基于能量变分法的钢管混凝土桁式混合结构梁桥剪力滞效应研究

Study on Shear Lag Effect of Concrete-Filled Steel Tubular Truss Girder Bridge Based on Energy Variation Principle

摘要

钢管混凝土桁式混合结构梁桥相较于传统钢-混凝土组合梁桥，具备自重轻、稳定承载力高、经济效益好及施工周期短等优势，工程应用愈发广泛。与实腹式桥梁不同，该类梁桥的桥面板处于点支撑状态，剪力滞效应显著，因此文中通过理论分析与有限元方法对其剪力滞效应展开研究。首先基于能量变分原理，推导了剪力滞系数的计算公式；随后建立了钢管混凝土桁式混合结构梁桥的精细化有限元模型，将数值计算结果与能量变分法计算结果进行对比，验证了该理论方法的正确性。研究得到了荷载类型、荷载作用位置等影响因素下，剪力滞效应沿横桥向、纵桥向和板厚方向的分布规律，并提出在计算钢管混凝土桁式混合结构梁桥桥面板有效宽度时，应考虑剪力滞效应的影响。

Abstract

Compared with traditional steel-concrete composite beam bridges， concrete-filled steel tubular truss girder bridges offer advantages， including light weight， high bearing capacity， superior economic efficiency and short construction period， and are widely used in engineering. Different from solid-web bridges， the deck of concrete-filled steel tubular truss girder bridge operates under point-supported conditions， leading to a pronounced shear lag effect. Therefore， the shear lag effect is studied through theoretical analysis and finite element method in this study. Firstly， based on energy variation principle， the calculation formula of shear lag coefficient is derived. Then， a refined finite element model of concrete-filled steel tubular truss girder bridge is established， and the numerical results are compared with those obtained from the energy variation method， which verifies the accuracy of the proposed theoretical method. The distribution laws of shear lag effect of girder bridges along the transverse bridge direction， longitudinal bridge direction， and deck slab thickness direction are obtained， the influences of load types and load positions are revealed. It is proposed that the effect of shear lag should be considered in the calculation of the deck effective width of concrete-filled steel tubular truss girder bridges.

Graphical abstract

关键词

钢管混凝土 / 桁架 / 剪力滞效应 / 能量变分原理 / 理论分析 / 剪力滞系数 / 精细化有限元模型

Key words

concrete-filled steel tube / truss / shear lag effect / energy variation principle / theoretical analysis / shear lag coefficient / refined finite element model

钢管混凝土桁式混合结构梁桥是中等跨径公路桥梁中受力性能优良、经济性较好的一种结构形式（图1），兼具自重轻、稳定承载力强、经济效益好及施工周期短等优点，工程应用范围不断扩大，四川雅安干海子大桥、汶马高速克枯大桥等工程^［1］均采用了该结构形式。

对于钢管混凝土桁式混合结构梁桥的受弯性能^［2-7］、抗震性能^［8］和动力性能^［9］，研究人员已开展深入研究，并编制了相关规范^［10-12］。该结构应用于梁桥虽具备诸多优势，但其中的混凝土桥面板通过剪力连接件与上弦杆连接，处于点支撑状态，应力分布不均，剪力滞效应显著。

剪力滞效应最早发现于薄壁混凝土箱梁中，研究表明，该效应会造成箱梁截面应力分布不均匀，带来工程安全隐患^［13-17］。随着钢-混凝土组合结构桥梁的发展，近年来关于剪力滞效应的研究日益增多。CHEN等^［18］研究了波形钢腹板桁架组合箱梁桥的剪力滞效应，发现混凝土桥面板截面应力分布不均匀，剪力滞效应的影响程度随宽跨比和悬挑比的增大而增大，并基于能量变分原理推导了剪力滞系数的解析计算公式。ZHU等^［19］基于有限元法和欧拉-伯努利理论，建立了考虑滑移和剪切滞后的钢-混凝土组合桥梁动力分析模型，证明了剪力滞效应对系统动力响应存在显著影响。WANG等^［20］针对大跨斜拉桥组合梁混凝土板在恒载作用下的剪力滞效应展开研究，提出在施工和运营阶段，桥塔附近的主梁节段与跨中部位是剪力滞效应的关键分析截面，缆索间距和楼板宽度是影响恒载剪力滞效应的主要因素，有效宽度系数与应力比呈正相关。

