非强k经典态基于Tsallis相对熵的量子失谐

Quantum Discord of Non⁃Strong⁃k⁃Classical States Based on Tsallis Relative Entropy

摘要

本文利用Tsallis相对熵研究了多体复合系统非强k经典态的关联程度。首先， 基于两体系统完全经典态的概念， 给出了多体量子系统中强k经典态的定义； 其次， 提出了非强k经典态相对于k体分划的基于Tsallis相对熵的量子失谐， 并证明了其满足必要的物理性质， 接着与其他的关联测度进行了比较； 最后， 讨论了该关联测度在量子信道下的演化问题。研究表明： 所提出的关联测度为量化复合系统不同子系统之间关联程度提供了一个工具， 另外通过关联测度对量子态进行评估， 可以优化量子算法的实现， 并提高量子信息处理的效率。

Abstract

The strength of correlation of non-strongly-k-classical states in multipartite composite system was studied using Tsallis relative entropy. Firstly， based on the concept of the fully classical state in bipartite system， the definition of the strongly-k-classical states in multipartite quantum system was given. Secondly， the quantum discord based on Tsallis relative entropy of non-strongly-k-classical states with respect to subsystem partitions was proposed， and it was proved that it satisfies the necessary physical properties. Then， it was compared with other correlation measures. Finally， the evolution problem of this correlation measure under a quantum channel was discussed. The research shows that the proposed correlation measure provides a tool for quantifying the strength of correlation between different subsystems in a quantum system. In addition， by evaluating quantum states through correlation measures can optimize the implementation of quantum algorithms and improve the efficiency of quantum information processing.

关键词

Tsallis相对熵 /

k

体分划 / 强

k

经典态 / 量子失谐 / 量子信道

Key words

Tsallis relative entropy /

k

-partition / strongly-

k

-classical states / quantum discord / quantum channel

0 引 言

量子关联作为一种关键的物理资源， 在量子通信、 量子计算等多个领域中得到了广泛的关注和应用^［1‐3］， 量子纠缠是其中一种最基本的关联^［4‐13］。随着研究的深入， 人们认识到， 仅通过纠缠来探讨量子关联是不充分的， 量子关联同样存在于可分态之中^［14］。目前， 除纠缠以外， 量子关联的类型还有很多， 例如量子失谐^［15］、 量子导引^［16］、 量子亏损^［17］、 Bell局域性^［18］和量子相干^［19］等。量子失谐是研究这类关联的一个著名且流行的指标， 最初由Ollivier等^［20］和Henderson等^［2］提出， 因其可用于某些量子计算模型^［21］、 量子态融合^{［22‐23］}以及量子态信息编码^［24］而日益受到关注。2023年， Xiong等^［25］对三体量子系统的几何失谐进行量化， 得出其解析公式， 并说明其与纠缠和量子态辨别之间的关系。2024年， Luo等^［26］研究了多体系统中的量子失谐及其动力学， 给出n量子比特态的量子失谐的解析公式， 并对两体系统和多体系统中量子失谐的动力学性质进行研究。本文主要考虑多体系统中量子失谐的量化问题。

在量子信息理论中， 量化两体或多体量子态的关联测度是一个基本且关键的问题。目前， 在两体复合系统中量化量子态的关联测度已得到了广泛的研究， 但对多体态的内部结构仍需进一步讨论， 特别是对多体量子态给予更清晰的分类仍是值得注意的问题。此外， 各种多体量子态的关联测度之间有什么联系， 这些关联测度是否能够给多体量子态一个更清晰的刻画和数学理解， 这些问题都有待研究。

相对熵作为一种关键的物理量， 在研究量子关联方面扮演着至关重要的角色。目前， 研究者已经提出了众多基于相对熵的关联测度， 例如： 李俊青等^［27］探究了量子态在两体和k体下基于min相对熵的量子关联测度， 旨在更精确地描述量子态之间的相互关联特性， 以及评估复合量子系统中各个子系统之间的相互关联程度。通过对量子态进行评估， 可以优化量子算法， 提高量子信息处理的效率。Tsallis相对熵在量子信息论中有许多重要的应用， 同时也为广义热统计奠定了基础。2003年， Abe^［28］定义了\rho和\sigma之间的Tsallis相对熵

