高维广义Arnold变换的量子图像置乱算法

Quantum Image Scrambling Algorithm Based on High⁃Dimensional Generalized Arnold Transform

摘要

针对低维规则矩阵加密算法系数变化不灵活、高维加密矩阵难以构造的问题，提出一种基于等比数列的整数矩阵获取的高维广义Arnold变换的量子图像置乱算法。构造两个行列式等于1的高维整数矩阵，通过传统的矩阵乘法运算得到高维广义Arnold变换矩阵，再基于通用彩色量子图像表示方式，将高维广义Arnold变换矩阵应用于量子图像加密过程中。构造了高维广义Arnold变换矩阵的逆矩阵，并应用于图像解密。该算法变换公式类型丰富，可以生成维度很高的加密矩阵，研究以24位真彩色图像加密为例，验证了该算法的可行性。仿真实验结果表明，该算法具有较大的密钥空间，提高了密钥的随机性，具有较好的抗攻击能力，能满足密码学的要求。

Abstract

To address the limitations of inflexible coefficients in low-dimensional regular matrix encryption algorithms and the challenges associated with constructing high-dimensional encryption matrices, this study proposes a high-dimensional generalized Arnold transform for the quantum image scrambling algorithm based on integer matrices obtained from geometric sequences. Initially, two high-dimensional integer matrices with unit determinants were constructed, and a high-dimensional generalized Arnold transform matrix was derived using conventional matrix multiplication techniques. Subsequently, by employing a universal color quantum image representation framework, this transformation matrix was seamlessly integrated into the quantum image encryption process. Additionally, the inverse of the high-dimensional generalized Arnold transformation matrix is formulated and utilized in the image decryption procedure based on a universal-color quantum image representation. The proposed algorithm boasts a diverse range of transformation formulas that enable the generation of high-dimensional encryption matrices. The feasibility of this approach is exemplified by the encryption of 24-bit true-color images. The simulation results underscore the algorithm’s expansive key space, enhanced key randomness, and robust anti-attack capabilities, thereby fulfilling the stringent requirements of cryptography and demonstrating significant theoretical and practical merits.

Graphical abstract

关键词

量子图像处理 / 量子图像加密 / 量子图像表示模型 / 高维几何变换 / 等比数列 / 广义Arnold变换

Key words

quantum image processing / quantum image encryption / quantum image representation model / high-dimensional geometric transformation / geometric sequence / generalized Arnold transformation

0　 引 言

随着互联网和信息技术^[1]的飞速发展，多媒体数据传输的重要性日益凸显。图像作为人类生活中重要的信息载体，其丰富的数据信息在网络上的传输越来越普遍。然而，数字图像信息泄露事件频发，使得图像信息安全^[2]成为了一个亟待解决的研究课题。数学方法因其精确性和可靠性，在图像加密领域受到青睐，其中，离散Arnold变换^[3-5]作为一种有效的数学工具，被广泛应用于图像加密领域，并显示出其独特的优势。

随着量子计算^[6]和量子计算机^[7]的迅猛发展，量子图像处理^[8]应运而生，展现出广阔的发展前景。量子力学的原理被创新性地融入传统图像加密算法中，催生了量子图像加密^[9]算法的研究。通过将量子密钥与经典密钥相结合，文献[10]提出了一种可用于加密量子比特的块密码算法，可以防止量子攻击策略以及经典攻击策略，混合密钥在检查过程后可以安全地重复使用，减轻了密钥管理的任务。文献[11]结合经典密码和量子几何变换提出了量子图像密码的概念，为图像加密提供了新的研究方向。量子机制在图像处理中的应用引起了人们的广泛关注，文献[12]提出了一种基于超混沌和量子编码的图像加密方案。文献[13]采用基于量子混沌映射和稀疏采样的多级图像加密/解密算法，利用安全机制在公共网络上传输数字内容。针对传统加密方法安全性低的问题，文献[14]提出了一种基于离散分数小波变换和量子混沌映射的图像加密算法。现有量子图像加密方法^[10-14]大多采用低维几何变换，并结合多种技术以增强加密效果和安全性。但低维几何变换的较小周期性在密码学中是不被允许的，因为任何加密信息通过有限次的迭代最终都能被破译。然而，构造适用于图像加密领域的高维矩阵也颇具挑战。文献[15]利用Gauss-Markov过程生成一个随机序列，将其转换为对应的低阶整数矩阵，从中筛选出行列式等于1的矩阵，通过张量积运算构建高维加密矩阵，并应用于数字图像的加密。这种使用张量积运算构建高维加密矩阵的方法虽然简单，但矩阵元素却缺少相互之间的内在规律和联系。文献[16]首次提出了二维广义Arnold变换的概念，引入了这种内在规律和联系。

因此，本研究基于二维广义Arnold变换原理和等比数列^[17]规律提出了一种高维广义Arnold矩阵的构造方法，并将其应用于量子图像加密领域，有效解决了上述问题。与低维规则矩阵加密算法相比，本文算法矩阵变换周期巨大，密钥空间大，提高了密钥的随机性，具有较好的抗攻击能力，而且适用范围广，能够支持二值图像、8位灰度图像以及24位真彩色图像等数据量较大的图像加密。本文以24位真彩色图像加密为例，验证了算法的可行性。

