基于闭环非线性自回归神经网络的锂离子电池SOC估计

A Closed-Loop Nonlinear Autoregressive Dynamic Neural Network for SOC Estimation of Lithium-Ion Batteries

摘要

针对传统SOC估计模型在实际工况中存在的估计精度不足、误差累积以及鲁棒性差等问题，提出一种基于闭环非线性自回归（Closed-Loop Nonlinear Autoregressive eXogenous， CL-NARX）神经网络的SOC估计模型。该模型通过引入闭环反馈机制，增强了对复杂电池过程的拟合能力，有效抑制了误差累积，通过优化关键超参数增强了鲁棒性。实验结果显示，当训练迭代次数为150次、隐藏层神经元个数为10、输入延迟层数为5、输出延迟层数为2时，模型具有最优性能，估计误差明显优于其他神经网络模型，其最大误差、RMSE、MAE与MAPE分别降低至2.58%、1.41%、1.36%和4.57%。该模型具有较高的精度、有效抑制误差的能力和良好的鲁棒性，可望为锂离子电池安全运行提供可靠的技术支持。

Abstract

To address the problems of insufficient estimation accuracy, error accumulation, and poor robustness of traditional State of Charge (SOC) estimation models under actual operating conditions, this paper proposes a Closed-loop Nonlinear Autoregressive eXogenous (CL-NARX) neural network model to improve SOC estimation accuracy. The model enhances the fitting capability for complex battery processes by introducing a closed-loop feedback mechanism, effectively suppressing error accumulation, and strengthening robustness by optimizing key hyperparameters. The experimental results show that the model achieves optimal performance, when the training iteration number is 150, the number of neurons in the hidden layer is 10, the input delay layers are 5, and the output delay layers are 2, with estimation errors significantly superior to other neural network models. The maximum error, RMSE, MAE, and MAPE are reduced to 2.58%, 1.41%, 1.36%, and 4.57%, respectively. The model demonstrates high accuracy, effective error handling, and strong robustness, providing reliable technical support for the safe operation of lithium-ion batteries.

Graphical abstract

关键词

锂离子电池 / 荷电状态 / 闭环非线性自回归 / BP神经网络

Key words

lithium-ion battery / State of Charge (SOC) / Closed-Loop Nonlinear Autoregressive eXogenous (CL-NARX) / backpropagation (BP) neural network

0　 引 言

锂离子电池作为关键的储能解决方案，凭借其多样化的材料体系与优异的性能，正持续推动相关技术进步^[1-3]。与传统的铅酸电池相比，锂离子电池因其质量更轻、环境适应性更强以及输出电压更高等优势，已在多个领域促进了技术革新^[4-6]。常用的锂离子电池材料包括钴酸锂（LiCoO₂）^[7]、锰酸锂（LiMn₂O₄）^[8]、磷酸铁锂（LiFePO₄）^[8]、镍钴铝酸锂（LiNiCoAlO₂）^[9]。不同类型的电池因材料体系的差异表现出独特的性能，且随着技术持续发展，电池的性能特性还在不断优化与提升^[10-11]。

锂离子电池的荷电状态（State of Charge, SOC）估计是电动汽车安全运行的重要保障，同时也是电池管理系统（Battery Management System, BMS）的核心功能之一^[12-13]。然而，由于锂离子电池本身的高度非线性特性和工作环境的复杂性，如何实现可靠、准确的SOC估计仍然是一项具有挑战性的难题^[14]。目前，锂离子电池SOC估计的相关研究主要集中于对安时积分法（ampere-hour integration method）、数据驱动法（data-driven method）、基于参数模型方法（model-based method）以及混合方法（hybrid method）^[14-16] 等的融合与改进。安时积分法是实际工况下最常用的SOC实时估计方法之一，具有结构简单、易于在线实现及计算负荷低等优点^[17]。Wang等^[17]提出通过粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）方法对电池模型参数进行辨识，并利用基于安时积分法可靠增量确定动态补偿误差，从而提升估计精度。数据驱动方法无须依赖电池的物理建模或等效电路结构，能够直接基于测量数据对SOC进行估计，近年来已成为锂离子电池SOC估计领域的重要研究方向之一^[15-16]。Selvaraj等^[18]采用机器学习方法实现了高精度的SOC估计，发现利用贝叶斯优化（Bayesian Optimization，BO）能够获得更为精确的SOC估计结果。Wu等^[19]采用基于深度学习的卷积神经网络-双向门控循环单元（Convolutional Neural Network-Bidirectional Gated Recurrent Unit, CNN-BiGRU）模型对锂离子电池SOC进行估计，估计精度取得显著提升。Wu等^[20]提出基于物理约束（Physics-constrained Bidirectional Long Short-Term Memory, P-BiLSTM）的数据驱动方法，将外部预压和温度作为输入特征，并在损失函数中引入物理约束，显著提升了估计的准确性和可靠性。

