客户到达率分布未知和服务容量可调整的超额预售决策

Overbooking Strategy with Customer Arrival Rate Distribution Unknown and Service Capacity Adjustable

摘要

超额预售（简称“超售”）策略是服务企业提高自身利润，降低服务资源浪费的常用收益管理策略。针对客户到达率具体分布未知条件下企业超额预售决策问题，利用鲁棒优化方法构建了相关报童模型，对服务容量可调整的超售决策进行了分析，通过对模型的计算得出了使企业期望利润最大的超售决策组合。结果表明，当服务价格、惩罚成本及客户到达率均值方差满足一定数量关系时，采取超售策略能够使企业获得更多的利润。此外，分布未知情况下的最优决策在客户到达率波动较大时有着更好的效益。

Abstract

The overbooking strategy is a common revenue management strategy for service providers to improve their own profits and reduce the waste of service resources. In this paper, the robust optimization method is employed to construct the relevant newsboy model, aiming at the strategy-making problem of enterprise overbooking in situations where the distribution of customer arrival rates is unknown. The overbooking strategy with adjustable service capacity is analyzed, and the overbooking strategy that maximizes the expected profit of the enterprise is obtained by calculating the model. The results show that overbooking strategy can make the enterprise more profitable when the service price, penalty cost, and the mean-variance of customer arrival rate satisfy a particular quantitative relationship. In addition, the optimal strategy for unknown distribution has better benefits when the customer arrival rate fluctuates wildly.

Graphical abstract

关键词

超额预售 / 报童模型 / 分布未知情况

Key words

overbooking / newsboy model / unknown distribution

0　 引 言

服务业供需匹配问题一直是管理学界探讨的热点问题。一方面，需求本身因其不确定性无法进行精确预测；另一方面，服务过程作为易逝商品，在一个服务周期结束后无法作为存货继续产生价值^[1]。业界通过提高需求预测能力和采取预定策略来降低供应与需求匹配风险。然而，即使是预定策略也无法保证客户能够准时到达，而出现“爽约（no-show）”现象，民航业在飞机起飞前有5%~15%的旅客因其自身原因改签或取消行程^[2]，最终导致航班座位资源的浪费。为降低资源的浪费，企业则以超过服务容量来销售（超额预售）服务过程，可有效地降低客户“爽约”带来资源空置浪费的风险，有研究表明超额预售（简称“超售”）策略为商业航空公司贡献了大约10%的额外收入^[3]。此外，对超售策略而言，当到达的客户数量超过服务容量时，企业将不得不拒绝一部分的客户，由此需要承担相应的赔偿或声誉损失。因此，如何更加合理地使用超售策略是学者关注的热点话题。

超售策略作为服务企业提高自身利润、降低资源浪费的有效策略，众多学者对其模型进行了详细的研究。Beckmann^[4]和Thompson^[5]通过平衡“no-show”损失与超售成本之间的关系，在特定的旅客到达分布条件下构建了静态超售模型，并提出了近似的最优超售条件以达到增加企业营收的目的。Laganga^[6]在研究诊所超额预约问题时，假设病人的到达情况服从二项分布，基于此构建病人到达与诊所服务效率的相关模型，得出了最有益于诊所工作效率的超额预约量。除了二项分布外，也有不少学者将客户到达情况假设为其他确定性分布。顾建庄^[7]在优化其建立的超售模型时假设客户到达率服从均匀分布，并求解出期望利润最大的超售限制条件。在周世平^[8]的研究中，直接将客户到达情况假设为已知的分布，构建标准报童模型对企业的最优超额预售情况进行分析。Natarajan等^[9]在报童模型中需求函数分布未知的场景下，运用分布鲁棒方法计算出报童模型订单量的表达式。Zhang等^[10] 将超售策略应用到大学录取的场景当中，以尽可能多地增加录取后入学的学生数量，从而提升大学营收情况，结果表明超售策略能够为大学营收情况带来不小的正向影响。Tse等^[11]构建了一个考虑散客的餐厅超售决策模型，根据客户实际到达数量设置了正常容量与拥挤容量两种情况，并对上述两种情况进行分析，得出了能最大程度提高餐厅预期总收入的预定限制。Wang^[12]将超售策略与延迟交货策略相结合，并应用在集装箱运输场景中，通过灵活地调整当期运输或存储的货物数量，降低了运输过程的成本。He^[13]将航线的服务容量与超额预售量同时作为决策变量进行讨论，可以有效改善航空公司的预期利润。

