考虑患者到达时序的医院床位配置方法——基于时序预测的报童模型

Hospital Bed Allocation Method Considering Patient Arrival Timing—The Newsvendor Model Based on Time Series Prediction

摘要

选择床位配置方法对降低临床科室床位错配成本具有重要的现实意义。将预测患者入院需求的时间序列模型和报童模型相结合，提出锚定全局最优解的“拟合误差”这一核心概念，进而求解最优配置床位数及期望最小床位错配成本。基于时序预测的报童模型不仅能够突破经典报童模型服从特定分布及单一周期建模的约束，也能对时间序列中回归残差的“黑箱属性”展开“精准画像”。模型的数值实验表明：在特定参数值范围内，决策者应选择时序报童模型配置床位；但在特定参数值范围外，决策者应选择经典报童模型配置床位。实证分析也验证了数值实验结果。因而在床位配置日常情境中，选择适配的决策模型不失为一种更加主动和科学的应用方法。

Abstract

The selection of bed allocation methods is of practical significance for reducing the cost of bed mismatch in clinical units. By combining time series models for predicting patient admissions with the newsvendor model, we propose the core concept of “fitting error” anchored to the global optimal solution, and then derive the optimal number of bed configurations and the expected minimum bed mismatch cost. The newsvendor model based on time series forecasting not only breaks through the constraints of the classic newsvendor model, which adheres to specific distributions and single-period modeling, but also provides an “accurate portrait” of the “black-box nature” of regression residuals in time series. Numerical experiments of the model show that within a certain range of parameter values, decision-makers should choose the time series newsvendor model to configure beds; but outside this range of parameter values, decision-makers should choose the classic newsvendor model to configure beds. Empirical analysis also validates the results of the numerical experiments. Therefore, in the daily context of bed configuration, choosing the appropriate decision model is undoubtedly a more proactive and scientific application method.

Graphical abstract

关键词

时序报童模型 / 时序预测 / 拟合误差 / 床位配置

Key words

time series newsvendor model / time series forecasting / fitting error / bed allocation

0　 引 言

近年来，为推动医院管理模式由粗放式向精细化转变，《关于加强公立医院运营管理的指导意见》（https://www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2020-12/26/content_5573493.htm）《关于推动公立医院高质量发展的意见》（https://www.gov.cn/gongbao/content/2021/content_5618942.htm）《“十四五”优质高效医疗卫生服务体系建设实施方案》（https://www.ndrc.gov.cn/xxgk/zcfb/tz/202107/t20210701_1285212.html）等文件陆续发布，明确提出医院卫生资源配置要从注重物质要素向注重技术要素和数据要素转移。床位资源作为医院卫生资源的重要、传统载体^[1-2]，如何将其与运营管理工作深度融合，提升管理精细化水平是反映医院服务能力的核心指标。每千人病床数常用于衡量区域内床位资源供给密度水平，最新公布的《中国统计年鉴2023》显示，2022年末全国每千人病床数达6.92张，相较于2010年的每千人3.58张，增长约93%。但在以三级甲等医院为代表的优质医疗资源中依然一床难求。一边是每千人病床数的大幅上升，一边是焦急等待入院的患者，如何解决数据和现实中感受的“温差”，如何高效配置单位时间内科室开放床位数，已成为公立医院高质量发展背景下医院决策者不得不重视的命题^[3]。

床位配置（包含加床）应当依据入院患者流进行决策，但由于患者入院的突发性和不确定性，科室决策者往往被动应对患者入院，未能充分利用患者入院历史数据（例如时间序列特征）主动优化床位配置。入院患者流是患者就诊行为的基本属性之一，如果决策者在床位配置过程中忽视了患者到达时间序列特征，那么所依据的患者信息集很难反映真实患者流属性。此时，决策机制依赖不完备的需求信息集，配置床位可能出现供过于求或供不应求的问题。例如，春冬季节呼吸内科、儿科等科室患者明显增多，而夏秋季节患者显著减少。若科室床位保持静态配置，不仅徒增床位错配成本，甚至延误患者入院时机，导致“医院床位错配成本过高”“患者一床难求”的负和博弈。

经典报童模型作为一种供需匹配模型，通过假设需求样本总体分布特征（如正态分布、均匀分布、gamma分布）与特征值（均值和方差）求解最优决策^[4]。其在医疗场景中常被用于需求配置^[5]和入院控制策略^[6]，但鲜有文献将报童模型应用在床位配置中。床位资源（服务水平）的易逝性^[7]和其在时空上不可存储的特点^[8]使得床位配置同样适用于报童模型。

预判患者到达进而精准配置床位资源并实现其有效利用是医院床位管理的关键。实际应用中，时间序列数据集往往表现出“记忆性^[9]”“季节性^[10]”“稳定性^[11]”等特征。时间序列数据之间的自相关属性在计量经济学中得到了广泛应用^[12]。医院临床科室收治患者的历史数据具有明显的时序特征，t+i时刻患者数量与t时刻患者数量存在一定自相关关系（例如，流行病传播期间患者数量的前后关联、老年人反复住院构成了患者数量在时序上的自相关性）。梳理现有文献发现，一些学者专注于时序预测，通过分析历史数据，构建各类预测模型。周欢等^[13]运用时间序列分析方法（季节指数法和ARIMA模型）分析了儿科诊疗工作量的变化规律，并对未来的工作量进行了预测。Zhang^[14]展示了从传统时间序列模型到机器学习和大数据分析在传染病监测中的广泛应用。Luo等^[15]等选用ARIMA模型、长短期记忆模型、随机森林模型以支持需求预测，并采用归一化均方误差和平均绝对百分比误差评估结果准确性，研究结果表明时间序列预测可用于协助制定住院床位资源规划策略。在这些研究中，床位配置模型的讨论尤为关键。研究表明，采用时间序列预测在床位资源规划中能精准判断患者入院和出院趋势，从而在运营层面按“需”索骥制定床位筹备规划^[16-20]。此外，时间序列模型已被广泛应用于门诊人次^[21]和急诊资源配置^[22]等医疗场景中。尽管以上文献均基于时间序列回归分析，但对回归残差的“黑箱属性”尚未深入探讨，残差值在一定程度上仍然能左右预测值的精准度。

有关数据驱动与报童模型的融合应用也得到了学者们的广泛关注。在方法论扩展上，众多学者将报童模型与排队论^[23]、多阶段随机规划^[24]、动态CVaR度量^[25]、深度学习^[26]结合，从而在基于数据驱动的报童模型研究范式内取得突破。虽然上述文献围绕运筹、统计、深度学习模型从供给侧或需求侧出发展开研究，但并未找到合适的切入点以耦合供需两端。

为解决上述问题并弥补已有研究存在的不足，本文提出考虑时序特征的报童模型以主动应对患者到达，旨在预判患者入院人数、缩短患者入院等待时间、提升患者入院满意度，进而产生便民效应；同时，减少床位错配成本，触发精益效应，打造医院—患者的双赢局面。此外，将考虑患者到达时间序列特征的“需求动态性”理念整合到报童模型中，对改善患者医疗可得性、提升患者入院满意度，降低床位错配成本具有一定的理论和实际意义。具体来说，本文主要探讨了以下三个关键问题：1) 何为最优配置床位数，以及床位决策者如何把握患者到达时间序列特征进而配置最优床位数；2) 基于时序报童的精益效应与便民效应内在机理如何，两类效应是否能够同时满足；3) 基于最小化床位错配成本视角的时序报童模型是否总是优于经典报童模型。

