基于迭代策略的自适应ADRC磁轴承控制仿真

Simulation of Adaptive ADRC Magnetic Bearing Control Based on Iterative Strategy

摘要

针对磁悬浮轴承位置控制过程中存在非线性耦合、 内外部扰动不确定性的问题， 提出了一种基于自抗扰控制的四自由度磁轴承迭代学习控制策略。首先依据四自由度磁悬浮轴承系统模型搭建自抗扰控制器， 其次将估计的总扰动通过间接迭代控制在线调整扩张状态观测器的带宽， 实现不同增益下观测器参数的自适应整定。Simulink仿真实验数据表明： 系统约在0.14 s处达到稳定， 加入干扰后约0.05 s恢复稳定； 基于迭代控制的自适应ADRC四自由度磁悬浮轴承控制性能好， 同时调节速度快， 具有较强的抗干扰能力。经比例-微分型间接迭代学习控制律在线更新带宽后， 超调量小且跟踪目标误差积分性能指标小。

Abstract

Aiming to address the issues of nonlinear coupling and internal/external disturbance uncertainties in the position control process of magnetic levitation bearings， a four-degree-of-freedom magnetic bearing iterative learning control strategy based on ADRC was proposed. The self-disturbance controller was constructed based on the four-degree-of-freedom magnetic levitation bearing system model. The estimated total disturbance was adjusted online through indirect iterative control to achieve adaptive tuning of observer parameters under different gains by adjusting the bandwidth of the state observer. The Simulink simulation experimental data shows that the system reaches stability at about 0.14 s， and returns to stability after adding interference for about 0.05 s； The adaptive ADRC four degree of freedom magnetic levitation bearing based on iterative control has good control performance， fast adjustment speed， and strong anti-interference ability. After updating the bandwidth online using the PD-type indirect iterative learning control law， the overshoot is small， and the tracking target error integral performance index is small.

Graphical abstract

关键词

四自由度磁悬浮轴承 / 自抗扰控制 / 间接迭代学习控制 / 扩张状态观测器 / 带宽

Key words

4-DOF magnetic levitation bearing / active disturbance rejection control / indirect iterative learning control / extended state observer / bandwidth

0 引　言

磁悬浮轴承（以下简称磁轴承）相比机械轴承具有无直接接触、 无需润滑且噪音小等特性， 在真空、 高速环境中能发挥重要的作用^［1］。以主动轴承为主的磁轴承现已在飞轮储能、 透平机械、 风力发电等领域获得了广泛应用^［2‐5］。磁轴承运行过程中需对轴向及径向轴承进行控制， 从而使得转子能够高速稳定旋转^［6］。磁轴承位置控制有单、 多自由度两类， 单自由度位置控制相对简单^［7］， 而多自由度磁轴承位置控制是当前研究的热点^［8］。

PID控制^［9］作为工业应用中的一种经典算法广泛应用于磁轴承位置控制， 而各类控制理论如滑模控制、 神经网络控制^{［10‐12］}等算法的应用也进一步提升了磁轴承控制系统的性能。但是， 依据上述算法设计磁轴承控制器时， 因高阶磁轴承的模型的非线性耦合、 系统外部扰动过大和系统内部存在不确定性因素等问题， 难以搭建准确的系统模型， 实验对象的控制效果及稳定性较差。针对上述问题， 韩京清^［13］提出了一种自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）算法， ADRC框架由跟踪微分器（Tracking Differentiator， TD）、 非线性状态误差反馈控制律（Nonlinear State Error Feedback， NLSEF）、 扩张状态观测器（Extended State Observer， ESO）三部分组成。ADRC将系统外部扰动和内部模型不确定性视为总扰动， 对系统模型准确度要求低， 通过ESO抵消总扰动来实现预期动态性能； ESO带宽常取固定值， 面对小扰动时瞬态响应速度慢^［14］。结合间接迭代学习控制（Iterative Learning Control， ILC）^［15］在线更新ADRC控制器带宽， 构建自适应ADRC磁轴承控制器， 使得带宽与系统内外部扰动引入的误差成正比^［16］， 并且通过ESO带宽的更新可使跟踪误差在整个时间域上足够小^［17］。

