考虑弹性支承的大垂度悬索结构自振特性分析方法研究

Study on the Analytical Method for Natural Vibration Characteristics of Large-Sag Suspension Cable Structures with Elastic Supports

摘要

针对工程中常见的大垂度悬索结构，文中提出了一种考虑弹性支承边界的自振特性分析理论与索力识别算法。首先基于力学分析建立悬索竖向振动偏微分方程，结合弹性边界条件，将拉索模态函数表示为满足边界条件的三角级数叠加形式，进而推导水平索力增量计算式，代入振动频率方程求解，确定悬索的振动频率与模态函数。在此基础上，进一步提出了由已知频率计算弹性支承悬索拉力的迭代算法，可用于实际工程索力测试与识别。算例结果表明，弹性边界不仅会使悬索产生新的频率与模态，还会显著影响既有频率大小，但对既有模态形态影响较小。进一步参数分析表明，悬索正对称频率相较反对称频率更易受边界支承刚度影响；对于两端不等高的斜拉索，其低端竖向支承刚度对正对称频率影响较小。索力计算方面，考虑弹性边界支承的索力识别算法可根据已知结构频率准确反算拉索索力，而不考虑弹性支承的索力计算结果与真实索力相差较大，凸显了文中所提出算法的有效性与实用性。

Abstract

A theoretical analysis and cable force identification algorithm for large-span suspension cable structures， considering elastic support boundaries， are proposed in this paper. First， a partial differential equation for the vertical vibration of the suspension cable is established based on mechanical analysis. Elastic boundary conditions are incorporated， and the modal functions of the cable are expressed as superposition of trigonometric series satisfying these conditions. An incremental formula for horizontal cable forces is derived and substituted into the frequency equation to determine the vibration frequencies and modal functions. An iterative algorithm for calculating the tensile forces of suspension cables with elastic supports， based on known frequencies， is then introduced. Results show that new frequencies and modes are introduced by elastic boundaries and existing frequencies are significantly affected， while existing modes are minimally impacted. Further parametric analysis reveals that symmetric frequencies are more sensitive to boundary support stiffness compared to antisymmetric frequencies. For inclined cables with unequal end heights， the vertical support stiffness at the lower end has a minimal effect on symmetric frequencies. The proposed cable force identification algorithm， considering elastic boundary effects， accurately back-calculates cable forces from known structural frequencies， whereas ignoring elastic supports leads to substantial discrepancies between the calculated and actual forces， demonstrating the algorithm's effectiveness and practicality.

Graphical abstract

关键词

大垂度悬索结构 / 弹性支承 / 振动方程 / 自振特性 / 索力识别 / 参数分析

Key words

large-sag suspension cable structure / elastic support / vibrational equation / natural vibration characteristics / cable force identification / parametric analysis

索结构广泛应用于缆索承重桥梁、预应力钢桁架、高压输电结构、穹顶、索道等工程结构中。对该类结构进行分析评估，通常需要计算与监测各项力学指标，而索结构自振特性是其各类动力行为分析的基础，也可据此预测索结构在外界激励下的动力响应^［1］，是该类结构的重要监测指标。此外，工程中常用的索力测量方法多基于水平拉索自由振动机理^［2-3］，通过建立频率与索力的显式函数关系，由实测频率计算对应索力。因此，准确分析在给定条件下拉索的自振特性，是合理掌握该类结构力学特性并开展有效监测评估的重要基础。

有限单元法^［4-5］能够较好模拟拉索线形与实际边界条件，但其求解精度依赖于网格疏密程度，尤其对于高阶频率与振型，若要获得满意精度，往往需要较大计算量^［6］。理论公式法^［7］则需建立索力与频率间的显式函数关系，通常依据拉索振动微分方程确定频率特征方程，再结合边界条件求解。相关研究中，ROBERT等^［8］推导了固支边界下拉索频率与弦理论频率的函数关系；何伟等^［9］基于Euler-Bernoulli梁理论，建立了复杂边界条件下吊杆张力与其横向振动频率的隐式解析表达式，并给出式中各参数的确定方法；闫伟等^［10］提出基于伽辽金原理的弹性边界下拉索振动特性分析模型与索力估算方法，准确计算了弹性约束边界斜拉索的弯曲振动特性；方志等^［11］将拉索简化为梁模型，基于两端固支梁在轴向拉力作用下的横向振动方程，通过拟合得到拉索索力计算公式；赵子龙^［12］提出了采用伽辽金法计算两端固支梁固有频率的方法；BERJAL等^［13］研究了多索梁系统，发现弹性支承刚度优化对改善结构振动性能显著效果。XU等^［14］采用改进傅里叶级数法，精准分析了复杂边界条件下的索振动频率，为非对称弹性支承悬索结构提供了分析工具。HAN等^［15］提出了一种动态刚度法，可精确分析多段索系统的振动行为。

