一些特殊图形线图和细分图的Sombor指数

The Sombor Index for Some Special Line Graphs and Subdivision Graphs

摘要

化学图可以通过数字（拓扑指数）、 代数多项式或矩阵来描述， 这些数字和多项式有助于预测化合物的许多潜在的物理化学性质， 尤其是在展示物质结构方面具有重要的应用价值。本文以Sombor指数为载体， 根据线图和细分图的概念， 通过对不同图的结构分析，利用边的划分技巧， 以及同类归纳等方法研究了友谊图、 风车图、 爆竹图、 香蕉树图、 轮图、 舵轮图、 齿轮图、 棒棒糖图、 网图、 花图和向日葵图等特殊图形的线图和细分图的Sombor指数， 并获得了这些指数的一般表达式。这些特殊图形的计算结果进一步揭示了基于度的拓扑指数与边的类型之间的关系， 可以作为其他更复杂图族研究的基础。

Abstract

Chemical graphs can be described by numbers （topological indices）， algebraic polynomials， or matrices.These numbers and polynomials help predict many potential physical and chemical properties of compounds， especially in demonstrating the structure of substances， which have important application value. By taking the Sombor index as a carrier， based on the concepts of line graphs and subdivision graphs， by analyzing the structures of different graphs， and using edge partition techniques and category induction method， we studied the Sombor indices of special graphs such as the friendship graph， dutch windmill graph， firecracker graph， banana tree graph， wheel graph， helm graph， gear graph， lollipop graph， web graph， flower graph， and sunflower graph， and obtained general expressions of these indices. The relationship between degree-based topological indices and the types of edges was further revealed. The computational results of these specific graphs can provide a foundation for studying other more complex graph families.

Graphical abstract

关键词

拓扑指数 / 线图 / 细分图 / Sombor指数

Key words

topological index / line graph / subdivision graph / Sombor index

0 引　言

图的拓扑指数是从化合物的分子结构图中衍生出来的一种数学不变量。拓扑指数（也称为图的不变量）由于其能有效地应用于量子化学、 计算机科学、 复杂网络、 动植物系统发育等许多领域而被众多学者所关注^［1‐4］。特殊图形拓扑指数的研究一直是大家关注的热点^［5‐7］。Chaluvaraju等^［8］计算了几类风车图， 如法国风车图、 荷兰风车图、 Kulli圈风车图和Kulli路风车图的增广Zagreb指数及其多项式。Hayat等^［9］计算了硅酸、 链状硅酸、 六角形、 氧化物和蜂窝网络的AB{C}_{\mathrm{4}}和G{A}_{\mathrm{5}}指数。Iqbal等^［10］分别计算了细分友谊图和细分友谊图线图的原子键连通度指数、 几何算术指数、 Randic指数、 和连通度指数和增广Zagreb指数的闭合公式。Su等^［11］利用细分概念研究了蝌蚪图、 轮图和阶梯图的线图的拓扑指标， 推广了Ranjini等的结果。Ali等^［12］计算了基于顶点的双荷兰风车图和强双荷兰风车图的拓扑指标。

2021年， Gutman^［13］基于分子的化学结构， 提出了一种新的拓扑指数——Sombor指数。实验表明， 与以往一些常用的指数相比， 这个新指数在预测苯烃类碳氢化合物理化性质方面具有较高的准确性^［14］。Liu等^［15］确定了给定顶点的化学树的最大和最小Sombor指数， 并刻画了它们的极图。Cruz等^［16］研究了单圈图和双圈图中Sombor指数的极值。Wang等^［17］对Sombor指数与其他基于度的拓扑指数的相关性进行了计算研究， 结果表明， Sombor指数与第一萨格勒布指数和遗忘指数具有良好的相关性。本文将研究友谊图、 风车图、 爆竹图、 香蕉树图、 轮图、 舵轮图、 齿轮图、 棒棒糖图、 网图、 花图和向日葵图等特殊图形线图和细分图的Sombor指数， 可以拓展基于度的拓扑指数与特殊图形之间的数值结果。

