考虑节点位移偏差的自由曲面网壳结构形态优化方法研究

Research on Shape Optimization Method of Free-Form Surface Reticulated Shells Considering Nodal Displacement Variance

摘要

自由曲面网壳结构凭借造型丰富灵动、跨越能力强等优势，被广泛应用在大跨度公共建筑中。然而，其曲面形态的复杂多变和结构刚度分布的不均匀会对结构稳定性能与极限承载力产生不利影响，使其难以满足大跨度空间结构对受力性能及安全储备的设计要求。为提升自由曲面网壳结构的整体刚度，从而提高结构稳定性能与极限承载力，本文以节点位移方差作为结构整体刚度的衡量参数，并将其最小化作为结构性能的优化目标，采用NURBS曲面上控制点的竖向坐标值为优化变量，基于遗传算法对结构形态进行优化设计。结果表明：以节点位移方差作为结构性能的优化目标可得到满足要求的自由曲面网壳结构形态，与以应变能作为优化目标的结果相比，以节点位移方差为目标获得的结构形态具有更高的极限承载力，且在优化过程中结构的前三阶固有频率稳步提高，有效提升了结构的整体性能。

Abstract

Free-form reticulated shell structures are widely used in large-span public buildings due to their rich and flexible shapes and strong spanning capabilities. However， their complex and variable surface geometries， coupled with uneven distribution of structural stiffness， adversely affect structural stability and ultimate load-bearing capacity， making it difficult for them to meet the design requirements for mechanical properties and safety margins in large-span spatial structures. In order to improve the overall stiffness of free-form reticulated shell structure， thereby improving the structural stability and ultimate bearing capacity， this study adopted the nodal displacement variance as the evaluation metric of the overall stiffness of the structure， and minimized it as the objective of structural performance optimization. The vertical coordinate values of control points on the NURBS surface were selected as optimization variables， and the structural shape was optimized based on a genetic algorithm. The results show that by using the nodal displacement variance as the optimization objective of the structural performance， a free-form reticulated shell structural shape that meets the requirements can be obtained. Compared with the strain energy-based optimization results， the structural form obtained using nodal displacement variance as the objective exhibits higher bearing capacity， and the first three natural frequencies of the structure increases steadily during the optimization process， which can effectively improve the overall performance of the structure.

Graphical abstract

关键词

自由曲面网壳结构 / 形态优化 / NURBS曲面 / 节点位移方差 / 遗传算法

Key words

free-form surface reticulated shell structure / shape optimization / NURBS surface / nodal displacement variance / genetic algorithm

自由曲面网壳结构因其新颖美观的结构形式而在工程中得到广泛应用，如何实现其建筑造型与力学性能的有机统一，是当前空间网格结构形态研究的核心课题。作为典型的形状抵抗型结构，自由曲面网壳在设计时不仅需满足建筑功能与美学要求，更要保证受力性能的合理性，以确保设计的完整性与有效性^［1］。美国建筑学家R.Buckminster Fuller曾指出：“合理的形式就是美的”^［2］。一个合理的自由曲面结构，在契合建筑美学需求的同时，亦需具有卓越的力学性能。因此，构建形态美观且力学性能优异的自由曲面网壳结构，已成为该领域研究的关键要点。

早期进行结构形态创建时，常采用“逆吊实验法”^［3］来寻求最优曲面。“逆吊实验法”从力学平衡原理出发实现了零弯矩结构形态的构建。近年来，随着计算机技术与数值计算方法的不断进步，基于数值分析的形态创构方法逐渐被推广应用。崔昌禹等^［4-5］基于有限元法先后提出了改进进化论方法、高度调整法等空间结构形态创建方法。李欣等^［6］将结构总应变能最小化设定为优化目标，将NURBS曲面技术与梯度算法结合，通过不断修正曲面上控制点的坐标和权因子，最终得到了结构总应变能处于最小状态时的曲面形状。冯若强等^［7］在优化过程中引入B样条曲线，并以曲线上已知点为优化变量对结构进行多目标优化，具有较高的工程实用价值。陆明飞等^［8-9］基于经典构形易损性理论，引入几何刚度矩阵，提出了考虑荷载及结构几何非线性的节点构形度评价指标，揭示了网壳结构的失稳机理，并通过改进遗传算法优化了网壳结构的稳定性能。史若琪等^［10］通过构建局部构形刚度参数，预测结构考虑初始缺陷后的失稳区域，并通过调整局部构形刚度达到提升结构稳定性能的目的。张澜等^［11］通过分析杆系结构失稳前的受力情况，引入杆件构形刚度参数作为评判结构刚度的依据，在此基础上对网壳结构的稳定性能进行了优化研究。

