基于腔-光力相互作用的Werner态直接度量研究

Direct Measurement of Phononic Werner States via Optomechanical Interactions

摘要

针对声子纠缠态难以度量的问题，本文基于腔辅助的光力交叉克尔非线性效应，通过关联干涉仪输出端多次测量所得的单光子探测概率与声子纠缠态的并发度，提出了两量子比特Werner态并发度的直接度量方案。已有的单份拷贝直接度量方案的每次测量虽只需要初始Werner态的单份拷贝，却需要满足已知系数的前提。本文提出了无需知晓系数α和β的多份拷贝直接度量方案，虽每次测量需要初始Werner态的多份拷贝，但其普适性更佳。本文提出的方案不需要复杂的受控非门（Controlled-NOT，CNOT）操作。理论分析表明，本文方案在当前领域可实现的实验条件下具有可靠的性能。

Abstract

To address the problem that phononic entanglement is difficult to quantify, this paper, based on the cavity-assisted optomechanical cross-Kerr nonlinearity, by correlating the single-photon detection probabilities obtained from multiple measurements at the output ports of an interferometer with the concurrence of the phononic entangled state, proposes a direct measurement scheme for the concurrence of a two-qubit Werner state. The existing single-copy direct measurement scheme requires only a single copy of the initial Werner state per measurement, yet it relies on prior knowledge of the coefficients. In this work, we propose a multi-copy direct measurement scheme that does not require knowledge of the coefficients α and β. Although this scheme requires multiple copies of the initial Werner state per measurement, it offers better universality. The scheme proposed in this paper does not involve complex Controlled-NOT (CNOT) gate operations. Theoretical analysis shows that the proposed scheme exhibits reliable performance under experimentally achievable conditions in the current research field.

Graphical abstract

关键词

纠缠度量 / Werner态 / 声子 / 光力系统

Key words

entanglement measurement / Werner state / phonon / optomechanical system

0　 引 言

纠缠态是量子计算和量子通信的核心要素之一。量子通信的执行，通常选择最大纠缠态或已知纠缠度的部分纠缠态。在众多纠缠制备和操纵方案中，最大纠缠态一直是首选^[1]。因为基于最大纠缠态的量子计算和通信方案一般会得到等于1的成功概率或者保真度。环境噪声的影响使得最大纠缠态被干扰从而退化成非最大纠缠态，如Werner态^[2]。于是，基于非最大纠缠态或混态的研究逐渐增多，且此类研究证明非最大纠缠态在量子信息处理任务中也可作为核心资源加以利用^[3-6]。不同的量子态具有不同的定义和潜在应用，因此如何量化成分未知的纠缠态成为了研究难题。目前已有的纠缠度量方法有：Bell不等式^[7]、纠缠witnesses^[8]、量子态层析重构^[9]以及并发度（concurrence）^[10-12]等。其中，并发度^[10-12]因其精确性和普适性在两量子比特系统中脱颖而出。并发度C定义为：

C=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\mathrm{0},{\lambda }_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{3}}-{\lambda }_{\mathrm{4}}\}(1)

式中：{\lambda }_i(i=1,2,3,4)是按降序排列的算符{\rho }_{\mathrm{12}}\left({\sigma }_{\mathrm{1}y}\otimes {\sigma }_{\mathrm{2}y}\right){\rho }_{\mathrm{12}}^{*}\left({\sigma }_{\mathrm{1}y}\otimes {\sigma }_{\mathrm{2}y}\right)的本征值的平方根；{\sigma }_{\mathrm{1}y}和{\sigma }_{\mathrm{2}y}为泡利算符；{\rho }_{\mathrm{12}}为系统密度算符；{\rho }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}表示{\rho }_{\mathrm{12}}的复共轭。

研究者们提出了大量针对两量子比特纠缠态的并发度直接度量方案。Walborn等^[13]利用线性光学元件对两光子纠缠纯态的并发度进行了直接度量。此后，有学者提出了一些基于线性光学^[14]或者交叉克尔非线性^[15]对光子极化纠缠态的纠缠度量方案，并将之拓展到对光子超纠缠态的直接度量^[16]。同时，基于腔量子电动力学系统的两原子纠缠纯态的直接度量方案陆续被提出^[17-21]。