本文主要贡献包括：1） 突破经典报童模型单周期约束，通过加入时间序列模型，建立基于历史数据的多周期报童模型；2） 从历史规律出发，考虑需求遵从时间序列特征，而非服从特定分布这一强假设；3） 借助报童思维，构造拟合误差这一核心概念，旨在平衡因外部因素导致回归生成过大或过小的残差，从而求解最优拟合误差并进一步计算最优配置床位数及期望最小床位错配成本。

1　 问题描述与符号说明

供需匹配问题中最优解为供需相等。医院管理者在床位配置决策中若能精准把握未来到达患者人数，从而配置等额的床位数，则该问题获得最优解，所配床位数即为最优配置床位数。但患者到达真实分布难以捕获，面对患者到达的不确定性，如何配置与其对应的最优床位数成为本文考虑的重点。

在供给侧，过多的床位配置导致资源浪费，产生床位配置冗余成本；过少的床位配置则有损患者医疗可得性，产生床位配置不足成本。故本文定义最优配置床位数为紧密围绕患者入院不确定需求的床位配置且该床位配置将产生期望最小错配成本，而报童模型的期望成本函数凸性恰好成为测量床位错配成本的有效工具。此时，模型期望最小床位错配成本的最优解q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}即为围绕不确定需求的最优配置床位数。在需求侧，考虑医院场景中患者到达的强时序特征，选择时间序列模型描述患者入院需求不仅能突破经典报童模型中需求服从特定分布的强假设，也能更好地描述患者到达的随机性。

综上，本文聚焦患者到达先后存在一定时序规律的床位配置问题，决策者通过收集患者到达历史数据、建立时间序列模型、对比模型拟合度，选择最优时间序列模型以预测患者到达人数拟合值，并结合报童模型框架精准配置床位，减少患者等待入院时间、提升患者医疗可得性，带来便民效应。经报童模型优化后的预测患者人数可指导床位配置行为，减少床位错配成本，带来精益效应。

基于此，本文提出锚定期望最小床位错配成本的床位动态配置方案。为方便问题分析，进行如下基本假设：

H1： 假设t时期患者入院需求为x_t，则t+1时期患者入院需求预测值为x_{t+\mathrm{1}}=\lambda +{\theta }_{\mathrm{1}}{x}_t+{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}，其中，\lambda为回归截距项，{\theta }_{\mathrm{1}}为一阶自相关系数，{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}为时间序列残差。进一步假设{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}服从均值为0，方差{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}恒定的正态分布，该假设符合计量经济学常识。使用最小二乘法(OLS)可得回归参数估计值\lambda、{\theta }_{\mathrm{1}}，此时t+1期患者入院需求预测拟合值为{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}=\lambda +{\theta }_{\mathrm{1}}{x}_t。

H2： 假设t+1时期初决策者配置床位数q_{t+\mathrm{1}}，且期间不再增减床位，q_{t+\mathrm{1}}为本文决策变量。考虑患者到达的不确定性，配置床位数q_{t+\mathrm{1}}与患者入院需求预测值x_{t+\mathrm{1}}存在两种关系：1） 表明床位配置冗余，导致床位及床位周边资源浪费，设床位配置冗余成本为C_o；2） x_{t+\mathrm{1}}>q_{t+\mathrm{1}}表明床位配置不足，导致一定的经济和社会效益损失，设床位配置不足成本为C_u。

H3： 假设一位患者在住院期间仅占用一张床，且患者转科不在本文考虑范围内。

根据上述假设，可得t+1时期科室配置床位数q_{t+\mathrm{1}}与床位错配总成本C的关系为：

C(q_{t+\mathrm{1}})=C_u(x_{t+\mathrm{1}}-q_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}+C_o(q_{t+\mathrm{1}}-x_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}(1)

其中，x^{+}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(x,\mathrm{0})。

由于x_{t+\mathrm{1}}具体分布难以准确估计，故本文采用时间序列分析方法预测t+1期患者到达数并将其置于报童模型框架中寻找与之匹配的最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}。

为扩展研究结论在管理实践中的普适性，本文提出四类不同的时间序列模型：P阶自回归（Autoregressive of Order P，AR(P)）模型，Q阶移动平均（Moving Average of Order Q，MA(Q)）模型、P阶自回归Q阶移动平均（Autoregressive Moving Average of Order(P,Q)，ARMA(P,Q)）模型、指数平滑（Exponential Smoothing，ES）模型。后文将结合这四类时间序列模型对医院科室床位配置展开分析。

本文涉及的数学符号及说明如表1所示。

2　 基本模型

基于时间序列的报童模型可看作在经典报童模型上融入时间序列特征得到，本节将对需求不服从特定分布但遵从时间序列特征的报童模型进行建模，并基于不同的时序特征分别求解该情境下最优配置床位数以及期望最小床位错配成本。下面将从经典报童模型出发推导时序报童模型范式(2.1节)、AR(P)时序报童模型(2.2节)、MA(Q)时序报童模型(2.3节)、ARMA(P,Q)时序报童模型(2.4节)、ES时序报童模型(2.5节)情境下最优配置床位数以及期望最小床位错配成本。

2.1　时序报童模型范式

相较于经验决策者选择特定分布描述需求，基于时间序列的需求预测通过考虑历史信息、捕捉动态变化、建模依赖关系把握患者入院需求客观规律，从而有效提升需求预测精度并减少床位错配成本。但时间序列模型的残差固有属性仍然会在一定程度上影响预测值的精度，故本文将时间序列模型残差纳入报童模型框架，确定最优拟合误差，进一步提升预测精度，助力决策者配置床位。

实际中决策者较难确定精准床位数以匹配不确定性需求。回顾现实供需匹配场景，供应总是“追随”需求变动而变动以获取最大收益或承担最小成本（如决策者观察到需求增加，则提高供应；观察到需求减少，则减少供应）。因此，令供应与需求形式（趋势）相同不失为一种合理的对称性假设。已知x_{t+\mathrm{1}}由预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}与时间序列残差{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}构成，其中预测拟合值经参数估计后为常量，时间序列残差为服从正态分布的随机变量，x_{t+\mathrm{1}}围绕预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}以方差{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}上下波动。由于时间序列残差的存在，为使配置床位更贴合实际需求，同时考虑供应追随需求变动，故构造t+1时期配置床位数q_{t+\mathrm{1}}={\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}+{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}，q_{t+\mathrm{1}}围绕同样的拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}以方差{\sigma }_{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}上下波动，其中{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}为预测拟合值与配置床位数的拟合误差。于是有q_{t+\mathrm{1}}-x_{t+\mathrm{1}}={\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}-x_{t+\mathrm{1}}+{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}=-{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}+{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}；易得x_{t+\mathrm{1}}-q_{t+\mathrm{1}}={\epsilon }_{t+\mathrm{1}}-{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}。决策者通过寻找拟合误差{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}确定q_{t+\mathrm{1}}，进而“追随”不确定需求x_{t+\mathrm{1}}。考虑实际意义，需求x_{t+\mathrm{1}}>\mathrm{0}，可得{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}>-{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}。

此时，原成本函数C(q_{t+\mathrm{1}})=C_u(x_{t+\mathrm{1}}-q_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}+C_o(q_{t+\mathrm{1}}-x_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}变换如下：