1　 n维广义Arnold变换

定义1 变换\mathit{P}称为二维Arnold变换，对于正方形上的点{(x,y)}^{\mathrm{T}}，其到(x^{\mathrm{\text{'}}},y^{\mathrm{\text{'}}}{)}^{\mathrm{T}}的变换如(1)式所示。

\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\text{'}}}\\ y^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& \mathrm{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)=\mathit{P}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)(1)

式中，x,y,x^{\mathrm{\text{'}}},y^{\mathrm{\text{'}}}\in Z_N=\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,N-\mathrm{1}\}，N为自然数。

定义2 变换\mathit{Q}称为二维广义Arnold变换，对于正方形上的点{(x,y)}^{\mathrm{T}}，其到(x^{\mathrm{\text{'}}},y^{\mathrm{\text{'}}}{)}^{\mathrm{T}}的变换如(2)式所示。

\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\text{'}}}\\ y^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)=\mathit{Q}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)(2)

式中，a,b,c,d为整数，x,y,x^{\mathrm{\text{'}}},y^{\mathrm{\text{'}}}\in Z_N=\left\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\right.\dots ,N-\mathrm{1}\}，N为自然数，且|\mathit{Q}|=\pm \mathrm{1}。

定义3 变换\mathit{U}称为n维Arnold变换，对于点(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}，有：

\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ ⋮\\ x_n^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=

\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& \mathrm{2}& \cdots & \mathrm{2}& \mathrm{2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ \mathrm{1}& \mathrm{2}& \cdots & n-\mathrm{1}& n-\mathrm{1}\\ \mathrm{1}& \mathrm{2}& \cdots & n-\mathrm{1}& n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)=

\mathit{U}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)(3)

式中，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n,x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}},x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}},\cdots ,x_n^{\mathrm{\text{'}}}\in Z_N=\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,N-\mathrm{1}\}，n和N为自然数。

定义4 变换\mathit{V}称为n维广义Arnold变换，对于点(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}，有：

\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ ⋮\\ x_n^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{d}_{\mathrm{11}}& d_{\mathrm{12}}& \cdots & d_{\mathrm{1}n}\\ d_{\mathrm{21}}& d_{\mathrm{22}}& \cdots & d_{\mathrm{2}n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ d_{n\mathrm{1}}& d_{n\mathrm{2}}& \cdots & d_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)=

\mathit{V}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)(4)

式中，x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n,x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}},x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}},\cdots ,x_n^{\mathrm{\text{'}}}\in Z_N=\{\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,N-\mathrm{1}\}；n和N为自然数；\mathit{V}中元素d_{ij}（\mathrm{1}\le i,j\le n）均为整数，且|\mathit{V}|=\pm \mathrm{1}。

2　 基于等比数列的n维广义Arnold变换的构造方法

经典Arnold变换作为一种规则变换矩阵，存在固有的局限性。相比之下，广义Arnold变换的随意性，有效扩展了密钥空间，进一步提高了加密的安全性。

下面给出一种基于等比数列，密钥可定制的n维广义Arnold变换的构造方法。

引理1 设有一个等比数列\{a_n|a_n=a_{\mathrm{1}}\times q^{n-\mathrm{1}}\}，其中q为等比系数，且为整数，n\ge \mathrm{3}，且为整数，则由数列\{a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n\}可构造一个n维广义Arnold变换。

证 下面给出n维广义Arnold变换的构造方法，具体实现6维广义Arnold变换的构造。

为了简便叙述，用{\mathit{C}}_n表示n维广义Arnold变换矩阵，{\mathit{D}}_n表示n维基矩阵，且|{\mathit{D}}_n|={(-\mathrm{1})}^{n+\mathrm{1}}，{\mathit{A}}_n表示n维矩阵，且{\mathit{A}}_n(a_n,a_{n-\mathrm{1}},\cdots ,a_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}={(\mathrm{1,0},\cdots ,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}，同时用{\mathit{C}}_n(q)和{\mathit{A}}_n(q)表示{\mathit{C}}_n，{\mathit{A}}_n的具体数值，其中n为矩阵维数，q为等比数列的等比系数。

由等比数列\{a_n|a_n=a_{\mathrm{1}}\times q^{n-\mathrm{1}}\}，当n=6时，可以构造：\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -q\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{3}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{4}}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{5}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{6}}\\ a_{\mathrm{5}}\\ a_{\mathrm{4}}\\ a_{\mathrm{3}}\\ a_{\mathrm{2}}\\ a_{\mathrm{1}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)，令：

{\mathit{D}}_{\mathrm{6}}=\left(\begin{array}{cccccc}-\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)，

{\mathit{A}}_{\mathrm{6}}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -q\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{3}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{4}}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{5}}\end{array}\right)，

