病毒携带人群影响手足口病传播的数学模型及动力学分析

Modeling and Dynamics Analysis of the Impact of Virus Carriers on the Transmission of HFMD

摘要

建立了一类具有周期传染率的手足口病模型，研究病毒携带者对疾病传播的影响。定义了模型的基本再生数R_{\mathrm{0}}，分析了模型无病平衡态的全局稳定性和正周期解的存在性。结果表明，当时，手足口病最终从人群中消除；当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， 疾病演变为地方病并呈现周期性变化。 应用实际数据对模型参数进行了估计，并给出R_{\mathrm{0}}的估计值为2.328 6。关键参数的敏感性分析表明，降低病毒携带者的传染性、加强高危人群的手部消毒和日常清洁、增强公众对手足口病的重视程度、加强自我干预措施的实施，均可有效遏制手足口病的传播。

Abstract

In this paper, an HFMD(hand, foot, and mouth disease) model with periodic transmission rate was established to study the effect of virus carriers on disease transmission. The basic reproduction number of the model is defined. The global stability of the disease-free equilibrium and the existence of a positive periodic solution are analyzed. The results demonstrated that the HFMD was finally eliminated from the population when, ; while the disease becomes endemic and it varies periodically when, R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}. The model's parameters are estimated using the data, and R_{\mathrm{0}} is estimated as 2.328 6. The sensitivity analysis of critical parameters is carried out. The study's findings suggest that the spread of HFMD can be effectively controlled by implementing several key measures. These include reducing the infectivity of virus carriers, enhancing hand hygiene and daily cleaning practices among high-risk populations, increasing public awareness and education, and strengthening the implementation of self-protective interventions.

Graphical abstract

0　 引 言

手足口病于1957年在新西兰首次发现,1959年被 命名为hand,foot and mouth disease(HFMD)。HFMD作为一种流行范围较广的学龄前儿童常见急性传染病,主要由柯萨奇病毒(CoxA16)和肠道病毒(EV71)感染引起,表现为手、足、口等部位的斑丘疹、疱疹。如果病毒感染患者的中枢神经,则可引起重症病例,主要表现为脑炎、脑膜炎、无菌性脑脊髓膜炎、肺水肿等^[1]。我国自1981年在上海发现首例手足口病例起,十几个省市先后均有相关报道。1998年，台湾暴发了大规模手足口病,最终导致了共129 106人感染^[2,3]。2008年3―5月,安徽省阜阳市暴发了由EV71引起的手足口病疫情,短短3个月内共有25 000人感染^[4]。我国卫生部门已于2008年5月2日起,将手足口病列为丙类传染病管理。据统计,近年来所报告的HFMD病例数一直位于丙类传染病的前5名,其死亡人数一直高于其他丙类传染病(如:流行性感冒、流行性腮腺炎、急性出血性结膜等)。到目前为止,仍然没有治疗手足口病的特效方法,而且均有死亡病例和重症病例^[5]。因此,研究影响手足口病传播的关键因素,探索有效控制手足口病的措施,对于控制手足口病的传播至关重要。

研究发现,环境卫生差的周边地区儿童发生手足口病的危险系数较高,从不清洗玩具的家庭中的儿童发生手足口病的危险系数也较高,弱体质及每年看病次数多的儿童是手足口病的高发人群。然而，这些危险因素研究的范围和样本量都较小。屈丹丹等^[6]对采集的200份手足口病密切接触人群的咽拭子标本,应用实时荧光RT-PCR技术检测肠道病毒(HEV)、肠道病毒71型(EV71)和柯萨奇病毒A16型(CoxA16)的病毒载量,并对临床检测结果分析发现,若手足口病患儿密切接触者肠道病毒携毒率较高,则会对手足口病传播产生重要影响。孙宝昌等^[7]通过采集健康人群粪便标本500份,并应用实时荧光RT-PCR技术检测其中的手足口病主要病毒,分析得到健康人群中肠道病毒携毒率较高时,对手足口病的传播可能会产生重要作用。Wu等^[8]通过对667名健康受试者的粪便标本中的病毒进行检测，发现健康人群中有一定数量的人携带手足口病主要病原体,这对手足口病的持续流行和传播发挥不可忽视的作用。基于此,建立数学模型研究病毒携带人群在手足口病传播和控制中的作用是非常必要的。

截至目前，已有不少学者通过建立数学模型研究手足口病的传播动力学。Liu^[9]建立并研究了具有周期传染率的非自治SEIQRS手足口病模型,得到了疾病灭绝和一致持续的阈值,研究发现隔离可有效控制手足口病。Ma等^[10]将隐性感染者作为独立的仓室,建立传染率为周期函数的手足口病模型,并运用该模型拟合山东省两年多手足口病患者的数据。Wang等^[11,12]建立模型刻画了环境污染及疫苗接种对手足口病传播动力学的影响,分析了模型的动力学,并用其对中国大陆2010―2014年的手足口病数据进行拟合。他们发现,环境中的病毒对手足口病的传播具有重要影响。Shi等^[13]引入一个连续且非光滑的治疗函数,构建模型研究医疗资源有限和强化治疗的阈值等对手足口病传播的影响。研究发现,降低强化治疗的阈值和减少感染个体的活动范围可有效控制手足口病的传播。Li等^[14]构建了具有年龄结构的SEIHR手足口病模型,应用该模型拟合中国大陆2009―2014年HFMD数据,应用卡方检验对拟合效果进行了验证,并运用最优控制理论提出了6种最优控制措施。Dai等^[15]和Ding等^[16]建立了具有周期传染率的HFMD数学模型,研究疫苗接种和无症状感染者在手足口病传播中的作用,通过拟合温州及其管辖下的11个地区的HFMD病例数,发现开学是HFMD疫情出现高峰时期。Tan等^[17]建立了一种具有分布时滞和周期传染率的非线性模型,研究气候环境等外部因素对手足口病传播的影响。Zhang等^[18]建立模型刻画行为改变对手足口病发展的影响,研究发现强烈的行为改变对手足口病的传播过程有重要影响。

综上，在已有的研究工作中，有的构建了具有常数传染率的模型研究手足口病的传播动力学,但忽略了我国手足口病的周期性暴发的特点^[13，18]；有的建立模型模拟了手足口病的季节性暴发,但仅采用以1年为周期的周期传染率,且未考虑成人HFMD患者对婴幼儿感染的影响^{[9~12,15，16]}；有的虽然同时考虑了手足口病的季节性暴发和成人HFMD患者对婴幼儿感染者的影响,但重点从数值上进行定量研究,定性研究结论较少^[14，17]。基于此,本文将在基本的SEIR模型基础上,一方面将人群分为高危人群和普通人群两大类,建立模型研究普通人群中的病毒携带者对手足口病传播的影响。另一方面,为刻画我国手足口病的季节性暴发和大小年现象,建模时引入以两年为周期的周期传染率函数。

