地铁致振作用下局域共振混凝土结构的动力响应

Dynamic Response of Local Resonant Concrete Structures Under Excitation by Subway

摘要

地铁运行穿过建筑物时会造成振动干扰， 本研究基于地铁减振问题， 提出了一种新型的周期性局域共振混凝土板（PLRCs）， 并结合试验测试与仿真计算对其带隙特性、减振机理进行了分析和验证。开展了列车致振PLRCs振动衰减性能研究并探究了结构几何参数及材料参数对弯曲波带隙的影响。研究表明， PLRCs可打开频率范围为54.3~121.8 Hz的弯曲波带隙， 抑制其动力学响应。模态之间的耦合作用导致产生弯曲波带隙， 这种耦合效应将弯曲波局限于谐振腔内， 阻止其在平板内的传播， 进而抑制了振动。合理改变PLRCs结构尺寸参数和材料参数可以优化带隙范围， 随着柔性包覆层的厚度、宽度及弹性模量的增加， 衰减域范围逐渐降低。缩尺试验和模拟试验都表明PLRCs结构比混凝土板具有更好的减振效果。因此， PLRCs结构可为当前建筑结构的减振问题提供新的思路和方法。

Abstract

The subway line will cause vibration interference when passing through buildings. In this paper， based on the problem of subway vibration reduction， a new type of periodic local resonance concrete slab （PLRCs） was proposed， and its band-gap characteristics and vibration reduction mechanism were analyzed and verified by combining test and simulation. The vibration attenuation performance of PLRCs induced by train vibration was studied， and the effects of structural geometry and material parameters on the band gap of bending wave were investigated. The results show that PLRCs can open the band gap of bending wave in the frequency range of 54.3~121.8 Hz and suppress its dynamic response. The coupling between the modes leads to the flexural band gap， which restricts the flexural wave to the cavity and prevents its propagation in the plate， thus suppressing the vibration. The band gap range can be optimized by changing the PLRCs structure size parameters and material parameters reasonably. The attenuation range decreases gradually with the increase of the thickness， width and elastic modulus of the flexible coating. Both scale test and simulation test show that PLRCs structure has better damping effect than concrete slab. Therefore， PLRCs structure can provide new ideas and methods for vibration reduction of current building structures.

Graphical abstract

关键词

轨道交通 / 结构减振 / 动力学响应 / 局域共振 / 周期性结构

Key words

rail transit / structural vibration reduction / dynamic response / local resonance / periodic structure

0 引　言

随着城市化进程的加快， 地铁作为高效轨道交通在全球各大城市迅速发展。地铁系统的建立和扩展不仅极大地提高了城市交通的效率， 缓解了地面交通的压力， 而且促进了城市各区域之间的快速连接， 推动了经济的发展和城市的现代化。然而， 伴随着地铁网络的不断扩展， 地铁运行带来的振动问题逐渐显现， 成为不可忽视的环境公害， 特别是对文物、历史建筑、精密仪器以及人体健康的危害^［1‐5］。

研究表明^［6‐9］地铁运行所产生的交通环境振动主要集中在40~90 Hz频率范围内。研究人员发现通过引入周期性局域共振结构可以有效抑制弹性波的传播^{［10‐11］}， 这为建筑结构减振提供了一种新的解决途径。Lei等^［12］通过设计局域共振周期波垒， 实现了弹性波能量的有效局域化， 从而减小了建筑物的振动危害。秦凯强等^［13］通过调整埋入深度和顶端尺寸， 使部分埋入地下的工字形截面周期波屏障能够在1.5~20 Hz频段内有效衰减瑞利表面波。

优化受振体本身的设计与在传播路径上设置减振措施同样重要。建筑基础相比外部屏障具有不受周围环境影响的优势， 能够稳定有效地减少振动对建筑物的影响。Casablanca等^［14］设计的基于超材料的复合地基建筑隔震墙， 可衰减频率大于4.5 Hz的S波， 耗散带隙内50%以上的振动能量。Cheng等^［15］研究了材料阻尼对层状周期基础性能的影响， 材料阻尼会进一步减少通带内上部结构的振动响应， 提高了不同场地条件下的抗振性能。Franchini等^［16］设计了局部共振基础来减轻细长储罐在振动中由垂直分量引起的水动力压力， 通过在框架的第二层交错排列柱子， 可以显著提高衰减性能。盛曦等^［17］将TID引入隔振器浮置板使得传统钢弹簧浮置板新增弯曲波带隙， 实现了对板内弹性波的调控， 但是产生的带隙范围较小。金星等^［18］研究新型幂指数棱台局域共振型晶体发现其带隙因共振单元的局域共振效应产生， 其可有效提高船体板结构强度， 但在棱台斜边处产生了能量聚集现象， 导致斜边的位移要远大于其他位置处的位移。

