0}是一致有界的。从而对任意的满足\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{p},我们有

{‖{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right)‖}_{L^p}\lesssim {‖Z_{t,\varsigma ,\mu }f{Z}_{t,\varsigma ,v}g‖}_{L^p}\lesssim {‖f‖}_{L^{p_{\mathrm{1}}}}{‖g‖}_{L^{p_{\mathrm{2}}}}

基于{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right)的这一良好性质,下面给出方程组(1)中非线性项的估计。

引理 2 设,,\mathrm{1}\le r\le \mathrm{\infty }且满足条件,则

{‖w\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\mathrm{1}+\frac{d}{p}})}\lesssim {‖w‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{q,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}{‖v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}})}+{‖w‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{q,r}^{\frac{d}{q}})}{‖v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(10)

证 注意到当\alpha =\mathrm{2},时,文献[12]已经给出了(10)式的证明。下面我们证明更一般的情形。令W\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\left(t\right),V\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v\left(t\right),利用Bony仿积分解可得

{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left(w\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left({\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}W{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}V\right):=I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}

其中，

I_{\mathrm{1}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left(S_{j\text{'}-\mathrm{1}}W,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)

I_{\mathrm{2}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}W,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)

I_{\mathrm{3}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}W,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)

下面利用双线性算子{\mathrm{ℬ}}_t\left(f,g\right)在中的有界性估计上式各项。简单起见,我们省略了求和符号\sum _{\varsigma ,\mu ,v\in {\left\{-\mathrm{1,1}\right\}}^{d\times \mathrm{3}}}。对于第一项I_{\mathrm{1}},由Fourier变换易知张量运算K_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}和二进制算子{∆}_j可以交换次序,并由Z_{t,\varsigma ,v},K_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}在L^p\left({\mathbb{R}}^d\right)上的有界性可得

{‖{∆}_j{I}_{\mathrm{1}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}W{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}W‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{\mathrm{\infty }}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}k}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{k}W‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^q\right)}{\mathrm{2}}^{-j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\left(-\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\alpha k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{q}\right)k}{‖{∆}_{k}W‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^q\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖W‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{q,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}（11）

为计算第二项I_{\mathrm{2}},我们考虑以下两种情形：当时,直接估计可得

{‖{∆}_j{I}_{\mathrm{2}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim {\mathrm{2}}^{\left(\frac{d}{q}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\frac{d}{q}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{\mathrm{\infty }}\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\frac{d}{q}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(-\mathrm{1}+\frac{d}{p}\right)k}{‖Z_{t,\varsigma ,v}{∆}_{k}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\frac{d}{q}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{-\frac{d}{q}j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}\right)k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)k}{‖{∆}_{k}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}{‖V‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(12)

而当q>p时,由条件可得

\begin{array}{l}{‖{∆}_j{I}_{\mathrm{2}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{pq/(q-p)}\right)}\lesssim \\ \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{-k+\left(\frac{d}{p}-\frac{d(q-p)}{pq}\right)k}{‖Z_{t,\varsigma ,v}{∆}_{k}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim \\ \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{-\frac{d}{q}j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}+\frac{d}{q}\right)k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)k}{‖{∆}_{k}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}{‖V‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}\end{array}(13)

对于余项I_{\mathrm{3}},由条件可得

\begin{array}{l}{‖{∆}_j{I}_{\mathrm{3}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^q\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\frac{d}{q}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}-\frac{d}{q}\right)j\text{'}}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{q}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}W‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^q\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{p}-\frac{d}{q}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖W‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{q,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\end{array}(14)

结合上述估计(11)~(14)式，即得(10)式。引理2得证。

引理 3 设,,\mathrm{1}\le r\le \mathrm{\infty },且满足条件,则

{‖u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v+v\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{q,r}^{\mathrm{1}-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}\lesssim {‖u‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}{‖v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}})}+{‖u‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{\frac{d}{p}})}{‖v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(15)