1　 模型建立

考虑到手足口病患者主要为学龄前儿童,而我国规定的注册入学年龄为6周岁及以上,因此本文将人群分为7岁以下的群体和7岁及以上的群体。为方便起见,将7岁以下的人群称为高危人群,将7岁及以上的人群称为普通人群。基于手足口病患者的疾病进程和干预措施的实施情况,本文在基本的SEIR模型基础上,考虑普通人群中的手足口病毒携带者和季节性传播对手足口病传播与控制的影响,建立一类新的手足口病传播动力学模型。将高危人群分为5类：易感者类(S)、潜伏者类(E)、染病者类(I)、隔离者类(Q)和康复者类(R)；将普通人群分为2类：健康者类(M)和病毒携带者类(C)。易感者通过与染病者或病毒携带者接触而被感染,感染后为潜伏者类,潜伏期满后进入染病者类,其中一部分手足口病感染者进行自我干预措施后恢复,另一部分感染者进入医院进行隔离治疗。康复后的手足口病患者没有终身免疫力,因此经一段时间后失去免疫,从而成为易感者。此时若该易感者仍为7岁以下,则其仍为高危人群中的易感者,若其满7岁,则其从高危人群中移出而成为健康者。考虑到手足口病进程较短,本文只考虑易感者和康复者从高危人群中移出而成为健康者的情况。健康者接触染病者(I)后成为病毒携带者。综上，可得手足口病传播的流程图如图1。

根据流程图1,可得如下的常微分方程模型:

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\Lambda -{\lambda }_{\mathrm{1}}(t)S-dS-\varphi S+\rho R,\\ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}={\lambda }_{\mathrm{1}}(t)S-dE-\sigma E,\\ \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\sigma E-dI-{\alpha }_{\mathrm{1}}I-\eta I-{\gamma }_{\mathrm{1}}I,\\ \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\eta I-dQ-{\alpha }_{\mathrm{2}}Q-{\gamma }_{\mathrm{2}}Q,\\ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}={\gamma }_{\mathrm{1}}I+{\gamma }_{\mathrm{2}}Q-dR-\varphi R-\rho R,\\ \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=\varphi S+\lambda C+\varphi R-{\lambda }_{\mathrm{2}}(t)M-dM,\\ \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}={\lambda }_{\mathrm{2}}(t)M-\lambda C-dC,\end{array}\right.（1）

其中,

{\lambda }_{\mathrm{1}}(t)=\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}(t)I}{N}+\frac{{\beta }_{\mathrm{2}}(t)C}{N}（2）

{\lambda }_{\mathrm{2}}(t)=\frac{\xi (t)I}{N}（3）

N=S+E+I+Q+R+M+C（4）

Xiao等^[19]发现HFMD的传播是以2年为周期的。我们从中国疾病预防控制中心收集到2017年1月―2019年12月每月新增手足口病例数,如图2所示,图2也体现出我国的手足口病数据具有大小年现象。本文定义发生率函数{\beta }_{\mathrm{1}}(t)、{\beta }_{\mathrm{2}}(t)及\xi (t)均为周期为2年的周期函数,如图3所示。

在图3中,各个发生率的具体表达形式如下:

{\beta }_{\mathrm{1}}(t)=

\left\{\begin{array}{l}{\beta }_{\mathrm{11}}-{\beta }_{\mathrm{12}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ c_{\mathrm{1}}\left[{\beta }_{\mathrm{11}}-{\beta }_{\mathrm{12}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}}\right]+(\mathrm{1}-c_{\mathrm{1}})\left({\beta }_{\mathrm{11}}-{\beta }_{\mathrm{12}}\right),t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.

{\beta }_{\mathrm{2}}(t)=

\left\{\begin{array}{l}{\beta }_{\mathrm{21}}-{\beta }_{\mathrm{22}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ c_{\mathrm{2}}\left[{\beta }_{\mathrm{21}}-{\beta }_{\mathrm{22}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}}\right]+(\mathrm{1}-c_{\mathrm{2}})\left({\beta }_{\mathrm{21}}-{\beta }_{\mathrm{22}}\right),t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.

\xi (t)=

\left\{\begin{array}{l}{\xi }_{\mathrm{1}}-{\xi }_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ c_{\mathrm{3}}\left[{\xi }_{\mathrm{1}}-{\xi }_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\theta )}{\mathrm{365}}\right]+(\mathrm{1}-c_{\mathrm{3}})\left({\xi }_{\mathrm{1}}-{\xi }_{\mathrm{2}}\right),t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（5）

其中T_{\mathrm{1}}为奇数年份的时间,T_{\mathrm{2}}为偶数年份的时间, 表1列出了模型(1)中其余参数的详细定义。

模型(1)的无病平衡态为E_{\mathrm{0}}\left(\frac{\Lambda }{d+\varphi },\mathrm{0,0},\mathrm{0,0},\right.\left.\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )},\mathrm{0}\right)。基本再生数可很好地刻画疫情再次暴发的风险,其表示在发病初期,当所有人均为易感者时,引入1个染病者,其在平均患病期内所能感染的人数。下面计算模型(1)的基本再生数。模型(1)中与新增感染相关的仓室为E,I,C,将其定义为向量\mathit{Z}\equiv (E,I,C),从而有\stackrel{\cdot }{\mathit{Z}}=G(Z)。令G(\mathit{Z})=\mathit{ℱ}-\mathit{𝒱},其中\mathit{ℱ}代表新增感染的向量,\mathit{𝒱}代表所有以其他方式转移的向量,从而可得到:

\mathit{ℱ}=\left[\begin{array}{c}\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}(t)SI}{N}+\frac{{\beta }_{\mathrm{2}}(t)SC}{N}\\ \mathrm{0}\\ \frac{\xi (t)MI}{N}\end{array}\right],

\mathit{𝒱}=\left[\begin{array}{c}(\sigma +d)E\\ (d+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}})I-\sigma E\\ (\lambda +d)C\end{array}\right]

分别求\mathit{ℱ}和\mathit{𝒱}关于新增感染向量(E,I,C)的雅可比矩阵,并代入无病平衡态E_{\mathrm{0}}可得:

\mathit{F}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }& \mathrm{0}\end{array}\right],

\mathit{V}=\left[\begin{array}{ccc}(\sigma +d)& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\sigma & (d+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (\lambda +d)\end{array}\right]

假设X(t,s),t\ge s为线性周期系统\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\mathit{V}(t)x的进化算子,即对任意的t\ge s,

\frac{\mathrm{d}X(t,s)}{\mathrm{d}t}=-\mathit{V}(t)X(t,s)

且X(s,s)=\mathit{I},其中X(s,s)为三阶矩阵,\mathit{I}为三阶单位矩阵。假设C_{\omega }:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}为有序\mathrm{B}空间(所有\omega周期函数的),有最大范数‖\cdot ‖,并且记正锥体为C_{\omega }^{+}=\left\{\varphi \in C_{\omega }:\varphi (t)\ge \mathrm{0},t\in \mathbb{R}\right\}。

假设\varphi (s)为周期环境下感染者的初始分布, 则F(s)\varphi (s)为新增感染分布,那么X(t,s)F(s)\varphi (s)为s时刻的新增感染个体在t时刻仍为感染者的分布(t\ge s),因此,

