带导数非线性项的耦合Tricomi方程组解的破裂

Blow‑Up of Solutions for the Coupled System of Tricomi Equations with Derivative Nonlinearity

摘要

在空间维数n\ge \mathrm{2}时，研究带导数非线性项的耦合Tricomi方程组的小初值问题。通过定义问题的能量解并构造适当的检验函数，得到关于解的积分泛函的不等式。根据非线性项指数的范围将解的性态研究分为次临界情形及临界情形。在次临界情形利用改进的Kato引理，在临界情形利用迭代方法，证明了问题的解会在有限时间破裂。同时，在次临界情形得到幂次形式解的生命跨度的上界估计，在临界情形得到指数形式解的生命跨度的上界估计，推广了现有文献的结论。

Abstract

The small initial values problem of coupled Tricomi equations with derivative nonlinearity with space dimensional n\ge \mathrm{2} is studied. By defining the energy solutions of the problem and constructing the adequate test function， the integral functional inequalities of solutions are obtained. According to the range of nonlinearities exponents， the research process is divided into the sub-critical case and critical cases. By using the improved Kato’s lemma in the sub-critical case and iterative method in the critical case， it shows that solutions to the problem blow up in finite time. Meanwhile， the upper bound lifespan estimates in power form for the sub-critical case and exponential form for the critical case are obtained， which generalizes the conclusions of existing literatures.

关键词

导数非线性项 / 耦合Tricomi方程 / Kato引理 / 迭代方法 / 破裂 / 生命跨度

Key words

derivative nonlinearity / coupled Tricomi equations / Kato’s lemma / iteration method / blow-up / lifespan

0 引 言

本文研究了带导数非线性项（即方程解的导数形式）的Tricomi方程的耦合系统，方程以时间t的多项式型传播速度为特征，同时考虑了其小初值问题，即

\left\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}-t^{\mathrm{2}m}\mathrm{\Delta }u={\left|v_t\right|}^p，& (x,t)\in {\mathbf{R}}^n\times [\mathrm{0},\mathrm{\infty })，\\ v_{tt}-t^{\mathrm{2}m}\mathrm{\Delta }v={\left|u_t\right|}^q，& (x,t)\in {\mathbf{R}}^n\times [\mathrm{0},\mathrm{\infty })，\\ u(x,\mathrm{0})=\epsilon f_{\mathrm{1}}(x)，v(x,\mathrm{0})=\epsilon f_{\mathrm{2}}(x)，& x\in {\mathbf{R}}^n，\\ u_t(x,\mathrm{0})=\epsilon g_{\mathrm{1}}(x)，v_t(x,\mathrm{0})=\epsilon g_{\mathrm{2}}(x),& x\in {\mathbf{R}}^n，\end{array}\right.（1）

式中：空间维数n\ge \mathrm{2}；m\ge \mathrm{0}；p,q>\mathrm{1}；\epsilon是给定的任意小的正数；非负初值函数(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}})\cancel{\equiv }\mathrm{0}，且\mathrm{s} \mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}})\subset{\mathrm{B}}_E(\mathrm{0})=\left\{x\left|\left|x\right.\right.|\le E\right\}，E>\mathrm{2}。

Tricomi方程及耦合方程组解的破裂问题已受到广泛关注^[1‐11]。不同形式非线性项的影响强弱不同,会导致解的破裂区域不同,并且具有不同的生命跨度估计。关于n维空间中的非线性Tricomi方程u_{tt}-t^{\mathrm{2}m}\mathrm{\Delta }u=a{\left|u\right|}^p+b{\left|u_t\right|}^q,当(a,b)=(\mathrm{1,0})时,记p_{\mathrm{c}}(n,m)为二次方程((m+\mathrm{1})n-\mathrm{1})p^{\mathrm{2}}-((m+\mathrm{1})n+\mathrm{1}-\mathrm{2}m)p-\mathrm{2}(m+\mathrm{1})=\mathrm{0}的最大根。He等^[1]在时证明了其初值问题解的破裂。当(a,b)=(\mathrm{0,1}), 时，Lucente等^[3]利用积分表示公式，Hamouda等^[4]通过构造常微分不等式，证明了其小初值问题解的破裂，其中，q_{\mathrm{G}}(n)=\mathrm{1}+\mathrm{2}/(n-\mathrm{1})是 Glassey 临界指数。同时，当 时，利用Bessel函数^[6]构造适当的检验函数，得到了改进的破裂结果，其中q_{\mathrm{c}}(n,m)=\mathrm{1}+\mathrm{2}/\left((m+\mathrm{1})(n-\mathrm{1})-m\right)≥q_{\mathrm{G}}\left(n(m+\mathrm{1})\right)^[4‐5]。当(a,b)=(1,1)时，Hamouda等^[4]证明了带组合非线性项的Tricomi方程小初值问题解的破裂。其它有关Tricomi方程及其耦合方程组的研究，可参考相关文献^[7-11]。