此外，复杂边界条件进一步增加了悬索索力识别的复杂性。CHEN等^［16］开发了基于模态形函数的索力识别新方法，可有效消除复杂边界条件的影响。ZHANG等^［17］提出基于频率的非线性索力识别算法，考虑了索的弯曲刚度、垂度与边界约束刚度等参数。DAN等^［18］研究了悬索桥中边界约束对频率与模态的影响，并提出简化索力识别方法。

上述文献中，索（梁）轴力计算大多需要反复迭代，求解过程复杂。同时，现有理论模型多假定悬索为小垂度且边界为理想刚性支承，忽略了垂度与边界条件对自振特性的影响。许俊^［19］分析了垂度对拉索索力计算的影响，结果表明垂度对长索基频影响显著。工程中多数索结构满足小垂度假定（垂跨比小于0.1），此时可在振动方程中忽略索质量沿弦长分布的不均匀性。但部分场景下垂跨比较大，如自锚式悬索桥主缆垂跨比可达0.25^［20］，此时仍采用小垂度假定，会导致振动方程中质量分布描述不够准确，造成自振特性分析结果偏差较大。理想刚性边界假定在实际工程中也不具备广泛适用性，例如悬索桥主缆的高强钢丝通过锚杆固定于锚面，锚杆对钢丝起到弹簧支承作用；斜拉桥拉索下端通过锚具与主梁连接，桥梁振动时主梁不可避免产生动态位移，斜拉索支承不满足刚性边界条件，且主梁提供的弹性边界会显著影响拉索振动特性^［21-22］。

由此可见，工程实际中悬索两端边界并非理想刚性支承，而是有限刚度的弹簧支承。现有基于小垂度与理想刚性支承假定的悬索自振特性分析方法，不能广泛、准确适用于各类索结构。因此，在弹性边界条件下研究悬索振动特性，掌握边界参数对其振动特性的影响规律，具有重要工程意义。

基于现有研究现状，本文提出了一种同时考虑弹性支承边界与大垂度效应的悬索自振特性分析及索力计算方法。该方法依据悬索静平衡参数，建立竖向振动偏微分方程；结合弹性边界条件，将拉索振型表示为三角函数与满足边界条件函数的叠加形式，进而确定水平索力增量计算式；依据加权余量原理，建立包含振动频率与基函数系数的线性方程组，求解得到悬索振动频率与模态函数，并分析边界约束刚度对拉索振动特性的影响规律。索力计算方面，结合本文频率计算方法，提出由实测频率反算拉索索力的修正算法，可用于弹性支承边界条件下的索力测试。本文研究可为弹性支承边界下悬索结构的振动分析与索力计算提供有效的理论与求解方法。

1 悬索力学分析

1.1 悬索静力平衡线形

任意悬索在自重\gamma作用下的线形函数y(x)可表示为^［23］：

y(x)=\frac{H_{\mathrm{0}}}{\gamma }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{\gamma x}{H_{\mathrm{0}}}+a_{\mathrm{1}}\right)+a_{\mathrm{2}}（1）

式中：H_{\mathrm{0}}为水平索力；a_{\mathrm{1}}、a_{\mathrm{2}}为与边界条件相关的参数。以悬索左端点为原点建立坐标系，在边界y(\mathrm{0})=\mathrm{0}\mathrm{、}y(L)=V条件下，可确定上式中的边界参数为：

a_{\mathrm{1}}=a\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left[\frac{\lambda V}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda L)}\right]-\lambda L（2）

a_{\mathrm{2}}=-\frac{H_{\mathrm{0}}}{\gamma }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{a}_{\mathrm{1}}（3）

