风压系数特性对风荷载超越概率和结构失效概率的影响

Effects of Wind Pressure Coefficient Characteristics on Wind Load Exceedance Probability and Failure Probability of Structure

摘要

为明确风压系数样本大小、参数估计方法、概率分布类型等对风荷载超越概率和结构失效概率的影响规律，本文定量分析了风压系数特征变量对结构风荷载超越概率和结构失效概率的影响，采用蒙特卡洛方法和可靠度校准方法开展了风荷载超越概率和结构失效概率估计研究。结果表明：低重现期设计风荷载较高重现期设计风荷载而言，对风压系数样本量敏感性更低，低重现期和高重现期设计风荷载超越概率的平均值和标准差都会随着风压系数样本量的增加而逐渐变小；低重现期时，在57%与78%两种特殊分位值下的设计风荷载超越概率的平均值和标准差都大于随机分位值下的结果，在小样本时，建议风压系数采用78%分位值计算设计风荷载；在样本量足够的情况下，依据Gumbel分布拟合风压系数来进行结构设计会更加安全；采用L矩法进行风压系数概率分布参数估计，在小样本情况下对于Gumbel分布和广义极值（GEV）分布均具有较快的超越概率收敛能力；与风速相比，风压系数的样本量对风荷载超越概率影响更小，建议风洞试验采样及相关极值统计的风压系数样本量不小于10；在相同样本量下，风荷载与恒荷载的比值越大，结构失效概率平均值和标准差越高，结构越趋于危险；在确定的风荷载与恒荷载比值下，采用极大似然法（MML）且样本量大于10时，对结构失效概率和可靠度的估计结果偏差较小。研究成果可为风压系数的采样设置、概率统计拟合以及设计风荷载的可靠度校准提供参考。

Abstract

The influence of sample size， parameter estimation methods， probability distribution types on exceedance probability of design wind load， and structural failure probability is not yet clear. For evaluating the effects of wind pressure coefficient characteristics on the exceedance probability and structural failure probability， the Monte Carlo method and reliability calibration method are used to estimate these probabilities. The results indicate that low return period design wind loads are less sensitive to the sample size of wind pressure coefficients compared to those with high return periods. Both the mean and standard deviation of the exceedance probability decrease gradually as the sample size increases. During the low return period， the mean and standard deviation of the design wind load exceedance probability at two special percentile values of 57% and 78% are greater than those at random percentile values. For small samples， it is recommended to use the 78% percentile value of the wind pressure coefficient to calculate the design wind load. When the sample size is sufficient， fitting the wind pressure coefficient based on the Gumbel distribution is safer for structural design. Applying the L-moment method to estimate the probability distribution parameters of wind pressure coefficients has a rapid convergence ability for both Gumbel and GEV distributions in small sample sizes. Compared with wind speed， the sample size of wind pressure coefficient has a smaller impact on wind load exceedance probability. It is recommended that the sample size for wind tunnel test and related extreme value statistical wind pressure coefficient should not be less than 10. Under the same sample size， the larger the wind-to-dead load ratio， the higher the mean and standard deviation of structural failure probability， making the structure more dangerous. Under a specific wind-to-dead load ratio， the maximum likelihood estimation method is used， and the sample size greater than 10 has little impact on the estimation of structural failure probability and reliability. The research results can provide a reference for wind pressure coefficient sampling， probability statistical fitting， and reliability calibration of design wind load.

Graphical abstract

关键词

风压系数 / 概率分布 / 样本量 / 风荷载 / 超越概率 / 结构失效概率 / 可靠度

Key words

wind pressure coefficient / probability distribution / sample size / wind load / exceedance probability / structural failure probability / reliability

