两种群趋化-排斥竞争模型中的全局动力学

Global Dynamics in Chemotaxis⁃Exclusion Competition Models of Two‑Species

摘要

本文研究了二维光滑有界区域中两种群趋化排斥竞争模型的Nuemann初边值问题，相比已有研究工作，本文考虑了带有更一般形式的信号产生函数。首先，利用经典的L^P估计和抛物方程相关正则性理论证明了当初值具有一定正则性时，任意大于零的排斥系数问题存在全局有界的古典解，即{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}, {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}, {‖w‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\Omega )}, {‖z‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\Omega )}都小于等于一个常数；其次，通过构造Lyapunov泛函，研究了不同参数条件下常数平衡态(u^{\mathrm{*}},v^{\mathrm{*}},w^{\mathrm{*}},z^{\mathrm{*}})在L^{\mathrm{\infty }}范数意义下的全局渐近稳定性，即{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}，{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}，{‖w‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}，{‖z‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}都趋向于一个定值；最后，对具有不同信号产生函数的模型的非零边界常数稳态进行了线性稳定性分析及数值模拟。仿真结果表明，在趋化-排斥竞争系统中不同的信号产生函数和排斥系数可以导致常数平衡态周围产生各种复杂的时空斑图。

Abstract

The Nuemann initial edge value problem of two group chemotaxis exclusion competition models in two-dimensional smooth bounded regions was studied， and compared with the existing research work， we considered the signal generation function with a more general form. First，we obtained a globally bounded classical solution for any exclusion coefficient problem greater than zero with initial values of certain regularity through classical L^P estimation and parabolic equation related regularity theory，that is，{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖w‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖z‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })} were less than or equal to a constant. Second，the global asymptotic stability of the constant equilibrium state (u^{\mathrm{*}},v^{\mathrm{*}},w^{\mathrm{*}},z^{\mathrm{*}}) under different parameter conditions in the norm sense of the L^{\mathrm{\infty }} was studied by building Lyapunov functionals，that is， {‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖w‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}，{‖z‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })} all tended to be a fixed value. Finally，we performed linear stability analysis of the non-zero boundary constant steady state of the model with different signal generation functions，and performed numerical simulation.The results show that different signal generation functions，different repulsion coefficients in chemotaxis-competitive systems can lead to various complex space-time spots around the constant equilibrium state.

Graphical abstract

关键词

两种群 / 趋化-排斥 / 竞争 / 全局动力学 / Lyapunov泛函

Key words

two-species / chemotaxis-repulsion / competition / global dynamics / Lyapunov functionals

0 引 言

生物趋化性描述了细胞沿细胞产生的化学信号的浓度梯度方向的定向运动。经典的生物趋化模型由Keller等^［1］提出，并得到了广泛研究^［2-8］。理论上，在有限的时间内解的爆破是细胞聚集体自发形成的，但在许多生物趋化过程中，细胞经常与排斥和吸引的信号化学物质相互作用而产生了各种有趣的生物模式^［9-12］。本文主要考虑全抛物双物种吸引与排斥趋化的系统

\left\{\begin{array}{ll}{u}_t=d_{\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }u-{\chi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla w)+{\xi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla z)+{\mu }_{\mathrm{1}}u(a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}u-a_{\mathrm{3}}v),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\\ v_t=d_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }v-{\chi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla w)+{\xi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla z)+{\mu }_{\mathrm{2}}v(b_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}}v-b_{\mathrm{3}}u),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\\ w_t=d_{\mathrm{3}}\mathrm{\Delta }w-w+f_{\mathrm{1}}(u)+f_{\mathrm{2}}(v),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\\ z_t=d_{\mathrm{4}}\mathrm{\Delta }z-z+f_{\mathrm{3}}(u)+f_{\mathrm{4}}(v),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\\ \frac{\partial u}{\partial \nu }=\frac{\partial v}{\partial \nu }=\frac{\partial w}{\partial \nu }=\frac{\partial z}{\partial \nu }=\mathrm{0},& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\\ u(x,\mathrm{0})=u_{\mathrm{0}}(x),v(x,\mathrm{0})=v_{\mathrm{0}}(x),w(x,\mathrm{0})=w_{\mathrm{0}}(x),z(x,\mathrm{0})=z_{\mathrm{0}}(x),& x\in \Omega ,t>\mathrm{0},\end{array}\right.（1）

式中：\Omega为二维空间中有界光滑区域；d_{\mathrm{1}}，d_{\mathrm{2}}，d_{\mathrm{3}}，d_{\mathrm{4}}，{\chi }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{2}},{\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}和a_{\mathrm{1}}， a_{\mathrm{2}}， a_{\mathrm{3}}， b_{\mathrm{1}}， b_{\mathrm{2}}， b_{\mathrm{3}}是正常数；u和v分别为两个种群的密度；w和z为两种不同化学信号的密度，由u， v共同产生；d_{\mathrm{1}}和d_{\mathrm{2}}分别代表u和v的扩散；-{\chi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla w)，-{\chi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla w)为u，v的吸引趋化项，系数为{\chi }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{2}}；{\xi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla z),{\xi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla z)分别为u，v的排斥趋化项，系数为{\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}}；f_{\mathrm{1}}(u)， f_{\mathrm{2}}(v)， f_{\mathrm{3}}(u)， f_{\mathrm{4}}(v)代表信号w和z的产生机制；\nu是\partial \Omega的外法向量。该模型描述了两个物种被不同的化学物质吸引与排斥的演变^{［13‐14］}。更具体地说，除了u和v之间的竞争之外，物种u或v还允许化学物质w的趋化运动并且远离化学物质z，两种化学物质由物种u和v共同产生。这种相互作用已在文献［15］中提出，并且在巨噬细胞与肿瘤的相互作用中被发现^［16］。

关于两物种模型的研究可以简化为具有随机种群扩散的模型

\left\{\begin{array}{l}{u}_t=\mathrm{\Delta }u-\nabla \cdot ({\chi }_{\mathrm{1}}(v)u\nabla v)+{\mu }_{\mathrm{1}}u(\mathrm{1}-u-a_{\mathrm{2}}w),\\ v_t=\mathrm{\Delta }v-v+f_{\mathrm{1}}(w),\\ w_t=\mathrm{\Delta }w-\nabla \cdot ({\chi }_{\mathrm{2}}(z)w\nabla z)+{\mu }_{\mathrm{2}}w(\mathrm{1}-w-b_{\mathrm{2}}u),\\ z_t=\mathrm{\Delta }z-z+f_{\mathrm{2}}(u)\mathrm{。}\end{array}\right.（2）