综上所述， 为提高搭建系统模型的准确性， 减少扰动误差对系统控制效果的不利影响， 本文提出一种基于ADRC的四自由度磁轴承迭代学习控制器， 该控制器通过预估并抵消总扰动的方式实现系统控制， 对所需系统模型和误差模型准确度要求低， 有效提升系统的控制性能。

1 四自由度磁悬浮轴承系统数学模型

一般磁轴承用电磁力悬浮转子， 整体由转子、 定子、 控制器和监测设备等组成。传感器监测转子运转过程中的位置信息并传输信号至控制器， 通过改变定子中的电流大小来控制电磁力， 使转子平稳运转并保持在中心位置。转子系统如图 1 所示。视转子在径向、 轴向自由度上对称， 以转子中心O为原点， 建立模型坐标系。

图 1 中： F_{ax}， F_{bx}， F_{ay}， F_{by}为沿轴承各方向上的磁轴承力； J_x,J_y,J_z分别为转子在x， y和z轴上的转动惯量； {\theta }_x,{\theta }_y为转子绕x轴和y轴的角位移； F_{s\mathrm{1}}和F_{s\mathrm{2}}为模型误差； l_a， l_b为O距离两个径向自由度中心的长度； T_{s\mathrm{1}}， T_{s\mathrm{2}}为外部干扰力矩。

图 2 为磁轴承转子系统动态简化图。转子系统一般由轴向、 径向两部分组成。现不考虑轴向、 径向自由度之间的耦合效应以及外部未知阻力的影响， 将径向力集中于转子中心上， 并将OA和OB上的径向位移转换为对中心的平移和倾斜位移， y_{\mathrm{p}}为转子中心O在y轴上的平移位置， y_{\mathrm{r}}为转子中心O在y轴上的转动位移。四自由度磁轴承转子系统模型为

\left\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_p=F_{xp}+\mathrm{2}{k}_x{x}_p+F_{s\mathrm{1}},\\ m{\ddot{y}}_p=F_{yp}+\mathrm{2}{k}_x{y}_p+F_{s\mathrm{2}},\\ {\ddot{x}}_r=\frac{R{J}_z}{J_x}{\dot{y}}_r+\frac{\mathrm{2}{k}_x{l}^{\mathrm{2}}}{J_x}{x}_r+\frac{l^{\mathrm{2}}}{J_x}{F}_{xr}+\frac{T_{s\mathrm{1}}}{J_x},\\ {\ddot{y}}_r=\frac{R{J}_z}{J_y}{\dot{x}}_r+\frac{\mathrm{2}{k}_x{l}^{\mathrm{2}}}{J_y}{y}_r+\frac{l^{\mathrm{2}}}{J_y}{F}_{yr}+\frac{T_{s\mathrm{2}}}{J_y},\end{array}\right.（1）

式中： m为转子质量； F_{xp}， F_{yp}分别为x轴和y轴平移方向上的合力； F_{xr}， F_{yr}分别为x轴和y轴转动方向上的合力； k_x为位移系数； x_p， y_p为转子中心O在x轴、 y轴上的平移位移； x_r， y_r为转子中心O在x轴、 y轴上的转动位移； R为定子上的绕组电阻。

2 基于迭代学习的自抗扰控制器设计

2.1 ADRC控制器设计

传统PID控制通过考察误差比例、 积分、 微分来调节系统， 由于非线性系统模型不精确， 其瞬态响应性能较差。ADRC思想是改进PID对不确定性补偿时需要辨识非线性函数模型这一复杂环节， 系统的内部不确定性和外部扰动不再视作可计算的具体模型， 而是视为“微分信号”。设计TD将这部分未知的总扰动视作系统输出， 根据微分信号的实时值并利用ESO在线估计实现补偿。