从已有文献研究可以看出，超售策略的应用基本建立在客户到达率分布已知的条件下，且主要考虑到达率服从均匀分布、二项分布。但是在现实中，企业较难捕捉到准确的客户信息，从现有的统计量（均值与标准差）很难准确判断客户需求分布特征。随着市场规模不断扩大，在客户到达信息不完备的情况下，尤其客户到达率分布特征未知下，服务企业应如何确定超额预售策略是一个重要的课题。同时，随着企业服务规模的变化，服务容量可调整的企业应如何使用超售策略优化自身决策以获得更高的利润也是现阶段亟待解决的一个问题。鉴于此，本文将从客户到达率分布未知的视角切入到问题的研究中，采用鲁棒优化方法^[14，15]确定客户到达率分布未知情况下的最优超售策略。在研究服务企业超售策略的同时，探讨服务企业服务容量可调整对超售策略的影响，并对最终决策变量进行调整得出符合更多服务企业的决策结果，尽可能使结果适用于更多的服务企业当中，对服务企业在未知客户到达率分布时的决策提供一定的理论指导。

1　 问题描述与前提假设

本文以服务企业的超售决策为背景，探讨客户到达率分布未知且企业服务容量可调整情形下企业超售决策问题。在服务开始前，服务企业确定服务容量K和接收预定量b（K\le b），单位服务价格为p，若客户实际到达量超过企业服务容量时，企业会拒绝超出服务容量的客户，设因拒绝客户而产生的惩罚成本为r(r>p)，其中r包含对顾客的赔偿及其他成本。

为方便问题的讨论，作出如下假设：H1 假设客户到达率为q，服务企业仅知道客户到达率的均值\mu与方差{\sigma }^{\mathrm{2}}，但其分布未知；H2 假设所有预售量均能被客户接受，单位服务价格p、单位成本c及惩罚成本r为外生变量；H3 假设惩罚成本r与服务价格p正相关，用r=\alpha p表示，\alpha表示惩罚系数，由于r>p，因此\alpha >\mathrm{1}。

本文分析以下三种情形：① 服务容量K不变，接收预订量b为决策变量；② 企业接收预定量b不变，服务容量K可变为决策变量；③ 企业接收预定量b与服务容量K均可变，且先决定服务容量K后决定收预定量b。本文模型中涉及的数学符号及说明如表1所示。

2　 模型分析

超售模型可以看作在一个经典的报童模型上通过增加惩罚项得到，本节将对分布未知情况下的企业超售决策进行建模，并且在模型中对服务容量可调整、接收预定量可调整和两者均可调整的服务企业分别求解最优决策量。下面将对分布未知情况下的超售决策进行建模与求解，得出相对保守的超售策略。分别考虑服务总成本与服务容量K呈线性（2.2节）与非线性（2.3节）下的超售决策问题，对比分析不同成本结构对超售策略影响，进一步对比分布未知与分布已知（2.4节）情况下企业超售决策的区别。

2.1　分布未知决策模型

在上述问题描述的条件下，服务企业的利润函数表示如下：

\Pi \left(K,b\right)=p\times \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{qb,K\right\}-\alpha p{\left(qb-K\right)}^{+}-cK（1）

其中\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{qb,K\}=\left(qb-{\left(qb-K\right)}^{+}\right)，因此服务企业的利润函数可以改写为：

\Pi \left(K,b\right)=pqb-\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\left(qb-K\right)}^{+}-cK（2）

为了能够更清晰地对比在不同条件下企业利润的高低，将对企业的期望利润进行比较，其期望利润可以写做：

E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)=p\mu b-\left(\alpha +\mathrm{1}\right)pE{\left(qb-K\right)}^{+}-cK（3）

由于客户到达率q的分布未知，为了找出最为保守的预定量（容量）制定策略，本文将对客户到达率分布最差情况下的最优接收预定量的设置进行分析，同时对企业先后决策其接收预定量与服务容量的情况进行计算，寻找最优决策组合。其中，最差分布是指使企业期望利润最小的客户到达率的概率分布。鉴于此，将决策模型表示为：

