具有灾难及负顾客的不可靠重试排队模型的均衡策略

Equilibrium Strategy in an Unreliable Retrial Queue Model with Disaster and Negative Customers

摘要

针对多故障情况， 本文提出了一种具有灾难及负顾客的不可靠常数重试排队模型的均衡策略， 其中服务台会经历两种不同类型的故障： 当灾难到达工作状态下的服务台时， 清除系统中的所有顾客， 服务台发生故障； 当负顾客到达时， 正在接受服务的顾客立即退出， 同时服务台故障。首先， 在可见和不可见两种信息水平下， 求出模型的稳态概率、 顾客的平均逗留时间等重要性能指标。然后， 通过“收入⁃支出”结构建立决策模型分析可观测情况和不可观测情况下顾客的个体均衡策略以及社会最优福利策略。最后， 通过数值模拟探究了队列长度和顾客获得的赔偿R_f等系统参数变化对顾客的逗留时间和均衡策略的影响。数值模拟结果显示， 随着重试区顾客数的增加， 顾客的逗留时间和因故障离开系统的顾客数显著增加。在完全可视的条件下， 随着赔偿R_f的增加， 个体均衡和社会最优阈值都会增加， 相对而言个体均衡策略阈值更大； 在几乎不可视情形下， 顾客的最优进队概率和社会最优下的进队概率也都会随着赔偿R_f的增加而增加。

Abstract

Aiming to multiple fault situations， the equilibrium strategies of an unreliable constant retrial queuing model with disasters and negative customers. In this model， the server may encounter two different types of failures， when a disaster reaches the server in the working state， all customers in the system are cleared， and the server fails； when a negative customer arrives， the customer receiving service immediately withdraws， and the server also fails. Firstly， under two information levels， namely visible and invisible， the paper analyzes important performance indicators of the model， such as the steady-state probability and the average sojourn time of customers. Then， a decision-making model is established based on the “income-expenditure” structure to analyze the individual equilibrium strategies of customers and the socially optimal welfare strategies in observable and unobservable situations. Finally， through numerical simulations， the paper explores the impacts of changes in system parameters， such as the queue length and the compensation R_f received by customers on the sojourn time of customers and the equilibrium strategies.The results of numerical simulation show that as the number of customers in the retrial orbit increases， the customers’ sojourn time and the number of customers leaving the system due to failures increase significantly. Under full observable case， as the compensation R_f increases， both the individual equilibrium threshold and the social optimal threshold will increase， and relatively speaking， the threshold of the individual equilibrium strategy is larger. In the case of almost unobservable cases， the probability of joining the queue under both the individual and the social optimal cases increases as the compensation R_f increases.

Graphical abstract

关键词

排列模型 / 负顾客 / 均衡策略 / 净利润 / 常数重试

Key words

queue model / negative customers / equilibrium strategy / net profit / constant retrial

0 引　言

重试排队模型在通信网络及计算机系统中具有重要作用， 许多学者对其进行了广泛深入的研究。重试排队模型的特征是当服务台不可用时， 顾客进入重试区等待一段时间重新尝试服务^［1］。此外， 作为重试排队论模型的一个重要分支， 不可靠重试排队模型也得到了学者们的普遍关注^［2‐4］。

近年来， 从博弈论的角度研究重试排队模型已成为一个重要方向^［5‐7］。这类模型在分析传统排队模型性能指标的基础上， 结合博弈论的观点构造了利用成本-费用函数分析顾客及服务方的均衡策略^［8‐10］。考虑到实际服务系统中服务设施因各种原因发生故障后需要修理和维护的实际情况， 一些学者研究了带负顾客或者灾难的不可靠重试排队模型。Li等^［11］研究了一个具有灾难及服务台故障的重试排队模型并分析了模型的均衡策略。Sun等^［12］研究了具有负顾客及服务台不可靠的重试排队模型的均衡策略。Xu等^［13］研究了具有延迟修理时间的不可靠重试排队模型的最优定价策略。Shi等^［9］研究了具有两类顾客及服务台休假的重试排队模型的最优进队策略。He等^［14］考虑了具有预定服务及N策略的重试排队模型的均衡策略。上述研究仅考虑了服务台发生单一故障的情况， 但在实际中， 服务系统可能由于不同的原因而发生不同类型的故障。例如， 在通信系统中， 服务器可能会由于病毒入侵而发生故障， 当病毒比较严重时， 服务器可能会完全瘫痪。因此， 本文提出一种同时具有负顾客和灾难的重试排队模型， 并假设负顾客和灾难会导致服务台发生不同类型的故障， 在不同的信息水平下， 研究顾客的均衡策略和社会最优策略。