C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})=C_u({\epsilon }_{t+\mathrm{1}}-{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}+C_o({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}-{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}{)}^{+}(2)

因时间序列残差{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}服从概率密度为f({\epsilon }_{t+\mathrm{1}})的正态分布，故时序报童模型期望床位错配成本函数为：

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})]=C_o{\int }_{-{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}}^{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}-

{\epsilon }_{t+\mathrm{1}})f({\epsilon }_{t+\mathrm{1}})\mathrm{d}{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}+

C_u{\int }_{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}^{\mathrm{\infty }}({\epsilon }_{t+\mathrm{1}}-{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})f({\epsilon }_{t+\mathrm{1}})\mathrm{d}{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}(3)

基于报童模型的经典性质，可得如下命题。

命题1 考虑患者时序到达情境，最优配置床位数、期望最小床位错配成本由下式给出：

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}={\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}+{\sigma }_{\epsilon }{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})(4)

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_o+C_u){\sigma }_{\epsilon }{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_{\mathrm{0}}})}^{\mathrm{\infty }}z\mathrm{d}\Phi (z)(5)

证 (3)式对{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}求一阶条件，根据莱布尼兹公式有：

\frac{\partial E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})]}{\partial {\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}=-C_o{\int }_{-{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}}^{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}f({\epsilon }_{t+\mathrm{1}})\mathrm{d}{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}+

C_u{\int }_{{\Delta }_{t+\mathrm{1}}}^{\infty }f({\epsilon }_{t+\mathrm{1}})d{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}=\mathrm{0}

易得：

-C_{o}F({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})+C_u(\mathrm{1}-F({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}))=\mathrm{0}

进一步求解得：

F({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})=\frac{C_u}{C_u+C_o}

根据时间序列残差{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}服从均值为0，标准差为{\sigma }_{\epsilon }的正态分布，令Z=\frac{{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}-\mathrm{0}}{{\sigma }_{\epsilon }}转换标准正态分布：

F({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})=P({\epsilon }_{t+\mathrm{1}}\le {\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})=

P(\frac{{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}-\mathrm{0}}{{\sigma }_{\epsilon }}\le \frac{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\epsilon }})=\Phi (\frac{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\epsilon }})

因此，

F({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})=\Phi (\frac{{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\epsilon }})=\frac{C_u}{C_u+C_o}

故有{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}={\sigma }_{\epsilon }{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})，代入q_{t+\mathrm{1}}={\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}+{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}及(3)式易得：

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_o+C_u){\sigma }_{\epsilon }{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_{\mathrm{0}}})}^{\mathrm{\infty }}z\mathrm{d}\Phi (z)

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}={\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}+{\sigma }_{\epsilon }{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})

命题1得证，详细推导过程见附加材料S1。

命题1说明：时序报童模型期望床位错配成本对{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}求一阶条件得到最优拟合误差{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}在确定期望最小床位错配成本的同时也确定了时序报童模型最优配置床位数，这与问题描述相一致。同时，时序报童模型保留了经典报童模型和传统时间序列的优良性质，反馈至实际运营层面，经验决策者凭借历史经验感知制定床位配置策略，然而不同经验决策者对数据分布估计或存在差异（如常用均匀分布、正态分布、标准正态分布等），决策结果或“因人而异”。而理性决策者在观察到患者流时序特征后，即可得唯一最优解。即使决策者变更，依然能保证决策的稳健性、准确性。另一方面，传统时间序列模型种类繁多，决策者往往参考拟合优度R²、均方误差MSE、均方根误差RMSE、平均绝对误差MAE等指标评估时间序列模型效能。而时序报童模型最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}保留了时间序列原有结构，传统时间序列评估指标同样适用时序报童模型，决策者依据q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}配置床位具有统计学意义。最后，观察(4)式，最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}包含时间序列残差项标准差{\sigma }_{\epsilon }及需求预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}，而{\sigma }_{\epsilon }、{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}共同反映了需求的时间序列特性。综上，命题1回答了本文提出的第一、第二个问题，即最优配置床位数是紧密围绕患者到达规律，同时考虑患者到达时间序列特征{\sigma }_{\epsilon }、\lambda、{\theta }_{\mathrm{1}}的科学决策结果，也是期望最小床位错配成本的充要条件。而{\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}作为连接E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]与q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}的桥梁，一旦经由期望错配函数一阶条件确定，则可求出E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]、q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}。此时便民效应与精益效应同时满足。

2.2　AR(P)时序报童模型

本小节分析当患者入院需求服从AR(P)时间序列特征时，如何求解AR(P)时序报童模型最优配置床位数以及期望最小床位错配成本。AR(P)时间序列模型是时序分析中的一种基本模型，用于预测时间序列未来值与过去值之间的关系。它可以捕捉时间序列数据中的线性依赖结构。该模型为x_{t+\mathrm{1}}=\lambda +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\theta }_i{x}_{t-i+\mathrm{1}}+{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}，其中，\lambda为回归截距项，反映需求过程长期均值；x_{t-i+\mathrm{1}}为自回归项；{\theta }_i为i阶自相关系数反映x_{t-i+\mathrm{1}}方向及权重；P为自回归阶数；{\epsilon }_{t+\mathrm{1}}为时间序列残差；\lambda +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^P}{\theta }_i{x}_{t-i+\mathrm{1}}为AR(P)时间序列预测拟合值。当且{\theta }_i\ne \mathrm{0}时,该序列平稳。

推论1 当患者入院需求遵从AR(P)时间序列特征时，科室最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]为：

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=(\lambda +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\theta }_i{x}_{t-i+\mathrm{1}})+{\sigma }_{\epsilon }{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})(6)

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_u+C_o){\sigma }_{\epsilon }{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})}^{\infty }zd\Phi (z)(7)

证 AR(P)报童模型最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}及期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]推导过程详见附加材料S1。

推论1表明：AR(P)时序报童模型最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}与AR(P)预测拟合值(\lambda +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^P}{\theta }_i{x}_{t-i+\mathrm{1}})正相关，患者入院预测拟合值越大，科室最优配置床位数越多。同时时间序列残差标准差对最优配置床位数贡献受到成本结构C_o/C_u影响。我们发现相较于经验决策者配置床位数“不自觉”地向均值靠拢，理性决策者往往通过观察模型中成本结构配置床位。当C_o/C_u>\mathrm{1}时，{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})={\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+C_o/C_u})\in(-\mathrm{\infty },\mathrm{0})，此时床位配置冗余成本大于床位配置不足成本，相比于承担床位配置冗余成本，理性的决策者倾向于配置较少的床位以承担不足成本，故最优配置床位数小于预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}；当C_o/C_u=\mathrm{1}时，{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})={\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}})=\mathrm{0}，此时床位配置冗余成本等于床位配置不足成本，理性决策者中立于床位配置倾向，故最优配置床位数等于预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}；当时，{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})={\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+C_o/C_u})\in(\mathrm{0},\mathrm{\infty })，此时床位配置冗余成本小于床位配置不足成本，相比于承担床位不足成本，理性的决策者倾向于配置更多床位以承担冗余成本，故最优配置床位数大于预测拟合值{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}。理性决策在一定程度上反映了决策者“错配损失厌恶倾向”(损失厌恶倾向是前景理论^[27]中的核心概念之一，它表明损失给人带来的心理影响通常比同等大小的收益更为强烈）。在床位配置场景中，当理性决策者观察到C_u>C_o时，相较于承担床位配置不足成本，损失厌恶的决策者倾向于配置更多床位以承担较小的冗余成本。反馈在床位配置结果，有最优配置床位数大于预测拟合值；同理，当时，亦成立，最优配置床位决策总是朝向配置床位损失最小方向进行。

