二响应Scheffé混料模型的I-最优设计

I-Optimal Design of the Two-Response Scheffé Mixture Model

摘要

研究了Scheffé一阶和二阶混料模型的二响应模型I-最优设计问题，推导出模型平均预测方差的最小迹，并给出了特定分量数下模型的I-最优设计。研究结果表明，该二响应混料模型的I-最优设计与响应的协方差矩阵无关。

Abstract

This study investigates the I-optimal design problem for two-response Scheffé canonical first-order and second-order mixture models. We derive the minimum trace of the average prediction variance matrix and provide the I-optimal designs for models with specific numbers of components. The results demonstrate that the I-optimal design for these two-response Scheffé mixture models is independent of the response covariance matrix.

关键词

混料试验 / 多响应 / Scheffé模型 / I-最优设计

Key words

mixture experiments / multi-response / Scheffé model / I-optimal design

0　 引 言

混料试验设计^[1]是研究多种成分比例对响应变量影响的一类重要试验设计方法，已广泛应用于制药工业、农业科学、化学工程和食品加工等领域。Scheffé^[2]首先提出单纯形格子设计方法，随后研究者对单响应混料模型在各种定义下的最优性进行讨论研究。随着时代的发展，人们发现多响应模型更加符合实际需求，例如，在优化金黄纳米凝胶贴膏基质处方的混料试验设计中^[3]，需确保其初黏力、内聚力与黏接力符合国家药典规定，这要求构建包含三个响应的混料回归模型进行处方筛选；而姜黄疗癣乳膏的处方优化^[4]则涉及多个响应变量的混料模型分析。乐锐^[5]研究了Scheffé一阶和二阶模型构成的多响应混料模型的D-最优设计，Pal等^[6]对由混料线性模型和二阶混料规范多项式模型构成的二响应混料模型进行研究。金红娣等^[7]得出一些多响应模型的定理，研究了D-和A-最优设计。郝红花等^[8]构造了p响应Scheffé二阶混料模型的D-最优设计，并给出二响应Scheffé二阶模型的Ds-和A-最优测度。张新风等^[9]进一步探讨了二响应Scheffé混料模型的R-最优设计。朱小渊等^[10-11]给出多响应和缺失项混料模型的最优试验设计。

I-最优设计旨在寻找使预测值方差函数的平均值(Average Prediction Variance, APV)最小化的设计。这个概念由Box等^[12]提出，其后Goos等^[13]对相关研究成果进行了总结与比较分析。叶婉颖等^[14]对三种常见混料模型在含有定性因子的情况下求解近似I-最优的配置，马景文^[15]讨论V-最优设计，该设计与I-最优设计有相似之处。A-最优设计是I-最优设计的一种特殊形式，李俊鹏等^[16-18]对混料试验的加权效率最优设计,二阶指数模型的A-最优设计进行系统研究。

Scheffé一阶和二阶模型构成多响应模型的I-最优设计研究具有重要的理论意义，但由于两类模型设计点个数的差异，增加了研究的复杂性，相关研究较为匮乏。本文探讨二响应Scheffé一阶和二阶混料模型的I-最优设计，给出了在部分分量下满足I-最优设计的设计。

1　 模型与准则

给定试验区域内的一组不重复的点{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}},\dots ,{\mathit{x}}_n，并对应相应的一组数r_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}},\dots ,r_n，如果满足：{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{r}_i=\mathrm{1,0}\le r_i\le \mathrm{1}，则称其为一个连续试验设计，记作\mathit{\xi }，\mathit{\xi }=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}& {\mathit{x}}_{\mathrm{2}}& \cdots & {\mathit{x}}_n\end{array}\\ \begin{array}{cccc}{r}_{\mathrm{1}}& r_{\mathrm{2}}& \cdots & r_n\end{array}\end{array}\right)。其中，{\mathit{x}}_i称为柱点，也称为支撑点或试验点；r_i称为该点的测度，这也是一类特殊的概率测度分布；记\mathrm{\Xi }表示试验域S^{q-\mathrm{1}}上的全体设计，即\mathit{\xi }\in \mathrm{\Xi }。试验点所对应的信息矩阵：\mathit{M}(\mathit{\xi })={\int }_{S^{q-\mathrm{1}}}f(\mathit{x})f^T(\mathit{x})\mathit{\xi }(d\mathit{x})。