上述研究表明，钢-混凝土组合梁的剪力滞效应显著，对结构力学性能影响较大，但相关研究主要集中于钢-混凝土箱梁^［21-22］、波形钢腹板组合梁^［23-24］和钢桁腹式组合梁^［25］。为此，本文基于能量变分法推导了均布荷载和集中荷载作用下，钢管混凝土桁式混合结构梁桥的剪力滞效应计算公式，并采用有限元方法进行了对比验证，得出该类桥梁剪力滞效应的分布规律。

1 剪力滞分析的能量变分法

1.1 能量变分法基本原理

能量变分法将翼板各截面的正应力归纳为单一函数，通过求解函数得到各点正应力，进而推导剪力滞系数方程，可更直观地分析各参数变化对剪力滞效应的影响。

求解过程中，参考文献［26］的简化计算方法，仅考虑腹杆的剪切应变能、桁架弦杆的弯曲应变能以及翼缘板的弯曲应变能，忽略桥面板内钢筋和剪力连接件的应变能。

求解组合梁的剪力滞系数时，需先假定翼缘板的纵向位移函数。本文参考已有研究^［27］，将桁架梁翼缘板的纵向位移函数假定为三次抛物线函数，引入梁的竖向挠度函数\omega =\omega (x)和纵向位移函数u(x,y)两个广义位移函数。由文献［28］可知，桁架腹杆的剪切变形对桁架整体挠度影响显著，因此引入由腹杆引起的刚度降低系数\xi =\mathrm{1}/(\mathrm{1}-\mathrm{0.52})-\mathrm{1}，并采用对称模型，得到桥面板的位移函数，见式（1）：

\left\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{顶}}(x,y)=\\ h_{\mathrm{u}}\left[(\mathrm{1}+\xi ){\omega }^{\text{'}}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\right)u\right]\mathrm{0}\le y\le b_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{悬}}(x,y)=\\ h_{\mathrm{u}}\left[(\mathrm{1}+\xi ){\omega }^{\text{'}}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\right)u\right]b_{\mathrm{1}}\le y\le b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（1）

式中：h_u为桥面板上任一点到钢管混凝土桁式混合结构梁截面形心（即换算中性轴）的距离；h₀为桥面板形心到桁架部分形心的垂直距离；h₁为桥面板形心到换算中性轴的垂直距离；h₂为换算中心轴到桁架形心的垂直距离；b₁为桥面板顶板部分一半宽度；b₂为桥面板悬臂部分宽度，如图2所示。

1.2 变分方程推导

根据最小势能原理，弹性体承受外界荷载作用时，在所有满足边界条件的位移中，存在一组位移使结构体系的总势能最小，即体系总势能π的一阶变分为零，见式（2）：

\delta \mathrm{\pi }=\delta \left(\overline{W}+\overline{V}\right)=\mathrm{0}（2）

式中：\overline{W}为外荷载的总势能；\overline{V}为体系总应变能。

当桁架组合梁受弯时，外荷载总势能见式（3）：

\overline{W}={\int }_{\mathrm{0}}^{l}M\left(x\right)\omega ″\mathrm{d}x（3）

式中：M（x）为x位置截面的弯矩。

为清晰描述组合梁各部分的应变能，按组合梁整体构造，将其应变能划分为混凝土板区和桁架区两部分计算。

不考虑上下弦杆的剪切变形时，圆钢管混凝土桁式混合结构梁桥的应变能包含弦杆应变能及其内部混凝土应变能两部分。

根据等效原则，将桁架弦杆内填充的混凝土换算为钢材截面进行计算，见式（4）：

E_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}\mathrm{1}}+E_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}=E_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}（4）

式中：E_c、E_s分别为混凝土和钢管的弹性模量；A_c为弦杆内混凝土的面积；A_s1为等效前钢管的面积；A_s为等效后弦杆的面积。

桁架的应变能见式（5）：

{\overline{V}}_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{E}_{\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{w}}(\mathrm{1}+\xi )({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x（5）

式中：I_w为桁架相对于截面换算中性轴的惯性矩，根据图2按照如下材料力学方法可得到，见式（6）：

\left\{\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{0}}=y_{\mathrm{c}}-y_{\mathrm{s}}\\ h_{\mathrm{0}}=h_{\mathrm{1}}+h_{\mathrm{2}}\\ A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}{h}_{\mathrm{1}}=A_{\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（6）

式中：h₀为钢管混凝土桁架形心到桥面板形心的距离；h₁为换算中性轴到桥面板形心的距离；h₂为换算中性轴到钢管混凝土桁架形心的距离；A_c^{\text{'}}为桥面板根据合力不变及变形相等原则，换算成钢材后的等效面积，A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}=E_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}/E_{\mathrm{s}}。