为了提升不同工况下锂离子电池SOC估计的准确性，研究者提出基于数据驱动方法下的神经网络模型^[21-22]。电池的动态特性会受到环境温度显著影响，温度变化不仅改变电化学反应速率与容量衰减特性，也使得电压、电流等外部量测参数与SOC之间的关系更为复杂。神经网络模型凭借其强大的非线性拟合能力，被广泛用于处理不同温度工况下的数据驱动估计问题。研究表明，通过适当的结构设计与特征提取，神经网络能够在一定程度上缓解温度波动带来的估计误差，从而提高SOC预测的鲁棒性^[23-24]。Wang等^[25]提出一种基于反向传播神经网络（Back Propagation Neural Network, BPNN）的方法，用于表征电池容量、温度与健康状态（State of health, SOH）之间的关系，有效解决了温度变化和电池老化对SOC与SOH估计精度造成的影响问题。Ouyang等^[26]提出一种基于混沌映射的自适应鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA）优化BPNN的方法，解决了电池SOC估计精度不足的问题，有效提升了SOC预测的准确性与稳定性。Cai等^[27]提出一种基于AdaBoost集成算法优化BPNN的方法，解决了传统数据驱动方法在锂离子电池SOC估计中存在的精度低与泛化能力差的问题，有效提升了多工况下SOC估计的准确性。Ouyang等^[28]通过BPNN电压数据重构结合同步输入与状态估计算法，解决了数据丢失导致的SOC估计精度下降问题，且误差可控制在1%以内。

基于模型的方法通过构建电池系统物理或等效数学模型，并结合测量信号与状态估计算法，实现对电池内部状态的动态估计^[15，29]。该方法主要依赖于三类电池模型，即电化学模型（Electrochemical Model, EM）^[30]、等效电路模型（Equivalent Circuit Model, ECM）^[11]以及电化学阻抗模型（Electrochemical Impedance Model, EIM）^[31]。为提升上述模型估计精度，通常采用卡尔曼滤波（Kalman filtering, KF）作为状态估计算法，对电池状态进行动态修正与优化^[14]。常用的卡尔曼滤波方法包括多种变体，如扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）^[32]、无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter, UKF）^[33]，以及自适应扩展卡尔曼滤波（adaptive extended Kalman filter, AEKF）^[34]等。这些方法被广泛用于电池状态估计中，以提升在非线性、强噪声以及动态复杂工况下的估计精度与鲁棒性^[14]。Wang等^[35]提出一种基于改进平方根无迹卡尔曼滤波（square root-untraced Kalman filtering, SR-UKF）算法的SOC估计方法，解决了温度变化引起的电池容量波动对SOC估计精度和适应性影响的问题，实现了高精度自适应SOC跟踪，并显著提升了复杂工况下SOC估计的可靠性与准确性。Zhu等^[36]提出一种改进的有限记忆-立方卡尔曼滤波（Limited Memory-Sage Husa-Cubature Kalman Filter, LM-SH-CKF）算法，解决了传统CFK方法在实际工程中先验噪声不确定性导致滤波精度较低的问题，为电池状态监测提供了可靠参考。Alhamdu等^[37]通过基于自适应遗忘因子递推最小二乘法与二阶Thevenin等效电路模型的移动步长无迹变换双扩展卡尔曼滤波混合方法，实现了不同温度和工况下动力锂离子电池SOC的高精度估计，模型能快速且准确地进行SOC估计。

混合方法结合了基于模型方法与数据驱动方法的优势，能够实现更高精度和更强鲁棒性的估算结果^[16，38]。为应对电池早期容量变化带来的挑战并提升预测精度，Yu等^[39]提出一种融合深度学习与卡尔曼滤波方法的通用融合框架，解决了单一方法在锂离子电池SOC估计中存在的精度与适应性不足问题，有效提升了多源信息处理能力与SOC估计的准确性与鲁棒性。Takyi-Aninakwa等^[40]提出一种基于扩展输入长短期记忆模型与自适应奇异值分解变换无迹卡尔曼滤波相结合的SOC混合估计方法，解决了现有数据驱动方法学习能力不足及估计结果易受噪声干扰的问题。

然而，现有的SOC估计方法在应对复杂工况下的电参数变化时仍面临诸多挑战^{[14，16，41]}。首先，在不同工况条件下，电池的电参数本身具有高度复杂性，且易受到噪声、温度、放电倍率以及老化因素等多重因素的影响，对SOC估计的准确性与稳定性带来较大干扰。同时，许多现有模型缺乏应对电池系统中非线性特性与不确定性所需的自适应能力。因此，传统方法在复杂工况下难以有效解决上述挑战，限制了SOC估计结果的准确性与可靠性^[15]。

