自适应网络上带有医疗资源的传染病建模与分析

Modelling and Analysis of Infectious Disease with Medical Resources on Adaptive Network

摘要

本文建立了自适应网络中带有医疗资源的SIS传染病模型， 研究了适应性行为与医疗资源对疾病传播的影响。采用泊松分布下的三元组逼近公式封闭系统。由无病平衡点的稳定性得到了基本再生数R_{\mathrm{0}}， 通过排除特殊点的方法与Hurwitz判据分别分析了地方病平衡点的存在性与稳定性。当时， 在医疗资源增加但未达上限时， 治愈率\delta与治疗延误的影响程度\alpha都会导致后向分支的发生； 而重连率\omega会引发后向分支、 鞍结点分支和Hopf分支。模拟结果表明， 当时系统会出现双稳态与稳定极限环。

Abstract

A SIS infectious disease model with medical resources in the adaptive network was established， and the influence of adaptive behavior and medical resources on the spread of disease was studied. The system was closed by using the triple approximation formula under the Poisson distribution. The basic reproduction number R_{\mathrm{0}} is obtained from the stability of the disease-free equilibrium. The existence and stability of endemic equilibrium are analyzed separately using the method of excluding special points and the Hurwitz criterion. As medical resources increase but have not yet reached the upper limit when ， the cure rate \delta and the degree of impact \alpha caused by delayed treatment can both lead to the occurrence of backward bifurcation； while the rewiring rate \omega can trigger backward bifurcation， saddle-node bifurcation and Hopf bifurcation. The simulations indicate that the bistability and stable limit cycle occur when .

Graphical abstract

关键词

自适应网络 / 医疗资源 / 分支 / 双稳态 / 稳定极限环

Key words

adaptive networks / medical resources / bifurcation / bistability / stable limit cycle

0 引　言

长期以来， 为了加深人类对疾病传播机制的了解， 许多学者都采用数学模型来研究疾病的传播动态。这种方法的起源可以追溯到1760年对天花传播的研究^［1‐2］。早期建立并研究的流行病模型主要是基于均匀同质混合的假设。模型假定人口间的混合均匀， 即每个个体之间的接触不存在差异， 所有人接触其他个体的机会均等^［1］。然而， 该假设未能真实反映现实中人类交往的多样性与活动范围的有限性。因此， 随着复杂网络理论的不断发展， 更多学者开始关注疾病在网络中的传播， 用以更精确地描述疾病传播的过程。

近年来， 疾病在复杂网络上的建模引起了广泛的关注。现实世界中， 人与人之间的社交关系可看作一个社会网络。其中， 节点代表个体， 节点间的连边代表个体之间有接触行为。对于疾病在复杂网络上的建模， 比较典型的有Pastor-Satorras等^［3］提出的无标度网络上的SIS传染病模型， 该模型研究了网络的异质性对疾病传播的影响， 并发现当节点的度服从幂律分布时不存在传播阈值。另一种经典的传染病模型是基于网络连边的对逼近模型。例如， Luo等^［4］研究了规则和随机网络上的SIS对逼近模型， 并详细给出了平衡点稳定性的证明。Wu等^［5］研究了加权网络上的SIS流行病模型的阈值条件。上述两种经典模型都假设网络的拓扑结构不变， 是静态网络上的传染病模型。然而， 现实社会中发生感染行为时， 人们会减少甚至中断与感染个体的接触， 同时选取较为安全的个体作为新的邻居， 即网络的拓扑结构会随着节点状态的变化而动态调整。刻画这类现象的网络模型被称为自适应网络模型。近年来， 疾病在自适应网络上的传播被关注^［6‐9］。最早的自适应网络上的传染病模型由Gross等提出， 并用数值模拟的方法验证了后向分支、 Hopf分支动力学行为的发生^［6］。其模型为

\left\{\begin{array}{l}[\stackrel{·}{S}]=-\tau [SI]+r[I],\\ [\stackrel{·}{I}]=\tau [SI]-r[I],\\ [\stackrel{·}{SS}]=\mathrm{2}r[SI]-\mathrm{2}\tau [SSI]+\mathrm{2}\omega [SI],\\ [\stackrel{·}{SI}]=-r[SI]+r[II]-\tau [SI]-\tau [ISI]+\tau [SSI]-\omega [SI],\\ [\stackrel{·}{II}]=-\mathrm{2}r[II]+\mathrm{2}\tau [SI]+\mathrm{2}\tau [ISI]\mathrm{。}\end{array}\right.（1）

Zhang等^［10］对该模型进行了详细的数学分析， 并证明了BT分支及双极限环的发生。Lu等^［11］采用新的矩封闭验证了该模型会发生跨临界分支、 鞍结点分支、 后向分支与Hopf分支， 并验证了系统存在双稳态与振荡。Bodó等^［12］分析了该模型参数平面的稳定性， 并用参数表示方法给出鞍结点分支与Hopf分支曲线， 模拟发现同宿轨分支会导致不稳定周期轨道的发生， 倍周期分支导致双极限环消失。

在生活中， 医疗能对控制和预防疾病暴发起到很好的作用。例如， 肺结核、 荨麻疹等疾病发生时， 通过治疗可以有效防止其传播。常见的治疗函数中， 一种是分段线性治疗函数h(I)=\left\{\begin{array}{ll}\delta I& \mathrm{0}\le I\le I_{\mathrm{0}}\\ m=\delta I_{\mathrm{0}}& I>I_{\mathrm{0}}\end{array}\right.， 其中I_{\mathrm{0}}为治疗能力达到最大值时的感染水平^［13］； 另一种是非线性饱和治疗函数h(I)=\frac{\delta I}{\mathrm{1}+\alpha I}， 其中\alpha为染病者治疗延误的影响程度， \delta为治愈率， 当染病者数量I较小时， h(I)\approx \mathrm{0}， 反之， h(I)\approx \frac{\delta }{\alpha }， 这意味着治疗将趋于饱和^［14］。Lu等^［15］研究了自适应网络上线性治疗函数的流行病模型动态行为。本文将在Gross等提出的自适应网络上的传染病模型基础上， 考虑非线性连续可微的饱和治疗函数， 采用泊松分布下的三元组逼近公式封闭系统并研究降维后的系统。由无病平衡点的稳定性得到疾病传播的基本再生数R_{\mathrm{0}}， 利用参数间的矛盾排除特殊点的方法分析地方病平衡点的存在性， 并由Hurwitz判据分析地方病平衡点的稳定性。最后通过模拟分析系统的其他动力学行为。

