基于预防和恢复策略的弹性供应链网络优化设计

Optimal Design of Resilient Supply Chain Network Based on Prevention and Recovery Strategy

摘要

针对供需双方中断情况下多周期弹性供应链网络优化问题，建立考虑预防和恢复策略的供应链网络模型，以此优化供应链网络运行成本和整体弹性。基于决策者的风险规避态度，提出一种决策情景依赖概率公式，处理对实际激活节点（供应商和制造商）产生影响的全方位中断情景；在此基础上考虑备用供应商、制造商产能恢复、制造商额外产能及制造商保护系统的综合应对策略，构建一种以成本最小化为目标的内生随机非凸混合整数非线性模型；同时，在原有模拟退火算法的基础上动态调整降温速率，并采用多链信息共享与全局最优更新机制，提高算法的收敛速度与寻优能力。采用改进模拟退火算法进行算例研究分析，分析结果表明，本文模型能有效降低中断情况下供应链网络运行总成本，确定预防和恢复投资的最佳组合，提高供应链网络弹性，同时验证了多种弹性策略相结合的必要性。

Abstract

Regarding the optimization problem of multi-period resilient supply chain networks under disruptions from both supply and demand sides, a supply chain network model considering both prevention and recovery strategies was established, so as to optimize the operational cost of supply chain network and improve overall resilience. Based on the decision-maker’s risk-averse attitude, we proposed a decision-scenario-dependent probability formula, with the aim to handle the full range of disruption scenarios affecting actual activation nodes (suppliers and manufacturers). Building on this, we then considered a comprehensive response strategy involving backup suppliers, manufacturer capacity recovery, additional manufacturing capacity, and manufacturer protection systems. This led to the construction of an endogenous stochastic non-convex mixed-integer nonlinear model aimed at minimizing costs. Within this model, the cooling rate of the original simulated annealing algorithm was dynamically adjusted, and a multi-chain information-sharing and global optimal updating mechanism was applied to improve the algorithm’s convergence speed and optimization ability. We conducted a case study using the improved simulated annealing algorithm. The results demonstrated that the proposed model effectively reduces the total operational cost of the supply chain network under disruptions, identifies the optimal combination of prevention and recovery investments, enhances supply chain network resilience, and validates the necessity of combining multiple resilience strategies.

Graphical abstract

关键词

弹性供应链 / 预防和恢复策略 / 决策情景依赖公式 / 风险规避 / 改进模拟退火算法

Key words

resilient supply chain network / prevention and recovery strategies / decision scenario dependent formula / risk aversion / improved simulated annealing algorithm

0　 引 言

近年来，供应链的正常运行频繁受到各种不确定性因素（如自然灾害等）的干扰，导致供应链中断的风险持续上升。供应中断会使供应方无法按照预定的时间、质量和数量向需求方交付产品，进而引发包括运营能力降低、生产成本增加等一系列负面影响^[1]。

供应链网络（Supply Chain Network，SCN）设计是供应链管理的基础，而弹性作为SCN的一个关键特征，能够帮助供应链抵御破坏性事件的负面影响。因此，企业可以通过构建具有弹性的SCN减轻中断带来的不利后果^[2]。

现有关于弹性SCN的研究主要从预防和恢复角度出发。预防中断策略是指在预期可能发生中断的情况下采取的准备措施，旨在提升供应链的鲁棒性，具体包括设施库存管理、加固设施容量、备用供应商等措施。如Gholami-Zanjani等^[3]通过加固仓库和提升容量降低仓库中断概率；宋洋等^[4]针对新能源汽车供应链存在的中断风险，设计适用于库存管理模式下的供应链抗中断模型；李珠月等^[5]提出包括多源采购、强化供应商和设立备用供应商在内的弹性策略，并构建农产品批发商弹性供应链模型；刘欣平等^[6]在医药供应链中引入备用供应商作为弹性措施，构建了以利润最大化为目标的医药供应链弹性模型；李晓萍等^[7]构建了由主供应商和备用供应商组成的采购模型，以研究供应链中断情况下的制造商采购问题。这些研究均聚焦于供应链中断预防，但在弹性供应链优化设计中未能将恢复策略纳入供应链系统考量。