1 模型描述

考虑具有灾难及负顾客的M/M/1重试排队系统， 顾客到达服从参数为\lambda的泊松过程， 顾客服务时间服从参数为\mu的指数分布。当新顾客到达发现服务台正在服务时， 顾客进入重试区排队， 服务台空闲时， 队首顾客向服务台申请重试进行服务， 重试时间服从参数为\alpha的指数分布。灾难和负顾客的发生分别服从参数为β和r的泊松过程， 灾难到达将导致所有顾客丢失并且服务台处于故障， 服务台修复时间服从参数为\xi的指数分布； 负顾客到达导致服务台发生故障， 正在接受服务的顾客进入重试区， 服务台修好后系统进入重试状态。假设修理时间服从参数为\theta的指数分布， 服务台发生故障期间， 禁止顾客进入系统， 且本文涉及的各个随机过程相互独立。

设I(t)=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3}分别表示服务台在t时刻处于空闲、 繁忙和负顾客故障和灾难故障状态， N(t)表示t时刻系统中的顾客数。易知\{I(t),N(t),t>\mathrm{0}\}是一个二维马尔科夫链， 状态空间为\Omega =\{(i,j)\left|j\ge \mathrm{0},i=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right.\}\bigcup \{(\mathrm{3,0})\}.

假设顾客服务成功， 他们将获得R_s的服务报酬； 因灾难及负顾客到来退出系统的顾客， 他们获得R_f的赔偿； 单位时间顾客等待成本为C。

本文分完全可见和几乎不可见两种情况分析顾客均衡策略以及社会最优策略。

2 完全可见情形下的均衡策略

定义P_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}}^{\left(n+\mathrm{1}\right)}是顾客观察系统状态为(\mathrm{1},n)时进入后能够被成功服务的概率； P_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}^{\left(n+\mathrm{1}\right)}是顾客在此种情况下因服务台故障离开未被成功服务的概率， 则

P_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}}^{(n+\mathrm{1})}=\frac{\mu }{\mu +\beta +r}{\left[\frac{(\mu +r)\alpha }{\mu \alpha +\beta \alpha +r\alpha +\beta \lambda }\right]}^{n+\mathrm{1}},

P_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}^{(n+\mathrm{1})}=\mathrm{1}-\frac{\mu }{\mu +\beta +r}{\left[\frac{(\mu +r)\alpha }{\mu \alpha +\beta \alpha +r\alpha +\beta \lambda }\right]}^{n+\mathrm{1}}\mathrm{。}

下面考虑可观测情形下的任意顾客的策略， 以及系统状态为(\mathrm{1},n)时到达的顾客决策。

定理 1　在可观测的M/M/1具有灾难及负顾客的重试系统中， 下面3种情形存在唯一均衡策略。

情形1　当时， 均衡策略是所有顾客止步。

情形 2　当\frac{(\mu +\beta +r)C(Q-MN)-\mu N{R}_{\mathrm{s}}}{\mu +\beta +r-\mu N}\le R_{\mathrm{f}}\le CQ时， 均衡阈值策略是当顾客在t时刻到达， 并且观测到一个正在工作的服务台时， 若N(t)\le n_e则进入重试空间， 否则退出。

情形 3　当R_{\mathrm{f}}>CQ时， 均衡策略是所有顾客进入系统。其中，

M=\frac{(\mu +r)(\lambda +\alpha +\mu +\beta +r)+\frac{r}{\theta }(\lambda +\alpha )(\mu +\beta +r)}{(\mu +\beta +r)(\alpha +\lambda )\beta },

L=\frac{(\mu +r)\alpha }{\mu \alpha +\beta \alpha +r\alpha +\beta \lambda }， N=L^{n+\mathrm{1}}，