本文提出一种闭环非线性自回归神经网络（Closed-Loop Nonlinear Autoregressive eXogenous, CL-NARX），用于实现高精度的锂离子电池SOC估计。通过CCCV循环实验、动态应力测试（Dynamic Stress Test, DST）和北京公交动态压力测试（Beijing Bus Dynamic Stress Test, BBDST）工况下的实验验证，该模型能够高效且准确地完成SOC估算。

本文的主要创新点如下：

1） 针对传统SOC估计方法存在的误差累积与动态适应性差的问题，引用基于闭环反馈结构的CL-NARX神经网络，有效提升了复杂工况下SOC估计的精度与鲁棒性；

2） 针对模型的训练迭代次数、隐藏层神经元个数、输入延迟层数与输出延迟层数等关键超参数，通过分析超参数的影响机理，明确优化配置，提升SOC估计精度与泛化能力；

3） 针对单一充放电条件下模型易过拟合、泛化能力受限的问题，通过CCCV、DST及BBDST多工况实验体系，丰富数据的多样性，验证模型在复杂环境下的适应性与稳定性。

1　 算法原理与实验设置

1.1　基于CL-NARX的模型

为解决传统方法在处理电压与电流之间非线性关系时的局限性，提出CL-NARX神经网络SOC估计模型。CL-NARX神经网络SOC估计模型通过引入延迟与反馈机制，增强对历史数据的记忆能力，有效捕捉锂离子电池的动态特性，能够显著提升SOC估计的精度与整体性能。

1.1.1　数据预处理

为消除不同数据维度对神经网络权重分配的影响，需要将原始数据缩放至适当的数据空间，以增强模型参数在不同数据维度下的可解释性，从而提高模型性能与估计精度。预处理后的数据包含多种混合比例属性。因此，采用归一化方法对数据进行处理：

\overline{x_i}=\frac{x_i-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}(1)

其中：x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}表示输入数据的最小值；x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}表示输入数据中的最大值；x_i表示输入数据。

1.1.2　NARX神经网络模型原理

NARX神经网络包含开环结构与闭环结构两种结构。其中，开环结构中不包含反馈单元，网络模型的数据仅沿前向方向传递，使开环网络在训练过程中具备更快的收敛速度；闭环结构则在网络中引入了反馈单元，当模型用于预测未知目标变量时，反馈层的输入为神经网络上一次的预测结果。

NARX神经网络的输入输出关系如下：

\widehat{y}\left(t\right)=F\left[x\left(t\right),x\left(t-\mathrm{\Delta }t\right),\dots ,x\left(t-n\mathrm{\Delta }t\right),y\left(t\right),y\left(t-\mathrm{\Delta }t\right),\dots ,y\left(t-m\mathrm{\Delta }t\right)\right](2)

其中：F（）表示NARX神经网络的非线性映射函数；t表示当前离散采样时间；Δt表示采样时间间隔；n表示输入的时间延迟阶数；m表示输出反馈的时间延迟阶数。

本文引入闭环反馈机制，构建闭环CL-NARX模型。估计阶段采用前一时刻的估计输出替代真实目标，作为下一时刻的输入之一：

\widehat{y}\left(t\right)=F\left[x\left(t\right),x\left(t-\mathrm{\Delta }t\right),\dots ,x\left(t-n\mathrm{\Delta }t\right),\widehat{y}(t),\widehat{y}\left(t-\mathrm{\Delta }t\right),\dots ,\widehat{y}\left(t-m\mathrm{\Delta }t\right)\right](3)

CL-NARX神经网络的SOC估计模型框架，如图1所示。

CL-NARX神经网络的构建过程起始于前馈感知器搭建的网络，其核心目的是通过t时刻输入x\left(t\right)与输出\widehat{y}\left(t\right)的动态行为，将输出建模为回归模型中的非线性函数形式。

该回归模型通过自回归与外生输入数据共同作用，捕捉复杂的动态特性。其非线性函数表达式及隐藏层函数如下：

y_t=\Phi \left[{\beta }_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{\beta }_i{h}_{it}\right](4)

{\tilde{h}}_{it}=\Psi \left[{\overline{\gamma }}_{i\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\overline{\gamma }}_{ij}{\overline{x}}_{jt}\right](5)

其中：y_t表示输出的非线性函数形式；{\tilde{h}}_{it}表示隐藏层输出的函数形式；\Phi表示输出层的激活函数，{\beta }_{\mathrm{0}}表示输出偏置，{\beta }_i表示输出层权重；{\overline{\gamma }}_{i\mathrm{0}}表示输入偏置，{\overline{\gamma }}_{ij}表示输入层权重；q和n分别表示神经元数量与输入数量；\Psi表示隐藏层神经元的激活函数，对权重进行约束限制，表达式如下：