在实际运营中，企业常遭遇无法预测的突发事件，使得预防中断策略难以完全消除SCN的中断风险。而SCN的中断不仅会对经济和社会产生长期影响，其恢复过程往往也较为缓慢，可能导致企业遭受巨大的经济损失。因此，在弹性SCN设计中，如何在中断后快速恢复供应链的原始生产效率和效益同样至关重要。恢复策略旨在通过及时调整供应链应对措施，使其在中断后能迅速恢复到初始状态。如吴军等^[8]基于供应链在中断期间开始恢复的特点，构建了包含供应商、制造商和零售商在内的三级农产品供应链模型。孟庆春等^[9]构建了包含动态恢复策略的供应链博弈模型，以解决供应中断后的时变需求。郁颍等^[10]基于产品变更策略，以最大化供应链系统弹性为目标，建立了供应链中断恢复模型。当前供应链中断管理研究主要聚焦于中断发生后的应急恢复策略，如库存再分配、供应商切换等被动措施。然而，这种单一维度的研究视角存在显著局限性：1） 恢复策略作为事后补救手段，其效果受中断强度及持续时间制约，在重大突发事件中往往难以避免业务中断带来的经济损失；2） 单纯依靠恢复策略可能导致企业陷入“中断-恢复-再中断”的恶性循环，产生高额的应急采购成本和市场机会成本。因此，构建预防与恢复双轮驱动的韧性管理机制十分必要，通过主动防御与弹性恢复的协同，能够有效提升供应链系统的抗风险能力和成本控制效率。

在弹性SCN建模中，通常采用基于情景的随机规划处理模型中的不确定性参数。不确定性参数可分为外生和内生两类：外生不确定性参数的随机规划需要决策者根据历史数据确定参数分布^[11]；而在内生不确定性参数的随机规划中，决策者在某一时间点的决策将显著影响后续不确定性。现有弹性SCN设计研究多采用外生不确定性驱动的随机规划方法^[11]，将中断事件建模为独立于决策的随机参数（如自然灾害概率、需求波动等），但该范式存在理论局限性，其割裂的处理方式可能导致预防性决策偏离实际中断情景，形成决策依赖型不确定性偏差，最终削弱供应链的弹性设计效果。相比之下，引入内生不确定性参数能够反映模型内部结构和动态变化带来的不确定性，同时捕捉决策行为可能引发的连锁不确定性效应，从而优化决策策略的适用性。因此，通过构建内生不确定性机制可显著提升弹性SCN设计的鲁棒性与自适应能力，使决策结果更贴合实际。

此外，已有大量文献研究供应中断风险与需求中断风险下的供应链管理。在供应中断方面，郑锐等^[12]以提高社会总福利为目标，构建考虑涨价策略与限购策略的SCN模型。在需求中断方面，王建等^[13]研究了中断情况下的供应链协调决策问题，建立了采用贸易信用契约的供应链博弈模型；马本江等^[14]针对需求中断导致的供应链经济损失问题，探讨了三种投保形式对供应链风险转移的效果。这些研究多聚焦于单一维度的中断风险，分别针对供应端或需求端构建分析模型。然而，现实供应链系统常面临双重中断风险的叠加冲击，孤立视角的研究将严重弱化供应链韧性的评估效度。值得注意的是，随着风险规避理论在供应链管理中的深度应用，学者们虽已通过CVaR等工具构建了风险量化模型，但在弹性SCN设计领域仍存在缺陷。文献[15-16]表明，同时嵌入供应-需求双向中断概率与风险规避偏好的动态优化模型尚未形成完整框架，难以为多风险耦合场景下的供应链弹性决策提供理论支撑，这种研究滞后性制约了企业应对复合型供应链危机的能力建设。

综上所述，现有研究从不同角度对弹性供应链系统的优化设计进行了探索，但仍存在以下不足：1） 大多数研究仅针对供应或需求单方面中断，分别采用预防或恢复策略减轻负面影响，研究视角过于单一，局限性较为明显；2） 在弹性SCN设计中，大多数研究仅考虑外生不确定性参数，少有涉及内生不确定性参数，且鲜有将决策者的风险规避态度纳入模型，这降低了弹性SCN设计的鲁棒性与自适应性。

与现有的弹性SCN优化研究成果相比，本文侧重从以下几个方面研究：1） 基于供需双方（即供应商、制造商）中断情景，综合考虑预防和恢复策略，构建以成本最小化为目标的SCN数学模型，该策略包括备用供应商、制造商产能恢复、制造商额外产能及制造商保护系统；2） 提出决策情景依赖概率公式，建立包含决策者风险规避的内生随机非凸混合整数非线性模型，并设计改进模拟退火算法进行求解。