\Psi \left(t\right):={\int }_{-\infty }^{t}X(t,s)F(s)\varphi (s)ds={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}X(t,t-a)F(t-a)\varphi (t-a)\mathrm{d}a

为t时刻累计感染分布。定义线性算子L:C_{\omega }\to C_{\omega },对任意的t\in \mathbb{R}:

\begin{array}{l}(L\varphi )(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}X(t,t-a)F(t-a)\varphi (t-a)\mathrm{d}a,\\ \varphi \in C_{\omega }\end{array}（6）

则对周期传染病模型，基本再生数R_{\mathrm{0}}可定义为：

R_{\mathrm{0}}≔r(L)（7）

即为L的谱半径。

定义1 若一个矩阵中的每个元素关于时间t都是连续的,则称该矩阵是连续的。

定义2 若一个矩阵的非对角元素非负,则称该矩阵是合作的。

定义3 对于一个n(n\ge \mathrm{2})阶矩阵,若不能找到一个置换阵\mathit{P},使得

\mathit{P}\cdot \mathit{D}\cdot {\mathit{P}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{\mathrm{11}}& {\mathit{A}}_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& {\mathit{A}}_{\mathrm{22}}\end{array}\right]

是一个分块上三角矩阵,则称该矩阵是不可约的,其中\mathrm{T}表示矩阵的转置,{\mathit{A}}_{\mathrm{11}}为r阶矩阵,{\mathit{A}}_{\mathrm{22}}为n-r阶矩阵,\mathrm{1}\le r\le n。

以下总定义：

X≔\left\{\left(S,E,I,Q,R,M,C\right):S\ge \mathrm{0},E\ge \mathrm{0},\right.

\left.I\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0},C\ge \mathrm{0}\right\}，

X_{\mathrm{0}}≔\left\{\left(S,E,I,Q,R,M,C\right)\in X:\right.

\left.E>\mathrm{0},I>\mathrm{0},C>\mathrm{0}\right\}

令W(t,\lambda )为如下线性\omega周期系统：

\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\left(-V(t)+\frac{F(t)}{\lambda }\right)W,t\in \mathbb{R}

的单值矩阵,其中参数\lambda \in (\mathrm{0},\mathrm{\infty }),容易验证F(t)是非负的,-V(t)是合作的,从而有r\left(W(\omega ,\lambda )\right)对\lambda \in (\mathrm{0},\mathrm{\infty })是连续的、非增的,且有\underset{\lambda \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}r\left(W(\omega ,\lambda )\right)及如下结论：

引理 1^[20] (i) 若关于\lambda的方程r\left(W(\omega ,\lambda )\right)=\mathrm{1}存在正解{\lambda }_{\mathrm{0}},则{\lambda }_{\mathrm{0}}为算子L的特征根,此时R_{\mathrm{0}}>\mathrm{0};

(ii) 若R_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},则\lambda =R_{\mathrm{0}}为方程r\left(W(\omega ,\lambda )\right)=\mathrm{1}的唯一解;

(iii) R_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}当且仅当对任意\lambda >\mathrm{0},均有。

2　 模型的全局动力学

2.1　解的最终一致有界性

引理2X和X_{\mathrm{0}}均为模型(1)的正向不变集。

证 先证X_{\mathrm{0}}是正向不变的,对任意P_{\mathrm{0}}=\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in X_{\mathrm{0}},由(1)可知,若存在t_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}时,使S(t_{\mathrm{1}})=\mathrm{0},E(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},I(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},Q(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},R(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},M(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},C(t_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0},则有\frac{\mathrm{d}S(t_{\mathrm{1}})}{\mathrm{d}t}>\mathrm{0},从而对任意t\ge \mathrm{0},有S(t)\ge \mathrm{0}。由此得:

E(t)=

{\mathrm{e}}^{-(\sigma +d)t}\left[E^{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\lambda }_{\mathrm{1}}(s_{\mathrm{1}})S(s_{\mathrm{1}}){\mathrm{e}}^{(\sigma +d)s_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}\right]\ge

E^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-(\sigma +d)t}>\mathrm{0},

I(t)=

{\mathrm{e}}^{-({\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\eta )t}\left[I^{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t\sigma E(s_{\mathrm{1}})e^{({\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\eta )s_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}\right]\ge

I^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-({\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\eta )t}>\mathrm{0},

Q(t)=

{\mathrm{e}}^{-({\gamma }_{\mathrm{2}}+d+{\alpha }_{\mathrm{2}})t}\left[Q^{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t\eta I(s_{\mathrm{1}}){\mathrm{e}}^{({\gamma }_{\mathrm{2}}+d+{\alpha }_{\mathrm{2}})s_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}\right]\ge

Q^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-({\gamma }_{\mathrm{2}}+d+{\alpha }_{\mathrm{2}})t}\ge \mathrm{0},

R(t)={\mathrm{e}}^{-(d+\varphi +\rho )t}\cdot

\left[R^{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t\left({\gamma }_{\mathrm{1}}I(s_{\mathrm{1}})+{\gamma }_{\mathrm{2}}Q(s_{\mathrm{1}})\right){\mathrm{e}}^{(d+\varphi +\rho )s_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}\right]\ge

R^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-(d+\varphi +\rho )t}\ge \mathrm{0}

类似可证M(t)\ge \mathrm{0},由此有

C(t)={\mathrm{e}}^{-(\lambda +d)t}\left[C^{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\lambda }_{\mathrm{2}}(s_{\mathrm{1}})M(s_{\mathrm{1}}){\mathrm{e}}^{(\lambda +d)s_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}\right]\ge C^{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-(\lambda +d)t}>\mathrm{0}

因此,\left(S(t,P_{\mathrm{0}}),E(t,P_{\mathrm{0}}),I(t,P_{\mathrm{0}}),Q(t,P_{\mathrm{0}}),R(t,P_{\mathrm{0}}),\right.\left.M(t,P_{\mathrm{0}}),C(t,P_{\mathrm{0}})\right)\in X_{\mathrm{0}}，故X_{\mathrm{0}}为模型（1）的正向不变集。类似可证X为模型(1)的正向不变集。引理得证。

引理3\Gamma =\left\{\left.(S,E,I,Q,R,M,C)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}}\right|\mathrm{0}\le S+E+I+Q+R+M+C\le \frac{\Lambda }{d}\right\}为模型(1)的正向不变集。

证 由于N=S+E+I+Q+R+M+C, 从而有

\stackrel{\cdot }{N}=\Lambda -dN-{\alpha }_{\mathrm{1}}I-{\alpha }_{\mathrm{2}}Q\le \Lambda -dN

因此当N\ge \frac{\Lambda }{d}时,\stackrel{\cdot }{N}\le \mathrm{0}。由引理2知,若(S(\mathrm{0}),\mathrm{E}(\mathrm{0}),I(\mathrm{0}),Q(\mathrm{0}),\mathrm{R}(\mathrm{0}),M(\mathrm{0}),C(\mathrm{0}))\in X,则(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t),M(t),C(t))\in X,故\Gamma为正向不变集。引理得证。