本文针对自由曲面网壳结构形态与力学性能优化问题，将节点位移方差作为结构整体刚度评价指标，并以结构节点位移方差最小化以及NURBS曲面上控制点竖向坐标值分别为优化目标和优化参数，利用遗传算法优化调整结构形态控制参数，以期达到提升结构整体力学性能的目的。

1 NURBS曲面技术

NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）曲面技术^［12］是一种用于描述和生成二维和三维曲面的数学方法，可以通过调整控制点、权因子和节点矢量创建出各种复杂的曲面形状。在u方向p次、v方向q次的NURBS曲面可定义如下：

S(u,v)=\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{N}_{i,p}(u)N_{j,q}(v){\omega }_{i,j}{P}_{i,j}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{N}_{i,p}(u)N_{j,q}(v){\omega }_{i,j}}(\mathrm{0}\le u,v\le \mathrm{1})（1）

式中：N_{i,p}(u)、N_{j,q}(v)分别为定义在非周期节点矢量U和V上的第i个第p次、第j个第q次B样条基函数；P_{i,j}代表控制顶点，其构成了控制网格，用于定义NURBS曲面的形状；{\omega }_{i,j}为权因子，与控制点一一对应，权因子愈大NURBS曲面离控制点愈近。

节点矢量定义为：

\begin{array}{l}U=\left\{\underset{p+\mathrm{1}}{\underbrace{\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0},}}{u}_{p+\mathrm{1}},\cdots ,u_{r-p-\mathrm{1}},\underset{p+\mathrm{1}}{\underbrace{\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{1}}}\right\}(r=m+p+\mathrm{1})\\ V=\left\{\underset{q+\mathrm{1}}{\underbrace{\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0},}}{u}_{q+\mathrm{1}},\cdots ,u_{s-q-\mathrm{1}},\underset{q+\mathrm{1}}{\underbrace{\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{1}}}\right\}(s=n+q+\mathrm{1})\end{array}（2）

引入基函数：

（3）

u、v均为四次的NURBS空间曲面示意图以及相应的控制点网格布置如图1所示。

2 自由曲面网壳结构整体刚度评价指标

结构的整体刚度是指结构在受到外力作用时抵抗变形的能力，结构在静力荷载作用下的节点位移是衡量结构刚度的重要指标。文献［13］指出平均节点位移的大小体现了结构整体刚度的大小。然而，节点位移平均值易受到个别极端值的影响，在反映节点位移波动性方面存在局限性，而方差可较好地衡量均匀性和波动性。因此，本文将节点位移方差作为结构整体刚度的评价指标，即：

V_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{k}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}(u_i-\overline{u})}^{\mathrm{2}}（4）

式中：V_{\mathrm{u}}为结构的节点位移方差；k为结构非约束节点数；u_i为节点i的竖向位移；\overline{u}为节点位移平均值，\overline{u}=\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{u}_i。上式反映了结构节点之间竖向位移的离散情况，V_{\mathrm{u}}越小表示结构节点抵抗荷载的能力分布越均匀，可实现结构节点刚度的均匀分布，有利于提高结构的整体性能。

3 以节点位移方差最小化为目标的结构形态优化

3.1 优化目标

为提高结构的整体刚度，达到提升结构整体力学性能的目的，本文以结构曲面控制点的z向坐标值为优化变量，以结构节点位移方差最小化为优化目标，建立基于节点位移方差的结构形态优化方法。将优化目标函数定义为：

o_{\mathrm{b}\mathrm{j}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(V_{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}(u_i{-\overline{u})}^{\mathrm{2}}\right)（5）

3.2 优化变量

为保证自由曲面网壳结构曲面的光滑性，在优化过程中引入了NURBS曲面技术，通过控制曲面控制点的坐标值形成光滑曲面。控制点的位置对自由曲面结构形状有较大影响，若同时调整控制点三个方向的坐标值，容易造成网格和曲面的畸形。因此，本文选取NURBS曲面上控制点的竖向坐标值作为优化变量，通过调整控制点的坐标值达到优化结构形态、改善结构受力性能的目的。

