电子-核深度虚康普顿散射过程中质子形状涨落

Proton Shape Fluctuations in Electron-Nucleus Deeply Virtual Compton Scattering

摘要

在色玻璃凝聚有效场理论框架下，研究了质子形状涨落效应对EIC和LHeC能区的电子-核深度虚康普顿散射微分截面的影响。本文通过热点模型引入质子形状涨落效应，改进了偶极子散射振幅，从而获得一个质子形状涨落效应修正的深度虚康普顿散射微分截面。计算了深度虚康普顿散射微分截面，把没有涨落效应与包含涨落效应的截面作比较，发现在电子-质子深度虚康普顿散射过程中，质子形状涨落对小动量转移区间的截面有一定的影响，使得微分截面被压低；电子-核在深度虚康普顿散射过程中，质子形状涨落对相对较大的动量转移区间的截面有一定的影响，从而导致衍射图案的波峰和波谷的位置向右移动。衍射图案中波峰和波谷位置容易进行高精度测量，电子-核深度虚康普顿散射过程中波峰和波谷位置的变化将为研究质子形状涨落提供一个较好的信号。

Abstract

The impact of proton shape fluctuations on the electron-nucleus deeply virtual Compton scattering (DVCS) differential cross-section is studied at the energies of the EIC and LHeC in the framework of the Color Glass Condensate. Proton shape fluctuations are included using the hot spot model, which modifies the dipole scattering amplitude, and a proton shape fluctuation-improved DVCS differential cross-section is obtained. We numerically calculated the DVCS differential cross-sections, and compared the results with those without proton shape fluctuations. We found that the proton shape fluctuations have a certain impact on the electron-proton DVCS differential cross-section in the small momentum transfer region, which leads to the suppression of the cross-section. For the electron-nucleus DVCS process, we found that the proton shape fluctuations influenced on the differential cross-section in the relatively larger momentum transfer region, which renders the peaks and dips of the diffraction to move toward the right. The peaks and dips of the diffraction can be measured with high precision, indicating that this study may provide a suitable method for investigating proton shape fluctuations.

Graphical abstract

关键词

质子结构 / 色玻璃凝聚 / 深度虚康普顿散射

Key words

proton structure / color glass condensate / deeply virtual Compton scattering

0　 引 言

在相对论重离子碰撞机(RHIC)和大型强子对撞机(LHC)上的强子和核碰撞实验要求人们对高能极限下的量子色动力学(QCD)有深入的理解，尤其要对饱和区域部分子动力学有深入的认识。LHC能区紧凑缪子线圈(CMS)合作组测得的高能质子-铅碰撞中椭圆流(v_{\mathrm{2}})实验数据显示^[1]，采用圆形的质子作为流体动力学模型的初始演化条件无法描述相关数据。人们需要在初始条件中加入质子逐事件涨落(也称为质子形状涨落)效应才能使唯象模型较好地描述实验数据^[2]。此研究表明质子的形状涨落效应在高能粒子相互作用过程中可能起着重要的作用。

近年来研究质子的结构是高能物理领域一个非常热门的课题。美国布鲁克海汶国家实验室计划建造的电子离子对撞机(EIC)、欧洲核子中心计划建造的大型强子-电子对撞机(LHeC)和中国计划建造的电子-离子对撞机（EicC）实验将为人们研究质子和核的内部结构提供非常好的机会^[3-5]，如部分子的位置空间分布和动量空间分布等。

EIC和LHeC实验都将利用高能电子作为射弹与靶核（通常为质子或原子核）发生深度非弹性散射，探测靶的内部结构。通常人们把深度非弹性散射过程（DIS）分为单举和衍射两个过程。由于单举非弹性散射过程中靶核完全被打碎，没有对应的动量转移量（t），故不能用来探测靶核中部分子的空间分布。衍射非弹性散射过程要求靶核形状上保持不变（没有被打碎），但动量发生改变，即该过程伴随有动量转移。众所周知，动量转移量与碰撞参数（b）互为傅里叶共轭量，而碰撞参数是反应靶核内部结构的一个物理量^[6-7]。因此，我们可以利用衍射非弹性散射过程研究靶核内部分子的分布情况。

