带有对数项的临界Kirchhoff⁃Choquard方程解的存在性和多重性

Existence and Multiplicity of Solutions for Critical Kirchhoff⁃Choquard Type Equation with Logarithmic Perturbation

摘要

临界非局部的Choquard方程可用来描述静态极化子理论， 也可作为自引力模型描述单个粒子在自引力场中的运动规律。近年来， 研究Choquard方程解的存在性与多重性以及相关性质成为了非线性分析领域的热点问题。本文研究了一类带有对数项的临界Kirchhoff-Choquard方程解的存在性。首先， 对Hardy-Littlewood-Sobolev指数进行分类， 为了克服由于临界指数带来的非紧性嵌入， 引入适当的截断函数。其次， 由于对数项符号的不确定性以及对数项不满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件， 导致验证PS（Palais-Smale）序列的有界性变得困难， 故利用集中紧性原理得到局部的PS条件， 借助对称山路引理， 建立了该问题的无穷多个解的存在性定理。最后， 在适当球（函数空间的一个约束区域）上考虑负能量的局部极小解的存在性， 进而对参数施加附加条件， 证明了该局部极小解也是基态解。本文结果推广了相关文献中关于Kirchhoff-Choquard方程或对数方程的研究， 分析了Kirchhoff算子及对数扰动项中的参数和Hardy-Littlewood-Sobolev嵌入常数对解的个数的影响。

Abstract

The critical nonlocal Choquard equation can be used to describe the theory of the polaron at rest， and can also be used as a self-gravitational model to describe the motion of a single particle in the self-gravitational field. In recent years， the study of the existence， multiplicity and related properties of solutions of Choquard equations has become a hot issue in the field of nonlinear analysis. This paper studied the existence of solutions for a class of critical Kirchhoff-Choquard equations with logarithmic term. Firstly， the Hardy-Littlewood-Sobolev exponent was classified and an appropriate truncation function was introduced to overcome the lack of compactness of the embedding caused by the critical exponent. Secondly， it was difficult to verify the boundedness of the PS（Palais-Smale） sequence due to the uncertainty of the logarithmic term and the fact that the logarithmic term does not satisfy the Ambrosetti-Rabinowitz type condition. Therefore， the local PS condition was obtained by using the concentration compactness principle， and the existence theorem of infinitely many solutions of the problem was established by means of the symmetric mountain pass lemma. Finally， the existence of the local minimal solution with negative energy was considered on the appropriate sphere （a constrained region of function space）， and then the additional conditions were applied to the parameters. It is proved that the local minimal solution is also the ground state solution. The results of this paper extend the research on Kirchhoff-Choquard equation or logarithmic equation in the relevant literature， and analyze the influence of the parameters in the Kirchhoff operator and the logarithmic perturbation term and Hardy-Littlewood-Sobolev embedding constants on the number of solutions.

关键词

Kirchhoff-Choquard方程 / 临界指数 / 对数项扰动 / 截断函数 / 对称山路引理

Key words

Kirchhoff-Choquard equation / critical exponent / logarithmic term perturbation / truncation function / symmetric mountain pass lemma

0 引　言

本文研究具有对数扰动的临界Kirchhoff-Choquard型椭圆方程

\left\{\begin{array}{l}-\left(\mathrm{1}+b{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)\mathrm{\Delta }u=\lambda u+\omega u\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}+\\ \left({\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}y\right){\left|u\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}u，x\in \Omega ，\\ u=\mathrm{0}，\hspace{1em}x\in \partial \Omega ，\end{array}\right.（1）

式中： \Omega是{\mathbb{R}}^N\left(N\ge \mathrm{3}\right)中具有光滑边界\partial \Omega的有界区域； b>\mathrm{0}； \lambda \in \mathbb{R}； ； {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{2}N-\mu }{N-\mathrm{2}}是Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数。

Kirchhoff方程通常描述弹性杆或弹性系统运动， 广泛应用于结构力学、 材料科学， 以及非线性波动理论中。Choquard方程是一类重要的椭圆型偏微分方程， 在诸多领域有着非常广泛的应用， 例如量子力学、 激光束物理学以及多粒子物理系统等^［1‐2］， 因此该方程受到了众多学者的广泛关注^［3‐6］。Duan等^［7］研究了有界区域上临界Choquard方程的Kirchhoff型问题

\left\{\begin{array}{ll}\begin{array}{l}-\left(\mathrm{1}+b{‖u‖}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{\Delta }u=\\ \left({\int }_{\Omega }\frac{u^{\mathrm{2}}\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}y\right)u+\lambda u，\end{array}& x\in \Omega ，\\ u=\mathrm{0}，& x\in \partial \Omega ，\end{array}\right.（2）