在正规单纯形中，单纯形-格子设计通过均匀分布的格子点实现了饱和设计，其数学模型可表示为混料规范多项式。

q分量一阶混料规范多项式模型为：

\eta ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{\beta }_i{x}_i（1）

q分量二阶混料规范多项式模型为：

（2）

其中，{\beta }_i,{\beta }_{ij}表示多项式模型的参数，{\beta }_i为分量i的效应参数，{\beta }_{ij}为分量i与j的交互效应参数。考虑模型：

Y(\mathit{x})=\left(\begin{array}{l}{Y}_{\mathrm{1}}(\mathit{x})\\ Y_{\mathrm{2}}(\mathit{x})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}(\mathit{x})& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}(\mathit{x})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathit{\beta }}_{\mathrm{1}}\\ {\mathit{\beta }}_{\mathrm{2}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{\mathrm{1}}(\mathit{x})\\ {\epsilon }_{\mathrm{2}}(\mathit{x})\end{array}\right)（3）

其中，{\epsilon }_{\mathrm{1}}(\mathit{x}),{\epsilon }_{\mathrm{2}}(\mathit{x})为对应点的试验误差；f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}(\mathit{x})=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_q),f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}(\mathit{x})=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_q,x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}},\cdots ,x_{q-\mathrm{1}}{x}_q)；{\mathit{\beta }}_{\mathrm{1}}=({\beta }_{\mathrm{11}},\cdots ,{\beta }_{\mathrm{1}q},{\beta }_{\mathrm{112}},{\beta }_{\mathrm{113}},\cdots ,{\beta }_{\mathrm{1},q-\mathrm{1},q}{)}^{\mathrm{T}},{\mathit{\beta }}_{\mathrm{2}}=({\beta }_{\mathrm{21}},\cdots ,{\beta }_{\mathrm{2}q},{\beta }_{\mathrm{211}},{\beta }_{\mathrm{222}},\cdots ,{\beta }_{\mathrm{2},q,q}{)}^{\mathrm{T}}；\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left({\epsilon }_{\mathrm{1}}(\mathit{x}),{\epsilon }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}(\mathit{x})\right)=\mathit{\Sigma }=

=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}& \mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}\\ \mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}& {\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right)。\mathit{\Sigma }是模型的协方差矩阵；{\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}为Y_{\mathrm{1}}(\mathit{x}),Y_{\mathrm{2}}(\mathit{x})的方差；\mu表示相关系数。

I-最优是指在整个利益区域S^{q-\mathrm{1}}上，平均预测方差

\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{V}=\frac{{\int }_{S^{q-\mathrm{1}}}{f}^{\mathrm{T}}(\mathit{x}){\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })f(\mathit{x})\mathrm{d}\mathit{x}}{{\int }_{S^{q-\mathrm{1}}}\mathrm{d}\mathit{x}}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]}{{\int }_{S^{q-\mathrm{1}}}\mathrm{d}\mathit{x}}（4）

达到最小，即：\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]\to \underset{\mathit{\xi }\in \mathrm{\Xi }}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}，\mathit{B}称为矩矩阵^[10]。

引理1 (I-最优等价定理)令\mathit{M}(\mathit{\xi })表示设计\mathit{\xi }\in \mathrm{\Xi }的信息矩阵，对任意的\mathit{x}\in S^{q-\mathrm{1}}，设计{\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}}是I-最优的充要条件是：

f^{\mathrm{T}}(\mathit{x}){\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})\mathit{B}{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})f(\mathit{x})\le \mathrm{t}\mathrm{r}\left[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})\mathit{B}\right]（5）