由光学腔场与机械振子共同组成的腔-光力系统^[22-23]，因其极佳的可拓展性、超高的灵敏性以及可在宏观尺度下展现量子现象等优点逐渐得到了研究者们的广泛关注。该系统是利用光的辐射压力驱动机械振子振动的杂化系统，通过腔-光力系统，研究者们利用光场对机械振子运动进行量子调控或者利用机械振子调控光场。研究表明，声子作为量子化的机械振动模^[24-25]，可以作为信息载体在声子波导中传播^[26]。此外，光学腔和谐振腔、声子晶体技术的快速发展为基于腔-光力系统的量子信息处理创造了条件。常见的腔-光力耦合系统有薄膜腔-光力耦合系统、光子晶体腔-光力系统、环形腔-光力系统等^[22]。以薄膜腔-光力耦合系统为例，二维薄膜结构与法布里-泊罗（Fabry-Perot，F-P）腔^[22]耦合构成一个中间膜装置(Membrane-In-the-Middle, MIM)模型，该系统不仅具有稳定的腔模，还可实现对机械振子的囚禁和对其振动模式的操控^[27-29]。基于此系统，Chen等^[27]实现高保真度的受控相位翻转操作，并通过光力相互作用将量子态从光子转移至宏观机械振子。而且机械振子之间的纠缠态，尤其是介观甚至是宏观尺度物体（机械振子）的纠缠，不仅可以作为量子网络中远程量子中继器的重要资源，还将为退相干理论以及宏观尺度下的量子力学研究提供一个理想的平台。利用机械振动模的声子量子比特，研究者们提出了一些重要的纠缠制备方案^[26]。例如，Riedinger等^[30]已经实现了两个远程机械振子之间的纠缠。

综合上述内容可知，当前方案都集中于利用腔量子电动力学系统对原子纠缠态或者利用光学系统对光子纠缠态的直接度量。由于不存在声子线性元件，声子无法像原子和光子那样被操纵，所以针对原子或光子的纠缠度量方案不能直接用于声子纠缠态。而且现有的方案大都研究两量子比特最大纠缠纯态——Bell态和特殊的混态（Collins-Gisin态），少有关于Werner态的纠缠度量方案^[21]。由于两量子比特最大纠缠纯态——Bell态很容易消相干成Werner态，而且利用随机双向旋转局域操作可将Werner态与一个任意的两量子比特混合态相互转化，所以对声子Werner态进行纠缠度量更具有实际意义。近年来，Liu等^[31]提出的基于腔-光力系统的纠缠态度量方案中包含了对Werner态的纠缠度量，相较于Riedinger等^[30]使用纠缠witnesses进行定性的纠缠度量，该文献给出了定量的并发度直接度量方案，但要求Werner态限定在已知系数未知混合比例参数的前提。在此工作^[31]的基础上，本文将亮端探测器探测到单光子时系统的状态以及探测概率进行了详细描述，并提出了更具有普适性的基于双份拷贝的未知Werner态并发度测量方法。

因此，本文以腔-光力系统的交叉克尔非线性相互作用为基础，提出了对未知系数未知混合比例参数声子Werner态的纠缠度量方案。本文完善了宇称检测装置，分别阐述了光子在亮、暗探测端时对应的声子态及其概率。基于此，通过探测器对相互作用后的光子态进行正交后选择，以单光子的探测概率表示Werner态的并发度，实现对未知系数未知混合比例参数Werner态的纠缠度量方案。最后基于当前的实验条件，讨论了非完美参数对方案保真度和成功概率的影响。

