具有空间非局部效应的时滞登革热模型单稳行波解的稳定性

Stability of Monostable Traveling Waves in a Delayed Dengue Model with Nonlocal Effect in Space

摘要

研究了具有空间非局部效应的时滞登革热模型单稳行波解的稳定性。采用连续性方法结合加权能量法，建立该模型单稳行波解的局部指数稳定性（小初始扰动下）。其中，初始扰动当x趋于无穷时只需一致有界而不必趋于0。

Abstract

This paper deals with the stability of monostable traveling wave solutions in a delayed dengue model with nonlocal effect in space. The local exponential stability of monostable waves of the model is established under small initial perturbations by the continuity method and the weighted energy method， where the initial perturbations when x approaches infinity are needed only to be uniformly bounded， but not to tend to 0.

关键词

非局部效应 / 行波解 / 稳定性 / 加权能量法 / 时滞

Key words

nonlocal effect / traveling wave solutions / stability / weighted-energy method / delay

0　 引 言

登革热是一类由于媒介生物载体的传播而引起的疾病，其模型的研究备受关注^[1-5]。1998年，为了模拟固定人口数量且可变媒介数量的登革热病毒的传播，Esteva等^[1]提出了模型：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}{S}_H^{\text{'}}(t)={\mu }_H{N}_H-\frac{{\beta }_{H}b}{N_H+m}{S}_H{I}_V-{\mu }_H{S}_H\end{array}\\ I_H^{\text{'}}(t)=\frac{{\beta }_{H}b}{N_H+m}{S}_H{I}_V-({\mu }_H+{\gamma }_H)I_H\\ R_H^{\text{'}}(t)={\gamma }_H{I}_H-{\mu }_H{R}_H\\ S_V^{\text{'}}(t)=A-\frac{{\beta }_{V}b}{N_H+m}{S}_V{I}_H-{\mu }_V{S}_V\\ I_V^{\text{'}}(t)=\frac{{\beta }_{V}b}{N_H+m}{S}_V{I}_H-{\mu }_V{I}_V\end{array}\right.(1)

该模型中，S_H、I_H、R_H分别表示易感者、感染者、恢复者人数；S_V、I_V易感蚊子和感染蚊子的数量；{\mu }_H表示人类自然死亡率，{\gamma }_H为患者的恢复率，{\mu }_V表示蚊虫死亡率；N_H表示人数，A表示蚊子常数，m表示可供蚊子作为血液来源的替代宿主数量，b表示蚊子的叮咬率，即每只蚊子每天平均叮咬的次数。自此，对登革热传染病模型的研究引起了广泛学者的关注。

由于病媒(或宿主)在空间中的移动是随机的，而包括病媒传播在内的许多传染病又都有潜伏期，因此，可以同时考虑病媒在空间的扩散和时滞因素。例如，时滞Laplace扩散登革热模型：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_t{u}_{\mathrm{1}}(x,t)=d_{\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{1}}(x,t)-k_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}(x,t)u_{\mathrm{5}}(x,t-{\tau }_{\mathrm{1}})\\ {\partial }_t{u}_{\mathrm{2}}(x,t)=d_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{2}}(x,t)+k_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}(x,t)u_{\mathrm{5}}(x,t-{\tau }_{\mathrm{1}})-({\mu }_h+{\alpha }_h)u_{\mathrm{2}}(x,t)\\ {\partial }_t{u}_{\mathrm{3}}(x,t)=d_{\mathrm{3}}\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{3}}(x,t)+{\alpha }_h{u}_{\mathrm{2}}(x,t)\\ {\partial }_t{u}_{\mathrm{4}}(x,t)=d_{\mathrm{4}}\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{4}}(x,t)-k_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{4}}(x,t)u_{\mathrm{2}}(x,t-{\tau }_{\mathrm{2}})\\ {\partial }_t{u}_{\mathrm{5}}(x,t)=d_{\mathrm{5}}\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{5}}(x,t)+k_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{4}}(x,t)u_{\mathrm{2}}(x,t-{\tau }_{\mathrm{2}})-{\mu }_v{u}_{\mathrm{5}}(x,t)\end{array}\right.(2)

其中，u_{\mathrm{1}}\left(x,t\right)\mathrm{、}{u}_{\mathrm{2}}(x,t)和u_{\mathrm{3}}\left(x,t\right)分别表示t时刻x处易感人群、感染人群和恢复人群的密度；u_{\mathrm{4}}\left(x,t\right)和u_{\mathrm{5}}\left(x,t\right)表示t时刻x处易感蚊子和感染蚊子的密度；{\tau }_{\mathrm{1}}({\tau }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0})和{\tau }_{\mathrm{2}}({\tau }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0})分别表示登革热病毒在蚊子体内和人体内的潜伏期；d_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})为扩散系数，d_i>\mathrm{0}\mathrm{且}{d}_{\mathrm{1}}=d_{\mathrm{3}}；{\mu }_h({\mu }_h>\mathrm{0})和{\alpha }_h({\alpha }_h>\mathrm{0})表示染病者的因病死亡率和恢复率，{\mu }_v({\mu }_v>\mathrm{0})是染病蚊子的因病死亡率；k_{\mathrm{1}}(k_{\mathrm{1}}>\mathrm{0})表示病毒由染病蚊子到易感者的传播率，k_{\mathrm{2}}(k_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}）是病毒从感染者到易感蚊子的传播率。

扩散可分为局部扩散和非局部扩散。当个体的扩散且仅与当前位置有关，这种扩散称作局部扩散，如Laplace扩散就是局部扩散；当个体的扩散不仅与当前位置有关，还与相邻位置甚至整个空间有关，这种扩散就称作非局部扩散，常用卷积项

(\mathrm{𝒥}{*}u)(x,t)-u(x,t)={\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒥}(x-y)u(y,t)\mathrm{d}y-u(x,t)

表示。其中，\mathrm{𝒥}是关于空间的概率密度函数(核函数)，\mathrm{𝒥}(x-y)表示个体从位置y到x的概率密度函数，{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒥}(x-y)u(y,t)\mathrm{d}y表示个体从其他空间位置到达位置x的速度。一般地，当核函数\mathrm{𝒥}具有对称性（\mathrm{𝒥}是偶函数，即：\mathrm{𝒥}(x)=\mathrm{𝒥}(-x)）时，不难验证，非局部扩散项与经典的Laplace扩散项仅相差一个关于{\epsilon }^{\mathrm{2}}的高阶无穷小量(其中\epsilon >\mathrm{0}充分小），即非局部扩散项与Laplace扩散项自然逼近。例如，Laplace扩散登革热模型(2)可推广到非局部扩散模型。此外，个体(病媒或宿主)在过去时间乃至整个历史时期的状态都可能会对当前的状态产生影响，这就产生了非局部效应^[6-7]，它可以同时体现在扩散项上(即非局部扩散)和反应项上(即时间-空间的非局部，又称时空时滞)，包括空间的非局部和时间的非局部。例如，（3）式为具有时间-空间非局部效应的时滞种群模型：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U_{\mathrm{1}}(x,t)}{\partial t}=d(\mathrm{𝒥}{*}{U}_{\mathrm{1}}-U_{\mathrm{1}})(x,t)+F(U_{\mathrm{1}}(x,t),\mathrm{𝒦}{*}{*}S(U_{\mathrm{1}}(x,t)))-{\beta }_{\mathrm{1}}{U}_{\mathrm{1}}(x,t)+{\beta }_{\mathrm{2}}{U}_{\mathrm{2}}(x,t)\\ \frac{\partial U_{\mathrm{2}}(x,t)}{\partial t}={\beta }_{\mathrm{1}}{U}_{\mathrm{1}}(x,t)-{\beta }_{\mathrm{2}}{U}_{\mathrm{2}}(x,t)\end{array}\right.(3)