\underset{\mathrm{0}\le K\le b}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{F\in \Gamma }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}E(\Pi \left(K,b\right))（4）

其中，\Gamma表示均值为\mu、方差为{\sigma }^{\mathrm{2}}的所有分布的集合，该决策模型可以清晰地表示在使期望利润最小且满足客户到达率均值方差条件情况下的最优接收预定量（或最优服务容量）决策。根据Scarf^[14]在文章中提及的最大-最小值方法以及Guillermo^[15]等给出的进一步推导可以有效地对上述决策模型进行求解。

首先借助以下两个引理对决策模型的最小值部分进行分析。

引理1 决策模型的最小值可以表示为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)=p\mu b-

\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p\frac{\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}-\left(K-\mu b\right)}{\mathrm{2}}-cK（5）

证 观察期望利润函数表达式（3）可以发现，其中只有E{\left(qb-K\right)}^{+}是期望形式，因此对其单独进行分析即可得到期望函数的最小值情况。由于E{\left(qb-K\right)}^{+}=\frac{E\left|qb-K\right|-\left(\mathrm{\mu }b-K\right)}{\mathrm{2}}，根据柯西-施瓦茨不等式易得E\left|qb-K\right|\le \sqrt[]{E{\left(qb-K\right)}^{\mathrm{2}}}=\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}，将该式代入到期望利润函数表达式（3）中后取最下界，即得引理1的结果。

引理2 存在分布F^{*}\in \Gamma的一个两点分布，使得引理1成立，两点分布特征如下：

F^{*}=\left\{\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{1}}=\frac{K-\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}}{b},\beta \\ q_{\mathrm{2}}=\frac{K+\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}}{b},\mathrm{1}-\beta \end{array}\right.（6）

其中，\beta =\frac{\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}+K-\mu b}{\mathrm{2}\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}}。

证 根据两点分布特征分别计算F^{*}的均值和方差，F^{*}均值q_{\mathrm{1}}\beta +q_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}-\beta \right)=\mu，方差E\left(x^{\mathrm{2}}\right)-{\left(Ex\right)}^{\mathrm{2}}=q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\beta +q_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}-\beta \right)-{\mu }^{\mathrm{2}}={\sigma }^{\mathrm{2}}，符合客户到达率均值与方差要求，同理计算绝对值的期望E\left|qb-K\right|=\left|q_{\mathrm{1}}b-K\right|\beta +\left|q_{\mathrm{2}}b-K\right|\left(\mathrm{1}-\beta \right)=\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-\mu b\right)}^{\mathrm{2}}}，满足柯西-施瓦茨不等式的取等条件，即该两点分布可以满足企业期望利润最小。

根据引理1和引理2，我们找到了一个可以使企业期望利润函数最小的分布，解决了决策模型中最小值问题。

2.2　线性情形

下面分析如何求解最大值函数（外函数）。在一个服务周期开始之前，企业可以仅决策接收预定量b或服务容量K中的一个，也可以对两个变量进行先后决策（先接收预定后调整服务容量）。假设总成本与服务容量K呈线性关系，因此，得到如下命题。

命题1

① 当服务容量K固定不变时，服务企业最优地接收预定量b^{*}=\frac{\mu K}{{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}-\frac{\sigma \left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\sqrt[]{A}})，其中A=\frac{{\left({\alpha }^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}；

② 当接收预定量b已知时，其最优的服务容量K^{*}=b\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sigma \left(\frac{\sqrt[]{B}}{c}+\frac{c}{\sqrt[]{B}}\right)\right)，其中B=c\left(\alpha p+p-c\right)；

③ 当服务容量K与接收预定量b先后决策时，企业最优期望利润是服务容量K线性增函数。

证 根据上文分析可知企业在最差两点分布下的期望利润函数E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)如（5）式所示，首先为讨论在不同服务企业类型（不同决策变量）情况下企业超售的最优决策存在性问题，针对利润函数分别对服务容量K及接收预定量b求二阶导数可得：

（7）

（8）

由（7）式和（8）式可知，企业期望利润函数存在凹性，即在服务容量K固定不变与企业已知接收预订量的两种条件下均存在一个特定的接收预订量b^{*}（或服务容量K^{*}）可以使企业期望利润取得最大值。对利润函数分别针对接收预定量b和服务容量K求一阶导数，令该式等于零，得到两种决策方式下的最优条件：