得到：

h_{\mathrm{1}}=\frac{A_{\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{0}}}{A_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}},h_{\mathrm{2}}=\frac{A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}{h}_{\mathrm{0}}}{A_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}}（7）

得到钢管混凝土桁架换算惯性矩I_w为：

I_{\mathrm{w}}=I_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{s}}{h_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=I_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{s}}{\left(\frac{A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}{h}_{\mathrm{0}}}{A_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{c}}^{\text{'}}}\right)}^{\mathrm{2}}（8）

对于桥面板，应变能\overline{V_{\mathrm{c}}}包含顶板应变能{\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{1}}和悬臂板应变能{\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{2}}两部分：

\left\{\begin{array}{l}{\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{1}}={\int }_{\mathrm{0}}^l{\int }_{\mathrm{0}}^{b_{\mathrm{1}}}{h}_{\mathrm{c}}(E{\epsilon }_{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+G{\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ {\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{2}}={\int }_{\mathrm{0}}^l{\int }_{\mathrm{0}}^{b_{\mathrm{2}}}{h}_{\mathrm{c}}(E{\epsilon }_{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+G{\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}\right.（9）

式中：h_c为翼缘板厚度；b₁为翼缘板中顶板段的宽度；b₂为翼缘板中悬臂板段的宽度；G为剪切模量；E为弹性模量。

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{1}}=\frac{\partial u_{\mathrm{顶}}(x,y)}{\partial x}=h_{\mathrm{u}}\left[{\omega }^{″}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\right)u^{\text{'}}\right]\\ {\epsilon }_{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{2}}=\frac{\partial u_{\mathrm{悬}}(x,y)}{\partial x}=h_{\mathrm{u}}\left[{\omega }^{″}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\right)u^{\text{'}}\right]\end{array}\right.（10）

\left\{\begin{array}{l}{\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{1}}=-\frac{\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{h}_{\mathrm{u}}·u\\ {\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{h}_{\mathrm{u}}·u\end{array}\right.（11）

式中：ε_xc1、ε_xc2为正应变；γ_c1、γ_c2为剪应变。

\begin{array}{l}{\overline{V}}_{\mathrm{c}}={\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+{\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{l}E\mathrm{2}{h}_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{2}}\left[({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\omega }^{″}{u}^{\text{'}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}(u^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{9}G{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{5}E{b}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\right]\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{l}E\mathrm{2}{h}_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{2}}\left[({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{\omega }^{″}{u}^{\text{'}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}(u^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{9}G{u}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{5}E{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right]\mathrm{d}x\end{array}（12）

令顶板换算惯性矩I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}=\mathrm{2}{h}_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{1}}{h_{\mathrm{u}}}^{\mathrm{2}}，悬臂换算惯性矩I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=\mathrm{2}{h}_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{2}}{h_{\mathrm{u}}}^{\mathrm{2}}，则V_c可表示为：

\begin{array}{l}{\overline{V}}_{\mathrm{c}}={\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+{\overline{V}}_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}E(I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}){\int }_{\mathrm{0}}^l({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E(I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}){\int }_{\mathrm{0}}^l{\omega }^{″}{u}^{\text{'}}\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{28}}E(I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}){\int }_{\mathrm{0}}^l(u^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x +\frac{\mathrm{9}G}{\mathrm{10}}\left(\frac{I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}+\frac{I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right){\int }_{\mathrm{0}}^l{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\end{array}（13）

令桥面板总换算惯性矩I_{\mathrm{u}}=I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}，组合截面等效惯性矩I_{\mathrm{s}}=\frac{I_{\mathrm{c}\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}+\frac{I_{\mathrm{c}\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}

则可得出体系总势能π：

\begin{array}{l}\pi =\overline{W}+{\overline{V}}_{\mathrm{s}}+{\overline{V}}_{\mathrm{c}}=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{l}M\left(x\right){\omega }^{″}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{E}_{\mathrm{s}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{w}}(\mathrm{1}+\xi )({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}E{I}_{\mathrm{u}}{\int }_{\mathrm{0}}^l({\omega }^{″}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{\omega }^{″}{u}^{\text{'}}\mathrm{d}x +\\ \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{28}}E{I}_{\mathrm{u}}{\int }_{\mathrm{0}}^l(u^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{9}G}{\mathrm{10}}{I}_{\mathrm{s}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\end{array}（14）

