广义齿轮图的PI指数

PI Index of Generalized Gear Graph

摘要

设G是简单连通图， e=uv是G中连接点u和点v的一条边， 图G的PI指数定义为PI\left(G\right)=\left[n_{eu}\left(e|G\right)+n_{ev}\left(e|G\right)\right]。一个顶点到一条边的距离就是该点与该边的两个端点之间的最小距离。广义齿轮图是通过在圆锥图的圈上的每对相邻顶点之间添加一个顶点而得到的图， 其具有优美的对称性。记广义齿轮图C\mathrm{*}的PI指数为PI（C^{\mathrm{*}}）， 本文根据广义齿轮图的性质， 得到了一种计算与一条边的两个端点距离相等的边的方法， 并将其边进行分类， 利用此方法找到对PI（C^{\mathrm{*}}）没有贡献的边， 从而计算出广义齿轮图的PI指数， 为研究一些特殊图的PI指数问题提供了线索。

Abstract

Let G be a simple connected graph， e=uv is an edge of the connecting u and v in G， the PI index is defined as PI\left(G\right)=\sum _{e=uv\in E(G)}\left[n_{eu}\left(e|G\right)+n_{ev}\left(e|G\right)\right].The distance from a vertex to an edge is taken as the minimum distance between the given point and the two endpoints of that edge. The generalized gear graph is a graph obtained from the conical graph with a vertex added between each pair adjacent vertices of the cycles， which has a graceful symmetry. Let PI（C^{\mathrm{*}}） be the PI index of generalized gear graph C*. In this paper， the symmetry of generalized gear graph was used to obtain a method to calculate the number of edges that is equidistant from two ends of an edge and classifies its edges. By using this method， we found the edges that did not contribute to PI（C^{\mathrm{*}}）， and then estimated the PI index of the generalized gear graph， which provided a clue for the study of the PI index of some special graphs.

Graphical abstract

关键词

PI指数 / 广义齿轮图 / 偶圈 / 对称性

Key words

PI index / generalized gear graph / even cycle / symmetry

0 引　言

图的拓扑指数是一种度量图结构的特征数值， 由分子图衍生而来， 通过图的顶点和边的数量、距离、度数等性质计算得到。设G为简单连通图， V\left(G\right)表示其顶点集， E\left(G\right)表示其边集。用e=uv表示G中连接点u和点v的一条边。设e=uv,用n_{eu}\left(e|G\right)表示G中到点u的距离比到点v的距离更近的边的数目， n_{ev}\left(e|G\right)表示G中到点v的距离比到点u的距离更近的边的数目。

图G的Padamkar-Ivan指数（简称为PI指数）定义为

PI\left(G\right)=\sum _{e=uv\in E(G)}\left[n_{eu}\left(e|G\right)+n_{ev}\left(e|G\right)\right]\mathrm{。}（1）

图G的PI指数是Padamkar V.Khadikar在2000年提出的一个拓扑指数^［1-2］， 其中， “P”来自“Padmakar”，“I”来自“Ivan”， 因此，PI指数有时被称为“Padmakar-Ivan指数”。PI指数只有在非二部图的分子图中才能产生作用， 因为当二部图的基础图结构发生任何变化， PI指数的值都不改变。尽管PI指数只能在特定结构的分子图中发挥作用， 但它并没有被抛弃， 并继续在当代化学图论中发挥着有限的作用^［3］。PI 指数是一种能够用来反映有机分子特定结构特征的拓扑指数， 它对刻画分子图以及建立分子结构与特征之间的关系具有重要作用， 同时被广泛应用于预测化合物的物理化学性质及生物活性。Vukićević等^［4］、 Ma等^［5-6］陆续得到了双圈图和三圈图的PI极值， Ma等^［7］又给出了仙人掌图的加权顶点PI指数的上界和下界， Ma等^［8］还给出了直径为d的（n，m）图的加权顶点PI指数的上界， Kandan等^［9］得到了计算圆锥图和广义齿轮图的Mostar指数的精确公式， Vujosěvić等^［10］计算出了仙人掌链图的边PI指数和顶点PI指数的精确值。