D_q(\rho ||\sigma )=\frac{\mathrm{1}-Tr[{\rho }^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q}]}{\mathrm{1}-q},（1）

式中： q>\mathrm{0}且q\ne \mathrm{1}。接着， 在2004年， Furuichi等^［29］对Tsallis相对熵在经典与量子系统中的基本特性进行探究， 在量子系统中其性质如下：

1） D_q(\rho ||\sigma )\ge \mathrm{0}， 且D_q(\rho ||\sigma )=\mathrm{0}\iff \rho =\sigma；

2） D_{\mathrm{q}}(\sum _i{p}_i{\rho }_i||\sum _i{p}_i{\sigma }_i)\le \sum _i{p}_i{D}_{\mathrm{q}}({\rho }_i||{\sigma }_i)， 其中p_i\ge \mathrm{0}且\sum _i{p}_i=\mathrm{1}；

3） 对任意的酉操作U， 有 D_q(U\rho U^{†}||U\sigma U^{†})=D_q(\rho ||\sigma )；

4） D_q\left(\mathrm{\Phi }\left(\rho \right)||\mathrm{\Phi }\left(\sigma \right)\right)\le D_q\left(\rho ||\sigma \right)， \Phi是任意完全正定且保迹的线性映射。

Vershynina^［30］基于Tsallis相对熵定义了新的相干测度， 同时引进了基于Tsallis相对熵的量子失谐。受此启发， 本文主要研究非强k经典态基于Tsallis相对熵的关联测度。

考虑m体复合系统H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， 记\mathit{𝒮}(H)表示H上的全体量子态组成的集合。首先给出k(\mathrm{2}\le k\le m)体分划的概念， 根据文献［31］， 记\{A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},\cdots ,A_k\}表示H的任意一个分划， 若其满足：

1） 对所有的i\ne j(i,j=\mathrm{1,2},\cdots ,k)， 有 A_i\bigcap A_j=\mathrm{\varnothing }；

2） A_{\mathrm{1}}\bigcup A_{\mathrm{2}}\bigcup \cdots \bigcup A_k=\{\mathrm{1,2},\cdots ,m\}， 且H=H^{A_{\mathrm{1}}}\otimes H^{A_{\mathrm{2}}}\otimes \cdots \otimes H^{A_k}，

其中， H^{A_i}={\otimes }_{j=\mathrm{1}}^{k_i}{H}_{n_{ij}}表示系统A_i对应的Hilbert空间， A_i=\left\{n_{i\mathrm{1}}，n_{i\mathrm{2}，}\cdots ，n_{ik}\right\}， ， 则称这个分划为H中的k体分划。

通过将物理系统k体分划有助于理解纠缠以及其它形式的关联分布。例如： 考虑多量子比特系统， 通过k体分划研究子系统之间是如何相互纠缠（或关联）的， 分析纠缠（或关联）在这些子系统之间如何存在和变化， 对于研究量子纠缠（或关联）的结构和量化纠缠（或关联）程度等问题有重要价值。另一方面， 从计算角度看， k体分划与量子计算的复杂度相关， 不同的分划方式可能对应不同的计算资源需求。在量子信息存储方面， 合理的k体分划能够帮助设计更高效的存储方案， 确定信息在不同子空间中的编码方式， 进而提升存储容量和信息读取效率。因此， 研究k体分划下的关联程度具有重要意义。鉴于此， 本文考虑多体量子系统相对于体分划的情况， 提出一个新的多体复合系统下的关联测度， 并研究了该关联测度在一致{\tilde{A}}^{(k)}信道下的影响。

1 非强k经典态基于Tsallis相对熵的关联测度

为了得出本文的主要结果， 首先给出一些基本概念和术语。

设H_{\mathrm{1}},H_{\mathrm{2}},\cdots ,H_m是可分的复Hilbert空间， 分别对应量子系统1，2，…，m， 且H=H_{\mathrm{1}}\otimesH_{\mathrm{2}}\otimes…\otimesH_m， 。记\mathit{𝒮}(H)表示H上的全体量子态组成的集合， \mathrm{ℬ}(H)表示H上的全体有界线性算子组成的集合， B\in \mathrm{ℬ}(H)， 如果B^{†}=B（B^{†}代表B的共轭算子）， 则称B是自伴算子； 如果B^{†}=B且（对于所有|\psi >\in H）， 则称B为正定算子， 用B\ge \mathrm{0}表示。量子态是用密度算子\rho来描述的， \rho是一个迹为1的正定算子。如果Tr{\rho }^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}， 则称\rho为纯态， 否则称\rho为混合态。纯态的密度算子也可表示为。