2.3　MA(Q)时序报童模型

本小节分析当患者入院需求服从MA(Q)时间序列特征时，如何求解MA(Q)时序报童模型最优配置床位数以及期望最小床位错配成本。MA(Q)时间序列模型用于描述该时间序列如何通过一系列随机扰动项的加权平均生成，该模型为：x_{\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\lambda +{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^Q}{\xi }_j{\epsilon }_{t-j+\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}。其中，{\epsilon }_{t-i+\mathrm{1}}为时间序列残差；{\xi }_j为残差系数反映{\epsilon }_{t-i+\mathrm{1}}方向及权重且；Q为移动平均阶数。本小节从AR(1)时间序列模型出发推导MA(Q)时间序列模型，此时AR(1)时间序列一阶自相关系数为{\theta }_{\mathrm{1}}。MA(Q)时间序列模型常假设各阶时间序列残差相互独立，但考虑到残差项难以准确反映客观实际，故扩宽该假设，设\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\epsilon }_{t+i},{\epsilon }_{t+j})\ne \mathrm{0}，\forall i\ne j。

推论2 当患者入院需求遵从MA(Q)时间序列特征时，科室最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]为:

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{\lambda }{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}}+{\sigma }_{\epsilon }\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^n)[\mathrm{1}+n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})]}{n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}}{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})(8)

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_o+C_u){\sigma }_{\epsilon }\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^n)[\mathrm{1}+n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})]}{n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}}{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})}^{\infty }zd\Phi (z)(9)

证 由附加材料S1可知最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]推导关键步骤在于构造拟合误差均值E({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})、拟合误差方差\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})。参照前文范式可证推论2。证明过程详见附加材料S2。

推论2表明：MA(Q)时序报童最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}与长期均值\frac{\lambda }{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}}、移动平均估计阶数n、一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}、时间序列残差标准差{\sigma }_{\epsilon }、成本结构C_u、C_o相关。与命题1分析相同，时间序列残差标准差对最优配置床位数的贡献受成本结果C_o/C_u影响。理性决策者通过观察成本结构从而判断最优配置床位数大于、小于或等于MA(Q)时间序列情境下预测拟合值。

推论3 (a) 当时，MA(Q)时序报童期望最小床位错配成本为C_u的严格单调递增函数；(b) 当时，MA(Q)时序报童期望最小床位错配成本为C_o的严格单调递增函数。

证 令E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]为关于C_u、C_o的函数G(C_u)、W(C_o)，同时概率密度函数f(x)在定义域内连续且{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})在定义域内可导，则变下限积分函数G(C_u)在定义域内可导。易得当时，G(C_u)为C_u的严格单调递增函数；同理，当时，W(C_o)为C_o的严格单调递增函数。详细证明过程见附加材料S3、S4。

推论3表明：当理性决策者观察到C_o/C_u>\mathrm{1}时，随着C_u增加，期望最小床位错配成本随即增大。同时，理性决策者受推论1中错配损失厌恶倾向影响，倾向于承担更多C_u，放缓床位配置速率。此时随着患者流持续到达，C_u逐渐增大，C_o逐渐减小直至C_u等于C_o。此后，待理性决策者观察到C_u>C_o，同样受错配损失厌恶倾向影响，决策者倾向于承担更多C_o，加快床位配置速率，此时随着患者流持续到达，C_u逐渐减小，C_o逐渐增大，直至两者相等，后续C_u、C_o循环往复达到动态平衡。据此，根据推论3及推论1，可得结论：当C_u等于C_o时，MA(Q)时序报童模型最优配置床位数等于MA(Q)时间序列预测拟合值。反馈实际床位配置可得重要管理启示：决策者通过调控床位配置速率影响成本结构，当C_u=C_o时最优配置床位数即为预测拟合值。

2.4　ARMA(P,Q)时序报童模型

ARMA(P,Q)时间序列模型为自回归移动平均模型，其自回归部分同AR(P)时间序列模型，移动平均部分同MA(Q)时间序列模型，相关参数设定同2.2、2.3小节。

推论4 当患者入院需求遵从ARMA(P,Q)时序特征时，科室最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]为：

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\lambda +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\theta }_i{x}_{t+\mathrm{1}-i}+\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^n)[\mathrm{1}+n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})]}{n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}}{\sigma }_{\epsilon }{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})(10)

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_u+C_o)\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^n)[\mathrm{1}+n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})]}{n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}}{\sigma }_{\epsilon }{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})}^{\infty }zd\Phi (z)(11)

证 经由AR(P)时序报童模型和MA(Q)时序报童模型证明易得ARMA(P,Q)时序报童模型相关结论。详细推导过程见附加材料S1、S2；管理启示同推论1、2。

2.5　ES时序报童模型

考虑到指数平滑法方便易操作，无需大量参数即可得到一致性结果。本节在数据已具备自相关特征下使用指数平滑模型预测患者入院需求。指数平滑时间序列模型通过对过去的预测拟合值设定递减的权重，捕捉数据的趋势性和季节性。ES时间序列模型：{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}=\alpha x_t+(\mathrm{1}-\alpha ){\widehat{x}}_t。其中，\alpha为平滑系数且\mathrm{0}\le \alpha \le \mathrm{1}；{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}为下一期预测拟合值；x_t为当期需求真实值；{\widehat{x}}_t为当期需求预测拟合值。同前文，最优配置床位数及期望最小床位错配成本取决于拟合误差均值E({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})、拟合误差方差\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}})。

推论5 当患者入院需求遵从ES时间序列特征时，科室最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]为：

q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=[\alpha x_t+(\mathrm{1}-\alpha ){\widehat{x}}_t]+{\sigma }_{\epsilon }\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{\alpha -\mathrm{3}\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}+{\alpha }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{2}-\alpha )(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}+\alpha {\theta }_{\mathrm{1}})}}{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})(12)

E[C({\mathrm{\Delta }}_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]=(C_{\mathrm{0}}+C_u){\sigma }_{\epsilon }\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{\alpha -\mathrm{3}\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}+{\alpha }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{2}-\alpha )(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}+\alpha {\theta }_{\mathrm{1}})}}{\int }_{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})}^{\infty }zd\Phi (z)(13)

证 最优拟合误差期望值、标准差推导过程同MA(Q)时序报童模型，ES时序报童模型下科室最优配置床位数、期望最小床位错配成本推导过程详见附加材料S5。

推论5表明：基于ES时序报童的最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}与一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}、平滑系数\alpha、残差标准差{\sigma }_{\epsilon }、成本结构{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})相关。同时ES时序报童模型预测拟合值等于第t期真实值和第t期预测拟合值加权和，而第t期预测拟合值向前追溯递归至初始预测值{\widehat{x}}_{\mathrm{1}}。故ES时序报童模型最优配置床位数拟合值相比于AR(P)、MA(Q)时序报童拟合值更加平滑、稳定。据此，当面临中长期床位配置时，ES时序报童模型相比于AR(P)、MA(Q)时序报童模型效果更佳。

