钢管混凝土拱桥系统易损性研究

System Vulnerability of Concrete-Filled Steel Tubular Arch Bridges

摘要

为准确评估钢管混凝土拱桥地震损伤，将拱桥系统视为串-并联体系，即将拱桥系统各关键体系进行串联，而不同关键体系的单个构件之间则分别采用串联或并联形式。以某钢管混凝土拱桥为研究对象，通过时程分析和神经网络预测获得拱桥各构件的地震响应值，基于Copula函数分别得到拱桥各关键体系易损性和整体系统易损性，并与基于一阶界限法得到的系统易损性进行对比。研究结果表明：通过神经网络预测可以获得准确的拱桥结构地震响应值，当地震动峰值加速度APG为0.4g时，预测准确率超过90%，并且随着APG的增大，准确率逐渐提高；拱桥各关键构件体系中，拱上立柱体系失效概率最高，在抗震设计时应对其采取减隔震措施，风撑体系的失效概率最低，进行拱桥系统易损性分析时可忽略风撑体系的影响；基于串-并联体系的拱桥系统易损性介于一阶界限法的上界和下界之间，当APG=0.3g时，轻微、中等和严重损伤状态下串-并联体系的系统失效概率分别为98%、94%及25%，与一阶界限法上界的相对偏差分别为-1.4%、-3.1%及-16%，与下界的相对偏差分别为0.6%、3%及11%，钢管混凝土拱桥采用串-并联体系进行系统易损性分析明显更合理。

关键词

钢管混凝土拱桥 / 地震易损性 / 串-并联体系 / Copula函数 / 时程分析 / 神经网络 / 失效概率

Key words

concrete-filled steel tubular arch bridge / seismic vulnerability / series-parallel system / Copula function / time-history analysis / neural network / failure probability

地震易损性描述了结构的地震需求与抗震能力之间的关系^［1］，当结构的地震需求超过其抗震能力时，容易受到损伤或破坏。作为基于性能评估的重要组成部分^［2-3］，地震易损性的准确评估可有效揭示结构在不同地震需求下的表现，通过采取相应的抗震措施，降低地震导致的损失和风险。

对桥梁系统进行易损性分析时，首先通过概率地震需求分析建立对应构件的理论易损性曲线，再进一步得到构件体系和桥梁系统的易损性^［4］。对于复杂桥梁结构，任一构件损伤都会对桥梁系统整体功能造成影响^［5-6］，且桥梁系统易损性大于单一构件的易损性^［7-8］。因此，探索能够考虑多个变量相关性的桥梁系统易损性研究方法，已成为众多学者关注的热点问题。其中，CHEN等^［9］考虑了不同构件地震需求的相关性，对桥梁系统损伤概率进行推导时，提出了一种基于Copula函数的地震易损性方法。KIM等^［10］采用二阶可靠性方法评估了考虑构件相关性的桥梁系统易损性分析，与一阶可靠性方法相比，其可以得到更为准确的结果。GAO等^［11］将连续梁桥假定为不同构件组成的体系，引入了多元Copula函数来计算桥梁体系的地震易损性，避免了单一构件易损性分析导致的整体系统易损性评估精度低的问题。REN等^［12］提出了一种改进的条件边际（probabilistic conditional marginal，PCM）方法，并将该方法应用于桥梁体系的易损性分析中。何浩祥等^［13］提出将连续桥梁视作由不同构件组成的串联体系，并基于Copula函数求得了桥梁系统的地震易损性，研究表明，该串联体系具有较高的准确性。综上所述，目前桥梁系统的易损性分析现状总结如下：（1） 研究方法多样性（如一阶界限法、二阶界限法及Copula技术等）；（2） 构件相关性的选取（如构件线性相关、非线性相关及不考虑构件相关性）；（3） 组合形式多样性（如串联、并联及串-并联组合形式）。