Q=\frac{\lambda +\alpha +\mu +r+\frac{r}{\theta }(\lambda +\alpha )}{\alpha \beta +\lambda \beta }，

Z=\frac{(CQ-R_{\mathrm{f}})(\mu +\beta +r)}{\mu (R_{\mathrm{s}}-R_{\mathrm{f}})+CM(\mu +\beta +r)}，

n_e=\left[\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}Z}{\mathrm{l}\mathrm{n}L}\right]-\mathrm{1}\mathrm{。}

考虑完全可见下的社会最优策略， 定义社会期望收益为S_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(n)。

证明　令T(i,j)是当服务台处于状态i时， 顾客在第j个位置重试排队所滞留的时间， 则有

T(\mathrm{1,0})=\frac{\mathrm{1}}{\mu +\beta +r},（1）

T(\mathrm{0},j)=\frac{\mathrm{1}}{\lambda +\alpha }+\frac{\lambda }{\lambda +\alpha }T(\mathrm{1},j)+\frac{\alpha }{\lambda +\alpha }T(\mathrm{1},j-\mathrm{1})j=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\cdots（2）

\begin{array}{c}T(\mathrm{1},j)=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mu +\beta +\lambda +r}+\frac{\mu }{\mu +\beta +\lambda +r}T(\mathrm{0},j)+\end{array}

\frac{\lambda }{\mu +\beta +\lambda +r}T(\mathrm{1},j)+\frac{r}{\mu +\beta +\lambda +r}T(\mathrm{2},j)，

j=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\cdots（3）

T(\mathrm{2},j)=\frac{\mathrm{1}}{\theta }+T(\mathrm{0},j),\hspace{1em}j=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\dots（4）

对于观测到系统状态为(\mathrm{1},j)的顾客， 若该顾客选择进入重试排队区域， 则他将被分配到第j+\mathrm{1}的位置， 其预期净利润为

S(j)=R_{\mathrm{s}}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}}^{(j+\mathrm{1})}+R_{\mathrm{f}}{P}_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}^{(j+\mathrm{1})}-CT(\mathrm{1},j+\mathrm{1})\mathrm{。}（5）

通过求解方程（1）~（4）并代入（5）可得定理结论。

定理 2　在可观测的M/M/1具有灾难及负顾客的重试排队系统中， 给定一个阈值策略n， 期望的社会福利为

S_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(n)=A(n)\left\{\frac{\lambda \mu L(R_{\mathrm{s}}-R_{\mathrm{f}})[(y_{\mathrm{1}}{L)}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1}]}{(\mu +\beta +r)(y_{\mathrm{1}}L-\mathrm{1})}+\frac{\lambda CLM[(y_{\mathrm{1}}{L)}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1}]}{y_{\mathrm{1}}L-\mathrm{1}}+\frac{\lambda (R_{\mathrm{f}}-CQ)({y_{\mathrm{1}}}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{y_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}+\right.

\frac{\mu R_{\mathrm{s}}+(\beta +r)R_{\mathrm{f}}-C}{\mu +\beta +r}\cdot \left.\left[\frac{\beta ({y_{\mathrm{1}}}^{n+\mathrm{2}}-\mathrm{1})+(\mu +r)(y_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{y_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\right.+\left.\frac{\lambda y_{\mathrm{1}}(\mu +r)({y_{\mathrm{1}}}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{(\lambda +\alpha )(y_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}\right]\right\}+

B(n)\left\{\frac{\lambda \mu L(R_{\mathrm{s}}-R_{\mathrm{f}})[(y_{\mathrm{2}}{L)}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1}]}{(\mu +\beta +r)(y_{\mathrm{2}}L-\mathrm{1})}\right.+\frac{\lambda CLM[(y_{\mathrm{2}}{L)}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1}]}{y_{\mathrm{2}}L-\mathrm{1}}+\frac{\lambda (R_{\mathrm{f}}-CQ)({y_{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{y_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}

+\frac{\mu R_{\mathrm{s}}+(\beta +r)R_{\mathrm{f}}-C}{\mu +\beta +r}\cdot\left.\left[\frac{\beta ({y_{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{2}}-\mathrm{1})+(\mu +r)(y_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{y_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right.+\left.\frac{\lambda y_{\mathrm{2}}(\mu +r)({y_{\mathrm{2}}}^{n+\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{(\lambda +\alpha )(y_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}\right]\right\},