除了对建筑基础进行改进， 混凝土楼板作为传播振动最严重的部位亦是减振的关键^［19］。楼板可采用预制混凝土构件和模块化组件使其方便施工与维护。同时， PLRCs结构属于局部减振， 可根据实际情况需要来制定特定的方案以此来降低造价， 也有利于后期进行一些减振改造。为了缓解地铁运行带来的振动问题， 本文结合局域共振机制提出了周期性局域共振混凝土板（PLRCs）。

1 缩尺PLRCs试件振动衰减性能试验研究

1.1 结构介绍

制备缩尺PLRCs试件与NCs（普通混凝土板）试件， 对其进行正弦振动试验并对比分析PLRCs与NCs的振动衰减性。结构及材料参数见表 1 和表 2。

PLRCs结构在建筑中的应用及其内部构造示意图、PLRCs单元结构尺寸变量图分别见图 1 和图 2。

1.2 试件设计与制备

PLRCs试件：600 mm×600 mm×10 mm开有11×11个直径为6 mm圆形螺杆孔方阵的底板； M6螺母为重质核心体； 柔性包覆层厚度为1 mm； 600 mm×5 mm×40 mm的侧板。NCs试件： 同尺寸的未开孔底板与侧板。PLRCs试件制作流程及结构如图 3 所示。

1.3 试验步骤

1） 将PLRCs试件固定在DY-1000-8振动台上， 确保试件表面平整且稳定。

2） 在PLRCs试件表面附加速度传感器①~⑥， 用于实时监测试件在振动过程中的加速度响应， 如图 4 所示。

3） 输入垂直于表面方向且频率为5~1 000 Hz范围的正弦振动信号， 进行扫频试验。对试验中获取的振动数据进行实时采集和详细分析。

1.4 缩尺PLRCs试件减振特性研究

图 5 为NCs及PLRCs试件各点的频响函数（FRF）。FRF的数值反映了测点的加速度响应状况， 频率响应函数的计算公式为

F_{\mathrm{F}\mathrm{R}}=\mathrm{20}\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{U_{\mathrm{1}}}{U_{\mathrm{0}}}\right),（1）

式中： U₀为输入端的位移幅值； U₁为输出端的位移幅值。

通过试验对比可以发现， PLRCs试件展示了优于NCs试件的振动抑制效果。从128.75 Hz起， PLRCs试件的振动衰减值随着共振单元周期的增加而显著提升， 最大衰减值分别达到了-43， -46， -62和-71 dB； NCs试件的最大衰减值则较低， 且衰减域频率范围也远小于PLRCs试件。因此， PLRCs试件在建筑结构中的振动抑制性能显著优于NCs试件。

该试验是对PLRCs进行减振机理上的探索， 因此进行了大范围扫频试验。为探究PLRCs对地铁诱发的楼板响应频率的衰减性能， 后续进行了列车致振下PLRCs振动衰减性能的研究。

2 试验与仿真结果的对比分析

通过在Comsol中构建PLRCs和NCs模型， 进行有限元计算并与试验结果的对比分析发现： 在0~200 Hz范围内， NCs和PLRCs结构的加速度频率响应基本相符。在高频范围内由于复杂的振动模式和边界条件导致存在较大误差。试验结果显示， 实际PLRCs试件的振动抑制效果优于仿真结果， 原因是平板型结构抗弯刚度较低， 从而使其具有更宽的频带和更好的减振效果。本文研究150 Hz以下的振动衰减特性， 因此仿真计算可较为准确地模拟实际试验情况。在150 Hz以下频率范围内， PLRCs的振动衰减效果比NCs更好。

3 PLRCs带隙分析

3.1 弯曲波带隙理论计算方法

在二维波动问题中， 假设弹性波只在xOy平面内传播而与z方向无关， 即

u\left(r,t\right)=u\left(x,y,t\right),（1）

式中： r为位置矢量； u为位移矢量； t为时间。

Z模式和XY模式的控制方程分别为

\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_z}{\partial t^{\mathrm{2}}}=\frac{\partial }{{\partial }_x}\left(\mu \frac{\partial u_z}{{\partial }_x}\right)+\frac{\partial }{{\partial }_y}\left(\mu \frac{\partial u_z}{{\partial }_y}\right),（2）

