几类图变换的ISI指数

ISI Indices for Several Classes of Graph Transformations

摘要

Inverse Sum Indeg指数（ISI指数）是预测辛烷异构体总表面积的重要拓扑指数。针对ISI指数在图变换下缺乏系统表达式推导的问题， 本文给出了具有n个顶点和m条边的简单连通图的细分图、 线图、 全图、 半全点图、 半全线图和广义变换图的ISI指数的表达式， 完善了ISI指数的图变换理论体系， 为后续开展多重图变换下的拓扑指数研究奠定了基础。证明过程中， 首先根据所研究图的定义确定其顶点和边的度， 再对所研究图的边集进行分类并结合ISI指数的定义， 建立了所研究图与原图之间的ISI指数关系， 最后通过分类讨论， 得到了各类图变换下的ISI指数的表达式。本文结果可应用于化学图论与复杂网络科学领域， 既能为分子性质预测、 分子结构筛选提供量化工具， 也能刻画通信、 交通等网络的结构演化过程， 并为网络拓扑分析与优化设计提供理论依据。

Abstract

The inverse sum indeg index （ISI index）， is an important topological index for predicting the total surface area of octane isomers. Aiming at the lack of systematic derivation of its expressions under graph transformation， this paper deduces the ISI index expressions of the subdivision graph， line graph， total graph， semi-total point graph， semi-total line graph， and generalized transformation graph for a simple connected graph with n vertices and m edges. This work improves the theoretical system of graph transformations for the ISI index and lays the foundation for further research on topological indices under multiple graph transformations. In the proof， we first determine the degrees of vertices and edges in the studied graphs according to their definitions， then classify the edge sets of the studied graphs and combine with the definition of the ISI index to establish the relationship between the ISI index of the studied graphs and the original graphs. Finally， we obtain the expressions of the ISI index under various graph transformations through classified discussion. This achievement can be applied in chemical graph theory and complex network science， which provides quantitative tools for predicting molecular properties and screening molecular structures， as well as characterizes the structural evolution of communication， transportation and other networks， and offers a theoretical basis for network topology analysis and optimization design.

Graphical abstract

关键词

ISI指数 / 细分图 / 线图 / 全图 / 半全点图 / 半全线图 / 广义变换图

Key words

ISI index / subdivision graph / line graph / total graph / semi-total point graph / semi-total line graph / generalized transformation graph

0 引　言

2010年， Vukičević等^［1］引入了148个离散亚得里亚海指数的概念。这些描述符在国际数学化学学会给出的测试集上表现出良好的预测特性。在这些指数中， 有20个指数有益于物理化学性质的预测。其中， Inverse Sum Indeg指数（简称为ISI指数）在预测辛烷异构体总表面积方面起着重要作用^［1］， 其定义为ISI\left(G\right)=\sum _{uv\in E\left(G\right)}\frac{d_G\left(u\right)\cdot d_G\left(v\right)}{d_G\left(u\right)+d_G\left(v\right)}， 其中d_G\left(u\right)表示G图中顶点u的度， E\left(G\right)表示G图的边集。2018年， Zangi等^［2］给出了ISI矩阵和能量的定义。之后， 大量学者开始研究一些图的ISI指数与能量的界， 包括连通图、 树图和化学图等^［3‐11］。

对于运算图的ISI指数的研究主要集中在笛卡尔积图、 冠图、 联图、 双重图和强双重图等方面。Pattabiraman^［12］获得了两个图的合成、 笛卡尔积、 冠积、 联图以及Mycielskian图的ISI指数的上下界。Lokesha^［13］给出了特殊拼接图（细分顶点拼接图、 细分边拼接图、 细分顶点邻域图、 细分边邻域图）的ISI指数的上下界。Jamal等^［14］计算了ISI指数的图的冠积、 笛卡尔积、 强积、 联图与合成图的一些界限。Doley等^［15］研究了细分图和t-细分图等图运算后的ISI指数的上下界。Havare^［16］得到了联运算、 笛卡尔积和字典序积等图运算下的ISI指数。Rani等^［17］给出了笛卡尔积、 张量积和强积等图运算下的ISI指数的精确界。Ali等^［18］和Sardar等^［19］分别计算了荷兰风车图和烷烃分子的双图和强双图的多个指数的表达式。

对于图变换的研究相对较少。2014年， Hosamani等^［20］研究了全图、 半全线图和半全点图， 以及8种不同类型的全变换图的第一萨格勒布指数及其协指数的表达式。Ramane等^［21］给出了一些图变换下的Somber指数， 包括线图、 全图、 半全点图等。Maji等^［22］给出了第k次广义变换图的F-指数的精确表达， Yalnaik等^［23］给出了广义变换图的倒数Randić指数、 约化萨格勒布指数和约化倒数Randić指数的表达式， Bommanahal等^［24］给出了广义变换图的枢纽数。