当{\chi }_{\mathrm{1}}(v)={\chi }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}， {\chi }_{\mathrm{2}}(z)={\chi }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}， {\mu }_{\mathrm{1}}={\mu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，f_i(s)=s(i=\mathrm{1,2})时， Li等^［17］得出初值较小时式（2）在二维空间中存在一个全局有界古典解；当{\chi }_{\mathrm{1}}(v)={\chi }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},{\chi }_{\mathrm{2}}(z)={\chi }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},{\mu }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},{\mu }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},f_i(s)=s(i=\mathrm{1,2})时，Black^［18］得出式（2）在二维空间中存在一个全局有界解，且常数稳态的渐近稳定性依赖于{\mu }_{\mathrm{1}}/{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},{\mu }_{\mathrm{2}}/{\chi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}的取值；当{\chi }_{\mathrm{1}}(v)={\chi }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},{\chi }_{\mathrm{2}}(z)={\chi }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},f_i(s)=s(i=\mathrm{1,2})，时，Qiu等^［19］研究了当空间维数n\ge \mathrm{1}时，L对式（2）解的全局存在性和长时间行为的影响；Wang等^［20］研究了在二维空间中，当\left|{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}\right|(i=\mathrm{1,2})有界时，式（2）有一个全局有界古典解，当n\le \mathrm{3}时，对于较大的{\mu }_i(i=\mathrm{1,2})，式（2）有一个全局有界古典解，此外，还证明了当且{\mu }_i(i=\mathrm{1,2})足够大时，式（2）的解收敛到常数稳态；当且{\mu }_{\mathrm{2}}足够大时，会发生竞争排斥；Gao等^［14］研究了二维空间中信号产生机制f_i对解的全局有界性和长时间行为的影响。

更多关于两种群趋化系统的研究可以参考文献［21‐26］。Hu等^［25］研究了具有自由边界的双物种Keller-Seger竞争系统也有古典解的存在。Zheng等^［26］研究了两种竞争反应-扩散-趋化性系统的行波解问题，研究表明在波速足够大的情况下存在行波解；反之，当波速很小时没有行波解。

基于已有工作，对式（1）做以下假设：

H₁）f_i(s)满足f_i(\mathrm{0})=\mathrm{0}，f_i(s)\ge \mathrm{0}对所有s>\mathrm{0}，f_i(s)\in C^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},+\mathrm{\infty }))和\left|f_i^{\mathrm{\text{'}}}(s)\right|\le l_i，其中，。

基于文献［19‐20］，给出信号产生函数f_i的一些典型形式

\begin{array}{c}{f}_i(s)=k_{\mathrm{1}}s,f_i(s)=\frac{k_{\mathrm{2}}s}{k_{\mathrm{3}}+k_{\mathrm{4}}s},\\ f_i(s)=\frac{k_{\mathrm{5}}s}{k_{\mathrm{6}}+k_{\mathrm{7}}{s}^{\mathrm{2}}},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\end{array}

式中：k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},\cdots ,k_{\mathrm{7}}都是正常数。第1种和第2种形式的f_i代表单调递增信号的产生，这意味着信号的密度随着相应的生产者的增加而增加，而第3种形式的f_i代表非单调情况，这意味着虽然单调递增产生过程可以在低生产密度下发生，但进一步增加种群密度将降低其产生信号的能力。

Liu等^［27］最先提出了两物种吸引-排斥竞争效应，并研究了其解的全局存在和有界古典解。Wang等^［28］研究了当f_i(s)=k_{\mathrm{1}}s时，系统具有全局有界经典解。在此基础上，Wang等^［29］又证明了在合适的参数条件下，式（1）在任意维度上都拥有唯一的全局经典有界解。基于已有两物种吸引-排斥竞争效应^［30］研究的信号产生函数f_i都是线性函数，而本文将考虑非线性函数信号产生函数，并研究解的全局有界性和长时间行为（定理1和定理2），此外，本文考虑了式（1）中一些特殊信号产生函数f_i(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4})的时空模式（定理3），并进行了数值模拟。相比已有研究工作，本文丰富了信号产生函数的形式，对双物种吸引-排斥趋化竞争模型有了更深入的研究。

关于式（1）的非负解的全局存在性和有界性，有以下定理：

定理 1 令n=\mathrm{2}，并且d_{\mathrm{1}}, d_{\mathrm{2}}, d_{\mathrm{3}}, d_{\mathrm{4}}, {\chi }_{\mathrm{1}}, {\chi }_{\mathrm{2}}, {\xi }_{\mathrm{1}}, {\xi }_{\mathrm{2}}, {\mu }_{\mathrm{1}}, {\mu }_{\mathrm{2}}和a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},a_{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{2}},b_{\mathrm{3}}是任意的正常数。假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})成立，对每个非负初值（u_{\mathrm{0}}， v_{\mathrm{0}}， w_{\mathrm{0}}， z_{\mathrm{0}}）∈[W^{(\mathrm{1},\mathrm{\infty })}{]}^{\mathrm{4}}>\mathrm{0}，则式（1）有唯一全局解

\begin{array}{l}(u,v,w,z)\in [C^{\mathrm{0}}(\overline{\mathrm{\Omega }}\times [\mathrm{0},\mathrm{\infty }))\bigcap \\ C^{\mathrm{2,1}}(\overline{\mathrm{\Omega }}\times (\mathrm{0},\mathrm{\infty }))\bigcap L_{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},\mathrm{\infty });W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}{(\mathrm{\Omega }))]}^{\mathrm{4}},\end{array}

满足

\begin{array}{l}{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}+{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}+\\ {‖w(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}+{‖z(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\le C,t>\mathrm{0},\end{array}（3）

式中：C>\mathrm{0}是与时间t无关的常数。

基于假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})来研究式（1）解的长时间行为，不难看出，式（1）有3个常数平衡态

\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{0}}=(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0}),e_{\mathrm{1}}=(u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},\mathrm{0},w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}),\\ e_{\mathrm{2}}=(\mathrm{0},v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},w_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}),\end{array}

式中：u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{a_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{2}}},w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{1}}(u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}),z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{3}}(u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})和v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{b_{\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{2}}},w_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{2}}(v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}),z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{4}}(v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})。若（弱竞争情况即种内竞争强于种间竞争）或（强竞争情况即种间竞争强于种内竞争），可以得到唯一的共存稳态e_{\mathrm{3}}=(u^{\mathrm{*}},v^{\mathrm{*}},w^{\mathrm{*}},z^{\mathrm{*}})，其中，

\begin{array}{c}{u}^{\mathrm{*}}=\frac{a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}},v^{\mathrm{*}}=\frac{b_{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{3}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}},\\ w^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{1}}(u^{\mathrm{*}})+f_{\mathrm{2}}(v^{\mathrm{*}}),z^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{3}}(u^{\mathrm{*}})+f_{\mathrm{4}}(v^{\mathrm{*}})\mathrm{。}\end{array}

基于假设

和

和

和

关于式（1）的长时间行为，有如下定理：

定理 2 在定理1和假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})成立的条件下，设(u,v,w,z)为式（1）的全局古典解。

1） 若假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立，当t\to \mathrm{\infty }时，

\begin{array}{l}{‖u(\cdot ,t)-u^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v(\cdot ,t)-v^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+\\ {‖w(\cdot ,t)-w^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z(\cdot ,t)-z^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

2） 若假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{3}})成立，当t\to \mathrm{\infty }时，

\begin{array}{c}{‖u(\cdot ,t)-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+\\ {‖w(\cdot ,t)-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z(\cdot ,t)-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

3） 若假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{4}})成立，当t\to \mathrm{\infty }时，

\begin{array}{l}{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v(\cdot ,t)-v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+\\ {‖w(\cdot ,t)-w_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z(\cdot ,t)-z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