高能电子-质子/核散射中矢量介子产生过程是一个典型的衍射非弹性散射过程，尤其是J/\psi粒子的产生。然而矢量介子波函数不能用理论进行精确计算，目前只能用模型进行近似描述，故会带来额外的模型误差^[6]。为了减少误差，本文将采用深度虚康普顿散射过程（DVCS）研究质子的形状涨落。电子-质子/核DVCS是一种特殊的衍射非弹性散射过程，其与矢量介子的产生过程的区别在于末态产生一个实光子（取代矢量介子J/\psi，\rho等）。实光子波函数可以采用量子电动力学进行精确计算^[8]，因此有效剔除了波函数误差。此外，在DVCS过程中，因为净色荷不变，所以要求相互作用过程中至少有两个部分子交换。因此该过程的散射截面正比于偶极子散射振幅的平方，从而可知相对于单举DIS过程，DVCS过程对靶核的内部结构更为敏感，故更适合用来研究质子的形状涨落现象。

1　 DVCS过程中质子形状涨落的描述

本节将在色玻璃凝聚理论框架下，利用DVCS微分截面揭示质子的形状涨落。首先介绍DVCS过程的截面以及散射振幅实部和偏振效应对其的修正；然后介绍偶极子散射振幅，并利用热点模型引入质子形状涨落；最后介绍把电子-质子DVCS过程推广应用到电子-核DVCS过程。

1.1　DVCS过程的截面

在色玻璃凝聚理论框架下，本文将采用Good-Walker图像对DVCS过程进行描述。在Good-Walker图像中^[9]，根据靶核是否在散射过程中碎裂，把衍射深度非弹性散射划分成两种类型，即相干衍射（未碎裂）和非相干衍射（碎裂）。本文主要集中讨论相干衍射的情况，DVCS微分截面可写为^[6]：

（1）

其中，<\cdots>代表对靶核求平均，p和A分别代表质子和原子核，γ表示光子，T和L分别代表光子的横向和纵向激化，x为纵向动量分数，Q^{\mathrm{2}}表示光子虚度；A^{{\gamma }^{\mathrm{*}}p(A)\to \gamma p(A)}为衍射散射振幅，将在1.2节对其进行详细的描述。在方程（1）中，(\mathrm{1}+{\beta }^{\mathrm{2}})和R_g分别表示来自衍射散射振幅实部和偏振效应的修正。\beta是散射振幅实部与虚部的比值^[10]：

\beta =\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }\delta }{\mathrm{2}}\right)（2）

其中，

\delta =\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}(A_{T,L}^{{\gamma }^{\mathrm{*}}p(A)\to \gamma p(A)})}{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}/x)}（3）

对于R_g，取下面的形式：

R_g=\frac{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}\delta +\mathrm{3}}}{\sqrt[]{\mathrm{\pi }}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\delta +\mathrm{5}/\mathrm{2})}{\mathrm{\Gamma }(\delta +\mathrm{4})}（4）

1.2　衍射散射振幅

基于色玻璃凝聚理论，本文将利用色偶极子图像，把DVCS过程因子化为以下几个子过程（见图1），首先高能电子辐射出一个虚光子；其次虚光子以一定的几率劈裂成夸克与反夸克对（也称为偶极子）；然后色偶极子与靶核发生强相互作用；最后偶极子结合成一个实光子。所以DVCS过程的散射振幅可以写为以上三部分的乘积：

A_{T,L}^{{\mathrm{\gamma }}^{\mathrm{*}}\mathrm{p}(\mathrm{A})\to \mathrm{\gamma }\mathrm{p}(\mathrm{A})}(x,Q^{\mathrm{2}},\mathrm{\Delta })=\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}r\int {\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}b\int \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}({\mathrm{\Psi }}_{{\gamma }^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}{\mathrm{\Psi }}_{\gamma }{)}^f

\times \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\mathrm{i}[b-(\mathrm{1}-z)r]·\mathrm{\Delta }\right\}\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}^{\mathrm{p}(\mathrm{A})}}{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}b}（5）

其中，Q^{\mathrm{2}}表示光子虚度，r表示偶极子的横向大小，\mathrm{\Delta }表示动量转移（{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}=-t），\mathrm{\Delta }与b-(\mathrm{1}-z)r互为傅里叶共轭量，z和\mathrm{1}-z分别表示夸克和反夸克携带的动量分数。