现有文献对于ISI指数的研究主要集中在图的ISI指数与能量的界以及运算图的ISI指数上， 而对于图变换的ISI指数的研究相对较少。受文献［22‐24］的启发， 本文设G=\left(V\left(G\right),E\left(G\right)\right)是一个简单连通图， 其中， V\left(G\right)是G图的顶点集， E\left(G\right)是G图的边集， 考虑G图的4种广义变换图G^{++}、 G^{+-}、 G^{-+}、 G^{--}的ISI指数， 首先介绍了相关的基本概念， 然后计算并证明了细分图、 线图、 全图、 半全点图和半全线图的ISI指数的表达式， 最后给出了广义变换图及其补图的ISI指数的表达式。

1 预备知识

定义 1　在G图的每条边上加一个顶点， 形成的新图称为G的细分图， 记为S\left(G\right)。

定义 2　 G图的线图L\left(G\right)是以E\left(G\right)为顶点集的图， 当L\left(G\right)中的两个顶点是G图中的相邻边时， 该两顶点相邻。

定义 3　 G图的全图T\left(G\right)是以V\left(T\left(G\right)\right)=V\left(G\right)\bigcup E\left(G\right)为顶点集的图， 当T\left(G\right)中的两个顶点是G中的相邻顶点， 或相邻边， 或一个是顶点， 另一个是与之相关联的边时， 该两顶点相邻。

定义 4　 G图的半全点图T_{\mathrm{1}}\left(G\right)是以V\left(T_{\mathrm{1}}\left(G\right)\right)=V\left(G\right)\bigcup E\left(G\right)为顶点集的图， 当T_{\mathrm{1}}\left(G\right)中的两个顶点是G中的相邻顶点， 或一个是顶点， 另一个是与之相关联的边时， 该两顶点相邻。

定义 5　 G图的半全线图T_{\mathrm{2}}\left(G\right)是以V\left(T_{\mathrm{2}}\left(G\right)\right)=V\left(G\right)\bigcup E\left(G\right)为顶点集的图， 当T_{\mathrm{2}}\left(G\right)中的两个顶点是G中的相邻边， 或一个是顶点， 另一个是与之相关联的边时， 该两顶点相邻。

定义 6　广义变换图^［25］G^{xy}是指其顶点集是V\left(G\right)\bigcup E\left(G\right)且\alpha ,\beta \in V\left(G^{xy}\right)， G^{xy}中的顶点\alpha和\beta相邻当且仅当下列条件1）和2）成立。

1） 令\alpha ,\beta \in V\left(G\right)， 如果 x=+， 则\alpha、 \beta在G^{xy}中相邻当且仅当\alpha、 \beta在G中相邻； 如果x=-， 则\alpha、 \beta在G^{xy}中相邻当且仅当\alpha、 \beta在G中不相邻。

2） 令\alpha \in V\left(G\right)且\beta \in E\left(G\right)， 如果y=+， 则\alpha、 \beta在G^{xy}中相邻当且仅当\alpha、 \beta在G中是相关联的； 如果y=-， 则\alpha、 \beta在G^{xy}中相邻当且仅当\alpha、 \beta在G中不关联。

图 1 是广义变换图G^{xy}及其补图\overline{G^{xy}}的示例。

在G^{xy}中， 与G中顶点v_i对应的顶点称为​​点顶点​​， 与G中边e_j对应的顶点称为线顶点。

定义 7　设u\in V\left(G\right)， e,f\in E\left(G\right)。若顶点u是边e的一个端点， 则称u与e相关联， 记为u\sim e； u与e和f都相关联， 则称边e与f相邻， 记为e\sim f。

2 图变换的ISI指数

定理 1　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则G的细分图的ISI指数为

ISI(S(G))=\sum _{u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G^{\mathrm{2}}(u)}{\mathrm{2}+d_G(u)}，

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明　根据ISI指数和细分图的定义， 有

ISI(S(G))=\sum _{uv\in E(S(G))}\frac{d_{S(G)}(u)\cdot d_{S(G)}(v)}{d_{S(G)}(u)+d_{S(G)}(v)}=

\sum _{uv\in E(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)}{d_G(u)+\mathrm{2}}=\sum _{u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G^{\mathrm{2}}(u)}{\mathrm{2}+d_G(u)}\mathrm{。}

定理 2　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 设P=｛uvw是G中长度为2的路， 其中v是uvw的中间点｝， 则G的线图的ISI指数为

ISI(L(G))=\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)-\mathrm{2}\right]\left[d_G(v)+d_G(w)-\mathrm{2}\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)-\mathrm{4}},

其中， d_G(u)、 d_G(v)和d_G(w)分别表示G中顶点u、 顶点v和顶点w的度。

证明　根据ISI指数和线图的定义

d_{L\left(G\right)}\left(e\right)=d_G\left(u\right)+d_G\left(v\right)-\mathrm{2},

其中， e是G中以u， v为端点的一条边， 则

\begin{array}{c}ISI(L(G))=\sum _{ef\in E(L(G))}\frac{d_{L(G)}(e)\cdot d_{L(G)}(f)}{d_{L(G)}(e)+d_{L(G)}(f)}=\sum _{uvw\in V(G)}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)-\mathrm{2}\right]\left[d_G(v)+d_G(w)-\mathrm{2}\right]}{\left[d_G(u)+d_G(v)-\mathrm{2}\right]+\left[d_G(v)+d_G(w)-\mathrm{2}\right]}=\\ \sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)-\mathrm{2}\right]\left[d_G(v)+d_G(w)-\mathrm{2}\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)-\mathrm{4}}\mathrm{。}\end{array}