\frac{\partial E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)}{\partial b}=\frac{p\left(-\mu \left(\alpha -\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)b^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}Kb\mu +K^{\mathrm{2}}}+\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\left(K\mu -b{\mu }^{\mathrm{2}}-b{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)\right)}{\mathrm{2}\sqrt[]{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)b^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}Kb\mu +K^{\mathrm{2}}}}=\mathrm{0}\to b^{*}（9）

\frac{\partial E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)}{\partial K}=\frac{p\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\left(b\mu +\sqrt[]{b^{\mathrm{2}}{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}Kb\mu +K^{\mathrm{2}}}-K\right)}{\mathrm{2}\sqrt[]{b^{\mathrm{2}}{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}Kb\mu +K^{\mathrm{2}}}}-c=\mathrm{0}\to K^{*}（10）

命题1中①和②得证。

当服务容量K与接收预订量b先后决策变化时，需要先计算出接收预定量b的最优情况，再回代到利润函数中得出最优服务容量K^{*}。根据该求解过程发现，将接收预定量的最优情况b^{*}代入到期望利润函数后，企业期望利润函数变为关于服务容量K的线性增函数，如（11）式所示：

E\left(\Pi \left(K,b^{*}\right)\right)=

\frac{\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p-c\right){\sigma }^{\mathrm{2}}+\left(p-c\right){\mu }^{\mathrm{2}}-\sqrt[]{A}p\sigma \right]K}{{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}（11）

易知两个决策变量具有较强的相关性，企业最优期望利润是服务容量K的线性增函数，命题1中③得证。

超售策略因其超过企业服务容量的特征，当超额的用户到达而服务容量明显不足时，或者说当客户到达率超过一定阈值时，会出现企业无法满足客户需求的情形，需要给超出服务容量的客户提供赔偿，由此采取超售策略会给企业带来利润损失，因此采取超售策略并不总是优于不采取超售策略。定义E({\Pi }_{N\mathrm{1}})=K\mu p-cK表示不采取超额策略企业期望利润，与命题1中超额策略下最优期望利润对比，可以得到如下命题。

命题2 在服务容量保持不变,企业决策预定量b可变情形下，惩罚价格比时,采取超售策略优于不采取超售策略；在企业接收预定量b不变，服务容量K（决策变量为K）可变情形下，惩罚系数时，采取超售策略优于不采取超售策略。

证 当企业服务容量K不变时，不采取超售策略的企业期望利润表达式为E({\Pi }_{N\mathrm{1}})=K\mu p-cK。将企业在服务容量K固定不变时，超售策略期望利润E(\Pi \left(K,b^{*}\right))后与不采取超售策略的期望利润相减可以得到：

E\left(\Pi \left(K,b^{*}\right)\right)-E({\Pi }_{N\mathrm{1}})=

-\frac{\mathrm{2}\left(\left(\left(\left(-\frac{\alpha }{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)p+c\right){\sigma }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}\left(c-p\right)\right)\sqrt[]{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}p\sigma \left(\frac{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}\right)\right)K}{\sqrt[]{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}（12）

通过计算可知，当时，（12）式大于零，表明采取超售策略企业获得的期望利润高于不采取超售策略的期望利润。

当企业接收预定量b保持不变时，企业在不采取超售时可以将其服务容量K看作接收预定量b（两者数值上相等，即K=b），此时为了能够与调整服务容量的策略比较，本文将不采取超售策略的期望利润函数表示为E({\Pi }_{N\mathrm{2}})=\left(\mu p-c\right)b。将企业在接收预定量已知时的最优的服务容量K^{*}代入到最差两点分布的期望利润函数公式（5）后，与不采取超售策略的期望利润函数相减可得（13）式。

E\left(\Pi \left(K^{*},b\right)\right)-E({\Pi }_{N\mathrm{2}})=-\frac{\left(p^{\mathrm{2}}\sigma {\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{c}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\left(\mu -\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\alpha p-c+p}-\mathrm{4}{\left(\left(-\frac{\alpha }{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)p+c\right)}^{\mathrm{2}}\sigma \right)b}{\mathrm{4}\sqrt[]{\alpha p-c+p}\sqrt[]{c}}（13）