近年来，国内外修建了大量的钢管混凝土拱桥，但针对该类桥梁的系统易损性研究成果不多。因此，本文通过对钢管混凝土拱桥的组合形式进行假设，将拱桥各关键体系之间进行串联，而体系中各个子构件则选择串联或并联的形式。通过时程分析和神经网络来预测拱桥地震响应值，获得单个构件的易损性后，采用Copula函数对同一体系不同构件及不同体系的相关性进行描述，进而得到桥梁系统的易损性。以某钢管混凝土拱桥为例，对该方法的适用性和准确性进行详细阐述，研究成果可为同类桥梁的地震易损性研究提供参考。

1 基本原理

1.1 神经网络方法

本文使用前馈神经网络（feedforward neural network，FNN）来预测拱桥地震响应值，以拱桥结构-地震动不确定性参数作为神经网络的输入数据，以通过时程分析（time-history analysis，THA）获取的地震响应值作为输出数据来训练神经网络。在FNN中，神经元按照层次结构排列，接收上一层的输入并生成输出传递给下一层。每个神经元都有一组权重和偏置，它们用于调整输入信号的权重和偏移量，从而影响神经元的激活状态。FNN的训练过程通常采用反向传播算法，该算法通过梯度下降的方法来最小化损失函数，从而使神经网络能够学习输入与输出之间的映射关系。

1.2 拱桥系统的串-并联体系

钢管混凝土拱桥中的关键构件包括桥墩、拱肋、立柱、风撑和吊杆。通过评估不同构件的损伤程度及震后修复情况，将这些构件的连接方式假设为串-并联组合形式。

首先，串联体系是指将关键构件的子构件作为串联的闭环连接起来。在拱桥中，桥墩系统和拱肋系统可以视作串联体系，桥墩系统和拱肋系统的损伤或倒塌将影响桥梁的震后使用性能。桥墩系统包括多个桥墩，它们按照一定的间距沿拱桥长度方向排列，并通过与拱肋连接形成一个闭环。拱肋系统作为拱桥的主要承重构件，由多个拱肋组成，这些拱肋与桥墩相连接，形成一个稳定的结构。通过这种串联的连接方式，拱桥能够承受桥面荷载并将其传递至桥墩系统上，从而确保桥梁的稳定性和承载能力。

其次，立柱系统、风撑系统和吊杆系统可视为并联体系，其子构件以并联的形式连接。在并联体系中单个子构件的损伤对体系影响较小，且容易修复。立柱系统由多个立柱组成，这些立柱与桥面系统、桥墩系统和拱肋系统相连接，起到支撑和稳定桥梁的作用。风撑系统和吊杆系统则起到提高桥梁刚度和稳定性的作用。这些系统中的子构件以并联形式连接，能够共同承担荷载，并通过并行的力传递路径来提高整个桥梁系统的稳定性。

综上所述，钢管混凝土拱桥中不同系统之间以串联的形式进行连接，而同一系统则可分为串联或并联形式连接。串联系统负责荷载的传递和结构的稳定性；而并联系统则负责整个桥梁系统的刚度和稳定性。这一假设不仅确保了拱桥能够有效承受荷载并保持稳定，还充分发挥了各构件的作用。钢管混凝土拱桥串-并联组合形式的基本原理如图1所示。

1.3 地震易损性分析

在进行地震易损性分析时，通常假设结构地震需求和抗震能力服从对数正态分布，对于桥梁的单个子构件，其地震易损性可表示为^［14］：

P_{\mathrm{f}} = P \left(D\ge C\left|I_{\mathrm{M}}\right.\right) = \Phi \left(\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}D\left|I_{\mathrm{M}}-\mathrm{l}\mathrm{n}C\right.}{\sqrt[]{{\beta }_{\mathrm{D}\left|\mathrm{I}\mathrm{M}\right.}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{C}}^{\mathrm{2}}}}\right) （1）