式中：V为悬索左右两端高差；L为悬索水平弦长；参数\lambda =\gamma /(\mathrm{2}{H}_{\mathrm{0}})。

1.2 悬索振动方程

如图1所示悬索弦长为L，两端均为弹性边界，其中K_{\mathrm{1}}、K_{\mathrm{2}}为悬索左端竖向与水平支承刚度，K_{\mathrm{3}}、K_{\mathrm{4}}为悬索右端竖向与水平支承刚度。由汉密尔顿原理可建立悬索竖向自由振动偏微分方程为^［24］：

m{y}_{\mathrm{s}}\ddot{v}-H_{\mathrm{0}}v″-H_{\mathrm{1}}y″=\mathrm{0}（4）

式中：m为单位长度索质量；y_{\mathrm{s}}为函数y_{\mathrm{s}}(x)=\sqrt[]{\mathrm{1}+y{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}的简写，体现了悬索初始线形（大垂度）对振动方程的影响；H_{\mathrm{0}}为静平衡水平索力；v为索竖向振动的位移函数；H_{\mathrm{1}}为振动状态下水平索力增量。上标“″”表示变量对位置x求二阶导数（同理，下文“'”表示求一阶导数）；上标“¨”表示变量对时间求二阶导数。给定结构基础参数，m、y_{\mathrm{s}}和H_{\mathrm{0}}均为已知量。为分析结构振动特性，需将H_{\mathrm{1}}表示为v的函数。为此，建立如图2所示的悬索振动位移模型，s_{\mathrm{0}}为其静平衡初始状态，s_{\mathrm{1}}为其动态平衡状态。记s_{\mathrm{0}}状态下一索段\mathrm{d}{s}_{\mathrm{0}}的左端（i节点）坐标为(x,y)，则右端（j节点）坐标可表示为(x+\mathrm{d}x,y_{\mathrm{0}}+y_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{d}x)，\mathrm{d}{s}_{\mathrm{0}}长度可计算为：

\mathrm{d}{s}_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{d}{y}^{\mathrm{2}}}=\sqrt[]{\mathrm{1}+{y^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x=y_s\mathrm{d}x（5）

式中：设\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}为该索段动态变形后的长度；u\mathrm{、}v分别为该索段在外荷载作用下的水平与竖向位移，则s_{\mathrm{1}}平衡态下该索段左端坐标为(x+u,y+v)，右端坐标为[x+u+(x+u)\mathrm{\text{'}}\mathrm{d}x,y+v+(y+v)\mathrm{\text{'}}\mathrm{d}x]，此时索段长度\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}可表示为：

\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{{(\mathrm{1}+u\text{'})}^{\mathrm{2}}+{(y\text{'}+v\text{'})}^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x（6）

联立式（5）~（6），忽略应变中的高阶微量，可得索段应变增量\epsilon为：

\epsilon =\frac{\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}-\mathrm{d}s}{\mathrm{d}s}\approx \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{\left(\frac{\mathrm{d}{s}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}s}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right]\approx \frac{u\text{'}+y\text{'}v\text{'}}{y_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}（7）

由胡克定律可确定水平索力增量H_{\mathrm{1}}为：

H_{\mathrm{1}}=\frac{EA\epsilon }{y_{\mathrm{s}}}=\frac{EA}{y_{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}}(u\text{'}+y\text{'}v\text{'})（8）

经等式变换并在等式两边积分可得：

H_{\mathrm{1}}=\frac{EA}{L_{\mathrm{e}}}\left(u(L)-u(\mathrm{0})-{\int }_{\mathrm{0}}^{L}y\text{'}v\text{'}\mathrm{d}x\right)（9）

式中：E、A分别为悬索弹性模量与截面面积；等效长度L_{\mathrm{e}}={\int }_{\mathrm{0}}^L{\left(\sqrt[]{\mathrm{1}+y{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{d}x。

将式（9）代入式（4），结合索端弹性支承边界条件，求解式（3）对应的频率特征方程，即可确定弹性边界下悬索的各阶频率与模态函数。由于正对称模态与反对称模态下，悬索两端边界条件呈现不同关系，下文分别针对正对称与反对称模态研究自振特性计算方法。

2 悬索自由振动频率方程

2.1 悬索正对称自振分析

采用分离变量法，将式（4）、（9）中位移与拉力分别表示为：u={\varphi }_{\mathrm{s}}(x)q(t)、v={\Phi }_{\mathrm{s}}(x)q(t)，H_{\mathrm{1}}={\tau }_{\mathrm{s}}q(t)；其中q(t)索振动的模态坐标，{\tau }_{\mathrm{s}}为平均水平索力增量，{\varphi }_{\mathrm{s}}\left(x\right)、{\Phi }_{\mathrm{s}}(x)分别为水平振动与竖向振动的模态函数。将u、v表达式代入式（9）可得：