当时，（13）式大于零，表明调整服务容量的期望利润高于不采取超售策略时的期望利润。

由命题2的结论我们可以得到企业在成本线性条件下，两种不同策略的最优决策组合如表2所示。企业依照表2进行决策时可以实现期望利润的最大化。

表2　成本线性条件下最优决策组合

Table 2　Optimal decision combination under linear conditions

2.3　非线性情形

在上文的描述中，我们假设了总成本与服务容量K呈线性关系，但是在实际场景中，总成本与服务容量K不总是呈线性关系。本文进一步假设服务成本为\frac{h{K}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}，其中，h表示成本规模系数。因此，企业在未知客户到达率分布下期望利润函数的最小值可以表示为：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E\left(\Pi \left(K,b\right)\right)=p\mu b-

\frac{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p\left(\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-b\mu \right)}^{\mathrm{2}}}-\left(K-b\mu \right)\right)}{\mathrm{2}}-\frac{h{K}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}（14）

观察（14）式不难看出，在服务容量K不变时，目标函数的最后一项成本项与最优接收预定量b^{*}无关，因此，成本非线性情况下的最优接收预定量b^{*}不会发生变化。对此，在接下来的讨论中将针对接收预定量b不变及企业对服务容量K与接收预定量b先后决策进行讨论，可得如下命题。

命题3

① 企业最优接收预定量b^{*}与2.1情况下相同；

② 企业最优服务容量K^{*}满足等式：

\left(\frac{\mathrm{2}h{K}^{*}}{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p}-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K^{*}-b\mu \right)}^{\mathrm{2}}}+K^{*}=\mu b

③ 当企业服务容量K与接收预定量b均可调整时，在假设H3的前提下，最优决策组合为：

K^{*}=\frac{p}{h\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}\left(\frac{\alpha +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}-\sigma \sqrt[]{A}\right)，

b^{*}=\frac{p\mu \left({\sigma }^{\mathrm{2}}\alpha +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}{h{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}+\frac{p\mu \sigma }{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)h}\left(\frac{\alpha +\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{A}}-\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{A}}{{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}\right)

证 ① 与命题1中证明过程相同；

② 首先，对期望利润函数公式（14）求服务容量K的二阶导数可得：

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}E\left(\Pi (K,b)\right)}{\partial K^{\mathrm{2}}}=

-\frac{\frac{b^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}\left(p+r\right)}{\mathrm{2}}+ch{\left({\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-b\mu \right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}{{\left({\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-b\mu \right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}（15）

观察（15）式，易知该二阶导数小于零，借助Maple求解服务容量K的一阶导数等于零的情况，可知该期望利润函数存在根，且应满足如下等式：

\left(\frac{\mathrm{2}hK}{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p}-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}{b}^{\mathrm{2}}+{\left(K-b\mu \right)}^{\mathrm{2}}}+K=\mu b（16）

当服务可调整企业已知其自身服务价格p、惩罚系数\alpha、成本规模系数h和客户到达率的均值\mu与方差{\sigma }^{\mathrm{2}}时，可以通过（16）式求得最优的服务容量K。

③ 在企业服务容量K与接收预订量b均可调整时，在假设H3的前提下，企业先决定服务容量K，后决定接收预定量b。根据逆向求解法，先对企业最优的接收预订量b^{*}进行求解,得b^{*}=\frac{\mu K}{{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}-\frac{\sigma \left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\sqrt[]{A}})，该部分与（9）式所得结果相同。之后将最优解b^{*}代入到（14）式中对K^{*}进行求解，得K^{*}=\frac{p}{h\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}(\frac{\alpha +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}-\sigma \sqrt[]{A})，最后将K^{*}的值代入到b^{*}当中即可得到命题3中③的结果。

由于企业调整服务容量K所产生的成本较之前有所变化，成本非线性条件下的利润函数的下降速率较线性情况下更快，因此本文为探讨使用超售策略时的利润提升情况，引入企业不采取超售策略的期望利润函数，具体表示如17（式）。

E\left({\Pi }_n\left(K\right)\right)=p\mu K-\frac{h{K}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}（17）