结构风荷载设计值由风荷载标准值与风荷载分项系数组合确定^［1］。风荷载标准值由基本风速、风压系数等经由概率统计方法共同确定^［2］。假定基本风速、风压系数服从某一概率分布，进而根据结构可靠度理论，依据目标可靠度可确定风荷载分项系数，此过程称为设计风荷载的可靠度校准^［3］。例如，我国《建筑结构可靠性设计统一标准》（GB 50068—2018）^［4］规范对设计风荷载进行了可靠度校准；MCALLISTER等^［5］对ASCE 7-16规范设计风荷载进行可靠度校准后，建议采用高重现期设计风荷载；BARTLETT等^［6-7］针对加拿大国家建筑规范^［8］中50年回归期的年最大小时平均风速计算风荷载标准值方法进行了可靠度校准，校准后的风荷载分项系数为1.4。在可靠度校准或结构失效概率计算过程中，风荷载各随机变量样本大小对概率分布拟合、超越概率大小，以及结构的失效概率或可靠度均有不同程度的影响，结构风振疲劳可靠性分析是结构设计及使用中的一个重要环节^［9］。为使得基本风速、风压系数等变量对风荷载超越概率、结构失效概率、可靠度指标的影响最小，需选取适量的统计数据、适当的概率分布类型、合适的参数估计方法进行概率分布拟合和参数估计。年极值风速的近似概率分布模型种类较多，包括Gumbel分布、Weibull分布、Rayleigh分布、广义Pareto分布、Gamma分布和对数正态分布等，研究结果表明年极值风速主要服从Gumbel分布、广义极值分布（GEV）^［10-11］。FRANK^［12］和PETERKA等^［13］采用Gumbel分布来模拟年极值风速概率分布。HONG等^［14］对多个加拿大站点的年极值风速统计进行研究，结果表明大部分站点趋近于Gumbel分布，部分站点选取GEV分布效果更好。黄铭枫等^［15］估算了9个我国东南沿海城市不同重现期下的极值风速，发现广义极值分布（Ⅲ型）能更好地描述极值风速统计特征。常用的极值分布参数估计方法有L矩法（L-Moment）、广义最小二乘法（GLSM）、极大似然估计法（MML）、矩估计法（MOM矩量法），HOSKING^［16］和HONG^［17］研究了不同参数估计方法对极值风速概率分布拟合的适用性，结果表明广义最小二乘法具有较好的适用性。针对风荷载变量中的极值风速，HONG等^［18］研究了年极值风速样本量对风荷载超越概率、结构失效概率的影响，认为在拟合风速概率分布时宜采用大于20年以上的数据。但目前关于风压系数样本量对风荷载超越概率及结构失效概率的影响，尚未形成明确结论。

我国当前规范采用低重现期方法确定结构设计风荷载。在设计风荷载计算过程中，既可采用高重现期方法，又可采用低重现期方法，但最终二者在风荷载各随机变量的组合下需能实现同样的目标可靠度。本文考虑结构设计风荷载高低重现期效应，采用蒙特卡洛方法和可靠度校准方法^［19-21］，研究风压系数样本量、概率分布类型、参数估计方法对风荷载超越概率以及结构失效概率的影响，旨在确定合适的风压系数样本量取值，以及不同概率分布类型下合适的参数估计方法，其结果可用于风压系数采样设置、概率统计和设计风荷载可靠度校准等方面，也可为相关规范确定风压系数样本大小、选取参数估计方法提供指导。

1 样本量对风荷载超越概率的影响

1.1 刚性结构全概率极值风荷载

刚性结构10 min极值风荷载X可表示为：

X=\mathrm{0.5}\rho U^{\mathrm{2}}C（1）

式中：ρ为空气密度；U为设计风速；C为风压系数。为了确定极值风荷载X的年最大值概率分布，可基于X母体概率分布计算方法，由全概率定理可得极值风荷载X的概率分布函数F_X(x)如下：

F_X(x)={\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }{f}_U(u){\Psi }_C\left[x/(\mathrm{0.5}\rho u^{\mathrm{2}})\right]\mathrm{d}u（2）

式中：{\Psi }_C(c)为风压系数C累积概率分布函数。

极值风荷载X的年最大值累积概率分布函数可表示为：

{\Psi }_X(x)={\left[F_X(x)\right]}^n（3）

式中：n为每年中的10 min极值风荷载独立数目。假设风荷载年最大值发生在一年中风速最强的时刻，根据全概率定理，年最大风荷载的累积分布函数如下：

{\Psi }_X(x)={\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }{\psi }_U(u){\Psi }_C\left[x/(\mathrm{0.5}\rho u^{\mathrm{2}})\right]\mathrm{d}u（4）