1　 问题描述及研究假设

1.1　问题描述

针对突发事件导致供应和需求中断的情形，构建一个由|S|个供应商、|I|个制造商和|H|个客户组成的三级供应链系统，研究其应对中断事件的响应规划问题。从预防和恢复两个角度，提出基于备用供应商、制造商产能恢复、制造商额外产能、制造商保护系统的综合应对策略，具体运作过程如下：

供应商与制造商可同时发生中断，进而导致原材料与产品的供应量减少。供应商包括主要供应商与备用供应商，制造商包括现有制造商与新建制造商。同一周期内，在现有制造商的基础上，可建立新的制造商（新建制造商）。在主要供应商未发生中断时，现有制造商与新建制造商（制造商）可根据需求向主要供应商采购关键原材料，并生产产品，然后根据订单将产品配送至各个客户。若供应商被制造商选中为主要供应商，需以预定合同产能的方式确定其供应量，同时制造商需支付与其签订合同的投入成本。在主要供应商发生中断前，为提高供应链的抗风险能力，制造商可以预先和主要供应商之外的其他供应商签订备用供应合同，以应对主要供应商发生中断情况。在主要供应商发生中断时，如果供应量不足以满足制造商的需求，备用供应商可以按照约定的价格向其提供原材料，以满足部分需求。同时制造商可以采用额外产能策略提高原有的产能水平，以保证在发生中断事件后仍能满足客户的需求，并可实施保护系统策略投资建立更灵活的生产系统，提高供应链的灵活性^[17]。在制造商发生中断后，可以实施产能恢复策略投资恢复损失的产能，鉴于中断后可能出现资源限制的情况，中断的制造商不需要在中断后完全恢复其生产能力。客户的需求是预先固定的，并且每个客户的需求可以由多个制造商提供，但未满足需求会对制造商产生惩罚成本。具体SCN结构如图1所示。

对于众多企业而言，实现利润最大化或运营成本最小化是其核心目标之一。因此，在设计弹性供应链时，企业通常会以减少突发事件对企业造成的损失作为衡量供应链弹性能力的重要标准，即将SCN在遭遇中断后产生的最小成本作为优化的主要目标^[18]。因此，本文以最小化网络总成本为目标构建考虑预防和恢复策略的弹性SCN数学模型。

1.2　研究假设

根据模型构建的实际情况进行如下假设：

1） 模型可以决定制造商是否开放；2） 模型可以决定新建制造商的最佳位置和产能；3） 中断和恢复涉及多个生产周期；4） 只考虑可能面临中断风险的一种关键原材料及由该原材料生产的产品，且制造商仅生产一种产品，每单位的关键原材料仅能用于生产一个单位的产品；5） 在周期t=0时，任何设施没有发生中断；6） 在周期t中设施发生的中断减少了同周期该设施的产能；7） 中断只持续一个周期，在周期t中制造商计划的恢复操作可在下一个周期完成，恢复成本在本周期记录，但产能将在下一周期可用；8） 最后一次可以执行恢复操作的时间为周期t-1。

2　 符号定义及模型构建

为了建立供需中断情况下的弹性SCN数学模型，首先定义相关符号和决策变量，然后建立内生随机非凸混合整数非线性模型，同时给出模型中约束条件的说明，并引入一个决策情景依赖的不确定性集合来刻画情景生成过程。

2.1　符号定义

模型所涉及的主要变量和参数如表1~3所示。

2.2　模型构建

依据上述问题描述和符号定义，同时参考文献[5]，构建弹性SCN模型，将最小化总成本Z作为目标函数，如（1）式：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=\sum _s\left[\sum _v(\mathrm{C}{\mathrm{F}}_s+\mathrm{C}{\mathrm{V}}_s\cdot \mathrm{P}\mathrm{F}{\mathrm{S}}_V)\cdot f_{sv}\right]+

\sum _s\mathrm{C}{\mathrm{B}}_s\cdot b_s+\sum _{i\in \mathrm{N}\mathrm{F}}\sum _v(\mathrm{C}{\mathrm{O}}_i+\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v)\cdot o_{iv}+

\sum _{i\in \mathrm{O}\mathrm{F}}\sum _v(\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv})+

\sum _v\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot \sum _p({\beta }_p\cdot w_{ivp})+\sum _i\mathrm{C}{\mathrm{P}}_i\cdot \mathrm{p}\mathrm{f}{\mathrm{o}}_i+

\sum _k{P}_k\sum _t\left\{\sum _i\left[\sum _s(\mathrm{C}{\mathrm{P}}_s+\mathrm{C}\mathrm{T}\cdot {\overline{D}}_{si})\cdot x_{sit}^k+\right.\right.