1　 腔-光力系统中的交叉克尔非线性过程

如图1所示，考虑利用一种光力系统实现光子和机械振子之间的交叉克尔非线性光力相互作用。一个二维薄膜结构耦合于一个F-P腔(Fabry-Perot cavity)，该薄膜（Membrance）位于腔的正中间，构成一个MIM模型^[31]。机械薄膜和目标机械振子之间的相互作用，利用一个电容(Capacitor)作为传输线共振器执行共振相互作用实现。将腔内光子Fock态作为信号模，而将机械振子的第一激发态({\left|\mathrm{1}\right.〉}_m)和基态({\left|\mathrm{0}\right.〉}_m)作为目标模。

该光力系统的哈密顿量可以写为(\mathrm{\hslash }=\mathrm{1})^[27]：

H={\omega }_c{c}^{†}c+{\omega }_m{b}^{†}b-g{c}^{†}c{b}^{†}b(2)

其中，c是腔的湮灭算符；c^{†}是腔的产生算符；b是机械振子的湮灭算符；b^{†}是机械振子的产生算符。{\omega }_c是腔的有效频率；{\omega }_m是机械振子的有效频率；g是有效非线性耦合强度。将腔内光子Fock态编码为信号模,将振子的激发态({\left|\mathrm{1}\right.〉}_m)和基态({\left|\mathrm{0}\right.〉}_m)编码为目标模。利用(2)式的哈密顿量，该系统演化如下^[27]：

{\left|\mathrm{0}\right.〉}_c{\left|\mathrm{0}\right.〉}_m\to {\left|\mathrm{0}\right.〉}_c{\left|\mathrm{0}\right.〉}_m

{\left|\mathrm{0}\right.〉}_c{\left|\mathrm{1}\right.〉}_{\mathrm{m}}\to e^{-i{\theta }_{\mathrm{01}}}{\left|\mathrm{0}\right.〉}_c{\left|\mathrm{1}\right.〉}_m

{\left|\mathrm{1}\right.〉}_c{\left|\mathrm{0}\right.〉}_m\to e^{-i{\theta }_{\mathrm{10}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉}_c{\left|\mathrm{0}\right.〉}_m

{\left|\mathrm{1}\right.〉}_c{\left|\mathrm{1}\right.〉}_m\to e^{-i{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉}_c{\left|\mathrm{1}\right.〉}_m(3)

其中，参数{\theta }_{\mathrm{01}}={\omega }_{m}t，{\theta }_{\mathrm{10}}={\omega }_{c}t，{\theta }_{\mathrm{11}}=\left({\omega }_c+{\omega }_m-g\right)t；t代表光子在腔内的演化时间。

2　 两声子态的宇称检测门

两声子态宇称检测装置^[31]中的两个机械振子m1和m2分别耦合于腔1（Cavity1）和腔2（Cavity2），如图2所示。假设两个机械振子m1和m2具有如下的形式：

{\left|\psi \right.〉}_{m\mathrm{1}}=\alpha {\left|\mathrm{0}\right.〉}_{m\mathrm{1}}+\beta {\left|\mathrm{1}\right.〉}_{m\mathrm{1}}

{\left|\psi \right.〉}_{m\mathrm{2}}=\alpha {\left|\mathrm{0}\right.〉}_{m\mathrm{2}}+\beta {\left|\mathrm{1}\right.〉}_{m\mathrm{2}}(4)

其中，\psi为量子态；\alpha \mathrm{、}\beta是量子态的系数，满足|\alpha {|}^{\mathrm{2}}+|\beta {|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}；{\left|k\right.〉}_{\mu }(k=0,1，\mu =m\mathrm{1}, m\mathrm{2})是声子数态，代表有k个声子处于振子模µ。

Alice将一个光子脉冲引入光分束器(BS₁),对光子的空间模执行Hadamard操作。即光子将以相同的概率进入腔1（C1）或者腔2（C2）。将(3)式中所示的非线性相互作用于光子-声子复合态，系统演化如下：

{\left|\mathrm{\Psi }\right.〉}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\left|\mathrm{10}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}+{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}\right)\otimes

{\left(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1}\right.〉\right)}_{m\mathrm{1}}\otimes {\left(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1}\right.〉\right)}_{m\mathrm{2}}\to

\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left[{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}\otimes (\alpha {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{1}}\otimes \right.