1 模型的建立

考虑包含点集P与边集K的自适应网络W=(P,K)。假设网络无孤立节点， 用N=|P|表示网络总节点数； 用nN=|K|表示网络总边数， 其中n为网络的平均度， 并规定n>\mathrm{1}。假设网络中节点类型只有易感节点S和染病节点I。其中， S为易感者， 表示处于健康状态但容易被感染的个体； I为染病者， 表示处于染病状态的个体； SS、 SI、 II分别表示易感者与易感者、 易感者与染病者、 染病者与染病者构成的边； ABC表示以状态B为中心的节点， 其邻居的状态分别为A和C， 并且A,B,C\in \left\{S,I\right\}。

对于模型中的变量， [S]和[I]表示易感节点和染病节点的数量； [SS]、 [SI]、 [II]分别表示二元组SS、 SI、 II的数量； [SSI]和[ISI]表示三元组S-S-I和I-S-I的数量； \tau为传染率； r为恢复率； \omega为重连率。\omega [SI]表示易感个体以\omega的速率断开与染病者邻居的连接， 之后随机选择一个没有连边的易感个体重新建立连接。每个感染节点平均跟\frac{[II]}{[I]}个感染节点相连， 这些节点构成的II边通过治疗被恢复为SI边的总数为\mathrm{2}h(I)\frac{[II]}{[I]}（h(I)=\frac{\delta [I]}{\mathrm{1}+\alpha [I]}）。同理， 每个感染节点平均跟\frac{[SI]}{[I]}个易感节点相连， 并且这些节点构成的SI边通过治疗被恢复为SS边的总数为h(I)\frac{[SI]}{[I]}。建立如下带有饱和治疗机制的自适应网络上的传染病模型

\left\{\begin{array}{l}[\stackrel{·}{S}]=-\tau [SI]+r[I]+h(I),\\ [\stackrel{·}{I}]=\tau [SI]-r[I]-h(I),\\ [\stackrel{·}{SS}]=\mathrm{2}r[SI]-\mathrm{2}\tau [SSI]+\mathrm{2}\omega [SI]+\mathrm{2}h(I)\frac{[SI]}{[I]},\\ [\stackrel{·}{SI}]=-r[SI]+r[II]-\tau [SI]-\tau [ISI]+\tau [SSI]-\omega [SI]-h(I)\frac{[SI]}{[I]}+h(I)\frac{[II]}{[I]},\\ [\stackrel{·}{II}]=-\mathrm{2}r[II]+\mathrm{2}\tau [SI]+\mathrm{2}\tau [ISI]-\mathrm{2}h(I)\frac{[II]}{[I]}\mathrm{。}\end{array}\right.（2）

假设网络中的度分布服从Poisson分布并且不考虑网络聚类， 使用Keeling等^［16］提出的三元组逼近来封闭系统

[SSI]=\frac{[SS][SI]}{[S]}， [ISI]=\frac{[SI][SI]}{[S]}。（3）

由于网络中易感节点以速率\omega断开与染病节点的连接后， 又会与其他易感节点建立新的连接。这种断键重连机制不会改变网络的总节点数N和总边数nN。因此， 以下平衡条件得以成立， 即

[S]+[I]=N， [SS]+\mathrm{2}[SI]+[II]=nN。（4）

对系统（2）进行无量纲变换

s=\frac{[S]}{N},i=\frac{[I]}{N},P_{SS}=\frac{[SS]}{nN},P_{SI}=\frac{\mathrm{2}[SI]}{nN},P_{II}=\frac{[II]}{nN}\mathrm{。}（5）

显然， 等式

s+i=\mathrm{1}， P_{SS}+P_{SI}+P_{II}=\mathrm{1}（6）

是成立的。

利用式（6）对系统（2）降维后， 模型转化为

\left\{\begin{array}{l}\dot{i}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tau n{P}_{SI}-ri-\frac{\delta i}{\mathrm{1}+N\alpha i},\\ \begin{array}{l}{\dot{P}}_{SI}=\frac{\tau n}{\mathrm{1}-i}{P}_{SI}(\mathrm{1}-P_{SI}-P_{II})-\tau P_{SI}\left(\mathrm{1}+\frac{n{P}_{SI}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-i)}\right)-\\ (r+\omega )P_{SI}+\mathrm{2}r{P}_{II}+\frac{\delta (-P_{SI}+\mathrm{2}{P}_{II})}{\mathrm{1}+N\alpha i},\end{array}\\ {\dot{P}}_{II}=\tau P_{SI}\left(\mathrm{1}+\frac{n{P}_{SI}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-i)}\right)-\mathrm{2}r{P}_{II}-\frac{\mathrm{2}\delta P_{II}}{\mathrm{1}+N\alpha i}\mathrm{。}\end{array}\right.（7）

定义系统的参数空间为

并且

是系统（7）的正向不变集。本文将研究系统（7）在参数空间\Lambda与正向不变集\Omega下的动力学行为。

2 系统动力学分析

2.1 无病平衡点与基本再生数

显然， E_{\mathrm{0}}=(\mathrm{0,0},\mathrm{0})是系统（7）的无病平衡点。定义疾病的基本再生数为R_{\mathrm{0}}=\frac{\tau n}{r+\delta +\omega }。

定理 1　当时， 无病平衡点E_{\mathrm{0}}局部渐近稳定； 当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， 无病平衡点E_{\mathrm{0}}不稳定。

证明　系统（7）在E_{\mathrm{0}}处线性化后的Jacobian矩阵为

\mathit{J}=\left[\begin{array}{ccc}-q& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tau n& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\tau -d& \mathrm{2}q\\ \mathrm{0}& \tau & -\mathrm{2}q\end{array}\right],

其中， q=r+\delta >\mathrm{0}， d=r+\delta +\omega -\tau n。

系统（7）在E_{\mathrm{0}}处的特征方程为

F_{\mathrm{0}}(\lambda )=(\lambda +q)({\lambda }^{\mathrm{2}}+(\mathrm{2}q+\tau +d)\lambda +\mathrm{2}qd)\mathrm{。}（8）

显然， {\lambda }_{\mathrm{1}}=-q是矩阵的一个特征值， 矩阵其余两个特征值{\lambda }_{\mathrm{2}}与{\lambda }_{\mathrm{3}}满足

{\lambda }_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}=-(\mathrm{2}q+\tau +d)， {\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}qd\mathrm{。}（9）

当即d>\mathrm{0}时， {\lambda }_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}， {\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}。此时{\lambda }_{\mathrm{2}}与{\lambda }_{\mathrm{3}}具有负实部， 无病平衡点E_{\mathrm{0}}局部渐近稳定。当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， ， 此时矩阵有一特征值非负， E_{\mathrm{0}}不稳定。