其中，\mathrm{𝒦}{*}{*}S(U_{\mathrm{1}}(x,t))={\int }_{-\infty }^t{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒦}(x-y,t-s)S(U_{\mathrm{1}}(y,s))\mathrm{d}y\mathrm{d}s,t>\mathrm{0},x\in R。当\mathrm{𝒦}(x,t)=\delta (t-\tau )\mathrm{𝒢}(x)时，具有时间-空间非局部效应的时滞种群模型(3)退化为具有空间非局部效应的时滞种群模型：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial U_{\mathrm{1}}(x,t)}{\partial t}=d(\mathrm{𝒥}{*}{U}_{\mathrm{1}}-U_{\mathrm{1}})(x,t)+F(U_{\mathrm{1}}(x,t),\mathrm{𝒢}{*}S(U_{\mathrm{1}}(x,t-\tau )))-{\beta }_{\mathrm{1}}{U}_{\mathrm{1}}(x,t)+{\beta }_{\mathrm{2}}{U}_{\mathrm{2}}(x,t)\\ \frac{\partial U_{\mathrm{2}}(x,t)}{\partial t}={\beta }_{\mathrm{1}}{U}_{\mathrm{1}}(x,t)-{\beta }_{\mathrm{2}}{U}_{\mathrm{2}}(x,t)\end{array}\right.(4)

其中，\mathrm{𝒢}{*}S(U_{\mathrm{1}}(x,t-\tau ))={\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(x-y)S(U_{\mathrm{1}}(y,t-\tau ))\mathrm{d}y,x\in \mathbb{R},t>\mathrm{0}；U_{\mathrm{1}}，U_{\mathrm{2}}分别表示移动和静止子种群的密度，d(d>\mathrm{0})为扩散系数，{\beta }_{\mathrm{1}}({\beta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}),{\beta }_{\mathrm{2}}({\beta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0})为移动和静止两种状态之间的转化率。

又如，（5）式为具有空间非局部效应的时滞登革热模型：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u_{\mathrm{1}}(x,t)}{\partial t}=d_{\mathrm{1}}(\mathrm{𝒥}{*}{u}_{\mathrm{1}}(x,t)-u_{\mathrm{1}}(x,t))-l_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{u}_{\mathrm{5}}(x,t-\tau )\\ \frac{\partial u_{\mathrm{2}}(x,t)}{\partial t}=d_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒥}{*}{u}_{\mathrm{2}}(x,t)-u_{\mathrm{2}}(x,t))+l_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{u}_{\mathrm{5}}(x,t-\tau )-({\mu }_h+{\alpha }_h)u_{\mathrm{2}}(x,t)\\ \frac{\partial u_{\mathrm{3}}(x,t)}{\partial t}=d_{\mathrm{3}}(\mathrm{𝒥}{*}{u}_{\mathrm{3}}(x,t)-u_{\mathrm{3}}(x,t))+{\alpha }_h{u}_{\mathrm{2}}(x,t)\\ \frac{\partial u_{\mathrm{4}}(x,t)}{\partial t}=d_{\mathrm{4}}(\mathrm{𝒥}{*}{u}_{\mathrm{4}}(x,t)-u_{\mathrm{4}}(x,t))-l_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{4}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{u}_{\mathrm{2}}(x,t-\tau )\\ \frac{\partial u_{\mathrm{5}}(x,t)}{\partial t}=d_{\mathrm{5}}(\mathrm{𝒥}{*}{u}_{\mathrm{5}}(x,t)-u_{\mathrm{5}}(x,t))+l_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{4}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{u}_{\mathrm{2}}(x,t-\tau )-{\mu }_v{u}_{\mathrm{5}}(x,t)\end{array}\right.(5)

其中，\mathrm{𝒢}{*}{u}_i(x,t-\tau )={\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(x-y)u_i(y,t-\tau )\mathrm{d}y(i=\mathrm{2,5})。

行波解的稳定性一直是行波理论中的重点研究课题，常用的研究方法有谱分析方法、挤压技术、(反)加权能量法和单调半流理论等。其中，文献[8-12]发展的(反)加权能量法是处理单稳行波解(是指行波解连接的两个平衡点中有一个稳定、一个不稳定)稳定性的有效工具。2014年，Lin等^[9]借助连续性方法结合加权能量法研究了一类时滞Nicholson's标量方程非临界波速下单稳行波解的局部指数稳定性。此后Liu等^[13]将Lin等^[9]的工作推广到一类具有空间非局部效应的时滞标量方程。近来，李孝武等^[14]建立了时滞非局部扩散 SVIR 模型单稳行波解的指数稳定性。但是，上述结果主要针对的是小初始扰动、非临界波速下单稳行波解的局部稳定性。2019年，Mei等^[12]首次利用反加权能量法结合Fourier变换同时建立了一类时滞Laplace扩散标量方程非临界波速下和临界波速下单稳行波解的全局指数稳定性及全局代数稳定性。基于Mei等^[12]的工作，Zhang^[15]研究了一类非局部扩散时滞标量方程单稳行波解的稳定性。此后，Liu等^[16]将上述研究结果推广到具有空间非局部效应的时滞非局部扩散系统(4)，此类工作还可参见文献[17-19]。而关于登革热模型单稳行波解存在性的研究工作仅见王凯等^[5]建立了模型(2)单稳行波解的存在性，关于其行波解稳定性的研究目前还未见报道。

受上述工作^{[9，14，16]}的启发，本文主要研究具有空间非局部效应的时滞扩散登革热模型(5)单稳行波解的稳定性。注意到，由于非线性项的特殊性（关于任一变元的二阶偏导为0而无法保证一阶偏导的有界性），导致Fourier变换结合连续性方法建立扰动解的全局存在唯一性时失效。因此，本文首先在保证系统(5)单稳行波解存在的基础上，借助迭代法建立相应扰动系统解的局部存在唯一性(小初始扰动条件下)；其次，利用加权能量法建立扰动解的先验估计；最后，利用连续延拓性方法将局部解延拓至全空间，得到系统(5)单稳行波解的局部指数稳定性。本文不仅将Laplace扩散登革热模型(2)单稳行波解的研究推广到了非局部扩散系统，还补充完善了对登革热模型单稳行波解的稳定性研究。

1　预备知识和主要结论

首先，给出本文所需的假设条件和工作空间:

({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})\mathrm{𝒥}(\cdot )\in C^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})具有紧支集，且对任意的y\in \mathbb{R},\mathrm{𝒥}(y)=\mathrm{𝒥}(-y)\ge \mathrm{0},{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒥}(y)dy=\mathrm{1}。

({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})\mathrm{𝒢}(y,s)\in C^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}\times [\mathrm{0},T])关于y是Lipschitz连续的且满足\mathrm{𝒢}(y,s)=\mathrm{𝒢}(-y,s)\ge \mathrm{0}和{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y,s)\mathrm{d}y=\mathrm{1}。此外，存在常数{\lambda }_c\in (\mathrm{0},+\mathrm{\infty })使得当波速c>\mathrm{0}时，，其中\lambda \in [\mathrm{0},{\lambda }_c)。