将转子系统模型中的各状态变量表达为

\ddot{x}=bu+d,（2）

式中： u为控制量； b为可调参数； d为系统估计的总扰动。

参考上述状态变量表达式搭建ADRC控制器， 设计TD识别、 跟踪微分信号， 设计ESO用于连续估计系统的总扰动并补偿， 设计NLSEF替代传统PID控制器来抵消误差。

1） 跟踪微分器TD

TD一般作为一种过渡过程， 主要用作微分信号的识别和跟踪， 其滤波性能可提高控制稳定性， 降低系统误差。TD表达式为

\left\{\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right)=x_{\mathrm{1}}\left(k\right)+h\cdot x_{\mathrm{2}}\left(k\right),\\ x_{\mathrm{2}}\left(k+\mathrm{1}\right)=x_{\mathrm{2}}\left(k\right)+h\cdot fh,\\ fh=fhan\left(x_{\mathrm{1}}\left(k\right)-y_{\mathrm{1}}\left(k\right),x_{\mathrm{2}}\left(k\right),r_{\mathrm{0}},h_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{。}\end{array}\right.（3）

fhan函数为

\left\{\begin{array}{l}d=r_{\mathrm{0}}{h}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}},\\ a_{\mathrm{0}}=h_{\mathrm{0}}{x}_{\mathrm{2}}\left(k\right),\\ y=\left(x_{\mathrm{1}}\left(k\right)-y_{\mathrm{1}}\left(k\right)\right)+a_{\mathrm{0}},\\ a_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{d\left(d+\mathrm{8}\left|y\right|\right)},\\ a_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{0}}+sign\left(y\right)\left(a_{\mathrm{1}}-d\right)/\mathrm{2},\\ s_y=\left[sign\left(y+d\right)-sign\left(y-d\right)\right]/\mathrm{2},\\ a=\left(a_{\mathrm{0}}+y-a_{\mathrm{2}}\right)s_y+a_{\mathrm{2}},\\ s_a=\left[sign\left(a+d\right)-sign\left(a-d\right)\right]/\mathrm{2},\\ fhan=-r_{\mathrm{0}}\left[a/d-sign\left(a\right)\right]s_a-r_{\mathrm{0}}sign\left(a\right),\end{array}\right.（4）

式中： y_{\mathrm{1}}为期望输入； x_{\mathrm{1}}是对y_{\mathrm{1}}的估计； x_{\mathrm{2}}是对y_{\mathrm{1}}的微分； 参数r_{\mathrm{0}},h_{\mathrm{0}}是函数的可调控制参量； r_{\mathrm{0}}为快速因子， 取值与TD跟踪速度相关， 需要注意的是噪声随着跟踪速度的提升有明显增大； h_{\mathrm{0}}为滤波因子， 合理取值能获取良好的滤波性能。

2） 扩张状态观测器ESO

ESO用于连续估计系统总扰动， 反馈系统变量， 解决系统模型的不准确问题、 减少系统模型与真实模型的误差， 减少不确定性因素。依据式（2）， 设计ESO为

\left\{\begin{array}{l}e\left(k\right)=z_{\mathrm{1}}\left(k\right)-y_{\mathrm{1}}\left(k\right),\\ z_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right)=z_{\mathrm{1}}\left(k\right)-h\left[z_{\mathrm{2}}\left(k\right)-{\beta }_{\mathrm{01}}e\left(k\right)\right],\\ z_{\mathrm{2}}\left(k+\mathrm{1}\right)=z_{\mathrm{2}}\left(k\right)+h(z_{\mathrm{3}}\left(k\right)-{\beta }_{\mathrm{02}}fal(e,\partial ,\delta )+bu),\\ z_{\mathrm{3}}\left(k+\mathrm{1}\right)=z_{\mathrm{3}}\left(k\right)-h{\beta }_{\mathrm{03}}fal(e,\partial ,\delta ),\\ {\beta }_{\mathrm{01}}=\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{0}},{\beta }_{\mathrm{02}}=\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}},{\beta }_{\mathrm{03}}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{3}}\mathrm{。}\end{array}\right.（5）

fal\left(e,\partial ,\delta \right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{e}{{\delta }^{\left(\mathrm{1}-\partial \right)}}& \left|e\right|\le \delta ,\\ sign\left(x\right){\left|x\right|}^{\partial }& \left|e\right|>\delta ,\end{array}\right.（6）