2.2 地方病平衡点

2.2.1 地方病平衡点的存在性

下面研究系统（7）的地方病平衡点。令系统（7）的右端等于零， 得

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tau n{P}_{SI}-ri-\frac{\delta i}{\mathrm{1}+N\alpha i}=\mathrm{0},\\ \frac{\tau n}{\mathrm{1}-i}{P}_{SI}(\mathrm{1}-P_{SI}-P_{II})-\tau P_{SI}\left(\mathrm{1}+\frac{n{P}_{SI}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-i)}\right)-(r+\omega )P_{SI}+\mathrm{2}r{P}_{II}+\frac{\delta (-P_{SI}+\mathrm{2}{P}_{II})}{\mathrm{1}+N\alpha i}=\mathrm{0},\\ \tau P_{SI}\left(\mathrm{1}+\frac{n{P}_{SI}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-i)}\right)-\mathrm{2}r{P}_{II}-\frac{\mathrm{2}\delta P_{II}}{\mathrm{1}+N\alpha i}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（10）

计算方程组（10）第一个和第三个方程可得

P_{SI}=\frac{\mathrm{2}i(N\alpha ri+r+\delta )}{\tau n(\mathrm{1}+N\alpha i)}，（11）

P_{II}=\frac{(-N\alpha \tau +N\alpha r)i^{\mathrm{3}}+(N\alpha \tau -\tau +r+\delta )i^{\mathrm{2}}+\tau i}{\tau n(\mathrm{1}-i)(\mathrm{1}+N\alpha i)}\mathrm{。}（12）

将式（11）与式（12）代入方程组（10）的第二个方程， 得到i满足方程

f(i)=：A{i}^{\mathrm{3}}+B{i}^{\mathrm{2}}+Ci+D=\mathrm{0}，（13）

其中，

\begin{array}{l}A=N\alpha (\omega -\tau ),\\ B=N\alpha \tau n-N\alpha (\mathrm{2}\omega -\tau )+(\omega -\tau ),\\ C=(\mathrm{1}-N\alpha )\tau n+N\alpha (r+\omega )+(\tau -\mathrm{2}\omega ),\\ D=r+\delta +\omega -\tau n=(\mathrm{1}-R_{\mathrm{0}})(r+\delta +\omega )\mathrm{。}\end{array}

定理 2　 A， B， C， D与R_{\mathrm{0}}的符号之间有如下关系成立：

1） 若R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}， A>\mathrm{0}且C\ge \mathrm{0}， 则D\le \mathrm{0}且B>\mathrm{0}；

2） 若R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}且， 则B+C恒大于0；

3） 若且B\ne \mathrm{0}， 则B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC>\mathrm{0}；

4） 若A=\mathrm{0}， 则B>\mathrm{0}。

证明　1） 当R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}时， 显然D\le \mathrm{0}。

由A>\mathrm{0}， C\ge \mathrm{0}与R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}， 得

\left\{\begin{array}{l}\omega >\tau ,\\ \tau -\mathrm{2}\omega \ge N\alpha \tau n-\tau n-N\alpha r-N\alpha \omega ,\\ \tau n-r-\omega \ge \delta \mathrm{。}\end{array}\right.

将上面不等式组代入B的表达式， 整理可得

\begin{array}{c}B=N\alpha \tau n+N\alpha (\tau -\mathrm{2}\omega )+(\omega -\tau )\ge \\ N\alpha \tau n+N\alpha [N\alpha (\tau n-r-\omega )-\tau n]+(\omega -\tau )\ge \end{array}

\begin{array}{c}N\alpha \tau n+N\alpha (N\alpha \delta -\tau n)+(\omega -\tau )=\\ N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}\delta +(\omega -\tau )>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

2） 当R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}时， B+C\ge N\alpha (\tau -\omega )+r+\delta +N\alpha r>\mathrm{0}\mathrm{。}

3） 当B\ne \mathrm{0}时， 计算并化简B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC， 得

\begin{array}{c}{B}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC=\\ N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}[(n^{\mathrm{2}}-n+\mathrm{1}){\tau }^{\mathrm{2}}-(n+\mathrm{1})\omega \tau +{\omega }^{\mathrm{2}}]+\\ \mathrm{3}{N}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}r(\tau -\omega )+N\alpha (n\tau +\tau -\mathrm{2}\omega )(\tau -\omega )+\\ {(\tau -\omega )}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

将(n^{\mathrm{2}}-n+\mathrm{1}){\tau }^{\mathrm{2}}-(n+\mathrm{1})\omega \tau +{\omega }^{\mathrm{2}}看成关于\tau的二次函数， 由于n^{\mathrm{2}}-n+\mathrm{1}恒正， 故该函数开口向上。同时， 函数的判别式为。因此， (n^{\mathrm{2}}-n+\mathrm{1}){\tau }^{\mathrm{2}}-(n+\mathrm{1})\omega \tau +{\omega }^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}恒成立， 故B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC>\mathrm{0}。

4） 由A=\mathrm{0}得

\begin{array}{c}B=N\alpha \tau n-N\alpha \omega =N\alpha \tau n-N\alpha \tau =\\ N\alpha \tau (n-\mathrm{1})>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

接下来， 对方程（13）两边求导， 得

f\text{'}(i)=：\mathrm{3}A{i}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}Bi+C=\mathrm{0}\mathrm{。}（14）

当A\ne \mathrm{0}， 记方程（14）的判别式为\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}=\mathrm{4}(B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC)， 定义方程（14）的两个实根为i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}与i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}。若A>\mathrm{0}且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{-B-\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}\le \frac{-B+\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}=i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}； 若且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=

\frac{-B+\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}\le \frac{-B-\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}=i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}； 若方程（14）无实根。

定理 3　 f\text{'}(\mathrm{1})与f(\mathrm{1})都恒大于0。若A>\mathrm{0}且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则； 若且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{1}。

证明　 f(\mathrm{1})=A+B+C+D=Nar+\delta+r>0， f\text{'}(\mathrm{1})=\mathrm{3}A+\mathrm{2}B+C=N\alpha r+\tau (n-\mathrm{1})(N\alpha +\mathrm{1})>0。

接下来， 若A>\mathrm{0}且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}时， 由f\text{'}(\mathrm{1})>\mathrm{0}可知\mathrm{3}A(\mathrm{3}A+\mathrm{2}B+C)>0， 这与i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-B+\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}<1等价。下面用反证法证明。若且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}时， i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-B-\sqrt[]{B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC}}{\mathrm{3}A}≤1， 移项并平方消元可得\mathrm{3}A(\mathrm{3}A+\mathrm{2}B+C)\ge \mathrm{0}， 即\mathrm{3}A+\mathrm{2}B+C\le \mathrm{0}， 这与f\text{'}(\mathrm{1})>\mathrm{0}矛盾。定理3得证。