对于带尺度不变阻尼项的波动方程的耦合系统

\left\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}-\mathrm{\Delta }u+\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+t}{u}_t={\left|v_t\right|}^p， & (x,t)\in {\mathbf{R}}^n\times [\mathrm{0},\mathrm{\infty })，\\ v_{tt}-\mathrm{\Delta }v+\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+t}{v}_t={\left|u_t\right|}^q，& (x,t)\in {\mathbf{R}}^n\times [\mathrm{0},\mathrm{\infty })，\\ u(x,\mathrm{0})=\epsilon f_{\mathrm{1}}(x)，v(x,\mathrm{0})=\epsilon f_{\mathrm{2}}(x)，& x\in {\mathbf{R}}^n，\\ u_t(x,\mathrm{0})=\epsilon g_{\mathrm{1}}(x)，v_t(x,\mathrm{0})=\epsilon g_{\mathrm{2}}(x)，& x\in {\mathbf{R}}^n ,\end{array}\right.（2）

当{\mu }_{\mathrm{1}}={\mu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，方程（2）即为经典波动方程的耦合方程组。此耦合系统的临界指数记为\mathrm{\Omega }(n,p,q)≔\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\mathrm{\Lambda }(n,p,q),\mathrm{\Lambda }(n,q,p)\right)，其中

\mathrm{\Lambda }(n,p,q)=\frac{p+\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}-\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}（3）

Deng^［12］和Xu^［13］在\mathrm{\Omega }(n,p,q)\ge \mathrm{0}时得到问题（2）解的破裂。当时，Kubo等^［14］证明了问题（2）存在整体解。关于解的破裂区域及整体存在区域的临界曲线为\mathrm{\Omega }(n,p,q)=\mathrm{0}。

{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}时，对于带阻尼项的波动方程的耦合系统（2），当\mathrm{\Omega }(n,{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}},p,q)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\mathrm{\Lambda }(n+{\mu }_{\mathrm{1}},p,q),\mathrm{\Lambda }(n+{\mu }_{\mathrm{2}},q,p)\right)\ge \mathrm{0}时，Hamouda等^［15］利用检验函数方法，证明了问题解的破裂，其中

\mathrm{\Lambda }(n+{\mu }_{\mathrm{1}},p,q)=\frac{p+\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}-\frac{n+{\mu }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}

并且可知， 当{\mu }_{\mathrm{1}}={\mu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，\mathrm{\Omega }(n,{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}},p,q)转化为\mathrm{\Omega }(n,p,q)。另一方面，将阻尼项系数替换为连续可积的非负函数b_i(t) (i=\mathrm{1,2})时，Palmieri等通过构造适当的检验函数，并利用改进的Kato引理及迭代方法，得到问题（2）解的破裂及生命跨度的上界估计^［16］。其它相关研究见文献^{［17‐19］}。

对于Tricomi方程，波的传播速度依赖于时间t。问题（1）关于时间t作变换，得

\xi (t)=\frac{t^{m+\mathrm{1}}}{m+\mathrm{1}},（4）

则波具有有限传播速度，即\left\{x\left||x|\le \xi (t)+E\right.\right\}。

下面给出能量空间中问题（1）的弱解定义。

定义1 函数(u,v)是问题（1）在[\mathrm{0},T)上的能量解，若

\left\{\begin{array}{l}u,v\in \mathrm{C}\left([\mathrm{0},T),{\mathrm{H}}^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)\right)\bigcap {\mathrm{C}}^{\mathrm{1}}\left([\mathrm{0},T),{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}({\mathbf{R}}^n)\right)，\\ u_t\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^q\left((\mathrm{0},T)\times {\mathbf{R}}^n\right)，v_t\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p\left((\mathrm{0},T)\times {\mathbf{R}}^n\right)，\end{array}\right.

并且，对于\forall \mathrm{\Phi },\tilde{\mathrm{\Phi }}\in {\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left({\mathbf{R}}^n\times [\mathrm{0},T)\right)，方程（5）和（6）成立，即

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{u}_t(x,t)\mathrm{\Phi }(x,t)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{u}_t(x,\mathrm{0})\mathrm{\Phi }(x,\mathrm{0})\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{u}_t(x,s){\mathrm{\Phi }}_t(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\mathrm{2}m}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}\nabla u(x,s)\nabla \mathrm{\Phi }(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{R}}^n}{\left|v_t\right|}^p\Phi (x,s)dxds , \end{array}（5）

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{v}_t(x,t)\tilde{\mathrm{\Phi }}(x,t)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{v}_t(x,\mathrm{0})\tilde{\mathrm{\Phi }}(x,\mathrm{0})\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{v}_t(x,s){\tilde{\mathrm{\Phi }}}_t(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{s}^{\mathrm{2}m}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}\nabla v(x,s)\nabla \tilde{\mathrm{\Phi }}(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|u_t\right|}^q\tilde{\mathrm{\Phi }}(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}（6）

关于问题（1）的解(u,v)，有如下定理。

定理2 令p,q>\mathrm{1}，m\ge \mathrm{0}，n\ge \mathrm{2}，且满足

\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)≔\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q),\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)\right)，

其中，

\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)=\frac{p+\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}+\frac{m-(n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})}{\mathrm{2}}\mathrm{。}