通过对期望利润函数E\left({\Pi }_n\left(K\right)\right)进行分析，易得到在该情况下企业最优的服务容量为K_n^{*}=\frac{p\mu }{h}。将最优的服务容量K_n^{*}代入期望利润函数E\left({\Pi }_n\left(K\right)\right)后，可以得到企业在决策变量取最优时的期望利润为：\frac{p^{\mathrm{2}}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}h}。对企业在未知具体分布条件下的利润函数作同样的操作，使企业利润转变为关于服务价格p、惩罚系数\alpha、成本规模系数h以及客户到达率均值\mu和标准差\sigma的函数。对企业采取与不采取超售策略的两期望利润相减后分析，可得到如下命题。

命题4 在非线性条件下，当服务容量K和接收预定量b均为决策变量，惩罚系数\alpha、客户到达率的均值\mu与标准差\sigma，三者满足不等式时，企业采取超售策略的利润高于不采取超售策略的利润；反之，则不采用超售策略效果更佳。

证 将命题3中的最优决策代入到最差两点分布的期望利润函数可得企业最优期望利润表示为：

E\left(\Pi \left(K^{*},b^{*}\right)\right)=\frac{p^{\mathrm{2}}{\left(\left(\left(-\frac{\alpha }{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right){\sigma }^{\mathrm{2}}-\frac{{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\sqrt[]{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}}+\left(\frac{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}\right)\sigma \right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\left(\frac{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}\right)h{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}（18）

将（18）式与企业不采取超售策略的最优期望利润相减后可得：

E\left(\Pi \left(K^{*},b^{*}\right)\right)-\frac{p^{\mathrm{2}}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}h}=

-\frac{\left(\left(\left(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){\sigma }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}\right)\sigma \sqrt[]{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\alpha {\mu }^{\mathrm{2}}}+\left({\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right){\sigma }^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\left({\mu }^{\mathrm{2}}-\alpha -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){\mu }^{\mathrm{2}}{\sigma }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{6}}-{\mu }^{\mathrm{4}}\right)p^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}h{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}（19）

求解（19）式的零点可得\alpha =\frac{\left(\mu -\mathrm{1}\right)\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}-\mu \right)}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}，此时企业是否采取超售策略不会对最终盈亏情况产生影响。当时，企业采取超售策略会获得更多的利润；反之，企业不采取超售策略时更加有利。

由命题4的结论我们可以得到企业在非线性条件下，服务容量和接收预定量均可调整时的最优决策组合如表3所示。

通过对该部分内容的分析可知，当市场规模足够大时，服务企业存在一个最优的服务容量，企业不能一味地增加服务容量来满足需求。同时，对接收预定量与服务容量均可调整的企业存在一个最优的决策组合，该组合有效平衡了准备过多服务容量产生的成本与客户到达率不确定的损失，能为企业增收带来正向的影响。

2.4　客户到达率分布已知

为与前文客户到达率分布未知的情况进行对比，我们假定客户到达率分布已知，且为均匀分布，其概率密度函数可以表示为：

f\left(x\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}\sigma },\mu -\sqrt[]{\mathrm{3}}\sigma \le x\le \mu +\sqrt[]{\mathrm{3}}\sigma（20）

得到线性与非线性条件下企业期望利润函数分别为：

E\left({\Pi }_{u\mathrm{1}}\left(K,b\right)\right)=p\mu b-\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\int }_{\frac{K}{b}}^{\mathrm{1}}\left(tb-K\right)f\left(t\right)\mathrm{d}t-cK（21）

\begin{array}{c}E\left({\Pi }_{u\mathrm{2}}\left(K,b\right)\right)=p\mu b-\end{array}\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\int }_{\frac{K}{b}}^{\mathrm{1}}\left(tb-K\right)f\left(t\right)\mathrm{d}t-\frac{h{K}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}（22）

基于上述企业期望利润函数，分别对接收预定量b和服务容量K求二阶导数，可知

，

，

根据一阶条件：

\frac{\partial {\Pi }_{u\mathrm{1}}}{\partial b}=\frac{\partial {\Pi }_{u\mathrm{2}}}{\partial b}=p\mu -\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\int }_{\frac{K}{b}}^{\mathrm{1}}tf\left(t\right)\mathrm{d}t=\mathrm{0}\to b_u^{*}（23）

\frac{\partial {\Pi }_{u\mathrm{1}}}{\partial K}=\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\int }_{\frac{K}{b}}^{\mathrm{1}}f\left(t\right)\mathrm{d}t-c=\mathrm{0}\to K_{u\mathrm{1}}^{*}（24）