{\tau }_{\mathrm{s}}=\frac{EA}{L_e}\left({\varphi }_{\mathrm{s}}(L)-{\varphi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^{L}y\text{'}{\Phi }_{\mathrm{s}}^{\text{'}}\mathrm{d}x\right)（10）

竖向振动v为对称模态时，{\Phi }_{\mathrm{s}}(x)为关于悬索跨中节点的偶函数，且满足边界条件{\Phi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})q(t)=v(\mathrm{0})、{\Phi }_{\mathrm{s}}(L)q(t)=v(L)，故{\Phi }_{\mathrm{s}}(x)可设为：

\begin{array}{l}{\Phi }_{\mathrm{s}}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{a}_i\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[\frac{\left(\mathrm{2}i-\mathrm{1}\right)\mathrm{\pi }x}{L}\right]+\\ \left(\mathrm{1}-\frac{x}{L}\right){\Phi }_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{x}{L}{\Phi }_{\mathrm{s}}(L)\end{array}（11）

式中：N为预先设定的模态组合数量；a_i为第i模态对应的待定系数。图1所示的弹性支承下，悬索正对称振动模态对应的力学边界条件为：

K_{\mathrm{1}}{\Phi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})=H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{s}}^{\text{'}}(\mathrm{0})+{\tau }_{\mathrm{s}}y\text{'}(\mathrm{0}) （12）

K_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})={\tau }_{\mathrm{s}}（13）

K_{\mathrm{3}}{\Phi }_{\mathrm{s}}\left(L\right)=-\left[H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{s}}^{\text{'}}(L)+{\tau }_{\mathrm{s}}y\text{'}(L)\right]（14）

K_{\mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{s}}(L)=-{\tau }_{\mathrm{s}}（15）

将式（11）代入上式，可得关于{\Phi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})、{\Phi }_{\mathrm{s}}(L)、{\varphi }_{\mathrm{s}}(\mathrm{0})、{\varphi }_{\mathrm{s}}(L)的线性方程组，求解此方程组可确定各变量关于待定系数a_i的线性表达式，进而平均水平索力增量表达式（10）与模态函数表达式（11）可由待定系数a_i唯一确定。在此基础上，将模态函数式（11）代入振动方程式（4），得到对应频率方程为：

m{y}_{\mathrm{s}}{\Phi }_{\mathrm{s}}{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}+H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{s}}^{″}+{\tau }_{\mathrm{s}}y″=\mathrm{0}（16）

式中：{\omega }_{\mathrm{s}}为正对称振动模态的圆频率。

2.2 悬索反对称自振分析

采用分离变量法，将式（4）、（9）中的位移与拉力分别表示为：u={\varphi }_{\mathrm{u}}(x)q(t)，v={\Phi }_{\mathrm{u}}(x)q(t)，H_{\mathrm{1}}={\tau }_{\mathrm{u}}q(t)，其中q(t)含义与前文一致，{\tau }_{\mathrm{u}}为平均水平索力增量，{\varphi }_{\mathrm{s}}(x)、{\Phi }_{\mathrm{s}}(x)为水平振动与竖向振动的模态函数。将u、v表达式代入式（9）可得：

{\tau }_{\mathrm{u}}=\frac{EA}{L_{\mathrm{e}}}\left({\varphi }_{\mathrm{u}}(L)-{\varphi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^{L}y\text{'}{\Phi }_{\mathrm{u}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{d}x\right)（17）

竖向振动v为反对称模态时，模态函数{\Phi }_{\mathrm{u}}(x)为关于悬索跨中节点的奇函数，且满足{\Phi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})q(t)=v(\mathrm{0}),{\Phi }_{\mathrm{u}}(L)q(t)=v(L)，故{\Phi }_{\mathrm{u}}\left(x\right)可设为：

{\Phi }_{\mathrm{u}}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\begin{array}{c}{b}_i\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{2}i\mathrm{\pi }x}{L}\right)\end{array}+\left(\mathrm{1}-\frac{x}{L}\right){\Phi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})+\frac{x}{L}{\Phi }_{\mathrm{u}}(L)（18）