3.3 约束条件

根据《空间网格结构技术规程》（JGJ 7—2010）^［14］，单层空间网壳结构的杆件长细比和节点最大位移分别按式（6）、（7）计算，杆件长细比和节点最大位移应不大于其允许值。

{\lambda }_i=\frac{l_{\mathrm{0}i}}{{\beta }_i}\le [\lambda ]（6）

式中：{\lambda }_i表示第i根杆件的长细比；l_{\mathrm{0}i}表示第i根杆件的长度；{\beta }_i表示第i根杆件的截面回转半径；[\lambda ]为杆件长细比的容许值。对受压构件，[\lambda ]=\mathrm{150}；对受拉构件，[\lambda ]=\mathrm{250}。

{\zeta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{L}{\mathrm{400}}（7）

式中：{\zeta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为结构节点的最大位移，本文指节点的最大竖向位移；L为结构短向跨度。

3.4 遗传算法

遗传算法由美国教授John H.Hollan提出^［15］，其基本原理在于对生物进化进程里的自然选择、遗传以及变异机制予以模拟，进而实现对问题最优解的搜索。遗传算法对问题难易度的依赖性小，适用于多种复杂的优化问题，在工程设计领域得到了广泛的应用，如结构形态优化^［16-17］、结构拓扑优化^［18-19］以及结构截面优化^［20-21］等。本文将NURBS曲面上控制点的z向坐标值选定为优化变量，以结构节点位移方差最小为优化目标，采用遗传算法进行结构形态的优化，以达到提升结构整体刚度的目的，具体过程如下：

（1） 参数设置。设置种群规模为N，交叉概率为p_{\mathrm{x}}，变异概率p_{\mathrm{m}}与最大遗传代数M_AXGEN等参数。各参数如表1所示。

（2） 结构模型设置。将参数导入结构模型，设置初始模型信息及优化变量的变化范围。

（3） 种群初始化。根据控制点的竖向坐标值采用二进制编码生成大小为N的初始种群P。利用NURBS曲面技术，借助控制点矩阵构建出NURBS曲面，再经投影操作获取网壳结构的初始模型。

（4） 适应度评估。适应度主要用于评估、比较种群内个体在解决问题时的优劣程度。在最小化问题中，个体适应度值越高，其被遗传至下一代的可能性越大。通常约束条件下的适应度函数可由目标函数与惩罚函数相结合得到，具体构造如下：

F(x)=p(x)V_{\mathrm{u}}(x)=p(x)\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}(u_i{-\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{u}_i)}^{\mathrm{2}}\right)（8）

式中：p(x)表示惩罚函数；V_{\mathrm{u}}(x)为目标函数，x为种群中个体控制点对应的竖向坐标值。

本文采用GEN等^［22］提出的惩罚函数计算方法。针对不满足约束条件的目标函数值予以“惩罚”从而降低其适应度值，而该“惩罚”由函数值的违反程度确定。罚函数按下式计算：

p(x)=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{t}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^t}\left[\frac{\mathrm{\Delta }{b}_i(x)}{\mathrm{\Delta }{b_i}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right]（9）

\mathrm{\Delta }{b}_i(x)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\mathrm{0},g_i(x)-b_i(x)\right\}（10）

\mathrm{\Delta }{b_i}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\epsilon ,\mathrm{\Delta }{b}_i(x)\right\}（11）

式中：\mathrm{\Delta }{b}_i(x)、b_i(x)分别为当前种群中个体x对第i(i=\mathrm{1,2})个约束条件的违反程度、违反量；\mathrm{\Delta }{b}_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大违反量；g_i(x)为第i(i=\mathrm{1,2})个约束条件的计算值；t为约束条件的总数，t=\mathrm{2}；\epsilon为较小正数，用于避免被除零的惩罚，取0.000 5。