\frac{\partial {\Pi }_{u\mathrm{2}}}{\partial K}=\left(\alpha +\mathrm{1}\right)p{\int }_{\frac{K}{b}}^{\mathrm{1}}f\left(t\right)\mathrm{d}t-c=\mathrm{0}\to K_{u\mathrm{2}}^{*}（25）

将（20）式分别代入到（23）、（24）和（25）式可得两种情况下的最优决策量，得到如下命题。

命题5

① 当服务容量K固定不变时，线性成本与非线性成本下的最优接收预定量b相等，且为b_u^{*}=K\sqrt[]{\frac{\alpha +\mathrm{1}}{\alpha +\mathrm{1}-\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{3}}\mu \sigma }}；

② 当服务企业的接收预定量b已知且不变时，线性成本下的最优服务容量K_{u\mathrm{1}}^{*}=b(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{3}}c\sigma }{p\left(\alpha +\mathrm{1}\right)})，非线性成本下的最优服务容量K_{u\mathrm{2}}^{*}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}bp\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}{\sqrt[]{\mathrm{3}}p\left(\alpha +\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}h\sigma b}；

③ 当服务企业先决定服务容量K，后决定接收预定量b时，其最优决策组合为：

K_{u\mathrm{3}}^{*}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}p\left(\alpha +\mathrm{1}-\sqrt[]{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)C}\right)}{\mathrm{6}h\sigma }，

b_{u\mathrm{3}}^{*}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}p\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\left(\sqrt[]{\left(\alpha +\mathrm{1}\right)C}-C\right)}{\mathrm{6}h\sigma C}，

其中C=\alpha +\mathrm{1}-\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{3}}\mu \sigma。

3　 算例分析

本节将通过数值算例的方法，对决定企业超售策略的几个重要参数进行分析，从而进一步验证分布未知条件下最优值的适用条件。为方便算例分析，假设单位服务价格p=\mathrm{100}，单位成本c=\mathrm{20}，惩罚系数\alpha =\mathrm{3}，惩罚成本r=\alpha p=\mathrm{300}。鉴于本文主要研究服务企业未知客户到达率具体分布的情况，假设服务企业仅知晓客户到达率的部分二阶矩信息（均值\mu、方差{\sigma }^{\mathrm{2}}），假定均值\mu =\mathrm{0.7}，由于分布未知与均匀分布情况下的最优决策对方差的敏感程度不同，因此在算例分析中分别对高低方差进行对比分析，更加直观反映最优决策值的变化情况，假设高方差{\sigma }_H^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}.{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}，低方差{\sigma }_L^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}.{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}。在下文讨论各参数的过程中，除讨论的参数外其他参数按照上述假设进行赋值。

1） 首先分析当服务企业成本为线性时，客户到达率分布未知（仅仅知均值与标准差）与分布已知（均匀分布）条件下的企业最优接收预定量分别随客户到达率均值\mu、惩罚系数\alpha的变化情况。本文设定可决定一项决策变量的服务企业初始服务容量K=\mathrm{500}，接收预定量b=\mathrm{500}，具体的结果如图1~4所示，其中，图1和图2分别展示了企业最优接收预定量b^{*}随客户到达率均值\mu和惩罚系数\alpha的变化趋势，图3和图4分别展示了企业最优服务容量K^{*}随客户到达率均值\mu和惩罚系数\alpha的变化趋势。

观察图1不难发现，针对分布未知情况下的企业最优接收预定量随客户到达率均值的增加呈下降趋势，并且当客户到达率均值在0.8以上时，企业的最优接收预定量与企业初始服务容量500逐渐接近，超售策略没有明显优势（因为最优超售预定量接近最优服务容量等于没有超售），这与命题2所提出的临界条件相符合。同时，当服务企业已知客户到达率分布且为均匀分布时，其最优接收预定量与客户到达率均值呈正相关，并且其变化幅度较分布未知情况下的变化幅度有明显的降低。

针对高低不同的方差，分布未知与均匀分布条件下的变化趋势也呈现出不同的特点。相较于高方差，分布未知条件下，当实际客户到达率方差较低时，建议企业接收更多的预定量，而均匀分布则建议企业接收较少的预定量。这个特点在图2中也有所呈现，并且不难看出无论客户到达率实际为何种分布，企业最优接收预定量与惩罚系数均呈负相关。