\sum _s(\mathrm{C}{\mathrm{P}}_s+\mathrm{C}\mathrm{T}\cdot {\overline{D}}_{si})\cdot \gamma \cdot u_{sit}^k+

\sum _h(\mathrm{C}\mathrm{H}+\mathrm{C}\mathrm{T}\cdot {\overline{D}}_{ih})\cdot x_{iht}^k+

(\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot (\mathrm{1}-\frac{t}{\left|T\right|})+\mathrm{C}\mathrm{H})\cdot \mathrm{D}{\mathrm{V}}_{it}^k+

\left.\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot \mathrm{R}{\mathrm{V}}^{\mathrm{\text{'}}}{}_{it}^k\right]+\left.\sum _h\phi \cdot u_{ht}^k\right\}（1）

式中，第1项为制造商与主要供应商签订合同的投入成本和供应商的生产成本，第2项为制造商与备用供应商签订合同的投入成本，第3项为开放制造商的固定成本和制造商的生产成本，第4项为制造商提高产能成本，第5项与第6项分别为制造商产能保护成本和投资保护系统的固定成本，最后1项中的第1项为制造商在主要供应商的采购成本与运输成本，第2项为制造商在备用供应商的采购成本、运输成本及采购惩罚成本，第3项为制造商的持有成本和将产品运输至客户的运输成本，第4项为制造商产能损失成本，第5项与第6项分别为制造商实际恢复产能成本和缺货惩罚成本。同时，模型还应该满足如（2）~（32）式的约束条件：

\mathrm{N}{\mathrm{V}}_s=\sum _v\mathrm{P}\mathrm{F}{\mathrm{S}}_v\cdot f_{sv},\forall s\in S（2）

\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{st}^k=\mathrm{0},\forall s\in S,t=\mathrm{0},\forall k\in K（3）

\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{st}^k=\mathrm{N}{\mathrm{V}}_s,\forall s\in S,t=\mathrm{0},\forall k\in K（4）

\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{st}^k=\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{st-\mathrm{1}}^k\cdot {\theta }_s\cdot D_{st}^k,\forall s\in S,\forall t\in T,t>\mathrm{0},\forall k\in K（5）

\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{st}^k=\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{st-\mathrm{1}}^k-\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{st}^k,\forall s\in S,\forall t\in T,t>\mathrm{0},\forall k\in K（6）

\mathrm{N}{\mathrm{V}}_i=\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{V}}_i+\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv},\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（7）

\mathrm{N}{\mathrm{V}}_i=\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot o_{iv},\forall i\in \mathrm{N}\mathrm{F}（8）

\mathrm{P}{\mathrm{V}}_i=\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \sum _p{w}_{ivp}\cdot {\beta }_p,\forall i\in I（9）

\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{it}^k=\mathrm{0},\forall i\in I,t=\mathrm{0},\forall k\in K（10）

\mathrm{R}{\mathrm{V}}_{it}^k=\mathrm{0},\forall i\in I,t=\mathrm{0},t=T,\forall k\in K（11）

\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it}^k=\mathrm{N}{\mathrm{V}}_i,\forall i\in I,t=\mathrm{0},\forall k\in K（12）

\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{it}^k=(\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it-\mathrm{1}}^k-P{V}_i)\cdot {\theta }_i\cdot D_{it}^k,\forall i\in I,\forall t\in T,

t>\mathrm{0},\forall k\in K（13）

\mathrm{R}{\mathrm{V}}_{it}^k=\mathrm{N}{\mathrm{V}}_i-\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it}^k,\forall i\in I,\forall t\in T,t>(\mathrm{T}\mathrm{D}+

\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{R}),\forall k\in K（14）

\mathrm{R}{\mathrm{V}}^{\mathrm{\text{'}}}{}_{it}^k=\sum _{v}P{I}_v\cdot {\theta }_i\cdot r_{ivt}^k,\forall i\in I,\forall v\in V,\forall t\in T,

t>\mathrm{0},\forall k\in K（15）

\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it}^k=\mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it-\mathrm{1}}^k-\mathrm{D}{\mathrm{V}}_{it}^k+\mathrm{R}{\mathrm{V}}^{\mathrm{\text{'}}}{}_{it-\mathrm{1}}^k,\forall i\in I,\forall t\in T,

t>\mathrm{0},\forall k\in K（16）

\mathrm{R}{\mathrm{V}}^{\mathrm{\text{'}}}{}_{it}^k\le \mathrm{R}{\mathrm{V}}_{it}^k,\forall i\in I,\forall t\in T,\forall k\in K（17）