其中，

y_{\mathrm{1}}=\frac{(\beta +\lambda )(\lambda +\alpha )+\alpha (\mu +r)}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)}-\frac{\sqrt[]{[(\beta +\lambda )(\lambda +\alpha )+\alpha {(\mu +r)]}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\alpha \lambda (\mu +r)(\lambda +\alpha )}}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)},

y_{\mathrm{2}}=\frac{(\beta +\lambda )(\lambda +\alpha )+\alpha (\mu +r)}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)}+\frac{\sqrt[]{[(\beta +\lambda )(\lambda +\alpha )+\alpha {(\mu +r)]}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\alpha \lambda (\mu +r)(\lambda +\alpha )}}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)},

A(n)=\frac{\beta \xi \theta \lambda {(\lambda +\alpha )}^{\mathrm{2}}\cdot l_{\mathrm{2}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{2}}^n}{l_{\mathrm{2}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{2}}^{n}f(y_{\mathrm{1}})-l_{\mathrm{1}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{1}}^{n}f(y_{\mathrm{2}})}，

B(n)=-\frac{\beta \xi \theta \lambda {(\lambda +\alpha )}^{\mathrm{2}}\cdot l_{\mathrm{1}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{1}}^n}{l_{\mathrm{2}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{2}}^{n}f(y_{\mathrm{1}})-l_{\mathrm{1}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)y_{\mathrm{1}}^{n}f(y_{\mathrm{2}})}，

l_{\mathrm{2}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)=\lambda (\lambda +\alpha )-(\mu \alpha +\beta \alpha +r\alpha +\beta \lambda )y_{\mathrm{2}},

l_{\mathrm{1}}(\lambda ,\alpha ,\beta ,\mu ,r)=\lambda (\lambda +\alpha )-(\mu \alpha +\beta \alpha +r\alpha +\beta \lambda )y_{\mathrm{1}},

\begin{array}{c}f(x)=\left[(\lambda +\beta )(\lambda +\alpha )-\alpha (\mu +r)x\right]\cdot \hspace{1em}\left\{\left.(\lambda +\alpha )\left[\xi \theta \left(\beta +\lambda \right)+\lambda \beta \theta +\lambda \xi \theta (\mu +r)\right]\right\}\right.+\\ (\mu +r)\xi \theta \alpha \beta (\lambda +\alpha )\mathrm{。}\end{array}

证明　首先计算给定顾客跟随的阈值策略n下模型的平稳分布。令P_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{1},k)为排队系统在可观测情况下处于状态(\mathrm{1},k)的概率， 则

\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{1},k)=A(n)y_{\mathrm{1}}^k+B(n)y_{\mathrm{2}}^k，\\ k=\mathrm{0,1},\cdots ,n+\mathrm{1},\end{array}

\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{0},k)=\frac{\mu +r}{\lambda +\alpha }{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{1},k),\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,n+\mathrm{1},\end{array}

P_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{2})=\frac{\beta （\mathrm{1}-y_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{2}}）}{\xi (\mathrm{1}-y_{\mathrm{1}})}A(n)+\frac{\beta （\mathrm{1}-y_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{2}}）}{\xi (\mathrm{1}-y_{\mathrm{2}})}B(n),

P_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{0,0})=\frac{\xi }{\lambda }{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{2})+\frac{\mu }{\lambda }{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{1,0})+\frac{\theta }{\lambda }{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{2,0}),

\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}}(\mathrm{1},k)=A(n)y_{\mathrm{1}}^k+B(n)y_{\mathrm{2}}^k,\\ k=\mathrm{0,1},\cdots ,n+\mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}

通过差分方程求解上述式子， 结合期望社会效益的表达式可得定理结论。

3 几乎不可见下的均衡策略

定理 3　不可观测的M/M/1具有灾难及负顾客的重试排队的稳态概率为

P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n)=d_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n\begin{array}{cc}，& n=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ，\end{array}

P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{3},\mathrm{0})=\frac{\beta d_{\mathrm{1}}}{\xi (\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})},