式中： \Omega \in {\mathbb{R}}^N\left(N\ge \mathrm{5}\right)是光滑有界域， ‖ \cdot ‖是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)的标准范数。在对常数b\ge \mathrm{0}施加一定假设下， 证明了当时问题（2）解的存在性， 其中{\lambda }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}是\Omega上-\mathrm{\Delta }的第一特征值。此外， 还证明了当\lambda >{\lambda }_{\mathrm{1}}和b>\mathrm{0}时， 在适当区间内解的多重性。对于带有Sobolev-Hardy-Littlewood临界指数的Kirchhoff-Choquard型问题， Fei等^［8］研究了如下含有线性扰动的Kirchhoff方程

\left\{\begin{array}{ll}\begin{array}{l}-\left(a+b{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)\mathrm{\Delta }u=\lambda u+\\ \mu \left(I_{\alpha }\mathrm{*}{\left|u\right|}^p\right){\left|u\right|}^{p-\mathrm{2}}u+\omega {\left|u\right|}^{\mathrm{4}}u，\end{array}& x\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}，\\ u>\mathrm{0}，{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}}{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}=m^{\mathrm{2}}，& x\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}，\end{array}\right.（3）

式中： a，b，m，\mu，\omega>0； \alpha \in（0，3）； p\in\left(\mathrm{2},\frac{\mathrm{7}+\alpha }{\mathrm{3}}\right)；\lambda \in \mathbb{R}； I_{\alpha }为Riesz势。利用逼近方法和Schwartz对称化重排， 证明了问题（3）的正规化基态解的存在性。对于带有Schrödinger项和对数项的Kirchhoff-Choquard型问题， 徐武波等^［9］考虑了如下方程解的存在性

\left\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)\mathrm{\Delta }u+V\left(x\right)u=\lambda u\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left|u\right|+\\ \beta \left({\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}y\right){\left|u\right|}^{p-\mathrm{2}}u，\hspace{1em}\begin{array}{c}x\in \Omega ，\end{array}\\ u=\mathrm{0}，x\in \partial \Omega ，\end{array}\right.（4）

式中： \Omega \subset {\mathbb{R}}^N光滑有界； a>\mathrm{0}， b≥0， N≥3； \lambda， \beta为正实参数； ， {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}为Sobolev-Hardy-Littlewood临界指数， 利用山路引理和PS条件得出了问题（4）至少存在一个非平凡解。

对于不含对数项的Kirchhoff-Choquard型问题， Liang等^［10］研究了具有临界指数的Choquard-Kirchhoff型方程， 利用第二集中紧性原理证明了PS条件的存在性， 再利用变分方法得到了问题的多重解。Wang^［11］研究了离散的Kirchhoff-Choquard方程， 通过变分方法得到问题非平凡解和基态解的存在性。Gao等^［12］研究了具有临界非线性项的Choquard方程正规化解的存在性问题， 利用截断函数证明了正规化解的多重性。近年来， 越来越多的数学工作者研究Kirchhoff-Choquard型问题^{［13‐15］}。

受上述工作的启发， 本文主要研究非局部项、 临界非线性项和对数项之间的相互作用对问题（1）弱解的存在性和多重性的影响。由于对应问题（1）能量泛函的几何结构随着Hardy-Littlewood-Sobolev指数的变化将发生显著变化， 因此分两种情况讨论， 即， {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}， 。对于{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}的情形， 当b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-1≥0时， 能量泛函在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中是强制的， 并且满足全局PS条件。利用对称山路引理， 对\lambda \in \mathbb{R}且， 得到了问题（1）的无穷多个解的存在性。当时， 能量泛函的性质发生变化。该能量泛函并非下方有界的， 并且不满足全局PS条件。为了克服这些困难， 首先在临界项上引入适当的截断函数， 应用集中紧性原理得到局部PS条件。利用对称山路引理， 得到了问题（1）的无穷多个解的存在性。对于的情形， 临界Hardy-Littlewood-Sobolev指数严格小于2， 再加上对数项的符号不确定以及对数项不满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件， 使得PS序列的紧性证明变得困难。通过对能量泛函结构的分析， 证明问题（1）有局部极小解。通过对参数施加附加条件， 证明了它也是一个基态解。

1 主要结果

定理 1　若{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}， 并且以下条件之一成立：

1）　 \lambda \in \mathbb{R}， 且b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\ge \mathrm{0}；

2） 且\left(b，\lambda ，\omega \right)\in C_{\mathrm{0}}，

其中，

则问题（1）存在解序列\left\{u_k\right\}， 满足I\left(u_k\right)≤0， 且当k\to \mathrm{\infty }时， 有{‖u_k‖}_{H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Omega }\right)}\to \mathrm{0}。这里的I由式（6）给出。

定理 2　若且\left(b，\lambda ，\omega \right)\in D_{\mathrm{0}}， 其中

\left.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)b^{\frac{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}}{\left(S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|>\mathrm{0}\right\}，