记I为\mathbb{R}上的一个区间，L^{\mathrm{2}}(I)是定义在I上的平方可积函数构成的空间，L_{\omega }^{\mathrm{2}}(I)表示加权L^{\mathrm{2}}(I)空间。H^k(I)为定义在I上且j(j=\mathrm{0,1},\cdots ,k)阶导数是由L^{\mathrm{2}}(I)空间内的Lebesgue平方可积函数构成的Sobolev空间，H_{\omega }^k(I)为加权索伯列夫空间，加权函数\omega (x)>\mathrm{0}。L_{\omega }^{\mathrm{2}}(I)的范数为{‖f‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}(I)}={[{\int }_I\omega (x){\left|f(x)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，H_{\omega }^k(I)的范数为{‖f‖}_{H_{\omega }^k(I)}={[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^k}{\int }_I\omega (x){\left|\frac{{\mathrm{d}}^i}{\mathrm{d}{x}^i}f(x)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}。

令常数T>\mathrm{0}，\mathrm{ℬ}是Banach空间。C([\mathrm{0},T];\mathrm{ℬ})为定义在[\mathrm{0},T]上的\mathrm{ℬ}-值连续函数组成的空间， L^{\mathrm{2}}([\mathrm{0},T];\mathrm{ℬ})表示由[\mathrm{0},T]上的\mathrm{ℬ}-值L^{\mathrm{2}}-函数构成的空间；相应地，[\mathrm{0},+\mathrm{\infty })上的\mathrm{ℬ}-值函数构成的空间定义类似。C>\mathrm{0}为万有常数，C_i>\mathrm{0}(i=\mathrm{0,1},\cdots )为特定的常数。

假设系统(5)满足初始条件:

\left\{\begin{array}{l}{u}_i(x,\mathrm{0})=u_{i\mathrm{0}}(x),x\in \mathbb{R},i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ u_i(x,\mathrm{0})=u_{i\mathrm{0}}(x,s),s\in [-\tau ,\mathrm{0}],x\in \mathbb{R},i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(6)

此外，不难验证系统(5)有两个平衡点:

{\mathit{E}}_{-}=(u_{\mathrm{1}}(-\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{2}}(-\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{3}}(-\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{4}}(-\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{5}}(-\mathrm{\infty }))=(S_h^{\mathrm{0}},\mathrm{0},R_h^{\mathrm{0}},S_v^{\mathrm{0}},\mathrm{0})

{\mathit{E}}_{+}=(u_{\mathrm{1}}(+\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{2}}(+\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{3}}(+\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{4}}(+\mathrm{\infty }),u_{\mathrm{5}}(+\mathrm{\infty }))=(S_h^{\mathrm{*}},I_h^{\mathrm{*}},R_h^{\mathrm{*}},S_v^{\mathrm{*}},I_v^{\mathrm{*}})

这里S_h^{\mathrm{0}},R_h^{\mathrm{0}},S_v^{\mathrm{0}},S_h^{\mathrm{*}},I_h^{\mathrm{*}},R_h^{\mathrm{*}},S_v^{\mathrm{*}},I_v^{\mathrm{*}}均为正常数。令(u_{\mathrm{1}}(x,t),u_{\mathrm{2}}(x,t),u_{\mathrm{3}}(x,t),u_{\mathrm{4}}(x,t),u_{\mathrm{5}}(x,t))是系统(5)满足初始条件(6)的解，系统(5)的形如u_i(x,t)={\varphi }_i(\xi )={\varphi }_i(x+ct)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})的解称为行波解，且满足如下条件：

\left\{\begin{array}{l}c{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\xi )=d_{\mathrm{1}}(\mathrm{𝒥}{*}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )-{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ))-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )\\ c{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(\xi )=d_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒥}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi )-{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi ))+l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )-({\mu }_h+{\alpha }_h){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi )\\ c{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(\xi )=d_{\mathrm{3}}(\mathrm{𝒥}{*}{\varphi }_{\mathrm{3}}(\xi )-{\varphi }_{\mathrm{3}}(\xi ))+{\alpha }_h{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi )\\ c{\varphi }_{\mathrm{4}}^{\text{'}}(\xi )=d_{\mathrm{4}}(\mathrm{𝒥}{*}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )-{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi ))-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )\\ c{\varphi }_{\mathrm{5}}^{\text{'}}(\xi )=d_{\mathrm{5}}(\mathrm{𝒥}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi )-{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi ))+l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )-{\mu }_v{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi )\\ {\varphi }_i(\pm \mathrm{\infty })=u_i(\pm \mathrm{\infty }),i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}\end{array}\right.(7)

其中\xi =x+ct,c>\mathrm{0}为波速。类似于文献[20]，可以得到下面三个引理。

引理1 若({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立，则{\rho }_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)和{\rho }_{\mathrm{2}}(\lambda ,c)分别存在正根{\lambda }^{\text{'}}和{\lambda }^{″}，使得：，\forall \lambda \in (\mathrm{0},{\lambda }^{\text{'}})； ，\forall \lambda \in (\mathrm{0},{\lambda }^{″})，其中{\rho }_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)=d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathit{ℛ}}J(y)({\mathrm{e}}^{-\lambda y}-\mathrm{1})\mathrm{d}y-{\mu }_h-{\alpha }_h-c\lambda，{\rho }_{\mathrm{2}}(\lambda ,c)=d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathit{ℛ}}J(y)({\mathrm{e}}^{-\lambda y}-\mathrm{1})\mathrm{d}y-{\mu }_v-c\lambda。

引理2 假设({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立且{\mathfrak{R}}_{\mathrm{0}}={(\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{S}_h^{\mathrm{0}}{S}_v^{\mathrm{0}}}{({\mu }_h+{\alpha }_h){\mu }_v})}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}>\mathrm{1}，则存在{\lambda }^{\mathrm{*}},c^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}，使得f_{\mathrm{1}}({\lambda }^{\mathrm{*}},c^{\mathrm{*}})=\mathrm{1},\frac{\partial f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)}{\partial \lambda }\left|{}_{({\lambda }^{\mathrm{*}},c^{\mathrm{*}})}\right.=\mathrm{0}，并满足如下结论：

(\mathrm{i}) 当c>c^{\mathrm{*}}时，方程f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)=\mathrm{1}有两个不同的正实根{\lambda }_{\mathrm{1}}和{\lambda }_{\mathrm{2}}且，满足，\forall \lambda \in ({\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}})；f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)>\mathrm{1}，\forall \lambda \in (\mathrm{0},{\lambda }_{\mathrm{1}})\bigcap ({\lambda }_{\mathrm{2}},{\Lambda }_{\mathrm{1}})；

(\mathrm{i}\mathrm{i}) 当c=c^{\mathrm{*}}时，成立，且对\forall \lambda \in (\mathrm{0},{\Lambda }_{\mathrm{1}})，有f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)\ge \mathrm{1}；

(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}) 当时，对\forall \lambda \in (\mathrm{0},{\Lambda }_{\mathrm{1}})，有f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)>\mathrm{1}；其中，f_{\mathrm{1}}(\lambda ,c)=\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{S}_h^{\mathrm{0}}{S}_v^{\mathrm{0}}({\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y,s){\mathrm{e}}^{-\lambda (y+cs)}{\mathrm{d}y\mathrm{d}s)}^{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{1}}(\lambda ,c){\rho }_{\mathrm{2}}(\lambda ,c)}，{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{{\lambda }^{\text{'}},{\lambda }^{″}\}。

利用Schauder不动点定理结合上下解方法，类似于文献[20-21]，可以建立系统(5)单稳行波解的存在性。

引理3 (行波解的存在性) 假设({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立，则对任意的c>c^{\mathrm{*}}，系统(5)存在行波解，其中，c^{\mathrm{*}}的定义见引理2。

定义加权函数：

\omega (\xi )={\mathrm{e}}^{-\lambda (\xi -{\xi }_{\mathrm{0}})}(8)