本文将研究一类特殊图的PI指数， 期望得到其PI指数的精确公式。

1 准备工作

设G为简单连通图， 用d(u,e)表示顶点u到边e的距离。对于G中两条边e=(u,v)和e\mathrm{\text{'}}定义

{\delta }_{e=(u,v)}^{e\mathrm{\text{'}}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1},d(u,e\mathrm{\text{'}})=d(v,e\mathrm{\text{'}}),\\ \mathrm{0},d(u,e\mathrm{\text{'}})\ne d(v,e\mathrm{\text{'}}),\end{array}\right.（2）

则\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E}{\delta }_e^{e\text{'}}是G中到顶点u和v距离相等的边数。

定义 1^［11］ 设图G是一个连通的简单图， 对任意的边e=uv\in E\left(G\right)， 定义n_e(G)为G中与点u和点v距离不相等的边数。

由图G的PI指数的定义可知， G中每条边e=\left(u,v\right)对PI\left(G\right)的贡献是与其端点u和v不等距的边的数目^［12］， 故由式（1）和式（2）得到

PI\left(G\right)=\sum _{e\in E(G)}{n}_e(G)=\sum _{e\in E(G)}\left(\left|E(G)\right|-\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(G)}{\delta }_e^{e\mathrm{\text{'}}}\right)\mathrm{。}（3）

定义 2^［13］ 给定两个图G和H， 它们的笛卡尔积G\square H是顶点集为V(G)\times V(H)的图， 其中两个顶点(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}})和(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}})相邻当且仅当u_{\mathrm{1}}=u_{\mathrm{2}}且v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\in E(H)， 或v_{\mathrm{1}}=v_{\mathrm{2}}且u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\in E(G)。

定义 3^［14］ 圆锥图是通过一个中心点O与圈图C_k和路图P_l的笛卡尔积图的第一层相连接而得到的图， 其中l\ge \mathrm{1},k\ge \mathrm{2}。

定义 4^［15］ 对于l\ge \mathrm{1},k\ge \mathrm{2},广义齿轮图C*（l，2k）是通过在圆锥图的圈上每相邻两个顶点之间添加一个顶点而得到的图。记广义齿轮图的轮心为u_{\mathrm{0}}， 在第i层圈上添加的点依次记为u_{\mathrm{1,2}}^i,u_{\mathrm{2,3}}^i,\cdots ,u_{k-\mathrm{1},k}^i,u_{k,\mathrm{1}}^i(i=\mathrm{1},\cdots ,l),则C\mathrm{*}(l,\mathrm{2}k)的顶点集可记为V(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}},u_i^j,u_{i,i+\mathrm{1}}^j|i=\mathrm{1,2},\cdots \right.，k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)，\left.j=\mathrm{1,2},\cdots ,l\right\}， 如图 1 所示。

定义5^［16］ 长为k的圈称为k圈， 按k是奇数还是偶数， 称k圈是奇圈或偶圈。

2 主要结果

引理 1 设G是广义齿轮图， e=(u,v)\in E(G)是G中的任意一条边， 若在图G中能找到一条到e的两个端点u和v距离相等的边e\mathrm{\text{'}}， 则在包含e\mathrm{\text{'}} （不包含e）的新的偶圈中必有到边e的两个端点u和v距离相等的边。

证明 如图 1 所示， 设e=u_{\mathrm{0}}{u}_k^{\mathrm{1}}， 容易验证边u_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{k-\mathrm{1},k}^{\mathrm{1}}和边u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}到e的两个端点u_{\mathrm{0}}和u_k^{\mathrm{1}}的距离相等， 记偶圈C_{\mathrm{1}}的顶点集V(C_{\mathrm{1}})=\left\{u_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},u_{k-\mathrm{1},k}^{\mathrm{1}},u_k^{\mathrm{1}},u_k^{\mathrm{2}},u_{k-\mathrm{1},k}^{\mathrm{2}},u_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right\}， 偶圈C_{\mathrm{2}}的顶点集V(C_{\mathrm{2}})=\left\{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},\right.u_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},u_k^{\mathrm{1}},u_k^{\mathrm{2}},\left.u_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right\}， 容易验证边u_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{k-\mathrm{1},k}^{\mathrm{2}}和边u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}到e的两个端点距离相等， 依次按照这种规律做下去， 可以找到\mathrm{2}l条这样的边。证毕。