则：|{\mathit{D}}_{\mathrm{6}}|=-\mathrm{1}，|{\mathit{A}}_{\mathrm{6}}|=-\mathrm{1}，即{\mathit{D}}_{\mathrm{6}}和{\mathit{A}}_{\mathrm{6}}均为可逆矩阵。所以有{\mathit{C}}_{\mathrm{6}}={\mathit{A}}_{\mathrm{6}}^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_{\mathrm{6}}或{\mathit{C}}_{\mathrm{6}}={\mathit{A}}_{\mathrm{6}}\times {\mathit{D}}_{\mathrm{6}}^{-\mathrm{1}}或{\mathit{C}}_{\mathrm{6}}={\mathit{A}}_{\mathrm{6}}\times {\mathit{D}}_{\mathrm{6}}或{\mathit{C}}_{\mathrm{6}}={\mathit{A}}_{\mathrm{6}}^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_{\mathrm{6}}^{-\mathrm{1}}。显然以上等式均有|{\mathit{C}}_{\mathrm{6}}|=\pm \mathrm{1}。从而由等比数列\{a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_{\mathrm{6}}\}构造了一个6维广义Arnold变换。关于n维广义Arnold变换的构造方法将在后文介绍。

定义5 对于给定的{\mathit{D}}_n和A_n，定义如下4种n维广义Arnold变换：

1） 当{\mathit{C}}_n={\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_n时，称{\mathit{C}}_n为Ⅰ型n维广义Arnold变换，记为{\mathit{C}}_{n\mathrm{1}}；

2） 当{\mathit{C}}_n={\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}时，称{\mathit{C}}_n为Ⅱ型n维广义Arnold变换，记为{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}；

3） 当{\mathit{C}}_n={\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n时，称{\mathit{C}}_n为Ⅲ型n维广义Arnold变换，记为{\mathit{C}}_{n\mathrm{3}}；

4） 当{\mathit{C}}_n={\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}时，称{\mathit{C}}_n为Ⅳ型n维广义Arnold变换，记为{\mathit{C}}_{n\mathrm{4}}。

3　 各种类型n维广义Arnold变换的构造规律

由于{\mathit{A}}_n=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& -q\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& ⋰& \mathrm{1}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{2}}\\ ⋮& ⋰& ⋰& ⋰& ⋮& ⋮\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& -q^{n-\mathrm{2}}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& -q^{n-\mathrm{1}}\end{array}\right)，则{\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccc}{q}^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ ⋮& ⋮& ⋰& ⋰& \mathrm{0}& ⋮\\ q^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& ⋰& ⋰& ⋮& ⋮\\ q& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

由于{\mathit{D}}_n=\left(\begin{array}{cccccc}-\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋰& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& ⋰& ⋮& ⋮\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)，则{\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& ⋮& ⋰& ⋰& -\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ ⋮& \mathrm{0}& ⋰& ⋰& ⋰& ⋮\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

传统的基于低阶Arnold变换的图像置乱通常利用变换矩阵的周期性对图像进行恢复还原，但工程实践中，n的数值一般较大，运算量较高。Arnold逆变换也可用于图像置乱，因此，可以使用高维Arnold变换对应的逆变换对图像置乱进行解密。下面给出4种类型的n维广义Arnold变换及其逆变换的构造规律。

3.1　Ⅰ型n维广义Arnold变换的构造规律

基于上述的{\mathit{A}}_n、{\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}、{\mathit{D}}_n、{\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}，有：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{1}}={\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times \mathit{D}=\left(\begin{array}{cccccccc}-q^{n-\mathrm{1}}& q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& \cdots & q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{2}}-\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{2}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{2}}& \cdots & q^{n-\mathrm{2}}& q^{n-\mathrm{2}}& q^{n-\mathrm{2}}& q^{n-\mathrm{2}}\\ -q^{n-\mathrm{3}}-\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{3}}+\mathrm{1}& q^{n-\mathrm{3}}+\mathrm{1}& \cdots & q^{n-\mathrm{3}}& q^{n-\mathrm{3}}& q^{n-\mathrm{3}}& q^{n-\mathrm{3}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ -q^{\mathrm{3}}-\mathrm{1}& q^{\mathrm{3}}+\mathrm{1}& q^{\mathrm{3}}+\mathrm{1}& \cdots & q^{\mathrm{3}}+\mathrm{1}& q^{\mathrm{3}}& q^{\mathrm{3}}& q^{\mathrm{3}}\\ -q^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}& q^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}& q^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}& \cdots & q^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}& q^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}& q^{\mathrm{2}}& q^{\mathrm{2}}\\ -q-\mathrm{1}& q+\mathrm{1}& q+\mathrm{1}& \cdots & q+\mathrm{1}& q+\mathrm{1}& q+\mathrm{1}& q\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)(5)

Ⅰ型n维广义Arnold逆变换的构造规律：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}=({\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_n{)}^{-\mathrm{1}}={\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{A}}_n=\left(\begin{array}{cccccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}-q^{n-\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \ddots & \cdots & ⋮& ⋮& -q^{n-\mathrm{3}}+q^{n-\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \ddots & \ddots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -q^{n-\mathrm{4}}+q^{n-\mathrm{3}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & \ddots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \mathrm{1}& \mathrm{0}& -q^{\mathrm{2}}+q^{\mathrm{3}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}& -q+q^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}+q\end{array}\right)(6)