其中，矩矩阵 B 表示如下：

\mathit{B}={\int }_{S^{q-\mathrm{1}}}f(\mathit{x})f^T(\mathit{x})\mathrm{d}\mathit{x}（6）

2　 二响应模型的I-最优设计

定理1 二响应模型（3）的I-最优设计

{\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}(\mathrm{1,0},\dots ,\mathrm{0})& \cdots & (\mathrm{0},\dots ,\mathrm{0,1})\end{array}& \begin{array}{ccc}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\dots ,\mathrm{0}\right)& \cdots & \left(\mathrm{0},\dots ,\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}{r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}& \end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}& {r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}\end{array}\end{array}& \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}{r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}& \end{array}& \cdots & \begin{array}{cc}& {r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}\end{array}\end{array}\end{array}\right)

的最小迹为：

\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})\mathit{B}]=\frac{\mathrm{2}q\left[\mathrm{8}{r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{5}){r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}\right]}{\left[\mathrm{4}{r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}+(q-\mathrm{2}){r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}\right]\left[\mathrm{2}{r^{\mathrm{*}}}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{1}){r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}\right](q+\mathrm{1})!}+\frac{\mathrm{32}q(q-\mathrm{1}){r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}+\mathrm{2}q(q^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}q+\mathrm{18}){r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}}{(q+\mathrm{3})!{r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}{r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}}

证 设协方差矩阵的逆矩阵为：

{\mathit{\Sigma }}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}& -\frac{\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}\\ -\frac{\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}& \frac{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mu {\sigma }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{2}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)

由Scheffé一阶模型（1）和二阶模型（2），可得模型（3）的信息矩阵：

\mathit{M}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}},\mathit{\Sigma })={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{r}_{\mathrm{1}}f(x_i){\mathit{\Sigma }}^{-\mathrm{1}}{f}^T(x_i)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\frac{q(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}}{r}_{\mathrm{2}}f(x_i){\mathit{\Sigma }}^{-\mathrm{1}}{f}^T(x_i)=

\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)\otimes \left[\left(r_{\mathrm{1}}+\frac{q-\mathrm{2}}{\mathrm{4}}{r}_{\mathrm{2}}\right){\mathit{I}}_q+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathit{U}}_q\right]& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\\ \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}b{r}_{\mathrm{2}}{\mathit{I}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}\end{array}\right)

其中， V 是0-1矩阵，第一行前2个元素为1，其余元素为0；剩余每一行都根据第一行按照字典顺序进行全排列得到。{\mathit{U}}_q={\mathit{J}}_q-{\mathit{I}}_q, J 表示全1矩阵， I 表示单位矩阵。令：

\mathit{Q}=\left[a{r}_{\mathrm{1}}+\frac{(q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left(a-\frac{c^{\mathrm{2}}}{b}\right)\right]{\mathit{I}}_q+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left(a-\frac{c^{\mathrm{2}}}{b}\right){\mathit{U}}_q

\mathit{L}=\mathit{Q}-\frac{c^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{1}}}{b}{\mathit{I}}_q,\mathit{K}=\left(\begin{array}{cc}\mathit{Q}& c{r}_{\mathrm{1}}{\mathit{I}}_q\\ c{r}_{\mathrm{1}}{\mathit{I}}_q& b{r}_{\mathrm{1}}{\mathit{I}}_q\end{array}\right),

{\mathit{L}}^{-\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{1}-\frac{q{r}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right){\mathit{I}}_q-\frac{q{r}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathit{U}}_q}{\left[r_{\mathrm{1}}+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left(q-\mathrm{2}\right)\right]\left(a-\frac{c^{\mathrm{2}}}{b}\right)}， {\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{L}}^{-\mathrm{1}}& -\frac{c}{b}{\mathit{L}}^{-\mathrm{1}}\\ -\frac{c}{b}{\mathit{L}}^{-\mathrm{1}}& \frac{\mathrm{1}}{b{r}_{\mathrm{1}}}{\mathit{I}}_q+\frac{c^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}{\mathit{L}}^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)