最后进行线性稳定性分析以获得式（1）的常数稳态的特性：e_{\mathrm{0}}总是不稳定的；如果，e_{\mathrm{1}}局部渐近稳定，如果，e_{\mathrm{2}}是局部渐近稳定的。在强竞争的情况下，e_{\mathrm{3}}总是不稳定的，在弱竞争的情形下，给出了正常数解e_{\mathrm{3}}在特殊f_i的条件下的稳定特性。更准确地说，对于特殊函数f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}满足f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=\mathrm{0},f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0},如果f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=\mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，e_{\mathrm{3}}是局部渐近稳定的；如果f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})\ne \mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})\ne \mathrm{0},e_{\mathrm{3}}可能失去稳定性并且对于不同的{\xi }_{\mathrm{2}}，e_{\mathrm{3}}附近会出现斑图，这将在后面章节进行数值模拟。

1 全局存在和有界性（定理1的证明）

首先证明式（1）古典解的局部存在性和唯一性。

引理 1 在假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})下，对每个非负初值(u_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}},z_{\mathrm{0}}\in [W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}{(\Omega )]}^{\mathrm{4}})>\mathrm{0}，存在T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}∈(\mathrm{0},+\mathrm{\infty }]允许唯一的解(u,v,w,z)对所有t>\mathrm{0}满足

\begin{array}{l}(u,v,w,z)\in \\ [C^{\mathrm{0}}(\overline{\Omega }\times [\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}))\bigcap C^{\mathrm{2,1}}(\overline{\Omega }\times (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}))\bigcap \\ L_{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}});W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}{(\Omega ))]}^{\mathrm{4}},\end{array}

和

u(\cdot ,t)>\mathrm{0},v(\cdot ,t)>\mathrm{0},w(\cdot ,t)>\mathrm{0},z(\cdot ,t)>\mathrm{0},

此外，当时，有

\begin{array}{c}{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+\\ {‖w(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to +\mathrm{\infty }\mathrm{。}\end{array}（4）

证明 可参考文献［14］。

为了方便后面的计算，给出以下一些基本引理。

引理 2 在引理1的假设下，存在一个常数c_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，使得

{\int }_{\Omega }u(x,t)\mathrm{d}x\le c_{\mathrm{1}},{\int }_{\Omega }v(x,t)\mathrm{d}x\le c_{\mathrm{1}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}),（5）

和

{\int }_t^{t+r}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{1}},{\int }_t^{t+r}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{v}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{1}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{*}}),（6）

其中，

r=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\mathrm{1},\frac{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\right\}，

证明 可参考文献［31］。

引理 3 假设引理1中的假设成立，设(u,v,w,z)是式（1）的解，则存在一个常数c_{\mathrm{2}}，使得

{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{2}},{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{2}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}),（7）

和

{\int }_t^{t+r}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{2}},{\int }_t^{t+r}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{2}},t\in [\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{*}}),（8）

式中：T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{*}}和r由引理 2 给定。

证明 由文献［20］中相似论述可证明。

为了得到式（1）的解的全局一致有界性，首先可证明：

引理 4 若引理1中的假设成立，令n=\mathrm{2}，则存在常数C>\mathrm{0}，使得

\begin{array}{l}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\le C,{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\le C,\\ t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}\end{array}（9）

证明 在式（1）的第1个方程的两边同时乘以u，并在\mathrm{\Omega }上积分可得

\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}={\chi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla w-\\ {\xi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla z+{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}(a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}u-a_{\mathrm{3}}v),\\ t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}),\end{array}（10）

其中，使用不等式{\omega }^{\mathrm{2}}(a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}\omega )\le \frac{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{27}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}(\omega \ge \mathrm{0})，可以得到

{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}(a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}u-a_{\mathrm{3}}v)\le {\mu }_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\left|\mathrm{\Omega }\right|}{\mathrm{27}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}（11）

对式（10）右边第1项和第2项使用Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

{\chi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla w=-\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }w\le \frac{{\chi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{‖u‖}_{L^{\mathrm{4}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}{‖\mathrm{\Delta }w‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}),（12）

和

-{\xi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla z=\frac{{\xi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }z\le \frac{{\xi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{‖u‖}_{L^{\mathrm{4}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}{‖\mathrm{\Delta }z‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}（13）

进一步利用Gagliardo-Nirenberg不等式和式（5）可以找到常数c_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}，使得

\begin{array}{c}{‖u‖}_{L^{\mathrm{4}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{3}}{‖\nabla u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}+c_{\mathrm{3}}{‖u‖}_{L^{\mathrm{1}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}\le \\ c_{\mathrm{3}}{‖\nabla u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}+c_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}\end{array}（14）

通过\mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{\text{'}}\mathrm{s}不等式，式（12）估计为

{\chi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla w\le \frac{d_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{4}}{{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\cdot {\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{4}}\left({{\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right),t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}（15）

同样地，式（13）估计为

-{\xi }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }u\nabla u\cdot \nabla z\le \frac{d_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}{{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\cdot {\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}({{\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}),t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}（16）

结合式（10），式（11），式（15），式（16），则可得

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\le {\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\cdot \left(\mathrm{2}{c}_{\mathrm{4}}{{\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}{{\int }_{\Omega }\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{6}},（17）

式中：c_{\mathrm{6}}={\mu }_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{8}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}\left|\Omega \right|}{\mathrm{27}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}。对任意t ∈(\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})，选择t_{\mathrm{0}}=t_{\mathrm{0}}(t)满足

（18）

注意到对所有满足，接着对每个t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})，选择t_{\mathrm{0}}\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{*}})使得t和t_{\mathrm{0}}满足式（18），根据式（6），式（8）可以找到常数c_{\mathrm{7}},c_{\mathrm{8}}>\mathrm{0}，使得

{‖u(\cdot ,t_{\mathrm{0}})‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}\le c_{\mathrm{7}},{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{0}}+r}‖\mathrm{\Delta }w(\cdot ,s)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le c_{\mathrm{8}},

{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{0}}+r}‖\mathrm{\Delta }z(\cdot ,s)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le c_{\mathrm{8}}\mathrm{。}（19）

因此，当式（17）在(t_{\mathrm{0}},t)上积分时

{\int }_{\mathrm{\Omega }}{u}^{\mathrm{2}}(x,t)\mathrm{d}x\le \left({\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}(x,t_{\mathrm{0}})\mathrm{d}x\right)\cdot

{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{4}}{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^t{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }w(x,s)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^t{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }z(x,s)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s}+

{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^t\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{c}_{\mathrm{3}}{\int }_s^t{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }w(x,\sigma )\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\sigma +\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}{\int }_s^t{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }z(x,\sigma )\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\sigma }\cdot

\left(\mathrm{2}{c}_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }w\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{5}}{\int }_{\Omega }{\left|\mathrm{\Delta }z\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{6}}\right)\mathrm{d}s\mathrm{。}（20）