3.2　Ⅱ型n维广义Arnold变换的构造规律

基于上述的{\mathit{A}}_n、{\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}、{\mathit{D}}_n、{\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}，有：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}={\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccccc}\mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -q& \mathrm{1}+q& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -q^{\mathrm{2}}& q^{\mathrm{2}}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -q^{\mathrm{3}}& q^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \mathrm{0}& ⋮\\ -q^{n-\mathrm{3}}& q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& q^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{0}& \cdots & \cdots & \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)(7)

Ⅱ型n维广义Arnold逆变换的构造规律：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}=({\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}={\mathit{D}}_n\times {\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccccc}-q^{n-\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{2}}}{q}^i& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{q}^i& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{n-\mathrm{2}}}{q}^i& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ -q^{n-\mathrm{1}}+q^{n-\mathrm{2}}+q^{n-\mathrm{3}}+q^{n-\mathrm{4}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{1}}+q^{n-\mathrm{2}}+q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{1}}+q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{2}}}{q}^i& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right)(8)

3.3　Ⅲ型n维广义Arnold变换的构造规律

基于上述的{\mathit{A}}_n、{\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}、{\mathit{D}}_n、{\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}，有：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{3}}={\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n=\left(\begin{array}{cccccccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q& q& \cdots & -q& -q& -q& -q\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q^{\mathrm{2}}& \mathrm{1}-q^{\mathrm{2}}& \cdots & -q^{\mathrm{2}}& -q^{\mathrm{2}}& -q^{\mathrm{2}}& -q^{\mathrm{2}}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{4}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{4}}& \cdots & \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{4}}& -q^{n-\mathrm{4}}& -q^{n-\mathrm{4}}& -q^{n-\mathrm{4}}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{3}}& \cdots & \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{3}}& -q^{n-\mathrm{3}}& -q^{n-\mathrm{3}}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& \cdots & \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{2}}& -q^{n-\mathrm{2}}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& \cdots & \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}& \mathrm{1}-q^{n-\mathrm{1}}\end{array}\right)(9)

Ⅲ型n维广义Arnold逆变换的构造规律：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}=({\mathit{A}}_n\times {\mathit{D}}_n{)}^{-\mathrm{1}}={\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccccc}-q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}\\ -q^{n-\mathrm{1}}+q+\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}\\ q^{\mathrm{2}}-q^{}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ q^{\mathrm{3}}-q^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \ddots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ q^{n-\mathrm{3}}-q^{n-\mathrm{4}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ q^{n-\mathrm{2}}-q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & -\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ q^{n-\mathrm{1}}-q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)(10)

3.4　Ⅳ型n维广义Arnold变换的构造规律

基于上述的{\mathit{A}}_n、{\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}、{\mathit{D}}_n、{\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}，有：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{4}}={\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cccccccc}-q^{n-\mathrm{1}}+\mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& q^{n-\mathrm{1}}\\ -q^{n-\mathrm{2}}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& q^{n-\mathrm{2}}\\ -q^{n-\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \ddots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& q^{n-\mathrm{3}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ -q^{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & -\mathrm{1}& \mathrm{0}& q^{\mathrm{3}}\\ -q^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & \mathrm{1}& -\mathrm{1}& q^{\mathrm{2}}\\ -q-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& q+\mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)(11)

Ⅳ型n维广义Arnold逆变换的构造规律：

{\mathit{C}}_{n\mathrm{4}}^{-\mathrm{1}}=({\mathit{A}}_n^{-\mathrm{1}}\times {\mathit{D}}_n^{-\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}={\mathit{D}}_n\times {\mathit{A}}_n=\left(\begin{array}{cccccccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q-q^{\mathrm{2}}-\cdots -q^{n-\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q-q^{\mathrm{2}}-\cdots -q^{n-\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q-q^{\mathrm{2}}-\cdots -q^{n-\mathrm{3}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \ddots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q-q^{\mathrm{2}}-q^{\mathrm{3}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q-q^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}-q\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}& -q-q^{\mathrm{2}}-\cdots -q^{n-\mathrm{1}}\end{array}\right)(12)

4　 Ⅱ型n维广义Arnold矩阵的周期性

以Ⅱ型n维广义Arnold变换为例，介绍n维广义Arnold变换在量子图像置乱加密中的周期性及应用。

基于矩阵变换的公式如下：

{\mathit{X}}^{\mathrm{\text{'}}}=({\mathit{F}}_n(q)\times \mathit{X})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)(13)

其中，{\mathit{X}}^{\mathrm{\text{'}}}=({x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}},{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}},\cdots ,{x_{\mathrm{n}}}^{\mathrm{\text{'}}}{)}^{\mathrm{T}}、\mathit{X}=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}、q为公比、n为矩阵维数、N为变换的模数^[18]，n和N均为自然数，{\mathit{F}}_n(q)为几何变换矩阵。