式中： 将被控对象输出u和转子在x轴上的位移x视为ECO模块的输入； 输出为z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}}和z_{\mathrm{3}}； z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}}为对x_{\mathrm{1}}、x_{\mathrm{2}}的估计； z_{\mathrm{3}}为对总扰动的估计； {\omega }_{\mathrm{0}}为ESO带宽； {\beta }_{\mathrm{01}},{\beta }_{\mathrm{02}}和{\beta }_{\mathrm{03}}为ESO反馈增益， 一般选取固定带宽； \delta为fal函数在线性区间的宽度值。

3） 非线性状态误差反馈控制律NLSEF

NLSEF将误差信号转换成非线性函数来进行消除， 是一种可替代传统PID控制器的非线性组合， 数学表达式为

\left\{\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right)-z_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right),\\ e_{\mathrm{2}}=x_{\mathrm{2}}\left(k+\mathrm{1}\right)-z_{\mathrm{2}}\left(k+\mathrm{1}\right),\\ u\left(k\right)=\frac{-fhan\left(e_{\mathrm{1}},c{e}_{\mathrm{2}},r_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{1}}\right)-z_{\mathrm{3}}\left(k+\mathrm{1}\right)}{b_{\mathrm{0}}},\end{array}\right.（7）

式中： c为阻尼因子； h_{\mathrm{1}}为精度因子； 可提高跟踪性能；b_{\mathrm{0}}为系统可调增益参数。

系统建模为四自由度转子模型， 设计单自由度控制器作为分路控制， 磁轴承的ADRC位置控制器如图 3 所示。

2.2 PD型间接迭代控制器设计

因ADRC中ESO带宽常取固定值{\omega }_e， 故系统瞬态性能不足， 由式（8）^［17］可知， 调节ESO参数{\omega }_e可增强整个控制过程中信号跟踪能力。

\begin{array}{cc}‖y\left(t\right)-y_{\mathrm{1}}\left(t\right)‖\le \gamma \frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\mathrm{l}\mathrm{n}{\omega }_e\right\}}{{\omega }_e},& \forall t\ge t_{\mathrm{0}}\end{array}\mathrm{。}（8）

不等式左侧为跟踪误差， 右侧为误差线性函数模型。

针对四自由度磁轴承ADRC控制器带宽相同的问题， 采用间接迭代学习控制来在线更新ADRC带宽， 实现不同初始误差和不同扰动下的自适应ADRC位置控制。

ILC适合单一重复运行的系统， 因其对系统模型精度要求低、 能实现被控对象在一定时间内对给定期望轨迹的精确跟踪， 可用于磁轴承控制。该算法如图 4 所示。

视磁轴承系统为连续系统， 状态向量为n维向量x\left(t\right)， 输出为y\left(t\right)， 在时间\left[\mathrm{0}，T\right]上运行， 次数为k， 其中k=\mathrm{0}，\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots， 系统可表示为

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_k\left(t\right)=f\left(x_k\left(t\right),u_k\left(t\right),t\right),\\ y_k\left(t\right)=g\left(x_k\left(t\right),t\right)\mathrm{。}\end{array}\right.（9）

常见的迭代控制律为

u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)=u_k\left(t\right)+K{\dot{e}}_k\left(t\right)\mathrm{。}（10）