式中：{\psi }_U(u)是年最大风速的累积分布函数。因此，在确定年最大风速和风压系数概率分布的基础上可由蒙特卡洛方法确定刚性结构的全概率极值风荷载。

1.2 站点年极值风速统计

设计风速主要根据气象站长期实测风速的统计模型确定^［22］。当前我国规范对于年极值风速主要采用Gumbel分布模型；MO等^［23］对151个气象站点风速数据开展了极值分析，结果同样表明78%的站点年最大风速用Gumbel分布拟合效果要优于用广义极值（GEV）分布拟合效果，且年最大风速变异系数变化范围为0.05~0.30，变异系数平均值为0.138；约90%的站点年最大风速变异系数为0.1~0.2。我国现行规范中，结构设计风荷载假定风荷载系数极值为确定性变量，风荷载重现期取50年。事实上，在指定目标可靠度下风荷载标准值和荷载分项系数组合并非唯一，即风荷载重现期可灵活选取。在加拿大国家建筑规范^［8］中采用了低重现期T_{\mathrm{L}}为50年的极值风速V_{T_{\mathrm{L}}}来计算风荷载标准值，其对应的荷载分项系数{\alpha }_{\mathrm{w}}=1.4；美国ASCE 7-16规范中的设计风荷载则采用高重现期T_{\mathrm{H}}年极值风速V_{T_{\mathrm{H}}}和荷载分项系数{\alpha }_{\mathrm{w}}=1二者联合确定设计风荷载。通过这一点可以建立低重现期T_{\mathrm{L}}和高重现期T_{\mathrm{H}}之间的联系：

F(\sqrt[]{{\alpha }_{\mathrm{W}}}{V}_{T_{\mathrm{L}}};\theta )=F(V_{T_{\mathrm{H}}};\theta )（5）

在中国规范中，荷载分项系数{\alpha }_{\mathrm{w}}=1.5，低重现期T_{\mathrm{L}}=50年。从式（5）可以得到：

\sqrt[]{{\alpha }_{\mathrm{W}}}{V}_{T_{\mathrm{L}}}=V_{T_{\mathrm{H}}}（6）

风荷载X是一个Gumbel变量，由此可得：

T=\mathrm{1}/Q（7）

\begin{array}{l}Q=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(\sqrt[]{{\alpha }_{\mathrm{W}}}-\mathrm{1}\right)\times \left(\mathrm{1.282}\mathrm{6}/{\tau }_{\mathrm{V}}-\mathrm{0.572}\mathrm{2}\right)+\right.\right.\\ \left.\left.\sqrt[]{{\alpha }_{\mathrm{W}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(-\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}-\mathrm{1}/T_{\mathrm{L}}\right)\right)\right)\right]\end{array}（8）

式（8）中低重现期T_{\mathrm{L}}=50年，{\alpha }_{\mathrm{w}}和{\tau }_{\mathrm{V}}分别为荷载分项系数和风速变异系数，结合我国规范中不同的荷载分项系数与不同地区的风速变异系数进行组合，可得到实现相同目标可靠度对应的不同高重现期，计算结果如表1所示。

1.3 极值风速和风压系数为Gumbel分布时样本量对风荷载超越概率的影响

1.3.1 风压系数样本量对高重现期设计风荷载超越概率的影响

假定风速和风压系数为Gumbel分布，风速变异系数取0.10，风压系数变异系数取0.16，荷载分项系数为1.5，由表1可得50年低重现期对应的高重现期为1 868年。设计风荷载超越概率可以根据以下步骤来进行计算：