假设f_i,g_i (i=\mathrm{1,2})是紧支集位于{\mathrm{B}}_E(\mathrm{0})且不恒为\mathrm{0}的非负函数，满足(f_i,g_i)\in {\mathrm{C}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\mathbf{R}}^n)\times \left(H^{\mathrm{1}}({\mathit{R}}^n)\right.,{\mathrm{L}}^{\mathrm{2}}({\mathbf{R}}^n))。若(u,v)是方程（5）和（6）的能量解，且满足supp⊂{(x,t)∈Rⁿ ×[0,∞)\left|\left|x\right|\right.≤ξ(t)+E}，则存在正常数{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(n,m,p,q,f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}},E)。当\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}})时，(u,v)的生命跨度估计T(\epsilon )满足

\begin{array}{c}T(\epsilon )\le \\ \left\{\begin{array}{ll}C{\epsilon }^{-\Omega {(n,m,p,q)}^{-\mathrm{1}}}，& \mathrm{\Omega }(n,m,p,q)>\mathrm{0}，\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(C{\epsilon }^{-(pq-\mathrm{1})}\right)，& \mathrm{\Omega }(n,m,p,q)=\mathrm{0}，p\ne q，\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(C{\epsilon }^{-(p-\mathrm{1})}\right)，& \mathrm{\Omega }(n,m,p,q)=\mathrm{0}，p=q，\end{array}\right.\end{array}（7）

其中，C是与\epsilon无关的正常数。

本文将Lai等^［5］研究的单个Tricomi方程的小初值问题推广为耦合方程组的小初值问题（1），并利用检验函数方法在次临界情形及临界情形得到解的破裂，其破裂区域为\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)\ge \mathrm{0}。当p=q时，问题（1）解的生命跨度估计与文献^［5］中的生命跨度估计相同。当m=\mathrm{0}时，\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)转化为\mathrm{\Omega }(n,p,q)，问题（1）解的破裂区域与式（7）中的生命跨度估计和Deng^［12］及Xu^［13］得到的波动方程耦合方程组的结果一致。

1 预备知识

假设函数{\rho }_i(t) (i=\mathrm{1}, \mathrm{2})满足

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}{\rho }_i(t)-t^{\mathrm{2}m}{\rho }_i(t)=\mathrm{0}，\forall t\ge \mathrm{0}，i=\mathrm{1,2},（8）

则{\rho }_i(t)可表示为

{\rho }_i(t)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1}，& t=\mathrm{0}，\\ {\alpha }_m{t}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} K_{{\left(\mathrm{2}\right.m+\mathrm{2})}^{-\mathrm{1}}}\left(\xi (t)\right)，& \forall t>\mathrm{0}，\end{array}\right.（9）

式中：\xi (t)由式（4）定义。{\alpha }_m，K_{\upsilon }(t)及{\rho }_i(t)的相关性质详见文献^{［1，4，6］}。

基于文献^［17］来定义函数\phi (x)={\int }_{{\mathbf{S}}^{n-\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{x\cdot \omega }\mathrm{d}\omega (n\ge \mathrm{2},{\mathbf{S}}^{\mathrm{n}-\mathrm{1}}\mathrm{表示}n-\mathrm{1}\mathrm{维单}\mathrm{位球}\mathrm{面})，则\phi (x)满足\mathrm{\Delta }\phi =\phi。定义函数{\psi }_i(x,t)={\rho }_i(t)\phi (x) (i=\mathrm{1,2})。因此，{\psi }_i(x,t)满足微分方程

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}{\psi }_i(x,t)-t^{\mathrm{2}m}\mathrm{\Delta }{\psi }_i(x,t)=\mathrm{0} ，i=\mathrm{1,2}\mathrm{。}（10）

对于{\psi }_i(x,t)，有如下引理成立。

引理1^［17］ 令r>\mathrm{1}，则存在正常数C_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}(n,E,p,r)及C_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=C_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(n,E,q,r)，使得

\begin{array}{c}{\int }_{\left\{ |x|\le \xi (t)+E\right\}}{\left({\psi }_i(x,t)\right)}^r\mathrm{d}x\le \\ C_{\mathrm{1}}^i{\rho }_i^r(t){\mathrm{e}}^{r\xi (t)}{\left(\mathrm{1}+\xi (t)\right)}^{\frac{(\mathrm{2}-r)(n-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}，\forall t\ge \mathrm{0}，i=\mathrm{1,2}\mathrm{。}\end{array}（11）

现定义函数

\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{{\mathit{R}}^n}u(x,t){\psi }_{\mathrm{1}}(x,t)dx ，\\ G_{\mathrm{2}}(t)={\int }_{{\mathbf{R}}^n}v(x,t){\psi }_{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x，\end{array}

\begin{array}{c}{\tilde{G}}_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{{\mathit{R}}^n}{u}_t(x,t){\psi }_{\mathrm{1}}(x,t)dx ， \\ {\tilde{G}}_{\mathrm{2}}(t)={\int }_{{\mathbf{R}}^n}{v}_t(x,t){\psi }_{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}

下面分别给出G_i(t)和{\tilde{G}}_i(t)(i=\mathrm{1,2})下界估计的引理。

引理 2^［4］ 假设定理2中关于f_i,g_i (i=\mathrm{1}, \mathrm{2})的条件成立，(u,v)是方程（5）和（6）的能量解，则\exists T_{\mathrm{0}}=T_{\mathrm{0}}(m)>\mathrm{1}，使得