1 预备知识

设G=\left(V,E\right)是一个有限简单连通图， 其中顶点集为V=\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},\cdots ,u_{n_G}\right\}， 边集为E=E\left(G\right)， \left|V\left(G\right)\right|=n_G， \left|E\left(G\right)\right|=m_G。图G中和顶点v相关连的边数称为顶点v的度， 用d_G\left(v\right)表示（简记为d\left(v\right)）。

定义 1^［13］　Sombor指数的定义为

SO=SO\left(G\right)=\sum _{uv\in E\left(G\right)}\sqrt[]{{d_u}^{\mathrm{2}}+{d_v}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

定义 2^［18］　图G的线图记为L\left(G\right)（Line Graph）， 是指以图G的边集为顶点集， L\left(G\right)的两个顶点相邻当且仅当对应的G的两条边在G中相邻。也就是说， 若w_i{w}_j、 w_j{w}_k\in E(G)， 记w_i{w}_j为u\mathrm{\text{'}}， w_j{w}_k为v\mathrm{\text{'}}， 则u\mathrm{\text{'}}和v\mathrm{\text{'}}为L\left(G\right)的顶点， u\mathrm{\text{'}}v\mathrm{\text{'}}为L\left(G\right)的边。

定义 3^［19］　 S\left(G\right)是一个图的细分图（Subdivision Graph）， 是在G的每条边插入一个额外的顶点得到的图。即G的每条边都被一条长度为2的路径所取代。

引理^［20］ 设G是一个简单图， 则线图L\left(G\right)边的个数为

l=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{M}_{\mathrm{1}}\left(G\right)-m_G,

其中

M_{\mathrm{1}}\left(G\right)=\sum _{v\in V\left(G\right)}{d}_G^{\mathrm{2}}\left(v\right),

即

l=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{M}_{\mathrm{1}}\left(G\right)-m_G=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{v\in V\left(G\right)}{d}_G^{\mathrm{2}}\left(v\right)-m_G\mathrm{。}

2 定　理

本节将计算一些特殊图的线图和细分图的Sombor指数。

2.1 友谊图的线图和细分图的Sombor指数

友谊图F_n是将长度为3的圈图C_{\mathrm{3}}复制n次收缩在一个公共顶点所得， 如图 1 所示。友谊图是更大的风车图家族的成员。

定理 1　设L\left(F_n\right)和S\left(F_n\right)分别是友谊图F_n的线图和细分图， 则L\left(F_n\right)和S\left(F_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(F_n\right)\right)=\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}-n\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}，

SO\left(S\left(F_n\right)\right)=\mathrm{8}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}。

证明　 F_n边的个数为\mathrm{3}n， 所以L\left(F_n\right)的大小为\mathrm{3}n， F_n中度为2的点的个数为\mathrm{2}n， 度为\mathrm{2}n的点的个数为1。根据引理， L\left(F_n\right)的边的个数为\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+n。L\left(F_n\right)中度为\mathrm{2}n的点的个数为\mathrm{2}n。将L\left(F_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(F_n\right)的一条边， 用uv\in E(L(F_n))来表示。对于L\left(F_n\right)可以得到E\left(\mathrm{2,2}n\right)和E\left(\mathrm{2}n,\mathrm{2}n\right)等2种类型的边， 各类型边的个数如表 1 所示。

那么，

SO\left(L\left(F_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(F_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}+\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}-n\right)\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}-n\right)\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(F_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(F_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{8}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

2.2 风车图的线图和细分图的Sombor指数

风车图D_n^m是将长度为n的圈图C_n复制m次收缩在一个公共顶点所得的图族， 其中m为任意正整数。D_{\mathrm{4}}^m如图 2 所示， 且n=\mathrm{3}的情况与友谊图F_n相同。

定理 2　设L\left(D_n^m\right)和S\left(D_n^m\right)分别是风车图D_n^m的线图和细分图， 则L\left(D_n^m\right)和S\left(D_n^m\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(D_n^m\right)\right)=\mathrm{2}m\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{4}m\sqrt[]{m^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}m-\mathrm{1}\right)m^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(D_n^m\right)\right)=\mathrm{4}m\left(\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{1}+m^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

