基于WFRLS⁃STCKF的锂离子电池荷电状态估计方法

State of Charge Estimation Method for Lithium⁃Ion Batteries Based on WFRLS⁃STCKF

摘要

精确的锂离子电池的荷电状态（SOC）估计是确保电动汽车安全、 可靠运行的核心要求。然而， 电池管理系统（BMS）易受多变工作条件的干扰， 导致SOC估计值出现较大偏差， 这构成了当前面临的主要挑战。针对电池系统工况突变时， 传统遗忘因子递推最小二乘法（FFRLS）因动态响应迟滞所致模型参数辨识精度下降， 进而影响SOC估计精度的问题， 本文提出了一种结合加权遗忘因子递推最小二乘法（WFRLS）与强跟踪容积卡尔曼滤波（STCKF）的联合估计方法。基于二阶RC等效电路模型， 采用WFRLS算法进行了模型参数在线辨识。结果表明， 在系统工况突变时， WFRLS的电压辨识精度较传统FFRLS方法提升约0.01V。在此基础上， 利用STCKF算法实现SOC的在线估计。在动态应力测试（DST）和城市道路循环（UDDS）两种典型工况下的实验验证表明， 所提联合方法具有较高的估计精度， 平均绝对误差低于2%， 均方根误差低于3%， 表现出良好的适应性与鲁棒性。

Abstract

Accurate state of charge （SOC） estimation for lithium-ion batteries is a core requirement for ensuring the safe and reliable operation of electric vehicles. However， battery management system （BMS） is susceptible to interference from variable operating conditions， leading to significant deviations in SOC estimates， which constitutes a major current challenge. To address the issue where traditional forgetting factor recursive least squares （FFRLS） suffered from reduced model parameter identification accuracy due to delayed dynamic response during abrupt changes in battery system operating conditions， thereby affecting SOC estimation accuracy， this paper proposed a joint estimation method that combined weighted forgetting factor recursive least squares （WFRLS） and strong tracking cubature kalman filter （STCKF）. Based on a second-order RC equivalent circuit model， the WFRLS algorithm was used for online identification of model parameters. The results show that during abrupt changes in system operating conditions， the voltage identification accuracy of WFRLS improves by approximately 0.01V compared to the traditional FFRLS method. On this basis， the STCKF algorithm is utilized to achieve online SOC estimation. Experimental validation under two typical conditions， namely dynamic stress test （DST） and urban dynamometer driving schedule （UDDS）， demonstrates that the proposed joint method achieves high estimation accuracy， with a mean absolute error below 2% and a root mean square error below 3%， exhibiting good adaptability and robustness.

Graphical abstract

关键词

电动汽车 / 荷电状态估计 / 系统工况突变 / 加权遗忘递推最小二乘法 / 强跟踪容积卡尔曼

Key words

electric vehicles / state of charge estimation / abrupt changes in system operating conditions / weighted forgetting factor recursive least squares / strong tracking cubature Kalman filter

0 引　言

动力电池是电动汽车的核心部件， 其性能直接影响车辆的续航里程、 运行稳定性和整体安全性。电池管理系统（Battery Management System， BMS）作为动力电池的关键技术， 能够持续监测电池参数， 确保其在安全的温度与电量范围内工作， 防止过充过放， 从而提升电池组的综合性能与寿命。荷电状态（State of Charge， SOC）估算是BMS的核心功能之一， 系统中多数功能均依赖于准确的SOC结果。然而， 由于电池很强的非线性特性、 环境变化的不确定性以及负荷变化引起的系统动态变化等因素， 使得SOC的精确估算变得极其困难^［1］。