\Psi \left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-t}}(6)

将（4）式和（5）式结合，得到输出y的具体描述函数，表达式如下：

y_t=\Phi \left\{{\beta }_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{\beta }_i\Psi \left[{\gamma }_{i\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\gamma }_{ij}{x}_{jt}\right]\right\}(7)

其中：q表示隐藏层单元的数量；n表示输入变量的数量。该扩展形式综合了当前及历史输入对输出的影响，通过非线性变换进行调节，从而为输出提供更加精确的估计结果。该结构配置确保每个隐藏层节点均可接收来自所有输入变量的信息，并通过自回归动态项生成输出。通过在输出端引入自回归动态项，形成递归型神经网络结构。因此，隐藏层的输出可由（8）式描述：

h_{it}=\Psi \left[{\gamma }_{i\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\gamma }_{ij}{x}_{jt}+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^q}{\delta }_{ir}{h}_{r,t-\mathrm{1}}\right](8)

其中：{\delta }_{ir}表示延迟反馈项的权重。将（8）式代入（4）式，并替换为h_{r,t-\mathrm{1}}，即可得到（9）式与（10）式：

y_t=\Phi \left\{{\beta }_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{\beta }_i\mathrm{\Psi }\left[{\gamma }_{i\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\gamma }_{ij}{x}_{jt}+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^q}{\delta }_{ir}{h}_{r,t-\mathrm{1}}\right]\right\}(9)

y_t^k=\Phi \left\{{\beta }_{\mathrm{0}}^k+{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{\beta }_i^l\Psi \left[{\gamma }_{i\mathrm{0}}^l+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\gamma }_{ij}^l{x}_{jt}+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^q}{\delta }_{ir}{h}_{r,t-\mathrm{1}}\right]\right\}(10)

（10）式描述了NARX神经网络结构。对于开环网络结构，延迟层的输出值直接作为网络的常规输入，而在闭环网络结构中，延迟层的输入则由神经网络估计得到的输出结果，通过反馈回路返回，实现对系统动态特性的持续跟踪与估计。两种网络结构在本质上是一致的，主要区别在于延迟层输出值的获取方式不同。

1.1.3　模型评估指标

为了评价所建立的SOC估计模型，对预测数据和实际数据进行比较，选择3种统计指标：平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）、平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）和均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）。各误差指标计算如下：

\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\left|Y_i-{\widehat{Y}}_i\right|}^{\mathrm{2}}}(11)

\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left|Y_i-{\widehat{Y}}_i\right|(12)

\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left|\frac{Y_i-{\widehat{Y}}_i}{Y_i}\right|(13)

其中：Y_i表示为i时刻的真实值，对应模型的SOC真实值；{\widehat{Y}}_i表示为i时刻的SOC估计值，在本文中对应为模型输出的SOC估计值；N数据样本的数量。

1.2　实验设置

为了深入研究CL-NARX模型锂离子电池SOC估算精度，本文构建了基于BTS系列的电池测试实验平台。该平台主要由BTS200-100-104电池测试系统（亚科源科技有限公司）、三元聚合物锂电池、恒温环境箱以及BTS上位机软件组成，系统结构如图2所示。实验使用三元聚合物锂离子电池（70 Ah，LiFePO₄，深圳礼智信科技有限公司），其详细参数如表1所示。

进一步研究了复杂工况下CL-NARX神经网络在锂离子电池SOC估算中的准确性与鲁棒性。在环境温度恒定为25 ℃条件下，设计并进行了100次恒流-恒压（constant current-constant voltage, CCCV）充放电循环实验。通过该实验获取大量复杂工况下的电压、电流与SOC变化数据，用于构建和验证SOC估计模型。

将CCCV实验所得数据集划分为训练集与验证集，其中70%的数据用于模型的训练，其余30%的数据用于模型的性能验证与泛化能力测试。仿真实验在MATLAB 2021仿真环境下完成，实验平台操作系统为Windows 10，硬件配置包括AMD R6-2600处理器与GTX 1660图形处理单元，以保障模型训练与仿真过程中的计算效率与结果稳定性。

为验证超参数设置对CL-NARX模型估计精度的影响，本文选择动态应力测试（Dynamic Stress Test, DST）工况数据作为训练数据集，并采用北京公交动态应力测试（Beijing Bus Dynamic Stress Test, BBDST）工况数据作为测试数据集。通过不同超参数组合下模型在两类数据集上的表现，为优化模型结构及提升估计精度提供理论依据和实验支撑。

