带幂次记忆项的波动方程耦合系统解的破裂

Blow⁃Up of Solutions to Coupled System of Wave Equations with Power Memory Terms

摘要

研究带阻尼项和非线性项的非线性波动方程解的破裂性态以及生命跨度， 可以解释生活中不同形式的摩擦现象和非线性外力对波传播过程的影响。本文研究了n维空间中带散射阻尼项和幂次记忆项的波动方程耦合系统的Cauchy问题。首先， 通过构造合适的乘子来克服散射阻尼项对波动方程的影响； 其次， 对幂次记忆项进行了放缩处理； 最后， 通过构造泛函， 利用检验函数方法， 以及构造迭代框架， 得出小初值问题的解会在有限时间内破裂的结论， 同时给出解的生命跨度的上界估计。本文将相关文献中带弱阻尼项的波动方程耦合系统推广为带散射阻尼项的波动方程耦合系统， 将带幂次记忆项的单个波动方程推广为带幂次记忆项的波动方程耦合系统， 推广了相关文献中带阻尼项和非线性项的单个波动方程解的破裂结果， 并给出带阻尼项和非线性项的波动方程耦合系统解的生命跨度的上界估计。

Abstract

Studying the blow-up and lifespan estimate of the solution to nonlinear wave equations with damping term and nonlinear terms can explain the effects of different forms of friction phenomena and nonlinear external forces on wave propagation in daily life. This paper aims to investigate the Cauchy problem for coupled system of wave equations with scattering damping term and power memory terms in n space dimensions. Firstly， a suitable multiplier was constructed to overcome the influence of scattering damping term on wave equation. Secondly， the power memory terms were scaled down. Finally， by constructing functional， using test function method and constructing iterative framework， we obtained that the solutions of small initial value problem blow up in finite time， and the upper bound lifespan estimate of solutions was estimated. In this paper， the coupled system of wave equations with weak damping term in relevant literature was extended to the coupled system of wave equations with scattering damping term. In addition， the single wave equation with power memory term was extended to the coupled system of wave equations with power memory terms. It is generalized that the rupture results of single wave equation solutions with damping term and nonlinear terms in relevant literature. The upper bound lifespan estimation of solutions to coupled wave equation system with damping term and nonlinear terms was provided.

关键词

耦合波动方程 / 幂次记忆项 / 迭代方法 / 破裂 / 生命跨度估计

Key words

coupled wave equations / power memory terms / iteration method / blow-up / lifespan estimate

0 引　言

非线性波动方程解的破裂与生命跨度的上界估计是偏微分方程研究的热点之一。Strauss^［1］证明了波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|u{|}^p的解具有Strauss临界指数p_s(n)。当n=\mathrm{1}时， p_s(\mathrm{1})=+\mathrm{\infty }； 当n\ge \mathrm{2}时， p_s(n)是方程r(p,n)=-(n-\mathrm{1})p^{\mathrm{2}}+(n+\mathrm{1})p+\mathrm{2}=\mathrm{0}的正根。Glassey^［2］研究了带导数非线性项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|u_t{|}^p， 得出其解满足Glassey临界指数p_G(n)=\mathrm{1}+\mathrm{2}/(n-\mathrm{1})。Lai等^［3］研究了带散射阻尼项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }{u}_t=|u{|}^p， 其中\beta >\mathrm{1}。通过引入乘子并利用迭代方法， 证明了次临界情形解的破裂结果。Lai等^［4］还研究了带散射阻尼项和导数非线性项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }{u}_t=|u_t{|}^p， 通过引入乘子建立了解的生命跨度的上界估计。Lai等^［5］又利用迭代方法证明了带散射阻尼项和组合非线性项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }{u}_t=|u_t{|}^p+|u{|}^q不存在整体解， 并建立了解的生命跨度的上界估计。Chen^［6］研究了带阻尼项和幂次非线性项的波动方程耦合系统\left\{\begin{array}{l}{u}_{tt}-\mathrm{\Delta }u+u_t=|v{|}^p\\ v_{tt}-\mathrm{\Delta }v=|u{|}^q\end{array}\right.， 利用迭代方法得出问题的解会在有限时间内破裂。Chen等^［7］研究了带幂次记忆项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=N_{\gamma ,p}(u)， 其中N_{\gamma ,p}(u)(t,x)=c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\gamma }|u(s,x){|}^p\mathrm{d}s， 利用迭代方法给出次临界情形解的破裂。其它相关的研究见文献［8‐16］。关于带幂次记忆项的波动方程耦合系统的Cauchy问题解的破裂及其生命跨度估计尚无研究结果。