\sum _v{f}_{sv}+b_s\le \mathrm{1},\forall s\in S（18）

\sum _i{x}_{sit}^k\le \mathrm{A}{\mathrm{V}}_{st}^k,\forall s\in S,\forall t\in T,\forall k\in K（19）

\sum _k\sum _t\sum _i{u}_{sit}^k\le M\cdot b_s,\forall s\in S（20）

\sum _v{o}_{iv}\le \mathrm{1},\forall i\in \mathrm{N}\mathrm{F}（21）

\sum _v{z}_{iv}\le \mathrm{1},\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（22）

\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{V}}_i+\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv}\le \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v,\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（23）

\sum _v\sum _p{w}_{ivp}\le \mathrm{1},\forall i\in I（24）

\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \sum _p{w}_{ivp}\le (\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{V}}_i+\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv})\cdot \mathrm{p}\mathrm{f}{\mathrm{o}}_i,

\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（25）

\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \sum _p{w}_{ivp}\le \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot o_{iv},\forall i\in \mathrm{N}\mathrm{F},\forall v\in V（26）

\sum _h{x}_{iht}^k\le \mathrm{A}{\mathrm{V}}_{it}^k,\forall i\in I,\forall t\in T,\forall k\in K（27）

\sum _i{x}_{iht}^k+u_{ht}^k=D_{ht},\forall h\in H,\forall t\in T,\forall k\in K（28）

\sum _h{x}_{iht}^k\le \sum _s(x_{sit}^k+u_{sit}^k),\forall i\in I,\forall t\in T,\forall k\in K（29）

\sum _v{r}_{ivt}^k\le \mathrm{1},\forall i\in I,\forall t\in T,\forall k\in K（30）

f_{sv},b_s,o_{iv},z_{iv},w_{ivp},\mathrm{p}\mathrm{f}{\mathrm{o}}_i,r_{ivt}^k,\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},\forall s\in S,\forall i\in I,\forall i\in \mathrm{N}\mathrm{F},\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F},\forall v\in V,\forall p\in P,\forall t\in T,\forall k\in K（31）

x_{sit}^k,u_{sit}^k,x_{iht}^k,u_{ht}^k\in N

\forall s\in S,\forall i\in I,\forall h\in H,\forall t\in T,\forall k\in K（32）

其中，（2）~（6）式和（7）~（17）式分别为供应商和制造商的产能定义：（2）式定义了第一周期主要供应商的总产能；（3）式与（4）式分别表示在每种情景中，第一周期主要供应商因中断而损失的产能和当前可用产能；（5）式与（6）式分别表示在每种情景中，除第一周期外每周期主要供应商因中断而损失的产能和当前可用产能；（7）式与（8）式分别定义了第一周期已开放制造商和新建制造商的总产能；（9）式为制造商受保护系统维护的产能；（10）~（12）式分别表示在每种情景中，第一周期制造商因中断而损失的产能、可恢复产能和当前可用产能；（13）~（16）式分别表示在每种情景中，除第一周期外每周期制造商因中断而损失的产能、可恢复产能、实际恢复产能及当前可用产能；（17）式表示制造商实际恢复的产能不超过其可恢复的产能。（18）~（32）式为其他约束条件：（18）式表示一个供应商只能成为一个主要供应商或备用供应商；（19）式表示供应商的供货量不超过其当前可用产能；（20）式保证只允许制造商自身和供应商建立备用供应关系；（21）式表示新建制造商的开放限制；（22）式表示已开放制造商提高产能的限制；（23）式表示已开放制造商的总产能不超过其最大产能；（24）式表示制造商的保护限制；（25）式与（26）式分别表示已开放制造商和新建制造商受保护系统维护的产能不超过其总产能；（27）式表示制造商的供货量不超过其当前可用产能；（28）式表示制造商满足客户的需求量，否则产生缺货惩罚成本；（29）式表示网络节点运输流量的平衡约束；（30）式表示制造商恢复产能的限制；（31）式表示二元决策变量约束；（32）式表示各个变量的非负整数约束。

为了将非线性约束（25）式线性化，本文通过（33）式定义了一个新的整数变量protv _i。

\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i\in \mathbb{N},\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（33）

通过约束（25）与附加约束（34）~（37）确定protv _i 综合约束条件公式（38）。

\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i\ge \mathrm{0},\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（34）

\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i\le \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \mathrm{p}\mathrm{f}{\mathrm{o}}_i,\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（35）