式中：Φ（·）为标准正态函数；D为随机地震作用下结构的地震需求；C为地震作用下结构的抗震能力；I _M为地震动强度指标；β _D|IM 、β _C分别为结构的地震需求和抗震能力对数标准差。

地震需求D和地震动强度I _M之间的关系可以描述为^［15］：

\mathrm{l} \mathrm{n} D \left|I_{\mathrm{M}}=b\mathrm{l}\mathrm{n}{I}_{\mathrm{M}}+\mathrm{l}\mathrm{n}a\right. （2）

式中：a、b为线性回归系数。

将式（2）代入式（1）中，P _f进一步表示为：

P_{\mathrm{f}} = \Phi \left(\frac{b\mathrm{l}\mathrm{n}{I}_{\mathrm{M}}+\mathrm{l}\mathrm{n}a-\mathrm{l}\mathrm{n}C}{\sqrt[]{{\beta }_{\mathrm{D}\left|\mathrm{I}\mathrm{M}\right.}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{C}}^{\mathrm{2}}}}\right) （3）

拱桥关键构件中桥墩系统和拱肋系统各个子构件采用串联体系，其地震易损性表达式为：

P_{\mathrm{串}} = {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cup }}} P_i （4）

式中：∪表示并集；P_i 为桥墩或拱肋系统中单个子构件的易损性。吊杆、立柱和风撑系统中每个子构件则采用并联的形式连接，其地震易损性表达式为：

P_{\mathrm{并}} = {\displaystyle \underset{j=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cap }}} P_j （5）

式中：∩表示交集；P_j 为并联体系中子构件的易损性。

联立式（4）及式（5），拱桥系统在串-并联体系下的地震易损性P _sy可以表示为：

\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{y}}=\bigcup \left(P_{\mathrm{桥墩}},P_{\mathrm{拱肋}},P_{\mathrm{立柱}},P_{\mathrm{风撑}},P_{\mathrm{吊杆}}\right)=\\ \bigcup \left({\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cup }}}{P}_{\mathrm{桥墩}},{\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cup }}}{P}_{\mathrm{拱肋}},{\displaystyle \underset{j=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cap }}}{P}_{\mathrm{立柱}},{\displaystyle \underset{j=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cap }}}{P}_{\mathrm{风撑}},{\displaystyle \underset{j=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cap }}}{P}_{\mathrm{吊杆}}\right)\end{array} （6）

1.4 Copula函数

在钢管混凝土拱桥中，由于桥墩、拱肋和风撑等构件在地震作用下相互影响，因此，不能简单地以单个构件的损伤概率来代替拱桥系统的地震易损性。为了准确表达构件之间的相关性，引入能够考虑多个变量相关性的Copula函数对拱桥系统进行地震易损性分析。

1.4.1 Copula函数的定义

已知随机变量X=（X ₁，X ₂，…，X_m ），假设m维联合分布函数F的边缘分布函数分别为F ₁，F ₂，…，F_m，对于任意x=（x ₁，x ₂，…，x_m ），存在Copula函数C满足：

F ( x_{\mathrm{1}} , x_{\mathrm{2}} , \cdots , x_m ) = C \left[F_{\mathrm{1}}(x_{\mathrm{1}}),F_{\mathrm{2}}(x_{\mathrm{2}}),\cdots ,F_m(x_m)\right] （7）

式中：F（x ₁，x ₂，…，x_m ）为多元变量的联合分布函数。

本文采用阿基米德族的Gumbel、Clayton及Frank Copula函数和椭球族的Gauss Copula函数作为备选的连接函数，以上Copula函数的表达式分别为^［16-17］：

C_{\mathrm{G}} ( u_{\mathrm{1}} , u_{\mathrm{2}} ; \alpha ) = \mathrm{e} \mathrm{x} \mathrm{p} \left\{-\left[(-\mathrm{l}\mathrm{n}{u}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{1}/\alpha }+(-\mathrm{l}\mathrm{n}{u}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}/\alpha }\right]\right\} （8）