引理4 模型(1)的解最终一致有界。

证 由于\stackrel{\cdot }{N}=\Lambda -dN-{\alpha }_{\mathrm{1}}I-{\alpha }_{\mathrm{2}}Q\le \Lambda -dN,从而\frac{\stackrel{\cdot }{N}}{\Lambda -dN}\le \mathrm{1},因此\int \frac{\mathrm{d}N}{\Lambda -dN}\le \int dt,即N\le \frac{\Lambda }{d}+C_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-dt},其中C_{\mathrm{1}}为任意常数。由此知存在T_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},当t\ge T_{\mathrm{0}}时有N\le \frac{\Lambda }{d},所以

S(t)\le \frac{\Lambda }{d},E(t)\le \frac{\Lambda }{d},I(t)\le \frac{\Lambda }{d},Q(t)\le \frac{\Lambda }{d},

R(t)\le \frac{\Lambda }{d},M(t)\le \frac{\Lambda }{d},C(t)\le \frac{\Lambda }{d},

即存在T_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},对任意t\ge T_{\mathrm{0}},有

\left(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t),M(t),C(t)\right)\le

\left(\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d},\frac{\Lambda }{d}\right)

引理得证。

与文献[21]类似的讨论,可得如下结论。

引理5 假设{\mathit{\Phi }}_{\mathit{A}}(t)为\dot{y}=\mathit{A}(t)y的基解矩阵,r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{A}}(t)\right)为{\mathit{\Phi }}_A(t)的谱半径。若\mathit{A}(t)是连续的、合作的、不可约的,且有正周期,则存在一个正\omega周期函数v(t)使得{\mathrm{e}}^{\theta t}v(t)为方程\dot{y}=\mathit{A}(t)y的一个解, 其中\theta =\frac{\mathrm{1}}{\omega }\mathrm{l}\mathrm{n}r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{A}(\cdot )}(\omega )\right)。

2.2　无病平衡态的全局稳定性

可以验证文献[20]中A(\mathrm{1})-A(\mathrm{7})成立,从而得到如下结论：

定理1 对模型(1), 有以下结论：

(i) r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-\mathit{V}}(\omega )\right)=\mathrm{1}\iff R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}；

(ii) r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-\mathit{V}}(\omega )\right)>\mathrm{1}\iff R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1};

(iii) 。

当基本再生数时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}是局部渐近稳定的;当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}是不稳定的。

定理2 当时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}是全局渐近稳定的;当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}是不稳定的。

证 由定理1知,当时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}是局部渐近稳定的,故以下只需证明E_{\mathrm{0}}是全局吸引的。为方便起见，记S_{\mathrm{*}}=\frac{\Lambda }{d+\varphi },M_{\mathrm{*}}=\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )},N_{\mathrm{*}}=\frac{\Lambda }{d+\varphi }+\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )}。假定E_{\mathrm{0}}的吸引域为U_{\mathrm{0}},对模型(1)的任意初值P_{\mathrm{0}}=\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in \Gamma，下证对任意\epsilon >\mathrm{0},存在T_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0},当t>T_{\mathrm{0}}时,有。事实上,若P_{\mathrm{0}}\in U_{\mathrm{0}},则由E_{\mathrm{0}}局部稳定知,结论显然成立。若P_{\mathrm{0}}\in \Gamma \backslash U_{\mathrm{0}},记d_{\mathrm{0}}=h\left(P_{\mathrm{0}},E_{\mathrm{0}}\right),其中h为距离函数。记P_{\mathrm{1}}为满足条件h\left(P_{\mathrm{1}},E_{\mathrm{0}}\right)=\underset{P\in U}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}h\left(P,E_{\mathrm{0}}\right)的任一点,则对上述\epsilon,存在T_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0},当t>T_{\mathrm{0}}时,有\left|S\left(t,P_{\mathrm{1}}\right)-S_{\mathrm{*}}\right|\le \epsilon。根据解对初值的连续依赖性,对上述\epsilon,存在{\delta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},当‖P-P_{\mathrm{1}}‖\le {\delta }_{\mathrm{1}}时,有。令P_{\mathrm{2}}为满足条件‖P_{\mathrm{2}}-P_{\mathrm{1}}‖={\delta }_{\mathrm{1}}的任一点,则有。再次应用解对初值的连续依赖性可得,对上述\epsilon,存在{\delta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},当‖P-P_{\mathrm{2}}‖\le {\delta }_{\mathrm{2}}时,有。令P_{\mathrm{3}}为满足条件‖P_{\mathrm{3}}-P_{\mathrm{2}}‖={\delta }_{\mathrm{2}}的任一点,则有。依此类推,可得数组\left\{{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}},\dots ,{\delta }_k\right\}和点列\left\{P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}},\dots ,P_k,P_{\mathrm{0}}\right\},满足{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{\delta }_j+\underset{P\in U_{\mathrm{0}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}h(P,E_{\mathrm{0}})\ge d_{\mathrm{0}},及‖P_{j+\mathrm{1}}-P_j‖={\delta }_j,j=\mathrm{1,2},\dots ,k-\mathrm{1},‖P_{\mathrm{1}}-E_{\mathrm{0}}‖=d_{\mathrm{0}},‖P_{\mathrm{0}}-P_k‖\le {\delta }_k。综上可得,对上述\epsilon >\mathrm{0},存在T_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},当t>T_{\mathrm{0}}时,有：

\left|S\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)-S_{\mathrm{*}}\right|=

\left|S\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)-S\left(t,P_k\right)+S\left(t,P_k\right)-S\left(t,P_{k-\mathrm{1}}\right)+\cdots \right.

\left.-S\left(t,P_{\mathrm{1}}\right)+S\left(t,P_{\mathrm{1}}\right)-S_{\mathrm{*}}\right|\le

\left|S\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)-S(t,P_k)\right|+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^k}\left|S\left(t,P_j\right)-S\left(t,P_{j-\mathrm{1}}\right)\right|+

由此知,对任意P_{\mathrm{0}}\in \Gamma和\epsilon >\mathrm{0},存在T_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},当t>T_{\mathrm{0}}时,有。

记N=S+E+I+Q+R+M+C,则由无病平衡态E_{\mathrm{0}}局部渐近稳定可知,\underset{P_{\mathrm{0}}\to E_{\mathrm{0}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left|N\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)-N_{\mathrm{*}}\right|=\mathrm{0}(t\ge \mathrm{0})和\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}N\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)=N_{\mathrm{*}}(P_{\mathrm{0}}\in U_{\mathrm{0}})。类似于前面的讨论可得,对上述\epsilon >\mathrm{0},存在T_{\mathrm{3}}>\mathrm{0},当t>T_{\mathrm{3}}时,有N\left(t,P_{\mathrm{0}}\right)>N_{\mathrm{*}}-\mathrm{2}\epsilon。从而对任意P_{\mathrm{0}}\in \Gamma和\epsilon >\mathrm{0},存在\overline{T}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{T_{\mathrm{0}},T_{\mathrm{3}}\right\},当t>\overline{T}时,有：

由\epsilon的任意性可知,\frac{S(t)}{N(t)}\le \frac{S_{\mathrm{*}}}{N_{\mathrm{*}}}=\frac{d}{d+\varphi }。类似地,可得\frac{M(t)}{N(t)}\le \frac{M_{\mathrm{*}}}{N_{\mathrm{*}}}=\frac{\varphi }{d+\varphi }。由模型(1),对任意P_{\mathrm{0}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}},存在T_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},当t>T_{\mathrm{0}}时,有：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\le {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }I+{\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }C-(\sigma +d)E\\ \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\sigma E-(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})I\\ \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\le \xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }I-(d+\lambda )C\end{array}\right.