可以求出信息矩阵的逆矩阵：

{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}},\mathit{\Sigma })=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}& -\frac{\mathrm{2}}{b}{\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}\left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\\ -\frac{\mathrm{2}}{b}\left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}{\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}& \frac{\mathrm{16}}{b{r}_{\mathrm{2}}}{\mathit{I}}_{C_q^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{4}}{b^{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}{\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}\left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes {\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)

推广到多响模型，矩矩阵 B 为：

\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)\otimes \frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{1})!}\left({\mathit{I}}_q+{\mathit{J}}_q\right)& \left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes \frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{2})!}\left({\mathit{J}}_{{}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}}^{\mathrm{T}}+{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes \frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{2})!}\left({\mathit{J}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}+{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}\right)& b\otimes \frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{3})!}\left({\mathit{I}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}+{\mathit{J}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}+{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\right)\end{array}\right)

令{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}\mathit{B}=\mathit{D}，即：{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{D}}_{\mathrm{11}}& {\mathit{D}}_{\mathrm{12}}\\ {\mathit{D}}_{\mathrm{21}}& {\mathit{D}}_{\mathrm{22}}\end{array}\right)。

分块矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{11}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{E}}_{\mathrm{11}}& {\mathit{E}}_{\mathrm{12}}\\ {\mathit{E}}_{\mathrm{21}}& {\mathit{E}}_{\mathrm{22}}\end{array}\right)。其中，{\mathit{E}}_{\mathrm{11}}=\frac{\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{3})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{J}}_q+\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{2}q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{I}}_q}{(q+\mathrm{1})!\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{4})r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}+\frac{q^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}q+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right]}，{\mathit{E}}_{\mathrm{12}}={\mathit{O}}_q， O 表示全0矩阵；

\begin{array}{l}{\mathit{E}}_{\mathrm{21}}=-\frac{c}{b}\cdot \frac{\left\{\left[\mathrm{8}(q-\mathrm{2})+\mathrm{16}\right]r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{25}q-\mathrm{78})r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}+(\mathrm{2}\times {\mathrm{3}}^{q-\mathrm{3}})r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right\}{\mathit{J}}_q+\left[\mathrm{8}(q-\mathrm{2})r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}{(q-\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}-\mathrm{6}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right]{\mathit{I}}_q}{\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{4})r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}+\frac{q^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}q+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right](q+\mathrm{2})!r_{\mathrm{1}}}\\ {\mathit{E}}_{\mathrm{22}}=\frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{2})!r_{\mathrm{1}}}\left[\left(\mathrm{6}-q\right){\mathit{I}}_q+(\mathrm{2}-q){\mathit{J}}_q\right]\mathrm{。}\end{array}

分块矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{12}}=\left(\begin{array}{c}{\mathit{O}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}\times {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}\\ \mathit{G}\end{array}\right)。其中，\mathit{G}=\frac{\mathrm{1}-q}{(q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{1}}}{\mathit{J}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}\times {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}+\frac{\mathrm{5}-q}{(q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{1}}}{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}\times {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}}。

分块矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{21}}=\left(\begin{array}{cc}\mathit{P}& \mathit{R}\end{array}\right)。其中，\mathit{R}=\frac{\left[\mathrm{16}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{4}q-\mathrm{8})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{J}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}}+\left[\mathrm{16}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{2}q-\mathrm{12})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}}}{(q+\mathrm{2})!r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}}，

\mathit{P}=\frac{c}{b}\mathit{R}。

分块矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{22}}=\frac{\mathrm{1}}{(q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}}\left\{\mathrm{16}{r}_{\mathrm{1}}{\mathit{I}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}+\left[\mathrm{16}{r}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{J}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}}+\left[\mathrm{16}{r}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}(q-\mathrm{5})r_{\mathrm{2}}\right]{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}{\mathit{V}}_{{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}\times q}^{\mathrm{T}}\right\}。