目前， SOC估算方法主要有开路电压法、 安时积分法、 模糊逻辑法及基于模型的方法^［2-3］。其中， 基于模型的方法能够准确描述电池的动态特性， 估算精度高、 适应性强， 广泛应用于电动汽车的SOC估计。然而， 模型参数不确定与电池非线性特性仍对参数辨识与SOC估算构成挑战。常用的电池参数辨识方法有最小二乘法及其衍生算法， Qian等^［4］为应对磷酸铁锂电池开路电压平台区导致的SOC估算难题， 提出了基于阻抗时标信息的多维特征提取方法。该方法通过定义三类时标特征， 精确捕获了从界面反应到离子扩散等多个关键动态过程， 并结合集成学习实现了温度自适应的SOC估算， 平均误差低于4.5%， 为突破电压方法的局限提供了新解决方案。然而， 该方法在动态负载突变条件下常常表现出较大的误差和不稳定性。基于模型的SOC估算主要采用卡尔曼滤波类算法， 传统的卡尔曼滤波算法只适用于线性系统， 为了应对非线性系统带来的挑战， 产生了诸如扩展卡尔曼滤波算法（EKF）、 无迹卡尔曼滤波算法（UKF）以及容积卡尔曼滤波算法（CKF）。Yun等^［5］采用EKF进行SOC估算， EKF对非线性函数采用泰勒展开后只保留一阶项的方式来达到线性化的目的， 但是在不稳定系统下EKF会产生较大截断误差。Chen等^［6］通过自适应调整噪声协方差矩阵Q和R来提高UKF的估算精度， 相较于EKF估算精度有所提高。Huang等^［7］提出了一种基于物理-数据融合模型与自适应卡尔曼滤波的联合估计方法。该方法通过并联TCN与LSTM网络来预测电池动态电压， 以补偿等效电路模型的电压估计误差， 并进一步利用动态残差将物理模型与数据驱动模型的电压输出进行最优融合， 最终构建基于融合电压的状态空间模型， 采用自适应无迹卡尔曼滤波进行闭环协同估计。实验表明， 该方法在所有验证场景下均方根误差低于3%， 平均绝对误差小于0.5%， 显著优于现有方法。但是， 系统发生状态突变时， 对过程噪声和测量噪声的过度调整反而会影响SOC估算的精度， 导致滤波发散。

针对不稳定系统下SOC估算精度下降的问题， 本文提出一种基于加权递推最小二乘（WFRLS）与强跟踪容积卡尔曼滤波（STCKF）的联合估算方法。该方法通过WFRLS动态调整模型参数， 增强对电池非线性和突变状态的适应能力； STCKF则融合强跟踪理论与容积卡尔曼滤波， 提升状态估计的鲁棒性； 最终将二者结合， 实现模型参数与SOC的同步在线估计。

1 锂电池建模与参数辨识

选择合适的电池模型对SOC估算的计算效率和精度起着十分重要的作用， 等效电路模型因其具有模型简单、 计算效率高、 能够有效捕捉电池动态特性等优点而被广泛应用于电池管理系统（BMS）中。目前， 常用的电池等效电路模型有Thevenin模型、 PNGV模型、 GNL模型和二阶RC模型等^［8］， 综合考虑复杂度与精度的平衡， 本文选用二阶RC等效电路模型， 它由一个内阻和两个RC网络串联组成， 具体包括电池开路电压{\mathrm{U}}_{\mathrm{O}\mathrm{C}}， 电池端电压U， 反映电流通过电池时瞬时产生电压降的欧姆内阻R₀， 反映快速充放电时电池动态行为的快速动态RC网络R₁、 C₁， 反映长时间充放电时电池滞后效应和极化现象的慢速动态RC网络R₂、 C₂， 如图 1 所示。

由图 1 结合基尔霍夫定律可得该模型在时域下的状态方程为^［9］

\left\{\begin{array}{l}U=U_{\mathrm{O}\mathrm{C}}(SOC(t))-U_{\mathrm{1}}-U_{\mathrm{2}}-I(t)R_{\mathrm{0}},\\ C_{\mathrm{1}}•\frac{\mathrm{d}{U}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=I(t)-\frac{U_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}},\\ C_{\mathrm{2}}•\frac{\mathrm{d}{U}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=I(t)-\frac{U_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（1）