构造辅助系统：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}={\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }{u}_{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }{u}_{\mathrm{3}}-(\sigma +d)u_{\mathrm{1}}\\ \frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\sigma u_{\mathrm{1}}-(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})u_{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{d}t}=\xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }{u}_{\mathrm{2}}-(d+\lambda )u_{\mathrm{3}}\end{array}\right.（8）

记u=(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}}),

\mathit{A}(t)=

\left[\begin{array}{ccc}-(\sigma +d)& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }\\ \sigma & -(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }& -(d+\lambda )\end{array}\right]

则\mathit{A}(t)是连续的、合作的。下面证明\mathit{A}(t)是不可约的。取置换阵：

\mathit{P}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

直接计算可得：

\mathit{P}\cdot \mathit{A}(t)\cdot {\mathit{P}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\cdot

\left[\begin{array}{ccc}-(\sigma +d)& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }\\ \sigma & -(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }& -(d+\lambda )\end{array}\right]\cdot

\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]=

\left[\begin{array}{ccc}-(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})& \sigma & \mathrm{0}\\ {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\frac{d}{d+\varphi }& -(\sigma +d)& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\frac{d}{d+\varphi }\\ \xi (t)\frac{\varphi }{d+\varphi }& \mathrm{0}& -(d+\lambda )\end{array}\right]

不是分块的上三角矩阵。类似讨论可知,对任意3阶置换阵\mathit{P},都可得\mathit{P}\mathit{A}(t){\mathit{P}}^{\mathrm{T}}不是分块的上三角矩阵,由此知\mathit{A}(t)是不可约的。由引理5知,存在一个正\omega周期函数u(t),使得{\mathrm{e}}^{{\theta }_{\mathrm{1}}t}u(t)为(8)式的一个解,其中{\theta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\omega }\mathrm{l}\mathrm{n}r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{A}}(\omega )\right),又易知\mathit{A}=\mathit{F}-\mathit{V},所以{\theta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\omega }\mathrm{l}\mathrm{n}r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-\mathit{V}}(\omega )\right)。再由比较定理有J(t)\le u(t){\mathrm{e}}^{{\theta }_{\mathrm{1}}t},其中J(t)={\left(E(t),I(t),C(t)\right)}^{\mathrm{T}},这里\mathrm{T}代表转置。由定理1可知,当时,有,从而有,因此：

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}E(t)=\mathrm{0},\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}I(t)=\mathrm{0},\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}C(t)=\mathrm{0}

代入(1)式有\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\le \mathrm{0},从而\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}Q(t)=\mathrm{0},由此有\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\le \mathrm{0},从而\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}R(t)=\mathrm{0}。进一步计算可得\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}S(t)=\frac{\Lambda }{\varphi +d},\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}M(t)=\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )}。故当R_{\mathrm{0}}时,无病平衡态E_{\mathrm{0}}全局吸引。定理得证。

2.3　正周期解的存在性

令D是一个度量空间,f:D\to D是一个连续映射,d是一个距离函数,且D_{\mathrm{0}}\subset D是开集。定义：

\partial D_{\mathrm{0}}≔D\backslash D_{\mathrm{0}},N_{\partial }≔\left\{x\in \partial D_{\mathrm{0}}:f^n(x)\in \partial D_{\mathrm{0}},n\ge \mathrm{0}\right\}

假定A_{\partial }是f在\partial D_{\mathrm{0}}中的最大紧不变集。若存在A_{\partial }的一个Morse分解\mathrm{ℳ}=\left\{M_{\mathrm{1}},\dots ,M_k\right\},则\mathrm{ℳ}为\Omega \left(A_{\partial }\right)的非循环覆盖,其中\mathrm{ℳ}为\partial D_{\mathrm{0}}的有限个不交的、紧的孤立不变集,\Omega \left(A_{\partial }\right):=\bigcup _{x\in A_{\partial }}\omega (x)，\omega (x)为x的omega极限集。下面证明模型(1)的正周期解的存在性,为此先引入如下持久性理论。

引理6^[22] 假设

\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)f\left(D_{\mathrm{0}}\right)\subset D_{\mathrm{0}}且f有一个全局吸引子A;

\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)f的最大紧不变集A_{\partial }=A\bigcap N_{\partial }在\partial D_{\mathrm{0}}中(其可能是空集)存在Morse分解\left\{M_{\mathrm{1}},\dots ,M_k\right\},有如下性质:

(\mathrm{a}) M_i在D中是孤立的；

(\mathrm{b}) 对每个i\le l\le k,W^s(M_i)\bigcap D_{\mathrm{0}}=\mathrm{\varnothing },其中，W^s(M_i):=\left\{x\in D:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}h\left(f^n(x),M_i\right)\right\}=\mathrm{0}为M_i的稳定集合；

则对所有的\mathrm{1}\le i\le k,存在\delta >\mathrm{0},使得对任意紧的链传递集L,满足L\not\subset M_i,有\underset{x\in L}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}h\left(x,\partial D_{\mathrm{0}}\right)>\delta,也就是f:D\to D关于\left(D_{\mathrm{0}},\partial D_{\mathrm{0}}\right)是一致持久的。

定理3 当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时,模型(1)至少存在一个正周期解。

证 证明模型(1)是一致持久的,即证存在正数\epsilon >\mathrm{0},使得从任意初值\left(S^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{4}}\times \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\left({\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{3}}\right)出发的解满足：

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\left(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t),M(t),C(t)\right)\ge (\epsilon ,\epsilon ,\epsilon ,\epsilon ,\epsilon ,\epsilon ,\epsilon )

其中，\partial X_{\mathrm{0}}=X\backslash X_{\mathrm{0}}。定义庞加莱映射P:{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}}\to {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}},P(x_{\mathrm{0}})=u(\omega ,x_{\mathrm{0}}),x_{\mathrm{0}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}},其中u(t,x_{\mathrm{0}})为模型(1)满足u(\mathrm{0},x_{\mathrm{0}})=x_{\mathrm{0}}的唯一解,以下同。

首先证明映射P关于\left(X_{\mathrm{0}},\partial X_{\mathrm{0}}\right)是一致持久的。由X和X_{\mathrm{0}}是正向不变集知,\partial X_{\mathrm{0}}在X下为相对闭集。由模型(1)解的最终一致有界性知,P在{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}}上是点耗散的。由\partial X_{\mathrm{0}}为相对闭集知,庞加莱映射P:{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}}\to {\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{7}}是紧的。由文献[23]中定理3.4.8知,P存在1个全局吸引子。

定义M_{\partial }=\left\{\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in \partial X_{\mathrm{0}}:\right.