矩阵{\mathit{A}}_n、{\mathit{D}}_n、{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}及其逆矩阵均可以用于图像的置乱加密中。由于矩阵{\mathit{A}}_n的特殊性，当公比q=\mathrm{2}时，矩阵{\mathit{A}}_n^{\mathrm{2}}(\mathrm{2})的非零元全部集中在主对角线、第一列和最后一列上，其中主对角线的元素均为奇数，其他非零元均为偶数。当变换的模数N=\mathrm{2}时，{\mathit{A}}_n^{\mathrm{2}}(\mathrm{2})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})=\mathit{E}，\mathit{E}为单位矩阵，则{\mathit{X}}^{\mathrm{\text{'}}}=(A_n^{\mathrm{2}}(\mathrm{2})\times \mathit{X})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})=\mathit{X}，所以对于任意的矩阵维数n，矩阵{\mathit{A}}_n的周期均为2。

表1给出当公比q=\mathrm{2}、变换的模数N=\mathrm{2}时，一些矩阵维数较低的变换矩阵{\mathit{D}}_n的周期。

Ⅱ型n维广义Arnold变换{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}的密钥空间巨大，当公比q=\mathrm{2}、变换的模数N=\mathrm{2}，n\ge \mathrm{5}时，通过周期计算实验发现{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}周期非常长。所以使用周期性进行解密还原并不可取，本文使用相应的逆变换进行解密。

5　 量子图像的表示模型

5.1　彩色图像的量子模型

本文基于新型彩色量子图像表示模型（Novel Quantum Representation for Color Digital Images，NCQI）^[19]实现对经典彩色图像的表示和存储。

NCQI表示包括位置态与颜色态，将对应位置\left|i\right.〉\left|j\right.〉的颜色信息编码在红、绿、蓝三个通道上。假设图像尺寸为{\mathrm{2}}^n\times {\mathrm{2}}^n，横纵坐标共用\mathrm{2}n个量子比特表示，颜色信息用\mathrm{3}r个量子比特表示，\mathrm{3}r是颜色色深，最多可以表示{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}r}种颜色，即红、绿、蓝三通道每个通道色深为r，每通道最多可以表示{\mathrm{2}}^r种颜色。整个图像用\mathrm{3}r+\mathrm{2}n量子比特即可表示。根据NCQI的表示方法，一个{\mathrm{2}}^n\times {\mathrm{2}}^n的图像可以表示为：

\left|\mathit{I}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|S_{ij}\right.〉\otimes \left|i\right.〉\left|j\right.〉=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|R_{ij}\right.〉\left|G_{ij}\right.〉\left|B_{ij}\right.〉\otimes \left|i\right.〉\left|j\right.〉(14)

其中，\left|S_{ij}\right.〉表示像素在\left|i\right.〉\left|j\right.〉位置的图像灰度像素值，\left|R_{ij}\right.〉、\left|G_{ij}\right.〉、\left|B_{ij}\right.〉分别表示像素在\left|i\right.〉\left|j\right.〉位置的红、绿、蓝三通道的编码灰度图像像素值。

5.2　量子彩色图像的制备

量子图像系统的初始态均为\left|\mathrm{0}\right.〉态，需要使用通用量子门向目标存储状态进行转换，具体过程如下：

1） 设定量子图像系统的初始状态为：

\left|\mathit{L}\right.〉={\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\otimes \mathrm{2}n+\mathrm{3}r}(15)

2） 应用量子Hadamard门进行变换，对每一位代表位置信息的量子比特分别进行量子Hadamard门变换，可以得到拥有{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}n}个状态的量子叠加态系统，即：

\left|\mathit{W}\right.〉={\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\mathrm{3}r}\otimes {\mathit{H}}^{\otimes \mathrm{2}n}({\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\otimes \mathrm{2}n})=

\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^n}{\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\mathrm{3}r}\otimes {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}n}-\mathrm{1}}}\left|j\right.〉=

\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^n}{\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\mathrm{3}r}\otimes {\displaystyle \sum _{X=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|X\right.〉{\displaystyle \sum _{Y=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|Y\right.〉=

\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^n}{\left|\mathrm{0}\right.〉}^{\mathrm{3}r}\otimes {\displaystyle \sum _{X=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{Y=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|XY\right.〉(16)

3） 根据图像的像素信息，按照坐标与彩色信息的映射关系，将量子图像中代表彩色信息的初始态序列（初始态为\left|\mathrm{0}\right.〉态）转换为对应的\left|\mathit{M}\right.〉态，从而完成量子图像中彩色信息与位置信息映射的过程，即：

\left|\mathit{M}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^n}{\displaystyle \sum _{X=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{Y=\mathrm{0}}^{{\mathrm{2}}^n-\mathrm{1}}}\left|f(X,Y)\right.〉\otimes \left|XY\right.〉

f(X,Y)=S_{XYR}^{r-\mathrm{1}}{S}_{XYR}^{r-\mathrm{2}}\cdots S_{XYR}^{\mathrm{1}}{S}_{XYR}^{\mathrm{0}}·S_{XYB}^{r-\mathrm{1}}{S}_{XYB}^{r-\mathrm{2}}\cdots S_{XYB}^{\mathrm{1}}{S}_{XYB}^{\mathrm{0}}=S_{XYR}{S}_{XYG}{S}_{XYB}(17)