C_{\mathrm{c}\mathrm{l}} ( u_{\mathrm{1}} , u_{\mathrm{2}} ; \theta ) = ( u_{\mathrm{1}}^{-\theta } + u_{\mathrm{2}}^{-\theta } {-\mathrm{1})}^{-\mathrm{1}/\theta } （9）

C_{\mathrm{F}} ( u_{\mathrm{1}} , u_{\mathrm{2}} ; \lambda ) = - \frac{\mathrm{1}}{\lambda } \mathrm{l} \mathrm{n} \left[\mathrm{1}+\frac{({\mathrm{e}}^{-\lambda u_{\mathrm{1}}}-\mathrm{1})({\mathrm{e}}^{-\lambda u_{\mathrm{2}}}-\mathrm{1})}{{\mathrm{e}}^{-\lambda }-\mathrm{1}}\right] （10）

\begin{array}{l}C(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}};\rho )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(u_{\mathrm{1}})}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{{\Phi }^{-\mathrm{1}}(u_{\mathrm{2}})}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\mathrm{1}-{\rho }^{\mathrm{2}}}}·\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[\frac{-\left(r^{\mathrm{2}}+s^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\rho rs\right)}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-{\rho }^{\mathrm{2}})}\right]\mathrm{d}r\mathrm{d}s\end{array} （11）

式中：α、θ、λ和ρ分别为Gumbel、Clayton、Frank和Gauss Copula函数的相关参数。

1.4.2 Copula函数选取与检验

不同Copula函数的相关结构具有一定差异，需选择合适的Copula函数对变量之间的相关性进行描述。本文结合不同Copula函数的特点及不同构件边缘分布频数直方图进行选择，借助平方欧式距离d ²对不同Copula函数进行检验。首先，采用极大似然估计法计算Copula函数的相关参数。极大似然估计法的表达式为：

\widehat{\alpha } = \mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{g} \mathrm{m} \mathrm{a} \mathrm{x} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n} \mathrm{l}\mathrm{n}c(u_{\mathrm{1}i},u_{\mathrm{2}i},\cdots ,u_{ni} , \alpha ) （12）

式中：c为Copula函数的概率密度函数；α为相关参数；u为变量的边缘分布。

确定Copula函数的相关参数后，对样本经验Copula函数进行定义，其表达式为：

\widehat{C} ( u , v ) = \frac{\mathrm{1}}{n} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n} I\left[F_n\left(x_i\right)\le u\right]I \left[G_n\left(y_i\right)\le v\right] （13）

式中： \widehat{C} ( u , v )为经验Copula函数，u、v为经验Copula函数的自变量；I（.）为示性函数。进一步求得平方欧式距离d ²，其表达式为：

d^{\mathrm{2}} = {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n} {\left|{\widehat{C}}_n(u,v)-C(u,v)\right|}^{\mathrm{2}} （14）

1.4.3 基于Copula函数的系统易损性

通过对Copula函数的选取与检验，选择最佳Copula函数来考虑构件之间的相关性。两个构件同时失效的概率为：

\begin{array}{l}P\left[g_{\mathrm{1}}(X)\le \mathrm{0},g_{\mathrm{2}}(X)\le \mathrm{0}\right]\\ =P\left\{F_{\mathrm{1}}\left[g_{\mathrm{1}}(X)\right]\le F_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),F_{\mathrm{2}}\left[g_{\mathrm{2}}(X)\right]\le F_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})\right\}\\ =C\left[F_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),F_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})\right]\\ =C(P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}})\end{array} （15）

式中：g（X）为构件的功能函数。因此，多个构件同时失效的易损性表示为：

P \left(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}},\cdots ,X_n\right) = C ( P_{\mathrm{1}} , P_{\mathrm{2}} , \cdots , P_n ) （16）