则问题（1）存在一个负能量的局部极小解， 且该局部极小解也是基态解。

2 预备知识

贯穿全文， 将使用{‖\cdot ‖}_p\left(\mathrm{1}\le p\le \mathrm{\infty }\right)表示L^p\left(\Omega \right)范数。Sobolev空间H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)具有范数‖\cdot ‖:={‖\nabla \cdot ‖}_{\mathrm{2}}， 其对偶空间用H^{-\mathrm{1}}\left(\Omega \right)表示。〈\cdot \begin{array}{c},\end{array}\cdot 〉表示H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)和H^{-\mathrm{1}}\left(\Omega \right)之间的对偶积。对于Banach空间B， 分别用→和⇀表示强收敛性和弱收敛性。符号\left|\Omega \right|表示{\mathbb{R}}^N中\Omega的勒贝格测度。符号O\left(t\right)表示\left|\frac{O\left(t\right)}{t}\right|\le C\left(t\to \mathrm{0}\right)， o_n\left(\mathrm{1}\right)是n\to \mathrm{\infty }时的无穷小。大写字母C表示通用的正常数。S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}表示Hardy-Littlewood-Sobolev最佳嵌入常数， 即

\begin{array}{c}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}\left(\Omega \right)≔\\ \underset{u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\frac{{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x}{{\left({\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{u^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\left(x\right)u^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)}^{\left(N-\mathrm{2}\right)/\left(\mathrm{2}N-\mu \right)}}\mathrm{。}\end{array}（5）

定义 1（弱解）　若满足

\begin{array}{c}\left(\mathrm{1}+b{‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \mathrm{d}x-\\ \lambda {\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{d}x-\omega {\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{0}，\\ \forall \varphi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)，\end{array}

则函数u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)被称为问题（1）的弱解。

用I\left(u\right)和I^{\text{'}}\left(u\right)分别表示与问题（1）相关的能量泛函及其Fréchet导数， 即\forall u,\varphi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 有

\begin{array}{c}I\left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\frac{\lambda }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\\ \frac{\omega }{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\begin{array}{c},\end{array}\end{array}（6）

\begin{array}{c}〈I^{\text{'}}\left(u\right)\begin{array}{c},\end{array}\varphi 〉=\left(\mathrm{1}+b{‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \mathrm{d}x-\\ \lambda {\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{d}x-\omega {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{。}\end{array}

众所周知， I\left(u\right)是定义合理的， 并且是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的C^{\mathrm{1}}泛函。I的每一个临界点对应问题（1）的一个弱解。由于I\left(u\right)=I\left(\left|u\right|\right)， 可以假设u\ge \mathrm{0}。

定义 2^［16］　设E是一个实Banach空间， 并且\mathrm{ℰ}表示集合A\in E\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}的族， 使得A是E的闭子集且关于0对称， 即x\in A意味着-x\in A。对A\in \mathrm{ℰ}， 用最小整数k（记为\gamma \left(A\right)=k）定义A的亏格， 使得存在从A到{\mathbb{R}}^k\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}的奇连续映射。若不存在这样的有限k， 则设\gamma \left(A\right)=+\mathrm{\infty }。最后， 设\gamma \left(\mathrm{\varnothing }\right)=\mathrm{0}。此外， 令{\mathrm{ℰ}}_k表示E的闭对称子集A的族， 使得\mathrm{0}\cancel{\in }A且\gamma \left(A\right)\ge k。

为了处理对数型非线性u\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}， 需要下列基本不等式和对数项的收敛性。

引理 1^［17］

1） 对于所有t>\mathrm{0}， 有

t\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t\ge -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\mathrm{。}（7）

2） 对于任意\delta \begin{array}{c},\end{array}\sigma >\mathrm{0}， 存在常数C_{\delta \begin{array}{c},\end{array}\sigma }， 使得

\left|\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t\right|\le C_{\delta \begin{array}{c},\end{array}\sigma }\left(t^{\delta }+t^{-\sigma }\right)\begin{array}{c},\end{array}\forall t>\mathrm{0}\mathrm{。}（8）

3） 对于任意\delta >\mathrm{0}， 有

\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t}{t^{\delta }}\le \frac{\mathrm{1}}{\delta \mathrm{e}}，\forall t>\mathrm{0}\mathrm{。}（9）

引理 2^［18］　设\left\{u_n\right\}是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的有界序列， 使得当n\to \mathrm{\infty }时， u_n\to u在\Omega上处处成立， 则

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{\Omega }{u}_n^{\mathrm{2}}log{u}_n^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}log{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x，（10）

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{\Omega }{u}_n\varphi log{u}_n^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }u\varphi log{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\begin{array}{c},\end{array}\forall \varphi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\mathrm{。}（11）

3 定理1的证明

3.1 b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\ge \mathrm{0}的情况

由文献［19］的定理1.3， 可证得引理 3~5。

引理 3　若b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\ge \mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}且， 则I\left(u\right)在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中是强制的， 即\underset{‖u‖\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}I\left(u\right)=+\mathrm{\infty }。