另外，本文综合选取3类典型工况为SOC估计模型的准确性与泛化能力验证提供支撑。其中，CCCV工况能够反映电池在规律性循环条件下的基本充放电特性，为模型精度验证提供基准；DST工况包含多频率动态负载，能够模拟电池在复杂工况下的瞬态响应，用于评估模型的适应性与鲁棒性；BBDST工况源自城市公交运行场景，电流波动剧烈，更贴近实际交通运输条件下的使用需求。3类工况分别覆盖了规律循环、典型动态和复杂场景。

2　 结果与讨论

2.1　超参数设置对模型性能的影响

为进一步提升CL-NARX神经网络在锂离子电池SOC估计中的性能，对模型的超参数进行了系统化调优。围绕训练迭代次数、网络延迟层数，分析了CL-NARX内部超参数设置对其SOC估计性能的影响。首先使用DST数据进行训练、BBDST数据进行测试，通过调节训练迭代次数，考察不同迭代周期对CL-NARX网络训练与验证误差的影响，结果如表2所示。

训练过程中，RMSE在前150次迭代内持续下降，逐渐趋于平稳，并在800次迭代时达到局部最优，RMSE降至0.13%。测试阶段同样在150次迭代时取得最佳性能，RMSE为0.98%，此后误差随迭代次数增加而上升，表明迭代次数过多会明显影响SOC估计精度。MAE在300次达到最佳性能，为0.34%。但随着迭代次数增加，网络逐渐学习到训练集中的噪声和非典型特征，虽然拟合精度进一步提升，但泛化能力下降。同时，迭代次数增加还会显著延长训练时间，降低模型的实际效率。因此，本文选择迭代次数为150次。

隐藏层结构的配置也对网络性能有一定影响，其训练与测试误差如表3所示。本文选取隐藏层神经元数量在5~15范围内进行测试。随着隐藏神经元数量的增加，RMSE和MAE逐渐降低，在数量为10时，降至最优，RMSE与MAE分别为1.18%与0.73%。之后，随着隐藏神经元数量增加反而下降。结果表明，适当增加隐藏神经元数量能够降低训练误差，当神经元数量过少时，模型表达能力受限，难以充分刻画电池的动态特性，神经元数量过多时又会导致模型复杂度过高，导致在验证阶段出现过拟合并引起测试误差升高。

不同延迟层数也能在一定程度上影响网络。各延迟层数训练和测试误差如表4和表5所示。由表4可知，随着输入延迟层数的增加，模型误差呈现先减小后增大的趋势，在5层时达到最优。适当的输入延迟层数有助于捕捉电池动态特性，提升估计精度；延迟层数过多则会导致网络复杂度增加，降低泛化能力，出现过拟合现象。同时，训练时间也随输入延迟层数的增加而显著增长，如训练时间由2层时的55 s增加至8层时的271 s，说明在延迟层数过多时不仅模型精度下降，计算负担也显著加重。相对而言，输出延迟层数对模型性能更为敏感，延迟层数多于5层后，训练与测试误差显著上升，SOC估计精度显著下降。由于过多反馈信息扰乱了网络对有效特征的提取能力，削弱了模型对SOC变化趋势的跟踪能力。综合表4和表5的结果，最终选择输入延迟层数为5、输出延迟层数为2的组合，此时测试集训练时间为224 s，误差RMSE与MAE分别为1.17%与0.61%。

综上所述，超参数设置直接影响CL-NARX神经网络在锂离子电池SOC估计中的表现。通过合理优化迭代次数与延迟层数，能够有效提升模型对电池动态非线性特性的建模能力，进一步巩固CL-NARX在SOC估计精度方面的显著优势，为复杂工况下的电池SOC状态估计提供了坚实的基础。

2.2　模型估计精度分析

为验证所提出的CL-NARX算法在SOC估算中的有效性与估计精度，选取其他典型神经网络模型进行对比分析。

对比模型包括Elman神经网络（Elman）、反向传播神经网络（Backpropagation, BP）以及前馈神经网络（Feedforward Neural Network, FNN）。通过与多种神经网络模型在相同数据集与实验条件下的性能对比，考察CL-NARX算法在动态工况下的估算准确性与鲁棒性，评估其在锂离子电池SOC精确估算领域的应用优势。

本文对3种对比模型的超参数均进行了系统配置与优化，涵盖网络层结构、隐藏层神经元数量、激活函数、学习率、训练迭代次数及训练算法等方面，确保其在相同条件下的性能达到较优水平。相关参数设置如表6所示。

SOC估计结果与评估指标如图3所示。从图3（a）SOC估计结果曲线可以看出，CL-NARX神经网络在CCCV循环实验工况下表现出优异的跟踪能力。该模型能够较好地捕捉锂离子电池SOC随时间动态变化的特性，其估计值与真实值重合度最高。相比之下，FNN、BP以及Elman神经网络的估计曲线与真实值存在不同程度的偏差，尤其是Elman网络，跟踪能力较差，存在明显滞后和偏移现象。

