基于准PI ^λ R控制器的MMC环流抑制优化策略

MMC circulation suppression optimization strategy based on quasi-PI ^λ R controller

摘要

模块化多电平换流器（Modular Multilevel Converter， MMC）中的环流会直接影响换流器的损耗及其输出的电能质量，为了抑制环流，在传统准PR环流抑制器抑制效果不佳且调节时间较慢的基础上，研究了一种基于准PI ^λ R抑制器的抑制策略.首先分析了MMC的工作特性和环流产生机理，然后在准PR环流抑制器的基础上引入分数阶积分环节，完成抑制器结构设计；其次利用鲸鱼算法对分数阶参数λ进行优化取得最优值，并分析了系统的稳定性；最后通过仿真，对传统PI和PR以及准PI ^λ R三种环流抑制器的性能作比较分析，环流的二倍频分量在准PI ^λ R抑制器的作用下更好地被抑制，且缩短了调节时间，验证了所提抑制方法的有效性，同时讨论了环流抑制器的切入时间点对环流抑制效果的影响.

Abstract

The circulating current in Modular Multilevel Converters directly affects the losses and output power quality of the converter. Since the traditional quasi-PR circulation suppressor has a bad suppression effect and slow adjustment time， a suppression strategy based on a quasi-PI ^λ R suppressor was studied. Firstly， the working characteristics and circulation generation mechanism of MMC are analyzed， and the fractional-order integration link is introduced based on the quasi-PR circulation suppressor to complete the suppressor structure design. Secondly， the whale algorithm is used to optimize the fractional order parameter λ to obtain the optimal value， and then analyze the system's stability. Finally， a simulation was finished to compare and analyze the performance of PI， PR， and quasi PI ^λ R circulation suppressors. The results showed that the quasi PI ^λ R suppressor was more effective in suppressing the second harmonic component of the circulation and shortened the adjustment time， which verifies the effectiveness of the proposed suppression method. At the same time， the impact of the entry time of the circulation suppressor on the circulation suppression effect was discussed.

Graphical abstract

关键词

模块化多电平换流器 / 环流抑制 / 分数阶 / 鲸鱼算法

Key words

MMC / circulation suppression / fractional order controller / Whale Optimization Algorithm（WOA）

模块化多电平换流器（Modular Multilevel Converter， MMC）由于其独特模块化级联方式带来的维护方便、易于扩容、开关损耗低等优点^［1-4］，已成为我国高压直流输电系统中的一项广泛应用的技术.与传统两电平电压源型换流器相比（Voltage Source Converter， VSC），MMC可直接接入高压电网，并且在输出波形和交流侧谐波含量等方面，有着更为优秀的表现.然而，在功率传输过程中，由于MMC自身拓扑结构特性，其内部会产生环流^［5-8］.

环流的产生不仅会使系统开关器件的损耗增加，且会使电流波形畸变，电能质量降低^［9］.为了抑制MMC内部环流，文献［10］利用Park变换将三相环流分解为两个直流分量，通过比例积分控制器从而达到环流抑制的目的，但是该方法需要进行坐标变换和解耦控制，增加了系统的运算量.文献［11］提出了一种基于直接反馈控制原理的环流抑制器，利用陷波器提取二倍频分量，通过准比例谐振控制器对其进行抑制，但抑制过程调节时间较长，二倍频抑制效果不佳.文献［12］在传统PR控制器的基础上提出了增加桥臂电流比例负反馈环节的优化策略，提高了系统的稳定性，但是系统整体变得庞大复杂，参数整定困难.

为追求更好的系统鲁棒性，许多学者将分数阶微积分理论应用在了控制系统^［13］.1999年PODLUBNY将分数阶理论推广至传统整数阶PID控制器，提出了分数阶PI ^λ D ^μ 控制器，相较于整数阶PID多出了两个自由度变量λ和μ，有着更为灵活的控制结构，参数变化对系统影响更小^［14］；然而在实际应用中，由于分数阶PID多出两个自由度参数，导致参数设计复杂度大大提升，因此通常情况下只采用PI ^λ 控制器.文献［15］将PI ^λ 控制器应用在了永磁同步电机的速度控制，并与整数阶PI控制器进行了对比分析，采用PI ^λ 控制器的系统在动态响应和跟踪能力上都有着更优秀的表现.文献［16］将分数阶PI ^λ 控制器应用在了MMC环流抑制，通过与传统PI控制器在三种情况下的对比分析，PI ^λ 抑制器的环流抑制效果明显高于PI抑制器，但其参数设计过程复杂，计算量大.