其中\xi \in \mathbb{R}，{\xi }_{\mathrm{0}}\gg \mathrm{1}为充分大的常数且\lambda \in ({\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}})。

定理1 (行波解的稳定性) 假设\tau \in (\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{0}})，其中，{\tau }_{\mathrm{0}}为正常数，且({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立。对任意给定的行波解\mathit{\Phi }(x+ct)=({\varphi }_{\mathrm{1}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{2}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{3}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{4}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{5}}(x+ct))，波速c满足：

c>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}},c_{\mathrm{4}},c_{\mathrm{5}},c^{\mathrm{*}}\}(9)

其中，

c_{\mathrm{1}}=\frac{d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y+l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}-d_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}

c_{\mathrm{2}}=\frac{d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y+l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}+N_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y-d_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\mu }_h-{\alpha }_h}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}

c_{\mathrm{3}}=\frac{d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y+{\alpha }_h-d_{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}，c_{\mathrm{4}}=\frac{d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y+l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}-d_{\mathrm{4}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}

c_{\mathrm{5}}=\frac{d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y+l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}+N_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{d}y-d_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{\mu }_v}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}

且N_{\mathrm{1}}≔\underset{{\varphi }_{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0},I_h^{\mathrm{*}}]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}\right|,N_{\mathrm{2}}:=\underset{{\varphi }_{\mathrm{5}}\in [\mathrm{0},I_v^{\mathrm{*}}]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{5}}\right|。若初始扰动满足：

\left\{\begin{array}{l}{u}_{i\mathrm{0}}(x)-{\varphi }_i(x)\in C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}),i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ u_{i\mathrm{0}}(s,x)-{\varphi }_i(x+cs)\in C([-\tau ,\mathrm{0}];C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}))\bigcap L^{\mathrm{2}}([-\tau ,\mathrm{0}];H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})),i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(10)

和\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}(u_{i\mathrm{0}}(x)-{\varphi }_i(x))=W_{i\mathrm{0},\mathrm{\infty }}(i=\mathrm{1,3},\mathrm{4})，\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}(u_{i\mathrm{0}}(x,s)-{\varphi }_i(x+cs))=W_{i\mathrm{0},\mathrm{\infty }}(s)(i=\mathrm{2,5})\in C[-\tau ,\mathrm{0}]关于s\in [-\tau ,\mathrm{0}]一致存在，则存在正常数{\delta }_{\mathrm{0}}，\mu和\epsilon，使得当初始扰动充分小，即当

\sum _{i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}}{‖(u_{i\mathrm{0}}-{\varphi }_i)(\mathrm{0})‖}_C^{\mathrm{2}}+\underset{s\in [-\tau ,\mathrm{0}]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖(u_{\mathrm{20}}-{\varphi }_{\mathrm{2}})(s)‖}_C^{\mathrm{2}}+\underset{s\in [-\tau ,\mathrm{0}]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖(u_{\mathrm{50}}-{\varphi }_{\mathrm{5}})(s)‖}_C^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖(u_{i\mathrm{0}}-{\varphi }_i)(\mathrm{0})‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}^{\mathrm{2}}+

{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖(u_{\mathrm{20}}-{\varphi }_{\mathrm{2}})(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖(u_{\mathrm{50}}-{\varphi }_{\mathrm{5}})(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le {\delta }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}(11)

时，则系统(5)满足条件(6)的解(u_{\mathrm{1}}(x,t),u_{\mathrm{2}}(x,t),u_{\mathrm{3}}(x,t),u_{\mathrm{4}}(x,t),u_{\mathrm{5}}(x,t))关于时间全局存在且唯一，并满足u_i(t,x)-{\varphi }_i(x+ct)\in C([-{\tau }_i,+\mathrm{\infty });C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}))\bigcap L^{\mathrm{2}}([-{\tau }_i,+\mathrm{\infty });H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}))\bigcap {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}}[-{\tau }_i,+\mathrm{\infty })和

\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u_i(x,t)-{\varphi }_i(x+ct)\right|\le C{\mathrm{e}}^{-\mu t},t>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}(12)

其中，{\tau }_{\mathrm{1}}={\tau }_{\mathrm{3}}={\tau }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}，{\tau }_{\mathrm{2}}={\tau }_{\mathrm{5}}=\tau。空间{\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}}[-{\tau }_i,T]定义如下：{\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}}[-{\tau }_i,T]≕\{u(x,t)\in C(\mathbb{R}\times [-{\tau }_i,T])使得\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{e}}^{\epsilon t}u(x,t)关于t\in [-{\tau }_i,T]一致存在\}，其中。

令(u_{\mathrm{1}}(x,t),u_{\mathrm{2}}(x,t),u_{\mathrm{3}}(x,t),u_{\mathrm{4}}(x,t),u_{\mathrm{5}}(x,t))是系统(5)满足初始条件(6)的解，并且({\varphi }_{\mathrm{1}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{2}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{3}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{4}}(x+ct),{\varphi }_{\mathrm{5}}(x+ct))是系统(5)给定的一个行波解。令\xi =x+ct，且

\left\{\begin{array}{l}{W}_i(\xi ,t)=u_i(x,t)-{\varphi }_i(\xi ),i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}\\ W_{i\mathrm{0}}(x,\mathrm{0})=u_{i\mathrm{0}}(x)-{\varphi }_i(x),x\in \mathbb{R},i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ W_{i\mathrm{0}}(\xi ,s)=u_{i\mathrm{0}}(x,s)-{\varphi }_i(x+cs),(x,s)\in \mathbb{R}\times [-\tau ,\mathrm{0}],i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.

则(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),W_{\mathrm{2}}(\xi ,t),W_{\mathrm{3}}(\xi ,t),W_{\mathrm{4}}(\xi ,t),W_{\mathrm{5}}(\xi ,t))满足：

\left\{\begin{array}{l}{W}_{\mathrm{1}t}(\xi ,t)+c{W}_{\mathrm{1}\xi }(\xi ,t)-d_{\mathrm{1}}(\mathrm{𝒥}{*}{W}_{\mathrm{1}}(\xi ,t)-W_{\mathrm{1}}(\xi ,t))+l_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}(\xi ,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )+\\ l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau )=-Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau ))\\ W_{\mathrm{2}t}(\xi ,t)+c{W}_{\mathrm{2}\xi }(\xi ,t)-d_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒥}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi ,t)-W_{\mathrm{2}}(\xi ,t))-l_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}(\xi ,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )-\\ l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau )+({\mu }_h+{\alpha }_h)W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)=Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau ))\\ W_{\mathrm{3}t}(\xi ,t)+c{W}_{\mathrm{3}\xi }(\xi ,t)-d_{\mathrm{3}}(\mathrm{𝒥}{*}{W}_{\mathrm{3}}(\xi ,t)-W_{\mathrm{3}}(\xi ,t))-{\alpha }_h{W}_{\mathrm{2}}(\xi ,t)=\mathrm{0}\\ W_{\mathrm{4}t}(\xi ,t)+c{W}_{\mathrm{4}\xi }(\xi ,t)-d_{\mathrm{4}}(\mathrm{𝒥}{*}{W}_{\mathrm{4}}(\xi ,t)-W_{\mathrm{4}}(\xi ,t))+l_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}(\xi ,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )+\\ l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau )=-Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,t))\\ W_{\mathrm{5}t}(\xi ,t)+c{W}_{\mathrm{5}\xi }(\xi ,t)-d_{\mathrm{5}}(\mathrm{𝒥}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi ,t)-W_{\mathrm{5}}(\xi ,t))-l_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}(\xi ,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )-\\ l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau )+{\mu }_v{W}_{\mathrm{5}}(\xi ,t)=Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,t))\\ W_i(\xi ,\mathrm{0})=W_{i\mathrm{0}}(\xi ),\xi \in \mathbb{R},i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ W_i(\xi ,s)=W_{i\mathrm{0}}(\xi ,s),(\xi ,s)\in \mathbb{R}\times [-\tau ,\mathrm{0}],i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(13)