P^m\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in \partial X_{\mathrm{0}},\left.m\mathrm{为任}\mathrm{意正}\mathrm{整数}\right\}。

下证：

M_{\partial }=\left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}

易知：

\left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}\subseteq M_{\partial }

故只需证：

M_{\partial }\subseteq \left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}

对任意的

{\phi }_{\mathrm{0}}=\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in \partial X_{\mathrm{0}}\backslash \left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}

若E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}中有一个不为零,假设C^{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0},E^{\mathrm{0}}=\mathrm{0},I^{\mathrm{0}}=\mathrm{0},则由模型(1)知,对任意t>\mathrm{0},有

E(t)={\mathrm{e}}^{-(\sigma +d)t}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\lambda }_{\mathrm{1}}(u)S(u){\mathrm{e}}^{(\sigma +d)u}\mathrm{d}u>\mathrm{0}

同理有I(t)>\mathrm{0},C(t)>\mathrm{0},即当t比较小时，\left(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t),M(t),C(t)\right)\notin \partial X_{\mathrm{0}},则{\phi }_{\mathrm{0}}\notin M_{\partial }。由此得：

M_{\partial }\subseteq \left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}

因此

M_{\partial }=\left\{(S,\mathrm{0,0},Q,R,M,\mathrm{0})\in X:S\ge \mathrm{0},Q\ge \mathrm{0},R\ge \mathrm{0},M\ge \mathrm{0}\right\}

E_{\mathrm{0}}\left(\frac{\Lambda }{d+\varphi },\mathrm{0,0},\mathrm{0,0},\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )},\mathrm{0}\right)为P映射下M_{\partial }中的一个不动点。若\left(S(t),E(t),\right.I(t),Q(t),R(t),M(t),\left.C(t)\right)为从M_{\partial }中任一点出发的一个解,则由M_{\partial }的定义及模型(1)有E(t)=\mathrm{0},I(t)=\mathrm{0},C(t)=\mathrm{0},从而知由此得:

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}Q(t)=\mathrm{0},\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}R(t)=\mathrm{0}

从而有:

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}S(t)=\frac{\Lambda }{d+\varphi },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}M(t)=\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )}

即有:

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t),M(t),C(t)\right)=E_{\mathrm{0}}

下证E_{\mathrm{0}}的孤立不变性,即证W^s(E_{\mathrm{0}})\bigcap X_{\mathrm{0}}=\mathrm{\varnothing }。记Z^{\mathrm{0}}=\left(S^{\mathrm{0}},E^{\mathrm{0}},I^{\mathrm{0}},Q^{\mathrm{0}},R^{\mathrm{0}},M^{\mathrm{0}},C^{\mathrm{0}}\right)\in X_{\mathrm{0}},由解对初值的连续性知,对任意\epsilon >\mathrm{0},存在{\delta }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},使得当Z^{\mathrm{0}}\in X_{\mathrm{0}}且当\left|Z^{\mathrm{0}}-E_{\mathrm{0}}\right|\le {\delta }_{\mathrm{0}}时,对任意t\in \left[\mathrm{0},\omega \right],有‖u\left(t,Z^{\mathrm{0}}\right)-u\left(t,E_{\mathrm{0}}\right)‖\le \epsilon,其中u(t,P)为模型(1)满足u(\mathrm{0},P)=P的解。下面证\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}h\left(P^m(Z^{\mathrm{0}}),E_{\mathrm{0}}\right)\ge {\delta }_{\mathrm{0}}。若不成立,即存在Z^{\mathrm{0}}\in X_{\mathrm{0}},使\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}h\left(P^m(Z^{\mathrm{0}}),\right.。不失一般性,假设任意m>\mathrm{0},h\left(P^m(Z^{\mathrm{0}}),\right.,则当t\in \left[\mathrm{0},\omega \right]时,‖u(t,P^m(Z^{\mathrm{0}}))-u(t,E_{\mathrm{0}})‖\le \epsilon。对任意t>\mathrm{0},令t=m\omega +t_{\mathrm{1}},其中t_{\mathrm{1}}\in \left.\left[\mathrm{0},\omega \right.\right)且m=\left[\frac{t}{\omega }\right],则有：

‖u\left(t,Z^{\mathrm{0}}\right)-u\left(t,E_{\mathrm{0}}\right)‖=

‖u\left(t_{\mathrm{1}},P^m\left(Z^{\mathrm{0}}\right)\right)-u\left(t_{\mathrm{1}},E_{\mathrm{0}}\right)‖\le \epsilon

由此知，对任意t\ge \mathrm{0}，有：

\frac{\Lambda }{d+\varphi }-\epsilon \le S(t)\le \frac{\Lambda }{d+\varphi }+\epsilon ,

\mathrm{0}\le E(t)\le \epsilon ,\mathrm{0}\le I(t)\le \epsilon ,\mathrm{0}\le Q(t)\le \epsilon ,

\mathrm{0}\le R(t)\le \epsilon ,

\frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )}-\epsilon \le M(t)\le \frac{\Lambda \varphi }{d(d+\varphi )}+\epsilon ,

\mathrm{0}\le C(t)\le \epsilon

则N\le \frac{\Lambda }{d}+\mathrm{7}\epsilon，所以

\frac{S}{N}\ge \frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}，

\frac{M}{N}\ge \frac{\varphi }{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}

其中{\eta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{8}\epsilon d}{\Lambda }。作辅助系统：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}={\beta }_{\mathrm{1}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)v_{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{2}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)v_{\mathrm{3}}-(\sigma +d)v_{\mathrm{1}}\\ \frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\sigma v_{\mathrm{1}}-(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})v_{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{d}t}=\xi (t)\left(\frac{\varphi }{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)v_{\mathrm{2}}-(d+\lambda )v_{\mathrm{3}}\end{array}\right.（9）

记系数矩阵为：

\begin{array}{l}\mathit{D}(t)=\\ \left[\begin{array}{ccc}-(\sigma +d)& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)\\ \sigma & -(\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)\left(\frac{\varphi }{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)& -(d+\lambda )\end{array}\right]\end{array}

同理可得D(t)是连续的、合作的、不可约的。令：

\overline{\mathit{F}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\left(\frac{d}{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)\left(\frac{\varphi }{d+\varphi }-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)& \mathrm{0}\end{array}\right]

\overline{\mathit{V}}=\left[\begin{array}{ccc}(\sigma +d)& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\sigma & (\eta +{\gamma }_{\mathrm{1}}+d+{\alpha }_{\mathrm{1}})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& (d+\lambda )\end{array}\right]

则

\begin{array}{l}\overline{\mathit{F}}-\overline{\mathit{V}}=\mathit{F}-\mathit{V}-{\eta }_{\mathrm{1}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& {\beta }_{\mathrm{1}}(t)& {\beta }_{\mathrm{2}}(t)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \xi (t)& \mathrm{0}\end{array}\right]=\\ \mathit{F}-\mathit{V}-{\eta }_{\mathrm{1}}B(t)\end{array}