\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i\le (\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{V}}_i+\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv}),\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（36）

\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i\ge (\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{V}}_i+\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot z_{iv})-

\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot (\mathrm{1}-\mathrm{p}\mathrm{f}{\mathrm{o}}_i),\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（37）

\sum _v\mathrm{P}{\mathrm{I}}_v\cdot \sum _p{w}_{ivp}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\mathrm{v}}_i,\forall i\in \mathrm{O}\mathrm{F}（38）

2.3　情景生成

在随机规划的研究中，生成高效情景的方法得到了广泛关注^[19]。但需要考虑众多情景的缘故，采用基于情景的方法可能会导致解决方案变得复杂难解。多数研究在随机规划中常常采用一组具有确定概率的小规模预定情景^[20]。而在本文的模型中，通过引入一个决策情景依赖公式刻画情景生成过程，从而构建内生非凸混合整数非线性模型，该方法能够有效减少所需测试的情景数量，并能体现出决策者的风险规避态度。

2.3.1　初始样本设定

本文排除了没有发生中断的正常情景，因为供应链正常运行的情况比发生中断的情况更易出现。如果情景中混合了正常运行和发生中断的情况，可能会导致概率分布不均，即发生中断情景的概率显著偏低，从而导致模型基于无中断情况下得出最优解。因此，为了维持决策者的风险规避态度，每个生成的情景都必须至少包含一个中断事件。

设定参数N以表示一个情景中可能发生的最大中断事件数，则情景总规模如（39）式所示：

\left|K\right|={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{C}_{|S|+|I|}^n（39）

2.3.2　情景简化

决策者的风险规避态度是通过参数N控制。N值越大，表明风险规避态度越强。为了避免问题规模复杂，考虑到发生中断通常是低概率事件^[21]，本文设定每个情景中最多只能发生两个中断事件（N=2）。

情景简化是通过依赖第一阶段决策的情景概率来实现的。只有当中断事件（通过参数D_it^k 和D_st^k 建模）影响开放的制造商或选定的主要供应商的运营时，才会将该情景纳入最终的情景集合。（40）式表示在情景中发生的中断事件总数，而（41）式则表示影响开放的制造商或选定的主要供应商的中断事件数量。（42）式定义了情景权重，其中中断事件较少的情景比中断事件较多的情景具有更高的权重，且中断事件发生的概率较低，相应权重也较小。根据（42）式，那些只涉及非开放制造商或非选定供应商（即ND _k ≠NAD _k ）中断的情景，其权重为零，因此这些情景不会包含在考虑的集合中。最后，（43）式定义了情景概率。

\mathrm{N}{\mathrm{D}}_k=\sum _t\left[\sum _s{D}_{st}^k+\sum _i{D}_{it}^k\right]（40）

\mathrm{N}\mathrm{A}{\mathrm{D}}_k=\sum _t\left[\sum _s(D_{st}^k\cdot \sum _v{f}_{sv})+\sum _i(D_{it}^k\cdot \sum _v{o}_{iv})\right]（41）

W_k=\left\{\begin{array}{cc}N+\mathrm{1}-\mathrm{N}\mathrm{A}{\mathrm{D}}_k,& {\begin{array}{cc}\mathrm{i}\mathrm{f}& \mathrm{N}\mathrm{A}{\mathrm{D}}_k=\mathrm{N}\mathrm{D}\end{array}}_k\\ \mathrm{0},& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\right.（42）

P_k=\frac{W_k}{\sum _k{W}_k}（43）

3　 改进模拟退火算法

本文构建的弹性SCN模型为内生随机非凸混合整数非线性模型，具有多个局部最优解且难以直接确定全局最优解，因此在求解时常采用启发式算法，如模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）^[22]。SA算法是一种常用的启发式全局优化算法，起源于固体退火原理，广泛应用于大规模组合优化问题的求解。该算法通过模拟固体物质在加热和冷却过程中寻找最低能量状态的过程，找到问题的全局最优解。然而，由于其基于概率的搜索机制，SA算法在某些情况下并不能保证找到最优解。因此，本文在SA算法的基础上提出了改进策略，以提高其求解精度和收敛速度。改进SA算法流程如图2所示。