其中，

Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau ))=

l_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)+{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ))[{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )dy+{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y]-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}(\xi ,t){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y，Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,t))=

l_{\mathrm{2}}(W_{\mathrm{4}}(\xi ,t)+{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi ))[{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )dy+{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y]-

l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi ){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}(\xi ,t){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-

l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi ){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y

定义空间\mathrm{𝒳}(-\tau ,T)=\{(W_{\mathrm{1}},W_{\mathrm{2}},W_{\mathrm{3}},W_{\mathrm{4}},W_{\mathrm{5}})|W_i(t,\xi )\in C([-{\tau }_i,T]；C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(R))\bigcap L^{\mathrm{2}}([-{\tau }_i,T]；H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}))\bigcap {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}}[-{\tau }_i,T],i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5},{\tau }_{\mathrm{1}}={\tau }_{\mathrm{3}}={\tau }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{2}}={\tau }_{\mathrm{5}}=\tau \}。

方便起见，给出以下记号：M_W^{\mathrm{2}}(T)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}(\underset{t\in [-\tau ,T]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}({‖W_i(t)‖}_C^{\mathrm{2}}+{‖W_i(t)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})+{\int }_{\mathrm{0}}^T{‖W_i(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s)，M_W^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}\underset{t\in [-\tau ,\mathrm{0}]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}({‖W_{i\mathrm{0}}(t)‖}_C^{\mathrm{2}}+{‖W_{i\mathrm{0}}(t)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{20}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{50}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s，其中T>\mathrm{0}。从而定理1等价于下面的结论(定理2)。

定理2 (行波解的稳定性) 假设\tau \in (\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{0}})，其中{\tau }_{\mathrm{0}}为正常数，且({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立。若c满足(9)式，初始扰动满足：

\left\{\begin{array}{l}{W}_{i\mathrm{0}}(\xi )\in C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}),i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ W_{i\mathrm{0}}(\xi )\in C([-\tau ,\mathrm{0}];C(\mathbb{R})\bigcap H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R}))\bigcap L^{\mathrm{2}}([-\tau ,\mathrm{0}];H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})),i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.

和\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{W}_{i\mathrm{0}}(\xi )≔W_{i\mathrm{0},\mathrm{\infty }}(i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}),\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{W}_{i\mathrm{0}}(\xi ,s)≔W_{i\mathrm{0},\mathrm{\infty }}(s)\in C[-\tau ,\mathrm{0}](i=\mathrm{2,5})关于s\in [-\tau ,\mathrm{0}]一致存在，则存在正常数{\delta }_{\mathrm{0}}和\nu，使得当M_W(\mathrm{0})\le {\delta }_{\mathrm{0}}时，解\mathit{W}在\mathrm{𝒳}\in (-\tau ,\mathrm{\infty })上全局存在，并满足

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}({‖W_i(t)‖}_C^{\mathrm{2}}+{‖W_i(t)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})\le C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu t}{M}_W^{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),t\in [\mathrm{0},\mathrm{\infty })(14)

2　主要结论的证明

引理4 (扰动解的局部存在唯一性) 假设({\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})~({\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立，对于满足c>c^{\mathrm{*}}的行波解{\varphi }_i(x+ct)={\varphi }_i(\xi )(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})，若初始扰动满足：

(W_{\mathrm{10}}(\xi ),W_{\mathrm{20}}(\xi ,s),W_{\mathrm{30}}(\xi ),W_{\mathrm{40}}(\xi ),W_{\mathrm{50}}(\xi ,s))\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,\mathrm{0})

且M_W(\mathrm{0})\le {\delta }_{\mathrm{1}}，则存在充分小的正数t_{\mathrm{0}}=t_{\mathrm{0}}({\delta }_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}，使得初值问题(13)的解W_i(\xi ,t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})\in\mathrm{𝒳}(-\tau ,t_{\mathrm{0}})关于t\in [-{\tau }_i,t_{\mathrm{0}}]局部存在且唯一，以及存在常数{\eta }_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}，使M_W(t_{\mathrm{0}})\le {\eta }_{\mathrm{0}}{M}_W(\mathrm{0})，其中，{\tau }_{\mathrm{1}}={\tau }_{\mathrm{3}}={\tau }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{2}}={\tau }_{\mathrm{5}}=\tau。

利用标准迭代法^[18-19]证明引理4是平凡的，故此省略。为了证明系统(5)单稳行波解的稳定性，还需要建立扰动系统(13)的解(即扰动解)的先验估计。为此，令

{\mathrm{𝒜}}_{i,\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{i,\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu ,i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{2},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{2},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y)

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{5},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{5},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y)

其中，{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{1},\omega }(\xi )=-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{2},\omega }(\xi )=-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mu }_h+{\alpha }_h-l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )-

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{3},\omega }(\xi )=-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{3}}-{\alpha }_h

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{4},\omega }(\xi )=-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)dy+d_{\mathrm{4}}+l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{5},\omega }(\xi )=-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{5}}+\mathrm{2}{\mu }_v-l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )-

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y

引理5 (关键不等式) 假设(9)式成立，则当\xi \in \mathbb{R}和时，有{\mathrm{𝒜}}_{i,\nu ,\omega }(\xi )>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5},其中，\omega (\xi )是(8)式中定义的加权函数。{\nu }_{\mathrm{1}}^{\text{'}},{\nu }_{\mathrm{3}}^{\text{'}},{\nu }_{\mathrm{4}}^{\text{'}}>\mathrm{0}分别是C_i-\mathrm{2}\nu =\mathrm{0},i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}的唯一解；{\nu }_{\mathrm{2}}^{\text{'}},{\nu }_{\mathrm{5}}^{\text{'}}分别是C_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒢}(y)\mathrm{d}y)=\mathrm{0}，C_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒢}(y)\mathrm{d}y)=\mathrm{0}的唯一解。

证明 由(8)式可知\frac{\omega (\xi +c\tau )}{\omega (\xi )}={\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }\le \mathrm{1}，\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}=-\lambda。利用(9)式，有：

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{1},\omega }(\xi )=c\lambda -d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )>

c\lambda -d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}>c{\lambda }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}≔C_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}(c>c_{\mathrm{1}})

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{2},\omega }(\xi )=c\lambda -d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mu }_h+{\alpha }_h-l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )-

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y>

c\lambda -d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mu }_h+{\alpha }_h-N_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y>

c{\lambda }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mu }_h+{\alpha }_h-N_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y≔C_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}(c>c_{\mathrm{2}})

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{3},\omega }(\xi )=c\lambda -d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{3}}-{\alpha }_h>c\lambda -d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{3}}-{\alpha }_h>

c{\lambda }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{3}}-{\alpha }_h≔C_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}(c>c_{\mathrm{3}})

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{4},\omega }(\xi )=c\lambda -d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{4}}+l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )>

c\lambda -d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{4}}-l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}>c{\lambda }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{4}}-l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}≔C_{\mathrm{4}}>\mathrm{0}(c>c_{\mathrm{4}})

{\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{5},\omega }(\xi )=c\lambda -d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{5}}+\mathrm{2}{\mu }_v-l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )-