根据能量变分法最小势能原理δπ=0，则有：

\begin{array}{l}\delta \pi ={\int }_{\mathrm{0}}^l\left[M\left(x\right)+E_s{\mathrm{I}}_w(\mathrm{1}+\xi ){\omega }^{″}+E{I}_u{\omega }^{″}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_u{u}^{\text{'}}\right]{\omega }^{‴}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{\omega }^{″}{u}^{″}\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}E{I}_{\mathrm{u}}{\int }_{\mathrm{0}}^l{u}^{\text{'}}{u}^{″}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{9}G}{\mathrm{10}}{I}_{\mathrm{s}}{\int }_{\mathrm{0}}^l\mathrm{2}u{u}^{\text{'}}\mathrm{d}x=\mathrm{0}\end{array}（15）

对公式（15）用分部积分，再根据变分原理可得纵向位移影响下的剪力滞控制微分方程：

{\int }_{\mathrm{0}}^l\left[M\left(x\right)+E_{\mathrm{s}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{w}}(\mathrm{1}+\xi ){\omega }^{″}+E{I}_{\mathrm{u}}{\omega }^{″}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{u}^{\text{'}}\right]=\mathrm{0}（16）

-\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}E{I}_{\mathrm{u}}{u}^{″}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}G{I}_{\mathrm{s}}u-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{\omega }^{‴}=\mathrm{0}（17）

\left(\frac{\mathrm{3}E{I}_u{\omega }^{″}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{9}E{I}_u{u}^{\text{'}}}{\mathrm{14}}\right)\delta u{|}_{\mathrm{0}}^l=\mathrm{0}（18）

式（16）和（17）为求解剪力滞系数的微分方程，式（18）为边界条件。现令桁架组合梁的抗弯刚度EI=E{I}_{\mathrm{u}}+E_{\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{w}}(\mathrm{1}+\xi )，其中I=I_{\mathrm{u}}+{\partial }_{\mathrm{E}}{I}_{\mathrm{s}}，{\partial }_{\mathrm{E}}为钢材和混凝土的弹性模量比值。对式（16）两边进行求导，和式（18）联立消去{\omega }^{″}，即：

\begin{array}{l}EI{\omega }^{‴}+\frac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{u}^{″}=\\ E{I}_{\mathrm{u}}{\omega }^{‴}-\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{5}}\frac{G{I}_{\mathrm{s}}Iu}{I_u}+\frac{\mathrm{6}EI{u}^{″}}{\mathrm{7}}\end{array}（19）

将式（19）整理得：

Q(x)=\left(\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}}EI-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_u\right)u^{″}-\frac{\mathrm{12}G{I}_{\mathrm{s}}Iu}{\mathrm{5}{I}_{\mathrm{u}}}（20）

令n=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{7}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{8}I}},k=\sqrt[]{\frac{\mathrm{12}G{I}_{\mathrm{s}}n}{\mathrm{5}E}}

公式（20）可进一步化简为：

u^{″}-k^{\mathrm{2}}u=\frac{\mathrm{7}nQ(x)}{\mathrm{6}EI}（21）

求解上述二阶非齐次方程，可得其通解为：

u(x)=\frac{\mathrm{7}nQ(x)}{\mathrm{6}EI}[C_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)+C_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)+u\mathrm{*}]（22）

式中：u*由剪力函数Q（x）来确定；C₁与C₂由边界条件确定；sh、ch为双曲正弦函数和双曲余弦函数。

由M(x)+EI{\omega }^{″}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}E{I}_{\mathrm{u}}{u}^{\text{'}}=\mathrm{0}可得梁的挠度二阶导数与弯矩的关系为：

\begin{array}{l}{\omega }^{″}(x)=-\left(\frac{M(x)}{EI}+\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{4}I}\right)=-\frac{\mathrm{1}}{EI}\left(M(x)+\frac{\mathrm{3}E{I}_{\mathrm{u}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{4}}\right)\\ =-\frac{\mathrm{1}}{EI}\left(M(x)+M_{\mathrm{F}}(x)\right)\end{array}（23）

式中：M_F为考虑剪力滞效应的附加弯矩。可以看出，只要求出u（x）的解，则组合梁截面正应力可表示为：

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{x}i}=E{\epsilon }_{\mathrm{x}i}=\frac{E\partial u_i(x,y)}{\partial x} =E{h}_{\mathrm{u}}\left[{\omega }^{″}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}\right)u\right]\\ =E{h}_{\mathrm{u}}\left[-\frac{M(x)}{EI}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{4}I}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}\right)u^{\text{'}}\right]\\ =E{h}_{\mathrm{u}}\left[-\frac{M(x)}{EI}+\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)u^{\text{'}}\right] \\ ( i=\mathrm{1,2})\end{array}（24）