3.1　自适应温度调节机制

在传统SA算法中，温度的衰减通常以一个固定的降温速率来进行，该过程可用（44）式表示：

L_{m+\mathrm{1}}=\alpha L_m（44）

其中，L_m 为第m次迭代时的温度，α为固定的降温因子（通常0<α<1）。

然而，当面对复杂的优化问题时，固定的降温速率可能会导致算法过早收敛，进而影响全局寻优能力。故本文提出一种根据目标函数值变化的动态温度调节机制。根据目标函数值的变化量\mathrm{\Delta }f=|f_m-f_{m-\mathrm{1}}|，温度更新公式变为：

（45）

其中，ξ为自适应调整因子，ε为设定的容忍度，经多次试验，ξ、ε分别取值为0.05、1E-3。当目标函数值变化较小时，温度减小以加速局部搜索；当变化较大时，温度增大以增强全局探索能力。

3.2　多链信息共享与全局最优更新机制

在传统的单链SA算法中，仅依赖一条链进行寻优，导致算法寻优能力较差。相比之下，多链自适应SA算法采用多个独立链的协作策略，通过链与链之间的信息共享来持续更新全局最优解，同时每次迭代时，每条链都参与全局最优解的更新。每条链解的更新可用（46）式表示：

（46）

全局最优解的更新可用（47）式表示：

x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{{}^{m+\mathrm{1}}}=\underset{x_d^m\in \{x_{\mathrm{1}}^m,x_{\mathrm{2}}^m,\cdots ,x_d^m\}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(x_d^m)（47）

其中，x^m_d 为第d条链在第m次迭代时的解，δx_d 为邻域搜索步长，f\left(x\right)为目标函数值。

4　 算例分析

本章主要通过设置模拟算例进行计算和深入分析，验证内生随机非凸混合整数非线性数学模型的有效性。通过采用改进SA算法进行算例求解分析，研究包含弹性策略的SCN模型和无弹性策略SCN模型的区别，并通过敏感性分析，研究中断后考虑采购惩罚成本和采取多种预防和恢复策略对弹性SCN设计的影响。最后，将改进SA算法与其他三种算法进行求解对比，验证改进SA算法在求解该模型中的优势性。

4.1　模拟算例与求解结果分析

4.1.1　参数设置与算例生成

本节通过删除（1）式中预防中断和恢复策略构建无弹性策略的SCN模型，如（48）式所示，并将其与（1）式进行求解对比，验证本文所设计的弹性SCN模型的有效性与可行性。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=\sum _s\left[\sum _v(\mathrm{C}{\mathrm{F}}_s+\mathrm{C}{\mathrm{V}}_s\cdot \mathrm{P}\mathrm{F}{\mathrm{S}}_V)\cdot f_{sv}\right]+

\sum _{i\in \mathrm{N}\mathrm{F}}\sum _v(\mathrm{C}{\mathrm{O}}_i+\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot \mathrm{P}{\mathrm{I}}_v)\cdot o_{iv}+

\sum _k{P}_k\sum _t\left\{\sum _i\left[\sum _s(\mathrm{C}{\mathrm{P}}_s+\mathrm{C}\mathrm{T}\cdot {\overline{D}}_{si})\cdot x_{sit}^k+\right.\right.

\sum _h(\mathrm{C}\mathrm{H}+\mathrm{C}\mathrm{T}\cdot {\overline{D}}_{ih})\cdot x_{iht}^k+

\left.(\mathrm{C}{\mathrm{V}}_i\cdot (\mathrm{1}-\frac{t}{\left|T\right|})+\mathrm{C}\mathrm{H})\cdot \mathrm{D}{\mathrm{V}}_{it}^k\right]+\left.\sum _h\phi \cdot u_{ht}^k\right\}（48）

同时为了避免偶然性，本文结合某光伏制造企业实际情况模拟生成数据，设计小、中、大3种不同规模算例，模型具体参数设置如表4和表5所示。

4.1.2　求解结果与分析

本节采用MATLAB编程语言，通过改进SA算法分别求解供需双方中断情况下考虑预防和恢复策略的弹性SCN模型与无弹性策略的SCN模型，得到3种规模算例的最优目标函数值，具体求解结果如表6所示。

由表6可得，随着规模和N值的增大，弹性SCN模型和无弹性策略SCN模型的总成本也随之增大，并在相同规模和N值的条件下，弹性SCN模型的总成本小于无弹性策略SCN模型的总成本。通过观察进一步发现，随着规模和N值的增大，无弹性策略SCN模型与弹性SCN模型的总成本差值也随之增大，在大规模和N值为2的算例中，差值最大，为105.99万元，由此表明在大规模中弹性策略的作用效果更佳。同时，在相同规模和不同N值的条件下，弹性SCN模型总成本的平均涨幅低于无弹性策略SCN模型总成本的平均涨幅，进一步说明本文提出的综合弹性策略在应对中断情况时的有效性，能大幅度降低SCN运行总成本。