定理 3　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， P=｛uvw是G中长度为2的路， 其中v是uvw的中间点｝， 则G的全图的ISI指数为

ISI(T(G))=\mathrm{2}ISI(G)+\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)}+

\sum _{u\in V(G)}\sum _{v\sim u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{3}{d}_G(u)+d_G(v)}，

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度， v\sim u表示G中顶点u与顶点v相邻。

证明　根据ISI指数和全图的定义

d_{T(G)}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)， d_{T(G)}(e)=d_G(u)+d_G(v)，

其中， e是G中以u， v为端点的一条边。

令

E(T(G))={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{E}_i，

其中，

E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}，

E_{\mathrm{2}}=\left\{ef\left|e\sim f,e,f\in E(G)\right.\right\}，

E_{\mathrm{3}}=\left\{ue\left|u\sim e,u\in V(G),e\in E(G)\right.\right\},

则

ISI(T(G))=\sum _{uv\in E(T(G))}\frac{d_{T(G)}(u)\cdot d_{T(G)}(v)}{d_{T(G)}(u)+d_{T(G)}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{T(G)}(u)\cdot d_{T(G)}(v)}{d_{T(G)}(u)+d_{T(G)}(v)}+\sum _{uv\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{T(G)}(u)\cdot d_{T(G)}(v)}{d_{T(G)}(u)+d_{T(G)}(v)}+

\sum _{uv\in E_{\mathrm{3}}}\frac{d_{T(G)}(u)\cdot d_{T(G)}(v)}{d_{T(G)}(u)+d_{T(G)}(v)}=\sum _{uv\in E(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \mathrm{2}{d}_G(v)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)}+\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]+\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}+

\begin{array}{c}\sum _{uv\in E(G)}\left(\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\right.\left.\frac{\mathrm{2}{d}_G(v)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{2}{d}_G(v)+\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}\right)=\\ \mathrm{2}ISI(G)+\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)}+\sum _{u\in V(G)}\sum _{v\sim u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{3}{d}_G(u)+d_G(v)}\mathrm{。}\end{array}

定理 4　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则G的半全点图的ISI指数为

ISI(T_{\mathrm{1}}(G))=\mathrm{2}ISI(G)+\mathrm{2}\sum _{u\in V(G)}\frac{d_G^{\mathrm{2}}(u)}{d_G(u)+\mathrm{1}}，

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明　根据ISI指数和半全点图的定义

d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)， d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(e)=\mathrm{2}\mathrm{。}

令

E(T_{\mathrm{1}}(G))={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中，

E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}，

E_{\mathrm{2}}=\left\{ue\left|u\sim e,u\in V(G),e\in E(G)\right.\right\}，

则

ISI(T_{\mathrm{1}}(G))=\sum _{uv\in E(T_{\mathrm{1}}(G))}\frac{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}+\sum _{uv\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{1}}(G)}(v)}=

\sum _{uv\in E(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \mathrm{2}{d}_G(v)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)}+\sum _{uv\in E(G)}\left[\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \mathrm{2}}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}{d}_G(v)\cdot \mathrm{2}}{\mathrm{2}{d}_G(v)+\mathrm{2}}\right]=\mathrm{2}ISI(G)+\mathrm{2}\sum _{u\in V(G)}\frac{d_G^{\mathrm{2}}(u)}{d_G(u)+\mathrm{1}}\mathrm{。}

定理 5　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， P=｛uvw是G中长度为2的路， 其中v是uvw的中间点｝， 则G的半全线图的ISI指数为

ISI(T_{\mathrm{2}}(G))=\sum _{u\in V(G)}\sum _{v\sim u\in V(G)}\frac{d_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{2}{d}_G(u)+d_G(v)}+

\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)},

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度， v\sim u表示G中顶点u与顶点v相邻。

证明　根据ISI指数和半全线图定义

d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)=d_G(u)， d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(e)=d_G(u)+d_G(v)，

其中， e是G中以u，v为端点的一条边。

令

E(T_{\mathrm{2}}(G))={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{ue\left|u\sim e,u\in V(G),e\in E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ef\left|e\sim f,e,f\in E(G)\right.\right\}， 则

ISI(T_{\mathrm{2}}(G))=\sum _{uv\in E(T_{\mathrm{2}}(G))}\frac{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}+\sum _{uv\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)\cdot d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}{d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(u)+d_{T_{\mathrm{2}}(G)}(v)}=

\begin{array}{c}\sum _{uv\in E(G)}\left(\frac{d_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{d_G(u)+d_G(u)+d_G(v)}+\frac{d_G(v)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{d_G(v)+d_G(u)+d_G(v)}\right)+\sum _{uvw\in P}\left[\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]+\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}\right]=\\ \sum _{u\in V(G)}\sum _{v\sim u\in V(G)}\frac{d_G(u)\cdot \left[d_G(u)+d_G(v)\right]}{\mathrm{2}{d}_G(u)+d_G(v)}+\sum _{uvw\in P}\frac{\left[d_G(u)+d_G(v)\right]\left[d_G(v)+d_G(w)\right]}{d_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)+d_G(w)}\mathrm{。}\end{array}