本文在分析MMC工作特性以及环流产生机理的基础上，研究了一种基于准比例谐振结合分数阶积分控制器的环流抑制方法，通过鲸鱼优化算法对参数λ进行优化，并与传统PI和PR环流抑制器进行了对比分析，验证了本文所提准PI ^λ R环流抑制器的有效性，并讨论了环流抑制器切入点对抑制效果的影响，得到在环流过零点处的抑制效果最佳的结论.

1 MMC工作特性及环流机理

图1为三相MMC主电路拓扑结构图，每相分为上桥臂和下桥臂，每个桥臂由N个子模块（sub-modular，SM）、桥臂等效电阻R_{\mathrm{0}}、桥臂电感组成L_{\mathrm{0}}，上下结构对称.其中子模块均为半桥结构，由两个IGBT和两个二极管反并联再整体和一个电容器C并联而成.

如图1所示：U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}为直流侧母线电压；I_{\mathrm{d}\mathrm{c}}为直流侧输出电流；i_{\mathrm{p}j}，i_{\mathrm{n}j}（j=a，b，c；表示三相）分别为每相的上、下桥臂输出电流；u_{\mathrm{p}j}，u_{\mathrm{n}j}分别为每相的上、下桥臂电压；R_{\mathrm{0}}，L_{\mathrm{0}}分别为为桥臂等效电阻和电感；R_{\mathrm{s}}，L_{\mathrm{s}}分别为交流侧等效电阻和电感；u_{\mathrm{s}j}，i_{\mathrm{s}j}表示交流侧输出电压和电流.

理想情况下MMC运行时，每相上、下桥臂投入运行的子模块呈现互补状态，即假设上、下桥臂均有N个子模块，在任意时刻上桥臂投入m个子模块，下桥臂投入n个子模块，则满足关系式m+n=N，且子模块电容电压为额定值U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}/N.

而由于在实际工程中，子模块的不断投入切除会导致子模块电容电压波动，从而使三相各单元输出电压并不时刻一致，环流由此产生.因为MMC三相各桥臂结构一样，以A相为例进行分析.图2为单相MMC等效电路图，根据基尔霍夫电流定律可知，A相上、下桥臂电流i_{\mathrm{p}\mathrm{a}}，i_{\mathrm{n}\mathrm{a}}和环流的关系可表示为：

i_{\mathrm{p}\mathrm{a}}=i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}+\frac{i_{\mathrm{s}\mathrm{a}}}{\mathrm{2}}，（1）

i_{\mathrm{n}\mathrm{a}}=i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}-\frac{i_{\mathrm{s}\mathrm{a}}}{\mathrm{2}}，（2）

其中i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}为A相环流，i_{\mathrm{s}\mathrm{a}}为交流侧输出电流.

由式（1）和式（2）可得：

\left\{\begin{array}{l}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}=\frac{i_{\mathrm{p}\mathrm{a}}+i_{\mathrm{n}\mathrm{a}}}{\mathrm{2}}\\ i_{\mathrm{s}\mathrm{a}}=i_{\mathrm{p}\mathrm{a}}-i_{\mathrm{n}\mathrm{a}}\end{array}\right.，（3）

通过式（3）可知，环流只与上下桥臂有关，并不经过交流侧，只在相间流动，与外部电路无关.

根据基尔霍夫电压定律，可得到图2单相MMC的数学模型：

u_{\mathrm{s}\mathrm{a}}+L_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{s}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+R_{\mathrm{s}}{i}_{\mathrm{s}\mathrm{a}}=u_{\mathrm{o}\mathrm{o}\text{'}}+\frac{U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{2}}-L_{\mathrm{0}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{p}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}-R_{\mathrm{0}}{i}_{\mathrm{p}\mathrm{a}}-u_{\mathrm{p}\mathrm{a}}，（4）

u_{\mathrm{s}\mathrm{a}}+L_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{s}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+R_{\mathrm{s}}{i}_{\mathrm{s}\mathrm{a}}=u_{\mathrm{o}\mathrm{o}\text{'}}-\frac{U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{0}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{n}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+R_{\mathrm{0}}{i}_{\mathrm{n}\mathrm{a}}+u_{\mathrm{n}\mathrm{a}} .（5）