定理 1 设l\ge \mathrm{1},k\ge \mathrm{2},C\mathrm{*}\left(l,\mathrm{2}k\right)为如图 1 所示的广义齿轮图， 则

\begin{array}{c}PI\left(C\mathrm{*}\right)=\\ \left\{\begin{array}{ll}\mathrm{18},& l=\mathrm{1},k=\mathrm{2},\\ \mathrm{3}k(\mathrm{3}k-\mathrm{3}),& l=\mathrm{1},k>\mathrm{2},\\ \mathrm{22}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{38}l-\mathrm{6},& l>\mathrm{1},k=\mathrm{2},\\ \mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{8}kl+k^{\mathrm{2}}-\mathrm{11}k,& l>\mathrm{1},k>\mathrm{2}\mathrm{。}\end{array}\right.\end{array}

证明 考虑以下4种情形。

情形 1 当l=\mathrm{1},k=\mathrm{2}时， 广义齿轮图的顶点集V\left(C\mathrm{*}\right)=\left\{u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1,2}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{2,1}}\right\}， 边集E\left(C\mathrm{*}\right)=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1,2}},u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2,1}},u_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1,2}},u_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{2,1}}\right\}， 容易验证其顶点数为\mathrm{5}， 边数为\mathrm{6}。

先设e=u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{1}}， 从图中可以发现{\delta }_{e=(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}})}^{e^{,}}=\mathrm{3}， 则n_e=\mathrm{6}-\mathrm{3}=\mathrm{3}， 由图的对称性可知n_{u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{2}}}=\mathrm{3}。

再设e=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1,2}}， 从图中可以发现{\delta }_{e=(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1,2}})}^{e^{,}}=3， 则n_e=\mathrm{3}， 由图的对称性可知， n_{u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2,1}}}=n_{u_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1,2}}}=n_{u_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{2,1}}}=n_e=\mathrm{3}。

综上所述，PI\left(C\mathrm{*}\right)=\mathrm{18}。

情形 2 当l=\mathrm{1}， k>\mathrm{2}时， 广义齿轮图的顶点集V\left(C^{\mathrm{*}}\right)=\left\{u_{\mathrm{0}},u_i,u_i{u}_{i+\mathrm{1}}|i=\mathrm{1,2},\right.\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\}， 边集E\left(C^{\mathrm{*}}\right)=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_i,u_i{u}_{i,i+\mathrm{1}},u_{i,i+\mathrm{1}}{u}_{i+\mathrm{1}}|i=\mathrm{1,2},\cdots ,\right.\left.k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\right\}， 容易验证其顶点数为\mathrm{2}k+\mathrm{1}， 边数为\mathrm{3}k。记E_{\mathrm{1}}(C^{\mathrm{*}})=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_i|i=\mathrm{1,2},\cdots ,k\right\}， E_{\mathrm{2}}(C^{\mathrm{*}})=\left\{u_i{u}_{i,i+\mathrm{1}}|\right.i=\mathrm{1,2},\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k\left.)\right\}，E_{\mathrm{3}}(C^{\mathrm{*}})=\left\{u_i{u}_{i,i+\mathrm{1}}|\right.i=1，2，\cdots，\left.k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\right\}， 并设P{I}_i(C^{\mathrm{*}})=\sum _{e\in E_i\left(C\mathrm{*}\right)}{n}_e(C^{*})=\sum _{e\in E_i(C\mathrm{*})}\left(|E(C\mathrm{*})|-\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_e^{e\mathrm{\text{'}}}\right)， 其中i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}.