式中：ε_xi 为正应变；h_u为桥面板上任一点到换算中性轴的距离；b_i 为桥面板宽度。

1.3 剪力滞系数的计算

剪力滞系数λ为截面的实际正应力σ与按初等梁理论求得的平均正应力\overline{\sigma }的比值。当\lambda\ge1时，为正剪力滞效应，即截面实际正应力大于或等于按初等梁理论计算的平均正应力；当\lambda<1时，为负剪力滞效应，即截面实际正应力小于按初等梁理论计算的数值。

2 剪力滞效应计算公式

2.1 承受集中荷载的简支梁

对于承受集中荷载P的简支梁，如图3所示，当\mathrm{0}\le x\le a时，其位移u最大差值函数的微分方程为：

u_{\mathrm{1}}^{″}-k^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{7}nPb}{\mathrm{6}EIl}（25）

方程解为：

u_{\mathrm{1}}(x)=\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}EI}\left(-\frac{b}{k^{\mathrm{2}}l}+C_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)+C_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)\right)（26）

当a\le x\le l时，其最大差值函数的微分方程为：

u_{\mathrm{2}}^{″}-k^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{7}nPa}{\mathrm{6}EIl}（27）

方程解为：

u_{\mathrm{2}}(x)=\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}EI}\left(\frac{a}{k^{\mathrm{2}}l}+C_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)+C_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)\right)（28）

边界条件为：

（1） 当x=0时，u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x)=\mathrm{0}；

（2） 当x=l时，u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x)=\mathrm{0}；

（3） 连续条件为x=a时，u_{\mathrm{1}}\left(x\right)=u_{\mathrm{2}}\left(x\right)；

（4） 根据能量变分要求x=a时，有：

\left[u_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\left(x\right)-\frac{\mathrm{7}n{M}_{\mathrm{1}}(x)}{\mathrm{6}EI}\right]+\left[u_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\left(x\right)-\frac{\mathrm{7}n{M}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{6}EI}\right]=\mathrm{0}（29）

由上面四个条件可算得：

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\\ C_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{k^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\\ C_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{k^{\mathrm{2}}}\\ C_{\mathrm{4}}=\frac{-\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{k^{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{h}(kl)}\end{array}\right.（30）

则最大差值函数的解及其导数可以表示为：

u_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}EI{k}^{\mathrm{2}}}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)-\frac{b}{l}\right)（31）

u_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}EI{k}^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}(kx)-\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{\mathrm{t}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)+\frac{a}{l}\right)（32）

当\mathrm{0}\le x\le a时，混凝土板的截面应力为：

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{x}i}=\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}\left[M(x)-\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}k}\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)\right]\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（33）

当a\le x\le l时，混凝土板的截面正应力为：

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{x}i}=\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}\left[M(x)-\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}k}\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)-\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(ka)}{\mathrm{t}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)\right]\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（34）

在跨中施加集中力时，跨中截面正应力为：

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{x}i}=\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}\left[M(x)-\frac{\mathrm{7}nP}{\mathrm{6}k}\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{kl}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)\right]\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（35）

则跨中剪力滞系数可求得为：

\begin{array}{l}\lambda =\frac{{\sigma }_{\mathrm{x}i}I}{M(x)h_{\mathrm{u}}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{x}i}}{\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}·\frac{Pa}{\mathrm{2}}} \\ =\mathrm{1}-\frac{\mathrm{7}n}{\mathrm{3}ka}\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{kl}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{kl}{\mathrm{2}}\right)\right)\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（36）

2.2 承受均布荷载的简支梁

在简支梁桥面板上作用均布线荷载q，如图4所示。桥面板剪切转角的最大差值函数u(x)的微分方程可表示为：

u^{″}-k^{\mathrm{2}}u=\frac{\mathrm{7}nq}{\mathrm{12}EI}\left(l-\mathrm{2}x\right)（37）

通解为：

u(x)=\frac{\mathrm{7}nq}{\mathrm{6}EI}\left(-\frac{l-\mathrm{2}x}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}}}+C_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)+C_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)\right)（38）

根据边界条件：

u^{\text{'}}{|}_{x=\mathrm{0}}=\mathrm{0} ; u^{\text{'}}{|}_{x=l}=\mathrm{0}（39）

可解得：

C_{\mathrm{1}}=-\frac{\mathrm{1}}{k^{\mathrm{3}}},C_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{c}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{1}}{k^{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}（40）

可得出：

u(x)=\frac{\mathrm{7}nq}{\mathrm{6}EI}\left(-\frac{l-\mathrm{2}x}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{k^{\mathrm{3}}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)+\frac{\mathrm{c}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{1}}{k^{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)\right)（41）