从图3（b）SOC估计误差（Err）曲线看，CL-NARX神经网络在整个测试周期内始终保持较低且稳定的误差水平，误差波动范围最小，保持在4%以内，表明其良好的鲁棒性和抗干扰能力。而FNN、BP与Elman神经网络对工况变化适应性较差：FNN与BP 的误差曲线波动幅度较小，但误差水平普遍偏高；Elman的误差水平较低，具有更高的精度，但误差曲线波动幅度较大。

从图3（c）最大误差（Err_Max）对比结果可以看出，CL-NARX神经网络在SOC估计中的最大误差（2.58%）明显低于其他对比模型，表现出较优的估计精度与稳定性。BP和FNN的最大误差分别为5.46%和5.03%，Elman最大误差（6.93%）水平显著偏大，表明它们在复杂动态循环工况下估计能力较弱，存在较强的误差累积和波动现象。

从图3（d）（e）（f）RMSE、MAE与MAPE误差指标的对比结果可以看出，CL-NARX神经网络在SOC估计精度方面表现最优，RMSE、MAE与MAPE分别为1.41%、1.36%和4.57%，均处于较低水平，综合误差水平显著优于其他神经网络模型，表明其处理动态复杂电池工况时的强适应性和高鲁棒性。

综合来看，CL-NARX神经网络在锂离子电池SOC估计任务中展现出优异的综合性能。相比之下，Elman神经网络虽然具备一定的记忆功能，但其隐藏层状态更新依赖单一递归连接，难以全面反映电池复杂的动态过程；BP和FNN作为典型的前馈网络，缺乏时间序列建模能力，无法有效应对SOC估计中的动态非线性特征。CL-NARX模型通过引入闭环反馈结构，有效抑制了传统神经网络中存在的误差累积问题，因此在复杂工况下具备更高的精度与鲁棒性。

3　 结 语

针对传统SOC估计算法在实际工况下往往存在估计精度不足、误差累积以及鲁棒性不足等问题，本文提出一种基于闭环反馈结构的CL-NARX神经网络SOC估计方法。该方法通过引入闭环反馈机制有效抑制误差累积，增强网络在复杂工况下的鲁棒性与适应性。训练迭代次数与输入、输出延迟层数对网络估计精度与泛化能力对模型的SOC估计性能影响显著，在迭代次数为150次，隐藏层神经元个数为10、输入延迟层数为5和输出延迟层数为2时，模型达到最优。此时，最大误差、RMSE、MAE与MAPE分别降低至2.58%、1.41%、1.36%和4.57%，在估计精度上优于其他神经网络方法。综上所述，CL-NARX神经网络可望为复杂工况下锂离子电池SOC高精度估计提供了可靠的技术支撑。

本文从不同角度证明了CL-NARX模型在SOC估计中展现出较高的精度与鲁棒性，但仍有进一步完善与拓展的空间。未来研究可从模型训练优化、复杂工况适应性、算法融合策略、环境适用性以及车载计算效率等方面展开，推动该方法向更真实的应用场景演进。

参考文献

[1] GUO Z H， WANG J X， LI X H， et al. Progress and perspectives of garnet-based solid-state lithium metal batteries： Toward low resistance， high energy density and improved cycling capability［J］. Electrochemical Energy Reviews， 2025， 8（1）： 8. DOI：10.1007/s41918-025-00244-1 .

[2] XIAO Y H， GOYAL G K， SU J R， et al. A comprehensive review of electric vehicle recycling： Processes in selective collection， element extraction， and component regeneration［J］. Resources， Conservation and Recycling， 2025， 219： 108309. DOI：10.1016/j.resconrec.2025.108309 .

[3] NAVINKUMAR T M， BHARATIRAJA C. Sustainable hydrogen energy fuel cell electric vehicles： A critical review of system components and innovative development recommendations［J］. Renewable and Sustainable Energy Reviews， 2025， 215： 115601. DOI：10.1016/j.rser.2025.115601 .

[4] ALI I M M， KALAM M A， IKRAM A， et al. Energy transition towards electric vehicle technology： Recent advancements［J］. Energy Reports， 2025， 13： 2958-2996. DOI：10.1016/j.egyr.2025.02.029 .

[5] LI W F， ZHANG F M， GAO Z H， et al. Bioinspired microcapsules toward smart lithium-ion batteries： Concept， mechanism， performance， and criteria［J］. Journal of Energy Chemistry， 2025， 107： 495-511. DOI：10.1016/j.jechem.2025.03.016 .

[6] SRINIVAAS M， LEE Y Y， BUSIREDDY M R， et al. Polyimides in next-generation energy devices： Applications in Li-ion batteries to solar cells［J］. Journal of Power Sources， 2025， 641： 236780. DOI：10.1016/j.jpowsour.2025.236780 .