先设e=u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{1}}\in E_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}})}^{e^{,}}=\mathrm{3}， 则n_e=\mathrm{3}k-\mathrm{3}， 易知\left|E_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})\right|=k， 由式（3）可得P{I}_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})=k(\mathrm{3}k-\mathrm{3})。

再设e=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1,2}}\in E_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1,2}})}^{e^{,}}=\mathrm{3}， \mathrm{则}{n}_e=\mathrm{3}k-\mathrm{3}， 易知\left|E_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})\right|=k， 由式（3）可得P{I}_{\mathrm{2}}=k(\mathrm{3}k-\mathrm{3})。

最后， 设e=u_{\mathrm{1,2}}{u}_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{1,2}},u_{\mathrm{2}})}^{e^{,}}=3， 则n_e=\mathrm{3}k-\mathrm{3}， 易知\left|E_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})\right|=k， 由式（3）可得P{I}_{\mathrm{3}}=k(\mathrm{3}k-\mathrm{3})。

综上所述，

PI\left(C\mathrm{*}\right)=P{I}_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})+P{I}_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})+P{I}_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})=

\mathrm{3}k（\mathrm{3}k-\mathrm{3})。

情形 3 当l>\mathrm{1},k=\mathrm{2}时， 广义齿轮图的顶点集V(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}},u_i^j,u_{i,i+\mathrm{1}}^j\right.|i=\mathrm{1,2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})，j=\mathrm{1,2},\left.\cdots ,l\right\}， 边集E(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_i^{\mathrm{1}},u_i^j\right.u_{i,i+\mathrm{1}}^j,u_i^j{u}_i^{j+\mathrm{1}}|i=\mathrm{1,2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})，j=\mathrm{1,2},\cdots ,\left.l\right\}。容易验证其顶点数为\mathrm{2}k+\mathrm{1}， 边数为\mathrm{6}l。下面将其边分类进行讨论：

1） 设e=u_{\mathrm{0}}{u}_i^{\mathrm{1}}(i=\mathrm{1,2})， 易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_{\mathrm{0}},u_i^{\mathrm{1}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}l+\mathrm{1}， 则n_e=\mathrm{2}(\mathrm{6}l-\mathrm{2}l-\mathrm{1})=\mathrm{8}l-\mathrm{2}；

2） 设e=u_i^{l-\mathrm{1}}{u}_i^l(i=\mathrm{1,2})， 易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_i^{i-\mathrm{1}},u_i^{\mathrm{1}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=2， 则n_e=\mathrm{2}(\mathrm{6}l-\mathrm{2})=\mathrm{12}l-\mathrm{4}；

3） 设e=u_i^j{u}_i^{j+\mathrm{1}}(i=\mathrm{1,2}且j=\mathrm{1,2},\cdots ,l-\mathrm{1})， 易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_i^j,u_i^{j+\mathrm{1}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=2， 则n_e=(l-\mathrm{2})(\mathrm{6}l-\mathrm{2})=\mathrm{6}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{14}l+\mathrm{4}；

4） 设e=u_i^{\mathrm{1}}{u}_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}或者e=u_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}， 其中i=\mathrm{1,2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})， 易证\sum _{e\text{'}\in E(C\left.*\right)}{\delta }_{e=(u_i^{\mathrm{1}},u_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}})}^{e\text{'}}=l+\mathrm{2}， 则n_e=\mathrm{4}\times [\mathrm{6}l-l-\mathrm{2}]=\mathrm{20}l-\mathrm{8}；

5） 设e=u_i^j{u}_{i,i+\mathrm{1}}^j或者e=u_{i,i+\mathrm{1}}^j{u}_{i+\mathrm{1}}^j， 其中， i=\mathrm{1,2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})且j=\mathrm{2,3},\cdots ,l-\mathrm{1}， 易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_i^j,u_{i,i+\mathrm{1}}^j)}^{e\mathrm{\text{'}}}\mathrm{2}(l-\mathrm{1})+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}l+\mathrm{1}， 则n_e=\mathrm{4}(l-\mathrm{2})[\mathrm{6}l-(\mathrm{2}l+\mathrm{1})]=\mathrm{16}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{36}l+\mathrm{8}；