由此可得出附加弯矩和翼缘板正应力为：

M_{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{7}{I}_{\mathrm{u}}nq}{\mathrm{8}I{k}^{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)+(\mathrm{c}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{1})\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\right]（42）

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{x}i}=\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}\left\{M(x)-\frac{\mathrm{7}nq}{\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right)\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{h}(kx)+(\mathrm{c}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{1})\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}(kx)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\right]\right\}\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（43）

跨中剪力滞系数为：

\begin{array}{l}\lambda =\frac{{\sigma }_{\mathrm{x}i}I}{M(x)h_{\mathrm{u}}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{x}i}}{\frac{h_{\mathrm{u}}}{I}\cdot \frac{q{l}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}}=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{28}n}{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{3}}}{b_i^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{3}{I}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{4}I}\right]\left[\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\frac{kl}{\mathrm{2}}\right)+(\mathrm{c}\mathrm{h}(kl)-\mathrm{1})\frac{\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\frac{kl}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{h}(kl)}\right]\\ \left(i=\mathrm{1,2}\right)\end{array}（44）

3 剪力滞效应的有限元分析

为了验证基于能量变分法得到的剪力滞系数公式的正确性，本文采用有限元方法进行验证，并在此基础上研究荷载类型和荷载施加位置的影响，得到剪力滞系数沿纵桥向、横桥向和板厚方向的分布规律。

3.1 有限元方法验证

3.1.1 有限元模型

基于试验^［29］建立钢管混凝土桁式混合结构梁桥的有限元模型，如图5所示。

（1） 钢材

弦杆均采用Solid45实体单元模拟；腹杆与拉杆采用Beam188梁单元模拟。钢材的应力-应变关系采用多线性等向强模型（MISO），钢管的屈服强度、极限强度与弹性模量均采用材性试验值。

（2） 混凝土

选用Solid65实体单元模拟混凝土桥面板和钢管内混凝土，混凝土的应力-应变关系选取多线性等向强化模型（MISO），抗拉强度取3.51 MPa，弹模取34 800 MPa，抗压强度按试验值取51.73 MPa。桥面板混凝土本构模型采用单轴本构模型^［30］，设置Concrete模型模拟开裂，破坏准则选取W-W破坏准则，开口裂缝剪力传递系数取0.5，闭合裂缝剪力传递系数取0.95。钢管内混凝土为约束混凝土，强度和塑性变形能力均有提升，采用文献［31］的约束本构模型，不考虑其开裂。

（3） 钢筋

采用Link180单元模拟钢筋网，纵向钢筋配筋率取1.04%，横向钢筋配筋率取1.13%。钢筋的应力-应变关系选取双线性等向强化模型（BISO），屈服应力取335 MPa，弹性模量取2.06×10⁵ MPa。

（4） 接触

模型中存在多处接触，其中横向拉杆与弦杆、腹杆与弦杆之间的接触，为不同自由度单元间的接触，采用MPC多点耦合接触法实现。为提高计算效率，对模型做如下简化：忽略钢管混凝土中钢管与混凝土之间的相对滑移；忽略桁架上弦杆与混凝土板之间的相对滑移。

3.1.2 有限元模型验证

按试验工况施加荷载，得到荷载-位移曲线如图6所示；提取荷载为400 kN时混凝土板上部的应力，与试验数据对比，如图7所示。可见，有限元计算结果与试验结果吻合较好，验证了该有限元模型的合理性与准确性，可用于该类桥梁剪力滞效应的研究。

3.2 集中荷载下的剪力滞效应

3.2.1 荷载施加

模型承受集中荷载和自重作用，自重通过设置材料密度和y方向重力加速度模拟，集中荷载采用横向两点加载的方式施加在钢垫块中心。集中荷载的纵向施加位置分为3种，分别为L/2、L/4以及L/8处，如图8所示。

3.2.2 不同工况下桥面板的应力分布

数值模拟结果表明，钢管混凝土桁式混合结构梁桥在荷载达到400~450 kN时进入塑性阶段，因此提取荷载等级为380 kN时的混凝土板应力计算剪力滞系数。该荷载作用下，桥面板板顶与板底的正应力云图如图9所示。

由上述应力云图可知，集中荷载作用下，板顶应力最大值出现在荷载施加位置，应力集中区域呈椭圆状向四周辐射；板底应力集中区域较小，主要集中在荷载施加位置的板-桁接触区域。随着荷载施加位置从L/2向L/8处偏移，应力集中区域逐渐缩小，整个截面的最大应力值也随之减小。