本文利用迭代方法研究带幂次记忆项的波动方程耦合系统的Cauchy问题（1）解的破裂性态。

\left\{\begin{array}{ll}{u}_{tt}-\mathrm{\Delta }u+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }{u}_t=c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\gamma }{\left|v(s,x)\right|}^p\mathrm{d}s,& x\in {\mathbb{R}}^n,t>\mathrm{0},\\ v_{tt}-\mathrm{\Delta }v=c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\gamma }{\left|u(s,x)\right|}^q\mathrm{d}s,& x\in {\mathbb{R}}^n,t>\mathrm{0},\\ \left(u,u_t,v,v_t\right)(\mathrm{0},x)=\epsilon \left(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}}\right)(x),& x\in {\mathbb{R}}^n,\end{array}\right.（1）

式中： n\ge \mathrm{1}， ， \mu >\mathrm{0}， \beta >\mathrm{1}， c_{\gamma }=\mathrm{1}/\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-\gamma )(\gamma \in (\mathrm{0,1}))， \mathrm{\Gamma }(s)={\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{s-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x（s>0）为第二类欧拉积分， \epsilon是描述初值大小的正参数。设\left(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}}\right)\in H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)\times L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n)×H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)×L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n)是具有紧支集的非负函数， 并且 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}})\subset B_R(\mathrm{0})， 其中B_R(\mathrm{0})=\left\{x\left||x|\right.\right.≤\left.R\right\}， R>\mathrm{2}。

1 主要结论

首先给出耦合系统（1）弱解的定义。

定义 1 设\left(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}}\right)\in H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)\times L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n)\times H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)\times L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n)。(u,v)是耦合系统（1）在[\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n中的弱解， 如果

\begin{array}{c}u\in C([\mathrm{0},T),H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap C^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T),\\ L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^q([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n),\end{array}

\begin{array}{c}v\in C([\mathrm{0},T),H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap C^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T),\\ L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n),\end{array}

并且满足

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(-u_s(s,x){\varphi }_s(s,x)+\nabla u(s,x)\cdot \nabla \varphi (s,x))\mathrm{d}x\mathrm{d}s+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mu {(\mathrm{1}+s)}^{-\beta }{u}_s(s,x)\varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_t(t,x)\varphi (t,x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x)\varphi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x=

c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\varphi (s,x){\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s,（2）

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(-v_s(s,x){\psi }_s(s,x)+\nabla v(s,x)\cdot \nabla \psi (s,x))\mathrm{d}x\mathrm{d}s+

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_t(t,x)\psi (t,x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x)\psi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x=

c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\psi (s,x){\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|u(\tau ,x)\right|}^q\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s,（3）

对于\forall \varphi (t,x),\psi (t,x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n)。

对式（2）和式（3）进行分部积分， 得到

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(s,x)({\varphi }_{ss}(s,x)-\mathrm{\Delta }\varphi (s,x)-

(\mu {(\mathrm{1}+s)}^{-\beta }\varphi {(s,x))}_s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(u_t(t,x)\varphi (t,x)+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }u(t,x)\varphi (t,x)-

u(t,x){\varphi }_t(t,x))\mathrm{d}x-

\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}(u_{\mathrm{1}}(x)\varphi (\mathrm{0},x)+\mu u_{\mathrm{0}}(x)\varphi (\mathrm{0},x)-

\left.u_{\mathrm{0}}(x){\varphi }_t(\mathrm{0},x)\right)\mathrm{d}x=

c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\varphi (s,x){\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s,（4）

\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(s,x)({\psi }_{ss}(s,x)-\mathrm{\Delta }\psi (s,x))\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}(v_t(t,x)\psi (t,x)-u(t,x){\psi }_t(t,x))\mathrm{d}x-\\ \epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}(v_{\mathrm{1}}(x)\psi (\mathrm{0},x)-v_{\mathrm{0}}(x){\psi }_t(\mathrm{0},x))\mathrm{d}x=\\ c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\psi (s,x){\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|u(\tau ,x)\right|}^q\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}（5）