3 广义变换图及其补图的ISI指数

性质 1^［25］　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， u\in V(G)， e\in E(G)， 则G^{xy}中点顶点和线顶点的度数为

1） d_{G^{++}}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)且d_{G^{++}}(e)=\mathrm{2}；

2） d_{G^{+-}}(u)=m且d_{G^{+-}}(e)=n-\mathrm{2}；

3） d_{G^{-+}}(u)=n-\mathrm{1}且d_{G^{-+}}(e)=\mathrm{2}；

4） d_{G^{--}}(u)=n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)且d_{G^{--}}(e)=n-2。

定理 6　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

ISI(G^{++})=\mathrm{2}ISI(G)+\mathrm{2}\sum _{u\in V(G)}\frac{d_G^{\mathrm{2}}(u)}{\mathrm{1}+d_G(u)}，

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明　令

E(G^{++})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|u~e\right.，u∈V(G)， \left.e\in E(G)\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=\mathrm{2}m。

根据性质1， 若u\in V(G)， 则d_{G^{++}}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)； 若e\in E(G)， 则d_{G^{++}}(e)=\mathrm{2}。

故

ISI(G^{++})=\sum _{uv\in E(G^{++})}\frac{d_{G^{++}}(u)\cdot d_{G^{++}}(v)}{d_{G^{++}}(u)+d_{G^{++}}(v)}=

\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{G^{++}}(u)\cdot d_{G^{++}}(v)}{d_{G^{++}}(u)+d_{G^{++}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{G^{++}}(u)\cdot d_{G^{++}}(e)}{d_{G^{++}}(u)+d_{G^{++}}(e)}=

\sum _{uv\in E(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \mathrm{2}{d}_G(v)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{4}{d}_G(u)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}}=

\mathrm{2}\sum _{uv\in E(G)}\frac{d_G(u)\cdot d_G(v)}{d_G(u)+d_G(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)}{d_G(u)+\mathrm{1}}=

\mathrm{2}ISI(G)+\sum _{u\in V(G)}{d}_G(u)\cdot \frac{\mathrm{2}{d}_G(u)}{d_G(u)+\mathrm{1}}=

\mathrm{2}ISI(G)+\mathrm{2}\sum _{u\in V(G)}\frac{d_G^{\mathrm{2}}(u)}{\mathrm{1}+d_G(u)}\mathrm{。}

定理 7　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

ISI(G^{+-})=\frac{m^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{m^{\mathrm{2}}{(n-\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}{m+n-\mathrm{2}}。

证明　令

E(G^{+-})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|\right.在G中顶点u与边e\left.\mathrm{不是}\mathrm{相关}\mathrm{联的}\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=m(n-\mathrm{2})。

根据性质1， 若u\in V(G)， 则d_{G^{+-}}(u)=m； 若e\in E(G)， 则d_{G^{+-}}(e)=n-\mathrm{2}。

故

ISI(G^{+-})=\sum _{uv\in E(G^{+-})}\frac{d_{G^{+-}}(u)\cdot d_{G^{+-}}(v)}{d_{G^{+-}}(u)+d_{G^{+-}}(v)}=

\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{G^{+-}}(u)\cdot d_{G^{+-}}(v)}{d_{G^{+-}}(u)+d_{G^{+-}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{G^{+-}}(u)\cdot d_{G^{+-}}(e)}{d_{G^{+-}}(u)+d_{G^{+-}}(e)}=

\sum _{uv\in E(G)}\frac{m^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}m}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{m(n-\mathrm{2})}{m+n-\mathrm{2}}=\frac{m^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{m^{\mathrm{2}}{(n-\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}{m+n-\mathrm{2}}\mathrm{。}

定理 8　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

ISI(G^{-+})=\frac{(n-\mathrm{1})(n{}_{}{}^{\mathrm{2}}-n-\mathrm{2}m)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{4}m(n-\mathrm{1})}{n+\mathrm{1}}。

证明　令

E(G^{-+})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\notin E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|u~e\right.， u∈V(G)，\left.e\in E(G)\right\}，\left|E_{\mathrm{1}}\right|=\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m，\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)=\frac{n(n-\mathrm{1})}{\mathrm{2}}， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=\mathrm{2}m。

根据性质1， 若u\in V(G)， 则d_{G^{-+}}(u)=n-\mathrm{1}； 若e\in E(G)， 则d_{G^{-+}}(e)=\mathrm{2}。

故

ISI(G^{-+})=\sum _{uv\in E(G^{-+})}\frac{d_{G^{-+}}(u)\cdot d_{G^{-+}}(v)}{d_{G^{-+}}(u)+d_{G^{-+}}(v)}=

\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{G^{-+}}(u)\cdot d_{G^{-+}}(v)}{d_{G^{-+}}(u)+d_{G^{-+}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{G^{-+}}(u)\cdot d_{G^{-+}}(e)}{d_{G^{-+}}(u)+d_{G^{-+}}(e)}=