G_i(t)\ge C_{G_i}\epsilon t^{-m}，\forall t\ge T_{\mathrm{0}} ，i=\mathrm{1}, \mathrm{2} ，（12）

其中，C_{G_i}是与n,m,f_i,g_i,E有关的正常数。

引理 3^［4］ 假设定理2中关于f_i,g_i (i=\mathrm{1}, \mathrm{2})的条件成立，(u,v)是方程（5）和（6）的能量解， 则\exists T_{\mathrm{1}}=T_{\mathrm{1}}(m)>\mathrm{1}，使得

{\tilde{G}}_i(t)\ge C_{{\tilde{G}}_i}\epsilon ，\forall t\ge T_{\mathrm{1}} ，i=\mathrm{1}, \mathrm{2} ，（13）

其中，C_{{\tilde{G}}_i}是与n,m,f_i,g_i,E有关的正常数。

由于{\rho }_i(t)，{\psi }_i(x,t)所满足的方程（8）和（10）与文献［4］中的一致，故引理的证明方法也与其一致，类似可得到如下结果。

1） 由于\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{K}_{\upsilon }(t)=\sqrt[]{\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}t}}{\mathrm{e}}^{-t}\left(\mathrm{1}+{\rm O}(t^{-\mathrm{1}})\right)，当式（12）中的T_{\mathrm{0}}充分大时，可知^［4，6］

\begin{array}{c}\xi (t)K_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}m+\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\left(\xi (t)\right)>\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\xi (t)}，{\xi }^{-\mathrm{1}}(t)K_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}m+\mathrm{2}}}^{-\mathrm{2}}\left(\xi (t)\right)>\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\xi (t)}，\forall t\ge \frac{T_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（14）

2） 类似于文献［4］中引理3.3的证明过程，得

\begin{array}{c}{\tilde{G}}_i^{\text{'}}(t)-\frac{\mathrm{3}{\rho }_i^{\text{'}}(t)}{\mathrm{2}{\rho }_i(t)}{\tilde{G}}_i(t)\ge \\ \frac{t^m}{\mathrm{4}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,t)\right|}^p{\psi }_i(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,t)\right|}^p{\psi }_i(x,t)\mathrm{d}x+\frac{C_m(f_i,g_i)}{\mathrm{4}}\epsilon t^m，i=\mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}（15）

当i=\mathrm{2}时，式（15）中用u替换v，用q替换p即可。此处，C_m(f_i,g_i) (i=\mathrm{1,2})为正常数。

2 定理 2 的证明

令

{\mathrm{\Gamma }}_i(t)=-\mathrm{2}{\rho }_i^{\text{'}}(t)/{\rho }_i(t)，i=\mathrm{1,2} ，

L_{\mathrm{1}}(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{\int }_{T_{\mathrm{2}}}^t{\int }_{{\mathit{R}}^n}{\left|v_t(x,s)\right|}^p{\psi }_{\mathrm{1}}(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，（16）

L_{\mathrm{2}}(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{\int }_{T_{\mathrm{2}}}^t{\int }_{{\mathit{R}}^n}{\left|u_t(x,s)\right|}^q{\psi }_{\mathrm{2}}(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，（17）

式中：C_{\mathrm{3}}=min(C_m(f_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{1}})/4,C_m(f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{2}})/4,8C_{{\tilde{G}}_{\mathrm{1}}},8C_{{\tilde{G}}_{\mathrm{2}}})。利用\rho (t)及\mathrm{\Gamma }(t)的性质^［4，6］，得\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\rho }_i^{\text{'}}(t)}{t^m{\rho }_i(t)}=－1，并且可选取T_{\mathrm{2}}>T_{\mathrm{1}}，使得\frac{t^m}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}_i(t)}{\mathrm{32}}>\mathrm{0}，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}。

令F_i(t)={\tilde{G}}_i(t)-L_i(t)，i=\mathrm{1,2}。利用式（15）可知

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(t)+\frac{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{1}}(t)}{\mathrm{4}}{F}_{\mathrm{1}}(t)\ge \\ \left(\frac{t^m}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{1}}(t)}{\mathrm{32}}\right){\int }_{T_{\mathrm{2}}}^t{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,s)\right|}^p{\psi }_{\mathrm{1}}(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\end{array}

\begin{array}{c}\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,t)\right|}^p{\psi }_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{d}x+\forall t\ge T_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\\ \end{array}（18）

式（18）两边乘以{\rho }_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{3}/\mathrm{2}}(t)，并在(T_{\mathrm{2}},t)上积分，得到

F_{\mathrm{1}}(t)\ge F_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{2}})\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}(t)}{{\rho }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}(T_{\mathrm{2}})}，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}\mathrm{。}

由于C_{\mathrm{3}}\le \mathrm{8}{C}_{{\tilde{G}}_{\mathrm{1}}}，结合引理3，可知

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{2}})={\tilde{G}}_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{2}})-\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}\ge {\tilde{G}}_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{2}})-\\ C_{{\tilde{G}}_{\mathrm{1}}}\epsilon \ge \mathrm{0}，\forall t\ge T_{\mathrm{2}},\end{array}