定义差模电压u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}和共模电压u_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}}：

u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(u_{\mathrm{n}\mathrm{a}}-u_{\mathrm{p}\mathrm{a}})，（6）

u_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(u_{\mathrm{n}\mathrm{a}}+u_{\mathrm{p}\mathrm{a}})，（7）

联立式（7）可得到MMC交、直流侧的动态方程如下：

u_{\mathrm{o}\mathrm{o}\text{'}}+u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}-u_{\mathrm{s}\mathrm{a}}=(R_{\mathrm{s}}+\frac{R_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}})i_{\mathrm{s}\mathrm{a}}+(L_{\mathrm{s}}+\frac{L_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}})\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{s}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}，（8）

\frac{U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}}=L_{\mathrm{0}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+R_{\mathrm{0}}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}，（9）

令式（9）右边为：

u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}=L_{\mathrm{0}}\frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+R_{\mathrm{0}}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}，（10）

其中，u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}为A相的内部不平衡压降.由式（6）、（8）可知，通过控制u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}可以间接控制A相输出电压和电流；式（9）代表了MMC内部特性，u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}实际上是A相环流i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}流经桥臂上串联的电抗器所产生的压降.由式（7）、（9）可知，当不考虑环流的影响时，上下桥臂电压之和等于直流侧电压.

结合式（8）~（10）可推导出上、下桥臂电压参考值表达式^［7］，即：

\left\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{p}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=\frac{U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}-u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\\ u_{\mathrm{n}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=\frac{U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{2}}+u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{a}}-u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\end{array}\right.，（11）

其中：u_{\mathrm{p}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}、u_{\mathrm{n}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}分别为上、下桥臂电压参考值；u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}为A相的内部不平衡压降u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}参考值.

MMC环流本质上是由于各相上、下桥臂的子模块电容电压波动，从而上下桥臂电压之和不一致所引起的.且环流实际上由直流分量和交流分量共同组成，直流分量为U_{\mathrm{d}\mathrm{c}}/\mathrm{3}，交流分量为二倍频、四倍频、六倍频等一系列偶次谐波^［8］.交流分量中以二倍频负序分量为主，所以本文仅考虑二倍频，忽略其余高次偶次分量.则三相二倍频负序环流表达式为：

\left\{\begin{array}{l}{i}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}=\frac{I_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{2}a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\omega t+{\varphi }_{\mathrm{0}})\\ i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{b}}=\frac{I_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{2}b}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\omega t+\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}}+{\varphi }_{\mathrm{0}})\\ i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}}=\frac{I_{\mathrm{d}\mathrm{c}}}{\mathrm{3}}+I_{\mathrm{2}c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\omega t-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}}+{\varphi }_{\mathrm{0}})\end{array}\right.，（12）

式中：I_{\mathrm{2}a}为二倍频环流幅值；\omega为基波角频率；{\varphi }_{\mathrm{0}}为二倍频环流初相角.

2 基于准PI^λR控制器的环流抑制策略

MMC整体控制框图如图3所示.最外层为环流抑制控制环，输出为MMC内部不平衡压降参考值u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{j}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}；外环为功率控制环，输出为交流侧电流的dq轴分量参考值i_{\mathrm{d}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}和i_{\mathrm{q}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}；内环为电流控制环，输出为差模电压u_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}.整体控制过程可用公式（11）表示，桥臂电压参考值通过最近电平调制策略得到PWM信号并输出到MMC主电路.由于本文采用22个子模块的MMC主电路，输出电平数较高，而载波移相调制策略是基于SPWM调制，将N个三角载波与调制波进行比较来实现子模块状态的控制，通常使用于低电平领域，若是输出电平较高时，系统复杂度将会线性增长^［17］.所以本文暂且不讨论采用载波移相调制策略的环流抑制效果.

将传统PI控制器与分数阶参数结合的环流抑制器在运算量方面效果较差，并且参数设计不便，而PR控制器能够直接对交流信号进行跟踪，并不需要对输入信号进行dq变换，运算量减小.