3.2.3 剪力滞系数沿横桥向变化规律

采用能量变分法和有限元法得到荷载施加位置处的截面应力，如表1所示，可见两种方法的计算趋势较为接近，但有限元法计算结果总体偏大，原因是集中荷载作用点存在应力集中现象，导致计算结果偏大。

先按初等梁理论求出截面的弯曲正应力，再求解剪力滞系数，剪力滞系数为截面的实际正应力与按初等梁理论求得的平均正应力的比值。剪力滞系数沿横桥向的分布规律如图10所示。由此可得加载截面处剪力滞系数沿横桥向的分布规律：

（1） 组合梁在L/2截面、L/4截面、L/8截面承受对称荷载时，剪力滞系数峰值均出现在板-桁交界处，呈正剪力滞形态分布，即截面实际正应力大于或等于按初等梁理论计算的平均正应力。

（2） 加载截面中心处出现了负剪力滞效应，原因是初等梁理论计算的应力值与弯矩值呈线性相关，而有限元法得到的桥面板应力值与弯矩值并非线性相关，导致截面中心处的有限元值小于初等梁理论计算值。

（3） 能量变分法的计算结果与有限元结果较为接近，验证了能量变分法计算公式的正确性。能量变分法得到的剪力滞效应略小于有限元计算值，一方面是由于理论分析中的假设简化与实际情况存在一定差异，另一方面是由于能量变分法未考虑应力集中的影响。

3.2.4 剪力滞系数沿纵桥向变化规律

采用能量变分法计算公式和有限元方法得到板-桁连接处剪力滞系数沿纵桥向变化规律，如图11所示。

由图11可得加载位置对截面剪力滞系数的影响规律：

（1） 荷载施加位置对加载截面的剪力滞系数最大值存在影响，荷载施加位置离支座越近，截面剪力滞系数最大值越大。

（2） 集中荷载作用下，剪力滞效应仅在加载位置两侧的附近区段较为显著。

（3） 能量变分法的剪力滞系数计算结果与有限元结果基本吻合，略小于有限元结果，原因是能量变分方程未考虑荷载施加位置处的应力集中，且理论分析的假设简化与实际情况存在差异。

3.3 均布荷载下的剪力滞效应

3.3.1 桥面板沿纵桥向应力分布

模型承受的荷载分为两部分，一是施加在垫块上的均布荷载，二是组合梁自身的自重。剪力滞系数为弹性阶段的实际正应力与初等梁理论计算正应力的比值，因此提取弹性阶段某一荷载下桥面板的应力云图，研究其应力分布规律，如图12所示。可见，均布荷载作用下，板顶的应力集中现象不如集中荷载作用下明显，且弯曲应力最大值降幅较大；跨中截面的应力显著高于其它位置的应力，应力分布也与其它位置差异较大，出现交界处应力小于两侧应力的现象。

3.3.2 桥面板纵向弯曲应力沿厚度方向变化规律

在上弦杆处对称施加均布荷载时，跨中截面是桥面板的最大受力区域，因此本节针对跨中附近截面的应力变化规律展开研究。截面位置如图13所示，其中E截面为跨中截面，截面A、B、C、D位于受拉腹杆的一侧，截面F、G、H、I位于受压腹杆一侧，相邻截面间距为44 mm。

桁架组合梁的板-桁连接处应力状态复杂，板厚变化会对截面剪力滞效应产生影响，因此分析均布荷载下桥面板纵向弯曲应力沿板厚方向的变化规律。在桥面板中选取3个不同高度位置作为应力取值点，分别为上部（距离板顶0 mm）、中部（距离板顶40 mm）、下部（距离板顶80 mm）；选取跨中节点附近区域的截面A、C、E、G、I进行分析，结果如图14所示。可以看出，不同截面桥面板的应力沿厚度方向的变化规律差异较大，尤其是节点中心的E截面，纵向弯曲应力沿厚度方向分布明显不均，桥面板上部和中部的板-桁交界处出现应力明显小于两侧应力的现象，即负剪力滞效应；远离节点中心的截面，纵向弯曲应力沿板厚方向的分布规律较为一致，板-桁交界处应力大于两侧应力，即正剪力滞效应。桥面板应力沿板厚方向的变化规律需引起工程重视。

3.3.3 桥面板纵向弯曲应力沿纵桥向变化规律

钢管混凝土桁式混合结构梁桥的结构形式与其它组合梁桥的结构形式存在差异，其桥面板由钢管混凝土桁架点支撑，极易出现应力集中现象。图15对比了板-桁交界处和桥面板横向中间位置的应力，可见板-桁交界处的应力沿纵桥向分布极不均匀，原因是桁架组合梁为点支撑形式，应力传递不连续，易产生应力突变。