故F_{\mathrm{1}}(t)\ge \mathrm{0}。于是

{\tilde{G}}_{\mathrm{1}}(t)\ge L_{\mathrm{1}}(t)，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}\mathrm{。}

类似地，有

{\tilde{G}}_{\mathrm{2}}(t)\ge L_{\mathrm{2}}(t)，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}\mathrm{。}（19）

利用\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式及式（11），可得

{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,t)\right|}^p{\psi }_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{d}x\ge {\left({\int }_{\left\{\left|x\right|\le \xi (t)+R\right\}}{\psi }_{\mathrm{2}}^{\frac{p}{p-\mathrm{1}}}(x,t){\psi }_{\mathrm{1}}^{- \frac{\mathrm{1}}{p-\mathrm{1}}}(x,t)\mathrm{d}x\right)}^{-(p-\mathrm{1})}{\left({\int }_{{\mathbf{R}}^n}{v}_t(x,t){\psi }_{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\right)}^p\ge

C{\rho }_{\mathrm{1}}(t){\rho }_{\mathrm{2}}^{-p}(t){\mathrm{e}}^{-(p-\mathrm{1})\xi (t)}{\left(\mathrm{1}+\xi (t)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\tilde{G}}_{\mathrm{2}}^p(t)\mathrm{。}（20）

由式（9）和式（14），可知

{\rho }_{\mathrm{1}}(t){\mathrm{e}}^{\xi (t)}>\frac{\sqrt[]{\mathrm{\pi }(m+\mathrm{1})}}{\mathrm{2}}{\alpha }_m{t}^{-\frac{m}{\mathrm{2}}}，{\rho }_{\mathrm{2}}^{-p}(t){\mathrm{e}}^{-p\xi (t)}>{\left(\mathrm{\pi }(m+\mathrm{1}){\alpha }_m^{\mathrm{2}}\right)}^{-\frac{p}{\mathrm{2}}}{t}^{\frac{mp}{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（21）

将式（21）代入式（20），得

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|v_t(x,t)\right|}^p{\psi }_{\mathrm{1}}(x,t)\mathrm{d}x\ge \\ C{t}^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\xi (t)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\tilde{G}}_{\mathrm{2}}^p(t)\mathrm{。}\end{array}（22）

将式（22）结合式（16）和（19），得

L_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(t)\ge C{t}^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\xi (t)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{L}_{\mathrm{2}}^p(t)\mathrm{。}（23）

类似地，可知

L_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(t)\ge C{t}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\xi (t)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{L}_{\mathrm{1}}^q(t)\mathrm{。}（24）

将式（23）和式（24）在(T_{\mathrm{2}},t)上积分，得到

L_{\mathrm{1}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{2}}}^t{s}^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\xi (s)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}·L_{\mathrm{2}}^p(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}，（25）

L_{\mathrm{2}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{2}}}^t{s}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\xi (s)\right)}^{- \frac{(n-\mathrm{1})(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}·L_{\mathrm{1}}^q(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{2}}\mathrm{。}（26）

2.1 次临界情形

下面给出改进的Kato引理。

引理 4 令r>\mathrm{1}，a>\mathrm{0}，b>\mathrm{0}，使得M=\frac{r-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}a-\frac{b}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}>\mathrm{0}。假设F(t)\in {\mathrm{C}}^{\mathrm{2}}([H,T))，H>\mathrm{0}，并满足

F(t)\ge A{t}^a，t\ge {\tilde{T}}_{\mathrm{0}}，（27）

F^{″}(t)\ge B{(t+E)}^{-b}{\left|F(t)\right|}^r，t\ge H，（28）

F(H)\ge \mathrm{0}，F^{\text{'}}(H)>\mathrm{0}，（29）

式中：A,B,R,{\tilde{T}}_{\mathrm{0}}是正常数。假设

{\tilde{T}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left({\tilde{T}}_{\mathrm{0}},H+\frac{F(H)}{F^{\text{'}}(H)},E\right)\ge C_{\mathrm{0}}{A}^{- \frac{r-\mathrm{1}}{\mathrm{2}M}},（30）

则

引理 4 的证明 由于引理4中H\ne \mathrm{0}，此处结合文献［18］给出证明过程。利用式（28）和式（29），可知F^{\text{'}}(t)\ge F^{\text{'}}(H)>\mathrm{0}，则

\begin{array}{c}F(t)\ge F^{\text{'}}(H)(t-H)+F(H)\ge F(H)\ge \mathrm{0}，\\ \forall t\ge H\mathrm{。}\end{array}（31）

式（28）两边同时乘以F^{\text{'}}(t)，得

{\partial }_t{\left(F^{\text{'}}(t)\right)}^{\mathrm{2}}\ge \mathrm{2}B{(t+E)}^{-b}{F}^r(t)F^{\text{'}}(t)\mathrm{。}

利用式（31），可知

\begin{array}{c}{\left(F^{\text{'}}(t)\right)}^{\mathrm{2}}\ge \\ {\left(F^{\text{'}}(H)\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}B{(t+E)}^{-b}{\int }_H^t{F}^r(s)F^{\text{'}}(s)\mathrm{d}s\ge \end{array}