引理 4　若b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\ge \mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}且， 则I\left(u\right)满足全局PS条件， 即任意满足I\left(u_n\right)是有界的， 且当n\to \mathrm{\infty }时， I^{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}的序列\left\{u_n\right\}存在强收敛的子列。

引理 5　若b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\ge \mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}且， 则对每个k\in \mathbb{N}， 存在A_k\in {\mathrm{ℰ}}_k使得。

3.2 的情况

由于b>\mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}， 且b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}-1<0， 有

I\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\mathrm{。}

令

M\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{t}^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|，t\ge \mathrm{0}\mathrm{。}

直接计算表明： 当时， M^{\text{'}}\left(t\right)>\mathrm{0}； 当t>\tilde{t}时， ， 且M\left(t\right)在\tilde{t}处取最大值。这里， \tilde{t}≔\sqrt[]{\frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}}。令

\tilde{M}：=M\left(\tilde{t}\right)=\frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|,

因为\left(b\begin{array}{c},\end{array}\lambda \begin{array}{c},\end{array}\omega \right)\in C_{\mathrm{0}}， 所以， 由

\frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|>\mathrm{0},

得出

\frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|>\mathrm{0}\begin{array}{c},\end{array}

则M_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\tilde{M}=\frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|>0。结合， 存在t_{\mathrm{0}}\in \left(\mathrm{0}\begin{array}{c},\end{array}\tilde{t}\right)使得M\left(t_{\mathrm{0}}\right)=M_{\mathrm{0}}\mathrm{。}

定义截断函数\xi \left(x\right)\in C^{\mathrm{1}}\left.\left[\mathrm{0}\begin{array}{c},\end{array}\mathrm{\infty }\right.\right)， 使得

\xi \left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}\begin{array}{c},\end{array}\mathrm{0}\le x\le t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\begin{array}{c},\end{array}\\ \mathrm{0}\le \xi \left(x\right)\le \mathrm{1}\begin{array}{c},\end{array}\begin{array}{cccc}& t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\le x\le {\tilde{t}}^{\mathrm{2}}\begin{array}{c},\end{array}& & \end{array}\\ \frac{\mathrm{2}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{x}+\frac{\mathrm{2}\omega S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|-\mathrm{4}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\tilde{M}}{x^{\mathrm{2}}}+\\ b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\begin{array}{c},\end{array}x\in \left.\left[{\tilde{t}}^{\mathrm{2}}\begin{array}{c},\end{array}+\mathrm{\infty }\right.\right)\mathrm{。}\end{array}\right.

考虑在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中定义的辅助泛函为

I_{\xi }(u)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\frac{\lambda }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi \left({‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}dxdy。

\forall u\begin{array}{c},\end{array}\varphi \in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 其Fréchet导数为

\begin{array}{c}〈I_{\xi }^{\text{'}}\left(u\right)\begin{array}{c},\end{array}\varphi 〉=\left(\mathrm{1}+b{‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi dx-\lambda {\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{d}x-\\ \omega {\int }_{\Omega }u\varphi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\xi }^{\text{'}}\left({‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi \mathrm{d}x-\\ \xi \left({‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}\left|u\left(y\right)\right|\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}dxdy。\end{array}

接下来证明截断的能量泛函I_{\xi }(u)在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中下方有界。

引理 6　若， 且。则I_{\xi }\left(u\right)在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中下方有界。

证明　对于任意u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}， 由于b>\mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}， ， 且， 根据式（5）和截断函数\xi \left(x\right)的定义， 有

\begin{array}{c}{I}_{\xi }(u)\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}\xi \left({‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){‖u‖}^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\mathrm{。}\end{array}（12）

定义　 M_{\xi }\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}\xi \left(t^{\mathrm{2}}\right)t^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\begin{array}{c},\end{array}t\ge \mathrm{0}\mathrm{。}

从\xi \left(x\right)的定义可以推出

M_{\xi }\left(t\right)=M\left(t\right)， \mathrm{0}\le t\le t_{\mathrm{0}}；

M_{\xi }\left(t\right)\ge M\left(t\right)， t_{\mathrm{0}}\le t\le \tilde{t}；

M_{\xi }\left(t\right)=\tilde{M}， t\ge \tilde{t}\mathrm{。}

因此， 对于所有的u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 有

I_{\xi }(u)\ge M_{\xi }(‖u‖)\ge \frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|。

证毕。

接下来证明I_{\xi }满足{\left(PS\right)}_c条件。

引理 7　令， 且(b，\lambda，\omega )∈C_{\mathrm{0}}。若

则I_{\xi }满足{\left(PS\right)}_c条件。

证明　由于\left(b\begin{array}{c},\end{array}\lambda \begin{array}{c},\end{array}\omega \right)\in C_{\mathrm{0}}， c^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}。设\left\{u_n\right\}\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Omega }\right)是I_{\xi }的{\left(PS\right)}_c序列。由于， 当n充分大时， 有。结合式（12）和\xi \left(x\right)的定义可知， 当n充分大时， \xi \left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}， {\xi }^{\text{'}}\left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}。由于b>\mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}， ， 有