P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2},n)=\frac{r}{\theta }{d}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n\begin{array}{cc}，& n=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ，\end{array}

P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},\mathrm{0})=\frac{d_{\mathrm{1}}[\beta +(\mu +r)(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})]}{\lambda (\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})}，

P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},n)=\frac{\mu +r}{\lambda +\alpha }{d}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n\begin{array}{cc}，& n=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\cdots \end{array},

其中，

d_{\mathrm{1}}=\frac{\lambda \xi \theta (\lambda +\alpha )(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})}{(\lambda +\alpha )\left[\xi \theta \left(\mu +\beta +r+\lambda \right)+\lambda \beta \theta +\lambda r\xi \right]-\alpha \xi \theta (\mu +r)x_{\mathrm{1}}},

x_{\mathrm{1}}=\frac{(\lambda q+\beta )(\lambda +\alpha )+\alpha (\mu +r)}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)}-\frac{\sqrt[]{[(\lambda q+\beta )(\lambda +\alpha )+\alpha {(\mu +r)]}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\lambda q\alpha (\mu +r)(\lambda +\alpha )}}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)}\mathrm{。}

证明　令P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(i,n)是模型处于状态(i,n)的平稳分布， 系统在稳定状态概率守恒， 所以输入等于输出， 利用以下平衡方程进行计算。

\begin{array}{l}\xi P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2})=\beta [P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},\mathrm{0})+P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1,1})+P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},\mathrm{2})+\\ \hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\cdots +P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n)],\begin{array}{cc}n=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ，& \end{array}\end{array}

\lambda P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0,0})=\xi P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2})+\mu P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1,0})+\theta P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2,0}),

(\lambda +\alpha )P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},n)=\mu P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n)+\theta P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2},n)，

n=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\cdots ，

(\beta +\mu +\lambda q+r)P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n)=\lambda P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},n)+

\alpha P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},n+\mathrm{1})+\lambda q{P}_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n-\mathrm{1}),n=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ，

\begin{array}{c}(\beta +\mu +\lambda q+r)P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},\mathrm{0})=\\ \lambda P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},\mathrm{0})+\alpha P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{0},\mathrm{1}),\end{array}

\theta P_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{2},n)=r{P}_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},n)\begin{array}{cc}，& n=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots \end{array}\mathrm{。}

使用差分方程求解上述方程组可得定理结论。

定理 4　考虑不可观测的M/M/1具有灾难及负顾客的重试排队系统中， 存在唯一的均衡混合策略， 即以概率q_{\mathrm{e}}加入系统， 其中，

这里， R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{l_{\mathrm{3}}(\mu ,\beta ,r)C(Q-MN)-\mu N{R}_{\mathrm{s}}}{\mu +\beta +r-\mu N},

\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{CQ{l}_{\mathrm{3}}(\mu ,\beta ,r)[\mathrm{1}-L{x}_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})]}{(\beta +r)[\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})]+\mu (\mathrm{1}-L)}-\\ \frac{-L[\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})][CM{l}_{\mathrm{3}}(\mu ,\beta ,r)+\mu R_{\mathrm{s}}]}{(\beta +r)[\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})]+\mu (\mathrm{1}-L)},\end{array}

\begin{array}{c}{q}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}-D}{\lambda (\lambda +\alpha )(DL-D)}\cdot \\ \left\{\left.\frac{\mathrm{1}-D}{\mathrm{1}-DL}[\alpha (\mu +r)]-[\alpha (\mu +\beta +r)+\beta \lambda ]\right\}\right.，\end{array}

其中， M， N， Q， L与定理1中一致。

证明　类似于定理1。

定理 5　在不可观测的M/M/\mathrm{1}具有灾难及负顾客的重试排队系统中， 给定顾客以概率q进入重试排队， 期望的社会福利为

\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}}(q)=\lambda \xi \theta \frac{R_{\mathrm{s}}(\mu +r)(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})(\lambda +\alpha )+R_{\mathrm{f}}\beta (\lambda +\alpha )}{\left\{(\lambda +\alpha )\left.l_{\mathrm{4}}-\alpha \xi \theta (\mu +r)x_{\mathrm{1}}\right\}\right.(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})}-\\ \lambda \xi \theta \frac{C\left[\lambda +\alpha +(\mu +r)x_{\mathrm{1}}\right]}{\left\{(\lambda +\alpha )\left.l_{\mathrm{4}}-\alpha \xi \theta (\mu +r)x_{\mathrm{1}}\right\}\right.(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})},\end{array}