当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时,r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-\mathit{V}}(\omega )\right)>\mathrm{1},则当\epsilon充分小,可使{\eta }_{\mathrm{1}}足够小,从而使得r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-\mathit{V}-{\eta }_{\mathrm{1}}}B(\omega )\right)>\mathrm{1}。由引理5及比较原理知,存在一个正\omega周期函数v(t),使得J(t)\ge v(t){\mathrm{e}}^{{\theta }_{\mathrm{2}}t},其中J(t)={\left(E(t),I(t),C(t)\right)}^{\mathrm{T}},{\theta }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\omega }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(r\left({\mathit{\Phi }}_{\mathit{F}-V-{\eta }_{\mathrm{1}}}B(\omega )\right)\right)。易知{\theta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},所以

\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}E(t)=\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}I(t)=\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}C(t)=\mathrm{\infty }

这与矛盾,所以W^s(E_{\mathrm{0}})\bigcap X_{\mathrm{0}}=\mathrm{\varnothing }。易知,从M_{\partial }中出发的每一条轨道都汇聚到E_{\mathrm{0}},且E_{\mathrm{0}}在M_{\partial }中非循环。

其次证明模型(1)的解一致持久。由引理6知,\mathit{P}是一致持久的。再由文献[22]中的定理3.1.1知,模型(1)的解一致持久。

最后证明模型(1)存在正周期解。由文献[20]中定理1.3.6知P有一个不动点\left(S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),E^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),I^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),\right.Q^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),\left.R^{*}(\mathrm{0}),M^{*}(\mathrm{0}),C^{*}(\mathrm{0})\right)\in X_{\mathrm{0}},则S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})\in {\mathbb{R}}_{+}, \left(E^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),I^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})\right)\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\left({\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}\right),\left(Q^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),R^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),\left.M^{*}(\mathrm{0})\right)\in \right.{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{3}},C^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\left({\mathbb{R}}_{+}\right)。下证S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},Q^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},R^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},M^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0}。若不成立,可假设S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}。由(1)式中第一个方程有\stackrel{\cdot }{S^{\mathrm{*}}(t)}\ge \Lambda -{\lambda }_{\mathrm{1}}(t)S^{\mathrm{*}}-(d+\varphi )S^{\mathrm{*}},且S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})=S^{\mathrm{*}}(n\omega )=\mathrm{0},n=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\dots ,又对任意t>\mathrm{0},有

S^{\mathrm{*}}(t)=

\left[S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\Lambda {\mathrm{e}}^{{\int }_{\mathrm{0}}^{s_{\mathrm{2}}}(d+\varphi +{\lambda }_{\mathrm{1}}(s_{\mathrm{1}}))\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}}\right)\mathrm{d}{s}_{\mathrm{2}}\right]{\mathrm{e}}^{{\int }_{\mathrm{0}}^t-(d+\varphi +{\lambda }_{\mathrm{1}}(s_{\mathrm{1}}))\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}}=

{\mathrm{e}}^{{\int }_{\mathrm{0}}^t-(d+\varphi +{\lambda }_{\mathrm{1}}(s_{\mathrm{1}}))\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\Lambda {\mathrm{e}}^{{\int }_{\mathrm{0}}^{s_{\mathrm{2}}}(d+\varphi +{\lambda }_{\mathrm{1}}(s_{\mathrm{1}}))\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}}\right)\mathrm{d}{s}_{\mathrm{2}}

显然S^{\mathrm{*}}(n\omega )>\mathrm{0}与S^{\mathrm{*}}(n\omega )=\mathrm{0}矛盾,所以S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},同理可得Q^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},R^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},M^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})>\mathrm{0},所以\left(S^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),E^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),I^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),Q^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),R^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),M^{\mathrm{*}}(\mathrm{0}),C^{\mathrm{*}}(\mathrm{0})\right)为模型(1)的一个正\omega周期解。定理得证。

3　 数值模拟

本节通过数值模拟研究病毒携带人群对手足口病传播与控制的影响。

下面首先应用模型(1)对收集到的2017年1月至2019年12月期间每月新增手足口病例数进行拟合。为此设置各人群的初始值为2017年初的值,其中高危人群的康复者数量为2017年之前感染了手足口病且在2017年初尚处于7岁以下的儿童数量,易感者数量为2017年初7岁以下儿童总数与康复者数量的差，健康人群的易感者数量为2017年初我国总人口减去儿童数,其余人群的初值通过估计得到。模型的拟合结果如图4所示,由图4可以看出拟合结果较好。

参数估计得到的发生率如下:

{\beta }_{\mathrm{1}}(t)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0.278}\mathrm{3}-\mathrm{0.268}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{1.257}\mathrm{9}\left[\mathrm{0.278}\mathrm{3}-\mathrm{0.268}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}}\right]-\mathrm{0.002}\mathrm{656}\mathrm{37},t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（10）

{\beta }_{\mathrm{2}}(t)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0.169}\mathrm{6}-\mathrm{0.109}\mathrm{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{1.353}\left[\mathrm{0.169}\mathrm{6}-\mathrm{0.109}\mathrm{3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}}\right]-\mathrm{0.021}\mathrm{285}\mathrm{9},t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（11）

\xi (t)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0.146}\mathrm{6}-\mathrm{0.01}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}},t\in T_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{1.253}\mathrm{5}\left[\mathrm{0.146}\mathrm{6}-\mathrm{0.01}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(t+\mathrm{59})}{\mathrm{365}}\right]-\mathrm{0.034}\mathrm{628}\mathrm{1},t\in T_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（12）

模型(1)的基本再生数为R_{\mathrm{0}}=\mathrm{2.328}\mathrm{6}>\mathrm{1}。这说明我国的手足口病将在很长一段时间内持续存在,因此研究其传播动力学和各类防控措施的有效性是非常重要的。中国疾病预防控制中心报告的手足口病数据最新为2019年12月的数据,下面根据表1的参数对2020―2022年我国每年高危人群的累计患病人数进行了预测,预测结果如表2所示。

下面验证模型的理论结果。当病毒携带者恢复为健康者的比率\lambda =\mathrm{0.001}\mathrm{5}，其他参数值采用表1中的值时，根据基本再生数的计算公式（6）和（7），并应用引理1,可得模型(1)的基本再生数为,此时由定理2可知,无病平衡态E_{\mathrm{0}}全局稳定,如图5所示,这表明此时手足口病最终可从人群中清除。当病毒携带人群恢复为健康者的比率为表1中的值,即\lambda =\mathrm{1.002}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}时,模型(1)的基本再生数为R_{\mathrm{0}}=\mathrm{2.328}\mathrm{6}>\mathrm{1},此时由定理3可知,模型存在正周期解,如图4所示,这表明此时手足口病将持续存在并呈现出周期性变化的趋势。