其中，S_{XYR}^k,S_{XYG}^k,S_{XYB}^k\in \{\mathrm{0,1}\},f(X,Y)\in [\mathrm{0},{\mathrm{2}}^r-\mathrm{1}]。

经过以上三个步骤，量子图像系统可以从初始态（15）式经过一系列通用量子逻辑门转换为(17)式。

6　 量子图像加密算法

本文提出的量子图像加密算法主要由置乱阶段构成，极大地利用了高维矩阵的高维特性。在置乱阶段，利用高维变换的特性，可以对NCQI图像中的颜色信息与位置信息同时进行置乱，并能得到较好的加密效果。

本研究选取的彩色图像尺寸为{\mathrm{2}}^{\mathrm{8}}\times {\mathrm{2}}^{\mathrm{8}}，色深为24，采用的高维变换矩阵及其逆矩阵的维数n=\mathrm{40}。为了得到更好的加密和解密效果，对变换矩阵进行分块对角化处理，使用5个维数为\mathrm{8}\times \mathrm{8}的Ⅱ型广义Arnold矩阵{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}，构造变换矩阵为：{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(q)=\left(\begin{array}{ccccc}{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}\end{array}\right)。

量子图像加密算法的步骤如下：

Step1： 把彩色图像的三基色分量 R 、 G 、 B 的数值转换为对应的8位二进制构成的列向量{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}、{\mathit{G}}_{\mathrm{8}}、{\mathit{B}}_{\mathrm{8}}；

Step2： 把图像的位置分量\mathit{X}、\mathit{Y}的数值转换为对应的8位二进制构成的列向量{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}、{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}；

Step3： 将广义变换矩阵作用到\left|\mathit{M}\right.〉上，设置变换矩阵的维数n=\mathrm{40}，模数N=\mathrm{2}，公比q=\mathrm{2}；

Step4： 利用40维变换矩阵对\left|\mathit{M}\right.〉进行置乱，得到对应的颜色信息{{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{G}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{B}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}，位置信息{{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}。其中变换公式为：

\left(\begin{array}{c}{{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{G}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{B}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{G}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{B}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})(18)

其中{{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{G}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{B}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}均为8位二进制。

Step5： 把{{\mathit{R}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{G}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{B}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}转换为对应的十进制，则可以得到图像(X\text{'},Y\text{'})处的像素点的三基色(R\text{'},G\text{'},B\text{'})，也就确定了该点的坐标位置以及像素值。

由于高维几何变换周期很长，因此利用周期性还原原图像是不恰当的。所以量子图像的解密算法只要把广义矩阵{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(q)转换为对应的逆矩阵{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}{(q)}^{-\mathrm{1}}，按照加密算法的过程与方式，则可解密还原原图像。

(18)式为24位真彩色图像的变换公式。(19)式和(20)式分别为8位灰度图像和二值图像的变换公式：

\left(\begin{array}{c}{{\mathit{J}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathit{J}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})(19)

\left(\begin{array}{c}{k_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ {{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{1}}\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{8}}\\ {\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})(20)

式中{\mathit{J}}_{\mathrm{8}}，{{\mathit{J}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}为灰度图像灰度值对应的8位二进制构成的列向量；{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}、{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}、{{\mathit{X}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}、{{\mathit{Y}}_{\mathrm{8}}}^{\mathrm{\text{'}}}为图像的位置分量\mathit{X}、\mathit{Y}、\mathit{X}\text{'}、\mathit{Y}\text{'}的数值对应的8位二进制构成的列向量，{\mathit{C}}_{n\mathrm{2}}为\mathrm{8}\times \mathrm{8}的Ⅱ型广义Arnold矩阵；k_{\mathrm{1}}、{k_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}为二值图像像素值对应的1位二进制构成的列向量。8位灰度图像和二值图像的加密解密算法和24位真彩色图像的加密解密算法类似。

7　 仿真结果与分析

7.1　加密/解密效果仿真

本文中的实验平台为Windows10操作系统的PC机，实验中采用24位真彩色图像Barbara作为明文，该算法是在MALAB R2017a平台上进行实现。

基于矩阵变换{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})（简记为{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})）进行1次加密解密变换，效果如图1。图1（b）识别不出原有图像的任何信息，这是因为本文算法能够同时进行位置空间和色彩空间的置乱；图1（c）所示的解密图能很清晰地反应出原图像的内容，这是因为本文算法使用了逆矩阵进行解密。由图1可知，{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})能够得到很好的加密和解密效果。

为了进行对比，基于文献[20，21]的原理构造了3维广义Arnold变换（简记为GA3）和3维广义Fibonacci变换（简记为GF3），GA3的变换矩阵\mathit{J}如(21)式所示，GF3的变换矩阵\mathit{K}如（22）式所示。