时域下的状态方程时间信号是连续的， 不适合数字计算， 需将状态方程离散化处理^［10］。利用拉普拉斯变换将时域下的状态方程式（1）写成频域下的表达式得到式（2）。

\begin{array}{c}Y(s)=U_{\mathrm{O}\mathrm{C}}(s)-U(s)=\\ \left(R_{\mathrm{0}}+\frac{R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}s}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}s}\right)·I(s)，\end{array}（2）

将式（2）用传递函数形式表示为

G(s)=\frac{Y(s)}{E(s)}=\frac{R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}s}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}s}+R_{\mathrm{0}}，（3）

式中： s为复频域。

为将连续时间系统离散化引入双线性变换公式

s=\frac{\mathrm{2}}{T}\times \frac{\mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+z^{-\mathrm{1}}}\mathrm{。}（4）

令{\tau }_{\mathrm{1}}=R_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}， {\tau }_{\mathrm{2}}=R_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}， 将式（4）代入式（3）中， 整理可得

G(z^{-\mathrm{1}})=\frac{Y(z)}{I(z)}=\frac{K_{\mathrm{3}}+K_{\mathrm{4}}{z}^{-\mathrm{1}}+K_{\mathrm{5}}{z}^{-\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-K_{\mathrm{1}}{z}^{-\mathrm{1}}-K_{\mathrm{2}}{z}^{-\mathrm{2}}}，（5）

式中： z为离散域； z^{-\mathrm{1}}为延时一个采样周期； z^{-\mathrm{2}}为延时两个采样周期； K₁~K₅为待定系数， 其包含电池模型中的未知参数。

利用传递函数可得到最小二乘法的标准形式

\left\{\begin{array}{l}Y(k)={\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(k)\theta (k),\\ {\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(k)=[Y(k-\mathrm{1}),Y(k-\mathrm{2}),I(k),\\ I(k-\mathrm{1}),I(k-\mathrm{2})],\\ \theta =[k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{4}},k_{\mathrm{5}}{]}^{\mathrm{T}},\end{array}\right.（6）

式中： \theta为待辨识参数； {\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(k)为系统的观测数据矩阵。利用递推最小二乘法求得\theta， 利用K₁~K₅和模型参数的关系反推即可得到所求参数。

常用在线参数辨识方法为递推最小二乘法（RLS）及其衍生算法。带遗忘因子的递推最小二乘法（FFRLS）通过引入遗忘因子λ来降低历史数据的影响， 使模型可以准确反映当前系统状态， 增强了算法对系统变化的响应能力， 提高了算法的响应速度^［11］。然而遗忘因子的选择在算法中非常关键， 当系统不确定性噪声变化较大和系统参数发生突变时， 固定遗忘因子反而会影响模型的稳定性， 降低算法的精度^［12］。

针对上述问题， 本文在固定遗忘因子的基础上引入一个权重因子\omega， 使遗忘因子随噪声和系统参数的变化而动态化， 以减弱不确定性噪声和参数突变对算法的影响， \omega由噪声权重{\omega }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}和输入变化权重{\omega }_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{t}}两部分组成。{\omega }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}是为了解决噪声水平变化的问题， 通过动态估计噪声的方差来反映噪声的变化情况， 使得权重因子能够适应不同的噪声条件。{\omega }_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{t}}是为了应对输入值突变的情况， 当输入值前后时刻变化较大时， 会产生瞬时误差增大的结果， {\omega }_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{t}}通过捕捉瞬时误差的变化来获取前后输入值的变化情况， 然后根据该变化情况做出相应的调整， 使权重因子能够自适应地处理输入值突变的情况。

噪声权重的计算公式为

\left\{\begin{array}{l}{\delta }^{\mathrm{2}}(t)=\alpha e^{\mathrm{2}}(t)+(\mathrm{1}-\alpha ){\delta }^{\mathrm{2}}(t-\mathrm{1})，\\ {\omega }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}(t)=\sqrt[]{{\delta }^{\mathrm{2}}(t)}，\end{array}\right.（7）

式中： {\delta }^{\mathrm{2}}为残差平方的指数加权移动平均； \alpha为衰减因子， 控制新旧数据之间的平衡， 决定对最新数据的重视程度， \alpha \in \left[\mathrm{0,1}\right]。