\sum _{uv\notin E(G)}\frac{{(n-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{n-\mathrm{1}+n-\mathrm{1}}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{2}(n-\mathrm{1})}{n-\mathrm{1}+\mathrm{2}}=

\left[\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m\right]\cdot \frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}m\cdot \frac{\mathrm{2}(n-\mathrm{1})}{n+\mathrm{1}}=

\frac{(n-\mathrm{1})(n{}_{}{}^{\mathrm{2}}-n-\mathrm{2}m)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{4}m(n-\mathrm{1})}{n+\mathrm{1}}\mathrm{。}

定理 9　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

\begin{array}{c}ISI(G^{--})=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\\ \sum _{u\in V(G)}\frac{\left[m-d_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right](n-\mathrm{2})}{\mathrm{2}n+m-\mathrm{3}-\mathrm{2}{d}_G(u)},\end{array}

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明　令

E(G^{--})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{2}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\notin E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|\right.在G中顶点u与边e\left.\mathrm{不是}\mathrm{相关}\mathrm{联的}\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=m(n-\mathrm{2})\mathrm{。}

根据性质1， 若u\in V(G)， 则d_{G^{--}}(u)=n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)； 若e\in E(G)， 则d_{G^{--}}(e)=n-2。

故

ISI(G^{--})=\sum _{uv\in E(G^{--})}\frac{d_{G^{--}}(u)\cdot d_{G^{--}}(v)}{d_{G^{--}}(u)+d_{G^{--}}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{G^{--}}(u)\cdot d_{G^{--}}(v)}{d_{G^{--}}(u)+d_{G^{--}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{G^{--}}(u)\cdot d_{G^{--}}(e)}{d_{G^{--}}(u)+d_{G^{--}}(e)}=

\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)+n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right](n-\mathrm{2})}{n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)+n-\mathrm{2}}=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right](n-\mathrm{2})}{\mathrm{2}n+m-\mathrm{3}-\mathrm{2}{d}_G(u)}=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\sum _{u\in V(G)}\frac{\left[m-d_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right](n-\mathrm{2})}{\mathrm{2}n+m-\mathrm{3}-\mathrm{2}{d}_G(u)}\mathrm{。}

推论 1　设G_{\mathrm{1}}与G_{\mathrm{2}}是两个具有相同的顶点数和边数的不同的图， 则

1） ISI(G_{\mathrm{1}}^{+-})=ISI(G_{\mathrm{2}}^{+-})；

2） ISI(G_{\mathrm{1}}^{-+})=ISI(G_{\mathrm{2}}^{-+})。

性质 2^［26］　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， u\in V(G)， e\in E(G)， 则\overline{G^{\mathrm{x}\mathrm{y}}}中， 点顶点和线顶点的度数为

1） d{}_{\overline{G^{++}}}{}^{}(u)=n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)且d{}_{\overline{G^{++}}}{}^{}(e)=n+m-\mathrm{3}；

2） d{}_{\overline{G^{+-}}}{}^{}(u)=n-\mathrm{1}且d{}_{\overline{G^{+-}}}{}^{}(e)=m+\mathrm{1}；

3） d{}_{\overline{G^{-+}}}{}^{}(u)=m且d{}_{\overline{G^{-+}}}{}^{}(e)=n+m-\mathrm{3}；

4） d{}_{\overline{G^{--}}}{}^{}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)且d{}_{\overline{G^{--}}}{}^{}(e)=m+\mathrm{1}。

定理 10　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

\begin{array}{c}ISI(\overline{G^{++}})=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{u\in V(G)}\frac{\left[m-d_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+m-\mathrm{2}-d_G(u)}+\frac{m(m-\mathrm{1})\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}}，\end{array}

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明　令

E(\overline{G^{++}})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\notin E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|\right.在G中顶点u与边e\left.\mathrm{不是}\mathrm{相关}\mathrm{联的}\right\}， E_{\mathrm{3}}=\left\{ef\left|e,f\in E(G)\right.\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=m(n-\mathrm{2})， \left|E_{\mathrm{3}}\right|=\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\mathrm{。}

根据性质2， 若u\in V(G)， 则d_{\overline{G^{++}}}(u)=n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)； 若e\in E(G)， 则d_{\overline{G^{++}}}(e)=n+m-\mathrm{3}。

故

ISI(\overline{G^{++}})=\sum _{uv\in E(\overline{G^{++}})}\frac{d_{\overline{G^{++}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{++}}}(v)}{d_{\overline{G^{++}}}(u)+d_{\overline{G^{++}}}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{\overline{G^{++}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{++}}}(v)}{d_{\overline{G^{++}}}(u)+d_{\overline{G^{++}}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{\overline{G^{++}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{++}}}(e)}{d_{\overline{G^{++}}}(u)+d_{\overline{G^{++}}}(e)}+

\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{d_{\overline{G^{++}}}(e)\cdot d_{\overline{G^{++}}}(f)}{d_{\overline{G^{++}}}(e)+d_{\overline{G^{++}}}(f)}=\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)+n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)}+