综上所述，\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]表示为：

\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]=\frac{\mathrm{2}q\left[\mathrm{8}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{5})r_{\mathrm{2}}\right]}{\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}\right]\left[\mathrm{2}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{2}}\right](q+\mathrm{1})!}+\frac{\mathrm{32}q(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}q(q^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}q+\mathrm{18})r_{\mathrm{2}}}{(q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}}（7）

当r_{\mathrm{1}}={r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},r_{\mathrm{2}}={r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}时，\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]最小，且与协方差矩阵无关。

推论1 推广到n响应，对于Scheffé一阶和二阶模型交替的多响应混料模型，令T=\mathrm{t}{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]，可得：

1） 当n为奇数时，\mathrm{t}{\mathrm{r}}^{\mathrm{1}\mathrm{*}}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]=\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}T+\frac{\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{3})r_{\mathrm{2}}\right]q+\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{2}q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}\right]q}{(q+\mathrm{1})!\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{4})r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}+\frac{q^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}q+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right]}；

2） 当n为偶数时，\mathrm{t}{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}\mathrm{*}}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]=\frac{n}{\mathrm{2}}T。

定理2 存在唯一的r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\in (\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{q})，r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\in \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{2}}{q(q-\mathrm{1})}\right)，对于模型（3），当r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}分别表示设计{\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}}分配到{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}个顶点和{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}个二顶点的测度时，设计{\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}}是S^{q-\mathrm{1}}上的I-最优设计。

证 将约束条件转换为：r_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{q}-\frac{q(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}，代入\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]中，得到：

f(r_{\mathrm{2}})=q\left(\frac{q\left[q(q+\mathrm{1})r_{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\right]}{(q^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}-\mathrm{4})(q+\mathrm{1})!}+\frac{\mathrm{64}+\mathrm{4}q\left[(\mathrm{7}q+\mathrm{5})(q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}-\mathrm{16}\right]}{\left[q(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\right](q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{2}}}\right)

当r_{\mathrm{2}}\in \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{2}}{q(q-\mathrm{1})}\right)时，\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}}f(r_{\mathrm{2}})>\mathrm{0}，可以得出函数f(r_{\mathrm{2}})是在r_{\mathrm{2}}\in \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{2}}{q(q-\mathrm{1})}\right)上的凸函数。且当r_{\mathrm{2}}\to \mathrm{0}或r_{\mathrm{2}}\to \frac{\mathrm{2}}{q(q-\mathrm{1})}时，f\to \mathrm{\infty }。因此，存在唯一的r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}，使得\mathrm{t}{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]最小。

3　 二响应混料模型的I-最优设计例子

以q=3为例，构造Scheffé一阶和二阶混料模型构成多项式的等边三角形的顶点和二顶点中心上的I-最优设计。对应的模型为：

\left\{\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}={\beta }_{\mathrm{11}}{x}_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{12}}{x}_{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{13}}{x}_{\mathrm{3}}\\ y_{\mathrm{2}}={\beta }_{\mathrm{21}}{x}_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{22}}{x}_{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{23}}{x}_{\mathrm{3}}+{\beta }_{\mathrm{212}}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{213}}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}+{\beta }_{\mathrm{223}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}\end{array}\right.