下面研究普通人群中的病毒携带者对手足口病疫情传播和控制的影响。为此,我们分析病毒携带者的传染性({\beta }_{\mathrm{2}}(t))和病毒清除率(\lambda)变化时,高危人群中的新增病例数的变化。降低普通人群中的病毒携带者的传染性(降低{\beta }_{\mathrm{2}}(t))、提高普通人群中的病毒携带者的病毒清除率(增加\lambda),病例数随时间的变化情况如图6(a)和(b)所示。图6(a)显示,若普通人群中的病毒携带者和高危人群中的易感者之间的有效接触率{\beta }_{\mathrm{2}}(t)在基线基础上分别降低10%、20%及30%时,手足口病例数将在很大程度上减少,这说明增强易感者的营养补充(降低{\beta }_{\mathrm{2}}),如：多吃水果、蔬菜,同时降低高危人群的易感水平,如家长定期陪孩子锻炼等,可有效地降低感染手足口病的概率。由图6(b)可知,若将病毒携带人群恢复为健康者的比率\lambda在基线基础上(\lambda =\mathrm{1.002}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}})分别增加2倍,5倍及9倍,感染病例数也会减少,这说明普通人群通过勤洗手、做好日常消毒等干预措施(提高\lambda),也可在一定程度上降低病毒携带人群的传染性,从而抑制手足口病的传播。以上研究结果表明,病毒携带人群对手足口病的传播和控制具有明显的影响,通过提高高危人群的易感水平,同时提高病毒的清除率,可有效降低手足口病的传播。此外,我们研究了感染者的入院率(\eta)和通过自我干预后的恢复率({\gamma }_{\mathrm{1}})对手足口病传播过程的影响,如图6(c)和图6(d)所示。图6(c)表明,若将感染者的入院率\eta在基线基础上分别增加10%、20%和30%,手足口病感染病例数得到了显著降低。这说明通过加强宣传教育,增强公众对手足口病的重视程度,可提高入院隔离率,从而大大降低手足口病的传播。图6(d)表明,若将感染者通过自我干预后的恢复率{\gamma }_{\mathrm{1}}在基线基础上分别增加30%、60%和100%,手足口病感染病例数也得到了显著降低。这说明通过提高婴幼儿患者家长的意识,使其督促婴幼儿感染者多吃水果、蔬菜，及时补充维生素等,可提高感染者的恢复率{\gamma }_{\mathrm{1}},使手足口病感染病例数大为降低。这些研究结果表明,手足口病感染者的入院隔离率和通过自我干预的恢复率对疾病的传播具有显著影响。提高公众对手足口病严重性的了解,增强公众的防护和干预意识,可显著减少感染病例数。进一步分析可知,相比于病毒携带人群,管控主要发病人群,例如提高手足口病感染者的入院隔离率和恢复率,对降低疾病的传播有更为显著的效果。

为了进一步探究与病毒携带人群和主要发病人群相关的参数对手足口病传播的影响,我们分析了如下4个参数：病毒携带者与易感者的有效接触率{\beta }_{\mathrm{2}}(t)、病毒携带者恢复为健康者的比率\lambda、感染者的入院隔离率\eta及感染者自我干预后的恢复率{\gamma }_{\mathrm{1}}变化时,基本再生数的变化情况。为方便讨论,引入参数\mathrm{0}\le k\le \mathrm{1},则当k发生变化时,病毒携带者与易感者之间的有效接触率表示为(\mathrm{1}-k){\beta }_{\mathrm{2}}(t),病毒携带人群恢复为健康者的比率、手足口病感染者的入院隔离率及康复率分别由(\mathrm{1}+k)\lambda、(\mathrm{1}+k)\eta及(\mathrm{1}+k){\gamma }_{\mathrm{1}}表示。图7展示了基本再生数随着参数k的变化而发生变化的情况。从图7可以看出,降低病毒携带人群的传染性(降低{\beta }_{\mathrm{2}})、提高病毒携带者的病毒清除率(增加\lambda)、提高手足口病感染者的入院隔离率(增加\eta)、增强感染者的自我干预效果(增加{\gamma }_{\mathrm{1}}),均可降低基本再生数\left(R_{\mathrm{0}}\right)。进一步分析可知,在减少基本再生数方面,相比于病毒清除率(\lambda)和恢复率({\gamma }_{\mathrm{1}}),携带病毒人群对健康人群的传染率({\beta }_{\mathrm{2}}(t))及高危人群的隔离率(\eta)对控制手足口病的传播具有更显著的效果。特别地,当降低普通人群中的病毒携带者与高危人群中的易感者间的有效接触率时,基本再生数得到大幅降低。这进一步支持了模型中考虑病毒携带者的重要性和必要性。这些结果表明,改善普通人群的手卫生,加强日常清洁和消毒,是减少传染手足口病的有效和可行的措施。医院可检验病毒携带者体内的病毒载量,研究病毒载量达到何种水平会参与手足口病的传播, 基于此尽早采取一些干预措施,以降低由病毒携带人群造成的疫情暴发风险。

4　 结 语

本文通过将人群分为高危人群和普通人群, 同时考虑了高危人群中的易感者可被高危人群中的感染者和普通人群中的病毒携带者传染两种传播模式,建立了一类具有周期传染率的手足口病模型,研究普通人群中的病毒携带者对手足口病传播过程和控制结果的影响。引入了一类新的发生率函数,如（5）式和图3所示。这是一类与已有研究工作中不同的新的手足口病模型。应用算子的方法,定义了模型的基本再生数,如（6）和（7）式所示。理论上分析了模型无病平衡态的全局稳定性(定理2),得到了模型存在正周期解的条件(定理3),并通过数值模拟对理论结果进行了验证。研究结果同时表明,当基本再生数时,手足口病最终可从人群中清除,如图5所示;当基本再生数R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时,手足口病将演变为地方病,并呈现出周期性变化的态势,如图4所示。

应用所建模型对2017年1月—2019年12月我国高危人群中每月新增手足口病例数进行了拟合, 拟合结果如图4所示。为了探究病毒携带人群和主要感染人群对手足口病传播过程的影响,本文分析了感染人数对模型中的一些关键参数，如病毒携带人群的传染性{\beta }_{\mathrm{2}}、感染者的入院隔离率\eta和感染者自我干预后的恢复率{\gamma }_{\mathrm{1}}的敏感性。与病毒携带人群对感染人数的影响相比,主要感染人群对感染人数具有更显著的影响。为了进一步探究关键参数对疾病暴发风险的影响，我们分析了基本再生数对与病毒携带人群相关的参数(即{\beta }_{\mathrm{2}},\lambda)和与主要感染人群相关的参数(即\eta,{\gamma }_{\mathrm{1}})的敏感性，如图7。研究结果表明，与主要感染人群相比,病毒携带人群对疾病的暴发风险具有更显著的影响。

迄今为止,有研究工作分别探究了降低开始治疗的阈值和缩小感染个体的活动范围^[13]、对感染者进行及时隔离^[9]、加强宣传教育^[10]、加强疫苗接种和清洁环境卫生^{[11，12，15]}、缩短病程^[16]、积极接受治疗^[14]等是控制手足口病的有效措施。此外,强烈的行为改变^[18]以及气候变化^[17]等因素对手足口病的传播过程也有显著影响。本文研究发现,除了加强对高危人群中的感染者的隔离、提高他们的自我干预能力, 降低普通人群中的病毒携带者的传染性、提高他们的病毒清除率,对手足口病的控制具有非常重要的作用。

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