（5） 对初始种群P实施包括选择、交叉、变异在内的一系列遗传操作，从而产生子代种群Q。

（6） 将种群P与种群Q合并，计算合并种群R中全部个体的适应度值，并依次实施选择、交叉等遗传操作，进而获得新一代子代种群。

（7） 以迭代次数作为收敛条件，即当进化步数达到最大遗传代数时，循环结束，输出最终优化种群U；否则返回第3步。结构形态优化流程如图2所示：

4 算例分析与验证

4.1 6 m跨四点支承矩形网壳结构

如图3所示，一跨度为6 m的四点支承矩形网壳结构，角点处设置固定支座，结构杆件均采用Q235圆钢管，截面尺寸为40.0 mm×3.0 mm，结构的材料弹性模量为2.06×10⁵ MPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg·m^-3，将结构自重与屋面荷载采用荷载组合方法得到作用于节点上的等效荷载设计值为0.890 kN。采用前述方法对该结构的形态进行优化。

在优化过程中，将曲面上控制点的z向坐标值作为优化变量，以节点位移方差最小作为优化目标，以遗传算法作为优化算法，以杆件的长细比与节点最大位移作为约束条件。采用u=\mathrm{4}、v=\mathrm{4}的NURBS曲面以保证网壳结构曲面的光滑，曲面形状控制点如图3b）所示。

图4为该结构的进化过程，可以看出，网壳结构形状初始呈扁平状，随着迭代步数的增加网壳逐渐向上拱起，结构形态逐渐趋于稳定，最终演变成图4f）所呈现的结构形态。此时，结构杆件的最大长细比为119.24、结构节点的最大竖向位移为0.003 m，均满足设计要求。

以图4所示各典型迭代步对应的网壳结构为分析对象，在竖向节点荷载作用下各结构的荷载-位移曲线如图5所示。由图可知，随着迭代步数的增加，弹性阶段曲线直线段的斜率逐渐增大，表明结构的刚度逐渐增强，结构的极限承载力也随着迭代过程的进行得到提升，有效地提升了结构的安全性。

图6为优化进程中结构节点位移方差与极限承载力随迭代步数的增加而形成的过程曲线。在初始进化阶段，结构的节点位移方差较大，极限承载能力较小，第5代迭代步对应的结构极限承载力为0.802 kN。随着迭代过程的进行，节点位移方差不断减小并呈稳定下降趋势，并于第200代迭代步后趋于稳定，结构极限承载力整体呈上升趋势，优化结束后的结构承载力为3.471 kN。

图7为进化过程中结构总应变能（C）相对于迭代步数的变化曲线，可以看出，随着迭代步数的不断增加，结构总应变能呈逐渐递减趋势，并于第150代迭代步趋于稳定，最终结构的应变能为32.827 J。由此可知，以节点位移方差为优化目标可以有效降低结构总应变能，从而提高结构的整体刚度。

表2为优化过程中结构静力性能的变化情况。可以看出，随着优化的进行，最大节点位移和平均位移显著下降，同时结构的前三阶固有频率大幅度上升。最终结构的第一、二、三阶频率值分别为11.052 Hz、13.787 Hz、16.229 Hz，分别为第2代迭代步对应结构的2.65、2.35、2.49倍，结构的整体刚度明显增强。

以优化结束后获得的结构为分析对象，依照《空间网格结构技术规程》（JGJ7—2010）^［14］采用一致模态缺陷方法，对其施加L/300的初始缺陷。经计算，结构的极限承载力为3.262 kN，明显高于等效节点荷载0.890 kN，结构具有较好的极限承载能力。

为进一步验证上述结构形态优化方法的有效性，采用相同的优化变量、优化算法及约束条件，以结构总应变能最小作为目标，对该四点支撑矩形网壳结构进行形态优化。图8为优化过程中结构总应变能及其极限承载力随迭代步数的变化曲线。可知随迭代过程的进行，结构总应变能逐渐趋于平稳，最终结构的极限承载力为2.367 kN。此时，结构应变能大小为32.866 J。

对比图6与图8可知，以节点位移方差最小为优化目标时，在优化进程中结构的极限承载力总体上呈上升趋势，波动较小，而以应变能最小为优化目标时，结构的极限承载力在迭代过程中出现了上下起伏波动的情况，难以获得性能较好的结构形态。

同时还可看出，不考虑初始缺陷时，以节点位移方差最小为优化目标的结构极限承载力为3.471 kN，高于以应变能最小为优化目标的结构极限承载力2.367 kN，但两者的应变能大小相差较小，分别为32.827 J、32.866 J。说明以节点位移方差最小为优化目标的形态优化方法，在结构形态优化的同时可以达到降低结构应变能的目的。