输入变化权重的计算公式为

{\omega }_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\mathrm{1}+\gamma \frac{\left|y(t)-y(t-\mathrm{1})\right|}{{\sigma }_y},（8）

式中： \gamma为调节参数， 用于调节输入变化对权重因子的影响， \gamma选择偏大时会引起模型参数估计的波动， \gamma选择偏小时会降低对输入变化的响应速度， 根据对不同仿真的对比， 本文选择\gamma=0.1； y为观测数据； {\sigma }_y为输入数据的标准差。

最终的权重因子计算公式为

\omega (t)=\beta {\omega }_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}(t)+(\mathrm{1}-\beta ){\omega }_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{t}}(t),（9）

式中： β为调节两者权重的因子， 本文取β=0.5。

通过以上公式完成权重因子的计算， 将权重因子引入FFRLS算法形成WFRLS算法， 其计算公式为

\left\{\begin{array}{l}\widehat{y}(k)=x{(k)}^{\mathrm{T}}\widehat{\theta }(k-\mathrm{1}),\\ e(k)=y(k)-\widehat{y}(k),\\ K(k)=\frac{P(k-\mathrm{1})x(k)}{\omega (t)\lambda +x{(k)}^{\mathrm{T}}P(k-\mathrm{1})x(k)}\\ \widehat{\theta }(k)=\widehat{\theta }(k-\mathrm{1})+K(k)e(k),\\ P(k)=\frac{\mathrm{1}}{\lambda }\left[P(k-\mathrm{1})-K(k)x{(k)}^{\mathrm{T}}P(k-\mathrm{1})\right]\mathrm{。}\end{array}\right.（10）

为了验证改进后的WFRLS算法应对系统突变的能力， 采用带有电流突变的脉冲电流放电实验对FFRLS和WFRLS两种算法进行对比验证， 以模型辨识的电压与实测电压的残差作为验证两种算法精度的依据。脉冲电流放电实验的电流变化曲线如图 2 所示， 两种算法的残差对比结果如图 3 所示。

由图 3 可知， 改进后的WFRLS算法在辨识精度上较传统FFRLS算法有明显提升， FFRLS整体精度在0.035 V以内， 而WFRLS可始终保持在0.025 V以内； 尤其在系统发生突变时， FFRLS波动较大， 影响模型稳定性， 而WFRLS则能有效抑制突变带来的干扰， 从而增强模型的稳定性和鲁棒性。该算法的核心优势在于通过权重因子实现了遗忘因子的动态自适应调整： 一方面借助噪声权重抑制非稳态噪声， 另一方面通过输入变化权重增强对工况突变的瞬时响应能力。因此， WFRLS在维持整体高精度的同时， 能够在电流突变阶段有效抑制参数波动， 为后续SOC估计提供更准确、 更稳定的电池模型参数基础， 成为提升联合算法整体性能的关键所在。

2 基于WFRLS⁃STCKF算法的SOC估计方法

应用卡尔曼滤波类算法估算电池的SOC时， 需要建立与电池模型相匹配的状态方程和观测方程^［13］， 根据前文建立的二阶RC等效电路模型， 可得到电池模型的状态方程如式（11）和观测方程如式（12）。

\left[\begin{array}{c}SO{C}_k\\ U_{\mathrm{1},k}\\ U_{\mathrm{2},k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{T}/R_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{T}/R_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}SO{C}_{k-\mathrm{1}}\\ U_{\mathrm{1},k-\mathrm{1}}\\ U_{\mathrm{2},k-\mathrm{1}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-T/C_n\\ (\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{T}/R_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}})R_{\mathrm{1}}\\ (\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{T}/R_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}})R_{\mathrm{2}}\end{array}\right]{\mathit{I}}_k,（11）

式中： SOC_k 为k时刻电池的荷电状态； T为采样时间； C_n 为电池的额定容量。

U_k=U_{\mathrm{O}\mathrm{C},k}(SOC)-U_{\mathrm{1},k}-U_{\mathrm{2},k}-{\mathit{I}}_k{R}_{\mathrm{0}},（12）