① 生成n₁个服从指定分布的风速样本V （样本数n₁为1 000 000）；

② 生成n₂个服从指定分布的风压系数样本C （样本数n₂为3、7、10、20、30、40、50）；

③ 估计风速V的分布参数；

④ 估计风压系数C的分布参数；

⑤ 生成大样本容量的风速样本V（样本数为1 000 000）；

⑥ 生成大样本容量的风压系数样本C（样本数为1 000 000）；

⑦ 计算风荷载0.5ρCV²，ρ为空气密度取1.25 kg·m^-3；

⑧ 得到考虑样本量影响的1/1 868分位值；

⑨ 计算⑧得到的分位值在原来指定分布中的超越概率；

⑩ 重复①~⑨步骤共5 000次，求超越概率的平均值和根方差。

选取风压系数为57%分位值、78%分位值与随机分位值三种情况对应的超越概率来进行对比，取风效应是1/1 868的超越概率分位值，得出5 000次采样结果的超越概率平均值与标准差如图1所示。

由图1可以看出，高重现期时，在57%与78%两种典型分位值下设计风荷载超越概率的平均值和标准差都大于随机分位值下的结果，且超越概率的平均值和标准差都会随着风压系数样本量的增加而逐渐变小，即基于随机分位数和大样本风压系数得到的设计风荷载，对应的结构设计更安全。在风压系数样本量由0增加到10这个区间时，超越概率变化现象最为明显；当样本量大于10之后超越概率的平均值与标准差变化趋于平稳。当风压系数的样本量小于7时，57%分位值的超越概率要大于78%分位值的超越概率，但均为下降趋势。当样本量达到7时，由57%风压系数分位值和78%风压系数分位值得到的风荷载超越概率基本相同。因此，在小样本时，建议采用78%风压系数分位值计算设计风荷载。

1.3.2 风压系数样本量对低重现期设计风荷载超越概率的影响

假定风速的变异系数取0.10，风压系数的变异系数取0.16。设计风荷载超越概率可以根据以下步骤来进行计算：

① 生成n₁个服从指定分布的风速样本V （样本数n₁为10e6）；

② 生成n₂个服从指定分布的风压系数样本C （样本数n₂为3、7、10、20、30、40、50）；

③ 估计风速V的分布参数；

④ 估计风压系数C的分布参数；

⑤ 生成大样本容量的风速样本V （样本数1 000 000）；

⑥ 生成大样本容量的风压系数样本C （样本数1 000 000）；

⑦ 计算风荷载0.5ρCV²；

⑧ 得到考虑样本量影响的1/50分位值；

⑨ 计算⑧得到的分位值在原来指定分布中的超越概率；

⑩ 重复①~⑨步骤共5 000次，求超越概率的平均值和根方差。

仍然选取风压系数为57%分位值、78%分位值与随机分位值三种情况对应的超越概率来进行对比，取风效应是1/50的超越概率分位值，得出的5 000次采样结果的超越概率平均值与标准差如图2所示。

由图2可以看出，低重现期时，在57%分位值与78%分位值两种典型分位值下的设计风荷载超越概率的平均值和标准差都大于随机分位值下的结果，且超越概率的平均值和标准差都会随着风压系数的样本量的增加而逐渐变小，即基于随机分位数和大样本风压系数得到的设计风荷载，对应的结构设计更安全。风压系数样本量从0增加至10的区间内，超越概率的变化最为显著且可能存在波动；当样本量大于10之后超越概率的平均值与标准差基本趋于平稳。相比高重现期而言，相同条件下确定分位数的低重现期下设计风荷载超越概率稍小于高重现期下设计风荷载超越概率。同样，在小样本时，建议采用78%风压系数分位值计算设计风荷载。

1.4 概率分布类型和参数估计方法对低重现期设计风荷载超越概率的影响

为研究风压系数分别服从Gumbel分布和广义极值（GEV）分布时，概率分布类型对风荷载超越概率的影响，采用L矩法、极大似然估计法、MOM矩量法三种参数估计方法来估计概率分布参数，研究不同概率分布类型对风荷载超越概率平均值和标准差的影响规律。图3给出了在两种不同的概率分布类型、三种不同参数估计方法下求得的风荷载超越概率的平均值和标准差随风压系数样本量的变化规律。