4.2 20 m跨非规则边界自由曲面网壳结构

图9a）为一跨度为20 m的自由曲面网壳结构，采用的形状控制点网格如图9b）所示。沿结构周边设置固定支座，杆件选用截面尺寸为80.0 mm×3.0 mm的Q235圆钢管，材料弹性模量为2.06×10⁵ MPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg·m^-3，作用于结构上的等效节点荷载设计值为2.000 kN。

以节点位移方差最小为优化目标，选取图9b）中控制点的竖向坐标值为优化参数，以遗传算法作为优化算法，通过优化控制点的竖向坐标值，实现结构形态的优化。

优化过程中该自由曲面网壳结构的形态变化过程如图10所示。优化初期，结构形态变化较大，随着迭代步数的增加，结构形态逐步向稳定状态进化，最终演变成如图10f）所示的结构形态。此时，结构杆件的最大长细比为67.62，节点最大位移为0.021 m，均满足设计要求。

对图10所示各迭代步对应的结构进行弹塑性稳定性分析，获得结构荷载-位移曲线如图11所示。由图可知，随着优化的进行，结构的极限承载力逐步增大，在优化后期其值趋于稳定。

在结构的优化迭代过程中，结构节点位移方差及其极限承载力随迭代步数的变化曲线如图12所示。可以看出，在结构优化的初始阶段，结构节点位移方差大幅度下降；结构极限承载力不断增大，由第2代的0.418 kN增至第53代的1.845 kN。随着迭代步数的增加，节点位移方差逐渐下降并趋于稳定，最终结构的极限承载力为3.370 kN。同理，采用一致缺陷法对优化后获得的结构施加L/300的初始缺陷，此时结构的极限承载力为2.890 kN，高于等效节点荷载2.000 kN，满足结构安全要求。

图13为以节点位移方差最小为优化目标时结构总应变能随迭代步数的变化过程曲线。由图可知，在优化起始阶段结构总应变能呈现显著的下降趋势，进化至100代时，结构总应变能逐渐趋于平稳，最终结构的应变能为1 937.77 J。

表3给出了结构优化过程中第2代、第120代和第300代迭代步对应结构的节点位移以及前三阶固有频率。从位移的变化看，随着迭代步的增加节点最大位移和平均位移均大幅降低，说明结构刚度随着迭代步的增加逐步提高。同时，结构的前三阶固有频率显著上升，优化后结构的第一、二、三阶频率值分别为9.071 Hz、9.267 Hz、9.982 Hz，较第2个迭代步对应结构的第一、二、三阶频率值有明显提升，同样也说明了结构的整体刚度明显增强。

同理，将结构总应变能最小设定为优化目标，在优化变量、优化算法及约束条件不变的情况下，对该非规则边界自由曲面网壳结构的形态进行优化。各迭代步的结构总应变能和对应的承载力如图14所示。随着迭代步数的增加，结构总应变能呈下降趋势，至第100迭代步后趋于稳定，优化后结构的极限承载力为3.155 kN。此时，结构总应变能为1 612.80 J。

对比上述结果可知，当选取应变能最小为优化目标时，随着结构总应变能的降低，结构极限承载力整体呈上升趋势。然而，与以节点位移方差最小为优化目标相比，结构极限承载力随迭代步数的增加不断波动，结构形态不断变化，且优化后结构的极限承载力为3.155 kN，低于以节点位移方差最小为优化目标的结构极限承载力3.370 kN。同时，以节点位移方差最小为优化目标时，优化后结构总应变能为初始结构总应变能的0.52%。这表明以节点位移方差最小作为结构形态的优化目标可以有效降低结构的应变能，增强结构的整体刚度。

5 结论

本文构建了以节点位移方差为参数的结构整体刚度评价指标，以衡量自由曲面网壳结构的整体性能，并以该参数最小作为优化目标，利用NURBS技术建立自由曲面网壳结构的初始模型，采用曲面上控制点的竖向坐标值为优化变量，借助遗传算法开展了结构形态的优化设计研究。主要结论如下：

（1） 基于遗传算法以节点位移方差最小为优化目标的结构形态优化方法可以获得形态稳定且力学性能优异的自由曲面网壳结构，在结构形态优化的同时可以使结构应变能最小，有效提升了结构的整体刚度和性能。