\frac{\mathrm{2}B}{r+\mathrm{1}}{(t+E)}^{-b}{F}^r(t)\left(F(t)-F(H)\right)，\forall t\ge H\mathrm{。}

若F(H)>\mathrm{0}，假设t\ge H+F(H)/F^{\text{'}}(H)，则有F(t)\ge \mathrm{2}F(H)，得

\begin{array}{c}{F}^{\text{'}}(t)>\sqrt[]{\frac{B}{r+\mathrm{1}}}{\left(t+E\right)}^{- \frac{b}{\mathrm{2}}}{F}^{\frac{r+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}(t)，\\ \forall t\ge H+\frac{F(H)}{F^{\text{'}}(H)}\mathrm{。}\end{array}（32）

若F(H)=\mathrm{0}，式（32）仍成立。其余部分的证明与文献［18］中相同。

现证明当\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)>\mathrm{0}时，次临界情形问题（5）~（6）解的破裂。为不失一般性，假设\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)=\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)。对于式（25）和式（26），\exists T_{\mathrm{3}}>T_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}，使得当t\ge T_{\mathrm{3}}时，有

\begin{array}{c}\mathrm{1}+\xi (t)\le {(\mathrm{1}+t)}^{m+\mathrm{1}}，t^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}\ge \\ C{\left(\mathrm{1}+t\right)}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}，t^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}\ge C{\left(\mathrm{1}+t\right)}^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}（33）

结合式（25），式（26）及式（33），可知

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{1}}(t)\ge \\ C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(\mathrm{1}+s\right)}^{\frac{m(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}} - \frac{(n-\mathrm{1})(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}(m+\mathrm{1})}{L}_{\mathrm{2}}^p(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{3}}，\end{array}（34）

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2}}(t)\ge \\ C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(\mathrm{1}+s\right)}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}} - \frac{(n-\mathrm{1})(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}(m+\mathrm{1})}{L}_{\mathrm{1}}^q(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{3}}\mathrm{。}\end{array}（35）

对式（35）运用\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式，并注意到n\ge \mathrm{2}，可得

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2}}(t)\ge \\ C{\left(\mathrm{1}+t\right)}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}} - \frac{(n-\mathrm{1})(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}(m+\mathrm{1})}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{L}_{\mathrm{1}}^q(s)\mathrm{d}s\ge \end{array}

\begin{array}{c}C{\left(\mathrm{1}+t\right)}^{\frac{m(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}} - \frac{(n-\mathrm{1})(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}(m+\mathrm{1})-(q-\mathrm{1})}{\left({\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{L}_{\mathrm{1}}(s)\mathrm{d}s\right)}^q，\\ \forall t\ge T_{\mathrm{3}} \mathrm{。}\end{array}（36）

令

F_i(t)={\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{L}_i(s)\mathrm{d}s，i=\mathrm{1,2}\mathrm{。}（37）

将式（36）代入式（23），可得

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}^{″} (t)\ge \\ C{\left(\mathrm{1}+t\right)}^{\frac{pq-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(m-(n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})\right)-p(q-\mathrm{1})}{F}_{\mathrm{1}}^{pq}(t)，\forall t\ge T_{\mathrm{3}}\mathrm{。}\end{array}（38）

另一方面，可知F_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{3}})=\mathrm{0}，F_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(T_{\mathrm{3}})=L_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{3}})>\mathrm{0}。由于L_{\mathrm{1}}(t)递增，利用式（37）可知F_{\mathrm{1}}(t)\ge (t-T_{\mathrm{3}})L_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{3}})。当t\ge \mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}时，有

F_{\mathrm{1}}(t)\ge {\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}t L_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{3}})\ge C\epsilon t，\forall t\ge \mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}\mathrm{。}（39）

根据引理4及式（38）和（39），令

A=C\epsilon， a=\mathrm{1}， b=\frac{pq-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left((n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})-m\right)+p(q-\mathrm{1})， r=pq\mathrm{。}

可知

M=\frac{pq-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{pq-\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left((n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})-m\right)-\frac{p(q-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\iff \mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)=\frac{p+\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}+\frac{m-(n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}\mathrm{。}（40）

根据式（39），取{\tilde{T}}_{\mathrm{0}}={(C\epsilon )}^{-\mathrm{\Lambda }{(n,m,p,q)}^{-\mathrm{1}}}，则存在充分小的正数{\epsilon }_{\mathrm{0}}，当\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}})时，有

{\tilde{T}}_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(T_{\mathrm{3}}+\frac{F_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{3}})}{F_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(T_{\mathrm{3}})},E\right)\mathrm{。}

根据引理4，F_{\mathrm{1}}(t)生命跨度的上界估计满足

T\le C{\epsilon }^{-\mathrm{\Lambda }{(n,m,p,q)}^{-\mathrm{1}}}\mathrm{。}

类似地，当\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)=\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)时，对于F_{\mathrm{2}}(t)，有

T\le C{\epsilon }^{-\mathrm{\Lambda }{(n,m,q,p)}^{-\mathrm{1}}},

则问题（1）的解(u,v)的生命跨度的上界估计为

T\le C{\epsilon }^{-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\left(\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q),\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)\right)}^{-\mathrm{1}}}，