当A\ne \mathrm{0}时， 对方程（13）在(\mathrm{0,1}]上的正根数目进行如下讨论：

1） A>\mathrm{0}， R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}。

a） 若， 则\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}>\mathrm{0}且。由于， 由零点存在定理与定理3可知。因此， 当时， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})上单调递减， 在(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。又因为f(\mathrm{0})=D\le \mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根。

b） 若C\ge \mathrm{0}， 由定理2中的1）可知B>\mathrm{0}。f″(i)=\mathrm{6}Ai+\mathrm{2}B在(\mathrm{0,1}]上恒大于零， 故f\text{'}(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。由于f\text{'}(\mathrm{0})=C\ge \mathrm{0}， 因此f\text{'}(i)\ge \mathrm{0}在(\mathrm{0,1}]上恒成立， 即f(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。此时f(i)在(\mathrm{0,1}]上根的数目取决于R_{\mathrm{0}}的符号。考虑以下两种情形：

i） 当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， ， f(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根。

ii） 当R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}时， f(\mathrm{0})=0， f(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

2） A>\mathrm{0}， 。

a） 若， 则\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}>\mathrm{0}且。由于， 由零点存在定理与定理3可知， 。因此， 当时， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})上单调递减， 在(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。又因为f(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上正根情况由f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})的正负决定： 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有一对正二重根； 当时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有2个互异实根。

b） 若B\ge \mathrm{0}且C\ge \mathrm{0}， 则f^{″}(i)=\mathrm{6}Ai+\mathrm{2}B在(\mathrm{0,1}]上恒大于0， 故f\text{'}(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。由于f\text{'}(\mathrm{0})=C\ge \mathrm{0}， 因此f\text{'}(i)\ge \mathrm{0}在(\mathrm{0,1}]上恒成立， 即f(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。又因为f(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

c） 若且C>\mathrm{0}， 此时\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}正负不定， 考虑以下两种情形：

i） 当\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}>\mathrm{0}时， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}且i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-\mathrm{2}B}{\mathrm{3}A}。由定理3可知， 并且f\text{'}(\mathrm{0})=C>\mathrm{0}。因此， 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}； 当时， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})上单调递增， 在(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})上单调递减， 在(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。由于f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})>f(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上正根情况由f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})的正负决定： 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有一对正二重根； 当时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有2个互异实根。

ii） 当\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\le \mathrm{0}时， 在(\mathrm{0,1}]上f\text{'}(i)>\mathrm{0}恒成立， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。由于f(\mathrm{0})>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

d） 若且C=\mathrm{0}， 则\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}>\mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}=\mathrm{0}且i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-\mathrm{2}B}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}。此时， ， f\text{'}(\mathrm{0})=\mathrm{0}。因此， 当时， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})单调递减， 在(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。由于f(\mathrm{0})=f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上正根情况由f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\frac{\mathrm{27}{A}^{\mathrm{2}}D+\mathrm{4}{B}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{27}{A}^{\mathrm{2}}}的正负决定： 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有一对正二重根； 当时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有2个互异实根。

3） ， R_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{1}。

a） 若C>\mathrm{0}或C=\mathrm{0}且B>\mathrm{0}（由定理2中的2）得到）时， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}\le \mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}≤0<1<i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}。由于f\text{'}(\mathrm{0})=C\ge \mathrm{0}， 因此f\text{'}(i)\ge \mathrm{0}在(\mathrm{0,1}]上恒成立， 即f(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。此时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上根的数目取决于f(\mathrm{0})的符号， 即与R_{\mathrm{0}}的符号有关。考虑以下两种情形：

i） 当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， ， f(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根。

ii） 当R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}时， f(\mathrm{0})=\mathrm{0}， f(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

b） 若， 由定理2中的2）可知B>\mathrm{0}。再由定理2中的3）得， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}=\mathrm{4}(B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC)>\mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}且i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-\mathrm{2}B}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}。由零点存在定理与定理3可知， 。由于， 因此， 当时， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})上单调递减， 在(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。由于f(\mathrm{0})=D\le \mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根。

4） ， 。

a） 若C>\mathrm{0}或C=\mathrm{0}且B>\mathrm{0}（由定理2中的2）得到）时， 则\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}\le \mathrm{0}且。由于f\text{'}(\mathrm{0})=C\ge \mathrm{0}， 因此， f\text{'}(i)\ge \mathrm{0}在(\mathrm{0,1}]上恒成立， 即f(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。又因为f(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

b） 若， 由定理2中的2）可知B>\mathrm{0}。再由定理2中的3）可得， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}=\mathrm{4}(B^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}AC)>\mathrm{0}， i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\cdot i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{C}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}且i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{-\mathrm{2}B}{\mathrm{3}A}>\mathrm{0}。由零点存在定理与定理3可知。由于， 因此， 当， ； 当时， f\text{'}(i)>\mathrm{0}。故f(i)在(\mathrm{0},i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})上单调递减， 在(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}},\mathrm{1}]上单调递增。由于f(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根， 故f(i)在(\mathrm{0,1}]上正根的情况由f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})的正负决定： 当f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})>\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有一对正二重根； 当时， f(i)在(\mathrm{0,1}]上有2个互异实根。

当A=\mathrm{0}时， g(i)\triangleq f(i)=： B{i}^{\mathrm{2}}+Ci+D=\mathrm{0}。由定理2中的4）可知此时B>\mathrm{0}恒成立。再记方程g(i)的判别式为\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}=C^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}BD， 并定义g(i)的两个实根为i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}与i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}。因此， 若\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\frac{-C-\sqrt[]{C^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}BD}}{\mathrm{2}B}\le \frac{-C+\sqrt[]{C^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}BD}}{\mathrm{2}B}=i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}； 若， 则g(i)无实根。

定理 4　当A=\mathrm{0}时， g(\mathrm{1})恒大于0。若A=\mathrm{0}且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}， 则。

证明： A=0时， \mathrm{g}(\mathrm{1})=B+C+D=N\alpha r+\delta+r>\mathrm{0}。若A=0且\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}≥0时， 由g(\mathrm{1})>0可知， \mathrm{4}B(B+C+D)>0， 这与i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}=\frac{-C+\sqrt[]{C^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}BD}}{\mathrm{2}B}<1等价。定理4得证。

当A=\mathrm{0}时， 对g(i)在(\mathrm{0,1}]上的正根数目进行如下讨论：

1） A=\mathrm{0}， R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}： 此时\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\ge \mathrm{0}且。由定理4可知， 。故g(i)在(\mathrm{0,1}]上只有一个根i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}。