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y>

c\lambda -d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{5}}+\mathrm{2}{\mu }_v-N_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y>

c{\lambda }_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y+d_{\mathrm{5}}+\mathrm{2}{\mu }_v-N_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{1}}y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y≔C_{\mathrm{5}}>\mathrm{0}(c>c_{\mathrm{5}})

进而，

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{1},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{1},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu >C_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}\nu >\mathrm{0}，

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{2},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{2},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y)>

C_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{2}}{S}_v^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y)>\mathrm{0}，

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{3},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{3},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu >C_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}\nu >\mathrm{0}，{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{4},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{4},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu >C_{\mathrm{4}}-\mathrm{2}\nu >\mathrm{0}

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{5},\nu ,\omega }(\xi )={\mathrm{ℬ}}_{\mathrm{5},\omega }(\xi )-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ))\mathrm{d}y>

C_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}\nu -\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }-\mathrm{1})(l_{\mathrm{1}}{S}_h^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{-\lambda y}\mathit{𝒢}(y)\mathrm{d}y)>\mathrm{0}。

证毕。

引理6 (先验估计) 设(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),W_{\mathrm{2}}(\xi ,t),W_{\mathrm{3}}(\xi ,t),W_{\mathrm{4}}(\xi ,t),W_{\mathrm{5}}(\xi ,t))\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,T)是系统(13)的局部解，则存在不依赖于T>\mathrm{0}的常数{\delta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},\nu >\mathrm{0}和C>\mathrm{1}， 得当M_W(T)\le {\delta }_{\mathrm{2}}时，

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}[{‖W_i(t)‖}_C^{\mathrm{2}}+{‖W_i(t)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu (t-s)}{‖W_i(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s]\le C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu t}{M}_W^{\mathrm{2}}(\mathrm{0}),t\in [\mathrm{0},T](15)

为了证明引理6，还需如下结论成立(引理7~9)。

引理7 令W_i(\xi ,t)\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,T)，若并且M_W(T)\ll \mathrm{1}，则存在正常数{\delta }_{\mathrm{2}}和\nu，有：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}[{‖W_i(t)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu (t-s)}{‖W_i(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}ds]\le C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu t}[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖W_{i\mathrm{0}}(\mathrm{0})‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{20}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖W_{\mathrm{50}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s](16)

其中t\in [\mathrm{0},T]。

证明 首先，在L_{\omega }^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})中估计W_i(\xi ,t)。为此，(13)式的第一个方程两边同乘{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)，可得：

\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_t+\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}c\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_{\xi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}-d_{\mathrm{1}}({\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{1}}(\xi -y,t)\mathrm{d}y-

W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)+[l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )\cdot

W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,t)+l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)=

-Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau )){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)(17)

此外，由\sqrt[]{\omega }{W}_i\in H^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})可知，\sqrt[]{\omega }{W}_i\left|{}_{{}_{\xi =-\infty }}^{{}^{\xi =+\infty }}\right.=\mathrm{0}，故有(c\omega W_i^{\mathrm{2}})\left|{}_{{}_{\xi =-\infty }}^{{}^{\xi =+\infty }}\right.=\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}。在\mathbb{R}\times [\mathrm{0},t]上对(17)式等号两边关于(\xi ,t)积分，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{1}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{1}}(\xi -y,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )dy-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}-Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau )){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{‖W_{\mathrm{10}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(18)

接下来，对(18)式左边第2项和第4项分别运用Cauchy-Schwarz不等式和变量替换，可得：

\mathrm{2}{d}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{1}}(\xi -y,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s){\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(19)

|\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s|\le

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )\mathrm{𝒢}(y){W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau )\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(20)

结合(18)~(20)式，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{1}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\mathrm{2}\nu -

d_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{‖W_{\mathrm{10}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau ))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )|W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(21)

对(13)式的第2个方程两边同乘{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)，可得：

\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_t+\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}c\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_{\xi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}-d_{\mathrm{2}}({\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{2}}(\xi -y,t)\mathrm{d}y-

W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)+[{\mu }_h+{\alpha }_h-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,t)-l_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}(\xi ,t)W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)\cdot

{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )dy{e}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)=

Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau )){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)(22)

在\mathbb{R}\times [\mathrm{0},t]上对(22)式等号两边关于(\xi ,t)积分，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{2}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{2}}(\xi -y,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{2}}+{\mu }_h+{\alpha }_h-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\cdot

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s-

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{Q}_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau )){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{‖W_{\mathrm{20}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(23)

运用Cauchy-Schwarz不等式，可得：

|\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)W_{\mathrm{2}}(\xi ,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s|\le

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(24)

|\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s|\le

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+cs){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(25)

结合(23)~(25)式，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{2}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mu }_h+\mathrm{2}{\alpha }_h-l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )-

c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\mathrm{2}\nu -d_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{‖W_{\mathrm{20}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau ))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )|W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(26)

对(13)式的第3个方程两边同乘{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}(\xi ,t)，可得：

\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_t+\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}c\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{(\xi ,t)\}}_{\xi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}-d_{\mathrm{3}}({\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{3}}(\xi -y,t)\mathrm{d}y-

W_{\mathrm{3}}(\xi ,t)){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}(\xi ,t)-{\alpha }_h{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,t)W_{\mathrm{3}}(\xi ,t)-[\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}+\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,t)=\mathrm{0}(27)

在\mathbb{R}\times [\mathrm{0},t]上对(27)式中的等式两边关于(\xi ,t)积分，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{3}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{3}}(\xi -y,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s-

\mathrm{2}{\alpha }_h{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathit{ℝ}}{e}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)W_{\mathrm{3}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{3}}-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le {‖W_{\mathrm{30}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(28)

利用Cauchy-Schwarz不等式，可得：

|\mathrm{2}{\alpha }_h{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)W_{\mathrm{3}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s|\le

{\alpha }_h{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\alpha }_h{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(29)

结合(28)~(29)式，可知：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{3}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{3}}-{\alpha }_h-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\mathrm{2}\nu -d_{\mathrm{3}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y){\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{‖W_{\mathrm{30}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_h{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(30)

对(13)式的第4个方程作类似（21）式的估计，可得：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{4}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{d}_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒥}(y)W_{\mathrm{4}}(\xi -y,s){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{4}}+l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-\frac{c}{\mathrm{2}}\cdot \frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\nu ]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )\mathrm{𝒢}(y)W_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{40}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}-Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,s-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{‖W_{\mathrm{40}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(31)

运用Cauchy-Schwarz不等式，可得：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{4}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )-c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\mathrm{2}\nu -

d_{\mathrm{4}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{‖W_{\mathrm{40}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,s-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,s))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )|W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(32)

对(13)式的第5个方程作类似（26）式的估计，可得：

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_{\mathrm{5}}(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[d_{\mathrm{5}}+\mathrm{2}{\mu }_v-l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )-

c\frac{{\omega }^{\text{'}}(\xi )}{\omega (\xi )}-\mathrm{2}\nu -d_{\mathrm{5}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{𝒥}(y)\mathrm{d}y]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{‖W_{\mathrm{50}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,s-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,s))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )|W_{\mathrm{5}}(\xi ,s)|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi ){W_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

l_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau )\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(33)

其中，\frac{\omega (\xi +y)}{\omega (\xi )}={\mathrm{e}}^{-\lambda y}，\frac{\omega (\xi +c\tau )}{\omega (\xi )}={\mathrm{e}}^{-\lambda c\tau }。故扰动解W_i(\xi ,t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})满足：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_i(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{1},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{2},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{3},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{4},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{5},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖W_{i\mathrm{0}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau ))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )(|W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)|+

|W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)|)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,s-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,s))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )(|W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)|+|W_{\mathrm{5}}(\xi ,s)|)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(34)