由图3和图4所展示出的变化趋势来看，当客户到达率分布为均匀分布时，企业不会根据客户到达率均值变化调整自身容量，其容量变化仅与客户到达率方差与惩罚系数有关。当客户到达率分布未知时，其准备的服务容量的大小随客户到达率均值与惩罚系数的增加而增加，并且在客户到达率均值较大或惩罚系数较高时达到最大值，转折点即命题2提出的临界条件。对比同一分布下不同方差的曲线可以看出，与接收预定量相类似，当客户到达率方差较高时，客户到达率分布未知条件下建议企业尽可能少（或者不）降低准备的服务容量，而均匀分布条件下建议企业适当降低服务容量以达到自身期望利润最优的情况。

2） 针对成本非线性情况下，企业采取超售策略后的最优期望利润随客户达到率均值\mu、方差{\sigma }^{\mathrm{2}}和惩罚系数\alpha的变化如图5、6所示，图中还展示了不采取超售策略的企业的最优期望利润。

根据图5不难看出，企业的最优期望利润随客户到达率均值的增加而增加。进一步观察不同分布及不采取超售策略的情况，可以发现当企业确定客户到达率分布为均匀分布时，采取超售策略能够使企业的最优期望利润稳定高于不采取超售策略的最优期望利润。在客户到达率分布未知条件下，客户到达率方差较高时采取超售策略的最优期望利润低于不采取超售策略的最优期望利润，即此时采取超售策略会为企业的增收带来负面的影响；但当客户到达率方差较低且客户到达率均值同样较低时，采取超售策略的最优期望利润有着显著的优势。上述情况也表明当服务企业处于淡季销售时，客户到达率往往能够呈现一种低均值的情况，此时分布未知决策能够更好地发挥其作用。

由图6不难发现，不论企业是否采取超售策略，随着惩罚系数的上升最优期望利润均呈下降趋势。

为对比分析客户到达率分布未知与已知条件下的企业最优决策结果，假定客户到达率为均匀分布,根据命题1与命题5得到，两种场景企业期望利润如图7所示。

从图7中我们可以发现，当客户到达率方差较低时，实际分布为均匀分布且采取分布未知最优决策时企业获利较低，甚至会出现亏损的情况。但随着客户到达率方差的增加，企业实际获得利润呈现出先增加后降低的趋势，并且在达到最大值后降低的幅度有明显的减少。上述特点说明了分布未知最优决策值在企业确定客户到达率方差较高（大于0.02）时有着较好的使用效益，能够帮助企业在分布未知时做出相对更优的决策。

4　 结论与展望

本文构建了服务企业客户到达率分布未知条件下的企业超售决策模型，依据报童模型和最大-最小值的求解方法对企业在服务容量不变、接收预定量可变，接收预订量不变、服务容量可变以及上述两者均可变三种情况下的企业最优决策方案进行了分析。同时，考虑企业总成本和服务容量呈线性以及非线性时不同的最优决策结果，对企业采取超售策略能够获利的临界条件进行了计算。结果表明，当服务价格、惩罚系数以及客户到达率的均值方差满足一定条件时，超售策略能够给服务企业带来更多的利润。此外，当服务容量的变动成本存在成本非线性现象时，一味地增加服务容量或接收预定量不会给企业带来更多的利润，不同类型（不同决策变量）的服务企业均存在一个临界超售决策值，使企业在该条件下获得最大收益。

在针对最优决策组合的分析中，通过算例对最终结果以及企业期望利润随参数的变化进行了展示。对企业已知客户到达率为均匀分布和分布未知条件下的最优决策、最优期望利润进行了对比分析。通过对比我们发现，分布未知情况下的最优决策与均匀分布的最优决策在方差大小不同时呈现出了不同的效益，并且分布未知情况下的最优决策在方差较高时有着更好的效益，可以帮助企业在已知客户到达率波动较大时做出更加贴近最优利润的决策。

未来仍有很多方面可以进行更深入的研究，如可以探讨更多不同分布情况，以及客户到达率为离散分布下的最终结果与本文的研究是否相类似。此外，当市场需求同样不确定且未知其具体分布时，服务企业应如何确定自身超售策略同样是一个值得研究的方向。

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基金资助

国家自然科学基金(71771139)