定义 1　设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， dim(H)<+\mathrm{\infty }， \rho \in \mathit{𝒮}(H)。对于一个固定的k\in \{\mathrm{2,3},\cdots ,m\}， 如果存在H的一个k体分划{\tilde{A}}^{(k)}\doteq A_{\mathrm{1}}|A_{\mathrm{2}}|\cdots |A_k， 使得

{\Pi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )=\sum _{\mu }{\Pi }_{\mu }^{{\tilde{A}}^{(k)}}\rho {\Pi }_{\mu }^{{\tilde{A}}^{(k)}}=\rho，（2）

式中： \mu =\{{\mu }_{j_{\mathrm{1}}},{\mu }_{j_{\mathrm{2}}},\cdots ,{\mu }_{j_k}\}是向量指标， {\Pi }_{\mu }^{{\tilde{A}}^{(k)}}={\Pi }_{{\mu }_{j_{\mathrm{1}}}}^{(A_{\mathrm{1}})}\otimes {\Pi }_{{\mu }_{j_{\mathrm{2}}}}^{(A_{\mathrm{2}})}\otimes \cdots \otimes {\Pi }_{{\mu }_{j_k}}^{(A_k)}， {\Pi }_{{\mu }_{j_i}}^{(A_i)}=|{\mu }_{j_i}^{(A_i)}〉〈{\mu }_{j_i}^{(A_i)}|是H^{A_i}的完备的正交投影测量集， 即von Neumann测量集。这里， H^{A_i}表示由k体分划{\tilde{A}}^{(k)}的第i个子系统A_i组成的系统， 且\{|{\mu }_{j_i}^{(A_i)}>\}是H^{A_i}的任意且固定的正交基， 满足以上条件的\rho称为相对于k体分划{\tilde{A}}^{(k)}的k经典态。

注意， 关于k体分划{\tilde{A}}^{(k)}的k经典态集合与H^{A_i}空间正交基的选择无关。用{\mathrm{𝒮}}_{k-C}^{{\tilde{A}}^{(k)}}(H)代表所有相对于{\tilde{A}}^{(k)}的k经典态组成的集合。如果一个量子态\rho对于任意k体分划都是k经典态， 则称\rho是强k经典态。所有强k经典态的集合用{\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)表示。易知{\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)=\underset{{\tilde{A}}^{(k)}}{\cap }{\mathit{𝒮}}_{k-C}^{{\tilde{A}}^{(k)}}(H)。

2008年， Luo^［32］给出了两体复合系统经典关联态的一个等价定义。受此启发， 本文给出了相对于k体分划的强k经典态的等价定义。

定义 2　设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(H)<+\mathrm{\infty }， \rho \in \mathrm{𝒮}(H)， 对于一个固定的k\in \{\mathrm{2,3},\cdots ,m\}， 如果存在H的一个k体分划{\tilde{A}}^{(k)}\doteq A_{\mathrm{1}}|A_{\mathrm{2}}|\cdots |A_k， 以及H^{A_j}的正交集\{|i_j>\}， 使得， 其中， p_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_k}是联合概率分布， 满足p_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_k}\ge \mathrm{0}且\sum _{i_{\mathrm{1}},i_{\mathrm{2}},\cdots ,i_k}{p}_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}\cdots i_k}=\mathrm{1}， 则称\rho相对于k体分划{\tilde{A}}^{(k)}为k经典态， 即\rho \in {\mathit{𝒮}}_{k-C}^{{\tilde{A}}^{(k)}}(H)。如果对于任意k体分划， \rho都是k经典态， 则称\rho为强k经典态， 记为\rho \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)。

定义 3 设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(H)<+\mathrm{\infty }， \rho \in \mathrm{𝒮}(H)， 则\rho相对于k体分划且基于量子Tsallis相对熵的关联测度定义为

Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)=\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{D}_q\left(\rho ||\sigma \right)，（3）

其中， D_q\left(\rho ||\sigma \right)如公式（1）定义， 且q>\mathrm{0}，q\ne \mathrm{1}。

接下来将证明所提出的量子关联测度的定义是合理的， 即满足作为关联测度的一些基本物理要求。

定理 1 设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， ， \rho \in \mathrm{𝒮}(H)， 则下面4个结果成立。

1） Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)\ge \mathrm{0}， 当且仅当\rho \in {\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)时， Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)=\mathrm{0}；

2） 设U_i(i=\mathrm{1,2},\cdots ,m)是分别作用于H_i上的酉算子， U=U_{\mathrm{1}}\otimes U_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes U_m是作用于H上的整体酉操作， 则Q_T^{\left(k\right)}(U_{\mathrm{1}}\otimes U_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes U_m\rho U_m^{†}\otimes U_{m-\mathrm{1}}^{†}\cdots \otimes U_{\mathrm{1}}^{†})=Q_T^{\left(k\right)}(\rho )；

3） Q_T^{\left(k\right)}(\Phi (\rho ))\le Q_T^{\left(k\right)}(\rho )， 其中\Phi是完全正定且保迹的线性映射；

4） Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)相对于输入态是凸的， 即 Q_T^{\left(k\right)}\left(\sum _i{p}_i{\rho }_i\right)\le \sum _i{p}_i{Q}_T^{\left(k\right)}({\rho }_i)， 其中， p_i\ge \mathrm{0}且\sum _i{p}_i=\mathrm{1}。

证明　1） 根据Tsallis相对熵的性质， 显然有D_q(\rho ||\sigma )\ge \mathrm{0}。如果Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)=\mathrm{0}， 那么存在一个\sigma \in {\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)， 使得D_q(\rho ||\sigma )=\mathrm{0}。根据Tsallis相对熵的性质， 得\rho =\sigma， 反之， 如果\rho \in {\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)， 则Q_T^{\left(k\right)}(\rho )=\mathrm{0}。

2）由于Tsallis相对熵在局部酉操作下保持不变， 即D_q(U\rho U^{†}||U\sigma U^{†})=D_q(\rho ||\sigma )， 有

\begin{array}{c}{Q}_T^{\left(k\right)}(U_{\mathrm{1}}\otimes U_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes U_m\rho U_m^{†}\otimes \\ U_{m-\mathrm{1}}^{†}\cdots \otimes U_{\mathrm{1}}^{†})=Q_T^{\left(k\right)}(\rho )\mathrm{。}\end{array}

3） 对于任意密度算子\rho和\sigma， 设\Phi是完全正定且保迹的线性映射， 根据Tsallis相对熵的性质， 有D_q(\Phi (\rho )||\Phi (\sigma ))\le D_q(\rho ||\sigma )， 则Q_T^{\left(k\right)}(\Phi (\rho ))\le Q_T^{\left(k\right)}(\rho )。

4） 设存在{\rho }_i^{\mathrm{*}}， 使得Q_T^{\left(k\right)}(\rho )=D_q(\rho ||{\rho }_i^{\mathrm{*}})， 有

D_q(\sum _i{p}_i{\rho }_i||\sum _i{p}_i{\sigma }_i)\le \sum _i{p}_i{D}_q({\rho }_i||{\sigma }_i)，（4）

则

Q_T^{(k)}(\sum _i{p}_i{\rho }_i)=\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{D}_q(\sum _i{p}_i{\rho }_i||\sigma )\le

D_q(\sum _i{p}_i{\rho }_i||\sum _i{p}_i{\rho }_i^{\mathrm{*}})\le \sum _i{p}_i{D}_q({\rho }_i||{\rho }_i^{\mathrm{*}})=

\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\sum _i{p}_i{D}_q({\rho }_i||\sigma )=\sum _i{p}_i{Q}_T^{(k)}({\rho }_i)\mathrm{。}（5）

证毕。

定理 2 设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m， ， {\rho }_n,\rho \in \mathrm{𝒮}(H)， 如果\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\rho }_n=\rho（按迹范数拓扑）， 则\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{Q}_T^{(k)}({\rho }_n)=Q_T^{(k)}(\rho )。