{\left(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{{{}_{-i}}_{{\theta }_{\mathrm{01}}}}\left|\mathrm{1}\right.〉\right)}_{m\mathrm{2}}+{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}\otimes

\left.{\left(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{01}}}\left|\mathrm{1}\right.〉\right)}_{m\mathrm{1}}\otimes {\left(\alpha {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{11}}}\left|\mathrm{1}\right.〉\right)}_{m\mathrm{2}}\right](5)

光子在外光分束器BS₂处再次干涉。如果光子被BS₂暗（Dark）输出端的单光子探测器探测到，单光子态{\left|\psi \right.〉}_p=\left({\left|\mathrm{10}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}-{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{C\mathrm{1}C\mathrm{2}}\right)/\sqrt[]{\mathrm{2}}就被正交后选择出来。最终，声子的态会坍缩为：

{\left|\mathrm{\Psi }\right.〉}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[(\alpha {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{1}}\otimes \right.

(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{01}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{2}}-(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{01}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{1}}\otimes

\left.(\alpha {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-i{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{2}}\right]=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha \beta \xi (t){(\left|\mathrm{01}\right.〉-\left|\mathrm{10}\right.〉)}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}(6)

其中，参数\xi (t)={\mathrm{e}}^{-i({\omega }_m+{\omega }_c)t}(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{igt})。可得声子(m1,m2)坍缩为一个最大纠缠Bell态：

{\left|\mathrm{\Psi }\right.〉}_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\left(\left|\mathrm{01}\right.〉-\left|\mathrm{10}\right.〉\right)}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}(7)

成功得到最大纠缠态（7）式的概率为：

P\left({\left|\mathrm{\Psi }\right.〉}_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}\times {\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left|\alpha \beta \right|\right)}^{\mathrm{2}}\xi {\xi }^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}{\left|\alpha \beta \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{gt}{\mathrm{2}})(8)

当时间t=(\mathrm{2}n+\mathrm{1})\mathrm{\pi }/g时,上述概率的最大值为：

P_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{2}{\left|\alpha \beta \right|}^{\mathrm{2}}(9)

从(6)式可以看出，通过对光子态执行正交后选择，声子(m1,m2)处于奇宇称的态就被后选择出来了。故当声子(m1,m2)的态为奇宇称时，暗探测器会被触发。在文献[31]的基础上进一步拓展可得，当声子(m1,m2)的态处于偶宇称时，经由图2所示装置后可触发亮（Bright）探测器。此时，声子的态会坍缩为：

\begin{array}{l}{\left|\mathrm{\Psi }\right.〉}_{\mathrm{2}B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}[(\alpha {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{1}}\otimes \\ (\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{01}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{2}}+(\alpha \left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{01}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{1}}\otimes \\ (\alpha {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{10}}}\left|\mathrm{0}\right.〉+\beta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{11}}}{\left|\mathrm{1}\right.〉)}_{m\mathrm{2}}]=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha \beta {\xi }^{\text{'}}(t){(\left|\mathrm{01}\right.〉-\left|\mathrm{10}\right.〉)}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}+\\ {\alpha }^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{10}}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left({\theta }_{\mathrm{01}}+{\theta }_{\mathrm{11}}\right)}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}\end{array}(10)

其中，{\xi }^{\text{'}}(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}({\omega }_m+{\omega }_c)t}(\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}gt})。当时间t=(\mathrm{2}n+\mathrm{1})\mathrm{\pi }/g,成功得到（10）式的概率为\dot{P}={\left|\alpha \right|}^{\mathrm{4}}+{\left|\beta \right|}^{\mathrm{4}}。可以看出，本文基于图2装置^[31]，给出了亮端探测器响应时相应的量子态形式和探测概率，这对于多份拷贝直接度量方案是必要的。