利用式（19），则式（9）可得证。

进一步可以得到以下引理来证明定理1。

命题 1 令n=\mathrm{2}，则存在p>\mathrm{1}，使得

（21）

则当T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\to +\mathrm{\infty }时，

（22）

证明 由于假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})和{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}^{\mathrm{2}},{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}^{\mathrm{2}}有界，可以得出{‖f_{\mathrm{1}}(u)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}\le c_{\mathrm{1}}，{‖f_{\mathrm{2}}(v)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}≤c_{\mathrm{1}}，{‖f_{\mathrm{3}}(u)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}≤c_{\mathrm{1}}，{‖f_{\mathrm{4}}(v)‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}≤c_{\mathrm{1}}，所以对式（1）的第3个和第4个方程应用抛物半群理论，可知存在常数c_{\mathrm{2}}，使得

\begin{array}{c}{‖w(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1,4}}(\Omega )}\le c_{\mathrm{2}},{‖z(\cdot ,t)‖}_{W^{\mathrm{1,4}}(\Omega )}\le c_{\mathrm{2}},\\ t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}),\end{array}（23）

继而得到当t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})时,{‖w(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\le c_{\mathrm{3}}。

在式（1）的第1个方程两边同时乘以u^{p-\mathrm{1}}(p\ge \mathrm{2})，并在\Omega上积分，则有

\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1}}{p}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^p+d_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1}){\int }_{\Omega }{u}^{p-\mathrm{2}}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{p+\mathrm{1}}\le {\chi }_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1}){\int }_{\Omega }{u}^{p-\mathrm{1}}\nabla u\cdot \nabla w-\\ {\xi }_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1}){\int }_{\Omega }{u}^{p-\mathrm{1}}\nabla u\cdot \nabla z+{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{u}^p,\\ t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}\end{array}（24）

对式（24）应用Young’s不等式和Holder不等式，有

\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1}}{p}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^p+\frac{d_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{p-\mathrm{2}}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{u}^p\le \frac{\mathrm{4}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(p-\mathrm{1})}{d_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }{u}^p{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}+\\ \frac{\mathrm{4}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(p-\mathrm{1})}{d_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }{u}^p{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{4}},t\in (\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})\mathrm{。}\end{array}（25）

应用\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，则有

\frac{\mathrm{4}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(p-\mathrm{1})}{d_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }{u}^p{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(p-\mathrm{1})}{d_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }{u}^p{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{2}{d}_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1})}{p^{\mathrm{2}}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u^{\frac{p}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}\mathrm{。}（26）

注意到

\frac{d_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{p-\mathrm{2}}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}{d}_{\mathrm{1}}(p-\mathrm{1})}{p^{\mathrm{2}}}{{\int }_{\Omega }\left|\nabla u^{\frac{p}{\mathrm{2}}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}（27）

因此，综合式（25）~式（27），有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{\Omega }{u}^p+c_{\mathrm{6}}{\int }_{\Omega }{u}^p\le c_{\mathrm{7}}\mathrm{。}（28）

利用Gronwall不等式，可以得到当t∈(\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})时,{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^p(\Omega )}\le c_{\mathrm{8}}；同样地，当t∈(\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})时,{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^p(\Omega )}\le c_{\mathrm{9}}。通过对式（1）的第3和第4个方程使用抛物正则理论，可以得到当t∈(\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})时,{‖\nabla w(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}≤c_{\mathrm{10}}，{‖\nabla z(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\le c_{\mathrm{11}}。接着，使用Moser迭代^［30］，可以得到当t∈(\mathrm{0},T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})时,{‖u(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v(\cdot ,t)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\le c_{\mathrm{12}}。最后利用了延拓准则，则式（1）古典解的全局存在得到了证明。

2 长时间行为（定理2的证明）

情况 1

。

在此情况下，所有式（1）的古典解都将收敛到正常数稳态e_{\mathrm{3}}。定义

\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{\Omega }\left(u-u^{\mathrm{*}}-u^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{u}{u^{\mathrm{*}}}\right)+\\ \frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }\left(v-v^{\mathrm{*}}-v^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{v}{v^{\mathrm{*}}}\right)+\\ \frac{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(w-w^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}},\end{array}(29）

式中：{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。由文献［32］可知，E_{\mathrm{1}}(t)\ge \mathrm{0}对所有t>\mathrm{0}成立。

引理 5 如果假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})成立，则

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}(t)={{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla u}{u}\right|}^{\mathrm{2}}+{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla v}{v}\right|}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}+\\ {\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }(u-u^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }(v-v^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ {\int }_{\Omega }(w-w^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }(z-z^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}（30）

满足E_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -\kappa F_{\mathrm{1}}(t)对所有t>\mathrm{0}成立。

证明 假设

A_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{\Omega }\left(u-u^{\mathrm{*}}-u^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{u}{u^{\mathrm{*}}}\right),

A_{\mathrm{2}}(t)={\int }_{\Omega }\left(v-v^{\mathrm{*}}-v^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{v}{v^{\mathrm{*}}}\right),

A_{\mathrm{3}}(t)=\frac{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(w-w^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}},A_{\mathrm{4}}(t)=\frac{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}},

则E_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{A}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+A_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+A_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)。注意到a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}-a_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0}，则有

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)={\int }_{\Omega }(u_t-\frac{u^{\mathrm{*}}}{u}{u}_t)=-a_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }(u-u^{*})}^{\mathrm{2}}-\\ a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(u-u^{*})(v-v^{\mathrm{*}})-u^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla u}{u}\right|}^{\mathrm{2}}+\\ {\chi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla w-{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla z,t>\mathrm{0},\end{array}（31）

和 A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=-b_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }(v-v^{*})}^{\mathrm{2}}-

b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(u-u^{*})(v-v^{\mathrm{*}})-v^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla v}{v}\right|}^{\mathrm{2}}+

{\chi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla v}{v}\cdot \nabla w-{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla v}{v}\cdot \nabla z,t>\mathrm{0}\mathrm{。}（32）

考虑到假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}})和w^{\mathrm{*}}=f_{\mathrm{1}}(u^{\mathrm{*}})+f_{\mathrm{2}}(v^{\mathrm{*}})，则有

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)={\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{*})w_t=\\ -d_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}-{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{*})w+\\ {\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{*})f_{\mathrm{1}}(u)-{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{*})f_{\mathrm{2}}(v)\le \\ -d_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}-{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ l_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u^{\mathrm{*}}\right|+\\ l_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w^{\mathrm{*}}\right|\left|v-v^{\mathrm{*}}\right|,t>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（33）

同样地，

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -d_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}-{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ l_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u^{\mathrm{*}}\right|+\\ l_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z^{\mathrm{*}}\right|\left|v-v^{\mathrm{*}}\right|,t>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（34）

结合式（31）~式（34），得到

\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -a_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(u-u^{*}{)}^{\mathrm{2}}-\\ a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(u-u^{*})(v-v^{\mathrm{*}})-u^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla u}{u}\right|}^{\mathrm{2}}+\\ {\chi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla w-{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla z-\\ \frac{b_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }(v-v^{*}{)}^{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(u-u^{*})(v-v^{\mathrm{*}})-\\ \frac{d_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla v}{v}\right|}^{\mathrm{2}}+\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla v}{v}\cdot \nabla w-\\ \frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla v}{v}\cdot \nabla z-d_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}-\\ d_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}-{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ l_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u^{\mathrm{*}}\right|+\\ l_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w^{\mathrm{*}}\right|\left|v-v^{\mathrm{*}}\right|-{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ l_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u^{\mathrm{*}}\right|+l_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z^{\mathrm{*}}\right|\left|v-v^{\mathrm{*}}\right|\mathrm{。}\end{array}（35）