2.1 分数阶PI^λR环流抑制器结构

理想PR控制器可对相应频率交流量无静差跟踪，并且可以进行分相控制，无需考虑相间解耦问题.但由于理想PR控制器带宽比较窄，抗扰动能力较差，当频率波动时，在谐振频率点增益较小，影响抑制效果.而准PR控制器（Quasi-PR controller）带宽相对较宽，频率变化对其影响不大，具有更好的稳定性^［18］.

由于MMC环流的非线性特性，相比整数阶控制器，分数阶控制器有着更为优秀的动态性能和鲁棒性.本文所提抑制策略以准PR控制器为主体，同时引入分数阶积分环节共同组成准PI ^λ R环流抑制器.

准PR控制器的传递函数为：

G_{\mathrm{1}}(s)=K_{\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{2}{K}_{\mathrm{r}}{\omega }_{\mathrm{c}}s}{s^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{c}}s+{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}，（13）

分数阶积分控制器的传递函数为：

G_{\mathrm{2}}(s)=\frac{K_{\mathrm{i}}}{s^{\lambda }}，（14）

结合式（13）、（14）可得到准PI ^λ R环流抑制器的传递函数：

G(s)=K_{\mathrm{p}}+\frac{K_{\mathrm{i}}}{s^{\lambda }}+\frac{\mathrm{2}{K}_{\mathrm{r}}{\omega }_{\mathrm{c}}s}{s^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{c}}s+{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}},\lambda \in (\mathrm{0,1})，（15）

上式中：K_{\mathrm{p}}，K_{\mathrm{i}}，K_{\mathrm{r}}分别为比例控制增益，积分控制增益和谐振控制增益；{\omega }_{\mathrm{c}}，{\omega }_{\mathrm{0}}分别为截止频率和谐振频率；\lambda为积分环节阶次.

基于PI^λR控制器的环流抑制原理如图3所示，以A相为例：上桥臂电流i_{\mathrm{p}\mathrm{a}}与下桥臂电流i_{\mathrm{n}\mathrm{a}}之和的平均值为环流i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}，利用二阶低通滤波器得到环流中低于二倍频的分量之和i_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{l}}，与环流i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}做差，得到二倍频分量i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}（由于本文仅考虑二倍频分量，其余高次分量较小可以忽略），式（16）表示了分离过程.

i_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{l}}-i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}}=i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}} .（16）

为了使桥臂环流二倍频交流分量最终含量为0，将i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}与参考值作比较得到差值-i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}，该过程可表示为式（17）：

\mathrm{0}-i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}=-i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}，（17）

差值-i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{2}\mathrm{f}}再经过PI ^λ R控制器（Q-PI ^λ R）对其进行跟踪，将谐振频率设为二倍基频即可将环流中的二倍频分量有效抑制，最后输出为A相内部不平衡压降参考值u_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} .

2.2 分数阶控制器参数设计

与整数阶控制器相比，本文所提分数阶控制器增加了参数\lambda，积分阶次可拓展为一定范围内的实数阶次，对幅频和相频特性的调节更为灵活，增强了系统的自适应能力.文献［19］提出的Flatphase与经典的相位裕度和幅值裕度相结合的方法计算过程复杂.所以本文对分数阶控制器的参数设计采用鲸鱼优化算法.

鲸鱼优化算法与其他传统启发式算法相比有收敛速度快和全局寻优能力强的特点^［20］，适合MMC环流抑制器的参数优化设计.鲸鱼的捕猎过程主要分为以下三步：

（1）包围猎物：

\mathit{D}=|\mathit{C}{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}(t)-\mathit{X}(t)|，（18）

\mathit{X}(t+\mathrm{1})={\mathit{X}}^{\mathrm{*}}(t)-\mathit{A}\mathit{D}，（19）

式中：t表示当前迭代次数；\mathit{A}和\mathit{C}是系数向量；\mathit{D}为鲸鱼与猎物的距离；{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}(t)表示目前为止最佳鲸鱼位置向量；\mathit{X}(t)表示当前鲸鱼位置向量.\mathit{A}和\mathit{C}可由下式得到：

\mathit{A}=\mathrm{2}a{r}_{\mathrm{1}}-a，（20）

\mathit{C}=\mathrm{2}{r}_{\mathrm{2}}，（21）

a=\mathrm{2}-\frac{\mathrm{2}t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}，（22）

其中r_{\mathrm{1}}和r_{\mathrm{2}}是（0，1）中的随机数；a的值从2线性减少到0；t为当前迭代次数；T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大迭代次数.