\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]+\left(n+m-\mathrm{3}\right)}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{{(n+m-\mathrm{3})}^{\mathrm{2}}}{n+m-\mathrm{3}+n+m-\mathrm{3}}=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+m-\mathrm{2}-d_G(u)}+

\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{n+m-\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{u\in V(G)}\frac{\left[m-d_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+m-\mathrm{2}-d_G(u)}+\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\cdot \frac{n+m-\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{uv\notin E(G)}\frac{\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(v)\right]}{n+m-\mathrm{1}-\left[d_G(u)+d_G(v)\right]}+

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{u\in V(G)}\frac{\left[m-d_G(u)\right]\left[n+m-\mathrm{1}-\mathrm{2}{d}_G(u)\right]\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+m-\mathrm{2}-d_G(u)}+\frac{m(m-\mathrm{1})\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}}\mathrm{。}

定理 11　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

ISI(\overline{G^{+-}})=\frac{n^{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+n-\mathrm{2}mn+m^{\mathrm{3}}+m}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{2}m(n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})}{n+m}\mathrm{。}

证明　令

E(\overline{G^{+-}})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\notin E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|u~e\right.，u∈V(G)， \left.e\in E(G)\right\}， E_{\mathrm{3}}=\left\{ef\left|e,f\in E(G)\right.\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=\mathrm{2}m， \left|E_{\mathrm{3}}\right|=\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\mathrm{。}

根据性质2， 若u\in V(G)， 则d_{\overline{G^{+-}}}(u)=n-\mathrm{1}； 若e\in E(G)， 则d_{\overline{G^{+-}}}(e)=m+1。

故

ISI(\overline{G^{+-}})=\sum _{uv\in E(\overline{G^{+-}})}\frac{d_{\overline{G^{+-}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{+-}}}(v)}{d_{\overline{G^{+-}}}(u)+d_{\overline{G^{+-}}}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{\overline{G^{+-}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{+-}}}(v)}{d_{\overline{G^{+-}}}(u)+d_{\overline{G^{+-}}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{\overline{G^{+-}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{+-}}}(e)}{d_{\overline{G^{+-}}}(u)+d_{\overline{G^{+-}}}(e)}+

\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{d_{\overline{G^{+-}}}(e)\cdot d_{\overline{G^{+-}}}(f)}{d_{\overline{G^{+-}}}(e)+d_{\overline{G^{+-}}}(f)}=\sum _{uv\notin E(G)}\frac{{\left(n-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}}{n-\mathrm{1}+n-\mathrm{1}}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left(n-\mathrm{1}\right)\left(m+\mathrm{1}\right)}{n-\mathrm{1}+m+\mathrm{1}}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{{(m+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{m+\mathrm{1}+m+\mathrm{1}}=

\sum _{uv\notin E(G)}\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\left(n-\mathrm{1}\right)\left(m+\mathrm{1}\right)}{n+m}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{m+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\left[\left(\begin{array}{c}n\\ \mathrm{2}\end{array}\right)-m\right]\frac{n-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}m\left(n-\mathrm{1}\right)\left(m+\mathrm{1}\right)}{n+m}+

\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\frac{m+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{n^{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}}+n-\mathrm{2}mn+m^{\mathrm{3}}+m}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{2}m(n-\mathrm{1})(m+\mathrm{1})}{n+m}\mathrm{。}

定理 12　设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

ISI(\overline{G^{-+}})=\frac{m^{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}n-mn+\mathrm{3}m}{\mathrm{4}}+\frac{m^{\mathrm{2}}(n+m-\mathrm{3})(n-\mathrm{2})}{\mathrm{2}m+n-\mathrm{3}}\mathrm{。}

证明　令

E(\overline{G^{-+}})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|\right.在G中顶点u与边e\left.\mathrm{不是}\mathrm{相关}\mathrm{联的}\right\}， E_{\mathrm{3}}=\left\{ef\left|e,f\in E(G)\right.\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=m(n-\mathrm{2})， \left|E_{\mathrm{3}}\right|=\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)。

根据性质2， 若u\in V(G)， 则d_{\overline{G^{-+}}}(u)=m； 若e\in E(G)， 则d_{\overline{G^{-+}}}(e)=n+m-\mathrm{3}。故

ISI(\overline{G^{-+}})=\sum _{uv\in E(\overline{G^{-+}})}\frac{d_{\overline{G^{-+}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{-+}}}(v)}{d_{\overline{G^{-+}}}(u)+d_{\overline{G^{-+}}}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{\overline{G^{-+}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{-+}}}(v)}{d_{\overline{G^{-+}}}(u)+d_{\overline{G^{-+}}}(v)}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{\overline{G^{-+}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{-+}}}(e)}{d_{\overline{G^{-+}}}(u)+d_{\overline{G^{-+}}}(e)}

+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{d_{\overline{G^{-+}}}(e)\cdot d_{\overline{G^{-+}}}(f)}{d_{\overline{G^{-+}}}(e)+d_{\overline{G^{-+}}}(f)}=\sum _{uv\in E(G)}\frac{m^{\mathrm{2}}}{m+m}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{m\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{m+n+m-\mathrm{3}}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{{(n+m-\mathrm{3})}^{\mathrm{2}}}{n+m-\mathrm{3}+n+m-\mathrm{3}}=