令t\to T， (u,v)满足耦合系统（1）弱解的定义。

定理 1 当n=\mathrm{1,2}时， p,q>\mathrm{1}； 当n\ge \mathrm{3}时， 。则有

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(\mathrm{1}+p^{-\mathrm{1}})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{p},\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(\mathrm{1}+q^{-\mathrm{1}})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{q}\right\}>\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}（6）

设(u,v)是耦合系统（1）的局部弱解。设

\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(u,v)\subset \left\{(t,x)\in [\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n\left||x|\le R+t\right.\right\},（7）

并且存在正常数{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(u_{\mathrm{0}}，u_{\mathrm{1}}，v_{\mathrm{0}}，v_{\mathrm{1}}，n，p，q，R，\gamma )， 使得解(u,v)会在有限时间内破裂， 并且解的生命跨度的上界估计满足

T(\epsilon )\le C{\epsilon }^{-\mathrm{1}/\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma ),F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )\right\}},

其中， \epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]， C是不依赖于\epsilon的正常数，

F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma )=\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(\mathrm{1}+p^{-\mathrm{1}})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{p},（8）

F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )=\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(\mathrm{1}+q^{-\mathrm{1}})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{q}\mathrm{。}（9）

2 定理1的证明

引入下列函数

U(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{d}x,V(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{d}x\mathrm{。}

令式（2）式和式（3）中的检验函数\varphi和\psi分别为 \varphi \equiv \mathrm{1}， \psi \equiv \mathrm{1}， 可以得到

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_t(t,x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{d}x+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mu {(\mathrm{1}+s)}^{-\beta }{u}_s(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s,\end{array}（10）

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_t(t,x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{d}x=\\ c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|u(\tau ,x)\right|}^q\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}（11）

引入乘子

m(t)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{\mu {(\mathrm{1}+t)}^{\mathrm{1}-\beta }}{\mathrm{1}+\beta }\right)\mathrm{。}

当\beta >\mathrm{1}， t\ge \mathrm{0}时， 可得

式（10）两边对t求导， 得到

\begin{array}{c}{U}^{″}(t)+\mu {(\mathrm{1}+t)}^{-\beta }{U}^{\text{'}}(t)=\\ c_{\gamma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\gamma }{\left|v(s,x)\right|}^p\mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}

两边同乘m(t)， 则有

{\left\{m(t)U^{\text{'}}(t)\right\}}^{\mathrm{\text{'}}}=c_{\gamma }m(t){\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\gamma }{\left|v(s,x)\right|}^p\mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}

计算得到

m(t)U^{\text{'}}(t)=m(\mathrm{0})U^{\text{'}}(\mathrm{0})+c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^{t}m(s){\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s,

U^{\text{'}}(t)=\frac{m(\mathrm{0})U^{\text{'}}(\mathrm{0})}{m(t)}+\frac{c_{\gamma }}{m(t)}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}m(s){\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}

由于m(t)\le \mathrm{1}， 所以

U^{\text{'}}(t)\ge m(\mathrm{0})U^{\text{'}}(\mathrm{0})+c_{\gamma }m(\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^s{(s-\tau )}^{-\gamma }{\left|v(\tau ,x)\right|}^p\mathrm{d}\tau \mathrm{d}x\mathrm{d}s\mathrm{。}

计算可得

U(t)\ge U(\mathrm{0})+m(\mathrm{0})U^{\text{'}}(\mathrm{0})t+

c_{\gamma }m(\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\left|v(\sigma ,x)\right|}^p\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}x\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,

V(t)=V(\mathrm{0})+V^{\text{'}}(\mathrm{0})t+

c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\left|u(\sigma ,x)\right|}^q\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}x\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\mathrm{。}

由于初值u_{\mathrm{0}}， u_{\mathrm{1}}， v_{\mathrm{0}}和v_{\mathrm{1}}均非负， 可以得出

U(t)\ge c_{\gamma }m(\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\left|v(\sigma ,x)\right|}^p\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}x\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,（12）

V(t)\ge c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\left|u(\sigma ,x)\right|}^q\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}x\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\mathrm{。}（13）

利用Holder不等式， 则有

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v(\sigma ,x)\right|}^p\mathrm{d}x\ge C_{\mathrm{0}}{(R+\sigma )}^{-n(p-\mathrm{1})}(V{(\sigma ))}^p,（14）