令 X₁=(|u-u^*|,|v-v^*|,|w-w^*|,|z-z^*|)和 Y₁=\left(\frac{\nabla u}{u},\frac{\nabla v}{v},\nabla w,\nabla z\right)，可以得到不等式

E_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},t>\mathrm{0},（36）

其中，

{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}& -\frac{l_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\\ a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}& \frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{3}}}& -\frac{l_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ -\frac{l_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& {\eta }_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ -\frac{l_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& {\eta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right],

{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}=

\left[\begin{array}{cccc}{d}_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}& -\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}& \frac{{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \frac{d_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}& -\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}& \frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}\\ -\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}& -\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}& d_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \frac{{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}& \frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right]\mathrm{。}

接着要找到合适的{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}使{\mathit{M}}^{\mathrm{1}},{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}是正定矩阵。由\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\text{'}}\mathrm{s}准则只需证{\mathit{M}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}, {\mathit{M}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{1}}, {\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}},{\mathit{M}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{1}}是正定的。

\begin{array}{c}\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}\right|=a_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},\\ \left|{\mathit{M}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{1}}\right|=\frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{a}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{3}}}-a_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}>\mathrm{0},\end{array}

显然成立。选取{\eta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}满足

（37）

则

\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}}\right|={\mu }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}\left(\frac{a_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{3}}}+\frac{a_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}{b}_{\mathrm{3}}}-\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}-a_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}\right)>\mathrm{0},

进一步选取

（38）

可以证明

\left|{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}\right|=\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}}\right|\cdot {\eta }_{\mathrm{2}}+\frac{{\eta }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(l_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}-\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}+\right.\frac{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}+\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}-\left.\frac{a_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}}\right)>\mathrm{0}\mathrm{。}

事实上，由于-\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}+\frac{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}+\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}>\mathrm{0}，则\left|{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}\right|>\mathrm{0}等价于\left(\frac{a_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{b_{\mathrm{3}}}-a_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}\right)+\left(\frac{a_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{b}_{\mathrm{3}}}-\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right){\eta }_{\mathrm{1}}>\frac{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}(\frac{a_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{b_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}}-l_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{3}})，即选取{\eta }_{\mathrm{2}}满足式（38）即可保证\left|{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}\right|>\mathrm{0}。

同样地，考虑{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}是正定矩阵，需要证明{\mathit{N}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}},{\mathit{N}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{1}},{\mathit{N}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}},{\mathit{N}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{1}}, 是正定的。

\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}\right|=d_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}>\mathrm{0},\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{1}}\right|=\frac{d_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}>\mathrm{0}显然成立。对于\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}}\right|，选取{\eta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}满足

（39）

\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}}\right|=\frac{d_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}-\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{u}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}-\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}\mathrm{。}

进一步选取{\eta }_{\mathrm{2}}满足

{\eta }_{\mathrm{2}}>\frac{{\Gamma }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}({\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}})}{\mathrm{4}{\Gamma }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{4}}-({\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{4}})}={\Theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{。}（40）

可以证明

\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}\right|=\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{1}}\right|\cdot d_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}+\frac{(u^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}({\chi }_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}-{\chi }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}-\frac{{\eta }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}({\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}})}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}>\mathrm{0}\mathrm{。}

事实上，由于\frac{(u^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}({\chi }_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}-{\chi }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{16}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}，则\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}\right|>\mathrm{0}等价于

\left(\mathrm{4}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{\eta }_{\mathrm{1}}-{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{2}}-\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}}{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}\right)d_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{2}}>{\eta }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}+d_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}})，

即选取{\eta }_{\mathrm{2}}满足式（40）可保证\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}\right|>\mathrm{0}。

在假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{2}})下可以选择合适的{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}使得, 保证矩阵{\mathit{M}}^{\mathrm{1}},{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}是正定矩阵。从而存在一些\kappa >\mathrm{0}使得

-{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}{\mathit{M}}^{\mathrm{1}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}-{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}{\mathit{N}}^{\mathrm{1}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\le -\kappa {\left|{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}-\kappa {\left|{\mathit{Y}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}

引理5得证。

引理6 在假设的前提下，当t\to \mathrm{\infty }时，

{‖u-u^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v-v^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖w-w^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z-z^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to \mathrm{0}\mathrm{。}（41）

证明 由于E_{\mathrm{1}}(t)的非负性，可以知道

另一方面，使用与文献［1，13］中相似论述，可知存在常数C>\mathrm{0}，\alpha \in (\mathrm{0,1})使得

对所有t>\mathrm{1}，显示了u,v,w,z在t>\mathrm{1}时是W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })有界的且Hölder连续，在\overline{\Omega }\times [t,t+\mathrm{1}](t>\mathrm{1})一致有界。因此，根据文献［1］，可以有当t\to +\mathrm{\infty }时，{‖u-u^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{2}}(\Omega )}\to \mathrm{0}。注意到存在常数c_{\mathrm{1}}，使得

{‖\phi ‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\le c_{\mathrm{1}}{‖\phi ‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{‖\phi ‖}_{L^{\mathrm{2}}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\phi \in W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}(\Omega )\mathrm{。}（42）

将式（42）应用到u-u^{\mathrm{*}}，就可以得到{‖u-u^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\to \mathrm{0}当t\to +\mathrm{\infty }。同样地，

\begin{array}{c}{‖v-v^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\to \mathrm{0},{‖w-w^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\to \mathrm{0},\\ {‖z-z^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}\to \mathrm{0},t\to +\mathrm{\infty },\end{array}

则式（41）得证。

情况 2：。

在此情况下，所有式（1）的古典解都将收敛到正常数稳态e_{\mathrm{1}}。定义

E_{\mathrm{2}}(t)=\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{*}-u_{\mathrm{1}}^{*}ln\frac{u}{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}})+{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}+\frac{{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\frac{{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}},（43）

式中：{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。与引理5讨论类似，可知E_{\mathrm{2}}(t)\ge \mathrm{0}。此外，有以下引理：

引理 7 若假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{3}})成立，则存在常数{\kappa }_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}使得

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{2}}(t)={{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla u}{u}\right|}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}+\\ {\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }(w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\Omega }(z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}（44）

满足E_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -\epsilon F_{\mathrm{2}}(t)-{\delta }_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }v,t>\mathrm{0},其中，{\delta }_{\mathrm{4}}={\mu }_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{3}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-b_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}。

证明 假设

\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{\Omega }\left(u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{u}{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}\right),B_{\mathrm{2}}(t)={\int }_{\Omega }v,\\ B_{\mathrm{3}}(t)=\frac{{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }(w-w_{\mathrm{1}}^{*})}^{\mathrm{2}},B_{\mathrm{4}}(t)=\frac{{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{{\int }_{\Omega }(z-z_{\mathrm{1}}^{*})}^{\mathrm{2}},\end{array}

所以，E_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}}{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}{B}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+B_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)+B_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)，其中，当t>\mathrm{0}时，

\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)={\int }_{\Omega }\left(u_t-\frac{u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{u}{u}_t\right)=\\ -a_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{*})}^{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{*})v-\\ u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{{\int }_{\Omega }\left|\frac{\nabla u}{u}\right|}^{\mathrm{2}}+{\chi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla w-{\xi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla z,\end{array}