-\frac{\lambda }{\mathrm{4}}{‖u_n‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u_n‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }{u_n}^{\mathrm{2}}log{u_n}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\ge \frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\mathrm{。}（13）

当n充分大且式（13）成立时， 利用{\xi }^{\text{'}}\left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}， 有

\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{0}}+o_n\left(\mathrm{1}\right)‖u_n‖>I_{\xi }\left(u_n\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n〉\ge \\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\mathrm{。}\end{array}

因此， \left\{u_n\right\}在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中有界。则存在\left\{u_n\right\}的子序列（仍记为\left\{u_n\right\}）和u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 使得当n\to \mathrm{\infty }时，

（14）

此外， 根据文献［20］的引理2.5和文献［10］的引理2.3， 存在至多可数的指标集J和点\left(x_k\right){}_{k\in J}{}^{}的集合， 使得在测度意义上， 有

{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\rightharpoonup \omega \ge {\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+\sum _{k\in J}{\omega }_k{\delta }_{x_k}\begin{array}{c},\end{array}\hspace{1em}{\omega }_k>\mathrm{0}，

\left({\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}y\right){u_n}^{\mathrm{2}}\rightharpoonup v=\left({\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}y\right)u^{\mathrm{2}}+

（15）

另外， 也有

{\omega }_k\ge S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}{v_k}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{。}\hspace{1em}\left(k\in J\right)（16）

现在证明J=\mathrm{\varnothing }。反证法： 设J\ne \mathrm{\varnothing }且固定k\in J。定义函数\varphi \in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left(\Omega \right)满足在B\left(x_k\begin{array}{c},\end{array}\rho \right)上， \varphi \left(x\right)=\mathrm{1}； 在\Omega \backslash B\left(x_k\begin{array}{c},\end{array}\mathrm{2}\rho \right)上， \varphi \left(x\right)=\mathrm{0}； 在其他部分上， \mathrm{0}\le \varphi \left(x\right)\le \mathrm{1}； 且在\Omega中满足\left|\nabla \varphi \right|\le \frac{\mathrm{2}}{\rho }（其中\rho >\mathrm{0}为合适常数）。由于在H^{-\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中， I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}(n\to \mathrm{\infty })， 且\left\{u_n\varphi \right\}在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)上有界， 当n充分大时， 有\xi \left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}， {\xi }^{\text{'}}\left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}， 有

\begin{array}{c}\mathrm{0}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n\varphi 〉=\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left\{\left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u_n\nabla \left(u_n\varphi \right)\mathrm{d}x-\right.\\ \lambda {\int }_{\Omega }{u_n}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{d}x-\omega {\int }_{\Omega }{u_n}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u_n}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ \left.{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}=\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left\{\left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{d}x-\right.\\ \left.{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}+o\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{。}\end{array}（17）

从式（17）得

\begin{array}{c}\mathrm{0}\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left\{\left(\mathrm{1}+b{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{d}x\right){\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{d}x-\right.\\ \left.{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}+o\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{。}\end{array}

令n\to \mathrm{\infty },\rho \to \mathrm{0}， 有

\mathrm{0}\ge \left(\mathrm{1}+b{\omega }_k\right){\omega }_k-v_k。

将其与式（16）结合， 且， 有

{\omega }_k\ge \frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（18）

由于当n\to \mathrm{\infty }时， I_{\xi }\left(u_n\right)\to c和在H^{-\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中， I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}， 利用\left\{u_n\right\}的有界性， 式（13）以及当n充分大时， \xi \left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}和{\xi }^{\text{'}}\left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}， 有

\begin{array}{c}c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left\{I_{\xi }\left(u_n\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n〉\right\}\ge \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\varphi \mathrm{d}x+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\right\}\mathrm{。}\end{array}（19）

在式（19）中令\rho \to \mathrm{0}， 再由式（18）可得

c\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\omega }_k+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\ge \frac{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}-b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\omega }{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{1}-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|\begin{array}{c},\end{array}

与矛盾。因此， \mathrm{𝒥}={\varnothing }， 且当n\to \mathrm{\infty }时， 有

{\int }_{\Omega }\left({\left|x\right|}^{-\mathrm{4}}\mathrm{*}{\left|u_n\right|}^{\mathrm{2}}\right){\left|u_n\right|}^{\mathrm{2}}dx\to {\int }_{\Omega }\left({\left|x\right|}^{-\mathrm{4}}\mathrm{*}{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}\right){\left|u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{。}（20）