下面估计(34)式中的Q_i(\cdot ,\cdot )(i=\mathrm{1,2})。由Cauchy-Schwarz不等式和Taylor公式，不难得到：

|Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,t),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,t-\tau )|\le C[W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,t)+{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y](35)

|Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,t-\tau ),W_{\mathrm{1}}(\xi ,t)|\le C[W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,t)+{\int }_{\mathit{ℝ}}\mathit{𝒢}(y)W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,t-\tau )\mathrm{d}y](36)

又由M_W^{\mathrm{2}}(\cdot )的定义和(35)式可知：

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{1}}(W_{\mathrm{1}}(\xi ,s),\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau ,s-\tau ))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )(|W_{\mathrm{1}}(\xi ,s)|+|W_{\mathrm{2}}(\xi ,s)|)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

C{M}_W(T)[{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{\mathbb{R}}\mathrm{𝒢}(y){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi -y-c\tau ,s-\tau )\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s]\le

C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }[{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s](37)

类似可得：

\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}|Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{W}_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau ,s-\tau ),W_{\mathrm{4}}(\xi ,s))|{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )(|W_{\mathrm{4}}(\xi ,s)|+|W_{\mathrm{5}}(\xi ,s)|)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }[{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\mathrm{s}+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s](38)

将(37)~(38)式代入(34)式，可得:

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu t}{‖W_i(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{1},\nu ,\omega }(\xi )-C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{2},\nu ,\omega }(\xi )-C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{3},\nu ,\omega }(\xi ){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{4},\nu ,\omega }(\xi )-C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathbb{R}}[{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{5},\nu ,\omega }(\xi )-C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s\le

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖W_{i\mathrm{0}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}[\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y+C{M}_W(T)]\cdot

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{50}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s+{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{\int }_{\mathbb{R}}[\mathrm{2}{l}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\lambda (c\tau +y)}\mathrm{𝒢}(y){\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi +y+c\tau )\mathrm{d}y+

C{M}_W(T)]{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu s}\omega (\xi )W_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\xi ,s)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}s(39)

由于M_W(T)\ll \mathrm{1}，并且当\xi \in \mathbb{R}时有{\mathrm{𝒜}}_{i,\nu ,\omega }(\xi )>\mathrm{0}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})，故存在正常数{\delta }_{\mathrm{3}}，{\delta }_{\mathrm{4}}，{\delta }_{\mathrm{5}}，和{\delta }_{\mathrm{6}}，使得：

{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{1},\nu ,\omega }(\xi )-C{\delta }_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>\mathrm{0},{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{2},\nu ,\omega }(\xi )-C{\delta }_{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>\mathrm{0},{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{4},\nu ,\omega }(\xi )-C{\delta }_{\mathrm{5}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>\mathrm{0},{\mathrm{𝒜}}_{\mathrm{5},\nu ,\omega }(\xi )-C{\delta }_{\mathrm{6}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>\mathrm{0}

令{\delta }_{\mathrm{2}}≔\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{{\delta }_{\mathrm{3}},{\delta }_{\mathrm{4}},{\delta }_{\mathrm{5}},{\delta }_{\mathrm{6}}\}，则M_W(T)\le {\delta }_{\mathrm{2}}时，有{\mathrm{𝒜}}_{i,\nu ,\omega }(\xi )-C{M}_W(T){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>{\mathrm{𝒜}}_{i,\nu ,\omega }(\xi )-C{\delta }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\nu \tau }>\mathrm{0}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{4,5})。于是，可得W_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})的能量估计：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}[{‖W_i(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu (t-s)}{‖W_i(s)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s]\le

C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu t}[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖W_{i\mathrm{0}}(\mathrm{0})‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{20}}(s)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{50}}(s)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s](40)

类似(40)式的讨论过程，可得W_{i\xi }(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})的能量估计：

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}[{‖W_{i\xi }(t)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu (t-s)}{‖W_{i\xi }(s)‖}_{L_{\omega }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s]\le

C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\nu t}[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}{‖W_{i\mathrm{0}}(\mathrm{0})‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{20}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s+{\int }_{-\tau }^{\mathrm{0}}{‖W_{\mathrm{50}}(s)‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s](41)

因此，结合(40)~(41)式有(16)式成立。证毕。

类似文献[19]，还可建立下面的引理8。

引理8 令W_i\in H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})，则\sqrt[]{\omega }{W}_i\in H_{\omega }^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})且||\sqrt[]{\omega }{W}_i|{|}_C\le C{‖W_i‖}_{H_{\omega }^{\mathrm{1}}}，及\underset{\xi \in (-\mathrm{\infty },{\xi }_{\mathrm{0}}]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|W_i(\xi ,t)|\le C{\mathrm{e}}^{-\nu t}{M}_W(\mathrm{0}),

t>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}\mathrm{。}

最后，还需建立W_i(\xi ,t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})在\xi =+\mathrm{\infty }时的衰减估计。由于W_i(\xi ,t)\in {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}}[-{\tau }_i,T]，故\underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{W}_i(\xi ,t)关于t\in [\mathrm{0},T]一致存在，且\underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}[\mathrm{𝒥}{*}{W}_i(\xi ,t)-W_i(\xi ,t)]=\mathrm{0},t\in [\mathrm{0},T]。令{\tilde{W}}_i(x,t)=u_i(x,t)-{\varphi }_i(x+ct)=W_i(\xi ,t),i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}，则{\tilde{W}}_i(x,t)满足：

\left\{\begin{array}{l}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}t}(x,t)-d_{\mathrm{1}}(\mathrm{𝒥}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t)-{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t))+l_{\mathrm{1}}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )+\\ l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x-c\tau ,t-\tau )=-Q_{\mathrm{1}}({\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t),\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x-c\tau ,t-\tau ))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{2}t}(x,t)-d_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒥}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x,t)-{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x,t))-l_{\mathrm{1}}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\xi -c\tau )-\\ l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x-c\tau ,t-\tau )+({\mu }_h+{\alpha }_h){\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x,t)=Q_{\mathrm{1}}({\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(x,t),\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x-c\tau ,t-\tau ))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{3}t}(x,t)-d_{\mathrm{3}}(\mathrm{𝒥}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{3}}(x,t)-{\tilde{W}}_{\mathrm{3}}(x,t))-{\alpha }_h{\tilde{W}}_{\mathrm{3}}(x,t)=\mathrm{0}\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{4}t}(x,t)-d_{\mathrm{4}}(\mathrm{𝒥}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t)-{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t))+l_{\mathrm{2}}{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )+\\ l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x-c\tau ,t-\tau )=-Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x-c\tau ,t-\tau ),{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{5}t}(x,t)-d_{\mathrm{5}}(\mathrm{𝒥}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x,t)-{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x,t))-l_{\mathrm{2}}{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t)\mathrm{𝒢}{*}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\xi -c\tau )-\\ l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\xi )\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x-c\tau ,t-\tau )+{\mu }_v{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(x,t)=Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(x-c\tau ,t-\tau ),{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(x,t))\\ {\tilde{W}}_i(x,\mathrm{0})={\tilde{W}}_{i\mathrm{0}}(x),x\in \mathbb{R},i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ {\tilde{W}}_i(x,s)={\tilde{W}}_{i\mathrm{0}}(x,s),(x,s)\in \mathbb{R}\times [-\tau ,\mathrm{0}],i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(42)

和\underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{W}_i(\xi ,t)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\tilde{W}}_i(x,t)={\tilde{W}}_i(\mathrm{\infty },t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})关于t\in [\mathrm{0},T]一致存在。在(42)式中，令x\to +\mathrm{\infty }，可得：