证明　由定义3以及Tsallis相对熵的基本特性， 可得

Q_T^k({\rho }_n)=\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}-\mathrm{T}\mathrm{r}({\rho }_n^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q})}{\mathrm{1}-q}=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-q}[\mathrm{1}-\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{T}\mathrm{r}({\rho }_n^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q})]=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-q}\left\{\mathrm{1}-\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{T}\mathrm{r}[({\rho }_n^q-{\rho }^q+{\rho }^q){\sigma }^{\mathrm{1}-q}]\right\}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-q}\left\{\mathrm{1}-\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{T}\mathrm{r}[({\rho }_n^q-{\rho }^q){\sigma }^{\mathrm{1}-q}+{\rho }^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q}]\right\}\to

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-q}[\mathrm{1}-\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{T}\mathrm{r}({\rho }^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q})](n\to +\mathrm{\infty })=

\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{\mathrm{1}-\mathrm{T}\mathrm{r}({\rho }^q{\sigma }^{\mathrm{1}-q})}{\mathrm{1}-q}=Q_T^{(k)}(\rho ),（6）

即\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{Q}_T^{\left(k\right)}\left({\rho }_n\right)=Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)， 证毕。

接下来， 给出Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)与基于负阶Tsallis相对熵的关联测度的关系。2019年， Seo^［33］引入负阶的Tsallis相对熵

N{T}_q(\rho ||\sigma )=-\mathrm{T}\mathrm{r}[T_q(\rho ||\sigma )]=

-\mathrm{T}\mathrm{r}\left[\frac{{\rho }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\rho }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}\sigma {\rho }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}-q}-\rho }{\mathrm{1}-q}\right]\mathrm{。}（7）

式中： q\in \left.\left(\mathrm{1,2}\right.\right]， \rho和\sigma是任意的密度算子， T_q\left(\rho ||\sigma \right)是\rho和\sigma的负阶的Tsallis相对算子熵。在可逆情形下， 负阶的Tsallis相对熵被定义为

N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)=\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}N{T}_q\left(\rho ||\sigma +\epsilon \right)\mathrm{。}（8）

根据文献［33］， 对于\rho ，\sigma \in \mathit{𝒮}(H)， 且q\in \left.\left(\mathrm{1,2}\right.\right]， N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)有如下性质：

1） N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)\ge \mathrm{0}， 特别地， 如果\rho和\sigma是可逆的， 有N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)=\mathrm{0}\iff \rho =\sigma；

2） N{T}_q\left({\sum }_j{\lambda }_j{\rho }_j||{\sum }_j{\lambda }_j{\sigma }_j\right)\le {\sum }_j{\lambda }_{j}N{T}_q\left({\rho }_j||{\sigma }_j\right)；

3） 对任意的完全正定且保迹的线性映射\Phi， 有

N{T}_q\left[\Phi \left(\rho \right)||\Phi \left(\sigma \right)\right]\le N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)；

4） 由于迹运算在酉操作下保持不变， 故N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)在酉操作下保持不变， 即

N{T}_q(U\rho U^{†}||U\sigma U^{†})=N{T}_q(\rho ||\sigma )\mathrm{。}（9）

基于负阶的Tsallis相对熵， 本文定义了一种新的相对于k体分划的关联测度

Q_{N{T}_q}^{\left(k\right)}\left(\rho \right)=\underset{\sigma \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)=

\underset{\sigma \in {\mathit{𝒮}}_{S-k-C}(H)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{-\mathrm{T}\mathrm{r}\frac{{\rho }^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}({\rho }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}\sigma {\rho }^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}-q}-\rho }{\mathrm{1}-q}\right\}。（10）

容易证明该关联测度也是定义良好的。接下来， 给出Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)与Q_{N{T}_q}^{\left(k\right)}\left(\rho \right)之间的关系。

引理 1^［33］　如果\sigma \in \mathit{𝒮}\left(H\right)， 则对于任意的q\in \left.\left(\mathrm{1,2}\right.\right]， 有D_q\left(\rho ||\sigma \right)\le N{T}_q\left(\rho ||\sigma \right)。