3　 两声子纠缠Werner态直接度量方案

在实际的物理情况下，由于环境噪声的影响，两量子比特最大纠缠纯态——Bell态易衰减成Werner态。因此在实际的量子信息处理任务中，Werner态是必须要讨论的。同时，噪声不仅会影响系统纯度使纯态变为混态，还会影响初始态的系数，例如将初始态由\left|\varsigma \right.〉=\left(\left|\mathrm{00}\right.〉+\left|\mathrm{11}\right.〉\right)/\sqrt[]{\mathrm{2}}变成\left|{\varsigma }^{\text{'}}\right.〉=\alpha \left|\mathrm{00}\right.〉+\beta \left|\mathrm{11}\right.〉。因此需讨论一般形式Werner态的直接度量。Werner态的一般形式为：

{\rho }_W=\frac{\mathrm{1}-f}{\mathrm{4}}\mathit{I}+f\left|\phi \right.〉〈\left.\phi \right|(11)

其中，f是混合比例参数； I 是一个4×4单位矩阵；\left|\phi \right.〉=\alpha \left|\mathrm{01}\right.〉+\beta \left|\mathrm{10}\right.〉({\left|\alpha \right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\beta \right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1})是一个Bell态。式中包含5个部分：\alpha \left|\mathrm{01}\right.〉+\beta \left|\mathrm{10}\right.〉、{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}、{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}、{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}以及{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}，对应的概率分别为f、\left(\mathrm{1}-f\right)/\mathrm{4}、\left(\mathrm{1}-f\right)/\mathrm{4}、\left(\mathrm{1}-f\right)/\mathrm{4}以及\left(\mathrm{1}-f\right)/\mathrm{4}。相应地，上述态的并发度为：

C(W)=\mathrm{2}f\left|\alpha \beta \right|-\frac{\mathrm{1}-f}{\mathrm{2}}(12)

上述Werner态的纠缠度量每次测量时需要双份拷贝，可将两个Werner态的联合态写为：

{\rho }_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=f^{\mathrm{2}}{\left|{\varphi }^{\mathrm{1}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}〈\left.{\varphi }^{\mathrm{1}}\right|+

\frac{f(\mathrm{1}-f)}{\mathrm{4}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\mathrm{9}}}\left|{\varphi }^i\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}〈\left.{\varphi }^i\right|+

{\left(\frac{\mathrm{1}-f}{\mathrm{4}}\right)}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{10}}^{\mathrm{25}}}{\left|{\varphi }^j\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}〈\left.{\varphi }^i\right|(13)

式中：

{\left|{\varphi }^{\mathrm{1}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\alpha }^{\mathrm{2}}\left|\mathrm{0000}\right.〉+

\alpha \beta \left|\mathrm{0011}\right.〉+\alpha \beta \left|\mathrm{1100}\right.〉+{\beta }^{\mathrm{2}}\left|\mathrm{1111}\right.〉,

\begin{array}{l}{\left|{\varphi }^{\mathrm{2}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1100}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{3}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0001}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1101}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{4}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0010}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1110}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{5}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0011}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1111}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{6}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{0011}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{7}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{0100}\right.〉+\beta \left|\mathrm{0111}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{8}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{1000}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1011}\right.〉,\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{9}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\phi \right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}=\alpha \left|\mathrm{1100}\right.〉+\beta \left|\mathrm{1111}\right.〉,\end{array}

\begin{array}{l}{\left|{\varphi }^{\mathrm{10}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{11}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{12}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\end{array}

\begin{array}{l}{\left|{\varphi }^{\mathrm{13}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{14}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\end{array}

\begin{array}{l}{\left|{\varphi }^{\mathrm{15}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{16}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{17}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{18}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{19}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{20}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{21}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{22}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{00}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{23}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{01}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\\ {\left|{\varphi }^{\mathrm{24}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{10}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}},\end{array}

{\left|{\varphi }^{\mathrm{25}}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}m\mathrm{3}m\mathrm{4}}={\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{1}m\mathrm{2}}{\left|\mathrm{11}\right.〉}_{m\mathrm{3}m\mathrm{4}}(14)