利用H^{-\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}\left(n\to \mathrm{\infty }\right)， \left\{u_n\right\}的有界性以及当n充分大时\xi \left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}和{\xi }^{\text{'}}\left({‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}， 结合引理2， 式（14）和式（20）， 有

\begin{array}{c}{o}_n\left(\mathrm{1}\right)=〈I_{\xi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n-u〉=\\ \left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u_n\nabla \left(u_n-u\right)\mathrm{d}x-\\ \lambda {\int }_{\Omega }{u}_n\left(u_n-u\right)\mathrm{d}x-\omega {\int }_{\Omega }{u}_n\left(u_n-u\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u_n}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}\left|u_n\left(y\right)\right|\left(u_n-u\right)\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}dxdy=\\ \left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u_n\nabla \left(u_n-u\right)\mathrm{d}x+o_n\left(\mathrm{1}\right)\begin{array}{c},\end{array}\end{array}

这意味着

{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=o\left(\mathrm{1}\right)\begin{array}{c},\end{array}n\to \mathrm{\infty }\mathrm{。}

结合u_n在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的弱收敛性， 可得在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中u_n\to u\left(n\to \mathrm{\infty }\right)。

证毕。

引理 8　若b>\mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}， 。则对于任意k\in \mathbb{N}， 存在一个A_k\in {\mathrm{ℰ}}_k， 使得。

证明　对于任意k\in \mathbb{N}， 设H_k是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)的k维子空间。根据和\xi的定义， 利用式（9）和Sobolev-Hardy-Littlewood嵌入定理， ， 对于任意u\in H_k\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}且，

I_{\xi }(u)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\frac{\lambda }{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{v}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{v}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi \left({‖u‖}^{\mathrm{2}}\right){‖u‖}^{\mathrm{4}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|v\left(x\right)\right|}^{\mathrm{2}}{\left|v\left(y\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\left|x-y\right|}^{\mathrm{4}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}+\frac{\left|\lambda \right|}{\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{1}}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}-

\frac{\omega }{\mathrm{2}}C{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}_{\mathrm{2}+\delta }^{\mathrm{2}+\delta }-\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}+\frac{\left|\lambda \right|}{\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{1}}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}-

\frac{\omega }{\mathrm{2}}C{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}^{\mathrm{2}+\delta }-\frac{\omega }{\mathrm{2}}C{‖u‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{‖u‖}^{\mathrm{2}}{‖v‖}^{\mathrm{2}}=\frac{{‖u‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{b}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\left|\lambda \right|}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}-\omega C-\omega C\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{‖u‖}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}

式中： v≕u/‖u‖， {\lambda }_{\mathrm{1}}为-\mathrm{\Delta }在Dirichlet边界条件下的第一特征值。注意， 则对于任意k\in \mathbb{N}， 存在适当小的{\rho }_k和常数M_k>\mathrm{0}， 使得当u\in H_k且‖u‖={\rho }_k时， 。

证毕。

4 定理2的证明

引理 9　若\left(b\begin{array}{c},\end{array}\lambda \begin{array}{c},\end{array}\omega \right)\in D_{\mathrm{0}}。则存在\tilde{r}>\mathrm{0}， 使得对所有u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)且‖u‖=\tilde{r}， I\left(u\right)>\mathrm{0}。

证明　对于所有u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}， 由于b>\mathrm{0}， \lambda \in \mathbb{R}， ， 再利用式（5）和式（7）， 有

I\left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\frac{\lambda }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-

\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}log{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\ge

\frac{b}{\mathrm{4}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\frac{\mathrm{1}}{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{‖u‖}^{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\mathrm{。}

令

h\left(t\right)=\frac{b}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{4}}+\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{\omega }}\left|\Omega \right|-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\frac{\mathrm{1}}{S_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{t}^{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\begin{array}{c},\end{array}t\ge \mathrm{0}\begin{array}{c},\end{array}（21）

且\tilde{r}={\left(b{S}_{H\begin{array}{c},\end{array}L}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{4}}}， 由于\left(b\begin{array}{c},\end{array}\lambda \begin{array}{c},\end{array}\omega \right)\in D_{\mathrm{0}}， 有h\left(\tilde{r}\right)>\mathrm{0}。因此， 对于所有u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)且‖u‖=\tilde{r}， 有I\left(u\right)\ge h\left(\tilde{r}\right)>\mathrm{0}。

证毕。

定义c_{r_{\mathrm{0}}}=\underset{‖u‖\le r_{\mathrm{0}}}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}I\left(u\right)， 其中r_{\mathrm{0}}的选择使得且h\left(r_{\mathrm{0}}\right)>\mathrm{0}。下面证明。

引理 10　若， 则。

证明　由I\left(u\right)\in C^{\mathrm{1}}\left(H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\begin{array}{c},\end{array}\mathbb{R}\right)和c_{r_{\mathrm{0}}}的定义易见， c_{r_{\mathrm{0}}}>-\mathrm{\infty }。接下来证明， 对于任意的u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}且t>\mathrm{0}， 有

I\left(tu\right)=

t^{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{4}}-\frac{\lambda }{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\frac{\omega }{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{t}^{\mathrm{2}}{‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\right.