证明　 D_n^m边的个数为mn， 所以L\left(D_n^m\right)的大小为mn， D_n^m中度为2的点的个数为m\left(n-\mathrm{1}\right)， 度为\mathrm{2}m的点的个数为1。根据引理， L\left(D_n^m\right)的边的个数为\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}+nm-\mathrm{2}m。L\left(D_n^m\right)中度为2的点的个数为\left(n-\mathrm{2}\right)m， 度为\mathrm{2}m的点的个数为\mathrm{2}m。将L\left(D_n^m\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(D_n^m\right)的一条边， 对于L\left(D_n^m\right)可以得到E\left(\mathrm{2,2}\right)， E\left(\mathrm{2,2}m\right)和E\left(\mathrm{2}m,\mathrm{2}m\right)等3种类型的边， 各类型边的个数如表 2 所示。

那么，

SO\left(L\left(D_n^m\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(D_n^m\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

m\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}m\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m\right)}^{\mathrm{2}}}+

\left(\mathrm{2}m-\mathrm{1}\right)m\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m\right)}^{\mathrm{2}}}=\mathrm{2}m\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+

\mathrm{4}m\sqrt[]{m^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}m-\mathrm{1}\right)m^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(D_n^m\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(D_n^m\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}m\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}m\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}m\left(\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{1}+m^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

2.3 爆竹图的线图和细分图的Sombor指数

爆竹图F_{n,m}是由n个m-星图复制， 依次连接每个星图的一个叶子拼接而得到的图。F_{\mathrm{4,7}}如图 3 所示。

定理 3　设L\left(F_{n,m}\right)和S\left(F_{n,m}\right)分别是爆竹图F_{n,m}的线图和细分图， 则L\left(F_{n,m}\right)和S\left(F_{n,m}\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(F_{n,m}\right)\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{5}+\sqrt[]{\mathrm{9}+m^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right)+

\mathrm{4}\left(n-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}n-\mathrm{6}\right)\sqrt[]{\mathrm{16}+m^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}m+\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{m}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\left(m-\mathrm{2}\right)+

\left(n-\mathrm{2}\right)\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}m+\mathrm{4}},

SO\left(S\left(F_{n,m}\right)\right)=n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{5}}+

n\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{8}\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left(n-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{13}}\mathrm{。}

证明　 F_{n,m}边的个数为nm-\mathrm{1}， 所以L\left(F_{n,m}\right)的大小为nm-\mathrm{1}， F_{n,m}中度为1的点的个数为n\left(m-\mathrm{2}\right)， 度为2的点的个数为2， 度为3的点的个数为n-\mathrm{2}， 度为m-\mathrm{1}的点的个数为n。根据引理， L\left(F_{n,m}\right)的边的个数为\frac{n{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}nm+\mathrm{8}n-\mathrm{8}}{\mathrm{2}}。L\left(F_{n,m}\right)中度为3的点的个数为2， 度为4的点的个数为n-\mathrm{3}， 度为m-\mathrm{2}的顶点为n\left(m-\mathrm{2}\right)， 度为m-\mathrm{1}的点的个数为2， 度为m的点的个数为n-\mathrm{2}。将L\left(F_{n,m}\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(F_{n,m}\right)的一条边， 对于L\left(F_{n,m}\right)可以得到E\left(\mathrm{3,4}\right)， E\left(\mathrm{3},m\right)， E\left(\mathrm{3},m-\mathrm{1}\right)， E\left(\mathrm{4,4}\right)， E\left(\mathrm{4},m\right)， E\left(m-\mathrm{1},m-\mathrm{2}\right)， E\left(m-\mathrm{2},m-\mathrm{2}\right)和E\left(m-\mathrm{2},m\right)等8种类型的边， 各类型边的个数如表 3 所示。

那么，

SO\left(L\left(F_{n,m}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(F_{n,m}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\left(n-\mathrm{4}\right)\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\left(\mathrm{2}n-\mathrm{6}\right)\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}+

\begin{array}{c}\mathrm{2}\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\\ \frac{n{m}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+\left(m-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)}+\\ \left(n-\mathrm{2}\right)\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}=\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{2}\left(\mathrm{5}+\sqrt[]{\mathrm{9}+m^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right)+\\ \mathrm{4}\left(n-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}n-\mathrm{6}\right)\sqrt[]{\mathrm{16}+m^{\mathrm{2}}}+\end{array}

\begin{array}{c}\mathrm{2}\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}m+\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{m}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\left(m-\mathrm{2}\right)+\\ \left(n-\mathrm{2}\right)\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}m+\mathrm{4}},\end{array}