证 我们分为下面两种情形来证明引理3。

情形1 当时,注意到(15)式左端项的对称性

u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v+v\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u=-\nabla \bullet \left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)

并且利用Besov空间的嵌入关系：{\dot{B}}_{p,r}^{\mathrm{2}-\alpha +\frac{d}{p}}({\mathbb{R}}^d)\hookrightarrow {\dot{B}}_{q,r}^{\mathrm{2}-\alpha +\frac{d}{q}}({\mathbb{R}}^d),可得

{‖\nabla \bullet \left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\dot{B}}_{q,r}^{\mathrm{1}-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}\approx {‖\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\dot{B}}_{q,r}^{\mathrm{2}-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{q}})}\lesssim {‖\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{1}}({\dot{B}}_{p,r}^{\mathrm{2}-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}

令U\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}u\left(t\right),V\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v\left(t\right),并利用Bony仿积分解可得

{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}u\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left({\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}U{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}V\right):=J_{\mathrm{1}}+J_{\mathrm{2}}+J_{\mathrm{3}}

其中，

J_{\mathrm{1}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)

J_{\mathrm{2}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)

J_{\mathrm{3}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left(\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)

对于第一项J_{\mathrm{1}},直接估计可得

{‖{∆}_j{J}_{\mathrm{1}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{\mathrm{\infty }}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(-\mathrm{1}+\frac{d}{p}\right)k}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{k}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{-j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\left(-\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}\right)k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)k}{‖{∆}_{k}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}(16)

第二项J_{\mathrm{2}}的估计可用同样的方法得到。对于余项J_{\mathrm{3}},当时,取使得\frac{\mathrm{1}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{p\text{'}}=\mathrm{1},然后估计如下

{‖{∆}_j{J}_{\mathrm{3}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(d-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^{\mathrm{1}}\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(d-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{p\text{'}}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(d-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -d-\mathrm{2}\right)j\text{'}}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -d-\mathrm{2}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}(17)

而当p\ge \mathrm{2}时,直接估计得

{‖{∆}_j{J}_{\mathrm{3}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^{p/\mathrm{2}}\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\frac{\mathrm{2}d}{p}-\mathrm{2}\right)j\text{'}}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{p}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\frac{\mathrm{2}d}{p}-\mathrm{2}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(18)

结合估计(16)~(18)式，即得(15)式。

情形2 当时,估计会很复杂,主要困难在于余项的估计,我们将利用方程特有的代数结构解决此问题。同样,令U\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}u\left(t\right),V\left(t\right):={\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v\left(t\right),并利用Bony仿积分解可得

{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\left({\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}U{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}V+{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}V{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}U\right):={\tilde{J}}_{\mathrm{1}}+{\tilde{J}}_{\mathrm{2}}+{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}

其中，

{\tilde{J}}_{\mathrm{1}}:=\sum _{j{\text{'}}\in \mathit{\mathbb{Z}}}{\mathit{ℬ}}_t\left(S_{j\text{'}-\mathrm{1}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)+\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left(S_{j\text{'}-\mathrm{1}}V,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U\right)

{\tilde{J}}_{\mathrm{2}}:=\sum _{j{\text{'}}\in \mathit{\mathbb{Z}}}{\mathit{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)+\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}V,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U\right)

{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}:=\sum _{j{\text{'}}\in \mathit{\mathbb{Z}}}{\mathit{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)+\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\mathrm{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}V,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}U\right)

由于U,V在{\tilde{J}}_{\mathrm{1}}和{\tilde{J}}_{\mathrm{2}}中的地位一致,因此只需处理{\tilde{J}}_{\mathrm{1}}和{\tilde{J}}_{\mathrm{2}}的第一项,其余两项可类似进行估计。由条件可得