同时，为比较经典报童模型与时序报童模型在最优配置床位数及期望最小床位错配成本上的差异，本文对当患者入院需求服从正态分布时，基于经典报童模型的最优配置床位数q^{\mathrm{*}}、期望最小床位错配成本E[C(q^{\mathrm{*}})]予以证明，证明过程详见附加材料S6。

3　 时序参数对成本节约百分比与最优配置床位数的影响

决策者建立四类时间序列模型拟合历史数据，并选取拟合度最优的模型展开后续分析。考虑当最优时间序列模型分别为AR(1)、MA(1)、ARMA(1,1)、ES时，时序参数对不同模型间成本节约百分比、最优配置床位数的影响，从而进一步验证时序报童模型与经典报童模型在不同参数取值下性质，以助力决策者选择适宜的床位配置模型。定义成本节约百分比为时序报童模型期望最小床位错配成本与经典报童模型期望最小床位错配成本的相对变化率。

为方便算例分析，假设上述模型中C_u、C_o均相等且{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_o+C_u})=\mathrm{0.67}、时间序列残差标准差{\sigma }_{\epsilon }=\mathrm{14.6}，当期患者实际到达x_t=\mathrm{57}，一阶自相关系数为{\theta }_{\mathrm{1}}。鉴于本小节研究对象均遵从一阶时间序列特征，而一阶时间序列特征主要通过自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}体现，故算例分析中将{\theta }_{\mathrm{1}}(-\mathrm{1}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\le \mathrm{1})作为主要变量。由于截距项同样影响算例结果，因此算例分析中假设时间序列回归截距项分别为{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{50}、{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{60}、{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{70}；经典报童模型最优配置床位数\mu =\mathrm{61}；平滑系数分别为{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.1}、{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5}、{\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.9}。在下文讨论各参数过程中，除{\theta }_{\mathrm{1}}系数外其他参数均按照上述假设赋值。

3.1　 {\theta }_{\mathrm{1}}对AR(1)时序报童模型与经典报童模型成本节约百分比的影响

为研究一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}对决策者模型选择的影响。构造AR(1)时序报童模型与经典报童模型的成本节约百分比函数R({\theta }_{\mathrm{1}})（如(14)式），并作图1。为区别表达不同模型成本函数，使用E[C_{\mathrm{A}\mathrm{R}}(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]代表AR(1)时序报童模型期望最小床位错配成本，{\sigma }_d为经典报童模型需求标准差。

R({\theta }_{\mathrm{1}})=\frac{E[C(q^{\mathrm{*}})]-E[C_{\mathrm{A}\mathrm{R}}(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]}{E[C(q^{\mathrm{*}})]}=

\frac{{\sigma }_d-{\sigma }_{\epsilon }}{{\sigma }_d}=\mathrm{1}-\sqrt[]{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}(14)

通过图1可以直观了解在不同一阶自相关系数下AR(1)时序报童模型相较于经典报童模型在成本节约方面的表现。由图1可知,当{\theta }_{\mathrm{1}}\in [-\mathrm{1,0})时，有R({\theta }_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}且R({\theta }_{\mathrm{1}})随着{\theta }_{\mathrm{1}}的增大而减小；当{\theta }_{\mathrm{1}}\in (\mathrm{0,1}]时，有R({\theta }_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}且R({\theta }_{\mathrm{1}})随着{\theta }_{\mathrm{1}}的增大而增大；当{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}时，R({\theta }_{\mathrm{1}})=\mathrm{0}。这是因为一阶自相关系数反映了患者到达在时间序列上的相关性。\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|越大，患者到达的自相关特征越显著，意味着当前患者到达数量与过去的关联更强。经典报童模型假设需求服从特定分布，未充分考虑时间序列上的相关性。而AR(1)时序报童模型能够捕捉相关性，根据过去患者到达情况更精准地配置床位数，从而降低床位错配风险，产生更高的成本节约百分比。

综上，在{\theta }_{\mathrm{1}}\in [-\mathrm{1,1}]时,R({\theta }_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{0}恒成立，因此AR(1)时序报童模型期望最小床位错配成本总是小于等于经典报童模型期望最小床位错配成本。同时，更小的床位错配成本表明配置床位数更加契合患者到达规律，更好地迎合患者需求。故当患者到达最优时间序列为AR(1)模型时，理性决策者应使用AR(1)时序报童模型配置床位。

3.2　 {\theta }_{\mathrm{1}}对AR(1)时序报童模型最优配置床位数的影响

参照前文设定AR(1)时间序列模型回归截距项，并作图2以观察不同一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}对最优配置床位数的影响。

通过图2可以直观了解在不同一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}下AR(1)时序报童模型相较于经典报童模型在最优配置床位数方面的表现。由图2可知，相比于经典报童模型最优配置床位数始终为\mu =\mathrm{61}，AR(1)时序报童最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}随着{\theta }_{\mathrm{1}}的增大而增大。这是因为AR(1)时序报童情境下最优配置床位数考虑了患者到达一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}、建立了联系床位配置与患者到达时间序列特征的桥梁。此时，理性决策者应视{\theta }_{\mathrm{1}}配置床位数，主动应对未来患者到达。

3.3　 {\theta }_{\mathrm{1}}对ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型与经典报童模型成本节约百分比的影响

构造ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型与经典报童模型的成本节约百分比函数R(n,{\theta }_{\mathrm{1}})（如(15)式），并作图3。令自回归移动平均阶数n=\mathrm{1}，T={\sigma }_d/{\sigma }_{\epsilon }，以助力决策者在不同T、{\theta }_{\mathrm{1}}参数条件下比较两模型成本节约百分比，进而选择床位配置模型。因MA(1)时序报童模型与ARMA(1,1)时序报童模型期望最小床位错配成本表达式相同，故本小节使用E[C_{\mathrm{M}}(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]代表ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型期望最小床位错配成本。

R(n,{\theta }_{\mathrm{1}})=\frac{E[C_{\mathrm{M}}(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]-E[C(q^{\mathrm{*}})]}{E[C_{\mathrm{M}}(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]}=\mathrm{1}-

T\sqrt[]{\frac{(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}{n^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}+n(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}^n)(n+\mathrm{1}-n{\theta }_{\mathrm{1}})}}（15）

由图3可以清晰看出，ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型与经典报童模型的成本节约百分比R(n,{\theta }_{\mathrm{1}})与T、{\theta }_{\mathrm{1}}紧密相关。在实际决策中，决策者需依据一阶自相关系数选择合适的模型以降低床位错配成本。当T=\mathrm{1}时，通过计算和图3分析可知ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型的床位错配成本相等的临界值{\theta }_{\mathrm{1}}约为0.3。这意味着，若决策者测算出实际自相关参数小于该临界值，此时经典报童模型在捕捉患者需求规律上更具优势，选择经典报童模型床位错配成本更小；相反，若决策者测算出实际自相关参数大于该临界值，ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型能够更好地适应患者到达时间序列特征，选择ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型配置床位错配成本更小。同理，当T取不同值，ARMA(1,1)/MA(1)时序报童模型成本相等的{\theta }_{\mathrm{1}}临界值不同，随着T值逐渐增大，临界值{\theta }_{\mathrm{1}}逐渐变小直至负数，决策者可根据不同的T值，判断床位错配成本相等的临界值。同3.1节分析，更小的床位错配成本意味着该模型更加契合患者到达规律，此时所配床位数能够更好地迎合患者到达需求。故决策者应根据实际一阶自相关系数与临界值选择合适的模型配置床位。