SO\left(S\left(F_{n,m}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(F_{n,m}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+

n\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}\left(n-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}=

n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{8}\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left(n-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{13}}\mathrm{。}

2.4 香蕉树图的线图和细分图的Sombor指数

香蕉树图B_{n,m}是通过n个m-星图复制， 所有星图中的任意一个叶子连接到一个公共顶点所得到的。B_{\mathrm{3,5}}如图 4 所示。

定理 4　设L\left(B_{n,m}\right)和S\left(B_{n,m}\right)分别是香蕉树B_{n,m}的线图和细分图， 则L\left(B_{n,m}\right)和S\left(B_{n,m}\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(B_{n,m}\right)\right)=\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n^{\mathrm{2}}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+

n\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}+n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}m+\mathrm{5}}+

\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\left(m-\mathrm{2}\right),

SO\left(S\left(B_{n,m}\right)\right)=

n\left(\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{5}}+\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

证明 B_{n,m}边的个数为nm， 所以L\left(B_{n,m}\right)的大小为nm， B_{n,m}中度为1的点的个数为n\left(m-\mathrm{2}\right)， 度为2的点的个数为n， 度为n的点的个数为1， 度为m-\mathrm{1}的点的个数为n。根据引理， L\left(B_{n,m}\right)的边的个数为\frac{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}n+n{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}nm}{\mathrm{2}}。L\left(B_{n,m}\right)中度为m-\mathrm{2}的点的个数为n\left(m-\mathrm{2}\right)， 度为m-\mathrm{1}的点的个数为n， 度为n的顶点为n。将L\left(B_{n,m}\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(B_{n,m}\right)的一条边， 对于L\left(B_{n,m}\right)可以得到E\left(n,n\right)， E\left(m-\mathrm{1},n\right)， E\left(m-\mathrm{1},m-\mathrm{2}\right)和E\left(m-\mathrm{2},m-\mathrm{2}\right)等4种类型的边， 各类型边的个数如表 4 所示。

那么，

SO\left(L\left(B_{n,m}\right)\right)=

\sum _{uv\in E\left(L\left(B_{n,m}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\frac{n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{n^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}+

n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\frac{n{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}=

\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n^{\mathrm{2}}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+n\sqrt[]{{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}+

n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}m+\mathrm{5}}+

\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{m}^{\mathrm{2}}-\mathrm{5}nm+\mathrm{6}n}{\mathrm{2}}\left(m-\mathrm{2}\right),

SO\left(S\left(B_{n,m}\right)\right)=

\sum _{uv\in E\left(S\left(B_{n,m}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

n\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+n\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}=

n\left(\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{\mathrm{5}}+\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{4}\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

2.5 轮图的线图和细分图的Sombor指数

轮图W_n是由一个顶点连接n阶圈上所有顶点形成的图， 即W_n=K_{\mathrm{1}}+C_n（其中， K_{\mathrm{1}}是一个孤立点， C_n是一个n阶圈）。W_{\mathrm{8}}如图 5 所示。轮图可以看作是星与圈的并。孤立点与圈上顶点之间的边称为辐边， 圈上的边称为边缘边。

定理 5　设L\left(W_n\right)和S\left(W_n\right)分别是轮图W_n的线图和细分图， 则L\left(W_n\right)和S\left(W_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(W_n\right)\right)=\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{16}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{2}}，

SO\left(S\left(W_n\right)\right)=n\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