6） 设e=u_i^l{u}_{i,i+\mathrm{1}}^l或者e=u_{i,i+\mathrm{1}}^l{u}_{i+\mathrm{1}}^l， 其中i=\mathrm{1,2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{2})，易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_i^l,u_{i,i+\mathrm{1}}^l)}^{e\mathrm{\text{'}}}\mathrm{2}(l-\mathrm{1})+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}l+\mathrm{1}， 则n_e=\mathrm{4}\times [\mathrm{6}l-(\mathrm{2}l+\mathrm{1})]=\mathrm{6}l-\mathrm{4}。

综上所述，

PI(C\mathrm{*})=\mathrm{8}l-\mathrm{2}+\mathrm{12}l-\mathrm{4}+\mathrm{6}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{14}l+\mathrm{4}+\mathrm{20}l-\mathrm{8}+\mathrm{16}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{36}l+\mathrm{8}+\mathrm{16}l-\mathrm{4}=

\mathrm{22}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{38}l-\mathrm{6}。

情形 4 当l>\mathrm{1},k>\mathrm{2}时， 广义齿轮图C\mathrm{*}的顶点集V(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}},u{}_i{}^j\right.,u_{i,i+\mathrm{1}}^j|i=\mathrm{1,2},\cdots ,k且j=\mathrm{1,2},\cdots ,\left.l\right\}， 边集E(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_i^{\mathrm{1}}\right.，u_i^j{u}_i^{j+\mathrm{1}}，u_i^j{u}_{i,i+\mathrm{1}}^j，u_{i,i+\mathrm{1}}^j{u}_{i+\mathrm{1}}^j|i=\mathrm{1,2},\cdots ,k且j=\mathrm{1,2},\cdots ,l(\left.\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}l)\right\}。容易验证其顶点数为\mathrm{2}kl+\mathrm{1}， 边数为\mathrm{3}n。

记E_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}},\cdots ,\right.\left.u_{\mathrm{0}}{u}_k^{\mathrm{1}}\right\}，

E_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^{l-\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^l,u_{\mathrm{2}}^{l-\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}^l,\cdots ,u_k^{l-\mathrm{1}}{u}_k^l\right\}，

E_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^l{u}_{\mathrm{1,2}}^l,\right.u_{\mathrm{1,2}}^l{u}_{\mathrm{2}}^l,\cdots ,u_k^l{u}_{k,\mathrm{1}}^l,\left.u_{k,\mathrm{1}}^l{u}_{\mathrm{1}}^l\right\}，

E_{\mathrm{4}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1,2}}^{\mathrm{1}},\right.u_{\mathrm{1,2}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}},\cdots ,u_{k-\mathrm{1},k}^{\mathrm{1}}{u}_k^{\mathrm{1}},u_k^{\mathrm{1}}{u}_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},\left.u_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right\}，

E_{\mathrm{5}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^j{u}_{\mathrm{1,2}}^j\right.,u_k^j{u}_{k,\mathrm{1}}^j,u_{k,\mathrm{1}}^j{u}_{\mathrm{1}}^j\left.|j=\mathrm{2,3},\cdots ,l-\mathrm{1}\right\}，

E_{\mathrm{6}}(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^j{u}_{\mathrm{1}}^{j+\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}^j{u}_{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}},\cdots ,u_k^j{u}_k^{j+\mathrm{1}}|j=\mathrm{1,2},\cdots ,l-\mathrm{2}\right\}

并设

\begin{array}{c}P{I}_i(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_i\left(C\mathrm{*}\right)}{n}_e(C\left.*\right)=\\ \sum _{e\in E_i(C\mathrm{*})}\left(|E(C\mathrm{*})|-\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_e^{e\mathrm{\text{'}}}\right),\end{array}