（2）狩猎行为：

鲸鱼在狩猎时是以螺旋运动游向猎物，故其数学模型如式（24）、（25）：

\mathit{X}(t+\mathrm{1})={\mathit{X}}^{\mathrm{*}}(t)+{\mathit{D}}^{\mathrm{*}}{e}^{bl}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi })，（23）

，（24）

其中b是表示螺线形状的一个常数，其值一般为1；l是在[-\mathrm{1,1}]范围内的一个随机数；{\mathit{D}}^{\mathrm{*}}=|{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}(t)-\mathit{X}(t)|表示鲸鱼距离猎物的最佳位置.

（3）搜寻猎物：

鲸鱼在搜寻猎物的数学模型如下式：

\mathit{D}=|\mathit{C}{\mathit{X}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}-\mathit{X}(t)|，（25）

\mathit{X}(t+\mathrm{1})={\mathit{X}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}-\mathit{A}\mathit{D}，（26）

其中{\mathit{X}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}为随机的鲸鱼位置向量；当\mathit{A}\ge \mathrm{1}时，随机选择一只鲸鱼，更新其他鲸鱼的位置，增加搜寻的随机性，以此找到更好的猎物，通过加强算法的搜索能力从而使WOA算法探索全局最优解.

本文需要整定的参数为比例控制增益K_p，积分控制增益K_i和积分阶次λ.目标函数选择基于时间乘绝对误差积分的性能指标J_{\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{E}}，如公式（27）所示：

J_{\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{E}}={\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}}t|e(t)|\mathrm{d}t，（27）

其中t表示时间；e（t）表示误差量.

控制器参数的具体优化流程如图5所示：

（1）初始化WOA参数，本文中鲸鱼种群数量为n=\mathrm{10}，最大迭代次数为T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{25}，将J_{\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{A}\mathrm{E}}作为目标函数；

（2）初始化鲸鱼种群的位置，计算每头鲸鱼相应的适应度值，保留其当前最优的个体和位置；

（3）若且时，根据式（19）更新鲸鱼当前位置；若且A\ge \mathrm{1}时，根据式（26）更新鲸鱼当前位置；

（4）若p\ge \mathrm{0.5}时，则根据式（23）更新鲸鱼当前位置；

（5）计算当前目标函数值，判断是否满足最大迭代次数，若满足则进入步骤6，若不满足则返回步骤3.

（6）输出当前目标函数值，保留最优的鲸鱼个体和位置，最优鲸鱼位置即所求的K_p，K_i，λ的最优值，流程结束.

本文鲸鱼算法仅针对K_p，K_i，λ三个参数进行优化，而谐振环节的谐振增益K_r和截止频率{\omega }_{\mathrm{c}}，在考虑增益效果和带宽大小的平衡上，选定了K_r=150，{\omega }_{\mathrm{c}}=10 rad/s^［13］.通过WOA优化得到K_p=500，K_i=62.11，λ=0.32.

图6为鲸鱼算法（WOA）与粒子群算法（PSO）、蚁群算法（ACO）对控制器参数的优化收敛曲线图.由图6可知，WOA在第20次迭代时已接近收敛，ACO和PSO在第22次迭代时接近收敛，显然WOA的收敛速度优于ACO和PSO，并且在收敛精度上也是三者最优.

计算复杂度分析：

鲸鱼算法的计算复杂度取决于搜索空间维度和迭代次数以及鲸鱼种群数量，当种群数量为N，搜索空间维度为D，迭代次数为T时，鲸鱼算法的计算复杂度应为O（NDT）.表1列出了三种算法的计算复杂度.复杂度由高到低为ACO>PSO>WOA，根据大O的定义^［21］，当优化问题的维度较高时（D>>N），三种算法的计算复杂度同属于一个数量级O（NDT）.

2.3 MMC系统稳定性分析

分数阶控制器的参数优化如图7所示.

图7中i_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\_\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}为A相环流的参考值；G(s)为准PI ^λ R控制器的传递函数；H(s)为系统传递函数.