证明　 W_n边的个数为\mathrm{2}n， 所以L\left(W_n\right)的大小为\mathrm{2}n， W_n中度为3的点的个数为n， 度为n的点的个数为1。根据引理， L\left(W_n\right)的边的个数为\frac{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}n}{\mathrm{2}}。L\left(W_n\right)中度为4的点的个数为n， 度为n+\mathrm{1}的点的个数为n。将L\left(W_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(W_n\right)的一条边， 对于L\left(W_n\right)可以得到E\left(n+\mathrm{1},n+\mathrm{1}\right)， E\left(\mathrm{4},n+\mathrm{1}\right)和E\left(\mathrm{4,4}\right)等3种类型的边， 各类型边的个数如表 5 所示。

那么，

SO\left(L\left(W_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(W_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\begin{array}{c}\frac{n\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\\ \mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}=\end{array}

\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{16}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(W_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(W_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{3}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}=

n\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

2.6 舵轮图的线图和细分图的Sombor指数

舵轮图H_n是由n阶圈C_n的每一个顶点都与同一个不在C_n上的顶点O相连， 然后在C_n的每点再增加一条悬边而得到的图^［21］。H_{\mathrm{8}}如图 6 所示， 即在轮图C_n边缘的每个点上， 添加一条悬挂边即为舵轮图。

定理 6　设L\left(H_n\right)和S\left(H_n\right)分别是舵轮图W_n的线图和细分图， 则L\left(H_n\right)和S\left(H_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(H_n\right)\right)=\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{36}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\frac{n\left(n+\mathrm{1}\right)\left(n+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(H_n\right)\right)=n\left(\mathrm{9}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

证明　 H_n边的个数为\mathrm{3}n， 所以L\left(H_n\right)的大小为\mathrm{3}n， H_n中度为1的点的个数为n， 度为4的点的个数为n， 度为n的顶点的个数为1。根据引理， L\left(H_n\right)的边的个数为\frac{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{11}n}{\mathrm{2}}。L\left(H_n\right)中度为3的点的个数为n， 度为6的点的个数为n， 度为n+\mathrm{2}的点的个数为n。将L\left(H_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(H_n\right)的一条边， 对于L\left(H_n\right)可以得到E\left(\mathrm{3,6}\right)， E\left(\mathrm{3},n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{6,6}\right)， E\left(\mathrm{6},n+\mathrm{2}\right)和E\left(n+\mathrm{2},n+\mathrm{2}\right)等5种类型的边， 各类型边的个数如表 6 所示。

那么，

SO\left(L\left(H_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(H_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{3}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\frac{n\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{36}+{\left(n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\frac{n\left(n+\mathrm{1}\right)\left(n+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(H_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(H_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

n\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}=

n\left(\mathrm{9}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

2.7 齿轮图的线图和细分图的Sombor指数

齿轮图是轮图的扩展。n齿轮图G_n是通过在轮图W_n边缘边的每对相邻顶点之间插入一个额外的顶点来获得的。本文考虑了W_{n,k}图。W_{n,k}图是W_n的\left(k-\mathrm{1}\right)均匀细分， 它是在轮图W_n的边缘边的每对相邻顶点之间插入\left(k-\mathrm{1}\right)个额外的顶点获得的。W_{\mathrm{8,3}}如图 7 所示。由此可知， 轮图W_n为W_{n,\mathrm{1}}， n齿轮图G_n为W_{n,\mathrm{2}}。

定理 7　设L\left(W_{n,k}\right)和S\left(W_{n,k}\right)分别是W_{n,k}的线图和细分图， 则L\left(W_{n,k}\right)和S\left(W_{n,k}\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(W_{n,k}\right)\right)=\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{3}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+\mathrm{2}n\left(k-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}},

\begin{array}{c}SO\left(S\left(W_{n,k}\right)\right)=\\ n\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{4}\left(k-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

证明　 W_{n,k}边的个数为n\left(k+\mathrm{1}\right)， 所以L\left(W_{n,k}\right)的大小为n\left(k+\mathrm{1}\right)， W_{n,k}中度为2的点的个数为n\left(k-\mathrm{1}\right)， 度为3的点的个数为n， 度为n的顶点的个数为1。根据引理， L\left(W_{n,k}\right)的边的个数为\frac{\mathrm{2}nk+n^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}n}{\mathrm{2}}。L\left(W_{n,k}\right)中度为2的点的个数为n\left(k-\mathrm{1}\right)， 度为3的点的个数为\mathrm{2}n， 度为n+\mathrm{1}的点的个数为n。将L\left(W_{n,k}\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(W_{n,k}\right)的一条边， 对于L\left(W_{n,k}\right)可以得到E\left(n+\mathrm{1},n+\mathrm{1}\right)， E\left(\mathrm{3},n+\mathrm{1}\right)， E\left(\mathrm{3,3}\right)， E\left(\mathrm{3,2}\right)和E\left(\mathrm{2,2}\right)等5种类型的边， 各类型边的个数如表 7 所示。