（2） 与以结构总应变能最小为优化目标的结果相比，以节点位移方差最小为优化目标获得的结构极限承载力明显高于前者，且优化过程中结构的极限承载力上升趋势平稳，波动性小，结构的总应变能逐步降低，最终达到最小值。此外，结构的前三阶固有频率稳步上升，结构整体性能得到有效提升。

（3） 以节点位移方差最小为优化目标的结构形态优化方法可以得到满足约束要求的自由曲面网壳结构，适用于不同约束条件下自由曲面网壳结构的形态优化。

（4） 结构最终形态与荷载作用形式密切相关，优化中仅考虑结构自重和屋面荷载具有一定的局限性，还需进一步考虑风荷载、地震作用等对优化结果的影响。

参考文献

[1] 李欣. 自由曲面结构的形态学研究［D］. 哈尔滨： 哈尔滨工业大学， 2011.

[2] LI Xin. Study on morphology of freeform surface structures［D］. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2011. （in Chinese）

[3] 王环宇. 力与美的建构： 结构造型［M］. 2版. 北京： 中国建筑工业出版社， 2010.

[4] WANG Huanyu. Construction of strength and beauty： structural modeling［M］. 2nd ed. Beijing： China Architecture & Building Press， 2010. （in Chinese）

[5] ISLER H. Generating shell shapes by physical experiments［J］. International Association for Shell and Spatial Structures， 1993，34（1）：53-63.

[6] 崔昌禹， 严慧. 结构形态创构方法： 改进进化论方法及其工程应用［J］. 土木工程学报， 2006， 39（10）： 42-47. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2006.10.007.

[7] CUI Changyu， YAN Hui. An advanced structural morphosis technique： Extended evolutionary structural optimization method and its engineering applications［J］. China Civil Engineering Journal， 2006， 39（10）： 42-47. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2006.10.007.（in Chinese）

[8] 崔昌禹， 严慧. 自由曲面结构形态创构方法： 高度调整法的建立与其在工程设计中的应用［J］. 土木工程学报， 2006， 39（12）： 1-6. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2006.12.001.

[9] CUI Changyu， YAN Hui. A morphosis technique for curved-surface structures of arbitrary geometries： Height adjusting method and its engineering applications［J］. China Civil Engineering Journal， 2006， 39（12）： 1-6. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2006.12.001.（in Chinese）

[10] 李欣， 武岳， 崔昌禹. 自由曲面结构形态创建的NURBS-GM方法［J］. 土木工程学报， 2011， 44（10）： 60-66. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2011.10.002.

[11] LI Xin， WU Yue， CUI Changyu. NURBS-GM method for computational morphogenesis of free form structures［J］. China Civil Engineering Journal， 2011， 44（10）： 60-66. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2011.10.002.（in Chinese）

[12] 冯若强， 葛金明， 胡理鹏， 基于B样条曲线的自由曲面索支撑空间网格结构多目标形态优化［J］. 土木工程学报， 2015， 48（6）： 17-24. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2015.06.003.

[13] FENG Ruoqiang， GE Jinming， HU Lipeng， et al. Multi-objective shape optimization of free-form cable-braced grid shells with B-spline method［J］. China Civil Engineering Journal， 2015， 48（6）： 17-24. DOI：10.15951/j.tmgcxb.2015.06.003.（in Chinese）

[14] 陆明飞， 叶继红. 基于节点构形度的单层柱面网壳稳定优化设计［J］. 振动与冲击， 2018， 37（9）： 74-79. DOI：10.13465/j.cnki.jvs.2018.09.012.

[15] LU Mingfei， YE Jihong. Stability optimization design for single-layer cylindrical domes based on joint well-formedness［J］. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（9）： 74-79. DOI：10.13465/j.cnki.jvs.2018.09.012.（in Chinese）

[16] 陆明飞， 叶继红. 基于构形易损性理论的单层网壳结构静力稳定性研究［J］. 工程力学， 2017， 34（1）： 76-84. DOI：10.6052/j.issn.1000-4750.2015.06.0493

[17] LU Mingfei， YE Jihong. Static stability research on single-layer spherical shells based on form vulnerability theory［J］. Engineering Mechanics， 2017， 34（1）： 76-84. DOI：10.6052/j.issn.1000-4750.2015.06.0493. （in Chinese）

[18] 史若琪， 孙建恒， 王军林， 基于构形刚度的柱面网壳等稳定性优化设计［J］. 空间结构， 2023， 29（3）： 12-20. DOI：10.13849/j.issn.1006-6578.2023.03.012.