4.2　敏感性分析

4.2.1　中断后单位采购惩罚成本的影响分析

中断后制造商向备用供应商采购的单位惩罚成本和缺货导致的单位惩罚成本均会影响网络运行总成本，这些参数的变化将会对网络设计的最终结果产生影响。

在3种规模算例中，分别取7组不同单位采购惩罚成本，在N值为1和2的情况下进行计算（γ分别为1.4、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.6），记录各个参数设置下的网络运行总成本，如图3、4所示。由图3、4可以看出，随着单位采购惩罚成本的增加，SCN运行总成本单调递增。

在3种规模算例中，分别在N值为1和2的情况下，计算了不同规模下考虑单位采购惩罚成本的目标函数值与不考虑单位采购惩罚成本的目标函数值的差值，结果如图5、6所示。由图5、6可知，二者差值均大于0，且随着规模增大，二者差值越来越大。这表明中断后单位采购惩罚成本的变化越大，其对供应链网络设计带来的影响越大。

4.2.2　预防和恢复策略的影响分析

在N值取1和2的情况下，分别对比了3种规模算例中仅实施单一弹性策略（备用供应商、制造商产能恢复、制造商额外产能及制造商保护系统）与同时实施这4种弹性策略的目标函数值（即SCN总成本），对比结果如图7、8所示。

由图7、8可以看出，同时实施这4种弹性策略时的SCN总成本有所下降。因此，在设计弹性SCN时有必要考虑一种以上的弹性策略，以达到降低成本的目的。

4.3　求解对比分析

为进一步验证采用改进SA算法求解非凸混合整数非线性数学模型的优越性，本节将改进SA算法与原始SA算法、遗传算法（Genetic Algorithm，GA）和布谷鸟算法（Cuckoo Search，CS）的求解结果进行对比，表7展示了4种方法求解3种规模算例的平均目标函数值。同时分析比较4种方法求解大规模算例的收敛速度，各类算法仿真迭代变化曲线如图9、10所示。

从表7可以看出，采用改进SA算法求解3种规模算例得到的最优解全部优于其他3种算法得到的最优解，且随问题规模的增大，其他3种算法得到的最优解与改进SA算法得到的最优解的差距越来越大，因此采用改进SA算法在求解本文模型时具有更显著的优越性。

通过对比迭代曲线，由图9可知，改进SA算法求得的总成本最低，因此其寻优能力最好；改进SA算法的收敛速度优于SA算法和GA算法，虽然CS算法的收敛速度超过了改进SA算法，但陷入了局部最优；由图10可知，改进SA算法无论是收敛速度还是寻优能力均显著优于其他3种算法。对比结果表明改进SA算法的整体性能大幅度提升，能有效避免局部最优，在求解本文模型时更高效。

5　 结 语

本文研究了弹性SCN优化设计问题，旨在增强其应对随机中断的弹性。考虑对供应商和制造商产生影响的全方位中断情景，在中断发生时启用备用供应商、制造商产能恢复、制造商额外产能及制造商保护系统的综合应对策略，并以SCN总运行成本最小化为目标，建立内生随机非凸混合整数非线性模型，同时在原始SA算法的基础上，动态调整降温速率并采用多链信息共享与全局最优更新机制，以提高算法的收敛速度与寻优能力。通过采用改进SA算法对模拟算例进行求解分析，得到的网络运行总成本低于无弹性策略模型的网络运行总成本。通过敏感性分析发现，随着单位采购惩罚成本的增大，网络运行总成本也随之增大。采取多种中断应对策略可以明显降低SCN运行总成本，减轻中断风险对网络造成的负面效应。本文构建的弹性SCN模型可广泛应用于实际场景中，启示制造商可以通过采用备用供应商、产能恢复、额外产能及保护系统等方式降低中断对其带来的影响，为企业应对中断风险的供应链管理决策提供了理论依据。

本文研究中仅考虑了供应商、制造商和客户之间的三级供应网络设计问题，之后的工作可以对供应商、制造商、配送中心和客户之间的四级或多级SCN设计问题展开研究，构建更加贴合现实的弹性SCN，以应对网络可能遭遇的中断风险，增强供应链整体的稳健性和安全性，为供应链相关企业提供应对突发事件的有效策略。

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基金资助

国家自然科学基金(71672117)

中央引导地方科技发展资金计划(10500149)