在方程（5）中，({\Psi }_{{\gamma }^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}{\Psi }_{\gamma }{)}^f为虚光子与光子间的重叠波函数，可以通过量子电动力学（QED）进行精确计算，其表示为：

({\Psi }_{{\gamma }^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}{\Psi }_{\gamma }{)}^f=

\frac{N_c{\alpha }_{em}}{\mathrm{2}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{e}_f^{\mathrm{2}}\left\{[z^{\mathrm{2}}+{(\mathrm{1}-z)}^{\mathrm{2}}]\epsilon K_{\mathrm{1}}(\epsilon r)m_f{K}_{\mathrm{1}}(m_{f}r)\right.\left.+m_f^{\mathrm{2}}{K}_{\mathrm{0}}(m_{f}r)\right\}（6）

其中，N_c为色数，{\alpha }_{em}为电磁相互作用耦合常数，e_f和m_f分别表示f 味夸克的电量和质量，K_{\mathrm{0}}和K_{\mathrm{1}}分别表示第0阶和第1阶第二类修正贝塞尔函数，{\epsilon }^{\mathrm{2}}=z(\mathrm{1}-z)Q^{\mathrm{2}}+m_f^{\mathrm{2}}。

1.3　偶极子散射振幅

在方程（5）中一个最重要的物理量是偶极子散射截面，因为DVCS过程中所有的QCD动力学演化信息都包含在该物理量中。根据光学定理，偶极子散射截面可以用向前偶极子散射振幅表示：

\frac{\mathrm{d}{\sigma }^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}}{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}b}(b,r,x)=\mathrm{2}N(b,r,x)（7）

其中N(b,r,x)表示向前偶极子散射振幅，它随快度（或者能量）的演化满足Balitsky-Kovchegov（BK）演化方程^[11-12]。在过去的20多年中，BK方程得到极大的发展，Balitsky和Kovchegov-Weigert两个研究课题组分别将领头阶的BK方程推导到包含饱和跑动耦合常数的情形，即rcBK方程^[13-14]。大量的研究发现rcBK方程能较好地解释HERA能区质子结构函数实验数据，以及能较好地描述RHIC能区带电粒子多重数分布和横动量分布。

Staśto课题组的研究显示rcBK方程的数值解在碰撞参数b较大时呈现出库仑尾^[15]，导致其不能较好地描述偶极子散射振幅对碰撞参数的依赖关系。碰撞参数是研究质子形状涨落一个最关键的物理量，因此本文将采用唯象模型刻画偶极子散射振幅对碰撞参数的依赖关系。碰撞参数依赖的饱和模型（IPsat）是一个非常成功的唯象模型^[16-17]。由于其既包括了胶子饱和效应，又包含了DGLAP（Dokshitzer–Gribov–Lipatov–Altarelli–Parisi）演化，能较好地解释HERA、RHIC和LHC能区相关的物理量，如矢量介子产生截面。本文采用IPsat作为向前偶极子散射振幅，偶极子散射截面可以表示^[16]：

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}^p}{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}b}(b,r,x)=\mathrm{2}N(b,r,x)=

\mathrm{2}\left[\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{N}_c}{\alpha }_s({\mu }^{\mathrm{2}})xg(x,{\mu }^{\mathrm{2}})T_p(b)\right)\right]（8）

其中，{\alpha }_s代表强相互作用耦合常数，T_p(b)为质子的轮廓函数，本文假定它服从高斯分布

T_p(b)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{B}_p}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{b^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{B}_p}\right)（9）

这里B_p表示质子的分布宽度。在方程（8）中，xg(x,{\mu }^{\mathrm{2}})为胶子密度，它的演化规律可用DGLAP方程描述。xg(x,{\mu }^{\mathrm{2}})演化的初始条件为：

xg(x,{\mu }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}})=A_g{x}^{-{\lambda }_g}{(\mathrm{1}-x)}^{\mathrm{5.6}}（10）

其中，A_g，{\lambda }_g和{\mu }_{\mathrm{0}}为模型参数，本文采用参考文献[15]中的相关参数；{\mu }^{\mathrm{2}}是一个标度，它与偶极子横向大小的关系为：