2） A=\mathrm{0}， ： 此时\mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}的符号不定。对g(i)进行求导可得， g\mathrm{\text{'}}(i)=\mathrm{2}Bi+C， 再考虑如下两种情形：

a） 若C\ge \mathrm{0}， 则g\mathrm{\text{'}}(i)>\mathrm{0}在(\mathrm{0,1}]上恒成立， 即g(i)在(\mathrm{0,1}]上单调递增。由于g(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故g(i)在(\mathrm{0,1}]上无根。

b） 若， 则， g\mathrm{\text{'}}(\mathrm{1})>\mathrm{0}。故在(\mathrm{0,1}]上存在一点\tilde{i}=\frac{-C}{\mathrm{2}B}使得g\mathrm{\text{'}}(\tilde{i})=\mathrm{0}。因此， 当时， ； 当时， g\mathrm{\text{'}}(i)>0。即g(i)在(\mathrm{0},\tilde{i})单调递减， 在(\tilde{i},\mathrm{1}]单调递增。由于g(\mathrm{0})=D>\mathrm{0}， 故g(i)在(\mathrm{0,1}]上根的情况由g(\tilde{i})的符号决定： 当g(\tilde{i})>\mathrm{0}时， g(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当g(\tilde{i})=\mathrm{0}时， g(i)在(\mathrm{0,1}]上有一对正二重根i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}（i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}）； 当时， g(i)在(\mathrm{0,1}]上有2个互异实根i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}与i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}， 其中g(\tilde{i})=\frac{\mathrm{4}BD-C^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}B}。

3） A=\mathrm{0}， R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}： g(i)=:B{i}^{\mathrm{2}}+Ci=i(Bi+C)=0

显然， 当C\ge \mathrm{0}时， g(i)在(\mathrm{0,1}]上没有根； 当时， 由定理4可知g(i)在(\mathrm{0,1}]上有一个根i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}\mathrm{*}}。

定理 5　对于系统（7）， 无病平衡点是始终存在的。地方病平衡点的分布见表 1。

由定理5可知， 当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时， 系统有唯一的正平衡点； 当时， 系统有多个正平衡点共存的情况。

2.2.2 地方病平衡点的稳定性

系统（7）在地方病平衡点\widehat{E}=(\widehat{i},{\widehat{P}}_{SI},{\widehat{P}}_{II})处线性化对应的Jacobian矩阵为

\mathit{J}(\widehat{E})=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{\mathrm{11}}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tau n& \mathrm{0}\\ J_{\mathrm{21}}& J_{\mathrm{22}}& J_{\mathrm{23}}\\ J_{\mathrm{31}}& J_{\mathrm{32}}& J_{\mathrm{33}}\end{array}\right]。（15）

其中， J_{\mathrm{11}}=-r-\frac{\delta }{{(\mathrm{1}+N\alpha \widehat{i})}^{\mathrm{2}}},

J_{\mathrm{21}}=

\frac{\mathrm{2}{N}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}r\omega {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}r\delta \widehat{i}(N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}N\alpha \widehat{i}+N\alpha +\mathrm{2})}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}-\widehat{i})}+

\frac{\mathrm{2}\delta \omega \widehat{i}}{\tau n(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\widehat{i})}+\frac{\mathrm{2}\tau \delta \widehat{i}(\mathrm{3}N\alpha \widehat{i}+N\alpha +\mathrm{2})}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}-\widehat{i})}+

\frac{\mathrm{2}{N}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}(\mathrm{6}{r}^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{4}}+r\delta {\widehat{i}}^{\mathrm{3}}+\delta \omega {\widehat{i}}^{\mathrm{4}}+\tau \delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6})}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+

\frac{\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}\widehat{i}(N\alpha +\mathrm{1})}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}r\omega \widehat{i}}{\tau n(\mathrm{1}-\widehat{i})}-

\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}i(\mathrm{2}i-\mathrm{1})}{\tau n{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}},

J_{\mathrm{22}}=\frac{\delta {(\mathrm{2}\widehat{i}-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\tau n(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\widehat{i})}+\frac{r{(\mathrm{2}\widehat{i}-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\tau n(\mathrm{1}-\widehat{i})}-

\frac{\omega (\mathrm{1}-\widehat{i})-\mathrm{1}}{\tau n}-\frac{\mathrm{1}}{n},

J_{\mathrm{23}}=\frac{\mathrm{2}\delta (\mathrm{1}-\mathrm{2}\widehat{i})}{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\widehat{i})}+\frac{\mathrm{2}r(\mathrm{1}-\mathrm{2}\widehat{i})}{(\mathrm{1}-\widehat{i})},

J_{\mathrm{31}}=-\frac{{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}{(r+\delta )}^{\mathrm{2}}-N\alpha \tau \delta \widehat{i}}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+

\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}}{\tau n{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}N\alpha {\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}-\widehat{i})}+

\frac{\mathrm{2}N\alpha r\delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-\widehat{i})}+\frac{\mathrm{2}N\alpha \tau \delta \widehat{i}}{\tau n{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+

\frac{\mathrm{4}r\delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}{\tau n{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}},

J_{\mathrm{32}}=\tau +\frac{\mathrm{2}r\widehat{i}}{\mathrm{1}-\widehat{i}}+\frac{\mathrm{2}\delta (\mathrm{1}-\mathrm{2}\widehat{i})}{(\mathrm{1}+N\alpha \widehat{i})(\mathrm{1}-\widehat{i})},

J_{\mathrm{33}}=-\mathrm{2}r-\frac{\mathrm{2}\delta }{N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1}}\mathrm{。}

矩阵（15）所满足的特征方程为

{\lambda }^{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{2}}(\widehat{i}){\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}(\widehat{i})\lambda +a_{\mathrm{0}}(\widehat{i})=\mathrm{0}\mathrm{。}（16）

其中，

a_{\mathrm{2}}(\widehat{i})=\omega +\frac{r{(\mathrm{2}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{N\alpha \delta \widehat{i}(\mathrm{3}-\mathrm{2}\widehat{i})}{{(\mathrm{1}+N\alpha \widehat{i})}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+

\frac{\delta {(\mathrm{2}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}{{(\mathrm{1}+N\alpha \widehat{i})}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\frac{\tau (n-\widehat{i})}{\mathrm{1}-i},（17）

\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{1}}(\widehat{i})=\frac{N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}r\delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}(-{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{5}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\widehat{i}+\mathrm{6})+{\delta }^{\mathrm{2}}(-{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{3}\widehat{i}+\mathrm{5})+r\delta (-\mathrm{2}{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{6}\widehat{i}+\mathrm{10})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{3}N\alpha r^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{N}^{\mathrm{3}}{\alpha }^{\mathrm{3}}{r}^{\mathrm{2}}{\widehat{i}}^{\mathrm{4}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\\ \frac{N\alpha {\delta }^{\mathrm{2}}\widehat{i}(-\mathrm{5}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5}\widehat{i}+\mathrm{1})+N\alpha r\delta \widehat{i}(-\mathrm{3}{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{5}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\widehat{i}+\mathrm{16})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}N\alpha \widehat{i}+\mathrm{3}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{3}r\omega +\frac{r^{\mathrm{2}}(-{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{3}\widehat{i}+\mathrm{5})}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\\ \frac{N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}\tau \delta {\widehat{i}}^{\mathrm{3}}(\mathrm{4}-\mathrm{3}\widehat{i})+N\alpha \tau \delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{9}-\mathrm{7}\widehat{i})+\tau \delta i(\mathrm{5}-\mathrm{4}\widehat{i})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{r\tau \widehat{i}(\mathrm{5}-\mathrm{4}\widehat{i})}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\frac{r\tau n(\mathrm{3}-\mathrm{2}\widehat{i})}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{3}{N}^{\mathrm{3}}{\alpha }^{\mathrm{3}}r\omega {\widehat{i}}^{\mathrm{5}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}-\\ \frac{N^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}\delta \tau n{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-\widehat{i})+N\alpha \delta \tau n\widehat{i}(\mathrm{5}-\mathrm{3}\widehat{i})+\delta \tau n(\mathrm{3}-\mathrm{2}\widehat{i})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}，\end{array}（18）