{‖\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{∆}_j{\mathrm{ℬ}}_t\left(S_{j\text{'}-\mathrm{1}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{pq/(p-q)}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\left(-\mathrm{1}-\frac{d}{p}\right)j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha +\frac{d}{p}-\frac{d}{q}\right)k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)k}{‖{∆}_{k}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}{‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}

{‖\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{∆}_j{\mathrm{ℬ}}_t\left({∆}_{j\text{'}}U,\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^{p)}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{S}_{j\text{'}-\mathrm{1}}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{pq/(p-q)}\right)}\lesssim

\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{-\frac{d}{p}j\text{'}}\sum _{k\le j\text{'}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha +\frac{d}{p}-\frac{d}{q}-\mathrm{1}\right)k}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)k}{‖{∆}_{k}V‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim

{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}{‖V‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}

从而可知对i=\mathrm{1,2},我们有

{‖{∆}_j{\tilde{J}}_i‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{\left|j\text{'}-j\right|\le \mathrm{4}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}\left({‖{∆}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}+{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\right){‖\left(U,V\right)‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(19)

对于余项{\tilde{J}}_{\mathrm{3}},注意到方程组(1)中的第二个方程关于w是依赖于v的线性方程,且非线性项\nabla \bullet \left(v\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)具有如下对称性

\begin{array}{l}{\partial }_{x_i}v{\partial }_{x_i}{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\partial }_{x_i}\left(-∆\right)\left\{\left({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)\left({\partial }_{x_i}{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)\right\}+\\ {\partial }_{x_i}\nabla \bullet \left\{\left({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)\left(\nabla {\partial }_{x_i}{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\partial }_{x_i}^{\mathrm{2}}\left\{\left({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}v\right)v\right\}\end{array}

因此，借鉴文献[16],对m=\mathrm{1,2},\cdots ,d,可将{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}进一步分解为

{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}:={\tilde{J}}_{\mathrm{31}}+{\tilde{J}}_{\mathrm{32}}+{\tilde{J}}_{\mathrm{33}}

其中，

{\tilde{J}}_{\mathrm{31}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}\left(-∆\right)\left\{{\mathrm{ℬ}}_t({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U,{\partial }_{x_m}{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V)\right\}

{\tilde{J}}_{\mathrm{32}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}\mathrm{2}\nabla \bullet \left\{{\mathrm{ℬ}}_t({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U,{\partial }_{x_m}\nabla {\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V)\right\}

{\tilde{J}}_{\mathrm{33}}:=\sum _{j\text{'}\in \mathbb{Z}}{\partial }_{x_m}\left\{{\mathrm{ℬ}}_t({\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U,{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V)\right\}

基于上述分解,对于第一项{\tilde{J}}_{\mathrm{31}},直接估计可得

\begin{array}{l}{‖{∆}_j{\tilde{J}}_{\mathrm{31}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}{\partial }_m{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{pq/(p-q)}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}{\partial }_m{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\mathrm{2}j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{3}-\frac{d}{q}\right)j\text{'}}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{3}-\frac{d}{q}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{3}-\frac{d}{q}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}\end{array}

而对于{\tilde{J}}_{\mathrm{32}}\left({\tilde{J}}_{\mathrm{33}}\right),我们有

\begin{array}{l}{‖{∆}_j{\tilde{J}}_{\mathrm{32}}\left({∆}_j{\tilde{J}}_{\mathrm{33}}\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim {\mathrm{2}}^j\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖{∆}_j{K}_{{\varsigma }_{\mathrm{1}}}\otimes \cdots \otimes K_{{\varsigma }_d}\left(Z_{t,\varsigma ,\mu }{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U{Z}_{t,\varsigma ,v}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V\right)‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^j\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{‖Z_{t,\varsigma ,\mu }{\left(-∆\right)}^{-\mathrm{1}}{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^{pq/(p-q)}\right)}{‖Z_{t,\varsigma ,v}{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^j\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{q}\right)j\text{'}}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{q}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\left(-\alpha +\frac{d}{p}\right)j\text{'}}{‖{∆}_{j\text{'}}U‖}_{L_t^{\mathrm{\infty }}\left(L^p\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}\lesssim \\ {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{2}-\frac{d}{q}\right)\left(j\text{'}-j\right)}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}\end{array}