3.4　 {\theta }_{\mathrm{1}}对MA(1)、ARMA(1,1)时序报童模型最优配置床位数的影响

为观察不同一阶自相关系数对MA(1)、AMRA(1,1)时序报童模型最优配置床位数的影响，同前设定MA(1)时间序列模型回归截距项取值，并绘制图4、5。

从图4、5中可以清晰看到，MA(1)、ARMA(1,1)时序报童模型最优配置床位数曲线呈凸性特征，随着{\theta }_{\mathrm{1}}逐渐增大，最优配置床位数曲线先下降，达到最低点后逐渐上升，并且每条曲线与最优配置床位数\mu都存在两个交点。交点处说明经典报童模型最优配置床位数\mu与MA(1)、ARMA(1,1)时序报童模型最优配置床位数q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}相等，此时决策者选取经典报童模型或MA(1)、ARMA(1,1)时序报童模型配置床位数无差异。而在两模型交点之外，q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}与\mu各有大小。这是因为MA(1)、ARMA(1,1)时序报童模型最优配置床位数体现了患者到达时间序列特征，进而更加契合患者入院真实规律。同时图4、5也验证了(8)式、(10)式的二次函数特征。该特征说明AR(1)、ARMA(1,1)时序报童模型在拟合患者到达规律时相比于图2的线性特征具有更加细节、丰富的表现，能够帮助决策者在掌握{\theta }_{\mathrm{1}}时做出更佳的床位配置决策。

3.5　 {\theta }_{\mathrm{1}}对ES时序报童模型与经典报童模型期望最小床位错配成本的影响

构造ES时序报童模型与经典报童模型的成本节约百分比函数R(\alpha ,{\theta }_{\mathrm{1}})（如(16)式），并作图6。为方便计算假设{\sigma }_d/{\sigma }_{\epsilon }为1，以助力决策者在不同\alpha、{\theta }_{\mathrm{1}}参数条件下选择何种模型配置床位。本小节使用E[C_{\alpha }(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]代表ES时序报童模型期望最小床位错配成本。

R(\alpha ,{\theta }_{\mathrm{1}})=\frac{E[C(q^{\mathrm{*}})]-E[C_{\alpha }(q_{t+\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})]}{E[C(q^{\mathrm{*}})]}=\mathrm{1}-

\sqrt[]{\mathrm{1}+\frac{\alpha -\mathrm{3}\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}+{\alpha }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{2}-\alpha )(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}+\alpha {\theta }_{\mathrm{1}})}}(16)

由图6可知，当{\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.9}时，两类模型期望最小床位错配成本相等的临界值{\theta }_{\mathrm{1}}约为0.45，若决策者测算出实际一阶自相关参数{\theta }_{\mathrm{1}}\in (\mathrm{0.45,1}]，决策者应选择ES时序报童模型配置床位，此时基于ES时序报童的最优配置床位数更加契合患者到达规律；若决策者测算出{\theta }_{\mathrm{1}}\in [-\mathrm{1,0.45})，选择经典报童模型配置床位更为合适，此时基于经典报童模型的最优配置床位数更加契合患者到达规律。观察图6，当\alpha =\mathrm{0.1}、0.5或0.9时，两类模型期望最小床位错配成本相等的{\theta }_{\mathrm{1}}临界值未见明显差异，即决策者期初设定平滑系数\alpha并未显著影响两类模型期望最小床位错配成本临界值。决策者可根据实际测算{\theta }_{\mathrm{1}}选择模型配置床位。

3.6　 {\theta }_{\mathrm{1}}对ES时序报童模型最优配置床位数的影响

本小节分别选取平滑系数{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.1}、{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5}、{\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.9}作图7以观察不同一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}对最优配置床位数的影响。

ES时序报童模型最优配置床位数曲线特征及结论同3.4小节，此处不再累述。

本小节采用算例分析方法验证了时序报童模型并非总是优于经典报童模型，在不同一阶自相关系数下基于期望最小床位错配成本视角的时序报童模型与经典报童模型各有优劣，这也回答了本文提及的第三个问题。

4　 时序报童模型实证分析

前文通过理论推导和数值分析，探讨了时序报童模型的特性及参数影响。本小节将运用医院真实数据进行实证分析，验证理论模型在实际场景中的有效性，为医院配置床位决策提供参考价值。

本文选取宜昌市某大型三甲医院2022年1月至2024年2月心血管内科开放床位数作为研究数据。选取该数据的原因在于其能够较好地反映科室床位实际配置总量，且时间跨度适中，可有效捕捉床位配置的变化趋势。数据以周为时间单位，总共包含113个数据点，每个数据点代表本周末合计配置床位数。对选取的数据进行初步统计分析，样本最小值为0，最大值为70，均值为50.8，标准差为15。为了确保数据符合建模要求，对数据进行了一系列检验。首先进行Kolmogorov-Smirnov检验^[28]、Shapiro-Wilk检验^[28]，检验结果见附加材料S7、S8。结果均拒绝原假设，认为数据不服从正态分布，这凸显了时序报童模型在处理非正态分布数据时的优势。接着进行单位根检验，确认该时间序列为平稳序列。单位根检验结果见附加材料S9。然后，观察时间序列的自相关图(ACF)（图8）以及偏自相关图（PACF）（图9）,考虑该时间序列参数P、Q选择一阶滞后。最后，计算AR(1)、AR(2)、MA(1)、MR(2)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)的赤池信息准则以确定最终模型，结果详见附加材料S10。根据附加材料S10，最终选取P、Q各滞后一阶，据此分别训练ARMA(1,1)时间序列模型、AR(1)及MA(1)时间序列模型拟合时间序列数据:AR(1)时间序列建模为x_t=\mathrm{50.7}+\mathrm{0.26}{x}_{t-\mathrm{1}}+{\epsilon }_t；ARMA(1,1)时间序列建模为x_t=\mathrm{50.4}+\mathrm{0.86}{x}_{t-\mathrm{1}}+{\epsilon }_t-\mathrm{0.7}{\epsilon }_{t-\mathrm{1}}；MA(1)时间序列建模为x_t=\mathrm{50.7}+{\epsilon }_t+\mathrm{0.22}{\epsilon }_{t-\mathrm{1}}；ES时间序列建模为：{\widehat{x}}_{t+\mathrm{1}}=\mathrm{0.15}{x}_t+\mathrm{0.85}{\widehat{x}}_t。

同时将归一化成本系数C_u:C_o=\mathrm{3}:\mathrm{1}、{\Phi }^{-\mathrm{1}}(\frac{C_u}{C_u+C_o})=0.67和AR(1)时间序列模型一阶自相关系数{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.26}代入求解。并将5类报童模型在规划周期内的最优配置床位数及期望最小床位错配成本与采样数据集下一周期末（第114期）实际数据进行比较分析，从而选择适宜的模型。相关结果如表2所示。