那么，

SO\left(L\left(W_{n,k}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(W_{n,k}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\frac{n\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+n\left(k-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}=

\sqrt[]{\mathrm{2}}\frac{n{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{9}+{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{3}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+\mathrm{2}n\left(k-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(W_{n,k}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(W_{n,k}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{3}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\left(k-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}=

n\left(\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}+\sqrt[]{\mathrm{4}+n^{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{4}\left(k-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}\mathrm{。}

2.8 棒棒糖图的线图和细分图的Sombor指数

棒棒糖图L_{m,n}\left(m\ge \mathrm{3}\right)是通过将完全图K_m连接到路径P_n而获得的图。L_{\mathrm{4,3}}如图 8 所示。

定理 8　设L\left(L_{m,n}\right)和S\left(L_{m,n}\right)分别是棒棒糖图L_{m,n}的线图和细分图， 则L\left(L_{m,n}\right)和S\left(L_{m,n}\right)的Sombor指数为

\begin{array}{c}SO\left(L\left(L_{m,n}\right)\right)=\sqrt[]{\mathrm{5}}+\mathrm{2}\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{m^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}+\\ \left(m-\mathrm{1}\right)\left(\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}+\right.\end{array}

\left.\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{3}}\right),

SO\left(S\left(L_{m,n}\right)\right)={\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+m\sqrt[]{\mathrm{4}+m^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{5}}\mathrm{。}

证明　 L_{m,n}边的个数为\frac{m\left(m-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+n， 所以L\left(L_{m,n}\right)的大小为\frac{m\left(m-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+n， L_{m,n}中度为1的点的个数为1， 度为2的点的个数为n-\mathrm{1}， 度为m的点的个数为1， 度为m-\mathrm{1}的点的个数为m-\mathrm{1}。根据引理， L\left(L_{m,n}\right)的边的个数为\frac{m^{\mathrm{3}}-\mathrm{3}{m}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}m+\mathrm{2}n-\mathrm{4}}{\mathrm{2}}。L\left(L_{m,n}\right)中度为\mathrm{2}\left(m-\mathrm{2}\right)的点的个数为\frac{m^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}m}{\mathrm{2}}， 度为\mathrm{2}m-\mathrm{3}的点的个数为m， 度为m的点的个数为1， 度为2的点的个数为n-\mathrm{2}， 度为1的点的个数为1。将L\left(L_{m,n}\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(L_{m,n}\right)的一条边， 对于L\left(L_{m,n}\right)可以得到E\left(\mathrm{1,2}\right)， E\left(\mathrm{2,2}\right)， E\left(m,\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3},m\right)， E\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3,2}m-\mathrm{4}\right)和E\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4,2}m-\mathrm{4}\right)等6种类型的边， 各类型边的个数如表 8 所示。

那么，

SO\left(L\left(L_{m,n}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(L_{m,n}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{m^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}+

\left(m-\mathrm{2}\right)\left(m-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}}+\frac{\left(m-\mathrm{1}\right){\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}}=

\sqrt[]{\mathrm{5}}+\mathrm{2}\left(n-\mathrm{3}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{m^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}+\left(m-\mathrm{1}\right)\left(\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}\left.+\left(m-\mathrm{2}\right)\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}m-\mathrm{4}\right)}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}{\left(m-\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{3}}\right)\right.,

SO\left(S\left(L_{m,n}\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(L_{m,n}\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\begin{array}{c}{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+m\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}}+\\ \mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}=\end{array}

\begin{array}{c}{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{4}+{\left(m-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}+m\sqrt[]{\mathrm{4}+m^{\mathrm{2}}}+\\ \mathrm{4}\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathrm{5}}\mathrm{。}\end{array}