对于串联系统，其地震易损性可表示为：

\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{y}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}P(X_{\mathrm{1}})-\sum _{\mathrm{1}\le i\le j\le m}P(X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}})+\\ \sum _{\mathrm{1}\le i\le j\le k\le m}P(X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{3}})+\cdots +\\ (-\mathrm{1})m^{-\mathrm{1}}P(X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}\cdots X_m)\end{array} （17）

式中：X_m 为串联系统中的随机变量。并联系统的易损性表示为：

P_{\mathrm{s}\mathrm{y}} = P ( X_{\mathrm{1}} X_{\mathrm{2}} \cdots X_n ) （18）

式中：P（…）为多个构件同时破坏的概率；X_n 为并联系统中的随机变量。

2 钢管混凝土拱桥分析模型及不确定性

2.1 工程概况及有限元建模

本文以某钢管混凝土拱桥为实例，主桥中跨、次边跨、边跨的跨度分别为188 m、138 m和36 m，矢高分别为54 m、28 m和7 m。上弦杆、下弦杆、腹杆、风撑、拱上立柱均采用Q345钢，其中，上弦杆、下弦杆和拱上立柱内部填充C50混凝土。拱桥中跨和次边跨风撑数量分别5道和3道，风撑采用钢管桁架结构，与拱圈刚性连接。

基于midas Civil平台建立拱桥数值模型，其中吊杆和系杆采用桁架单元模拟，桥面板采用板单元模拟，桥墩、拱上立柱、拱肋等采用非线性梁单元模拟。拱肋和拱上立柱等钢和混凝土叠合材料按照“统一理论”换算为一种材料，钢材采用双折线模型^［18］，混凝土采用Mander模型^［19］，如图2所示，不考虑桩-土-结构相互作用。拱桥结构采用Rayleigh阻尼，阻尼比取0.03^［20］。全桥节点共12 338个，单元共15 473个，拱桥计算模型如图3所示。

2.2 结构不确定性

钢管混凝土拱桥结构的不确定性可分为材料和几何尺寸两个方面。材料不确定性主要包括钢材屈服强度、弹性模量以及混凝土抗压强度和吊杆弹性模量等关键参数。几何尺寸的不确定性主要涉及拱上立柱、风撑和弦杆等构件的壁厚和直径。表1所示为拱桥结构不确定性的主要参数概率分布^［21-24］。

2.3 地震动不确定性

考虑到桥梁结构所受地震动的随机性，在进行地震响应分析时，需要重视地震动的不确定性。使用较多的地震动记录可以更好地反映地震动的变化和不确定性，从而得到更准确的分析结果。本文从NGA-West2强震数据库中选择了120组地震动记录，以满足概率统计分析的要求。地震动记录应涵盖广泛的地震参数，如震级、震中距和持时等，以较为真实地反映不同地震情况。本文采用地面峰值加速度作为地震动强度指标。地震动的加速度反应谱和主要参数统计情况如图4所示。

3 构件损伤状态定义及Copula函数选取

3.1 损伤状态定义

在地震作用下，拱桥桥墩、拱肋和拱上立柱等结构容易产生压弯破坏，参考文献［25-26］的研究，本文采用曲率延性比μ对拱桥压弯构件的损伤指标进行定义，而吊杆则采用地震作用下和自重状态下的轴向应变比作为损伤指标，轻微、中等和严重损伤对应的轴向应变比取值分别为2.00、2.25和2.50^［27］。通过有限元软件得到拱桥压弯构件的M-ϕ曲线，进而确定不同损伤状态对应的曲率。图5为拱上立柱的弯矩-曲率曲线。

对于单一构件，其截面弯矩和曲率的关系为：

\varphi = \frac{M}{EI} （19）

式中：ϕ为曲率；M为截面弯矩；EI为抗弯刚度。对于钢管混凝土材料，其抗弯刚度EI可表示为：

E I = E_{\mathrm{s}} I_{\mathrm{s}} + \mathrm{0.6} E_{\mathrm{c}} I_{\mathrm{c}} （20）