从图3中可以看出，在样本量小于10的时候，GEV分布下的风荷载超越概率要小于Gumbel分布下的风荷载超越概率；随着样本量的增加，风荷载超越概率逐渐变小，最终Gumbel分布下的超越概率稳定在了0.000 75左右，而GEV分布下的超越概率稳定在了0.001左右，可以看出在样本量足够的情况下，基于风压系数服从Gumbel分布的设计结构更加安全。从参数估计方法的影响来看，在L矩法、MOM矩量法、极大似然估计法三种参数估计方法中，L矩法被再次证明是不错的选择，在小样本时对于Gumbel分布和GEV分布均有较快的超越概率收敛能力。对于风荷载超越概率的标准差，GEV分布下的标准差始终小于Gumbel分布下的标准差；GEV分布下L矩法与MOM矩量法计算得到的风荷载超越概率标准差结果相差不大，均小于极大似然估计法的计算结果；Gumbel分布下，三种参数估计方法的标准差结果几乎一致，表明不同参数估计方法对超越概率计算结果的稳定性影响相近。

1.5 不同风压系数变异系数-风速变异系数组合对低重现期设计风荷载超越概率的影响

为研究几种不同风压系数变异系数-风速变异系数组合下风压系数样本量大小对风荷载超越概率的影响，选取三组变异系数组合开展计算：（1） V_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.10，C_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.25；（2） V_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.10，C_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.16；（3） V_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.15，C_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}=0.25，分别计算不同风压系数样本量大小下风荷载超越概率的平均值与标准差。在这三种不同的变异系数组合下得出的风荷载超越概率结果如图4所示。由图4可以看出，风压系数和风速变异系数越大，风荷载的超越概率平均值与标准差越大，当风速的变异系数保持0.1不变，风压系数的变异系数由0.16变为0.25后，风荷载超越概率的平均值变大，即相同风速变异系数下风压系数变异系数越大风荷载超越概率越大；然而当保持风压系数的变异系数为0.25不变，风速变异系数由0.1变为0.25后，超越概率平均值变大，且增大幅值比改变风压系数变异系数时的结果的增大幅值大很多，由此可以看出与风压系数变异系数相比，风速变异系数对风荷载超越概率的影响更大；小样本对低风速变异系数-低风压系数变异系数工况的影响，小于其他工况；当样本量大于10时，不同组合工况的计算结果均趋近于大样本工况的计算结果，误差小于10%。

2 样本量对结构失效概率的影响

2.1 不同风荷载和恒荷载比值下样本量对结构失效概率的影响

由恒荷载与风荷载组合控制下的结构极限状态函数为：

g=\frac{X_{\mathrm{R}}}{{\gamma }_{\mathrm{R}}}-\frac{\mathrm{1}}{({\alpha }_{\mathrm{D}}+{\alpha }_{\mathrm{W}}{R}_{\mathrm{W}/\mathrm{D}})}(X_{\mathrm{D}}+\frac{R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}{\mu }_{\mathrm{s}}{\mu }_{\mathrm{z}}(V_{\mathrm{50}}{)}^{\mathrm{2}}}{\beta })（9）

式中：{\gamma }_{\mathrm{R}}为抗力系数，取值为0.9；{\alpha }_{\mathrm{D}}为恒载系数，取值为1.3；{\alpha }_{\mathrm{W}}为风荷载系数，取值为1.5；R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}为设计风荷载与设计恒载的比值，分别取0.3、1、5；{\mu }_{\mathrm{s}}为风压系数；{\mu }_{\mathrm{z}}为高度变化系数，取值为0.9；\beta为风振系数，取值为1.1。其中平均抗力与标准抗力之比抗力因子X_R被认为是一个对数正态变量，X_R的平均值为1.17，变异系数为0.11，抗力系数为0.9。假定恒载D服从正态分布，平均恒载与标准恒载之比X_D的平均值为1.05，变异系数为0.10，V₅₀为50年重现期平均风荷载与标准风荷载的比值。