如前文所述，患者到达序列或遵从不同时间序列模型，决策者通过R²、MSE、RMSE、MAE等指标选择拟合度相对最优时间序列模型。表2表明：1) 当患者到达最优时间序列模型为AR(1)时，AR(1)时序报童模型期望最小床位错配成本18.5千元，低于经典报童模型期望最小床位错配成本19.1千元，且与周期末实际开放床位69张相比，AR(1)时序报童模型最优配置床位数75张与实际值误差小于经典报童模型61张与实际值误差，决策者应选择AR(1)时序报童模型配置床位；2) 当患者到达最优时间序列模型为ARMA(1,1)时，ARMA(1,1)时序报童模型期望最小床位错配成本22.3千元，高于经典报童模型期望最小床位错配成本19.1千元，最优配置床位数77张高于经典报童模型61张，且两类模型最优配置床位数与周期末实际配置床位数差异相等，决策者应选择经典报童模型配置床位；3) 当患者到达最优时间序列模型为MA(1)时，MA(1)时序报童模型期望最小床位错配成本25.5千元，高于经典报童模型期望最小床位错配成本19.1千元，最优配置床位数64张高于经典报童模型61张，且与周期末实际配置床位数相比差异更小，决策者应选择MA(1)时序报童模型配置床位；4) 当患者到达最优时间序列模型为ES时，ES时序报童模型期望最小床位错配成本19.4千元，高于经典报童模型期望最小床位错配成本19.1千元，最优配置床位数65张高于经典报童模型61张，决策者应选择经典报童模型配置床位。其中，AR(1)时序报童模型、MA(1)时序报童、ARMA(1,1)时序报童模型、ES时序报童模型在{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.26}时期望最小床位错配成本与经典报童模型期望最小床位错配成本关系进一步验证了图1、3、6结论。相关实证分析数据详见附加材料S11。

5　 敏感性分析

来自该院心血管内科的算例验证了各时序报童模型在不同参数背景下的期望最小床位错配成本相较于经典报童模型期望最小床位错配成本变化趋势。这是来自内科系统的结论，在诸如外科、儿科、妇产科等不同性质的科室，成本结构有较大的差异。本小节将代入不同科室成本结构展开敏感性分析，以验证结论的稳健性。前文在C_u:C_o=\mathrm{3}:\mathrm{1}成本结构下得出结论。假设患者流在不同科室保持不变，为验证上述结论是否稳健，表3选取{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.26}并设定若干常见成本结构以观察期望最小床位错配成本对成本结构的敏感性。

通过观察表3发现，在不同的成本结构中，AR(1)时序报童模型期望最小床位错配成本始终低于经典报童模型错配成本。而其他时序报童模型在一阶自相关系数取0.26时，并未体现出相较于经典报童模型的成本错配优越性。表3进一步印证了算例分析结论。此时，决策者应选择AR(1)时序报童模型配置床位。为进一步验证不同的一阶自相关系数是否会影响决策者选择配置床位模型，表4设定若干常见自相关比率以观察期望最小床位错配成本对一阶自相关系数的敏感性。

观察表4可得在{\theta }_{\mathrm{1}}\le \mathrm{0.1}时，AR(1)时序报童模型的期望最小床位错配成本总是优于经典报童模型期望最小床位错配成本，而ARMA(1,1)时序报童模型和ES时序报童模型的期望最小床位错配成本高于经典报童模型期望最小床位错配成本。此时，决策者应选择AR(1)时序报童模型配置床位；当{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.3}时，AR(1)时序报童模型和ARMA(1,1)时序报童模型相比于经典报童模型成本节约百分比为正且AR(1)时序报童模型成本节约程度更高，ES时序报童模型成本节约百分比为负，此时决策者应选择AR(1)时序报童模型配置床位；当{\theta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.7}时，三类时序报童模型成本节约百分比均为正，且ARMA(1,1)时序报童模型成本节约程度最高，此时决策者应选择ARMA(1,1)时序报童模型配置床位。

6　 总结与展望

本文结合时间序列模型多周期、平稳、可预测以及报童模型凸性特点，将拟合误差作为模型间耦合切入点，建立基于患者到达时间序列特征的报童模型，进而求解科室最优配置床位数及期望最小床位错配成本，同时比较多类时序报童模型与经典报童模型在期望最小床位错配成本视角下的优劣，最终助力决策者选择合适的模型配置床位。结果表明：1） 不同于经验决策者被动地配置床位，借助时序报童工具，理性决策者可主动、前瞻地把握患者到达规律，进一步提升床位配置运营模式，以扭转“患者等待床位”困境，打造“床位等待患者”理念；2） 时序报童模型保留了时间序列模型和报童模型的优良属性，成本函数凸性决定了基于时序报童的床位配置成本具有唯一解，而时间序列模型赋予了最优配置床位数的统计学意义；3） 决策者可通过调控床位配置速率、政策影响、薪酬设计等管理手段影响成本结构C_u、C_o，当床位配置冗余成本近似等于床位配置不足成本时，最优配置床位数即为预测拟合值。算例分析比较了各时序报童模型与经典报童模型在不同参数区间内期望最小床位错配成本差异：1） 基于OLS的AR(1)时序报童模型在降低床位错配成本方面总是优于经典报童模型；2） 而MA(1)时序报童模型、ARMA(1,1)时序报童模型、ES时序报童模型期望最小床位错配成本在一定参数范围内小于经典报童模型期望最小床位错配成本，决策者应“随行就市”选择适当的床位配置方案。实证分析进一步验证了算例分析结论。

未来考虑在科室基于时序报童模型最优配置床位数后仍然不足以接收期末患者到达或床位仍有冗余方面进行深入研究。此时，将时序报童模型研究对象由单一科室床位配置扩展至多科室间床位配置（患者转科），以探讨多科室间床位配置是否能够在单位时间内接收更多患者以及多科室间期望最小床位错配成本是否低于分布式床位期望最小床位错配成本。

参考文献

[1] 赵临， 汪雅璇， 张馨予， 等. 我国医院床位资源利用现状与供需分析研究［J］. 中国医院管理， 2017， 37（8）： 13-15.

[2] ZHAO L， WANG Y X， ZHANG X Y， et al. Status and supply & demand analysis of hospital bed resources allocation in China［J］. Chinese Hospital Management， 2017， 37（8）： 13-15 （Ch）.

[3] 郭胜， 景晓琳， 李倩， 等.基于秩和比法的山东省医院床位利用效率分析［J］.现代医院管理， 2020， 18（1）： 41-44. DOI： 10.3969/j.issn.1672-4232.2020.01.012 .

[4] GUO S， JING X L， LI Q， et al. Analysis on utilization efficiency of hospital beds in shandong province based on rank sum ratio［J］. Modern Hospital Management， 2020， 18（1）： 41-44. DOI： 10.3969/j.issn.1672-4232. 2020.01.012（Ch ）.

[5] 谭萍芬， 蔡少华， 范转转， 等.我国医院床位资源配置状况与利用效率研究［J］.中国医院， 2023， 27（11）： 21-24. DOI： 10.19660/j.issn.1671-0592.2023.11.05 .

[6] TAN P F， CAI S H， FAN Z Z， et al. Research on the allocation status and utilization efficiency of hospital bed resources in China［J］. Chinese Hospitals， 2023， 27（11）： 21-24. DOI： 10.19660/j.issn.1671-0592.2023.11.05（Ch ）.

[7] HE B Y， DEXTER F， MACARIO A， et al. The timing of staffing decisions in hospital operating rooms： Incorporating workload heterogeneity into the newsvendor problem［J］. Manufacturing & Service Operations Management， 2012， 14（1）： 99-114. DOI： 10.1287/msom.1110.0350 .

[8] ALWAN L C， XU M H， YAO D Q， et al. The dynamic newsvendor model with correlated demand［J］. Decision Sciences， 2016， 47（1）： 11-30. DOI： 10.1111/deci.12171 .