式中：C=C(n,m,p,q,f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}},E)。

2.2 临界情形且\mathit{p}\ne \mathit{q}

假设\mathrm{\Omega }(n,m,p,q)=\mathrm{0}，设\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)=\mathrm{0}>\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)。利用式（40）及T_{\mathrm{3}}>\mathrm{1}，则式（34）和（35）可写为

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{1}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(T_{\mathrm{3}}+s\right)}^{- \frac{(p-\mathrm{1})(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}}{L}_{\mathrm{2}}^p(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}},\\ \forall t\ge T_{\mathrm{3}},\end{array}（41）

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(T_{\mathrm{3}}+s\right)}^{- \frac{(q-\mathrm{1})(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}}{L}_{\mathrm{1}}^q(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}},\\ \forall t\ge T_{\mathrm{3}}\mathrm{。}\end{array}（42）

引入序列\{l_j{\}}_{j\in \mathbf{N}}，其中l_j=\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{-(j+\mathrm{1})}。可知\{l_j{\}}_{j\in \mathbf{N}}是递增序列，l_j\ge l_{\mathrm{0}}=\mathrm{3}/\mathrm{2}。假设

L_{\mathrm{1}}(t)\ge D_j{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{l_j{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{{\theta }_j}，t\ge l_j，（43）

其中，\{D_j{\}}_{j\in \mathbf{{\rm N}}}，\{{\theta }_j{\}}_{j\in \mathbf{N}}是待定非负实数序列。由于D_{\mathrm{0}}=C_{\mathrm{3}}\epsilon /\mathrm{8}，{\theta }_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，则j=\mathrm{0}时式（43）成立。另一方面，对于\forall j\in \mathbf{N}，当t\ge l_j{T}_{\mathrm{3}}时，t\ge \mathrm{3}(t+T_{\mathrm{3}})/\mathrm{5}。将式（43）代入式（42），得

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{2}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{D}_j^q{\int }_{l_j{T}_{\mathrm{3}}}^t{\left(T_{\mathrm{3}}+s\right)}^{- \frac{(q-\mathrm{1})(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{s}{l_j{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{q{\theta }_j}\mathrm{d}s \ge C_{\mathrm{0}}{D}_j^q{\left(t+T_{\mathrm{3}}\right)}^{- \frac{(q-\mathrm{1})(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}}{\int }_{\frac{l_{j}t}{l_{j+\mathrm{1}}}}^t{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{s}{l_j{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{q{\theta }_j}\mathrm{d}s\ge \\ \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{C}_{\mathrm{0}}{D}_j^q\left(\mathrm{1}-\frac{l_j}{l_{j+\mathrm{1}}}\right){\left(t+T_{\mathrm{3}}\right)}^{\mathrm{1}- \frac{(q-\mathrm{1})(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{q{\theta }_j}，\forall t\ge l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}} \mathrm{。}\end{array}（44）

将式（44）代入式（41），得

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{1}}(t)\ge {\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)}^p{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}{D}_j^{pq}{\left(\mathrm{1}-\frac{l_j}{l_{j+\mathrm{1}}}\right)}^p{\int }_{l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}}}^t\frac{\mathrm{1}}{s+T_{\mathrm{3}}}·{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{s}{l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{pq{\theta }_j}\mathrm{d}s\ge C_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}-\frac{l_j}{l_{j+\mathrm{1}}}\right)}^p·\\ D_j^{pq}{\left(pq{\theta }_j+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{1}}{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{pq{\theta }_j+\mathrm{1}}，\forall t\ge l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}} ，\end{array}

其中，C_{\mathrm{4}}={\mathrm{3}}^{p+\mathrm{1}}/{\mathrm{5}}^{p+\mathrm{1}}。由于\mathrm{1}-l_j/l_{j+\mathrm{1}}\ge {\mathrm{2}}^{-(j+\mathrm{3})}，于是，L_{\mathrm{1}}(t)满足

\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{1}}(t)\ge C_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}^{-p(j+\mathrm{3})}{\left(pq{\theta }_j+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{1}}·\\ D_j^{pq}{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{l_{j+\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{pq{\theta }_j+\mathrm{1}}\mathrm{。}\end{array}

结合式（43），令

{\theta }_{j+\mathrm{1}}=\mathrm{1}+pq{\theta }_j，（45）

D_{j+\mathrm{1}}={\mathrm{2}}^{-p(j+\mathrm{3})}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}(pq{\theta }_j{+\mathrm{1})}^{-\mathrm{1}}{D}_j^{pq}\mathrm{。}（46）

于是，式（43）对于j+\mathrm{1}也成立。

根据式（45），得

{\theta }_j=\mathrm{1}+pq{\theta }_{j-\mathrm{1}}=\mathrm{1}+pq+{(pq)}^{\mathrm{2}}{\theta }_{j-\mathrm{2}}=\cdots ={(pq)}^k+{\theta }_{\mathrm{0}}{(pq)}^j=\frac{{(pq)}^j-\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}（47）