\mathit{J}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{2}& \mathrm{1}& \mathrm{3}\\ \mathrm{3}& \mathrm{2}& \mathrm{5}\\ \mathrm{2}& \mathrm{1}& \mathrm{4}\end{array}\right)（21）

\mathit{K}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{4}\\ \mathrm{1}& \mathrm{5}& \mathrm{3}\end{array}\right)（22）

图2展示了GA3和GF3置乱1次后的加密效果。GA3和GF3均是进行色彩空间置乱，从图2展示的加密图中还是可以看出原图像的轮廓，且图2(a)的置乱程度不如图1(b)，这表明高维矩阵变换{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})的加密效果优于低维的GA3和GF3。

7.2　直方图分析

图像的直方图反映了图像最基本的统计特性。用直方图可以解析像素的规则性，比较直观地看出像素的分布状态，便于判断其总体像素分布情况。

图3是通过MATLAB计算得到的Barbara原图和分别加密1次和3次后密文图像的直方图。

从图3(a)可以看出，Barbara原图的直方图具有一定规律和特点，容易被破译者识别出来。从图3(b)可以看出，Barbara加密图像直方图中的图像像素值在低位区间缺失严重，图像像素值的均衡性不够，这是因为本文算法不仅实现了图像位置空间的置乱，而且还进行了色彩空间的置乱，因此改变了图像的像素值。从图3(c)可以看出，随着置乱次数的增加，Barbara加密图像直方图中的图像灰度值的出现的次数趋于均衡，缺乏特色规律，难以被识别。

7.3　相邻像素相关性分析

相邻像素相关性是评价算法置乱效果好坏的一个重要指标。相邻像素的相关性主要体现在水平、垂直和对角三个方向上相邻像素间的相关系数。一幅待加密的图像相邻像素间的灰度值往往具有很强的相关性。密文的相邻像素相关性越低，则表明算法的置乱效果越好。好的图像加密算法应该能够很好的降低图像相邻像素的相关性，并且尽量达到零相关。

表2统计了Barbara原图和Barbara图像在本文算法、GA3、GF3下加密图的水平、垂直和对角三个方向上相邻像素间的相关系数结果。

从表2可以看出，原始图像的相邻像素之间是高度相关的，本文算法密文图像不同方向上相邻像素相关系数小于GA3和GF3的密文图像不同方向上相邻像素相关系数。这是因为高维几何变换能够对位置空间和色彩空间同时进行置乱，所以通过1次置乱加密，可以很好降低图像不同方向的相邻像素相关系数，而GA3和GF3只能进行色彩空间置乱，所以密文图像像素之间还有较强的相关性。

为了更加直观的反应相邻像素相关性的变化，随机选取1 000个相邻像素点，绘制Barbara原图像与其加密1次图像在三个不同方向上的相关系数图，如图4所示。

从图4(a)~(c)可以看出原图像相邻像素在不同方向相关系数图的点主要集中在对角线区域，说明原图像相邻像素在不同方向呈现出高度相关性。从图4(d)~(f)可以看出加密图相邻像素在不同方向相关系数图的点得到很好的分散，说明加密图相邻像素点在不同方向的相关性较低。这表明本文算法置乱加密一次后能很好的降低图像像素在不同方向的相关性。

7.4　密钥空间分析

密钥空间是指所有可能成为密钥的合理数据的一个集合，密钥空间的大小能够反映其抗穷举攻击能力，是衡量算法优劣的标准之一。本文采用的是\mathrm{40}\times \mathrm{40}维的变换矩阵共有1 600个参数，若计算机的计算精度为16位有效数字，则该加密算法的密钥空间为{\mathrm{10}}^{\mathrm{25}\mathrm{600}}。若采用改进的分块变换矩阵，则密钥空间为\mathrm{5}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{1}\mathrm{024}}。理想的加密系统必须具备足够大的密钥空间以抵抗对密钥空间的强大攻击。当密钥空间大于{\mathrm{2}}^{\mathrm{100}}时才能为加密系统的安全性提供良好的保障^[22]，而\mathrm{5}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{1}\mathrm{024}}是远大于{\mathrm{2}}^{\mathrm{100}}。几种加密算法的密钥空间比较见表3，由表3可知，由于高维几何变换的参数数量巨大，本文算法的密钥空间要大于文献[23-29]中算法的密钥空间，因此本文算法能够更好地抵抗穷举法攻击。

7.5　密钥初值敏感性

混沌加密的主要优点之一是初值高敏感性，即使初始条件微小的变化也会导致完全不同的加密结果，这使得攻击者难以通过预测或复制加密过程来破解密码。

由于离散化下的Arnold变换状态空间较为有限，所以难以拥有优秀的混沌特征。但是从几何角度来看，本文算法依旧能够使得相邻近的两点(i,j)和(i+\mathrm{1},j)通过多次离散变换后不再相邻，在高维变换矩阵中修改一个元素的数值，使用本文算法也能够很好的改变像素的变换位置，证明广义Arnold变换拥有一定的初始值敏感性。使用该性质，经过多次置乱加密能够很好的打乱数字图像的相邻像素的方位，从加密图像不能得到原始图像的相关信息，实现了图像信息的安全保护。