式中：b_i为待定系数。在图1所示的弹性支承下，悬索反对称振动模态对应的力学边界条件为：

K_{\mathrm{1}}{\Phi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})=H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{u}}^{\text{'}}(\mathrm{0})+{\tau }_{\mathrm{u}}y\text{'}(\mathrm{0})（19）

K_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})={\tau }_{\mathrm{u}}（20）

K_{\mathrm{3}}{\Phi }_{\mathrm{u}}(L)=H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{u}}^{\text{'}}(L)+{\tau }_{\mathrm{u}}y\text{'}(L)（21）

K_{\mathrm{4}}{\varphi }_{\mathrm{u}}(L)={\tau }_{\mathrm{u}}（22）

将式（18）代入上式，可得关于{\Phi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})、{\Phi }_{\mathrm{u}}(L)、{\varphi }_{\mathrm{u}}(\mathrm{0})、{\varphi }_{\mathrm{u}}(L)的线性方程组，求解此方程组可得各变量关于待定系数b_i的线性表达式，进而平均水平索力增量表达式（17）与模态函数表达式（18）可由待定系数b_i唯一确定。在此基础上，将模态函数式（18）代入振动方程（4），得到对应频率方程为：

m{y}_{\mathrm{s}}{\Phi }_{\mathrm{u}}{\omega }_{\mathrm{u}}^{\mathrm{2}}+H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{u}}^{″}+{\tau }_{\mathrm{u}}y″=\mathrm{0}（23）

式中：{\omega }_{\mathrm{u}}为反对称振动模态圆频率。

需要说明的是，式（11）、（18）中的线性函数是为保证模态函数满足弹性边界条件而增设的。通过求解正对称自振边界条件式（12）~（15）与反对称自振边界条件式（19）~（22），即可确定边界参数{\Phi }_{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\mathrm{0})与{\Phi }_{\mathrm{s},\mathrm{u}}(L)，该思路可解决弹性边界条件下模态函数难以确定的问题。

3 频率方程求解

式（13）、（18）分别为正对称与反对称模态对应的频率方程，求解其中{\omega }_{\mathrm{s}}、{\omega }_{\mathrm{u}}即可确定正对称与反对称频率，进而得到对应模态{\Phi }_{\mathrm{s}}、{\Phi }_{\mathrm{u}}。依据加权余量原理，上述频率方程应满足基函数加权后的残差积分为零，即：

{\int }_{\mathrm{0}}^L\left[\left(m{y}_{\mathrm{s}}{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}+H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{s}}^{″}+{\tau }_{\mathrm{s}}y″\right)·\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\left(\mathrm{2}i-\mathrm{1}\right)\mathrm{\pi }x}{L}\right]\mathrm{d}x=\mathrm{0}（24）

{\int }_{\mathrm{0}}^L\left[\left(m{y}_s{\Phi }_{\mathrm{u}}{\omega }_{\mathrm{u}}^{\mathrm{2}}+H_{\mathrm{0}}{\Phi }_{\mathrm{u}}^{″}+{\tau }_{\mathrm{u}}y″\right)·\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}i\mathrm{\pi }x}{L}\right]\mathrm{d}x=\mathrm{0}（25）

式中：i取正整数（i=\mathrm{1,2},\cdots ,N）。为简化叙述，下文仅以式（24）为例说明求解过程，式（20）求解方法与之类似。

将{\tau }_{\mathrm{s}}表达式代入式（24），令i分别取1~N，得到N个方程组，方程组包含未知系数a_i与未知频率{\omega }_{\mathrm{s}}。将该方程视为以系数a_i为待求变量的线性方程组，可写为：

A({\omega }_{\mathrm{s}})a_{\mathrm{s}i}=\mathrm{0}（26）

式中：矩阵A({\omega }_{\mathrm{s}})为包含频率{\omega }_{\mathrm{s}}的方程组系数行列式。由于该物理问题存在非零解，矩阵A({\omega }_{\mathrm{s}})系数行列式需满足：

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[A({\omega }_{\mathrm{s}})]=\mathrm{0}（27）

由此得到仅含频率{\omega }_{\mathrm{s}}的非线性方程，求解可得N个解，对应悬索N阶正对称振动模态频率。为获取各频率对应的模态函数，可指定某一系数a_i值（如令a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}），求解方程组（26）即可确定所有未知系数a_i的值，将系数代入式（11）即可确定正对称模态函数{\Phi }_{\mathrm{s}}(x)。正对称振动频率与模态计算流程如图3所示。