合并上述估计可得余项{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}的估计为

{‖{∆}_j{\tilde{J}}_{\mathrm{3}}‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^q\right)}\lesssim {\mathrm{2}}^{\left(\alpha -\mathrm{1}-\frac{d}{q}\right)j}\sum _{j\text{'}\ge j-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}^{\frac{d}{p}j\text{'}}{‖{\widetilde{∆}}_{j\text{'}}V‖}_{L_t^{\mathrm{1}}\left(L^p\right)}{‖U‖}_{{\mathrm{ℒ}}_t^{\mathrm{\infty }}({\dot{B}}_{p,r}^{-\mathrm{\alpha }+\frac{d}{p}})}(20)

结合(19),(20)式，我们即得(15)式。引理3得证。

最后，由估计(7),(10)和(15)式可知：存在两个正常数C_{\mathrm{0}}和C_{\mathrm{1}}使得

{‖\left({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v,{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\right)‖}_{{\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }\times {\mathit{𝒳}}_{q,r}^{\alpha }}\le C_{\mathrm{0}}{‖\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}+C_{\mathrm{1}}{‖\left({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v,{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\right)‖}_{{\mathit{𝒳}}_{p,r}^{\alpha }\times {\mathit{𝒳}}_{q,r}^{\alpha }}^{\mathrm{2}}(21)

一旦我们得到了估计(21),则可利用Banach不动点定理证明当初值充分小时,方程组(1)存在唯一的整体解满足(5)。定理1得证。

2　 推论1的证明

一方面,由文献[10]可知,对任意的\sigma \ge \mathrm{0},,有{‖K_{\sigma }\left(t\right)‖}_{L^{\mathrm{1}}}\le C_{\sigma }{t}^{-\frac{\sigma }{\alpha }}。其中，C_{\sigma }:={‖{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}‖}_{L^{\mathrm{1}}},K_{\sigma }\left(t\right)\in L^{\mathrm{1}}\left({\mathbb{R}}^d\right)(t>\mathrm{0})是卷积算子{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}所对应的核函数。另一方面,由定理1可知,如果初值\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)\in {\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\left({\mathbb{R}}^d\right)\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}\left({\mathbb{R}}^d\right)充分小,则解\left(v,w\right)是Gevrey解析的,因此

{‖{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}v\left(t\right),{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}w\left(t\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}={‖\left({\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v\left(t\right),{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\sigma }}{\mathrm{e}}^{-t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\left(t\right)\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}\le

C_{\sigma }{t}^{-\frac{\sigma }{\alpha }}{‖\left({\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}v\left(t\right),{\mathrm{e}}^{t^{\mathrm{1}/\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1}}}w\left(t\right)\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}\le C_{\sigma }{t}^{-\frac{\sigma }{\alpha }}{‖\left(v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)‖}_{{\dot{B}}_{p,r}^{-\alpha +\frac{d}{p}}\times {\dot{B}}_{q,r}^{-\alpha +\frac{d}{q}}}

推论1得证。

3　 结 语

本文主要建立了分数阶漂移-扩散模型在低正则性临界Besov空间中小初值问题整体解的Gevrey解析性和最优衰减率。通过寻找合适的Chemin-Lerner混合型时空空间作为分数阶漂移-扩散模型解的存在空间,剖析方程组非线性项特有的代数结构,借助Fourier微局部分析和Bony仿积分解技巧对非线性项进行有效估计,最后结合Banach不动点定理建立方程组(1)整体解的Gevrey解析性,得到了解的最优衰减估计。该结果不仅将文献[12]中的结果推广至更一般的分数阶漂移-扩散模型,还容许初值v_{\mathrm{0}}和w_{\mathrm{0}}具有不同的可积性和正则性指标,从而更深层面上揭示带电粒子密度函数v和w之间的耦合关系。

参考文献

[1] KARCH G. Scaling in nonlinear parabolic equations ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1999， 234（2）： 534-558. DOI：10.1006/jmaa.1999.6370 .