[7] FURUKAWA K， YAMADA M， ARIYOSHI K. Quantitative analysis of side-reaction rates and capacity fading mechanisms in all-solid-state Li-ion batteries［J］. Journal of Power Sources， 2025， 643： 237001. DOI：10.1016/j.jpowsour.2025.237001 .

[8] AANNIR M， MOUNAFIA N EL， LOUTOU M， et al. Microwave-assisted process for sustainable recycling of blended cathodes from E-scooter batteries： An integrated optimization approach［J］. Journal of Power Sources， 2025， 643： 237003. DOI：10.1016/j.jpowsour.2025.237003 .

[9] KIM S， PARK S， KIM D， et al. Closed-loop resynthesis of LiNiCoAlO₂ cathode active materials from the industrial leachate of spent li-ion batteries［J］. Chemical Engineering Journal， 2024， 494： 153199. DOI：10.1016/j.cej.2024.153199 .

[10] SHANG Y Z， WANG S S， TANG N H， et al. Research progress in fault detection of battery systems： A review［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 98： 113079. DOI：10.1016/j.est.2024.113079 .

[11] ELALFY D A， GOUDA E， KOTB M F， et al. Comprehensive review of energy storage systems technologies， objectives， challenges， and future trends［J］. Energy Strategy Reviews， 2024， 54： 101482. DOI：10.1016/j.esr.2024.101482 .

[12] GOK B， YILMAZ F C， SERINCAN M F， et al. Robust state of charge prediction for lithium-ion batteries in diverse operating environments via machine learning［J］. Measurement， 2025， 253： 117595. DOI：10.1016/j.measurement.2025.117595 .

[13] HU J W， LI X D， FANG Z， et al. Estimate state of charge in lithium-ion batteries with unknown data［J］. Applied Energy， 2025， 389： 125736. DOI：10.1016/j.apenergy.2025.125736 .

[14] WANG C， YANG M J， WANG X， et al. A review of battery SOC estimation based on equivalent circuit models［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 110： 115346. DOI：10.1016/j.est.2025.115346 .

[15] RAHMANI P， CHAKRABORTY S， MELE I， et al. Driving the future： A comprehensive review of automotive battery management system technologies， and future trends［J］. Journal of Power Sources， 2025， 629： 235827. DOI：10.1016/j.jpowsour.2024.235827 .

[16] ARANDHAKAR S， NAKKA J. State of charge estimation of lithium ion battery for electric vehicle using cutting edge machine learning algorithms： A review［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 103： 114281. DOI：10.1016/j.est.2024.114281 .

[17] WANG Z L， FENG G J， LIU X W， et al. A novel method of parameter identification and state of charge estimation for lithium-ion battery energy storage system［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 49： 104124. DOI：10.1016/j.est.2022.104124 .

[18] SELVARAJ V， VAIRAVASUNDARAM I. A Bayesian optimized machine learning approach for accurate state of charge estimation of lithium ion batteries used for electric vehicle application［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 86： 111321. DOI：10.1016/j.est.2024.111321 .

[19] WU F， WANG S L， LIU D L， et al. An improved convolutional neural network-bidirectional gated recurrent unit algorithm for robust state of charge and state of energy estimation of new energy vehicles of lithium-ion batteries［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 82： 110574. DOI：10.1016/j.est.2024.110574 .

[20] WU L X， WEI X Y， LIN C S， et al. Battery SOC estimation with physics-constrained BiLSTM under different external pressures and temperatures［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 117： 116205. DOI：10.1016/j.est.2025.116205 .

[21] WASEEM M， LAKSHMI G S， AMIR M， et al. Advancement in battery health monitoring methods for electric vehicles： Battery modelling， state estimation， and Internet-of-things based methods［J］. Journal of Power Sources， 2025， 633： 236414. DOI：10.1016/j.jpowsour.2025.236414 .

[22] MA L， LI Y N， ZHANG T L， et al. Trustworthy battery state of charge estimation enabled by multi-task deep learning［J］. Energy， 2025， 326： 136264. DOI：10.1016/j.energy.2025.136264 .

[23] TAKYI-ANINAKWA P， MASAHUDU F， ALI T S， et al. Key parameter-enhanced canonical model for lithium-ion battery state-of-charge estimation［J］. Measurement， 2025， 255： 117994. DOI：10.1016/j.measurement.2025.117994 .

[24] VELUMANI D， BANSAL A. Temperature estimation in a lithium-ion cell using a machine learning based approach［J］. Applied Thermal Engineering， 2025， 270： 126201. DOI：10.1016/j.applthermaleng.2025.126201 .