[19] SHI Ruoqi， SUN Jianheng， WANG Junlin， et al. Optimization design of equal stability for cylindrical reticulated shells based on configuration stiffness［J］. Spatial Structures， 2023， 29（3）： 12-20. DOI：10.13849/j.issn.1006-6578.2023.03.012.（in Chinese）

[20] 张澜， 孙建恒， 史若琪， 基于杆件构形刚度参数均匀化的单层网壳稳定性能优化［J］. 建筑钢结构进展， 2023， 25（11）： 79-88. DOI：10.13969/j.cnki.cn31-1893.2023.11.008.

[21] ZHANG Lan， SUN Jianheng， SHI Ruoqi， et al. The stability performance optimization of single-layer reticulated shell based on a homogenization of member configuration stiffness parameters［J］. Progress in Steel Building Structures， 2023， 25（11）： 79-88. DOI：10.13969/j.cnki.cn31-1893.2023.11.008.（in Chinese）

[22] PIEGL L A， TILLER W. The NURBS book［M］. Berlin： Springer， 1995.

[23] 胡理鹏. 自由曲面单层空间网格结构形态及拓扑优化［D］. 南京： 东南大学， 2015.

[24] HU Lipeng. Shape and topology optimization of single layer free-form grid shell［D］. Nanjing： Southeast University， 2015. （in Chinese）

[25] JGJ 7—2010 空间网格结构技术规程［S］.

[26] JGJ 7—2010 Technical specification for space frame structures［S］. （in Chinese）

[27] JOHN H H. Adaptation in natural and artificial systems［J］. SIAM Review， 1976， 18（3）： 529-530. DOI：10.1137/1018105.

[28] JIN J T， JEONG J W. Optimization of a free-form building shape to minimize external thermal load using genetic algorithm［J］. Energy and Buildings， 2014， 85： 473-482. DOI：10.1016/j.enbuild.2014.09.080.

[29] LI G， LI Z N， ZENG Q， et al. Shape optimization of cast steel tubular joints based on subdivision surface and genetic algorithm［J］. Thin-Walled Structures， 2024， 204： 112258. DOI：10.1016/j.tws.2024.112258.

[30] 吴贝尼， 夏利娟. 基于改进遗传算法的双向渐进结构优化方法研究［J］. 船舶力学， 2021， 25（2）： 193-201. DOI：10.3969/j.issn.1007-7294.2021.02.007.

[31] WU Beini， XIA Lijuan. Research on bi-directional evolutionary structural optimization method based on improved genetic algorithm［J］. Journal of Ship Mechanics， 2021， 25（2）： 193-201. DOI：10.3969/j.issn.1007-7294.2021.02.007.（in Chinese）

[32] GE Y， HE K， XIAO L H， et al. Geometric optimization for the thermoelectric generator with variable cross-section legs by coupling finite element method and optimization algorithm［J］. Renewable Energy， 2022， 183： 294-303. DOI：10.1016/j.renene.2021.11.016.

[33] 陈联盟， 高伟冯， 姜智超， 基于鲁棒性的索穹顶结构截面优化设计［J］. 建筑结构学报， 2021， 42（7）： 104-108. DOI：10.14006/j.jzjgxb.2019.0223.

[34] CHEN Lianmeng， GAO Weifeng， JIANG Zhichao， et al. Section optimization design of a cable dome structure based on robustness［J］. Journal of Building Structures， 2021， 42（7）： 104-108. DOI：10.14006/j.jzjgxb.2019.0223.（in Chinese）

[35] CHEN L M， ZENG Y H， GAO W F， et al. Section optimization design of a flexible cable-bar tensile structure based on robustness［J］. Applied Sciences， 2021， 11（19）： 8816. DOI：10.3390/app11198816.

[36] GEN M， CHENG R. A survey of penalty techniques in genetic algorithms［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Evolutionary Computation. Nagoya： IEEE， 2002.

基金资助

国家自然科学基金(52368018)