如图3所示，声子(m1,m3)和(m2,m4)分别由两个空间分离的参与者Alice和Bob所有。首先，Alice和Bob注入单光子脉冲1和2，继而与声子(m1,m3)和(m2,m4)分别相互作用。此后即可通过探测器D₁，D₂，D₃和D₄探测得到两光子态的测量结果。探测器(D₁,D₂)和(D₃,D₄)的联合探测结果给出了声子(m1,m3)和(m2,m4)的宇称信息。基于第2部分的宇称检测操作和(13)式中各项声子的宇称态，在输出端对两个光子的联合探测结果是(D₁,D₃),(D₁,D₄),(D₂,D₃),(D₂,D₄)的概率分别为：

\begin{array}{l}{P}_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{3}}}=\mathrm{2}{f}^{\mathrm{2}}{\left|\alpha \beta \right|}^{\mathrm{2}}+\frac{f(\mathrm{1}-f)}{\mathrm{2}}+\frac{{(\mathrm{1}-f)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\\ P_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{4}}}=P_{D_{\mathrm{2}}{D}_{\mathrm{3}}}=\frac{f(\mathrm{1}-f)}{\mathrm{2}}+\frac{{(\mathrm{1}-f)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\end{array}

P_{D_{\mathrm{2}}{D}_{\mathrm{4}}}=\mathrm{1}-(P_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{3}}}+P_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{4}}}+P_{D_{\mathrm{2}}{D}_{\mathrm{3}}})(15)

如图3所示，Alice和Bob将利用到两对声子(m5,m6)和(m7,m8)，它们的联合态{\rho }_{m\mathrm{5}m\mathrm{6}m\mathrm{7}m\mathrm{8}}处于(13)式所示的形式。Bob通过引入单光子脉冲3和4，并与声子(m5,m6)和(m7,m8)分别相互作用。最终单光子脉冲会触发单光子探测器D₅、D₆、D₇或D₈。与前述的计算过程相似，可以得到两个光子分别被(D₅,D₇)探测到的概率为：

P_{D_{\mathrm{5}}{D}_{\mathrm{7}}}=\frac{{(\mathrm{1}-f)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}(16)

结合(12)式中Werner态的并发度的表达式，可以得到如下关系：

C(W)=\mathrm{2}f\left|\alpha \beta \right|-\frac{\mathrm{1}-f}{\mathrm{2}}=\sqrt[]{\mathrm{2}\left(P_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{3}}}-P_{D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{4}}}\right)}-

\sqrt[]{P_{D_{\mathrm{5}}{D}_{\mathrm{7}}}}(17)

至此，利用辅助单光子态的探测概率，完成了对初始声子纠缠Werner态在系数未知且混合比例未知情形的纠缠度量。方案只需要对输出端进行单光子探测而不需要声子进行探测。

4　 分析与讨论

与Cheng等^[19-20]利用NV色心-光学微腔系统对电子自旋Werner态进行直接度量的方案相比，本文方案将量子态拓展至由声子构成的Werner态。在本文对声子Werner态的纠缠度量方案中，腔-光力系统可以选择MIM型光力系统，此类系统在理论和实验方面都已经有了很多研究。Chen等^[27]利用腔内光子Fock态编码作为信号模，振子的基态和激发态编码为目标模所设计的受控相位反转门的保真度经模拟计算表明最大可达0.97。同时通过输入红失谐泵浦脉冲执行反斯托克斯过程，可以将声子态转移至输出光子态^[30]，结合光力交叉克尔非线性和马赫-曾德尔干涉仪，利用对干涉仪输出端的单光子态的正交后选择从而间接操控声子态，可以很大程度降低操作难度。