式中： U_OC，k （SOC）为k时刻SOC值求得的U_{\mathrm{O}\mathrm{C}}值。

标准卡尔曼滤波算法只适用于线性系统， 锂离子电池在工作过程中属于严重非线性的系统， 需要使用衍生的卡尔曼算法来处理这种非线性系统^［14］。容积卡尔曼滤波算法（CKF）是一种先进的非线性滤波算法， 其核心思想是基于高斯-埃尔米特积分的数值方法， 将多维积分问题转化为点集的加权求和。该算法通过在状态空间中选择若干个容积点， 计算这些点在状态转移和观测模型中的非线性变换， 然后通过这些变换后点的加权平均值来估计系统的状态和协方差^［15］。CKF算法在处理非线性系统时有许多优点， 但依然存在一些局限性^［16］：

1） CKF在处理时变系统时可能会表现出较差的跟踪性能， 尤其是在系统动态变化较大时。对于一些实时应用或快速变化的动态系统， CKF可能难以及时跟踪系统的状态变化。

2） CKF假设系统模型和噪声分布已知且准确。然而， 在实际应用中， 系统模型和噪声协方差矩阵往往存在不确定性。

针对以上问题， 本文通过引入强跟踪滤波器， 可以在CKF的基础上增强滤波器的动态适应能力， 具体来说， 通过引入一个强跟踪因子{\lambda }_{\mathrm{n}}来动态调整状态协方差矩阵的大小和滤波器的增益， 使得滤波器能够对突变和过程噪声与测量噪声变化的系统状态迅速响应， 从而提高滤波器在非稳定系统中的性能^［17］。

强跟踪滤波器的基本思想是在线确定一个增益矩阵， 使其满足滤波器性能最优和输出残差处处正交两个条件， 即

\left\{\begin{array}{l}E\left[(x_k-{\widehat{x}}_k)(x_k-{\widehat{x}}_k{)}^{\mathrm{T}}\right]=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}，\\ E\left({\mathit{\gamma }}_k{\mathit{\gamma }}_{k+j}^{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（13）

根据以上条件求解强跟踪因子{\lambda }_{\mathrm{n}}可采用梯度下降法， 通过不断调整{\lambda }_{\mathrm{n}}的值找到最优{\lambda }_{\mathrm{n}}， 从而实现滤波器性能最优和残差正交。然而采用梯度下降法求解{\lambda }_{\mathrm{n}}的计算复杂度较高， 只适用于离线和对时间不敏感的场合， 无法满足实时在线求解{\lambda }_{\mathrm{n}}。因此， 文献［18］给出强跟踪因子的次优求解方法：

{\lambda }_n=\left\{\begin{array}{c}{e}_k(e_k>\mathrm{1})，\\ \mathrm{1}(e_k\le \mathrm{1})，\end{array}\right.（14）

式中： e_{{}_k}=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(N_{{}_k}\right)/\mathrm{t}\mathrm{r}\left(M_{{}_k}\right)， N_k 和M_k 的计算公式为

\left\{\begin{array}{l}{N}_k=V_{\mathrm{0},k}-\beta R_k-{\mathit{H}}_k{Q}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{H}}_k^{\mathrm{T}}，\\ M_k=H_k{\mathit{F}}_{k-\mathrm{1}}{P}_{k-\mathrm{1}}{\mathit{F}}_{k-\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{H}}_k^{\mathrm{T}}\mathrm{。}\end{array}\right.（15）

{\mathit{V}}_{\mathrm{0},k}=\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{1}}{\mathit{\gamma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}(k=\mathrm{1})，\\ \frac{\rho V_{\mathrm{0},k-\mathrm{1}}+{\mathit{\gamma }}_k{\mathit{\gamma }}_k^{\mathrm{T}}}{\mathrm{1}+\rho }(k>\mathrm{1})，\end{array}\right.（16）