式中：E _s、E _c分别为钢管和混凝土的弹性模量；I _s、I _c分别为钢管和混凝土的截面惯性矩。

通过时程分析得到各构件的截面弯矩，由式（19）求出对应的曲率。其中，曲率延性比μ为研究对象危险截面对应曲率ϕ与该构件首次屈服时的曲率ϕ {}_{\mathrm{y}}^{\mathrm{\text{'}}}的比值，即：

\mu = \frac{\varphi }{{\varphi }_{\mathrm{y}}^{\mathrm{\text{'}}}} （21）

根据μ值来划分各损伤等级，如表2所示。

3.2 最佳Copula函数的选取

本文选择拱桥各构件损伤指标作为分析依据，采用图形法初步选取合适的Copula函数。图6给出了拱肋和拱上立柱以及拱肋和吊杆的二维频数直方图。

从图6可以看出，不同构件组合的频数直方图呈现出非对称的尾部特性，且下尾部相关性较为明显，而Clayton-Copula函数可以迅速地感知具有下尾部相关性的随机变量间的相依结构。在检验过程中，计算得到拱肋和拱上立柱的经验Copula函数与Gauss、Frank、Gumbel和Clayton-Copula函数的平方欧式距离分别为0.410 8、0.550 3、0.804 0和0.315 4。因此，结合频数直方图和平方欧式距离的检验结果，选择Clayton-Copula函数来描述拱桥各构件之间的相关性。图7给出了拱肋和拱上立柱的Clayton-Copula概率密度分布。

4 拱桥地震易损性分析

4.1 基于THA和FNN的构件地震易损性曲线对比

本文使用拉丁超立方抽样生成120个拱桥结构样本，并与120组地震动进行随机组合，形成拱桥结构-地震动样本对，其中，60组样本对用于时程分析，剩余60组样本通过FNN预测得到拱桥构件的地震响应值。取A _PG为易损性曲线的自变量，由式（3）建立拱桥各关键构件的子构件在不同损伤状态下对应的易损性曲线。限于篇幅，图8仅列出拱肋、拱上立柱和吊杆系统中最易受损的单个子构件的易损性曲线。

如图8所示，对FNN预测获取的拱桥地震响应值进行损伤分析，所得的易损性曲线与时程分析得到的易损性曲线具有很好的一致性。在拱桥各构件中，拱上立柱单个构件的失效概率最高，拱肋和吊杆构件均具有较好的抗震性能。

图9给出了中等损伤状态下拱肋、拱上立柱和吊杆在时程分析与FNN预测结果下的相对误差。结果表明，当A _PG<0.6g时，吊杆和拱肋的相对误差偏大，拱上立柱的相对误差则偏小。当A _PG=0.3g时，FNN预测结果与时程分析结果的相对误差小于20%，当A _PG=0.4g时，二者的相对误差则小于10%，且随着A _PG的增加，各构件对应的相对误差逐渐减小，表明FNN预测具有较高的准确性，适用于拱桥构件的易损性分析研究。

4.2 构件体系易损性

通过时程分析和FNN预测得到拱桥各构件的地震响应值，再根据式（3）求出对应构件的地震易损性值，在此基础上，结合式（17）、（18）分别求出串联系统和并联系统对应关键构件的体系易损性曲线，如图10所示。

由图10可以看出，拱桥各构件体系易损性分析中，拱上立柱体系最容易发生损坏，而风撑体系的失效概率最低。当A _PG=0.1g时，拱上立柱体系轻微损伤和中等损伤的失效概率分别为41%、24%，当A _PG=0.3g时，对应的失效概率分别为97%、91%，故应对拱上立柱采取必要的减隔震措施。当A _PG=1.0g时，风撑体系轻微损伤的失效概率不足0.1%，故在进行拱桥系统地震易损性分析时可以忽略风撑体系的影响。