\left\{\begin{array}{c}\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\partial t^{\mathrm{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\lambda \left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}\right)\right]+\frac{\partial }{\partial x}\left[\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)\right]+\frac{\partial }{\partial y}\left[\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)\right],\\ \rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_y}{\partial t^{\mathrm{2}}}=\frac{\partial }{\partial y}\left[\lambda \left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}\right)\right]+\frac{\partial }{\partial x}\left[\mu \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)\right]+\frac{\partial }{\partial y}\left[\mu \left(\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial y}\right)\right],\end{array}\right.（3）

式中： ρ为密度； λ和μ为Lamé常数。

根据二维周期结构的Bloch定理， 对于任意一个具有平移周期性的的线性系统， 其位移场的数学表达式为

u\left(r\right)=u_k\left(r\right){\mathrm{e}}^{ik\cdot r},（4）

式中： k为第一布里渊区（见图 7）的波矢。

单元结构的外边界条件应满足

u_k\left(r\right)=u_k\left(r+R\right),（5）

式中： R为晶格常数。

在单元内建立质量和刚度矩阵， 得到本征方程

\left({\mathit{K}}_s-{\omega }^{\mathrm{2}}{\mathit{M}}_s\right)\mathit{u}\left(r\right)=\mathrm{0},（6）

式中： K_s 为刚度矩阵； M_s 为质量矩阵； u （r）为位移矩阵。

对波矢k沿不可约布里渊区边界进行扫描。根据边界条件计算特征值和特征向量， 将计算得到的特征值按顺序排列， 形成能带结构图。

3.2 带隙特性

优化材料参数见表 3， 结构尺寸见表 4。在Comsol中建立一个包含10个周期模型的结构， 并应用Floquet周期边界条件来模拟无限周期的行为， 如图 8 所示。模型左端设置为z方向激励， 右端设置为输出端。能带结构图及频率响应函数图如图 9 所示。

从图 9（a） 可得出， XY模式存在一条29.7~121.8 Hz的带隙（蓝色阴影区域）， Z模式存在一条54.3~124.4 Hz的带隙（黄色阴影区域）。综合可得存在频率范围为54.3~121.8 Hz的完全带隙， 实现对弹性波传播和弯曲波传播的有效抑制。

图 9（b） 的频率响应函数图展示了普通混凝土板（NCs）和PLRCs的减振性能比较。灰色阴影区域表示面外带隙对应的衰减域。在这一频率范围内， PLRCs能够有效抑制弹性波的传播。相比之下， NCs在面外带隙范围内几乎没有抑制能力。这一结果表明， PLRCs通过其周期性局域共振单元有效增强了结构的振动衰减性能。对比PLRCs的面外带隙与理想周期结构的计算结果， 两者基本吻合， 验证了PLRCs设计的有效性和理论计算的准确性。

3.3 PLRCs带隙机理分析

3.3.1 振动模态分析

频率较低时， 共振单元长度远小于波长， 无法产生局域共振效应， 此时应力波在PLRCs结构中的传播与普通板中无异。基于此， 列出频率为0附近处的能带曲线即可区分板波模态。此处3条能带曲线分别表示板中的反对称Lamb波模式的能带、 水平剪切波模式的能带及对称Lamb波模式的能带。提取图 8（a） 中A₀、 B₀、 C₀、 A₁、 B₁、 C₁的振动模态来详细分析带隙形成机理， 见图 10， 位移单位为mm。

从图 10（a）、 （b）、 （c） 中可以看出， 在A₀、 B₀、 C₀模态示意图中， 基体和共振单元共同只产生z、 y、 x方向的位移， 但无相对运动， 因此没有发生局部谐振现象。只有分别以z、 y、 x方向位移占主导地位的振动模态才能与A₀、 B₀、 C₀模态耦合。从图 10（d）、 （e）、 （f） 中可以看出， 在A₁、 B₁、 C₁模态中， 基体分别产生z、 y、 x方向位移， 而共振单元只产生微弱位移， 因此不能发生耦合作用。只有分别具有z、 y、 x方向位移并占主导地位的局域共振模式才能与A₁、 B₁、 C₁模态发生强烈耦合效果。其中， A₁模态对应面外带隙的截止频率， B₁模态和C₁模态对应面内带隙截止频率。

3.3.2 局域共振模态分析

通过对图9（a）中的平直能带进行分析， 发现平直能带在这些频率下的振动模式具有较高的局域化程度， 图 11 展示了平直带上各点的振动模态， 通过对这些模态的分析， 可知振动模态与板波模态之间存在的强烈耦合是局域共振带隙产生的关键因素。