[25] WANG C Y， CUI N X， CUI Z R， et al. Fusion estimation of lithium-ion battery state of charge and state of health considering the effect of temperature［J］. Journal of Energy Storage， 2022， 53： 105075. DOI：10.1016/j.est.2022.105075 .

[26] OUYANG J， LIN H， HONG Y. Whale optimization algorithm BP neural network with chaotic mapping improving for SOC estimation of LMFP battery［J］. Energies， 2024， 17（17）： 4300. DOI：10.3390/en17174300 .

[27] CAI B Z， LI M T， YANG H W， et al. State of charge estimation of lithium-ion battery based on back propagation neural network and AdaBoost algorithm［J］. Energies， 2023， 16（23）： 7824. DOI：10.3390/en16237824 .

[28] OUYANG T C， TUO X Y， GONG Y B， et al. Lithium-ion battery SOC estimation under data loss and update stagnation［J］. Energy， 2025， 330： 136969. DOI：10.1016/j.energy.2025.136969 .

[29] JOSE A， SHRIVASTAVA S. The advancements and research trends in state of charge estimation for lithium-ion batteries over the last two decades： A visualization analysis based on bibliometric data［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 123： 116610. DOI：10.1016/j.est.2025.116610 .

[30] LI P H， AO Z S， HOU J， et al. Physics-informed mamba neural network with potential knowledge for state-of-charge estimation of lithium-ion batteries［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 123： 116546. DOI：10.1016/j.est.2025.116546 .

[31] ZHANG X Y， ZHANG L P， WU J H， et al. SOC estimation of lithium-ion batteries using equivalent circuit model and Nyquist plots from EIS data： A machine learning approach［J］. Journal of Electroanalytical Chemistry， 2025， 987： 119093. DOI：10.1016/j.jelechem.2025.119093 .

[32] TANG T， LIU X T， SUN X， et al. State of charge estimation with representative cells-based hybrid model for lithium-ion battery pack［J］. Journal of Power Sources， 2025， 641： 236911. DOI：10.1016/j.jpowsour.2025.236911 .

[33] CHIANG C J， VERMA P， TSAI S H. Co-estimation of states and parameters for ultracapacitors of various aging conditions using unscented Kalman filter and recursive least squares［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 122： 116588. DOI：10.1016/j.est.2025.116588 .

[34] LI X， DONG D， HU Z P， et al. A study of adaptive extended Kalman filter with different sliding window lengths for lithium-ion battery state-of-charge estimation［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 118： 116276. DOI：10.1016/j.est.2025.116276 .

[35] WANG S L， DANG Q， GAO Z Q， et al. An innovative square root - untraced Kalman filtering strategy with full-parameter online identification for state of power evaluation of lithium-ion batteries［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 104： 114555. DOI：10.1016/j.est.2024.114555 .

[36] ZHU C Y， WANG S L， YU C M， et al. An improved limited memory-Sage Husa-cubature Kalman filtering algorithm for the state of charge and state of energy co-estimation of lithium-ion batteries based on hysteresis effect-dual polarization model［J］. Energy， 2024， 306： 132465. DOI：10.1016/j.energy.2024.132465 .

[37] BAGE A N， TAKYI-ANINAKWA P， YANG X Y， et al. Enhanced moving-step unscented transformed-dual extended Kalman filter for accurate SOC estimation of lithium-ion batteries considering temperature uncertainties［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 110： 115340. DOI：10.1016/j.est.2025.115340 .

[38] SOROURI H， OSHNOEI A， CHE Y H， et al. A comprehensive review of hybrid battery state of charge estimation： Exploring physics-aware AI-based approaches［J］. Journal of Energy Storage， 2024， 100： 113604. DOI：10.1016/j.est.2024.113604 .

[39] YU H Q， LU H， ZHANG Z J， et al. A generic fusion framework integrating deep learning and Kalman filter for state of charge estimation of lithium-ion batteries： Analysis and comparison［J］. Journal of Power Sources， 2024， 623： 235493. DOI：10.1016/j.jpowsour.2024.235493 .

[40] TAKYI-ANINAKWA P， WANG S L， LIU G C， et al. Enhanced extended-input LSTM with an adaptive singular value decomposition UKF for LIB SOC estimation using full-cycle current rate and temperature data［J］. Applied Energy， 2024， 363： 123056. DOI：10.1016/j.apenergy.2024.123056 .

[41] LIU S Y， LI K， YU J. Battery pack condition monitoring and characteristic state estimation： Challenges， techniques， and future prospectives［J］. Journal of Energy Storage， 2025， 105： 114446. DOI：10.1016/j.est.2024.114446 .

基金资助

国家重点研发计划(2024YFB2408400)

国家自然科学基金(62173281)

国家自然科学基金(52377217)

国家自然科学基金(U23A20651)