H(s)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}(R_{\mathrm{0}}+s{L}_{\mathrm{0}})}，（28）

系统的正常运行首先要考虑系统的稳定性，设系统开环传递函数为G_{\mathrm{k}}(s)，系统截止频率为w_{\mathrm{z}}，相角裕度为\gamma，若要满足系统稳定性，则有下式：

G_{\mathrm{k}}(s)=G(s)H(s)，（29）

其中电阻R_{\mathrm{0}}的值过小可以忽略，则具体的系统开环传递函数为

G_{\mathrm{k}}(s)=\frac{b_{\mathrm{1}}{s}^{(\mathrm{2}+\lambda )}+b_{\mathrm{2}}{s}^{(\mathrm{1}+\lambda )}+b_{\mathrm{3}}{s}^{\lambda }}{a_{\mathrm{1}}{s}^{(\mathrm{3}+\lambda )}+a_{\mathrm{2}}{s}^{(\mathrm{2}+\lambda )}+a_{\mathrm{3}}{s}^{(\mathrm{1}+\lambda )}}，（30）

其中，\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}{L}_{\mathrm{0}}\\ a_{\mathrm{2}}=\mathrm{4}{\omega }_{\mathrm{c}}{L}_{\mathrm{0}}\\ a_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{0}}\\ b_{\mathrm{1}}=K_{\mathrm{p}}{K}_{\mathrm{i}}\\ b_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{c}}(K_{\mathrm{p}}{K}_{\mathrm{i}}+K_{\mathrm{r}})\\ b_{\mathrm{3}}=K_{\mathrm{p}}{K}_{\mathrm{i}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right.，

\gamma =\mathrm{180}°+\mathrm{\angle }{G}_{\mathrm{k}}(j{w}_{\mathrm{z}}).（31）

将WOA优化得到的最优参数K_p，K_i，λ代入式（31），作出系统开环传递函数伯德图，如图8所示.

从图8中(w_{\mathrm{z}},\mathrm{0})点可以看出\mathrm{\angle }{G}_{\mathrm{k}}(j{w}_{\mathrm{z}})=-\mathrm{90}°，则相角裕度\gamma大于0，系统稳定.

3 仿真验证

为验证本文所提环流抑制策略的有效性，在MATLAB/Simulink仿真环境中搭建了三相23电平MMC逆变仿真模型，并与传统PI和PR环流抑制器进行抑制效果对比，本文所提环流抑制器参数：K_p=500，K_i=62.11，K_r=150，λ=0.32.仿真主要参数如表2所示.

3.1 环流抑制器性能对比分析

基于上述仿真参数，以A相为例进行时长0.8 s的仿真实验.在0.5 s时分别投入PI、PR和准PI ^λ R环流抑制器进行抑制效果对比，环流波形如图9所示.

由图9可知，在未开启环流抑制器前，环流整体呈现为二倍频波动的状态，峰-峰值为40 A.在PI环流抑制器投入使用后，环流的峰-峰值降低为12 A，且环流的波形仍有较为明显的畸变，抑制效果不明显；PR和准PI ^λ R两种环流抑制器在投入使用后，抑制后的环流峰峰值在5 A以内，基本有效地抑制了环流中的交流分量，环流呈现为直流量的状态.在调节时间的对比上，PR抑制器在0.6 s处趋于稳定，调节时间为0.1 s；准PI ^λ R抑制器在0.56 s处趋于稳定，调节时间为0.06 s，显然准PI ^λ R抑制器的快速性优于PR抑制器.

为了更详细地对三种抑制器的抑制效果进行对比分析，在0.6 s时对环流进行5个周期的FFT分析，以直流量为基准量，具体数据如表3所示.

由表3可知，准PI ^λ R环流抑制器的环流总谐波占比相比PI环流抑制器和PR环流抑制器分别下降了7.19%和0.67%，环流中二倍频分量占比分别下降了5.05%和0.32%.综合以上分析，准PI ^λ R环流抑制器对环流中总谐波和二次谐波的抑制效果均优于传统使用的两种环流抑制器，同时其系统快速性也均优于其余两种环流抑制器.