\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{0}}(\widehat{i})=\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}\omega +\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}\tau \widehat{i}(\mathrm{2}-\widehat{i})}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}+\widehat{i})}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}r\tau \delta \widehat{i}(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{2})(\mathrm{3}-\widehat{i})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}r\delta \omega (N\alpha \widehat{i}+\mathrm{2})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+\\ \frac{\mathrm{6}{\delta }^{\mathrm{2}}r}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}\delta (N\alpha \widehat{i}+\mathrm{3})(\mathrm{1}+\widehat{i})+\mathrm{8}N\alpha r^{\mathrm{2}}\delta {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\\ \frac{\mathrm{2}N\alpha r^{\mathrm{3}}{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{6}N\alpha {\delta }^{\mathrm{3}}{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}{\delta }^{\mathrm{2}}\omega \widehat{i}+\mathrm{4}N\alpha {\delta }^{\mathrm{2}}r\widehat{i}+\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{3}}(\mathrm{1}+\widehat{i})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}\tau \widehat{i}(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{2})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}\omega }{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}}+\\ \frac{\mathrm{14}{N}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}{\delta }^{\mathrm{2}}r{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{20}N\alpha {\delta }^{\mathrm{2}}r{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{12}{N}^{\mathrm{3}}{\alpha }^{\mathrm{3}}r\delta \omega {\widehat{i}}^{\mathrm{4}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{4}{N}^{\mathrm{3}}{\alpha }^{\mathrm{3}}{r}^{\mathrm{3}}{\widehat{i}}^{\mathrm{3}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\\ \frac{\mathrm{5}{N}^{\mathrm{4}}{\alpha }^{\mathrm{4}}{r}^{\mathrm{2}}\tau {\widehat{i}}^{\mathrm{7}}+\mathrm{8}r\delta \omega {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}N\alpha {\delta }^{\mathrm{2}}\omega \widehat{i}+\mathrm{2}{N}^{\mathrm{2}}{\alpha }^{\mathrm{2}}{\delta }^{\mathrm{2}}r{\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}N\alpha {\delta }^{\mathrm{3}}\widehat{i}+\mathrm{8}{N}^{\mathrm{3}}{\alpha }^{\mathrm{3}}{r}^{\mathrm{2}}\tau {\widehat{i}}^{\mathrm{5}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{4}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{3}}}-\frac{\mathrm{2}{r}^{\mathrm{2}}\tau n}{{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\\ \frac{\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}\tau n(N\alpha {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1})+\mathrm{2}{\delta }^{\mathrm{2}}\tau {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{3}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{4}r\tau \delta \widehat{i}+\mathrm{2}r\delta \tau n(N\alpha {\widehat{i}}^{\mathrm{2}}+N\alpha \widehat{i}+\mathrm{2})}{{(N\alpha \widehat{i}+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}{(\mathrm{1}-\widehat{i})}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}（19）

由Routh-Hurwitz判据， 如下定理成立：

定理 6　地方病平衡点\widehat{E}=(\widehat{i},{\widehat{P}}_{SI},{\widehat{P}}_{II})局部渐近稳定当且仅当

a_{\mathrm{2}}(\widehat{i})>\mathrm{0},a_{\mathrm{0}}(\widehat{i})>\mathrm{0},a_{\mathrm{1}}(\widehat{i})a_{\mathrm{2}}(\widehat{i})-a_{\mathrm{0}}(\widehat{i})>\mathrm{0}\mathrm{。}（20）

3 分支分析

下面将给出系统（7）发生后向分支与Hopf分支的条件。

3.1 后向分支

由表 1 可以看出， 系统（7）在时存在两个正平衡点， 这表明系统可能会发生后向分支。本节将给出系统（7）后向分支的存在条件。

首先， 记\overrightarrow{\mathit{\theta }(\mathit{t})}=(i,P_{SI},P_{II})， 则系统（7）化为

\left\{\begin{array}{l}{\dot{\theta }}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tau n{\theta }_{\mathrm{2}}-r{\theta }_{\mathrm{1}}-\frac{\delta {\theta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}},\\ {\dot{\theta }}_{\mathrm{2}}=\frac{\tau n{\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{3}})}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}}-\tau {\theta }_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{n{\theta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})}\right)-(r+\omega ){\theta }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}r{\theta }_{\mathrm{3}}+\frac{\delta (-{\theta }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{3}})}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}},\\ {\dot{\theta }}_{\mathrm{3}}=\tau {\theta }_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{n{\theta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})}\right)-\mathrm{2}r{\theta }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{2}\delta {\theta }_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（21）

令\sigma=\tau -\tilde{\tau }， \tilde{\tau }=\frac{r+\delta +\omega }{n}。当R_{\mathrm{0}}=1时， \tau =\frac{r+\delta +\omega }{n}\mathrm{。}

故系统（21）在无病平衡点处对应的Jacobian矩阵为

\mathit{J}(\mathrm{0,0},\mathrm{0})=

\left[\begin{array}{ccc}-(r+\delta )& \frac{r+\delta +\omega }{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\frac{r+\delta +\omega }{n}& \mathrm{2}(r+\delta )\\ \mathrm{0}& \frac{r+\delta +\omega }{n}& -\mathrm{2}(r+\delta )\end{array}\right]\mathrm{。}（22）

显然， 0是矩阵（22）的一个特征值， 并且0对应的右特征向量\mathit{\xi }和左特征向量\mathit{\eta }分别为

\begin{array}{c}\mathit{\xi }={\left(\frac{(r+\delta +\omega )n}{\mathrm{2}},(r+\delta )n,\frac{r+\delta +\omega }{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{T}},\\ \mathit{\eta }=\left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{n(r+\delta )(r+\delta +\omega )},\frac{\mathrm{1}}{n(r+\delta )(r+\delta +\omega )}\right)\mathrm{。}\end{array}

进一步， 将系统（21）表示为\dot{\theta }(t)=F(\theta (t),\sigma )。其中，

\left\{\begin{array}{l}F({\theta }_{\mathrm{1}}(t),\sigma )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\sigma +\tilde{\tau })n{\theta }_{\mathrm{2}}-r{\theta }_{\mathrm{1}}-\frac{\delta {\theta }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}},\\ F({\theta }_{\mathrm{2}}(t),\sigma )=\frac{(\sigma +\tilde{\tau })n{\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{3}})}{\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}}}-(r+\omega ){\theta }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}r{\theta }_{\mathrm{3}}+(\sigma +\tilde{\tau }){\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\frac{n{\theta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})})+\frac{\delta (-{\theta }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\theta }_{\mathrm{3}})}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}},\\ F({\theta }_{\mathrm{3}}(t),\sigma )=(\sigma +\tilde{\tau }){\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\frac{n{\theta }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(\mathrm{1}-{\theta }_{\mathrm{1}})})-\mathrm{2}r{\theta }_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{2}\delta {\theta }_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+N\alpha {\theta }_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}\right.