\frac{\omega }{\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{u}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}x-

\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{t}^{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}{\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\mathrm{。}

由于， 存在t_u>\mathrm{0}适当小， 使得‖t_{u}u‖\le r_{\mathrm{0}}且， 这意味着。

证毕。

在引理9和引理10的基础上， 将证明c_{r_{\mathrm{0}}}的极小化序列的紧性， 这在定理2的证明中起着关键作用。

引理 11　若\left(b\begin{array}{c},\end{array}\lambda \begin{array}{c},\end{array}\omega \right)\in D_{\mathrm{0}}。则存在c_{r_{\mathrm{0}}}的极小化序列\left\{u_n\right\}和u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 至多选取子列， 使得当n\to \mathrm{\infty }时， 在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中u_n\to u。

证明　设\left\{v_n\right\}\subset B_{r_{\mathrm{0}}}\in \mathrm{ℰ}是c_{r_{\mathrm{0}}}的一个极小化序列， 使得c_{r_{\mathrm{0}}}\le I\left(v_n\right)\le c_{r_{\mathrm{0}}}+\frac{\mathrm{1}}{n}，\forall n\in \mathbb{N}。由于且对于所有u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)满足‖u‖=r_{\mathrm{0}}， I\left(u\right)>\mathrm{0}。从I\left(u\right)的连续性可以得出， 存在适当小的常数\sigma >\mathrm{0}， 使得对于充分大的n， ‖v_n‖\le r_{\mathrm{0}}-\sigma。类似于文献［21］引理3.3的证明， 可以证明对于c_{r_{\mathrm{0}}}， 存在另一个极小化序列\left\{u_n\right\}\subset B_{r_{\mathrm{0}}}\in \mathrm{ℰ}， 使得\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)=\mathrm{0}。

由于\left\{u_n\right\}在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中有界， 假设存在u\in H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)， 使得当n\to \mathrm{\infty }时，

（22）

当n\to \mathrm{\infty }时， 有

\left\{\begin{array}{ll}{\left|u_n\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\rightharpoonup {\left|u\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\begin{array}{c},\end{array}& \mathrm{在}{L}^{\mathrm{2}N/\left(\mathrm{2}N-\mu \right)}\left(\Omega \right)\mathrm{中}\begin{array}{c},\end{array}\\ {\left|u_n\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}{u}_n\rightharpoonup {\left|u\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}u\begin{array}{c},\end{array}& \mathrm{在}{L}^{\mathrm{2}N/\left(N+\mathrm{2}-\mu \right)}\left(\Omega \right)\mathrm{中。}\end{array}\right.

由于Riesz位势是一个从L^{\mathrm{2}N/\left(\mathrm{2}N-\mu \right)}\left(\Omega \right)到L^{\mathrm{2}N/\mu }\left(\Omega \right)的线性连续映射， 故有

{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}y\rightharpoonup {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}y,

在L^{\mathrm{2}N/\mu }\left(\Omega \right)中， n\to \mathrm{\infty }\mathrm{。}

要证明当n\to \mathrm{\infty }时， 在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中， u_n\to u， 令w_n=u_n-u。显然， \left\{w_n\right\}也是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的有界序列， 所以， 存在\left\{w_n\right\}的子序列（仍用\left\{w_n\right\}表示）， 使得

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{‖w_n‖}^{\mathrm{2}}=l\ge \mathrm{0}\mathrm{。}（23）

当n\to \mathrm{\infty }时， 利用在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中， u_n\rightharpoonup u， 有

{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}={‖w_n‖}^{\mathrm{2}}+{‖u‖}^{\mathrm{2}}+o_n\left(\mathrm{1}\right)\begin{array}{c},\end{array}n\to \mathrm{\infty }\mathrm{。}（24）

由于当n\to \mathrm{\infty }时， I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}， 可以从式（11）、 式（22）和式（24）推出， 当n\to \mathrm{\infty }时，

\begin{array}{c}{o}_n\left(\mathrm{1}\right)=〈I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}u〉=\left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){\int }_{\Omega }\nabla u_n\nabla u\mathrm{d}x-\\ \lambda {\int }_{\Omega }{u}_{n}u\mathrm{d}x-\omega {\int }_{\Omega }{u}_{n}ulog{u}_n^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\\ {‖u‖}^{\mathrm{2}}+b{‖u‖}^{\mathrm{4}}+b{‖w_n‖}^{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}-\lambda {‖u‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\\ \omega {\int }_{\Omega }{u}^{\mathrm{2}}log{u}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+o_n\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{。}\end{array}（25）