定义迭代误差为

e_k\left(t\right)=y_d\left(t\right)-y_k\left(t\right)\mathrm{。}（11）

迭代控制学习律由当前控制u_k\left(t\right)和迭代误差e_k\left(t\right)构建并生成下次进程的输入u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)， 目前常用的迭代学习控制主要是直接设计控制信号作用于被控系统， 控制过程中并不能更新观测器参数， 为直接型迭代控制。为了在线更新观测器带宽， 采用间接迭代学习控制， 不直接调控系统， 而是用于更新系统反馈控制器增益， 实现观测器带宽随迭代进程的自适应调节。

为降低初始误差对系统瞬态性能的影响， 使用反馈控制器稳定系统， PD型迭代学习律为

u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)=u_k\left(t\right)+\mathit{\Phi }{e}_k\left(t\right)+\mathit{\Gamma }{\dot{e}}_k\left(t\right)，（12）

式中： \mathit{\Phi }， \mathit{\Gamma }通常为固定增益矩阵。

通过间接迭代学习控制来在线更新ADRC中ESO的带宽{\omega }_{\mathrm{0}}， 构建自适应ADRC磁轴承控制器， 基于间接迭代学习控制的ADRC磁轴承控制器如图 5 所示。图中， 输入y_{\mathrm{1}}为转子中心距x， y轴的期望位移， 输出为位移传感器的观测信号， 系统将实际位移值反馈给ADRC和间接迭代学习控制器。依据式（11）， 输出下一次控制量u_{k+\mathrm{1}}， 即本次迭代进程中的ESO带宽{\omega }_{\mathrm{0}}。ADRC控制器结合迭代更新后的带宽， 给定控制量u。

适用于系统（9）的ESO可设计成

\left\{\begin{array}{l}e={\widehat{z}}_{\mathrm{1}}-y_{\mathrm{1}},\\ {\widehat{z}}_{\mathrm{1}}={\widehat{z}}_{\mathrm{1}}-{\beta }_{\mathrm{01}}e,\\ {\widehat{z}}_{\mathrm{2}}={\widehat{z}}_{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{02}}fal\left(e,\partial ,\delta \right)+b_{\mathrm{0}}{u}_{\mathrm{2}},\\ {\widehat{z}}_{\mathrm{3}}=-{\beta }_{\mathrm{03}}fal\left(e,\partial ,\delta \right),\end{array}\right.（13）

\left\{\begin{array}{l}Z=\mathit{A}Z+\mathit{B}u-De,\\ e=CZ-Y,\end{array}\right.（14）

式中： \mathit{A}为单位矩阵， 矩阵\mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]， 矩阵\mathit{L}=\left[\begin{array}{ccc}{\beta }_{\mathrm{01}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\beta }_{\mathrm{02}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\beta }_{\mathrm{03}}\end{array}\right]， C=\mathrm{1}。

应用迭代控制需保证系统自身的跟踪性能， 下面证明PD型迭代跟踪误差的收敛性。

引理^［18］ 迭代初态固定输入u_k\left(t\right)， 与期望轨迹x_d\left(\mathrm{0}\right)不一致时， 系统需满足条件：

1） ；

2） x_k\left(\mathrm{0}\right)=x_{\mathrm{0}},y_k\left(\mathrm{0}\right)=y_d\left(\mathrm{0}\right)。

当迭代次数k趋于无穷时， 有y_k\left(t\right)\to y_d\left(t\right)， 其中， y_d\left(t\right)为期望输出。

收敛性证明如下：

依据式（10）、 式（11）可得第k+\mathrm{1}次迭代误差为

e_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)-e_k\left(t\right)=u_d\left(t\right)-u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)=u_d\left(t\right)-\left(u_k\left(t\right)+\mathit{\Phi }{e}_k\left(t\right)+\mathit{\Gamma }{\dot{e}}_k\left(t\right)\right)\mathrm{。}（15）

等式左边为跟踪误差， 右边为系统期望输出信号。由式（11）、 式（14）得输出误差为

e_k\left(t\right)=y_d\left(t\right)-y_k\left(t\right)=C\left(z_d\left(t\right)-z_k\left(t\right)\right)\mathrm{。}（16）