结合式（46）和（47），得

D_j\ge {\mathrm{2}}^{-p(j+\mathrm{3})}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}(pq-\mathrm{1}){(pq)}^{-j}{D}_{j-\mathrm{1}}^{pq}=\underset{\tilde{D}}{\underbrace{{\mathrm{2}}^{-\mathrm{3}p}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{0}}^{p+\mathrm{1}}(pq-\mathrm{1})}}{\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)}^{-j}{D}_{j-\mathrm{1}}^{pq}\mathrm{。}

计算得到

\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge pq\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{j-\mathrm{1}}-j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{D}\ge {(pq)}^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{0}}-\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{j-\mathrm{1}}}(j-k){(pq)}^k\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)+\\ {(pq)}^j\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{0}}-\frac{pq}{{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)+\frac{\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{D}\right)+ \\ \underset{\ge \mathrm{0}}{\underbrace{\frac{\mathrm{1}}{{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)+\frac{j+\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)-\frac{\mathrm{1}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{D}}}\mathrm{。} \end{array}（48）

令式（48）最后一步的后\mathrm{3}项之和非负，则j应满足

j\ge j_{\mathrm{0}}:=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{D}}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}({\mathrm{2}}^{p}pq)}-\frac{pq}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}

选取j使得j\ge \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},j_{\mathrm{0}})，则有

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge {(pq)}^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C_{\mathrm{5}}\epsilon )，（49）

式中：C_{\mathrm{5}}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mathrm{8}}^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{3}}{\tilde{D}}^{{(pq-\mathrm{1})}^{-\mathrm{1}}}{\left({\mathrm{2}}^{p}pq\right)}^{-pq{(pq-\mathrm{1})}^{-\mathrm{2}}}\right)。

结合式（43），式（47）及式（49），当j\ge \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},j_{\mathrm{0}})且t\ge l_j{T}_{\mathrm{3}}时，有

L_{\mathrm{1}}(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({(pq)}^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C_{\mathrm{5}}\epsilon )\right){\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{l_j{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{\left({(pq)}^j-\mathrm{1}\right)/(pq-\mathrm{1})}\mathrm{。}

对于\forall j\in \mathbf{N}，，当j\ge \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},j_{\mathrm{0}})且t\ge \mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}时，可知

L_{\mathrm{1}}(t)>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({(pq)}^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(C_{\mathrm{5}}\epsilon )\right){\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{\mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{\left({(pq)}^j-\mathrm{1}\right)/(pq-\mathrm{1})}=

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({(pq)}^j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(C_{\mathrm{5}}\epsilon {\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{\mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{\mathrm{1}/(pq-\mathrm{1})}\right)\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\left(\frac{t}{\mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}}\right)}^{-\mathrm{1}/(pq-\mathrm{1})}\mathrm{。}（50）

选取充分小的正数{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(n,m,f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}},E)，使得exp\left({\left(C_{\mathrm{5}}{\epsilon }_{\mathrm{0}}\right)}^{-(pq-\mathrm{1})}\right)≥0。因此，对于\forall \epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}})及t\ge \mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\left(C_{\mathrm{5}}\epsilon \right)}^{-(pq-\mathrm{1})}\right)，得

C_{\mathrm{5}}\epsilon {\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{t}{\mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}}}\right)\right)}^{\mathrm{1}/(pq-\mathrm{1})}>\mathrm{1}\mathrm{。}

式（50）中当j\to \mathrm{\infty }时，L_{\mathrm{1}}(t)会在有限时间内发生破裂。因此，问题（1）的解(u,v)的生命跨度的上界估计为

T(\epsilon )\le \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(C{\epsilon }^{-(pq-\mathrm{1})}\right)，（51）

其中，C是与\epsilon无关的正常数。

当\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)=\mathrm{0}>\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)时，利用类似方法可得与式（51）相同的估计。

2.3 临界情形且\mathit{p}=\mathit{q}

假设\mathrm{\Lambda }(n,m,p,q)=\mathrm{\Lambda }(n,m,q,p)=\mathrm{0}, 利用式（40），则有p=q。因此，式（34）和（35）可记为

L_{\mathrm{1}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(\mathrm{1}+s\right)}^{-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{2}}^p(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{3}}，（52）

L_{\mathrm{2}}(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\int }_{T_{\mathrm{3}}}^t{\left(\mathrm{1}+s\right)}^{-\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{1}}^q(s)\mathrm{d}s+\frac{C_{\mathrm{3}}\epsilon }{\mathrm{8}}，\forall t\ge T_{\mathrm{3}}\mathrm{。}（53）

结合文献［19］中对式（42）和式（43）的计算过程，对于式（52）和（53），可知L_{\mathrm{1}}(t)和L_{\mathrm{2}}(t)会在有限时间内破裂，则问题（1）的解(u,v)的生命跨度的上界估计为

T(\epsilon )\le \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(C{\epsilon }^{-(p-\mathrm{1})}\right)，

其中，C是与\epsilon无关的正常数。

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基金资助

山西省基础研究计划资助项目(20210302123045)

山西省基础研究计划资助项目(20210302123021)

山西省基础研究计划资助项目(20210302123182)

中北大学科研创新团队支持计划资助项目(TD201901)

山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划资助项目