根据模型求出信息矩阵 M 和矩矩阵 B ：

\mathit{M}=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}{r}_{\mathrm{1}}+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\\ \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}& r_{\mathrm{1}}+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\\ \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}& r_{\mathrm{1}}+\frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\end{array}\right)& \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)\\ \frac{r_{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right)& \frac{b{r}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}}\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)\end{array}\right)

\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}c\\ b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}c& b\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{120}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}\end{array}\right)& b\otimes \left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{180}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{180}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{360}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{180}}\end{array}\right)\end{array}\right)

求得迹：\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{60}}\left[\frac{\mathrm{3}}{r_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{16}}{r_{\mathrm{2}}}+\mathrm{10}\left(\frac{\mathrm{1}}{r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}}\right)\right]。

结合约束条件{\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{1}}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，求解测度：\left\{\begin{array}{l}{r_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0.117}\mathrm{674}\\ {r_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0.215}\mathrm{660}\end{array}\right.，即最优设计可表示为：

{\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cccccc}(\mathrm{1,0},\mathrm{0})& (\mathrm{0,1},\mathrm{0})& (\mathrm{0,0},\mathrm{1})& \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{0}\right)& \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)& \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\\ \mathrm{0.117}\mathrm{674}& \mathrm{0.117}\mathrm{674}& \mathrm{0.117}\mathrm{674}& \mathrm{0.215}\mathrm{66}& \mathrm{0.215}\mathrm{66}& \mathrm{0.215}\mathrm{66}\end{array}\right)

下面验证q=3时引理1成立。

假定{\mu }^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5},{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1},{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}时^[9]，根据等价定理：对于顶点\mathit{x}=(\mathrm{1,0},\dots ,\mathrm{0})和二顶点\mathit{x}=(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{0},\dots ,\mathrm{0})，有f^{\mathrm{T}}(\mathit{x}){\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})\mathit{B}{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})f(\mathit{x})=\mathrm{2.647}\mathrm{078}\mathrm{65}；由于\mathrm{t}\mathrm{r}\left[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}({\mathit{\xi }}^{\mathrm{*}})\mathit{B}\right]=\mathrm{2.647}\mathrm{08}，满足（5）式，引理1成立。

表1展示出部分分量满足约束条件

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{\mathit{\xi }\in \mathrm{\Xi }}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{t}\mathrm{r}[{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{\xi })\mathit{B}]& \end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{s}.\mathrm{t}& {\mathrm{C}}_q^{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{1}}+{\mathrm{C}}_q^{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\end{array}\end{array}\right.

所得的数值解。可以看出，结果不受协方差矩阵的影响。

结合（4）和（7）式，计算出单纯形全域S^{q-\mathrm{1}}的平均预测方差:

\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{V}=\frac{q}{(q-\mathrm{1})!}\left(\frac{\mathrm{2}\left[\mathrm{8}{r}_{\mathrm{1}}+(\mathrm{3}q-\mathrm{5})r_{\mathrm{2}}\right]}{\left[\mathrm{4}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{2})r_{\mathrm{2}}\right]\left[\mathrm{2}{r}_{\mathrm{1}}+(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{2}}\right](q+\mathrm{1})!}+\frac{\mathrm{32}(q-\mathrm{1})r_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}(q^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}q+\mathrm{18})r_{\mathrm{2}}}{(q+\mathrm{3})!r_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{2}}}\right)

在表1计算结果的基础上，求满足（4）式的最小迹与平均预测方差，结果如表2所示。

4　 结 语

本文针对二响应混料模型的I-最优设计问题展开深入探讨，研究由Scheffé一阶和二阶模型构成的二响应混料模型的I-最优设计，并将其推广到多响应。通过理论推导，得到满足I-最优设计的最小迹和平均预测方差APV的表达式，并以q=3为例，求解I-最优设计的测度，并给出部分分量的I-最优设计的数值解。从定理1和本文所给的例子可知，该多响应模型的I-最优设计有一个显著特征：它与响应变量的协方差矩阵无关。这一发现与乐锐^[5]在D-最优设计研究中得出的结论相吻合，而张新风等^[9]的研究显示，该模型的R-最优设计与协方差矩阵有关。未来关于多响应Scheffé模型中不同阶数（如一阶、二阶及更高阶）的混料模型，在各种意义下的最优配置与协方差矩阵的关系问题都将是值得思考和研究的问题。

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基金资助

国家自然科学基金(12561046)