求得微分方程{\dot{X}}_k\left(t\right)=\mathit{A}{x}_k\left(t\right)+\mathit{B}{u}_k\left(t\right)的解为

X_k\left(t\right)=C{\mathrm{e}}^{At}+{\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{\tau }{\int }}}{\mathrm{e}}^{A\left(t-\tau \right)}\mathit{B}\left(\tau \right)u\left(\tau \right)d\left(\tau \right)\mathrm{。}（17）

将式（17）代入式（16）得

e_k\left(t\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }C{\mathrm{e}}^{A\left(t-\tau \right)}\mathit{B}{u}_k\left(\tau \right)d\left(\tau \right)\mathrm{。}（18）

两边同时求导并取范数得

{\mathrm{e}}^{-\lambda t}‖\Delta u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)‖\le ‖\mathit{I}-\mathit{\Gamma }C\mathit{B}‖{\mathrm{e}}^{-\lambda t}‖\Delta u_k\left(t\right)‖+{\mathit{B}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\mathrm{e}}^{-\lambda \left(t-\tau \right)}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}‖\Delta u_k\left(t\right)‖\mathrm{d}\tau \mathrm{。}（19）

令\rho =‖\mathit{I}-\mathit{\Gamma }C\mathit{B}‖+{\mathit{B}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}}{\lambda }， 根据范数运算简化式（19）得

{‖\Delta u_{k+\mathrm{1}}\left(t\right)‖}_{\lambda }\le \rho {‖\Delta u_k\left(t\right)‖}_{\lambda }\le ‖\Delta u_k\left(t\right)‖\mathrm{。}（20）

由引理知， 当存在， 使得k\to \mathrm{\infty }， 故所设计的迭代跟踪误差收敛。证毕。

3 仿真研究

本文使用PD型间接迭代学习控制律对ESO的带宽进行在线更新， 搭建自适应ADRC磁轴承控制器， 为验证所提控制器的性能， 采用Simulink进行仿真研究， 自适应ADRC算法仿真框图如图 6 所示。研究内容包括PID算法、 ADRC算法、 本文所设计自适应ADRC算法的阶跃响应， 以及自适应ADRC算法的扰动仿真。仿真初始数据如表 1、 表 2 所示。具体地， 磁轴承仿真参数的初始值如表 1 所示， ADRC仿真参数的初始值如表 2所示。PID的初始参数值k_p=\mathrm{45}， k_i=\mathrm{5}， k_d=\mathrm{110}； 自适应ADRC算法的迭代次数k=\mathrm{5}。

阶跃响应仿真如图 7 所示。

图 7 中的3条曲线分别代表PID算法、 ADRC算法和自适应ADRC算法。参考转子中心O在x轴方向上的转动位移， 由图 7 可知： PID算法响应曲线约在0.28 s处稳定， 超调量约13%； ADRC算法响应曲线在0.22 s处稳定， 超调量约7%； 自适应ADRC算法响应曲线在0.14s处稳定， 超调量约3%。因此， 所提算法响应速度更快， 稳定性好， 满足系统响应性能要求， 具有更好的控制效果。

系统在0.36s处加入扰动负载， 通过仿真图图 8 可知： 系统经过约0.05 s恢复稳定， 本文所提自适应ADRC算法对磁轴承位置控制具有较强的抗扰能力。

图 9 为误差值总和曲线， 由图可知， 经闭环PD型间接迭代学习算法多次迭代后， 误差积分性能指标小， 系统调节时间较短。

4 结　论

为研究四自由度磁轴承的位置控制， 简化并搭建了磁轴承四自由度模型， 文中提出了一种基于ADRC四自由度磁轴承迭代控制器来处理高阶非线性耦合、 多变量、 模型不精确等问题。自抗扰控制器可估计并抵消系统内外部扰动和不确定性， 通过PD型间接迭代控制律在线更新ESO带宽， 实现了磁轴承自适应ADRC控制。仿真结果表明， 所提控制器在多次迭代后具有更好的瞬态响应能力， 系统稳定性好。

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