其中， i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6}。

1） e\in E_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})。设e=u_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}， 易证\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})}{\delta }_{e=(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{2}l+\mathrm{1}， 则n_e=\mathrm{3}kl-\mathrm{2}l-\mathrm{1}， 由图的对称性可以推广到当e=u_{\mathrm{0}}{u}_i^{\mathrm{1}}(i=\mathrm{1,2},\cdots ,k)时， 由式（3）可得P{I}_{\mathrm{1}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{1}}(C\left.*\right)}{n}_e=k(\mathrm{3}kl-\mathrm{2}l-\mathrm{1})==\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl-k。

2） e\in E_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})。设e=u_{\mathrm{2}}^{l-\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}^l， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{2}}^{l-\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}^l)}^{e\mathrm{\text{'}}}=k-\mathrm{1}+\mathrm{1}=k， 则n_e=\mathrm{3}kl-k， 由图的对称性可以推广到当e=u_i^{l-\mathrm{1}}{u}_i^l(i=\mathrm{1,2},\cdots ,k)时， 由式（3）可得P{I}_{\mathrm{2}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{2}}(C\left.*\right)}{n}_e=k\left[\mathrm{3}\right.kl-k]=\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-k^{\mathrm{2}}。

3） 记E_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})=E_{\mathrm{3}}^a(C\mathrm{*})\bigcup E_{\mathrm{3}}^b(C\mathrm{*})， 其中， E_{\mathrm{3}}^a(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^l{u}_{\mathrm{1,2}}^l,u_{\mathrm{2}}^l{u}_{\mathrm{2,3}}^l,\cdots ,u_k^l{u}_{k,\mathrm{1}}^l\right\}且E_{\mathrm{3}}^b(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1,2}}^l{u}_{\mathrm{2}}^l\right.,u_{\mathrm{2,3}}^l{u}_{\mathrm{3}}^l,\left.\cdots ,u_{k,\mathrm{1}}^l{u}_{\mathrm{1}}^l\right\}。

先设e=u_{\mathrm{3}}^l{u}_{\mathrm{3,4}}^l， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{3}}^l,u_{\mathrm{3,4}}^l)}^{e\mathrm{\text{'}}}=l-1+1=l， 则n_e=\mathrm{3}kl-l， 由图的对称性可以推广到当e=u_i^l{u}_{i,i+\mathrm{1}}^l\in E_{\mathrm{3}}^a(C\mathrm{*})(i=\mathrm{1,2},\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k))时， 由式（3）可得\sum _{e\in E_{\mathrm{3}}^a(C\left.*\right)}{n}_e=k(\mathrm{3}kl-l)=\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-kl。

再设e=u_{\mathrm{3,4}}^l{u}_{\mathrm{4}}^l， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{3,4}}^l,u_{\mathrm{4}}^l)}^{e\mathrm{\text{'}}}=l-1+1=l， 则n_e=\mathrm{3}kl-l， 由图的对称性可以推广到e=u_{i,i+\mathrm{1}}^l{u}_{i+\mathrm{1}}^l\in E_{\mathrm{3}}^b(C\mathrm{*})(i=\mathrm{1,2},\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k))时， 由式（3）可得\sum _{e\in E_{\mathrm{3}}^b(C\left.*\right)}{n}_e=k\left(\mathrm{3}\right.kl-l)=\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-kl。

故

P{I}_{\mathrm{3}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{3}}(C\left.*\right)}{n}_e=\sum _{e\in E_{\mathrm{3}}^a(C\left.*\right)}{n}_e+\sum _{e\in E_{\mathrm{3}}^b(C\mathrm{*})}{n}_e=

\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl。

4） 记E_{\mathrm{4}}(C\mathrm{*})=E_{\mathrm{4}}^a(C\mathrm{*})\bigcup E_{\mathrm{4}}^b(C\mathrm{*})， 其中， E_{\mathrm{4}}^a(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1,2}}^{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2,3}}^{\mathrm{1}},\cdots ,u_k^{\mathrm{1}}{u}_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right\}且E_{\mathrm{4}}^b(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1,2}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\right.,u_{\mathrm{2,3}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{1}},\left.\cdots ,u_{k,\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right\}。