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(\sigma ,x)\right|}^q\mathrm{d}x\ge {\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{(R+\sigma )}^{-n(q-\mathrm{1})}(U{(\sigma ))}^q,（15）

其中， C_{\mathrm{0}}=C_{\mathrm{0}}(n,R,p)， {\tilde{C}}_{\mathrm{0}}={\tilde{C}}_{\mathrm{0}}(n,R,q)。

将式（14）和式（15）分别代入式（12）和式（13）可得

\begin{array}{c}U(t)\ge C_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }m(\mathrm{0})·\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{-n(p-\mathrm{1})}(V{(\sigma ))}^p\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,\end{array}（16）

\begin{array}{c}V(t)\ge \\ {\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{-n(q-\mathrm{1})}(U{(\sigma ))}^q\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\mathrm{。}\end{array}（17）

引入拉普拉斯算子的特征函数\Phi =\Phi (x)， 即

\Phi (x)=\left\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x},& n=\mathrm{1},\\ {\int }_{S^{n-\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{x\cdot \omega }\mathrm{d}{\sigma }_{\omega },& n\ge \mathrm{2}，\end{array}\right.

其中， S^{n-\mathrm{1}}是n-\mathrm{1}维球面， 并且满足\mathrm{\Delta }\Phi =\Phi， 且有

\Phi (x)\sim {\left|x\right|}^{-(n-\mathrm{1})/\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{|x|}(|x|\to +\mathrm{\infty })\mathrm{。}

定义检验函数

\Psi (t,x)={\mathrm{e}}^{-t}\Phi (x),

从而\Psi满足波动方程{\Psi }_{tt}-\mathrm{\Delta }\Psi =\mathrm{0}。定义函数

U_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\Psi (t,x)\mathrm{d}x,

V_{\mathrm{1}}(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\Psi (t,x)\mathrm{d}x\mathrm{。}

存在C_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{1}}(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}})>\mathrm{0}， {\tilde{C}}_{\mathrm{1}}={\tilde{C}}_{\mathrm{1}}(v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}})>0， 对\forall t\ge \mathrm{0}， 则有

\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{1}}(t)\ge \frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}}{\mathrm{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{0}}(x)\Phi (x)\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}}{\mathrm{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x)\Phi (x)\mathrm{d}x\ge C_{\mathrm{1}}\epsilon ,\end{array}

\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{1}}(t)\ge \frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}}{\mathrm{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{0}}(x)\Phi (x)\mathrm{d}x+\\ \frac{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}}{\mathrm{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x)\Phi (x)\mathrm{d}x\ge {\tilde{C}}_{\mathrm{1}}\epsilon \mathrm{。}\end{array}

可得

{\int }_{\left|x\right|\le R+t}{\left|\Psi (t,x)\right|}^{p/(p-\mathrm{1})}\mathrm{d}x\le C_{\mathrm{2}}{(R+t)}^{(n-\mathrm{1})(\mathrm{2}-q)/\mathrm{2}},

{\int }_{\left|x\right|\le R+t}{\left|\Psi (t,x)\right|}^{q/(q-\mathrm{1})}\mathrm{d}x\le C_{\mathrm{2}}{(R+t)}^{(n-\mathrm{1})(\mathrm{2}-p)/\mathrm{2}}，

其中， \mathrm{1}/p+\mathrm{1}/q=\mathrm{1}， C_{\mathrm{2}}=C_{\mathrm{2}}(n,R)>\mathrm{0}。利用Holder不等式， 得到

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(t,x)\right|}^q\mathrm{d}x\ge \\ (U_{\mathrm{1}}{(t))}^q{\left({\int }_{\left|x\right|\le R+t}{\left|\Psi (t,x)\right|}^{q/(q-\mathrm{1})}\mathrm{d}x\right)}^{-(q-\mathrm{1})}\ge C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{(R+t)}^{n-\mathrm{1}-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}},\end{array}（18）

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v(t,x)\right|}^p\mathrm{d}x\ge \\ (V_{\mathrm{1}}{(t))}^p{\left({\int }_{\left|x\right|\le R+t}{\left|\Psi (t,x)\right|}^{p/(p-\mathrm{1})}\mathrm{d}x\right)}^{-(p-\mathrm{1})}\ge {\tilde{C}}_{\mathrm{3}}{\epsilon }^p{(R+t)}^{n-\mathrm{1}-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}},\end{array}（19）