式中， {\mathit{V}}_{\mathrm{0},k}为残差序列协方差矩阵； \rho为遗忘因子， 一般取\rho=0.95； \beta为弱化因子， \beta \ge \mathrm{1}； {\mathit{H}}_k为观测函数的雅可比矩阵； {\mathit{F}}_k为状态转移函数的雅可比矩阵。为了降低计算量， 要避免使用雅可比矩阵求解， 因此用其他变量来代替雅可比矩阵^［19］。

通过求导， 可以表示状态和预测状态的关系

x_{k+\mathrm{1}|k}\approx \mathit{F}{x}_k\mathrm{。}（17）

因此， 可以近似为

{\mathit{P}}_{x_k{x}_{k+\mathrm{1}|k}}\approx \mathit{F}{\mathit{P}}_k,（18）

从而得到近似的雅可比矩阵

\mathit{F}\approx {\mathit{P}}_{x_k{x}_{k+\mathrm{1}|k}}{\mathit{P}}_k^{-\mathrm{1}},（19）

同理可以得到近似的雅可比矩阵

\mathit{H}\approx {\mathit{P}}_{x_k{z}_k}{\mathit{P}}_k^{-\mathrm{1}}\mathrm{。}（20）

通过以上方法可以对强跟踪因子实时更新， 现将强跟踪滤波器与CKF算法融合， 在预测状态协方差{\mathit{P}}_{k|k-\mathrm{1}}、 测量协方差{\mathit{P}}_{zz}、 状态观测互协方差矩阵{\mathit{P}}_{xz}中加入强跟踪因子{\lambda }_{\mathrm{n}}， 形成强跟踪容积卡尔曼滤波算法（STCKF）， 改进后的STCKF算法的计算过程如下：

1） 生成容积点

{\chi }_i={\widehat{x}}_{k-\mathrm{1}}+\sqrt[]{n\delta P_{k-{\mathrm{1}}_{\mathrm{i}}}}，（21）

式中： n为状态向量的维度； \delta为容积点集， \delta=［ I，- I ］， I 是n维单位对角矩阵。

2） 计算强跟踪因子λ_n。

3） 预测状态和协方差

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{x}}_{k|k-\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}n}}f({\chi }_i)，\\ {\mathit{P}}_{k|k-\mathrm{1}}=\\ Q+\frac{{\lambda }_n}{\mathrm{2}n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}n}}(f({\chi }_i)-{\widehat{x}}_{k|k-\mathrm{1}})(f({\chi }_i)-{\widehat{x}}_{k|k-\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\mathrm{。}\end{array}\right.（22）

4） 计算卡尔曼增益

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{P}}_{xz}=\frac{{\lambda }_n}{\mathrm{2}n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}n}}\left(X_{k|k-\mathrm{1}}^i-{\widehat{x}}_{k|k-\mathrm{1}}\right){\left(Z_{k|k-\mathrm{1}}^i-{\widehat{z}}_{k|k-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}，\\ {\mathit{P}}_{zz}=\frac{{\lambda }_n}{\mathrm{2}n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}n}}\left(Z_{k|k-\mathrm{1}}^i-{\widehat{z}}_{k|k-\mathrm{1}}\right){\left(Z_{k|k-\mathrm{1}}^i-{\widehat{z}}_{k|k-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}+R_k，\\ K_k={\mathit{P}}_{xz}{\mathit{P}}_{zz}^{-\mathrm{1}}\mathrm{。}\end{array}\right.（23）

5） 更新状态和协方差

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{x}}_k={\widehat{x}}_{k|k-\mathrm{1}}+K_k(z_k-{\widehat{z}}_{k|k-\mathrm{1}})，\\ {\mathit{P}}_{k|k}={\mathit{P}}_{k|k-\mathrm{1}}-K_k{\mathit{P}}_{zz}{\mathit{K}}_k^{\mathrm{T}}\mathrm{。}\end{array}\right.（24）

WFRLS算法实时更新电池模型参数并传递给STCKF算法， STCKF算法利用当前的观测输入和辨识处的参数实时估算电池的状态， 然后反馈给WFRLS算法供下一次参数辨识使用， 随着系统观测值的不断输入， 状态估计和模型参数在动态环境中持续更新， 以此形成一个闭环， 达到提升整体估计精确性的目的。WFRLS-STCKF联合估算的流程如图 4 所示。

