方差相关恒等式与不等式——兼谈教学中的“见微知著”与“举重若轻”

摘要

从两个基本的方差恒等式出发，讨论与方差相关的一些恒等式与不等式及其应用.主要内容包括方差的非显式地依赖于期望的表示，切比雪夫序不等式(FKG不等式),用方差衡量延森不等式两边的亏损(Φ熵不等式),Bregman散度与期望的联系，由方差相关等式得到的惠更斯-莱布尼兹恒等式、第二拉格朗日恒等式等代数恒等式及其在统计学教学中的应用.最后结合本文内容简要讨论教学中应该注意“见微知著”式的启发，“举重若轻”和“删繁就简”的教学方法，以及数学各学科的融合.

关键词

方差 / 延森不等式 / Φ熵 / Bregman散度 / 惠更斯-莱布尼兹恒等式 / 第二拉格朗日恒等式 / 切比雪夫序不等式