定理 3　如果\sigma \in \mathit{𝒮}\left(H\right)， 则对于任意的q\in \left.\left(\mathrm{1,2}\right.\right]， 有Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)\le Q_{N{T}_q}^{\left(k\right)}\left(\rho \right)。

证明　由引理1， 结论显然成立。

2 Q_T^{\left(k\right)}\left(\rho \right)在量子信道下的影响

下面讨论Q_T^{(k)}(\rho )在一致{\tilde{A}}^{(k)}信道下的影响， 首先给出定义 4 和定义 5。

定义 4^［34］　设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m为主量子系统， K=K_{\mathrm{1}}\otimes K_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes K_m为辅助的环境系统， 且， \rho \in \mathit{𝒮}(H)， 记{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}表示从\mathrm{ℬ}(H)到\mathrm{ℬ}(K)的量子信道， 若其可以表示为

{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}={\Phi }^{A_{\mathrm{1}}}\otimes {\Phi }^{A_{\mathrm{2}}}\otimes \cdots \otimes {\Phi }^{A_k}，（11）

式中： {\Phi }^{A_j}是从\mathrm{ℬ}(H^{A_j})到\mathrm{ℬ}(K^{A_j})的局部量子信道\left(j=\mathrm{1,2},\cdots ,k\right)， {\tilde{A}}^{(k)}是H与K的一致的k体分划， 则称{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}为一致{\tilde{A}}^{(k)}信道。

定义 5^［34］　令H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m是主量子系统， K=K_{\mathrm{1}}\otimes K_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes K_m是辅助的环境系统， 且， \rho \in \mathrm{𝒮}(H)， {\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}={\Phi }^{A_{\mathrm{1}}}\otimes {\Phi }^{A_{\mathrm{2}}}\otimes \cdots \otimes {\Phi }^{A_k}是从H到K的一致{\tilde{A}}^{(k)}信道， 其中{\Phi }^{A_j}:\mathrm{ℬ}(H^{A_j})\to \mathrm{ℬ}(K^{A_j})。

1） 如果\rho \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)\Rightarrow {\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )∈{\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(K)， 则称{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是保强k经典的；

2） 如果{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )\in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(K)\Rightarrow \rho∈{\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)， 则称{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是反保强k经典的；

3） 如果\rho \in {\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(H)\iff {\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )∈{\mathrm{𝒮}}_{S-k-C}(K)， 则称{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是双边保强k经典的。

定理 4　设H=H_{\mathrm{1}}\otimes H_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes H_m为主量子系统， K=K_{\mathrm{1}}\otimes K_{\mathrm{2}}\otimes \cdots \otimes K_m为辅助的环境系统， 且， \rho \in \mathit{𝒮}(H)， 记{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}表示从\mathrm{ℬ}(H)到\mathrm{ℬ}(K)的一致{\tilde{A}}^{(k)}信道， 则

1） Q_T^{(k)}[{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )]\le Q_T^{(k)}(\rho )， 当且仅当{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是保强k经典态的信道；

2） Q_T^{(k)}[{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )]\ge Q_T^{(k)}(\rho )， 当且仅当{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是反保强k经典态的信道；

3） Q_T^{(k)}[{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}(\rho )]=Q_T^{(k)}(\rho )， 当且仅当{\Phi }^{{\tilde{A}}^{(k)}}是双边保强k经典态的信道。

定理的详细证明与文献［34］中的证明方法类似， 在此省略。

3 结论

本文针对复合系统的k体分划定义了一种新的关联测度， 即基于Tsallis相对熵的关联测度验证了该测度具备的一系列特性， 包括非负性， 在酉变换下的不变性， 在完全正定且保迹线性映射下的单调性， 对输入态的凸性以及连续性。并给出该关联测度与基于负阶Tsallis相对熵的关联测度的关系。此外， 还探讨了该关联测度在一致{\tilde{A}}^{(k)}信道下的演化问题， 从而将量子信道应用于关联测度。通过提出在k体分划下的一种新的关联测度以及探讨该测度在一致{\tilde{A}}^{(k)}信道下的影响， 为后续研究量子态之间的关联程度提供了一种新的思路， 也更好地刻画了多体量子态之间的关联程度。

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基金资助

山西省自然科学基金项目(201901D111254)