B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le {\int }_{\Omega }{\mu }_{\mathrm{2}}v(b_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}}v-b_{\mathrm{3}}u)\le

-{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{*})v+{\delta }_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }v,

B_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=-d_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}-{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+

l_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|+l_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|v,

B_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=-d_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}-{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+

l_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|+l_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|v。

所以

E_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}}{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}-

\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot \nabla w-\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{\int }_{\Omega }\frac{\nabla u}{u}\cdot

\nabla z-{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\int }_{\Omega }(u-u_{\mathrm{1}}^{(})v+

{\delta }_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }v-d_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^{\mathrm{2}}-{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }(w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+

\begin{array}{c}{l}_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|+l_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\int }_{\Omega }\left|w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|v-\\ d_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla z\right|}^{\mathrm{2}}-{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }(z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}+\\ l_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|\left|u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|+l_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }\left|z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|v,\end{array}

即E_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(t)\le -{\int }_{\Omega }{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\mathit{M}}^{\mathrm{2}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-{\int }_{\Omega }{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-{\delta }_{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }v,

其中，

{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}=(\left|u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|,\left|v-v_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|,\left|w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|,\left|z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right|)，

{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}=\left(\frac{\nabla u}{u},\nabla w,\nabla z\right)，

{\mathit{M}}^{\mathrm{2}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}}& b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}& b_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ -\frac{l_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}& {\delta }_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ -\frac{l_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& -\frac{l_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& {\delta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right]，

{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}& -\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}& \frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}\\ -\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}& d_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right]\mathrm{。}

接着要找到合适的{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}}使{\mathit{M}}^{\mathrm{2}},{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}是正定矩阵。由\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\text{'}}\mathrm{s}准则只需证明{\mathit{M}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}},{\mathit{M}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}},{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{2}},{\mathit{M}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}是正定的。

\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}\right|=\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}}>\mathrm{0}， \left|{\mathit{M}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}}\right|=\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}}-b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}显然成立。对于\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{2}}\right|，选取{\delta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}满足

，（45）

则

\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{2}}\right|=\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{3}}}+\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}-b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}-\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}}}>\mathrm{0}\mathrm{。}

进一步选取{\delta }_{\mathrm{2}}满足

，（46）

则可证明

\begin{array}{c}\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}\right|=\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{2}}\right|\cdot {\delta }_{\mathrm{2}}+\frac{{\delta }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(l_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}-\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}+\right.\\ \left.\frac{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}+\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}}\right)>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

事实上，由于-\frac{l_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}+\frac{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}+\frac{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}>\mathrm{0}，则\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}\right|>\mathrm{0}等价于

\frac{{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(l_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}{b}_{\mathrm{3}}-\frac{b_{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}-\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}}\right)>\left(b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}-\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}}\right)+\left(\frac{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}-\frac{b_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{l}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}}}\right){\delta }_{\mathrm{1}}，

即选取{\delta }_{\mathrm{2}}满足式（46）即可保证\left|{\mathit{M}}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{2}}\right|>\mathrm{0}。

同样地，为了证明{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}是正定矩阵，需要证明{\mathit{N}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}},{\mathit{N}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}},{\mathit{N}}_{\mathrm{33}}^{\mathrm{2}}是正定的。

\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}\right|=\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}>\mathrm{0}显然成立。对于\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}}\right|，选取{\delta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}满足

{\delta }_{\mathrm{1}}>\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}}={\Gamma }_{\mathrm{4}}，（47）

则\left|{\mathit{N}}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{1}}\right|=\frac{d_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}}-\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{u}^{\mathrm{*}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}。进一步选取{\delta }_{\mathrm{2}}满足

{\delta }_{\mathrm{2}}>\frac{{\Gamma }_{\mathrm{4}}{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{4}{\Gamma }_{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{4}}-{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{4}}}={\Theta }_{\mathrm{4}},（48）

则可证明

\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}\right|=\frac{b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}}-\frac{(u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}-\frac{(u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}\mathrm{。}

事实上，\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}\right|>\mathrm{0}等价于(\mathrm{4}{\delta }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{3}}{d}_{\mathrm{4}}－b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{4}}){\delta }_{\mathrm{2}}>b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{d}_{\mathrm{3}}{\delta }_{\mathrm{1}}，即选取{\delta }_{\mathrm{2}}满足式（48）即可保证\left|{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}\right|>\mathrm{0}。

在假设{\mathrm{H}}_{\mathrm{3}})前提下，可以选择合适的{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}}满足使得{\mathit{M}}^{\mathrm{2}}和{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}是正定矩阵， 则存在\epsilon >\mathrm{0}，使得

-{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}{\mathit{M}}^{\mathrm{2}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}-{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}{\mathit{N}}^{\mathrm{2}}{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\le -\epsilon {\left|{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}-\epsilon {\left|{\mathit{Y}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}

引理7得证。

引理8 在假设条件下，当t\to \mathrm{\infty }时，

{‖u-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖w-w_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}+{‖z-z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\Omega )}\to \mathrm{0}。（49）

证明 证明过程和定理6类似，在此省略。

情况 3

。

与情况2的过程相同，可以得到式（1）的所有古典解都将收敛到常数稳态e_{\mathrm{2}}，讨论过程省略。

3 线性稳定性分析

本节将介绍围绕式（1）的恒定稳态点e=(\overline{u},\overline{v},\overline{w},\overline{z})的局部动力学^［33］分析，并进行数值模拟。令\Phi ={(u-\overline{u},v-\overline{v},w-\overline{w},z-\overline{z})}^{\mathrm{T}}，在e点给出式（1）的线性化

{\mathit{\Phi }}_t=\mathit{A}(e)\mathrm{\Delta }\mathit{\Phi }+\mathit{B}(e)\mathit{\Phi }，（50）

其中，

\mathit{A}(e)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}& -{\chi }_{\mathrm{1}}\overline{u}& {\xi }_{\mathrm{1}}\overline{u}\\ \mathrm{0}& d_{\mathrm{2}}& -{\chi }_{\mathrm{2}}\overline{v}& {\xi }_{\mathrm{2}}\overline{v}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{3}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{4}}\end{array}\right]\mathrm{。}

\mathit{B}(e)=\left[\begin{array}{cc}{\mu }_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}\overline{u}-a_{\mathrm{3}}\overline{v})& -a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}\overline{u}\\ -b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}\overline{v}& {\mu }_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}\overline{v}-b_{\mathrm{3}}\overline{u})\\ f_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\overline{u})& f_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(\overline{v})\\ f_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(\overline{u})& f_{\mathrm{4}}^{\text{'}}(\overline{v})\end{array}\begin{array}{rr}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}\end{array}\right],

则\Phi (x,t)的形式为

\Phi (x,t)=\sum _{k\ge \mathrm{0}}{c}_k{\mathrm{e}}^{\lambda t}{W}_k(x)，（51）

式中：k为波数；W_k(x)是以下特征值问题的特征函数。

\mathrm{\Delta }{W}_k(x)+k^{\mathrm{2}}{W}_k(x)=\mathrm{0},\frac{\partial W_k(x)}{\partial n}=\mathrm{0}。

\lambda是时间特征值，系数c_k是以W_k(x)表示的特征值的傅里叶展开系数，将式（51）代入式（50）得到{\mathit{M}}_k(e)=\lambda W_k(x)，