4 索力计算分析

前文方法适用于索力已知时的频率计算，实际工程中更多需要由实测频率反算索力。进行索力计算时，可先假定索力H_{\mathrm{0}}，按第2节方法计算各阶频率，定义误差函数E为实测频率与计算频率的平方差和：

E={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\omega }_i-{\overline{\omega }}_i{)}^{\mathrm{2}}（28）

式中：{\omega }_i为理论计算频率；{\overline{\omega }}_i为实测频率。通过调整预设参数H_{\mathrm{0}}使E取最小值，即理论结果与实测结果偏差最小，此时H_{\mathrm{0}}与E满足关系式：

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}{H}_{\mathrm{0}}}=\mathrm{0}（29）

求解上式即可确定相应的H_{\mathrm{0}}。由于E与H_{\mathrm{0}}难以建立显式关系，采用牛顿割线法求解，具体步骤为：

（1） 根据初始设定值H_{\mathrm{0}}计算理论频率{\omega }_i与相应的误差函数E_{\mathrm{0}}；

（2） 将H_{\mathrm{0}}微量增加∆，求得理论频率{\omega }_i与相应的误差函数E_{∆\mathrm{0}}，由此可得：\frac{\partial E}{\partial H_{\mathrm{0}}}\approx \frac{E_{∆\mathrm{0}}-E_{\mathrm{0}}}{∆}；

（3） 重新设定索力H_{\mathrm{1}}，并由此计算理论频率与相应的误差函数，计为E_{\mathrm{1}}；

（4） 将H_{\mathrm{1}}微量增加∆，求得相应的误差函数，计为E_{∆\mathrm{1}}，由此可得\frac{\partial E}{\partial H_{\mathrm{1}}}\approx \frac{E_{∆\mathrm{1}}-E_{\mathrm{1}}}{∆}；

根据以上结果，可计算真实索力计算式为：

H_{\mathrm{0}}=H_{\mathrm{0}}-\frac{\partial E}{\partial H_{\mathrm{0}}}\left(H_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{0}}\right)·{\left(\frac{\partial E}{\partial H_{\mathrm{1}}}-\frac{\partial E}{\partial H_{\mathrm{0}}}\right)}^{-\mathrm{1}}（30）

实际应用时，初始索力H_{\mathrm{0}}可按固定边界索力公式设定，H_{\mathrm{1}}初值可取为2H_{\mathrm{0}}

5 算例分析

5.1 水平悬索算例

水平悬索结构如图4所示，其弦长L=300 m，截面轴向刚度EA=6.1×10⁶ kN，初始水平拉力H_{\mathrm{0}}=715.2 kN，单位长度索质量为246.5 kg∙m^-1，其端部的4个支承刚度均取为300 kN∙m^-1。频率分析时分别采用本文方法、考虑弹性支承的有限元法、不考虑弹性支承的有限元法，计算前五阶正对称与反对称振动频率，三种方法结果对比如图5、6所示。

由以上计算频率对比可知，本文方法与有限元结果吻合度较高。不考虑弹性边界时，悬索频率明显偏大，因此计算弹性边界索结构频率时，需准确考虑边界约束刚度的影响。此外，正对称频率计算结果显示，弹性边界悬索相较刚性支承悬索出现新的频率特性（图5）：弹性边界索一阶频率约为0.2 Hz，刚性边界索无该频率，其一阶频率与弹性边界索二阶频率接近。表1、表2的模态计算结果进一步验证了该结论：正对称模态中，刚性边界索未出现单波形一阶振动模态，首阶正对称模态为0.29 Hz的三波形态，与弹性边界索二阶模态相似；反对称模态中，两种边界索各阶模态均正常出现且形态相近。

本节进一步开展支承刚度参数分析，研究悬索频率对支承刚度的敏感性。考虑图4悬索的对称性，仅分析K_{\mathrm{1}}、K_{\mathrm{2}}变化的影响。图7、图8为水平悬索前五阶正对称频率随K_{\mathrm{1}}、K_{\mathrm{2}}的变化规律。由图可知，正对称频率受支承刚度影响主要体现在一阶频率（图中频率f_{\mathrm{1}}），均随刚度增大而升高，高阶频率受支承刚度影响较小。结合图5、图6可知，正对称基频为弹性支承索新现频率，且受支承刚度影响显著。图9、图10为反对称频率变化规律，反对称频率受支承刚度影响较小，刚度增大时频率增幅有限，最大增幅仅12.5%（图9中基频f_{\mathrm{1}}由1.16 Hz增至0.18 Hz）。