{\mu }^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{4}}{r^{\mathrm{2}}}+{\mu }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}（11）

1.4　热点模型

本文采用热点模型引入质子形状涨落效应。根据组分夸克图像，人们认为一个质子包括了3个组分夸克，即uud。把质子加速到很高能量过程中，3个组分夸克将伴随有大量的胶子辐射，这些辐射出来的胶子将围绕在各自的组分夸克周围，形成胶子云，通常也称为“热点”。本文假定一个质子包含3个热点。众所周知，实验上测得的微分截面是大量事件的统计结果。由于质子内部存在“热点”，使得每一个事件质子的形状不相同，即质子形状逐事件涨落。这里的涨落包括“热点”空间位置的逐事件涨落，以及“热点”轮廓函数分布的涨落。

为了描述高能质子中以上两种涨落效应，在参考文献[10]中，Mäntysaari和Schenke假定三个组分夸克的中心位置都满足高斯分布，其分布宽度为B_{qc}。质子的轮廓函数不再采用方程（9）简单描述，他们认为质子的轮廓函数由几个热点共同决定，即^[10]：

T(b)=\frac{\mathrm{1}}{N_{hs}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N_{hs}}}{T}_{hs}(b-b_i)（12）

其中，N_{hs}为热点个数，b_i为质子中第i个热点的横向位置。在方程（12）中，T_{hs}(b-b_i)为单个热点的分布，仍然假定其满足高斯分布：

T_{hs}(b-b_i)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{B}_{hs}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{(b-b_i{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{B}_{hs}}\right)（13）

其中，B_{hs}为热点分布宽度。

1.5　电子-质子DVCS推广电子-核DVCS

1.3小节给出了电子-质子DVCS过程中偶极子散射振幅。本小节，将把对电子-质子DVCS过程的描述公式推广到电子-核DVCS过程。

参考描述偶极子-质子微分散射截面（7）式，可写出偶极子-核微分散射截面：

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}^A}{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}b}(b,r,x)=\mathrm{2}{N}^A(b,r,x)（14）

本文采用Glauber-Gribov方法将偶极子-质子散射振幅推广到偶极子-核散射振幅的情形^[18-19]，即^[20]：

N^A(b,r,x)=\left[\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{A{T}_A(b)}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}^p\right)\right]（15）

其中{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{p}}^p由方程（8）进行描述，A为核子数，T_A(b)为原子核密度函数，本文采用Woods-Saxon分布对其进行描述：

T_A(b)=\int dz{\rho }_A(b,z)（16）

Woods-Saxon分布为：

{\rho }_A(b,z)=\frac{n}{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[\frac{\sqrt[]{b^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}}+R_A}{d}\right]}（17）

其中，d=\mathrm{0.54}\mathrm{f}\mathrm{m}，R_A=(\mathrm{1.12}{A}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}}-\mathrm{0.86}{A}^{-\mathrm{1}/\mathrm{3}})\mathrm{f}\mathrm{m}，n由归一化条件\int d^{\mathrm{2}}bdz{\rho }_A(b,z)=\mathrm{1}确定。

从电子-质子DVCS过程到电子-核DVCS过程，热点模型也需要作相应的推广。根据上面的描述，将采用Woods-Saxon分布对原子核中核子的随机位置分布进行描述。此外，质子的轮廓函数（12）推广到核的情形变为：

T_A(b)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{B}_{hs}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^A}\frac{\mathrm{1}}{N_{hs}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{N_{hs}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{(b-b_i-b_j{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{B}_{hs}}\right)（18）

在下一节的数值计算中取B_{hs}=\mathrm{1.0}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{-\mathrm{2}}^[7]。

2　 数值结果

本节首先计算EIC和LHeC能区电子-质子DVCS过程微分散射截面，将分别考虑质子形状有涨落和无涨落两种情形，比较质子形状涨落对微分散射截面的影响作用。然后将模型推广应用到电子-铅DVCS过程，计算微分散射截面。对每一个事件，本研究采用10 000个事例数求统计平均。