\sum _{uv\in E(G)}\frac{m}{\mathrm{2}}+\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{m\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+\mathrm{2}m-\mathrm{3}}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{n+m-\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\frac{m^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{m^{\mathrm{2}}(n-\mathrm{2})\left(n+m-\mathrm{3}\right)}{n+\mathrm{2}m-\mathrm{3}}+\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\frac{n+m-\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=

\frac{m^{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}n-mn+\mathrm{3}m}{\mathrm{4}}+\frac{m^{\mathrm{2}}(n+m-\mathrm{3})(n-\mathrm{2})}{\mathrm{2}m+n-\mathrm{3}}\mathrm{。}

定理 13 设G是一个具有n个顶点和m条边的图， 则

\begin{array}{c}ISI(\overline{G^{--}})=\mathrm{2}ISI(G)+\\ \sum _{u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G^{\mathrm{2}}(u)\cdot \left(m+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+m+\mathrm{1}}+\frac{m(m^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{\mathrm{4}}，\end{array}

其中， d_G(u)表示G中顶点u的度。

证明 令

E(\overline{G^{--}})={\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{\mathrm{3}}{\cup }}}{E}_i，

其中， E_{\mathrm{1}}=\left\{uv\left|uv\in E(G)\right.\right\}， E_{\mathrm{2}}=\left\{ue|u~e\right.，u∈V(G)， \left.e\in E(G)\right\}， E_{\mathrm{3}}=\left\{ef\left|e,f\in E(G)\right.\right\}， \left|E_{\mathrm{1}}\right|=m， \left|E_{\mathrm{2}}\right|=\mathrm{2}m， \left|E_{\mathrm{3}}\right|=\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\mathrm{。}

根据性质2， 若u\in V(G)， 则d_{\overline{G^{--}}}(u)=\mathrm{2}{d}_G(u)； 若e\in E(G)， 则d_{\overline{G^{--}}}(e)=m+\mathrm{1}。故

ISI(\overline{G^{--}})=\sum _{uv\in E(\overline{G^{--}})}\frac{d_{\overline{G^{--}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{--}}}(v)}{d_{\overline{G^{--}}}(u)+d_{\overline{G^{--}}}(v)}=\sum _{uv\in E_{\mathrm{1}}}\frac{d_{\overline{G^{--}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{--}}}(v)}{d_{\overline{G^{--}}}(u)+d_{\overline{G^{--}}}(v)}+

\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{d_{\overline{G^{--}}}(u)\cdot d_{\overline{G^{--}}}(e)}{d_{\overline{G^{--}}}(u)+d_{\overline{G^{--}}}(e)}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{d_{\overline{G^{--}}}(e)\cdot d_{\overline{G^{--}}}(f)}{d_{\overline{G^{--}}}(e)+d_{\overline{G^{--}}}(f)}=\sum _{uv\in E(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \mathrm{2}{d}_G(v)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+\mathrm{2}{d}_G(v)}+

\sum _{ue\in E_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{2}{d}_G(u)\cdot \left(m+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+m+\mathrm{1}}+\sum _{ef\in E_{\mathrm{3}}}\frac{{(m+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{m+\mathrm{1}+m+\mathrm{1}}=\mathrm{2}\sum _{uv\in E(G)}\frac{d_G(u)\cdot d_G(v)}{d_G(u)+d_G(v)}+\sum _{u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G^{\mathrm{2}}(u)\cdot \left(m+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+m+\mathrm{1}}+

\left(\begin{array}{c}m\\ \mathrm{2}\end{array}\right)\frac{m+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}ISI(G)+\sum _{u\in V(G)}\frac{\mathrm{2}{d}_G^{\mathrm{2}}(u)\cdot \left(m+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{d}_G(u)+m+\mathrm{1}}+\frac{m(m^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{\mathrm{4}}\mathrm{。}

推论 2 设G_{\mathrm{1}}与G_{\mathrm{2}}是两个具有相同的顶点数和边数的不同的图， \overline{G}是G的补图， 则

1） ISI(\overline{G_{\mathrm{1}}^{+-}})=ISI(\overline{G_{\mathrm{2}}^{+-}})；

2） ISI(\overline{G_{\mathrm{1}}^{-+}})=ISI(\overline{G_{\mathrm{2}}^{-+}})。

4 结 论

本文根据ISI指数的定义， 通过对边进行分类讨论， 给出了简单连通图的细分图、 线图、 全图、 半全点图、 半全线图和四类广义变换图的ISI指数的表达式。本文研究将复杂图形转化为更易于分析和处理的形式， 有助于理解和应用图的结构性质。在今后的工作中， 将进一步挖掘图变换与指数关系的更多理论特性， 得到更多图变换下的ISI指数的表达式。同时， 在更复杂的图结构下， 探索该指数的变化规律， 进一步完善图变换理论体系， 从而为相关领域提供更坚实的理论基础。

参考文献

[1] VUKI EVIĆ D， GAŠPEROV M. Bond additive modeling 1. adriatic indices［J］. Croatica Chemica Acta， 2010， 83（3）： 243-260.