7.6　信息熵分析

信息熵是信息论中用于度量信息量的一个概念。它描述了信息源各可能事件发生的不确定性，解决了对信息的量化度量问题。图像信息熵的表达形式如（23）式所示：

H=-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{255}}}{p}_i\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{p}_i（23）

其中,p_i表示图像中像素值为i的像素出现的概率。

不同加密算法的信息熵如表4所示。信息熵是衡量图像信息随机性的指标，信息熵越大，图像信息越随机，安全性越高。虽然表4中本文算法的信息熵不如GA3和GF3，但是一次置乱后加密图像的置乱效果却优于GA3和GF3。笔者认为信息熵主要计算的是像素点灰度值出现的概率，而不关心像素点的出现位置以及相互之间的关联关系，这样就导致本文算法的信息熵的结果不如GA3和GF3。

7.7　极大偏差分析

极大偏差^[30]S用于测量加密的质量，是对加密图与原图之间偏差的一种度量。加密图像的极大偏差的作用是有效抵御基于像素值统计的攻击，以及打乱图像中相邻像素的相关性，从而提高加密算法的安全性和效率。极大偏差S的值越大，加密图与原图的差别越大，算法的加密质量越高。计算极大偏差S的公式如下：

S={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{255}}}{h}_i-\frac{h_{\mathrm{0}}+h_{\mathrm{255}}}{\mathrm{2}}（24）

其中，h_i是灰度值在i（\mathrm{0}\le i\le \mathrm{255}）处加密图像和原图像的灰度直方图像素个数差的绝对值。

不同加密算法的极大偏差如表5所示。从表5可以看出，本文算法的极大偏差大于GA3和GF3。这是因为高维几何变换同时进行位置空间和色彩空间的置乱，使得加密1次后加密图和原图差别较大，而GA3和GF3只能进行色彩空间置乱，加密1次后加密图和原图还存在较大的相关性。

7.8　抗裁剪测试

针对Barbara图像对使用{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})和GA3加密1次的图像进行抗裁剪测试，具体效果图如图5所示。

图5(b)(d)可以看出加密后的图像被经过不同程度的裁剪后，解密后的图像存在一定的信息缺失，但是仍可以很好的识别图像信息。图5(c)和图5(e)的剪切位置和面积大小是一样的，均是大面积剪切。GA3是基于色彩空间的置乱变换，当图像被大面积剪切时（图5(e)），GA3无法恢复被剪切区域的（图5(f)）。由于剪切面积较大，且剪切了图像的关键部分，所以由图5(f)一般是识别不了原图信息内容的。但是高维几何变换同时进行位置空间和色彩空间置乱，所以高维矩阵变换在图像被大面积剪切时却可以恢复一部分被剪切图像内容，虽然有一定的失真（图5(d)），但是仍可以识别图像的信息。由于剪切攻击往往是大面积剪切，所以高维几何变换具有较好的抗剪切攻击能力。

7.9　抗噪声攻击测试

噪声攻击是图像干扰的一种重要方式。图像数据在处理、保存和网络传输的过程中经常会受到噪声的干扰，因此加密算法具有较强的抗干扰能力是非常必要的。分别使用{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})、GA3和GF3对Barbara图像进行一次加密处理后，引入噪声密度d=30%的椒盐噪声，相应的解密恢复效果图如图6所示。

从图6可以看出，当图像受到噪声密度较大的椒盐噪声污染时，使用{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})依然能够恢复原图像的关键信息，不会影响识别图像所承载的信息内容，且图像解密效果明显优于GA3和GF3。

表6展示了上述解密图像的信噪比（SNR）、峰值信噪比（PSNR）、归一化相关系数（NC）和结构相似性（SSIM）。这些参数值越大，说明相应解密性能越好。

表6中，{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})的SNR、PSNR、NC和SSIM均大于GA3和GF3的相应数值，这说明{\mathit{F}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{2})的抗噪声攻击能力要优于GA3和GF3，本文算法在一定程度上具有较强的抵御椒盐噪声攻击的能力。

8　 结 语

现今基于矩阵变换的图像加密多采用低维几何变换，这使得其加密效果并不理想。同时大多数矩阵变换的元素的数值与规律是固定的，虽然方法的简便带来一定的好处，但同时也降低了抵抗穷举攻击的能力。因此本文基于等比数列原理给出了一类高维变换矩阵及其逆矩阵的构造规律，能够生成不同大小的任意矩阵，可以对2值图像、8位灰度图像、24位真彩色图像以及更高维度的量子图像进行加密解密处理。本文以24位真彩色量子图像加密解密为例进行了实验，结果表明本文算法具有较好的加密解密效果，且本文算法密钥空间巨大，具有较好的随机性，相关系数分析结果良好，具有很好的抵抗剪切攻击和噪声攻击的能力。由于加密解密过程是对二进制位进行操作，所以时间复杂度非常大，如何使用数学方法提高加密解密的速度将是下一个研究方向。

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基金资助

国家自然科学基金(12161043)

江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ190462)