其中， C_{\mathrm{3}}={C_{\mathrm{1}}}^q{C_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}-q}>\mathrm{0}， {\tilde{C}}_{\mathrm{3}}={{\tilde{C}}_{\mathrm{1}}}^p{C_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}-p}>\mathrm{0}。

将式（18）和式（19）分别代入式（13）和式（12）， 得到

U(t)\ge {\tilde{C}}_{\mathrm{3}}m(\mathrm{0}){\epsilon }^p{c}_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{n-\mathrm{1}-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{\tilde{C}}_{\mathrm{3}}m(\mathrm{0}){\epsilon }^p{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\sigma }^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{\tilde{C}}_{\mathrm{3}}m(\mathrm{0}){\epsilon }^p{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}}{t}^{-\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\sigma }^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

\frac{{\tilde{C}}_{\mathrm{3}}m(\mathrm{0}){\epsilon }^p{c}_{\gamma }}{n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})}{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}}{t}^{n-\gamma +\mathrm{2}},（20）

V(t)\ge C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{c}_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{n-\mathrm{1}-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\sigma }^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}}{t}^{-\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\sigma }^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

\frac{C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{c}_{\gamma }}{n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})}{(R+t)}^{-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}}{t}^{n-\gamma +\mathrm{2}}\mathrm{。}（21）

对\forall t\ge \mathrm{0}， 假设

U(t)\ge D_{\mathrm{1}}{(R+t)}^{-{\alpha }_{\mathrm{1}}}{t}^{{\beta }_{\mathrm{1}}},（22）

V(t)\ge Q_{\mathrm{1}}{(R+t)}^{-a_{\mathrm{1}}}{t}^{b_{\mathrm{1}}},（23）

其中

D_{\mathrm{1}}=\frac{{\tilde{C}}_{\mathrm{3}}m(\mathrm{0}){\epsilon }^p{c}_{\gamma }}{n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})},Q_{\mathrm{1}}=\frac{C_{\mathrm{3}}{\epsilon }^q{c}_{\gamma }}{n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})},（24）

{\alpha }_{\mathrm{1}}=(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2},a_{\mathrm{1}}=(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2},（25）

{\beta }_{\mathrm{1}}=n-\gamma +\mathrm{2}， b_{\mathrm{1}}=n-\gamma +\mathrm{2}\mathrm{。}（26）

设

U(t)\ge D_j{(R+t)}^{-{\alpha }_j}{t}^{{\beta }_j},（27）

V(t)\ge Q_j{(R+t)}^{-a_j}{t}^{b_j},（28）

其中， {\left\{D_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}， {\left\{Q_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}， {\left\{{\alpha }_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}， {\left\{{\beta }_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}， {\left\{a_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}和{\left\{b_j\right\}}_{j\ge \mathrm{1}}是非负实数序列。将式（27）和式（28）分别代入式（17）和式（16）， 可得

U(t)\ge {Q_j}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{-n(p-\mathrm{1})-p{a}_j}{\sigma }^{p{b}_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{Q_j}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }{(R+t)}^{-n(p-\mathrm{1})-p{a}_j}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\sigma }^{p{b}_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{Q_j}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }{(R+t)}^{-n(p-\mathrm{1})-p{a}_j}{t}^{-\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\sigma }^{p{b}_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

\frac{{Q_j}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }}{(p{b}_j+\mathrm{1})(p{b}_j+\mathrm{2})(p{b}_j+\mathrm{3})}{(R+t)}^{-n(p-\mathrm{1})-p{a}_j}{t}^{p{b}_j+\mathrm{3}-\gamma },（29）

V(t)\ge {D_j}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{(R+\sigma )}^{-n(q-\mathrm{1})-q{\alpha }_j}{\sigma }^{q{\beta }_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{D_j}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-n(q-\mathrm{1})-q{\alpha }_j}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{(\tau -\sigma )}^{-\gamma }{\sigma }^{q{\beta }_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

{D_j}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }{(R+t)}^{-n(q-\mathrm{1})-q{\alpha }_j}{t}^{-\gamma }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\sigma }^{q{\beta }_j}\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge

\frac{{D_j}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }}{(q{\beta }_j+\mathrm{1})(q{\beta }_j+\mathrm{2})(q{\beta }_j+\mathrm{3})}{(R+t)}^{-n(q-\mathrm{1})-q{\alpha }_j}{t}^{q{\beta }_j+\mathrm{3}-\gamma }\mathrm{。}（30）

从而

D_{j+\mathrm{1}}=\frac{{Q_j}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }}{(p{b}_j+\mathrm{1})(p{b}_j+\mathrm{2})(p{b}_j+\mathrm{3})},

Q_{j+\mathrm{1}}=\frac{{D_j}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }}{(q{\beta }_j+\mathrm{1})(q{\beta }_j+\mathrm{2})(q{\beta }_j+\mathrm{3})},

{\alpha }_{j+\mathrm{1}}=n(p-\mathrm{1})+p{a}_j,

a_{j+\mathrm{1}}=n(q-\mathrm{1})+q{\alpha }_j,

{\beta }_{j+\mathrm{1}}=p{b}_j+\mathrm{3}-\gamma，

b_{j+\mathrm{1}}=q{\beta }_j+\mathrm{3}-\gamma。

利用式（22）和式（23）， 可以得到

\begin{array}{c}{\alpha }_j=n(p-\mathrm{1})+p{a}_{j-\mathrm{1}}=n(pq-\mathrm{1})+pq{\alpha }_{j-\mathrm{2}}=n(pq-\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}{(pq)}^k+{(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}=\\ (n+{\alpha }_{\mathrm{1}}){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n=(n+(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n,\end{array}（31）

\begin{array}{c}{\beta }_j=p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3}-\gamma =(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})+pq{\beta }_{j-\mathrm{2}}=(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}{(pq)}^k+{(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}=\\ \left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{1}}\right){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}=\\ \left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2}\right){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}\end{array}（32）

同理可得

a_j=(n+a_{\mathrm{1}}){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n=(n+(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n，（33）

\begin{array}{c}{b}_j=\left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}\right){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}=\\ \left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2}\right){(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}},\end{array}（34）

其中， 奇数j\ge \mathrm{3}。当j是偶数， 则j-\mathrm{1}是奇数， 利用式（32）和式（34）， 可知

{\beta }_j=p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3}-\gamma =q^{-\mathrm{1}}\left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2}\right){(pq)}^{j/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}},

b_j=q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3}-\gamma =p^{-\mathrm{1}}\left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2}\right){(pq)}^{j/\mathrm{2}}-\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}

计算得到

{\beta }_j\le B_{\mathrm{0}}{(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}， b_j\le {\tilde{B}}_{\mathrm{0}}{(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}， （j是奇数），

{\beta }_j\le B_{\mathrm{0}}{(pq)}^{j/\mathrm{2}}， b_j\le {\tilde{B}}_{\mathrm{0}}{(pq)}^{j/\mathrm{2}}， （j是偶数），

其中， B_{\mathrm{0}}=B_{\mathrm{0}}(p,q,n,\gamma )， {\tilde{B}}_{\mathrm{0}}={\tilde{B}}_{\mathrm{0}}(p,q,n,\gamma )是不依赖于j的正常数。可知

(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{1})(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{2})(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3})\le (p{b}_{j-\mathrm{1}}{+\mathrm{2})}^{\mathrm{3}}=({\beta }_j{+\gamma -\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}\le {{\beta }_j}^{\mathrm{3}}={B_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{(pq)}^{\mathrm{3}j/\mathrm{2}},

(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{1})(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{2})(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3})\le (q{\beta }_{j-\mathrm{1}}{+\mathrm{2})}^{\mathrm{3}}=(b_j{+\gamma -\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}\le {b_j}^{\mathrm{3}}={{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{(pq)}^{\mathrm{3}j/\mathrm{2}}\mathrm{。}

从而

D_j=\frac{{Q_{j-\mathrm{1}}}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }}{(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{1})(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{2})(p{b}_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3})}\le \frac{{Q_{j-\mathrm{1}}}^p{C}_{\mathrm{0}}m(\mathrm{0})c_{\gamma }}{{B_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j/\mathrm{2}},