5.2 斜拉索算例

斜拉索如图11所示，除两端高差V=100 m外，其余参数与图4一致。频率分析分别采用本文方法、考虑弹性支承的有限元法、不考虑弹性支承的有限元法，计算前五阶正对称与反对称振动频率，结果对比如图12、图13所示。

由图中计算结果对比可知，弹性边界斜拉索的频率与图5、图6所示的水平悬索频率接近，特征一致：考虑弹性边界后，拉索频率降低，正对称基频为新现频率。

表3、表4为斜拉索前五阶正、反对称模态对比结果。正对称模态中，弹性边界斜拉索同样出现单波形新模态，刚性边界索无此模态；正、反对称模态特征与 表1、 表2所呈现的水平悬索模态特征相似，不再赘述。

进一步开展斜拉索各支承刚度参数分析，选取K_{\mathrm{1}}~K_{\mathrm{4}} 4个参数研究频率敏感性。图14~图17为前五阶正对称频率随K_{\mathrm{1}}~K_{\mathrm{4}}的变化规律：除K₃外，其余刚度参数对正对称频率的影响均集中于一阶频率（图中频率f_{\mathrm{1}}），且随刚度增大频率升高，而对高阶频率影响较小；斜拉索各阶频率对K_{\mathrm{3}}参数变化不敏感，说明斜拉索正对称频率受低端竖向支承刚度影响较小。

图18~图21为斜拉索反对称频率随支承刚度的变化规律，反对称频率受边界支承刚度影响较小，与水平悬索规律一致，原因在于：反对称模态下斜拉索水平力增量较小，振动过程中索体变形与边界位移均较小，因此边界支承刚度变化对反对称频率影响有限。

5.3 索力计算验证

仅实测悬索若干频率、索力未知时，可按第4节方法由频率计算索力。以5.1节、5.2节拉索为例，依据表1~4频率结果计算索力；为模拟实际索力测试时的随机偏差，对各阶频率叠加相应的白噪声。在频率/噪声比为10~50时，不考虑弹性边界（固接）与考虑弹性边界的索力计算结果如表5所示。结果表明，水平索与斜拉索在不考虑弹性边界时，计算索力均小于真实索力；考虑弹性边界后，计算索力更接近真实值，且随频率/噪声比的增大，计算索力逐渐逼近真实索力。由此可见，索力测试时弹性支承边界显著影响计算结果，工程实践中需结合实际边界约束条件与实测频率，以准确计算相应的索力。

6 结论

本文提出考虑弹性支承边界的悬索结构自振特性分析方法，结合水平悬索与斜拉索算例分析，得到以下结论：

（1） 悬索边界支承刚度不仅会显著降低结构频率，还会诱发新的频率与振动模态，新现频率以正对称基频为主。

（2） 边界参数对悬索基频影响较大，对高阶频率影响较小，对振动模态几乎无影响。由于基频在索结构振动中占主导地位，分析索结构动力特性时不可忽略边界参数，尤其应关注其对基频的影响。

（3） 正对称频率受边界支承刚度影响显著，基频对刚度变化尤为敏感；反对称频率受支承刚度影响较小。斜拉索正对称频率对底端竖向支承刚度不敏感，计算斜拉桥拉索频率时，应重点关注顶端支承刚度与底端水平支承刚度。

（4） 频率法测索力时，忽略弹性支承边界会导致计算索力低于真实值；综合考虑实际边界约束与实测频率，采用本文方法可高精度计算拉索索力。

本文提出的弹性边界索动力特性分析方法，可用于工程中各类索结构的频率、模态计算与索力测试，思路清晰、物理意义明确，兼具高精度、高通用性与实用性。传统理论方法难以同时考虑复杂边界与大垂度效应，索力识别精度不足；与有限元法相比，本文方法仅需求解少量线性方程组，计算效率更高、实现更简便。

本文研究为大垂度悬索结构在弹性边界下的振动分析与索力测试提供了新方法。后续可将该方法拓展至多跨悬索桥、复杂空间索网结构，结合实测数据完善算法，探索其在更复杂工程中的应用潜力。

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基金资助

国家自然科学基金(52308502)

国家自然科学基金(52468023)

江西省自然科学基金(20224BAB204064)

江西省自然科学基金(20224BAB214065)