结构失效概率可以根据以下步骤来进行评估：

① 生成n₁个服从指定分布的风速V样本（样本数为1 000 000）；

② 生成n₂个服从指定分布的风压系数{\mu }_{\mathrm{s}}样本（样本数为3、7、10、20、30、40、50）；

③ 估计风速V的分布参数；

④ 估计风压系数{\mu }_{\mathrm{s}}的分布参数；

⑤ 生成大样本容量的风速V样本（样本数为1 000 000）；

⑥ 生成大样本容量的风压系数{\mu }_{\mathrm{s}}样本（样本数为1 000 000）；

⑦ 根据均值与变异系数生成X_{\mathrm{R}}、X_{\mathrm{D}}的大样本；

⑧ 由式（8）来计算结构的失效概率，当g≤0时结构失效；

⑨ 重复①~⑧步骤共5 000次，求5 000次失效概率的平均值、标准差及可靠指标。

在③、④两步中，需要估计风速与风压系数的分布参数，在三种不同的风压系数参数估计方法下，研究不同的R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}及样本量对结构失效概率的影响，其结构失效概率及可靠指标计算结果如图5所示。由图5可以看出，结构失效概率的平均值和标准差均随着样本量的增加而减小，在小样本下结构的失效概率与大样本下结构的失效概率偏差较大。在相同样本量下，R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}的值越大，结构失效概率的平均值和标准差越高。对比几种不同参数估计方法可发现，基于极大似然估计法估计风荷载参数可得到的结构失效概率最接近于大样本条件下结构失效概率的结论，当样本量大于10以后，基于极大似然估计法估计的结构失效概率与大样本条件下结构失效概率偏差小于20%。

2.2 不同风压系数的变异系数下样本量对结构失效概率的影响

本节研究不同风压系数变异性以及参数估计方法下风压系数样本量对结构失效概率的影响。R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}取固定值为1，风压系数的变异系数取0.3、0.4、0.5，计算得到结构失效概率的平均值与标准差及结构可靠指标结果如图6所示。由图6可以看出风压系数的变异系数越大，结构失效概率的平均值和标准差越高，二者均随着样本量的增加而减小；对于变异系数较大时，需要更大的样本量才能使结构失效概率的计算结果趋于稳定。在样本量较小时，极大似然估计法计算得到的结构失效概率均值始终小于另外两种参数估计方法的计算结果；当样本量大于10以后，基于极大似然估计法计算的结构失效概率与大样本结构失效概率偏差小于20%。

3 结论

本文从风压系数分位数取值、参数估计方法、概率分布类型、风速-风压系数的变异系数组合角度出发，研究了风压系数样本量对风荷载超越概率的影响；从R_{\mathrm{W}/\mathrm{D}}取值、风压系数的变异系数取值等角度出发，研究了风压系数样本量对结构失效概率和可靠度的影响，主要结论如下：

（1） 低重现期设计风荷载对风压系数样本量的敏感性低于高重现期设计风荷载对风压系数样本量的敏感性，相同条件下低重现期设计风荷载的超越概率更小。

（2） 在57%分位值与78%分位值两种特殊分位值下的设计风荷载超越概率的平均值和标准差都大于随机分位值下的结果，小样本条件下，建议采用78%风压系数分位值计算设计风荷载。

（3） 风压系数服从Gumbel分布时得到的风荷载超越概率均值小于风压系数服从GEV分布时得到的计算结果，样本量充足时基于Gumbel分布开展结构设计更具安全性。

（4） 采用L矩法进行风压系数概率分布参数估计，对风荷载超越概率均值的结果影响较小，且在小样本情况下，对Gumbel分布和GEV分布均具有较快的超越概率收敛能力。

（5） 与风速变异系数相比，风压系数变异系数对风荷载超越概率、结构可靠度的影响更小；当样本量大于10时，不同风压系数变异系数-风速变异系数组合工况下风荷载超越概率的计算结果均趋近于大样本工况下的结果，误差约10%，建议风洞试验采样及相关极值统计的风压系数样本量不小于10。

（6） 相同样本量下，风荷载与恒荷载比值越大，结构失效概率的平均值和标准差越高，结构安全性越低；在确定的风荷载与恒荷载比值下，极大似然法在结构失效概率估计方面的表现更优。

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基金资助

国家自然科学基金(52378510)