[2] ZANGI S， GHORBANI M， ESLAMPOUR M. On the eigenvalues of some matrices based on vertex degree［J］. Iranian Journal of Mathematical Chemistry， 2018， 9（2）： 149-156.

[3] CHEN X， LI X， LIN W. On connected graphs and trees with maximal inverse sum indeg index［J］. Applied Mathematics and Computation， 2021， 392： 125731.

[4] MATEJIĆ M M， MILOVANOVIĆ I Ž， MILOVANOVIĆ E I. Upper bounds for the inverse sum indeg index of graphs［J］. Discrete Applied Mathematics， 2018， 251： 258-267.

[5] ALI A， MATEJIC M M， MILOVANOVIC E I， et al. Some new upper bounds for the inverse sum indeg index of graphs［J］. Electronic Journal of Graph Theory and Applications， 2020， 8（1）： 59-70. ′

[6] ′

[7] HAFEEZ S， FAROOQ R. Inverse sum indeg energy of graphs［J］. IEEE Access， 2019， 7： 100860-100866.

[8] JAMAL F， IMRAN M， AHMAD RATHER B. On inverse sum indeg energy of graphs［J］. Special Matrices， 2023， 11（1）： 20220175.

[9] GUTMAN I， MATEJIC M， MILOVANOVIC E， et al. Lower bounds for inverse sum indeg index of graphs［J］. Kragujevac Journal of Mathematics， 2020， 44（4）： 551-562.

[10] SEDLAR J， STEVANOVIĆ D， VASILYEV A. On the inverse sum indeg index［J］. Discrete Applied Mathematics， 2015， 184： 202-212.

[11] AN M， XIONG L. Some results on the inverse sum indeg index of a graph［J］. Information Processing Letters， 2018， 134： 42-46.

[12] HATEFI H， AHANGAR H A， KHOEILAR R， et al. On the inverse sum indeg energy of trees［J］. Asian-European Journal of Mathematics， 2022， 15（9）： 2250176.

[13] PATTABIRAMAN K. Inverse sum indeg index of graphs［J］. AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics， 2018， 15（2）： 155-167.

[14] LOKESHA V， MANJUNATH M， ZEBA YASMEEN K. Investigation On splice graphs by exploting certain topological indices［J］. Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society， 2020， 23（2）： 271-282.

[15] JAMAL F， IMRAN M. Bounds on sombor index and inverse sum indeg （ISI） index of graph operations［J］. Communications in Combinatorics and Optimization， 2024， 9（4）： 785-798.

[16] DOLEY A， BURAGOHAIN J， BHARALI A. Inverse sum indeg index of subdivision， t -subdivision graphs， and related sums［M］//Advances in Computer and Electrical Engineering. Pennsylvania： IGI Global，2020： 104-119.

[17] HAVARE Ö Ç. On the inverse sum indeg index of some graph operations［J］. Journal of the Egyptian Mathematical Society， 2020， 28（1）： 28.

[18] RANI A， IMRAN M， ALI U. Sharp bounds for the inverse sum indeg index of graph operations［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2021， 2021（1）： 5561033.

[19] ALI M A， SARDAR M S， SIDDIQUE I， et al. Vertex-based topological indices of double and strong double graph of Dutch windmill graph［J］. Journal of Chemistry， 2021， 2021（1）： 7057412.

[20] SARDAR M S， ALI M A， FARAHANI M R， et al. Degree-based topological indices of alkanes by applying some graph operations［J］. European Chemical Bulletin， 2023， 12（5）： 39-50.

[21] HOSAMANI S M， GUTMAN I. Zagreb indices of transformation graphs and total transformation graphs［J］. Applied Mathematics and Computation， 2014， 247： 1156-1160.

[22] RAMANE H S， GUTMAN I， BHAIANTRI K， et al. Sombor index of some graph transformations［J］. Communications in Combinatorics and Optimization， 2023， 8（1）： 193-205.

[23] MAJI D， GHORAI G. Computing F -index， coindex and Zagreb polynomials of the kth generalized transformation graphs［J］. Heliyon， 2020， 6（12）： e05781.

[24] YALNAIK A， BUTTE S， JUMMANNAVER R， et al. The R R ， R R R and R M ₂ indices of generalized transformation graphs G X Y ［J］. Global and Stochastic Analysis， 2024， 11（1）： 107-119.

[25] BOMMANAHAL B， SAYYED M， BASAVANAGOUD P. Hub number of generalized transformation graphs［J］. Annals of Mathematics and Computer Science， 2022， 8： 1-10.

[26] BOMMANAHAL B， GUTMAN I， DESAI V R. Zagreb indices of generalized transformation graphs and their complements［J］. Kragujevac Journal of Science， 2015（37）： 99-112.

[27] RAMANE H S， BASAVANAGOUD B， JUMMANNAVER R B. Harmonic index and randic index of generalized transformation graphs［J］. Journal of the Nigerian Mathematical Society， 2018， 37（2）： 57-69.

基金资助

山西省回国留学人员科研项目(2022-149)

山西省自然科学基金项目(202303021211154)