其中， x_{\mathrm{1}}=\frac{l_{\mathrm{5}}-\sqrt[]{l_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\alpha \lambda q(\mu +r)(\lambda +\alpha )}}{\mathrm{2}\alpha (\mu +r)},

d_{\mathrm{1}}=\frac{\lambda \xi \theta (\lambda +\alpha )(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}})}{(\lambda +\alpha )l_{\mathrm{4}}-\alpha \xi \theta (\mu +r)x_{\mathrm{1}}},

l_{\mathrm{4}}=\xi \theta \left(\mu +\beta +r+\lambda \right)+\lambda \beta \theta +\lambda r\xi ,

l_{\mathrm{5}}=(\beta +\lambda q)(\lambda +\alpha )+\alpha (\mu +r)\mathrm{。}

证明　给定顾客以概率q进入重试排队， 期望的社会福利为

\begin{array}{c}{S}_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}}(q)=\lambda q{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{P}_{\mathrm{u}\mathrm{n}}(\mathrm{1},k)·\\ \left[\frac{\mu L^{k+\mathrm{1}}}{\mu +\beta +r}{R}_s+\left(\mathrm{1}-\frac{\mu L^{k+\mathrm{1}}}{\mu +\beta +r}\right)R_f\right]+\\ \lambda {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\infty }}{P}_{un}(\mathrm{0},k)\left(\frac{\mu }{\mu +\beta +r}{R}_s+\frac{\beta +r}{\mu +\beta +r}{R}_f\right)-\\ C{E}_{\mathrm{u}\mathrm{n}}\left[Q\right]\mathrm{。}\end{array}

计算可得

\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{n}}\left[Q\right]={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\infty }}(k+\mathrm{1})P_{un}(\mathrm{1},k)+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\infty }}k{P}_{un}(\mathrm{0},k)=\\ \frac{d_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}(\mu +r)+(\lambda +\alpha )d_{\mathrm{1}}}{(\lambda +\alpha )(\mathrm{1}-x_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}

利用上式整理可得定理结论。

4 数值模拟

4.1 系统参数对性能指标的影响

由图 1 可知， 随着队列长度N的增加， 系统处于忙期的概率会显著增加， 系统处于故障的概率也会变大， 所以顾客能够被成功服务的概率在减少。

由图 2 可知， 随着队列长度N的增加， 顾客的滞留时间在增加， 这是因为顾客的滞留时间可能由于服务设施故障或者重试成功概率的减少而变大。同时， 当灾难性故障发生的概率越大时， 顾客被清理的可能性也越大， 因此滞留时间会变小。

4.2 系统参数对均衡策略的影响

由图 3 可知， 随着顾客由于灾难或故障得到的赔偿的增加， 均衡阈值n_{\mathrm{e}}和n_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}}都会增大， 并且顾客获得的收益将更大， 此时顾客将更愿意加入到重试轨道中去排队。相对于社会最优策略来说， 个体最优占优势。

由图 4 可知， 随着赔偿费用的增加， 顾客的最优进队概率和社会最优下的进队概率都会增加。此时， 社会最优和个体最优的均衡策略是一致的。

5 结论

本文分析了具有灾难及负顾客的不可靠M/M/1重试排队模型， 主要探讨两种不同信息结构下， 顾客的均衡策略及社会最优策略。在可观测情况下， 得到个体均衡阈值策略， 并根据给定的阈值推导出社会福利函数。数值模拟结果表明社会福利最大化下的阈值小于等于个体利益最大化下的阈值。在不可观测情形下， 推导出了均衡进入概率和社会最优概率的精确解。数值模拟结果显示社会最优情形下的进入概率总是小于个体最优情形下的进入概率。此外通过比较R_f对社会福利的影响可以发现， 对于较大的补偿金额， 可以选择公开信息， 为了最优的社会福利， 可以根据情况来决定采用完全公开信息还是不公开信息。

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