[2] ZHAO J H， LIU Q， CUI S B. Existence of solutions for the Debye-Hückel system with low regularity initial data ［J］. Acta Applicandae Mathematicae， 2013， 125（1）： 1-10. DOI：10.1007/s10440-012-9777-0 .

[3] DENG C， LI C M. Endpoint bilinear estimates and applications to the two-dimensional Poisson-Nernst-Planck system ［J］. Nonlinearity， 2013， 26（11）： 2993-3009. DOI：10.1088/0951-7715/26/11/2993 .

[4] IWABUCHI T， OGAWA T. Ill-posedness issue for the drift diffusion system in the homogeneous Besov spaces ［J］. Osaka Journal of Mathematics， 2016， 53（4）： 919-939.

[5] BILER P， KARCH G. Blowup of solutions to generalized Keller-Segel model ［J］. Journal of Evolution Equations， 2010， 10（2）： 247-262. DOI：10.1007/s00028-009-0048-0 .

[6] BILER P， WU G. Two-dimensional chemotaxis models with fractional diffusion ［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2009， 32（1）： 112-126. DOI：10.1002/mma.1036 .

[7] WU G， ZHENG X X. On the well-posedness for Keller-Segel system with fractional diffusion ［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2011， 34（14）： 1739-1750. DOI：10.1002/mma.1480 .

[8] ZHAI Z C. Global well-posedness for nonlocal fractional Keller-Segel systems in critical Besov spaces ［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2010， 72（6）： 3173-3189. DOI：10.1016/j.na.2009.12.011 .

[9] ZHAO J H， LIU Q. On the Cauchy problem for the fractional drift-diffusion system in critical Besov spaces ［J］. Applicable Analysis， 2014， 93（7）： 1431-1450. DOI：10.1080/00036811.2013.833608 .

[10] ZHAO J H. Well-posedness and Gevrey analyticity of the generalized Keller-Segel system in critical Besov spaces ［J］. Annali Di Matematica Pura Ed Applicata， 2018， 197（2）： 521-548. DOI：10.1007/s10231-017-0691-y .

[11] ZHAO J H. Global existence of large solutions for the generalized Poisson-Nernst-Planck equations ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2021， 498（1）： 124943-124957. DOI：10.1016/j.jmaa.2021.124943 .

[12] ZHAO J H. Gevrey regularity of mild solutions to the parabolic-elliptic system of drift-diffusion type in critical Besov spaces ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2017， 448（2）： 1265-1280. DOI：10.1016/j.jmaa.2016.11.050 .

[13] BAHOURI H， CHEMIN J Y， DANCHIN R. Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations ［M］. Berlin： Springer， 2011. DOI：10.1007/978-3-642-16830-7 .

[14] BONY J M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations Aux dérivées partielles non linéaires ［J］. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure， 1981， 14（2）： 209-246. DOI：10.24033/asens.1404 .

[15] BAE H， BISWAS A， TADMOR E. Analyticity and decay estimates of the navier-stokes equations in critical Besov spaces ［J］. Archive for Rational Mechanics and Analysis， 2012， 205（3）： 963-991. DOI：10.1007/s00205-012-0532-5 .

[16] IWABUCHI T. Global well-posedness for Keller-Segel system in Besov type spaces ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2011， 379（2）： 930-948. DOI：10.1016/j.jmaa.2011.02.010 .

基金资助

国家自然科学基金(11961030)

陕西省自然科学基础研究计划-面上项目(2022JM-034)

陕西省教育厅自然科学专项科研计划(21JK0479)