2.1　电子-质子DVCS过程微分散射截面

采用方程（1）结合方程（5）、（6）和（8）计算了电子-质子DVCS微分散射截面，数值结果显示在图2和图3中。

图2给出了EIC能区虚光子-质子DVCS微分散射截面，图2（a）展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}时的结果，图2（b）展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}的结果。图2中蓝色的线代表质子形状没有涨落时的微分散射截面，红色的线代表质子形状有涨落时的微分散射截面（注：以下所有图中的结果都采用相似的颜色标记方式）。从图2中可以看出，在动量转移较小的区域，质子形状涨落效应对微分散射截面有一定的影响，使得微分散射截面被压低。但是动量转移较大的区域，质子形状涨落效应对微分散射截面没有影响，因此可以忽略。

图3给出了LHeC能区虚光子-质子DVCS微分散射截面的数值计算结果。图3（a)显示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}时的数值结果，图3（b)显示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}的数值结果。由图3可以看出，在大动量转移区域质子形状涨落效应也可以忽略不计。但是在小动量转移区域，质子形状涨落对DVCS有一定的影响，使得微分散射截面压低。由此可知，LHeC能区数值模拟结果与EIC能区相一致。此外，通过分别比较图2和图3各自的(a)(b)图，我们发现EIC和LHeC能区DVCS微分散射截面都随着Q^{\mathrm{2}}的增大，压低现象变小。

2.2　电子-核DVCS过程微分散射截面

在上一小节，计算了电子-质子DVCS过程，本小节将在此基础上利用方程（14）、（15）、（16）、（17）和（18）式把电子-质子DVCS过程推广到计算电子-铅DVCS微分散射截面。图4和图5给出了相关的数值计算结果。

图4给出了EIC能区电子-铅DVCS微分散射截面。图4（a)展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}时的结果，图4（b)展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}的结果。从图4中可以看出，在小动量转移区域，蓝色线和红色线几乎重合在一起，表明质子形状涨落对电子-铅DVCS微分散射截面几乎没有影响。但是在大动量转移区域，质子形状涨落效应使得波谷的位置有微小的向右移动，对微分散射截面有一定的影响。

图5给出了LHeC能区电子-铅DVCS微分散射截面；图5（a)展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}时的结果，图5（b)展示Q^{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\mathrm{G}\mathrm{e}{\mathrm{V}}^{\mathrm{2}}的结果。由图5可以看出，在大动量转移区域，质子形状涨落也使得微分散射截面的波谷向右移动。

通过对比电子-质子DVCS和电子-铅DVCS微分散射截面，可以发现质子形状涨落对电子-质子DVCS过程的影响主要表现在小动量转移区域，而对电子-铅DVCS过程的影响主要表现在相对较大的动量转移区域。另外，通过观察图4和图5可以发现电子-铅DVCS过程的微分散射截面呈现衍射图案，而电子-质子DVCS过程的微分散射截面（图3和图4）是一条简单曲线。衍射图案的波峰和波谷的位置在实验上容易进行高精度测量，因此可以利用波谷位置的变化来研究质子形状涨落效应。

3　 结 语

在色玻璃凝聚理论框架下，本文采用电子-核深度虚康普顿散射研究了EIC和LHeC能区质子的形状涨落。由于电子-质子深度虚康普顿过程相对简单，本文首先研究了电子-质子深度虚康普顿散射，通过热点模型引入了质子形状涨落效应的贡献，计算了该过程的微分散射截面。计算结果显示在小的动量转移区间，质子形状涨落对微分散射截面有一定的影响，从而导致微分散射振幅被压低。在此基础上，本文将电子-质子深度虚康普顿散射过程推广到电子-核深度虚康普顿散射过程，加入了核效应的影响，修正了偶极子散射振幅和热点模型。本文计算了电子-核深度虚康普顿散射微分截面，结果显示截面呈现衍射图案。利用衍射图案波谷的位置，研究了质子形状涨落的影响，发现在相对较大的动量转移区间质子形状涨落使得波谷的位置朝右移动，由此表明在高能事件过程中存在质子形状逐事件涨落现象。此外，衍射图案中波峰和波谷的位置容易进行高精度测量，因此电子-核深度虚康普顿散射将为研究质子形状涨落提供较好的机遇。

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基金资助

贵州省教育厅滚动支持项目(QJJ［2022］016)

广东省教育厅科研项目(2021KTSCX100)

广东省基础与应用基础研究基金(2025A1515010511)