图 11（a） 中的特征频率为28.5 Hz， 基体未动， 共振单元发生扭转， 因无方向位移， 无法与板波模态耦合。图 11（b）、 （c）、 （d） 中的特征频率分别为29.5， 29.7， 54.3 Hz， 共振单元分别产生以x、 y方向为主的扭转及z方向的平移运动， 分别与C₀、 B₀、 A₀模态耦合。图 11（e） 的特征频率为71.1 Hz， 共振单元产生以x方向为主的微弱的扭转， 难以与板波模态耦合。图 11（f） 的特征频率为71.3 Hz， 共振单元产生以负y方向为主的扭转， 打开了一条狭窄的通带。

4 列车致振PLRCs振动衰减性能

在广州某车辆段的现场实测中， 测得地面20 s的振动信号如图 12 所示。将该振动信号输入到PLRCs混凝土模型的左端， 得到其振动加速度响应信息如图 13 所示。通过对比分析实测信号的模型响应， 可进一步验证PLRCs模型在实际应用中的减振性能。

从图 13（a）、 （c）中可以看出， PLRCs和NCs在z方向的加速度极值分别为2.3×10^-3 m/s²和3×10^-2 m/s²， 表明振动经过PLRCs结构时的衰减效果比NCs显著。从图13（b）、 （d）中可以看出， NCs几乎没有振动衰减， 而PLRCs对在59~130 Hz范围内的振动有显著的减振效果， 并与理论的禁带一致。

本研究只对广州某地铁车辆段振动实例进行了单一共振单元的带隙特性研究， 也可在基体上设置多种共振单元来实现带隙展宽使其应用于更加广泛的场景。

5 PLRCs结构弯曲波带隙的影响因素分析

通过Comsol软件进行能带图计算， 以探究结构及材料参数的改变对带隙起止频率的影响， 改变的参数值见表 5， 结果分别如图 14 和图 15 所示。

1） 基体内部柔性包覆层的厚度t₁、 t₂对禁带的影响。由图 14（a）、 （b） 可以看出， 随着结构参数t₁、 t₂的增加， 带隙的起止频率减小， 带宽逐渐减小的趋势明显。t₁和t₂的增加导致了共振单元的等效刚度减小， 使得结构在低频段的振动特性变得更为显著， 从而降低了带隙的起始频率。

2） 环状包覆层的宽度w对禁带的影响。由图 14（c） 可以看出， 带隙起止频率随着w的增加而增大， 带宽变大。这主要是由于w的增加导致了结构等效刚度的增加和A₁模态激发频率的升高， 从而提升了带隙的起始和终止频率。

3） 重质核心体下翼的直径r₂对禁带的影响。由图 14（d） 可以看出， 等效质量随r₂的增加而增加， 使起始频率降低。由于终止频率几乎不变， 导致带宽增大。

4） 重质核心体下翼的高度b₂对禁带的影响。由图 14（e） 可以看出， 终止频率随着b₂ 的增加而降低， 但其降低速率逐渐减缓。这表明， 在一定范围内， b₂ 的增加对终止频率的影响趋于饱和。b₂ 的变化对起始频率的调控具有较强的线性关系。b₂ 的增加使共振单元的有效质量增大， 进而导致带隙的起始频率降低。

5） 柔性包覆层弹性模量E对带隙的影响。由图 15（a） 可以看出， 增加E将显著提高弯曲波带隙的起止频率。带隙带宽增加速率减缓。这种现象表明， 在高弹性模量下， 进一步增加弹性模量对带隙频率的提升效果会逐渐减弱。

6） 密度之比\alpha对带隙的影响。随着密度之比的增大， 核心体的高密度使得共振单元的等效质量增大， 带隙的起止频率均呈现出减小的趋势。但是， 由于终止频率的下降幅度较小， 导致带宽增加。通过合理调整密度比， 可以有效控制带隙的下限， 从而优化结构的振动控制性能。

6 结　论

1） 周期性局域共振混凝土板PLRCs结构可以打开54.3~121.8 Hz的弯曲波带隙来抑制地铁运行致振产生的弯曲波传播。抑制其动力学响应的原因是共振单元将能量局限至其内部， 阻断应力波的传播。

2） 试验证明PLRCs相较普通混凝土板NCs能够对振动进行有效衰减， 可以减小振动的加速度响应。

3） PLRCs结构可以通过调整结构和材料参数来调整带隙的起止频率。改变其下翼半径、 高度或者密度可使带隙的频率范围降低。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52178239)