Q_j=\frac{{D_{j-\mathrm{1}}}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }}{(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{1})(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{2})(q{\beta }_{j-\mathrm{1}}+\mathrm{3})}\le \frac{{D_{j-\mathrm{1}}}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c}_{\gamma }}{{{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j/\mathrm{2}}\mathrm{。}

计算可得

D_j\le \frac{m(\mathrm{0}){{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}}^p{C}_{\mathrm{0}}{c_{\gamma }}^{p+\mathrm{1}}}{{{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}p}{B_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j(p+\mathrm{1})/\mathrm{2}+\mathrm{3}p/\mathrm{2}}{D}_{j-\mathrm{2}}^{pq}=E_{\mathrm{0}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j(p+\mathrm{1})/\mathrm{2}}{D}_{j-\mathrm{2}}^{pq},（35）

Q_j\le \frac{m{(\mathrm{0})}^q{C_{\mathrm{0}}}^q{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}{c_{\gamma }}^{q+\mathrm{1}}}{{B_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}q}{{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j(q+\mathrm{1})/\mathrm{2}+\mathrm{3}q/\mathrm{2}}{Q}_{j-\mathrm{2}}^{pq}={\tilde{E}}_{\mathrm{0}}{(pq)}^{-\mathrm{3}j(q+\mathrm{1})/\mathrm{2}}{Q}_{j-\mathrm{2}}^{pq},（36）

其中， E_{\mathrm{0}}和{\tilde{E}}_{\mathrm{0}}是不依赖于j的正常数。得到

\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge (pq)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{j-\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{3}(p+\mathrm{1})}{\mathrm{2}}j\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{E}_{\mathrm{0}}\ge \cdot \cdot \cdot \ge \\ {(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{3}(p+\mathrm{1})}{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}((j-\mathrm{2}k){(pq)}^k)+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{E}_{\mathrm{0}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}{(pq)}^k,\end{array}

其中， j为奇数， 满足j\ge \mathrm{3}。计算可得

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}((j-\mathrm{2}k){(pq)}^k)=\frac{\mathrm{2}+(\mathrm{3}pq-\mathrm{1})}{{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}pq+j(pq-\mathrm{1})}{{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

因此， 有

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge {(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{3}(p+\mathrm{1})(\mathrm{3}pq-\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)}{\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{E}_{\mathrm{0}}}{pq-\mathrm{1}}\right)+

\frac{\mathrm{3}(p+\mathrm{1})(\mathrm{2}pq+j(pq-\mathrm{1}))\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)}{\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{E}_{\mathrm{0}}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}

同理可知

\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{Q}_j\ge {(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{Q}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{3}(q+\mathrm{1})(\mathrm{3}pq-\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)}{\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\tilde{E}}_{\mathrm{0}}}{pq-\mathrm{1}}\right)+\\ \frac{\mathrm{3}(q+\mathrm{1})(\mathrm{2}pq+j(pq-\mathrm{1}))\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)}{\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\tilde{E}}_{\mathrm{0}}}{pq-\mathrm{1}}\mathrm{。}\end{array}

因此， 对于所有奇数j， 当

j\ge j_{\mathrm{0}}=\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(pq)}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{E}_{\mathrm{0}}}{p+\mathrm{1}},\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\tilde{E}}_{\mathrm{0}}}{q+\mathrm{1}}\right\}-\frac{\mathrm{2}pq}{pq-\mathrm{1}}\right],

则有

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge {(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(D_{\mathrm{1}}{(pq)}^{-\mathrm{3}(p+\mathrm{1})(\mathrm{3}pq-\mathrm{1})/\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{E_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}/(pq-\mathrm{1})})={(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(E_{\mathrm{1}}{\epsilon }^p),（37）

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{Q}_j\ge {(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(Q_{\mathrm{1}}{(pq)}^{-\mathrm{3}(q+\mathrm{1})(\mathrm{3}pq-\mathrm{1})/\mathrm{2}{(pq-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{{\tilde{E}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}/(pq-\mathrm{1})})={(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}({\tilde{E}}_{\mathrm{1}}{\epsilon }^q),（38）