[9] SHEN W W， LUO L， LUO L， et al. A data-driven newsvendor model for elective-emergency admission control under uncertain inpatient bed capacity［J］. Journal of Evidence‒Based Medicine， 2024， 17（1）： 78-85. DOI： 10.1111/jebm.12599 .

[10] 熊恒庆.服务水平视角下的易逝品订货时机分析［J］.工业工程，2016， 19（3）：24-29. DOI： 10.3969/j.issn.1007-7375.2016.03.005 .

[11] XIONG H Q. An analysis of perishable product order timing in perspective of service level［J］. Industrial Engineering Journal， 2016， 19（3）：24-29. DOI： 10.3969/j.issn.1007-7375.2016.03.005（Ch ）.

[12] 苏朝晖.服务的不可储存性对服务业营销的影响及对策研究［J］.经济问题探索， 2012， （02）：19-23. DOI： 10.3969/j.issn.1006-2912.2012.02.004 .

[13] SU Z H. Research on the influence of non-storability of service on service marketing and its counter-measures［J］. Inquiry into Economic Issues， 2012（02）： 19-23. DOI： 10.3969/j.issn.1006-2912.2012.02.004（Ch ）.

[14] BAVAFA H， LEYS C M， ÖRMECI L， et al. Managing portfolio of elective surgical procedures： A multidimensional inverse newsvendor problem［J］. Operations Research， 2019， 67（6）：1543-1563. DOI：10.1287/opre.2019.1848 .

[15] 陈宝，丘美娇，林尤斌，等. SARIMA模型在海南某医院流感样病例预测中的可行性分析［J］.南昌大学学报（医学版）， 2022， 62（2）：75-78+99. DOI：10.13764/j.cnki.ncdm.2022.02.015 .

[16] CHEN B， QIU M J， LIN Y B， et al. Feasibility of SARIMA model in predicting influenza-like illness cases in a tertiary hospital in Hainan ［J］. Journal of Nanchang University（Medical Sciences）， 2022， 62（2）：75-78+99. DOI： 10.13764/j.cnki.ncdm.2022.02.015（Ch ）.

[17] 褚宏睿.基于分布式鲁棒优化的医疗服务管理研究［D］. 北京： 北京理工大学， 2016.

[18] CHU H R. Distributionally robust optimization with applications in healthcare service operations management［D］. Beijing： Beijing Institute of Technology， 2016 （Ch）.

[19] OLIVARES M， TERWIESCH C， CASSORLA L. Structural estimation of the newsvendor model： An application to reserving operating room time［J］. Management Science， 2008， 54（1）： 41-55. DOI：10.1287/mnsc.1070.0756 .

[20] 周欢， 胡莎莎， 单佳妮， 等.全面二孩政策下儿科诊疗工作量时间变化趋势研究［J］.中国医院管理， 2021， 41（2）： 47-51.

[21] ZHOU H， HU S S， SHAN J N， et al. Temporal trends analysis of pediatric workload under the universal two-child policy background［J］. Chinese Hospital Management， 2021， 41（2）： 47-51 （Ch）.

[22] ZHANG Q. Data science approaches to infectious disease surveillance［J］. Philosophical Transactions of the Royal Society A， 2022， 380（2214）： 20210115. DOI： 10.1098/rsta.2021.0115 .

[23] LUO L， XU X R， LI J L， et al. Short-term forecasting of hospital discharge volume based on time series analysis［C］//2017 IEEE 19th International Conference on e-Health Networking， Applications and Services （Healthcom）. New York： IEEE Press， 2017： 1-6. DOI： 10.1109/HealthCom.2017.8210801 .

[24] HOSTEINS G， LARSEN A， PACINO D， et al. A data-driven decision support tool to improve hospital bed cleaning logistics using discrete event simulation considering operators’ behaviour［J］. Operations Research for Health Care， 2023， 39： 100408. DOI： 10.1016/j.orhc.2023.100408 .

[25] ZHU T， LIAO P， LUO L， et al. Data-driven models for capacity allocation of inpatient beds in a Chinese public hospital［J］. Computational and Mathematical Methods in Medicine， 2020， 2020： 8740457. DOI： 10.1155/2020/8740457 .

[26] PIETERS A J， SCHLOBACH S. Combining process mining and time series forecasting to predict hospital bed occupancy［C］//International Conference on Health Information Science. Cham： Springer Nature， 2022： 76-87. DOI： 10.1007/978-3-031-20627-6_8 .

[27] TAN K W， NG Q Y， NGUYEN F N H L， et al. Data-driven decision-support for process improvement through predictions of bed occupancy rates［C］//2019 IEEE 15th International Conference on Automation Science and Engineering （CASE）. New York： IEEE Press， 2019： 133-139. DOI： 10.1109/COASE.2019.8843135 .

[28] XU X R， LUO L， ZHONG X. Forecast-based newsvendor models for hospital bed capacity management［J］. IEEE Robotics and Automation Letters， 2021， 6（4）： 6513-6520. DOI： 10.1109/LRA.2021.3093875 .

[29] 徐彦杰， 辛亮， 刘俊卿， 等.基于ARIMA与GM（1，1）模型的公立医院互联网门诊人次预测研究［J］.现代医院， 2024， 24（1）： 14-19. DOI： 10.3969/j.issn.1671-332X.2024.01.005 .

[30] XU Y J， XIN L， LIU J Q， et al. Research on the prediction of internet outpatient visits in public hospitals based on ARIMA and GM（1，1）model［J］. Modern Hospitals， 2024， 24（1）： 14-19. DOI： 10.3969/j.issn.1671-332X.2024.01.005（Ch ）.

[31] KESHTKAR L， SALIMIFARD K， FAGHIH N. A simulation optimization approach for resource allocation in an emergency department［J］. QScience Connect， 2015， 2015（1）. DOI：10.5339/connect.2015.8 .

[32] KAO E P C， TUNG G G. Bed allocation in a public health care delivery system［J］. Management Science， 1981， 27（5）： 507-520. DOI： 10.1287/mnsc.27.5.507 .

[33] KIM G， WU K， HUANG E. Optimal inventory control in a multi-period newsvendor problem with non-stationary demand［J］. Advanced Engineering Informatics， 2015， 29（1）： 139-145. DOI： 10.1016/j.aei.2014.12.002 .

[34] SHI Y， ALWAN L C， TANG C， et al. A newsvendor model with autocorrelated demand under a time-consistent dynamic CVaR measure［J］. IISE Transactions， 2019， 51（6）： 653-671. DOI： 10.1080/24725854.2018.1539888 .

[35] PUNIA S， SINGH S P， MADAAN J K. From predictive to prescriptive analytics： A data-driven multi-item newsvendor model［J］. Decision Support Systems， 2020， 136： 113340. DOI： 10.1016/j.dss.2020.113340 .

[36] KAHNEMAN D， TVERSKY A. Prospect theory： An analysis of decision under risk［J］. Econometrica， 1979， 47（2）： 263. DOI： 10.2307/1914185 .

[37] ANASTASIOU A， KARAGRIGORIOU A， KATSILEROS A. Comparative evaluation of goodness of fit tests for normal distribution using simulation and empirical data［J］. Biometrical Letters， 2020， 57（2）： 237-251. DOI： 10.2478/bile-2020-0015 .

基金资助

国家自然科学基金(71771139)