\left\{\begin{array}{l}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}t}(\mathrm{\infty },t)+l_{\mathrm{1}}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty },t){\varphi }_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty })+l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty }){\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty },t-\tau )=-Q_{\mathrm{1}}({\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty },t),\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty },t-\tau ))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{2}t}(\mathrm{\infty },t)-l_{\mathrm{1}}{\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty },t){\varphi }_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty })-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty }){\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty },t-\tau )+({\mu }_h+{\alpha }_h){\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty },t)=Q_{\mathrm{1}}({\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty },t),{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty },t-\tau ))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{3}t}(\mathrm{\infty },t)-{\alpha }_h{\tilde{W}}_{\mathrm{3}}(\mathrm{\infty },t)=\mathrm{0}\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{4}t}(\mathrm{\infty },t)+l_{\mathrm{2}}{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty },t){\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty })+l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty }){\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty },t-\tau )=-Q_{\mathrm{2}}(\mathrm{𝒢}{*}{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty },t-\tau ),{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty },t))\\ {\tilde{W}}_{\mathrm{5}t}(\mathrm{\infty },t)-l_{\mathrm{2}}{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty },t){\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty })-l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty }){\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty },t-\tau )+{\mu }_v{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty },t)=Q_{\mathrm{2}}({\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty },t-\tau ),{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty },t))\\ {\tilde{W}}_i(\mathrm{\infty },\mathrm{0})={\tilde{W}}_{i\mathrm{0}}(\mathrm{\infty }),i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ {\tilde{W}}_i(\mathrm{\infty },s)={\tilde{W}}_{i\mathrm{0}}(\mathrm{\infty },s),s\in [-\tau ,\mathrm{0}],i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(43)

接下来，为了估计非线性时滞系统(43)，考虑其相应的线性系统{\tilde{\mathit{W}}}^{\text{'}}(t)=\mathit{A}\tilde{\mathit{W}}(t)+\mathit{B}\tilde{\mathit{W}}(t-\tau )，其中，\tilde{\mathit{W}}(\cdot )=({\tilde{W}}_{\mathrm{1}}(\cdot ),{\tilde{W}}_{\mathrm{2}}(\cdot ),{\tilde{W}}_{\mathrm{3}}(\cdot ),{\tilde{W}}_{\mathrm{4}}(\cdot ),{\tilde{W}}_{\mathrm{5}}{(\cdot ))}^{\mathrm{T}}，

\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccccc}-l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty })& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{5}}(\mathrm{\infty })& -({\mu }_h+{\alpha }_h)& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\alpha }_h& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty })& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{\infty })& -{\mu }_v\end{array}\right)，\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty })\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& l_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{\infty })\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty })& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& l_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{4}}(\mathrm{\infty })& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)

考虑满足初值\mathit{\Psi }(s)=({\tilde{W}}_{\mathrm{10}}(\mathrm{\infty },\mathrm{0}),{\tilde{W}}_{\mathrm{20}}(\mathrm{\infty },s),{\tilde{W}}_{\mathrm{30}}(\mathrm{\infty },\mathrm{0}),{\tilde{W}}_{\mathrm{40}}(\mathrm{\infty },\mathrm{0}),{\tilde{W}}_{\mathrm{50}}{(\mathrm{\infty },s))}^{\mathrm{T}},s\in [-\tau ,\mathrm{0}]的常微分方程{\tilde{\mathit{W}}}^{\text{'}}(t)=\mathit{P}\tilde{\mathit{W}}(t)，其中\mathit{P}=\mathit{A}+\mathit{B}。利用Hurwitz判据可知，矩阵\mathit{P}的所有特征值均有负实部。类似文献[19]的引理3.9可知，存在正常数\epsilon，使得|{\tilde{W}}_i(\mathrm{\infty },t)|=|W_i(\mathrm{\infty },t)|\le C{M}_W(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\epsilon t},t\in [\mathrm{0},T]，故可得引理9。

引理9 假设\tau \in (\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{0}})，则存在常数\epsilon >\mathrm{0}和不依赖于t且充分大的常数{\xi }_{\mathrm{0}}\gg \mathrm{1}使得

\underset{\xi \in ({\xi }_{\mathrm{0}},\mathrm{\infty }]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|W_i(\xi ,t)|\le C{M}_W(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\epsilon t},t\in [\mathrm{0},T],i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}

从而，可选择满足的\nu，结合引理8和引理9，可得引理6。

定理2的证明 由引理6可知，存在{\delta }_{\mathrm{2}}，\nu和C为不依赖于T的正常数。令{\delta }_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\sqrt[]{C}{m}_{\mathrm{0}}{M}_W(\mathrm{0}),{\delta }_{\mathrm{2}}\}，{\delta }_{\mathrm{0}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\frac{{\delta }_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{0}}},\frac{{\delta }_{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{C}{m}_{\mathrm{0}}}\}。由引理4可知，存在t_{\mathrm{0}}=t_{\mathrm{0}}({\delta }_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}使得W(\xi ,t)\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,t_{\mathrm{0}})。根据{\delta }_{\mathrm{0}}和{\delta }_{\mathrm{1}}的定义，可得M_W(t_{\mathrm{0}})\le {\delta }_{\mathrm{2}}。在区间[\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]上应用引理6，可建立当t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}]时W_i(\xi ,t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})的指数衰减估计(15)式。接下来，考虑具有初始数据

\left\{\begin{array}{l}{W}_i(\xi ,s_{\mathrm{1}})=W_{i\mathrm{0}}(\xi ,s_{\mathrm{1}}),\xi \in \mathbb{R},s_{\mathrm{1}}\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}],i=\mathrm{1,3},\mathrm{4}\\ W_i(\xi ,s)=W_{i\mathrm{0}}(\xi ,s),\xi \in \mathbb{R},s\in [t_{\mathrm{0}}-\tau ,t_{\mathrm{0}}],i=\mathrm{2,5}\end{array}\right.(44)

的系统(13)。再次借助引理4，可证明当t\in [t_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{t}_{\mathrm{0}}]时满足初始条件(44)的Cauchy问题解的存在性，即W(\xi ,t)\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,\mathrm{2}{t}_{\mathrm{0}})。从而，解的时间区间延拓到了[-\tau ,\mathrm{2}{t}_{\mathrm{0}}]，则由引理6，可以建立当t\in [\mathrm{0,2}{t}_{\mathrm{0}}]时W_i(\xi ,t)(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5})的指数衰减估计(15)式。重复上述过程，可得W(\xi ,t)\in \mathrm{𝒳}(-\tau ,\mathrm{\infty })，且当t\in [\mathrm{0},\mathrm{\infty }]时，W_i(\xi ,t)满足指数衰减估计(15)式。证毕。

3　结 语

本文主要研究了一类具有空间非局部效应的时滞登革热模型单稳行波解的稳定性。基于目前对登革热模型的研究大多是单稳行波解的存在性结果，我们的工作不仅将Laplace扩散登革热模型的研究推广到了非局部扩散情形，还补充完善了对登革热传染病模型单稳行波解的稳定性分析。从传染病学的角度，行波解的稳定性决定了疾病的传播形式与发展态势是否发生大的改变：一旦传染波不稳定，传播形式和性态发生改变，传染病的发展态势难以预测。因此，本文得到的行波解是指数稳定的这一结果，表明经历长时间后，登革热的传播终将趋于稳定，这为理解此类传染病的传播机制与防控策略提供了理论依据。

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基金资助

国家自然科学基金(12361038)

甘肃省基础研究创新群体项目(25JRRA805)