设e=u_i^{\mathrm{1}}{u}_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}或者e=u_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}{u}_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}(i=1，2，\cdots，k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k))， 易证{\delta }_{e=(u_i^{\mathrm{1}},u_{i,i+\mathrm{1}}^{\mathrm{1}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=l+\mathrm{2}， 利用3）的方法可知， P{I}_{\mathrm{4}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{4}}(C\left.*\right)}{n}_e=\mathrm{2}k[\mathrm{3}kl-(l+\mathrm{1})-\mathrm{1}]=\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl-\mathrm{4}k。

5） 记E_{\mathrm{5}}(C\mathrm{*})=E_{\mathrm{5}}^a(C\mathrm{*})\bigcup E_{\mathrm{5}}^b(C\mathrm{*})，其中， E_{\mathrm{5}}^a(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1}}^j{u}_{\mathrm{1,2}}^j\right.，u_{\mathrm{2}}^j{u}_{\mathrm{2,3}}^j，\cdots，u_k^j{u}_{k,\mathrm{1}}^j|j=2，3，\cdots，\left.l-\mathrm{1}\right\}且E_{\mathrm{5}}^b(C\mathrm{*})=\left\{u_{\mathrm{1,2}}^j{u}_{\mathrm{2}}^j\right.，u_{\mathrm{2,3}}^j{u}_{\mathrm{3}}^j，\cdots，u_{k,\mathrm{1}}^j{u}_{\mathrm{1}}^j|j=2，3，\cdots，\left.l-\mathrm{1}\right\}。

设e=u_i^j{u}_{i,i+\mathrm{1}}^j或者e=u_{i,i+\mathrm{1}}^j{u}_{i+\mathrm{1}}^j(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k),j=\mathrm{2,3},\cdots ,l-\mathrm{1})， 易证{\delta }_{e=(u_i^j,u_{i,i+\mathrm{1}}^j)}^{e\mathrm{\text{'}}}=l+\mathrm{1}， 利用3）的方法可知， P{I}_{\mathrm{5}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{5}}(C\left.*\right)}{n}_e=\mathrm{2}k[\mathrm{3}kl-l-\mathrm{1}]=\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl-\mathrm{2}k。

6） e\in E_{\mathrm{6}}(C\mathrm{*})。设e=u_{\mathrm{5}}^{\mathrm{6}}{u}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{7}}， 易证{\delta }_{e=(u_{\mathrm{5}}^{\mathrm{6}},u_{\mathrm{5}}^{\mathrm{7}})}^{e\mathrm{\text{'}}}=k-\mathrm{1}+\mathrm{1}=k， 则n_e=\mathrm{3}kl-(k-\mathrm{1})-\mathrm{1}=\mathrm{3}kl-k， 由图的对称性推广到当e=u_i^j{u}_i^{j+\mathrm{1}}（i=1，2，\cdots ,k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k),j=\mathrm{1,2},\cdots ,l-\mathrm{2})时， P{I}_{\mathrm{6}}(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_{\mathrm{6}}(C\left.*\right)}{n}_e=(l-\mathrm{2})k(\mathrm{3}kl-k)=\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}{k}^{\mathrm{2}}l+\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}}。

综上所述，

PI(C\mathrm{*})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}\sum _{e\in E_i\left(C\mathrm{*}\right)}{n}_e(C\mathrm{*})=\sum _{e\in E_i(C\mathrm{*})}\left(|E(C\mathrm{*})|-\sum _{e\mathrm{\text{'}}\in E(C\mathrm{*})}{\delta }_e^{e\mathrm{\text{'}}}\right)=

\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl-k+\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}l-k^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl+

\mathrm{6}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{2}kl-\mathrm{2}k+\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}{k}^{\mathrm{2}}l+\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}}=

\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-\mathrm{7}{k}^{\mathrm{2}}l-\mathrm{8}kl+k^{\mathrm{2}}-\mathrm{11}k。

证毕。

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基金资助

国家自然科学基金项目(61774137)

山西省回国留学人员科研项目(2022-149)

山西省自然科学基金项目(20210302124212)