{\mathit{M}}_k(e)=\left[\begin{array}{cccc}-F& -a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}\overline{u}& k^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}\overline{u}& -k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}\overline{u}\\ -b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}\overline{v}& -G& k^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}\overline{v}& -k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{2}}\overline{v}\\ f_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\overline{u})& f_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(\overline{v})& -k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}-\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ f_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(\overline{u})& f_{\mathrm{4}}^{\text{'}}(\overline{v})& \mathrm{0}& -k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}-\mathrm{1}\end{array}\right],

其中，

\begin{array}{l}F=k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}\overline{u}-a_{\mathrm{3}}\overline{v}),\\ G=k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}\overline{v}-b_{\mathrm{3}}\overline{u}),\end{array}

式中：\lambda是{\mathit{M}}_k(e)的特征值，则{\mathit{M}}_k(e)的特征方程为

\begin{array}{c}(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})(\lambda +F)(\lambda +G)(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})-a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}\overline{u}\overline{v}(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})+\\ f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}\overline{u}(\lambda +G)(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})-f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}\overline{u}\overline{v}(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})+\\ f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{2}}\overline{v}(\lambda +F)(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})-f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}\overline{u}\overline{v}(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})+(f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}\overline{u}\overline{v}+\\ f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})k^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{2}}\overline{u}\overline{v}-f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})k^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}\overline{u}(\lambda +G)-f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}\overline{v}(\lambda +F)(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})+\\ (f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}\overline{u}\overline{v}-f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}\overline{u}\overline{v}-(f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}\overline{u}\overline{v}+\\ (f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{u})f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(\overline{v})k^{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}\overline{u}\overline{v})=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（52）

用e_{\mathrm{3}}代替e来求解式（52）是一个很大的挑战。然而，如果函数f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}满足f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，则式（52）可以归结为

(\lambda +k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{3}}+\mathrm{1})({\lambda }^{\mathrm{3}}+H_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+H_{\mathrm{1}}\lambda +H_{\mathrm{0}})=\mathrm{0},（53）

其中，

H_{\mathrm{2}}=(G+F+k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1}),

H_{\mathrm{1}}=(G+F)(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})+FG-

a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}+f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}+f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}},

H_{\mathrm{0}}=(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})(FG-a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}})-

f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}-f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{3}}{\xi }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}+

f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}G+f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}F,

及F=k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{1}}+{\mu }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}},G=k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+{\mu }_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}。

可以看出F>\mathrm{0},G>\mathrm{0}，并且很容易知道H_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}总是正确的。根据Routh-Hurwitz稳定性准则，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定当且仅当H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0},H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0},H_{\mathrm{1}}(k)H_{\mathrm{2}}(k)-H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0},对于所有k都成立，若该条件不满足时，e_{\mathrm{3}}不稳定。弱竞争表明，因此，FG-a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}对所有k成立，则可以分为5种情况：

情况 1。

h_{\mathrm{1}})f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}-f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{v}^{\mathrm{*}}F>\mathrm{0},

h_{\mathrm{2}})a_{\mathrm{3}}{k}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}}){\mu }_{\mathrm{1}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}-G{k}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})v^{\mathrm{*}}-k^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})v^{\mathrm{*}}(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})>\mathrm{0},

h_{\mathrm{3}})(F+G)(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})+FG-a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}}+{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})k^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}>\mathrm{0},

h_{\mathrm{4}})(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})(FG-a_{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}})+{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}(k^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})G{u}^{\mathrm{*}}-k^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0},

\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{5}})(G+F)(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})(F+G+k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})+\\ (G+F)(GF-a_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}})+\\ {\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}(F{k}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})u^{\mathrm{*}}+k^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})u^{\mathrm{*}}(k^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{4}}+\mathrm{1})-\\ k^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})b_{\mathrm{3}}{\mu }_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{*}}{v}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

在该情况下，且f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}}),f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})取值满足条件h_{\mathrm{1}})~h_{\mathrm{5}})，为了保证H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0},H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}和H_{\mathrm{2}}(k)H_{\mathrm{1}}(k)-H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}对所有的波数k成立，同时，为了便于讨论，固定{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，则有以下3个边界：

因此，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定的条件为，否则，不稳定。

情况 2f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})>\mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}。

，

。

在该情况下，并且满足条件h_{\mathrm{6}}),h_{\mathrm{7}})，可以保证H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0},并且H_{\mathrm{2}}(k)H_{\mathrm{1}}(k)-H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}对所有波数k成立，通过简单的计算，得到H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}总是成立，因此，e_{\mathrm{3}}对任意的{\xi }_{\mathrm{2}}总是局部渐近稳定的。

情况 3f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=\mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}。

在此情况下，H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0}，H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}和H₂（k）·H₁（k）－H₀（k）>0，所以e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定的。

情况4。

在此情况下，为了得到H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0},H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}和H_{\mathrm{2}}(k)H_{\mathrm{1}}(k)-H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}对所有波数k成立，固定{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，且需要有以下3个边界：

{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>H_{\mathrm{11}}(k),{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>H_{\mathrm{12}}(k),{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>H_{\mathrm{13}}(k),

因此，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定的条件为{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{H_{\mathrm{11}}(k),H_{\mathrm{12}}(k),H_{\mathrm{13}}(k)\right\}。

情况5

在该情况下，为了得到H_{\mathrm{1}}(k)>\mathrm{0},H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}和H_{\mathrm{2}}(k)H_{\mathrm{1}}(k)-H_{\mathrm{0}}(k)>\mathrm{0}对所有波数k成立，固定{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，且需要有以下3个边界：

因此，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定的条件为。

由此可以获得以下定理：

定理 3 假设和f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，

1） 如果,当时，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定。

2） 如果f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})>\mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}，e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定。

3） 如果f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})=\mathrm{0},f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定。

4） 如果，当{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{H_{\mathrm{11}}(k),H_{\mathrm{12}}(k),H_{\mathrm{13}}(k)\right\}时，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定。

5） 如果，当时，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定。

下面将利用数值模拟来说明定理 3不均匀分布的稳态模式。

\left\{\begin{array}{ll}{u}_t=\mathrm{\Delta }u-{\chi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla w)+{\xi }_{\mathrm{1}}\nabla \cdot (u\nabla z)+u(\mathrm{1}-\mathrm{2}u-v),& (\mathrm{0,40})\times {\mathbf{R}}_{+},\\ v_t=\mathrm{\Delta }v-{\chi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla w)+{\xi }_{\mathrm{2}}\nabla \cdot (v\nabla z)+v(\mathrm{1}-\mathrm{2}v{-}_{\mathrm{3}}u),& (\mathrm{0,40})\times {\mathbf{R}}_{+},\\ w_t=\mathrm{\Delta }w-w+\mathrm{9}u/(\mathrm{1}+\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}})+\mathrm{9}v/(\mathrm{1}+\mathrm{9}{v}^{\mathrm{2}}),& (\mathrm{0,40})\times {\mathbf{R}}_{+},\\ z_t=\mathrm{\Delta }z-z+f_{\mathrm{3}}(u)+f_{\mathrm{4}}(v),& (\mathrm{0,40})\times {\mathbf{R}}_{+},\\ u(x,\mathrm{0})=u_{\mathrm{0}}(x),v(x,\mathrm{0})=v_{\mathrm{0}}(x),w(x,\mathrm{0})=w_{\mathrm{0}}(x),z(x,\mathrm{0})=z_{\mathrm{0}}(x)& (\mathrm{0,40}),\\ u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0},t)=u\mathrm{\text{'}}(\mathrm{40},t)=\mathrm{0},v\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0},t)=v\mathrm{\text{'}}(\mathrm{40},t)=\mathrm{0},& t\in {\mathbf{R}}_{+},\\ w\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0},t)=w\mathrm{\text{'}}(\mathrm{40},t)=\mathrm{0},z\mathrm{\text{'}}(\mathrm{0},t)=z\mathrm{\text{'}}(\mathrm{40},t)=\mathrm{0},& t\in {\mathbf{R}}_{+},\end{array}\right.（54）