由文献［17］中后向分支的计算方法与理论可得

\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{0}}≔{\displaystyle \sum _{k,i,j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\eta }_k{\xi }_i{\xi }_j\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{F}_K}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})=\\ -(n+\mathrm{1})(r+\delta )+(n-\mathrm{1})\omega +Nn\delta \alpha ,\\ b_{\mathrm{0}}≔{\displaystyle \sum _{k,i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\eta }_k{\xi }_i\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{F}_K}{\partial {\theta }_i\partial \sigma }(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})=\frac{n}{r+\delta +\omega }\mathrm{。}\end{array}

显然b_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}， 因此得到如下定理：

定理 7　当a_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}时， 系统（7）的无病平衡点在R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}处发生后向分支； 当时， 系统（7）的无病平衡点在R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}处发生前向分支。

3.2 Hopf分支

根据文献［18］中Hopf分支验证方法， 可得定理8成立。

定理 8　系统（7）在地方病平衡点\widehat{E}=(\widehat{i},{\widehat{P}}_{SI},{\widehat{P}}_{II})处发生Hopf分支， 当且仅当a_{\mathrm{2}}(\widehat{i})a_{\mathrm{1}}(\widehat{i})-a_{\mathrm{0}}(\widehat{i})=\mathrm{0}， a_{\mathrm{1}}(\widehat{i})>\mathrm{0}\mathrm{。}

4 数值模拟

本节将研究\omega、 \delta与\alpha对变量i、 P_{SI}与P_{II}的影响。以下模拟都取初值{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=(i(\mathrm{0})，P_{SI}(\mathrm{0})，P_{II}(\mathrm{0}))=(0.8，0.4，0.4，)， 参数n=\mathrm{6}， r=\mathrm{0.006}， \tau =\mathrm{0.006}与N=1 000。首先， 取\delta =\mathrm{0.008}， \alpha =\mathrm{0.05}， \omega分别取0.2（R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.17}）、 0.02（R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{1.06}）与0.002（R_{\mathrm{0}}=\mathrm{2.25}）。显然， 随着重连率\omega的减小， 基本再生数R_{\mathrm{0}}会增大。从图 1（a） 与图 1（c） 可以看出， 随着\omega的增大， i与P_{II}的值会减小。因此， 当疾病暴发时， 个体可以减少与患病人群的接触来抑制疾病的传播。

接下来， 取\omega =\mathrm{0.008}， \alpha =\mathrm{0.005}， \delta分别取0.2（R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.17}）、 0.02（R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{1.06}）与0.002（R_{\mathrm{0}}=\mathrm{2.25}）。显然， 随着治愈率\delta的减小， 基本再生数R_{\mathrm{0}}也会增大。由图 2（a） 与图 2（c） 可以看出， 随着\delta的增大， i与P_{II}的值会减小。因此， 提高治愈率能够有效预防感染。最后， 取\omega =\mathrm{0.008}， \delta =\mathrm{0.2}， \alpha分别取0.2、 0.02与0.002， 对应R_{\mathrm{0}}的值都约为0.17， 由图 3（a） 与图 3（c） 可以看出， 随着治疗延误的影响程度\alpha的增大， i与P_{II}的值会增大。虽然\alpha与R_{\mathrm{0}}无关， 但由于系统存在后向分支， 故\alpha会影响疾病的消亡。因此， 病人治疗被延误时也会引起疾病的暴发。

下面将绘制\omega、 \delta、 \alpha、 R_{\mathrm{0}}和a_{\mathrm{0}}与易感个体密度i之间的关系图以说明系统（7）存在后向分支、 鞍结点分支与Hopf分支。以下模拟都取参数n=\mathrm{5}与N=\mathrm{500}。

图 4（a） 对应的初值与另外的参数值为{\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.7,0.1,0.5})， r=\mathrm{0.1}， \alpha =\mathrm{0.2}， \tau =\mathrm{0.49}， \delta =\mathrm{0.1}。当\omega=9.989时（对应表 1 中的值A=949.9， B≈-1 694， C≈747， R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.24}， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}≈2.97×10⁶， f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}）， 系统会出现鞍结点（LP点）， 并且在这点处有一对不稳定平衡点（2重）。通过减小\omega的值可以观察到系统存在两个不稳定平衡点。当\omega的值减小到7.969时（对应表 1 中的值A=\mathrm{747.9}， B≈-1 292， C\approx \mathrm{549}， R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.30}， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\approx \mathrm{1.75}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}， f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})\approx -\mathrm{2.4}）， 系统出现了Hopf分支点（H点）， 并且过H点会出现一个不稳定极限环。继续减小\omega的值， 系统出现稳定地方病平衡点和稳定零平衡点共存的现象， 称为双稳现象。当\omega的值减小到2.25时（对应表 1 中的值A=\mathrm{176}， C\approx -\mathrm{12}， R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}）， 系统出现跨临界分支点（BP点）。在BP点之前， 系统只出现一个稳定的地方病平衡点与一个不稳定的零平衡点。

图 4（b） 对应的初值与另外的参数值为{\theta }_{\mathrm{3}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.7,0.1,0.15})， r=\mathrm{0.04}， \alpha =\mathrm{0.034}， \tau =\mathrm{0.052}， \omega =\mathrm{0.05}。当\delta =\mathrm{0.667}时（对应表 1 中的值A=-\mathrm{0.034}， B\approx \mathrm{3.6}， C\approx -\mathrm{2.7}， R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.34}， f(i_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}）， 系统会出现鞍结点（LP点）， 在这点有一对不稳定平衡点（2重）。继续减小\delta的值， 系统会出现双稳现象。当\delta的值减小到0.17时（对应表 1 中的值A=-\mathrm{0.034}， B\approx \mathrm{3.6}， C\approx -\mathrm{2.7}， R_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}）， 系统出现跨临界分支点（BP点）。在BP点之前系统只出现一个稳定的地方病平衡点与一个不稳定的零平衡点。图 4（a） 与图 4（b） 开口向左是因为R_{\mathrm{0}}随\omega或\delta的增大而减小。