2.9 网图的线图和细分图的Sombor指数

网图W_n定义为广义棱镜图Y_{n+\mathrm{1,3}}去掉外循环边缘^［22］。W_{\mathrm{6}}如图 9 所示。

定理 9　设L\left(W_n\right)和S\left(W_n\right)分别是网图W_n的线图和细分图， 则L\left(W_n\right)和S\left(W_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(W_n\right)\right)=\mathrm{10}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{39}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{61}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\sqrt[]{\mathrm{34}},

SO\left(S\left(W_n\right)\right)=n\left(\mathrm{9}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}\right)\mathrm{。}

证明　 W_n边的个数为\mathrm{4}n， 所以L\left(W_n\right)的大小为\mathrm{4}n， W_n中度为1的点的个数为n， 度为3的点的个数为n， 度为4的点的个数为n。根据引理， L\left(W_n\right)的边的个数为\mathrm{9}n。L\left(W_n\right)中度为4的点的个数为n， 度为5的点的个数为n， 度为6的点的个数为n， 度为3的点的个数为n。将L\left(W_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(W_n\right)的一条边， 对于L\left(W_n\right)可以得到E\left(\mathrm{4,4}\right)， E\left(\mathrm{4,5}\right)， E\left(\mathrm{5,6}\right)， E\left(\mathrm{6,6}\right)， E\left(\mathrm{6,3}\right)和E\left(\mathrm{5,3}\right)等6种类型的边， 各类型边的个数如表 9 所示。

那么，

SO\left(L\left(W_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(W_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{39}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{61}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\sqrt[]{\mathrm{34}}=

\mathrm{10}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{39}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{61}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{5}}+n\sqrt[]{\mathrm{34}},

SO\left(S\left(W_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(W_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

n\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{3}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}=

n\left(\mathrm{9}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{13}}\right)\mathrm{。}

2.10 花图的线图和细分图的Sombor指数

花图F{l}_n是由舵轮图确定的， 由舵轮图中每条悬边的单点（度为1的点）与顶点O相连得到， F{l}_{\mathrm{4}}如图 10 所示。

定理 10　设L\left(F{l}_n\right)和S\left(F{l}_n\right)分别是花图F{l}_n的线图和细分图， 则L\left(F{l}_n\right)和S\left(F{l}_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(F{l}_n\right)\right)=\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{5}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{10}}+

\begin{array}{c}\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{1}}+n^{\mathrm{2}}\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+\\ n\left(n-\mathrm{1}\right)\left(n+\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}},\end{array}

SO\left(S\left(F{l}_n\right)\right)=\mathrm{4}n\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

证明　 F{l}_n边的个数为\mathrm{4}n， 所以L\left(F{l}_n\right)的大小为\mathrm{4}n， F{l}_n中度为2的点的个数为n， 度为4的点的个数为n， 度为\mathrm{2}n的顶点的个数为1。根据引理， L\left(F{l}_n\right)的边的个数为\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}n。L\left(F{l}_n\right)中度为4的点的个数为n， 度为6的点的个数为n， 度为\mathrm{2}n的点的个数为n， 度为\mathrm{2}n+\mathrm{2}的点的个数为n。将L\left(F{l}_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(F{l}_n\right)的一条边， 对于L\left(F{l}_n\right)可以得到E\left(\mathrm{4,6}\right)， E\left(\mathrm{4,2}n\right)， E\left(\mathrm{4,2}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{6,6}\right)， E\left(\mathrm{6,2}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{2}n,\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{2}n,\mathrm{2}n\right)和E\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2,2}n+\mathrm{2}\right)等8种类型的边， 各类型边的个数如表 10 所示。

那么，

SO\left(L\left(F{l}_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(F{l}_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}+

n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+

n^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\frac{n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}+

\frac{n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{5}}+

\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{n^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{10}}+

\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n+\mathrm{1}}+

n^{\mathrm{2}}\left(n-\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}}+n\left(n-\mathrm{1}\right)\left(n+\mathrm{1}\right)\sqrt[]{\mathrm{2}},