结合I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}和\left\{u_n\right\}的有界性， 并结合式（10）、 式（22）、 式（24）、 式（25）和Brézis-Lieb引理， 当n\to \mathrm{\infty }时， 有

\begin{array}{c}{o}_n\left(\mathrm{1}\right)=〈I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n〉=\left(\mathrm{1}+b{‖u_n‖}^{\mathrm{2}}\right){‖u_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \lambda {‖u_n‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\omega {\int }_{\Omega }{u}_n^{\mathrm{2}}log{u}_n^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\\ {‖w_n‖}^{\mathrm{2}}+b{‖w_n‖}^{\mathrm{4}}+b{‖w_n‖}^{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\int }_{\Omega }{\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}{\left|w_n\left(y\right)\right|}^{{\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+o_n\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{。}\end{array}（26）

假设l>\mathrm{0}。由于当n\to \mathrm{\infty }时I\left(u_n\right)\to c_{r_{\mathrm{0}}}， 由式（10）、 式（22）、 式（24）、 式（26）和Brézis-Lieb引理可以得出， 当n\to \mathrm{\infty }时， 有

c_{r_{\mathrm{0}}}+o_n\left(\mathrm{1}\right)=I\left(u_n\right)=I\left(u\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}〈I\mathrm{\text{'}}\left(u_n\right)\begin{array}{c},\end{array}{u}_n〉+

\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right){‖w_n‖}^{\mathrm{2}}-\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)b{‖w_n‖}^{\mathrm{4}}+

\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)b{‖w_n‖}^{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+o_n\left(\mathrm{1}\right)=

I\left(u\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right){‖w_n‖}^{\mathrm{2}}-\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)b{‖w_n‖}^{\mathrm{4}}+

\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)b{‖w_n‖}^{\mathrm{2}}{‖u‖}^{\mathrm{2}}+o_n\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{。}（27）

在式（27）中， 令n\to \mathrm{\infty }， 应用式（23）， 得

c_{r_{\mathrm{0}}}=I\left(u\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)l-\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)b{l}^{\mathrm{2}}+

\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)bl{‖u‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}（28）

通过范数的弱下半连续性， 有‖u‖\le r_{\mathrm{0}}， 这与式（23）和式（24）一起保证了

（29）

由于， 通过直接计算， 可以从式（29）推出

\begin{array}{c}{c}_{r_{\mathrm{0}}}=I\left(u\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)l-\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)b{l}^{\mathrm{2}}+\\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\cdot {\mathrm{2}}_{\mu }^{\mathrm{*}}}\right)bl{‖u‖}^{\mathrm{2}}>I\left(u\right)，\end{array}（30）

与c_{r_{\mathrm{0}}}\le I\left(u\right)矛盾。因此， l=\mathrm{0}， 即当n\to \mathrm{\infty }时， 在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中u_n\to u。

证毕。

由引理11和I\left(u\right)是H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中的C^{\mathrm{1}}泛函， 得到u是问题（1）的局部极小解， 满足。直接计算式（21）可得， 在\left[\mathrm{0}\right.\begin{array}{c},\end{array}\left.+\mathrm{\infty }\right)上h\mathrm{\text{'}}\left(t\right)\ge \mathrm{0}。结合h\left(r_{\mathrm{0}}\right)>\mathrm{0}， 可以推出当‖u‖\ge r_{\mathrm{0}}时， 有I\left(u\right)\ge h\left(‖u‖\right)>\mathrm{0}。因此， 具有负能量的局部极小解u必定是基态解。这就完成了定理2的证明。

5 结　论

本文运用变分方法和非线性分析技术， 研究了一类同时含有Kirchhoff-Choquard非局部项、 临界增长非线性项及对数扰动项的椭圆方程。研究的核心挑战在于临界增长项与对数扰动项耦合导致的紧性缺失问题， 以及对数项符号的不确定性、 不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件带来的分析困难。为此， 结合集中紧性原理和对数不等式等工具进行处理。

研究策略与主要结果根据SHL临界指数的不同分为两类情形：

1） 对于较大的SHL临界指数， 当参数较大时， 能量泛函在H_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left(\Omega \right)中是强制的且满足全局PS条件， 因此直接应用对称山路引理， 证明了方程存在无穷多个解。当参数较小时， 能量泛函性质发生显著变化。为克服此困难， 引入截断函数以及辅助泛函处理临界项， 应用集中紧性原理获得局部PS条件， 继而再次利用对称山路引理， 同样证明了无穷多个解的存在性。

2） 对于较小的SHL临界指数， 由于临界指数较低， 加之对数项带来的符号不确定性和不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件， 导致PS序列紧性证明困难。基于此， 本文转而深入分析能量泛函的结构， 证明了方程至少存在一个局部极小解。进一步， 在附加参数条件下， 证明了该解也是基态解。

本文的贡献在于将传统的Kirchhoff方程推广至Kirchhoff-Choquard方程， 并为处理此类兼具非局部项、 临界项及对数扰动的复杂问题提供了新的分析框架。值得指出的是， 研究结果的普适性受到证明过程中所必需的强假设条件的限制， 这是本文的不足之处。

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基金资助

山西省基础研究计划资助项目(202103021224198)