图 4（c） 对应的初值与另外的参数值为{\theta }_{\mathrm{4}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.6,0.2,0.4})， r=\mathrm{0.04}， \delta =\mathrm{0.3}， \tau =\mathrm{0.02}， \omega =\mathrm{0.05}。当\alpha =\mathrm{0.603}时（对应表 1 中的值A=\mathrm{9.045}， C=-\mathrm{2.995}， R_{\mathrm{0}}\approx \mathrm{0.26}， f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}）， 系统会出现鞍结点（LP点）， 在这点有一对不稳定平衡点（2重）。继续增大\alpha的值， 系统会一直出现双稳现象。

图 4（d） 对应的初值与另外的参数值为{\theta }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.7,0.1,0.5})， r=\mathrm{0.1}， \alpha =\mathrm{0.2}， \delta =\mathrm{0.1}， \omega =\mathrm{10}。

当R_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.24}时（对应表 1 中的值A\approx \mathrm{951}， C≈748且B≈-1 696.7， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}≈3×10⁶， f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}）， 系统会出现鞍结点（LP点）， 在这点有一对不稳定平衡点（2重）。此时增大R_{\mathrm{0}}的值可以观察到系统存在两个不稳定平衡点。当R_{\mathrm{0}}的值继续增大到0.289时（对应表 1 中的值A≈941， B≈-1 636.9， C≈699， \mathrm{\Delta }\mathrm{\text{'}}\approx \mathrm{2.82}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}， f(i_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}})≈-4.13）， 系统出现了Hopf分支点（H点）， 并且过H点系统出现一个稳定极限环与一个不稳定极限环（不稳定极限环在稳定极限环外面）， 这也可通过图 5 来说明。继续增大R_{\mathrm{0}}的值， 系统出现双稳现象。当R_{\mathrm{0}}的值增大到1时（对应表 1 中的值C=-17.76且A=\mathrm{796}）， 系统出现跨临界分支点（BP点）。在BP点之后， 系统只出现一个稳定的地方病平衡点与一个不稳定的零平衡点。模拟结果表明： 在图 4（a） 中H点的第一李雅普诺夫系数^［11］为1.256 749 0>0， 故它在该点处发生亚临界Hopf分支； 而在图 4（d） 中H点的第一李雅普诺夫系数为-0.926 294 18<0， 故它在该点处发生超临界Hopf分支^［19］。

在图 4（a）、 图 4（b）、 图 4（c） 中， 蓝色实线（红色虚线）代表稳定（不稳定）平衡点， 绿色竖线代表不稳定周期解的振幅。在图 4（d）中， 黑色（绿色）竖线代表不稳定（稳定）周期解的振幅。

图 4 中LP点表示鞍结点（Limit Point）， BP点表示跨临界分支点（Transcritical Point）， H点表示Hopf分支点（Hopf Bifurcation Point）。图 4（a）、 图 4（d） 中小图是将大图H点放大的结果。

最后通过绘制相位图分析系统（7）在H点附近的动力学行为。以下模拟都取参数n=\mathrm{5}， r=\mathrm{0.1}， \alpha =\mathrm{0.2}， N=\mathrm{500}， \omega =\mathrm{10}与\delta =\mathrm{0.1}。

首先， 取初值{\theta }_{\mathrm{5}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.92,0.108,0.565})， 并且取{\theta }_{\mathrm{6}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.91,0.10,0.56})， 并在H点附近取参数\tau的值为0.5919。初始值为{\theta }_{\mathrm{5}}(\mathrm{0})的蓝色轨道向外盘旋趋于无病平衡点， 而初始值为{\theta }_{\mathrm{6}}(\mathrm{0})的红色轨道会向内盘旋趋于稳定的地方病平衡点。因此， 在红色轨道与蓝色轨道之间存在一个不稳定极限环。相位图如 5（a） 所示。

接着， 取初值{\theta }_{\mathrm{7}}(\mathrm{0})=（0.946 9，0.068 6，0.744 4）， {\theta }_{\mathrm{8}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.95,0.07,0.75})与{\theta }_{\mathrm{9}}(\mathrm{0})=(\mathrm{0.95,0.07,0.8}), 并在H点附近另取\tau的值为0.5891。初始值为{\theta }_{\mathrm{7}}(\mathrm{0})的蓝色轨道与初始值为{\theta }_{\mathrm{8}}(\mathrm{0})的红色轨道分别趋于不同的稳定周期轨道， 而初始值为{\theta }_{\mathrm{9}}(\mathrm{0})的绿色轨道会向外盘旋最终趋于无病平衡点。因此， 在蓝色轨道与红色轨道之间有一个稳定极限环， 在绿色轨道与红色轨道之间有一个不稳定极限环。相位图如 5（b） 所示， 图 5（b） 中小图是对大图中红色和蓝色周期轨道放大的结果。

5 结　论

在现实生活中， 治疗是应对疾病最直接和有效的方法。但是， 在严重疾病暴发期间， 由于医疗资源有限， 需要治疗的患者数量可能会超过治疗能力， 这就意味着接受治疗的患者数量会达到饱和水平。因此， 本文在Gross等^［6］提出的传染病模型基础上， 建立了自适应网络上带有饱和治疗函数的传染病模型， 研究了适应性行为与医疗资源共同作用下对疾病传播的影响。为了封闭系统， 本文采用了泊松分布下的三元组逼近公式， 然后研究降维后的系统。首先， 本文分析了无病平衡点E_{\mathrm{0}}的稳定性并得到了基本再生数R_{\mathrm{0}}。在分析正平衡点时， 本文先利用参数间的矛盾排除了一些特殊情况， 然后分析剩余情况确定了地方病平衡点的个数， 并利用Hurwitz判据分析了地方病平衡点的稳定性。此外， 用分支理论证明了模型存在后向分支、 鞍结点分支与Hopf分支， 并通过数值模拟的方法给出了第一李雅普诺夫系数。最终结果表明， 函数所含参数\delta与\alpha都会使系统发生后向分支； 而重连率\omega会使系统出现后向分支、 鞍结点分支与Hopf分支一系列复杂现象， 并且可以发现系统存在一个稳定的极限环。结果也表明提高治愈率与降低治疗延误影响程度都能抑制疾病的传播。因此， 医疗资源与适应性行为在疾病传播中的作用都很显著， 不能忽视。同时， 考虑其他因素对网络拓扑结构的影响或者采用其他逼近方法来研究疾病的传播也值得进一步探讨。

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基金资助

国家自然科学基金项目(11701528)

国家自然科学基金项目(12101574)

山西省自然科学基金项目(20210302124621)