所以u^{\mathrm{*}}=v^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。对于这个模型，波数k=\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}，其中，n=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots。

首先，选择f_{\mathrm{3}}(u)=\frac{\mathrm{20}u}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{u}^{\mathrm{2}}},f_{\mathrm{4}}(v)=\frac{\mathrm{20}v}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{v}^{\mathrm{2}}},在这种情下，，，并选择{\chi }_{\mathrm{1}}={\chi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{10}，固定{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}，则

\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{11}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\mathrm{3}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{86}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},\\ H_{\mathrm{12}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{95}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},\end{array}

H_{\mathrm{13}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{4}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)-\left(\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{160}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

通过计算得\underset{k}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{H_{\mathrm{11}}(k),H_{\mathrm{12}}(k),H_{\mathrm{13}}(k)\right\}=H_{\mathrm{12}}\left(\frac{\mathrm{13}\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\mathrm{3.402}\mathrm{3}。

使用初值（u₀，v₀，w₀，z₀）=(0.3, 0.3, 2.3, 2.3)+(0.01, 0.01, 0.01, 0.01)cos x，则通过定理3中的1）可知，如果 {\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}< 3.402 3，e_{\mathrm{3}}是局部渐近稳定的，当{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=3.1时，结果如图 1 所示，可以看到e_{\mathrm{3}}是局部渐近稳定的。当 {\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=3.5时，结果如图 2 所示，可以看到e_{\mathrm{3}}是不稳定的。

接着，仍然使用{\mu }_{\mathrm{1}}={\mu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，选择f_{\mathrm{3}}(u)=u,f_{\mathrm{4}}(v)=v,这种情况下，f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}, f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}。选择{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}和{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{200}，结果如图 3和图 4所示。

接下来选择f_{\mathrm{3}}(u)=\frac{\mathrm{20}u}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{u}^{\mathrm{2}}}和f_{\mathrm{4}}(v)=v，因此，，f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}。同时选择{\chi }_{\mathrm{1}}={\chi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{10}，固定{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}，则

H_{\mathrm{11}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\mathrm{3}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{86}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}}{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},H_{\mathrm{12}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{6}}-\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\left(\frac{\mathrm{22}}{\mathrm{9}}-\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{81}}\right){\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{-\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},

H_{\mathrm{13}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{4}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)-\left(\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{218}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}{-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

通过计算可知， 对所有n>\mathrm{0}成立。因此，对任意的{\xi }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定的。选择{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}和{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{200}，结果如图 5 和图 6 所示。

当选择f_{\mathrm{3}}(u)=u，f_{\mathrm{4}}(v)=\frac{\mathrm{20}v}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{v}^{\mathrm{2}}}时，选择{\chi }_{\mathrm{1}}={\chi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{10}，固定{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}，则

H_{\mathrm{11}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\mathrm{3}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\mathrm{16}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},H_{\mathrm{12}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{76}}{\mathrm{81}}\right){\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}},

H_{\mathrm{13}}\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\frac{\left(\mathrm{2}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{4}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)+\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{76}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{27}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{109}}{\mathrm{81}}{\left(\frac{n\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)}^{\mathrm{2}}}。

通过计算得\underset{k}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{H_{\mathrm{11}}(k),H_{\mathrm{12}}(k),H_{\mathrm{13}}(k)\right\}=H_{\mathrm{12}}\left(\frac{\mathrm{11}\mathrm{\pi }}{\mathrm{40}}\right)=\mathrm{5.050}\mathrm{7}\mathrm{。}

基于定理3的讨论，可以说如果，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定。如果{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{5.0507}，e_{\mathrm{3}}不稳定。由此，选择{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{5}，结果如图 7 所示，选择{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{5.2}，结果如图 8 所示。

4 结　论

本文研究了一个两物种吸引-排斥趋化的竞争系统，特别地，还研究了一般的信号产生机制，涵盖了物种密度大会减少信号产生的现象。同时，研究了解的全局有界性，并构造了Lyapunov泛函来研究解的长时间行为。此外，还利用线性稳定性分析方法研究了非零常稳态的局部稳定性。数值模拟结果表明，式（1）可以在一些特殊的信号产生机制中产生复杂的模式和丰富的动力学行为。

在本文的模型中，虽然不容易给出{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}决定e_{\mathrm{3}}稳定性的关系，但是可以通过模拟显示{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}对式（54）的斑图形成的影响。在定理3的条件下，如果固定d_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}),{\mu }_i(i=\mathrm{1,2}),并选择合适的a_i,b_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足，当选择不同的f_i和{\xi }_{\mathrm{2}}时，恒定共存稳态可能会形成斑图。当选择某些特殊函数f_{\mathrm{3}}(u)=\frac{\mathrm{20}u}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{u}^{\mathrm{2}}}，f_{\mathrm{4}}(v)=\frac{\mathrm{20}v}{\mathrm{1}+\mathrm{18}{v}^{\mathrm{2}}}，满足，，从图1和图2可以看出，当选择，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定，当选择{\xi }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}足够大时，e_{\mathrm{3}}失去稳定性。接着当选择f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}，f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}，从图 3 和图 4 可以看出，不论{\xi }_{\mathrm{2}}取值大或取值小，e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定的。当选择，f_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}(v^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}时，从图 5 可以看出，如果{\xi }_{\mathrm{2}}取值较小，e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定，如果{\xi }_{\mathrm{2}}取值较大，从图 6 可以看出，e_{\mathrm{3}}也是局部渐近稳定的，因此，不论 {\xi }_{\mathrm{2}}取值大或小，e_{\mathrm{3}}总是局部渐近稳定的。最后，当f_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}(u^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}，，从图 7 和图 8 可以看出，如果{\xi }_{\mathrm{2}}取值较小，则e_{\mathrm{3}}局部渐近稳定，如果{\xi }_{\mathrm{2}}取值变大，e_{\mathrm{3}}变得不稳定并出现稳定的时空聚集模式。另外，本文没有研究式（54）的稳态解，但数值模拟结果表明，在同时考虑吸引-排斥竞争效应时，不同的种群增长率可以导致式（54）产生不同的模式。

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基金资助

国家自然科学基金青年基金资助项目(11701290)

江苏省自然科学基金青年基金资助项目(BK20170896)

江苏省自然科学研究面上项目(21KJB110031)

江苏省自然科学研究面上项目(17KJB110012)