4.1　后选择操作的成功概率

在宇称检测装置中，马赫-曾德尔干涉仪用于后选择两个声子最大纠缠态。后选择操作的成功概率可用光子到达的概率密度^[31]表示。

光子到达概率密度受无量纲到达时间gt/\mathrm{2}\mathrm{\pi }的影响^[31]，为了观察到光力腔内到达率振荡，需满足{\omega }_m\ge \mathrm{90}\kappa。此外，暗计数率产生的噪声会降低方案的成功概率，因此方案应满足边带可分辨状态。在上述方案中，由于探测器接收光子的窗口大约是\mathrm{1}/\kappa，当考虑最先进的硅雪崩光电二极管（暗计数率约2 Hz）时，应当满足文献[26]的要求{\left|\alpha \beta \right|}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{3.184}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{8}}。此时，如果考虑利用每秒产生10 000个高质量单光子的高效单光子源^[33]，当前方案可以在有效时间内完成。

4.2　非完全一致的初始Werner态

在多份拷贝直接度量方案中，需要两对完全一样的初始Werner态，这在实际的量子信息处理任务中是困难的。两份初始态的偏差同样会影响并发度的测量结果。于是需要评估这种拷贝偏差带来的影响。假设两对非全同声子Werner态初始分别处于：

\rho (W_{\mathrm{1}})=\frac{\mathrm{1}-f}{\mathrm{4}}\mathit{I}+f\left|{\phi }^{\text{'}}\right.〉〈\left.{\phi }^{\text{'}}\right|

\rho (W_{\mathrm{2}})=\frac{\mathrm{1}-\epsilon f}{\mathrm{4}}\mathit{I}+\epsilon f\left|{\phi }^{\text{'}}\right.〉〈\left.{\phi }^{\text{'}}\right|(18)

其中，\epsilon表示比例因子。在经历图3所示的操作之后，并发度可以表示为：

C^{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}}=\mathrm{2}\sqrt[]{\epsilon }f\left|\alpha \beta \right|-\frac{\sqrt[]{(\mathrm{1}-f)(\mathrm{1}-\epsilon f)}}{\mathrm{2}}(19)

与全同Werner态得出的并发度(12)式相比较，可得并发度偏差与\left|\alpha \beta \right|以及比例因子\epsilon之间的关系，如图4所示。可以看出，当\mathrm{0.90}\le \epsilon \le \mathrm{1.00}时，，并且这个偏差随\epsilon的减小而增大。

进一步考虑f=(1/2,2/3,5/6)的情况，当\alpha =\beta =\mathrm{1}/\sqrt[]{\mathrm{2}}时，比率\mathrm{\Delta }C/C与\epsilon之间的关系如图5所示。其中绿色虚线就对应于图4中所示的情况。可以看出，当f固定的时候，\epsilon越接近1，非全同初态对比率∆C/C的影响越小，而且这一比率随f的增大而减小，但整体影响在15%以内。所以，当前方案在非完美参数条件下具有可靠的性能。

5　 结 语

本文基于光力交叉克尔非线性和马赫-曾德尔干涉仪相结合的系统，设计了两声子态宇称测验门。通过辅助单光子态的探测概率，直接揭示了相应声子Werner态的并发度。文中将机械振子的基态和第一激发态编码为目标模，实则是将声子视为分离变量，因此利用并发度对声子Werner态进行度量是合适的。若研究将声子视为连续变量的情形，可考虑其他方法进行纠缠度量。在实际实验中，需要重复多次相同操作得出特定的单光子态的探测频率，从而将此频率视为概率，因此实际的实验需要多份初始态的拷贝。已有的单份拷贝直接度量方案，建立在已知Werner态中系数的基础上。本文的多份拷贝直接度量方案，Werner态中的系数和混合比例参数都是未知的，虽每次测量需要多份Werner态的拷贝，但这一方案普适性更佳。当前方案利用了对输出光子的正交后选择而不需要严格的光子-声子受控门，使得当前方案更容易实现。分析结果表明，提出的方案在当前实验条件下是可行的，该方案在基于声子的量子信息处理任务中显示出很好的应用前景。当前方案是针对两量子比特系统的纠缠度量，未来工作将致力于发展多量子比特声子纠缠态的直接度量方案，同时探索声子系统在混合量子系统中的作用，推动声子量子信息处理向实用化与网络化方向发展。

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基金资助

山西省基础研究计划项目(202103021223388)