3.3.4 剪力滞系数沿横桥向变化规律

均布荷载作用下，桥面板跨中区域为主要受压区域，也是压应力最大值区域，因此本节分析跨中节点附近截面剪力滞系数的分布规律。

根据初等梁理论计算跨中节点附近区域的弯曲应力值，A-A、I-I截面为3.66 MPa，B-B、H-H截面为3.57 MPa，C-C、G-G截面为3.49 MPa，D-D、F-F截面为3.12 MPa，E-E截面为2.85 MPa。

通过能量变分法计算跨中节点附近区域相关截面的弯曲应力值，计算结果与有限元模拟值高度接近，仅在节点位置处存在微小差异，误差在3%以内，因此研究剪力滞效应横向变化规律时，不再与有限元模拟值对比。

将上述9个截面的纵向弯曲应力转化为剪力滞系数，结果如图16所示。可以看出，靠近跨中节点位置的截面C、D、E、F、G其板-桁交界位置出现了负剪力滞现象，其中跨中节点处的E截面负剪力滞效应最为显著，节点两侧截面的负剪力滞效应程度逐渐降低，并逐步过渡为正剪力滞效应；远离跨中节点的截面A、B、H、I其板-桁交界位置呈正剪力滞现象；翼板边缘位置均出现正剪力滞现象，主要因为是翼板边缘的拉应力较大，而初等梁理论计算的应力值较小；桥面板横向中心区域基本无剪力滞现象，主要原因是跨中截面的压应力主要由梁肋承担，桥面板中心区域的压应力较小，而初等梁理论计算的正应力较大。

3.3.5 剪力滞系数沿纵桥向变化规律

选取板-桁交界处为研究对象，分析其在均布荷载下剪力滞系数的纵桥向变化规律。根据能量变分法和有限元法计算得到桥面板沿纵桥向的剪力滞系数，结果如图17所示。可以看出，有限元模拟数据与能量变分法计算数据差异较小，仅在节点位置处存在轻微误差。与集中荷载作用下剪力滞系数的纵桥向分布规律对比发现，节点位置处的剪力滞系数均有不同程度的降低，且节点处均表现为负剪力滞效应，越靠近节点位置负剪力滞效应越显著，剪力滞系数最低为0.46。

4 结论

（1） 基于能量变分原理，在忽略钢管与混凝土之间滑移的前提下，推导了简支梁在不同荷载作用下最大差值函数的微分方程，得到桥面板正应力与附加弯矩的解析表达式，最终推导得出剪力滞系数的计算公式；通过有限元方法与理论计算结果对比，验证了计算公式的正确性，该公式适用于三肢、四肢等常规截面的钢管混凝土桁式混合结构梁桥。

（2） 集中荷载作用下，不同加载截面的桥面板纵向弯曲应力峰值均出现在板-桁交界区域，呈正剪力滞形态分布；剪力滞效应仅存在于加载位置两侧的附近区段，且加载区域离支座越近，该区域的剪力滞效应越显著。

（3） 均布荷载作用下，节点中心位置的截面，其纵向弯曲应力沿厚度方向分布不均，桥面板上部和中部出现负剪力滞现象；远离节点中心的截面，纵向弯曲应力沿厚度方向的分布规律较为一致，呈正剪力滞现象。靠近跨中节点的截面出现负剪力滞效应，其中节点中心截面的负剪力滞效应最为显著，两侧截面的负剪力滞效应程度逐渐降低，并逐步过渡为正剪力滞效应。

（4） 无论均布荷载还是集中荷载作用，节点位置处的剪力滞系数均有不同程度的降低，且节点处均表现为负剪力滞效应，越靠近节点位置，负剪力滞效应越显著，剪力滞系数最低为0.46。

（5） 计算钢管混凝土桁式混合结构梁桥的桥面板有效宽度时，应充分考虑剪力滞效应的影响。

（6） 对于存在较大滑移的不完全剪力连接钢管混凝土桁式混合结构梁桥，其截面变形不协调，滑移会对截面刚度产生影响，本文推导的计算公式不再适用。

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基金资助

国家自然科学基金(52078249)

南京航空航天大学教育教学改革项目(2023JG0727Y)

南京航空航天大学教育教学改革项目(2024YJXG-E21)

南京航空航天大学教育教学改革项目(2024YJXGG-C12)

南京航空航天大学研究生科研与实践创新计划项目(xcxjh20230727)