其中， E_{\mathrm{1}}和{\tilde{E}}_{\mathrm{1}}是不依赖于j的正常数。对于任意奇数j\ge j_{\mathrm{0}}， 结合式（27）， 式（31）， 式（32）和式（37）， 可以推出

\begin{array}{c}U(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(E_{\mathrm{1}}{\epsilon }^p)){(R+t)}^{-{\alpha }_j}{t}^{{\beta }_j}\ge \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(E_{\mathrm{1}}{\epsilon }^p)-\left(\frac{(n-\mathrm{1})p}{\mathrm{2}}+n\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(R+t)+\\ \left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t)\right){(R+t)}^n{t}^{-(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})}\mathrm{。}\end{array}

结合式（28）， 式（33）， 式（34）和式（38）， 可得

\begin{array}{c}V(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}({\tilde{E}}_{\mathrm{1}}{\epsilon }^q)){(R+t)}^{-a_j}{t}^{b_j}\ge \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}({\tilde{E}}_{\mathrm{1}}{\epsilon }^q)-\left(\frac{(n-\mathrm{1})q}{\mathrm{2}}+n\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(R+t)+\\ \left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+n-\gamma +\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t)\right){(R+t)}^n{t}^{-(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})}\mathrm{。}\end{array}

当t\ge R时， 则有\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(R+t)\le \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathrm{2}t)。可知

U(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(E_{\mathrm{1}}{\epsilon }^p{\mathrm{2}}^{-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}-n}{t}^{-(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}+(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})+\mathrm{2}-\gamma })){(R+t)}^n{t}^{-(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})},（39）

V(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({(pq)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}({\tilde{E}}_{\mathrm{1}}{\epsilon }^q{\mathrm{2}}^{-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}-n}{t}^{-(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}+(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})+\mathrm{2}-\gamma })){(R+t)}^n{t}^{-(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})/(pq-\mathrm{1})}\mathrm{。}（40）

由于

-\frac{(n-\mathrm{1})p}{\mathrm{2}}+\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+\mathrm{2}-\gamma =p\left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(p^{-\mathrm{1}}+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{p}-\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=p{F}_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma ),

-\frac{(n-\mathrm{1})q}{\mathrm{2}}+\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+\mathrm{2}-\gamma =q\left(\frac{(\mathrm{3}-\gamma )(q^{-\mathrm{1}}+\mathrm{1})}{pq-\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}-\gamma }{q}-\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=q{F}_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )\mathrm{。}

根据假设条件（6）， 当F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma )>\mathrm{0}， F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )>\mathrm{0}时， 引入{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(u_{\mathrm{0}}，u_{\mathrm{1}}，v_{\mathrm{0}}，v_{\mathrm{1}}，n，p，q，R,\gamma )>\mathrm{0}， 则有

(E_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}^{(n-\mathrm{1})p/\mathrm{2}+n}{)}^{\mathrm{1}/(p{F}_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma ))}=E_{\mathrm{2}}\ge {{\epsilon }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}/F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma )},

({\tilde{E}}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}^{(n-\mathrm{1})q/\mathrm{2}+n}{)}^{\mathrm{1}/(q{F}_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma ))}={\tilde{E}}_{\mathrm{2}}\ge {{\epsilon }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}/F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )}\mathrm{。}

因此， 当\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]， t>E_{\mathrm{2}}{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}^{-\mathrm{1}/F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma )}， t>{\tilde{E}}_{\mathrm{2}}{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}^{-\mathrm{1}/F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )}时， 在式（39）和式（40）中令j趋于+\mathrm{\infty }， 可知解的生命跨度满足

T(\epsilon )\le C{\epsilon }^{-\mathrm{1}/\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{F_{\mathrm{1}}(n,p,q,\gamma ),F_{\mathrm{2}}(n,p,q,\gamma )\right\}}\mathrm{。}

证毕。

3 结　论

本文研究了带幂次记忆项的波动方程耦合系统的Cauchy问题。本文将文献［6］中研究的带阻尼项的波动方程耦合系统推广为带散射阻尼项的波动方程耦合系统， 将文献［7］中研究的带幂次记忆项的单个波动方程推广为带幂次记忆项的波动方程耦合系统。通过构造合适的乘子克服了散射阻尼的影响。利用检验函数方法和迭代方法证明了问题的解会在有限时间内破裂， 进而给出解的生命跨度的上界估计。

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基金资助

山西省基础研究计划资助项目(20210302123045)

山西省基础研究计划资助项目(20210302123021)

山西省基础研究计划资助项目(20210302123182)