在准PI ^λ R环流抑制器作用下的MMC上桥臂电流如图10（a）所示.从图中可以看出，在未投入环流抑制器前，上桥臂电流有明显畸变，未达到正弦波的标准；而在0.2 s投入环流抑制器后，上桥臂电流波形得到明显改善，更接近标准正弦波，变得更稳定.图10（b）为A相上桥臂子模块电容电压波形，可以看出在环流抑制器开启后，子模块电容的电压波动从40 V下降到30 V，波动明显变小，电容的充放电过程变得更稳定.

对A相上桥臂分别在0.4 s和0.6 s时进行5个周期的FFT分析，以基频分量为基准，具体数据如表4所示.

在环流抑制前，A相上桥臂电流总谐波含量为20.33%，其中二倍频分量占比为20.24%，可以看出二倍频分量占据绝对主体；在环流抑制后，A相上桥臂电流的总谐波含量为0.94%，其中二倍频分量占比为0.26%，总谐波含量下降18.79%，二倍频分量占比下降0.61%.综合分析可知准PI ^λ R环流抑制器有效的改善了桥臂电流质量，降低了MMC桥臂的损耗.

3.2 交流侧扰动工况下的抑制效果

MMC工作于逆变工作状态下，准PI ^λ R环流抑制器在0.5 s时进行投入使用，并在0.7 s时对交流侧输出电压幅值进行10%的提升，从3300 V阶跃至3630 V，以验证系统在交流侧电压扰动时环流抑制器的抑制效果.

图11（a）和图11（b）分别为A相交流侧输出电压幅值提升10%时的桥臂电流波形和环流波形，0.5 s时投入本文所提环流抑制器，0.7 s时输出电压提升330 V.在0.7 s后桥臂电流发生轻微畸变，幅值降低；环流波形同样发生畸变.为更详细分析交流侧电压骤升后对环流抑制效果的影响，对桥臂电流和环流在0.7 s到0.8 s共5个周期的时段进行FFT分析，分别以基频和直流量为基准量.

由表5中数据以及3.1节的分析可知，在交流侧电压骤升工况下，桥臂电流的总谐波含量为8.25%，相较正常工况下的0.94%占比增加了7.31%；二倍频分量的占比为0.31%，相较正常工况下的0.26%占比并没有明显增加.环流的总谐波占比相较正常工况增加了0.89%，二倍频分量占比增加了0.56%.综上分析，在交流侧电压骤升扰动工况下，本文所提环流抑制器依然能够有效地抑制环流的二倍频分量.

3.3 抑制器切入时间点对抑制效果的影响

图12（a）为三相环流未进行抑制的波形，对该时间段波形进行FFT分析，可知其中直流分量为48.7 A，即理论上环流在被抑制后会趋于该值，则未抑制的环流以该值为横坐标轴进行非正弦的周期性波动.为分析环流抑制器切入时间点对环流抑制的效果影响，以A相为例，分别选取过零点t₁=0.5065 s，上峰值t₂=0.509 s，下峰值t₃=0.514 s三个点，并在这三个点的时刻投入环流抑制器.

图12（b）、图12（c）和图12（d）分别为在t₁、t₂、t₃三个时刻切入环流抑制器时的环流波形.为详细分析，分别对该三个状态的环流进行FFT分析，以直流量为基准值.

由表6中数据可知，在三个切入点中，抑制效果由高到低应为t₁>t₂>t₃，在t₁时刻即过零点处切入环流抑制器得到的抑制效果最佳.

4 结论

本文简要分析了MMC的工作特性和环流产生机理，针对传统PR环流抑制器抑制效果不佳的问题，研究了一种基于准PI ^λ R控制器的抑制方法，利用鲸鱼算法对抑制器参数进行优化.通过搭建仿真模型验证，得到以下结论：

（1）准PI ^λ R环流抑制器对环流的总谐波含量和二倍频含量的抑制效果比传统PI和PR环流抑制器更好，调节时间更短，同时有效地改善了桥臂电流的质量.在交流侧扰动的工况下，对二倍频分量的抑制效果相较正常工况变化不大，体现了准PI ^λ R环流抑制器的抗干扰能力.

（2）通过对环流上峰值、下峰值和过零点三个环流抑制器切入点的仿真对比分析，发现在过零点处切入抑制器能够最大程度地对环流二倍频分量进行抑制.

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基金资助

中南民族大学横向资助项目(HZY23034)