SO\left(S\left(F{l}_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(F{l}_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}n\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{4}n\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{1}+n^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

2.11 向日葵图的线图和细分图的Sombor指数

向日葵图S{f}_n是通过增加n个点与花图的顶点O相连得到， S{f}_{\mathrm{4}}如图 11 所示。

定理 11　设L\left(S{f}_n\right)和S\left(S{f}_n\right)分别是花图S{f}_n的线图和细分图， 则L\left(S{f}_n\right)和S\left(S{f}_n\right)的Sombor指数为

SO\left(L\left(S{f}_n\right)\right)=\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+n\sqrt[]{\mathrm{16}+\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{20}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{40}}+n^{\mathrm{2}}\left(\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{4}}+\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}n+\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}n+\mathrm{1}}\right)+\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{9}n+\mathrm{1}\right),

\begin{array}{c}SO\left(S\left(S{f}_n\right)\right)\\ =n\left(\mathrm{4}\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{5}\sqrt[]{\mathrm{4}+\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{\mathrm{5}}\right)\mathrm{。}\end{array}

证明　 S{f}_n边的个数为\mathrm{5}n， 所以L\left(S{f}_n\right)的大小为\mathrm{5}n， S{f}_n中度为1的点的个数为n， 度为2的点的个数为n， 度为4的点的个数为n， 度为\mathrm{3}n的顶点的个数为1。根据引理， L\left(S{f}_n\right)的边的个数为\frac{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{11}n}{\mathrm{2}}。L\left(S{f}_n\right)中度为4的点的个数为n， 度为6的点的个数为n， 度为\mathrm{3}n的点的个数为n， 度为\mathrm{3}n+\mathrm{2}的点的个数为n， 度为\mathrm{3}n-\mathrm{1}的点的个数为n。将L\left(S{f}_n\right)的边划分为E\left(d_u,d_v\right)类型的边， 其中uv是L\left(S{f}_n\right)的一条边， 对于L\left(S{f}_n\right)可以得到E\left(\mathrm{4,6}\right)， E\left(\mathrm{4,3}n\right)， E\left(\mathrm{4,3}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{6,6}\right)， E\left(\mathrm{6,3}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{3}n,\mathrm{3}n\right)， E\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2,3}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{3}n,\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1,3}n+\mathrm{2}\right)， E\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1,3}n\right)和E\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1,3}n-\mathrm{1}\right)等11种类型的边， 各类型边的个数如表 11 所示。

那么，

SO\left(L\left(S{f}_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(L\left(S{f}_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}}+

n\sqrt[]{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+

n^{\mathrm{2}}\left(\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}}\right)+

+\frac{n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left(\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{{\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}\right)=

\mathrm{4}n\sqrt[]{\mathrm{13}}+n\sqrt[]{\mathrm{16}+\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{20}}+\mathrm{6}n\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{40}}+

n^{\mathrm{2}}\left(\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}n+\mathrm{4}}+\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}n+\mathrm{5}}+\sqrt[]{\mathrm{18}{n}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}n+\mathrm{1}}\right)+\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}n\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{9}n+\mathrm{1}\right),

SO\left(S\left(S{f}_n\right)\right)=\sum _{uv\in E\left(S\left(S{f}_n\right)\right)}\sqrt[]{deg{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}+deg{\left(v\right)}^{\mathrm{2}}}=

\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{4}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{3}n\right)}^{\mathrm{2}}}+n\sqrt[]{{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}+{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}=

n\left(\mathrm{4}\left(\sqrt[]{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{5}\sqrt[]{\mathrm{4}+\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}}}+\sqrt[]{\mathrm{5}}\right)\mathrm{。}

3 结　论

拓扑指数是图的一种数学符号， 本文详细阐述了友谊图、 风车图、 爆竹图、 香蕉树图、 轮图、 舵轮图、 齿轮图、 棒棒糖图、 网图、 花图和向日葵图的定义， 找到了这些图的线图和细分图的Sombor指数的一般表达式。后续还可以对这些图形的其他拓扑指数， 或者其他图形的Sombor指数进行研究。

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基金资助

山西省回国留学人员科研项目(2022-149)