图11给出了中等损伤状态下拱桥各体系易损性与对应子构件易损性的变化情况，其中，吊杆体系的变化较为明显，而立柱体系的变化并不显著。拱肋和桥墩体系的失效概率大于对应单个构件的失效概率，而立柱和吊杆体系则相反。随着A _PG的增加，各构件易损性与相应体系易损性之间的变化率逐渐减小。

4.3 拱桥系统易损性

得到拱桥桥墩、拱肋、立柱及吊杆体系的易损性后，结合式（17）建立基于Copula函数的拱桥串-并联体系系统易损性曲线，并与基于一阶界限法得到的系统易损性进行对比，如图12所示。

一阶界限法的下界假定各构件体系之间完全相关，上界则忽略构件体系之间的相关性^［28］，其表达式为：

\stackrel{n}{\underset{x=\mathrm{1}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}} \left[P_x\right] \le \left[P_{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}\right] \le \mathrm{1} - {\displaystyle \prod _{x=\mathrm{1}}^n} \left[\mathrm{1}-P_x\right] （22）

式中：P_x 为构件体系x的失效概率；P _sys为拱桥系统的失效概率；n为构件体系的数量。

由图12可知，4种破坏状态下，基于Copula函数的拱桥串-并联体系系统易损性曲线介于一阶界限法得到的易损性曲线的上、下界之间。当A _PG=0.1g时，轻微、中等和严重损伤对应的串-并联体系下的失效概率分别为49.4%、30.1%和0.3%，与一阶界限法上界的相对偏差分别为-32%、-38%和-43%，与下界的相对偏差分别为9%、27%和28%。当A _PG=0.3g时，串-并联体系系统失效概率对应轻微、中等和严重损伤状态下的概率分别为98%、94%和25%，与一阶界限法上界的相对偏差分别为-1.4%、-3.1%和-16%，与下界的相对偏差分别为0.6%、3%和11%。

综上所述，拱桥串-并联体系系统的易损性接近于一阶界限法的下界，若忽略拱桥各体系之间的相关性，则会高估拱桥整体系统的易损性。反之，若假定拱桥各体系之间完全相关，则会低估拱桥整体系统的易损性。

5 结论

本文将钢管混凝土拱桥系统视为串-并联体系，通过时程分析和FNN预测得到拱桥结构地震响应值，分别基于Copula函数和一阶界限法对拱桥系统进行系统易损性研究，主要结论如下：

（1） 拱桥各构件地震响应值对应的损伤指标频数分布图中，下尾部相关性较为明显，故采用Clayton-Copula函数对拱桥各构件之间的相关性进行描述比较合适。

（2） 采用FNN预测的地震响应值进行构件易损性分析能够获得较高的准确性，且随着地面峰值加速度的增大，准确性不断提高。

（3） 在拱桥各构件体系中，拱上立柱体系的失效概率最高，其次分别为拱肋体系、桥墩体系、吊杆体系和风撑体系，抗震设计时应对拱上立柱构件采取减隔震措施，可以忽略风撑体系对拱桥系统易损性的影响。

（4） 拱桥立柱体系和吊杆体系的易损性小于其对应单个构件的易损性，而桥墩体系和拱肋体系的易损性则要大于其对应单个构件的易损性，各体系易损性和对应构件易损性的变化率随着地面峰值加速度的增加而减小。

（5） 采用一阶界限法进行拱桥系统易损性分析时，假定拱桥各体系之间完全相关，会低估拱桥整体系统的易损性，而忽略拱桥各体系之间的相关性，则会高估拱桥整体系统的易损性。显然，采用基于Copula函数的拱桥串-并联体系进行系统易损性分析比较合理。

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基金资助

辽宁省复杂结构系统灾害预测与防治重点实验室开放基金项目(DLSZD2024［003］)