与传统CKF相比， STCKF算法的核心优势在于其引入的强跟踪机制。传统CKF在系统模型准确且状态平稳变化时性能优异， 但其对于系统状态的突变（如工况急剧变化导致的模型失配）以及时变噪声特性的适应能力有限。

STCKF通过实时计算强跟踪因子 ， 动态调整状态预测协方差矩阵， 从而强制滤波器增益保持在较高水平， 使得滤波器能够对状态突变和未建模动态做出快速响应。这一机制确保了输出残差序列始终保持近似正交， 极大地增强了算法在非稳态工况下的跟踪能力、 估计精度和鲁棒性， 有效避免了传统CKF可能出现的估计滞后或发散问题。

3 实验结果与分析

为了验证所提算法的有效性， 本文搭建了实验测试平台。核心设备采用武汉拓普特公司生产的TPXDF500A/100V蓄电池自动检测系统， 其电压与电流采集精度分别为±0.01 V和±0.01 A。为了严格控制系统变量， 特别是消除温度对电池性能的影响， 所有实验均在上海和晟仪器科技有限公司生产的HS-225C恒温恒湿箱中进行， 环境温度恒定控制在（25±1） °C。实验对象为18 650三元锂电池， 其标称容量为3 Ah， 标称电压为3.7 V， 充放电截止电压为2.5~4.2 V， 最大放电倍率3 C。

电池的SOC和开路电压（OCV）有着直接的映射关系， OCV-SOC曲线是BMS中的一个关键参数， OCV无法直接测量， 充分静置后电池的OCV和端电压接近， 因此根据电池充分静置后测得的端电压来近似获取OCV。设计间歇恒流充放电实验， 提取每次静置结束时的SOC和OCV值， 对不同时刻的OCV和SOC拟合为一个多项式函数关系， 拟合结果如图 5 所示。

\begin{array}{c}COV(SOC)=-\mathrm{13.45}\times SO{C}^{\mathrm{7}}+\mathrm{53.76}\times SO{C}^{\mathrm{6}}-\\ \mathrm{84.66}\times SO{C}^{\mathrm{5}}+\mathrm{64.73}\times SO{C}^{\mathrm{4}}-\mathrm{22.86}\times SO{C}^{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{2.452}\times SO{C}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.768}\times SOC+\mathrm{3.415}\mathrm{。}\end{array}（25）

为了模拟系统状态突变， 本文采用带有电流突变的DST工况来验证改进后算法的精确性， 实验前将电池电量放空并置于恒温箱静置至端电压达到稳定值， 采用恒流恒压的方式将电池充电至电池的截止电压， 充电后继续静置至每个单体电池电压稳定， 随后加载DST工况电流进行测试。实验数据采集时间间隔为1 s， 共采集14 000个数据点， 将采集的数据分别用三种算法估算SOC， 采集的电流和电压如图 6 和图 7 所示， 估算结果分别如图 8 和图 9 所示。

图 8 和图 9 分别为三种算法估算SOC的对比情况和误差统计情况。由图 8 可以看出， 三种算法的模型估计值在大多数时间步中与真实值非常接近， 且都能较好地跟随真实值的变化趋势。

由图 8 局部放大图可知， 在同一采样时刻， WFRLS-STCKF算法估算的结果更接近真实值， 其平均绝对误差和均方根误差为1.48%和2.59%， 相较于FFRLS-CKF和WFRLS-CKF平均绝对误差分别降低了4.83百分点和0.85百分点， 均方根误差分别降低了8.45百分点和1.48百分点。这是由于在突变频繁的工况下， WFRLS算法可以提供更准确的电池模型参数， 同时在突变发生时， 强跟踪因子能及时调整卡尔曼增益的大小， 从而提高残差序列对估计值的影响使其更逼近真实值。由图 8 还可以看出， 在放电末期， 三种算法估算的SOC与真实值都有不同程度的偏差。这是由于电池接近放电末期时， 实际可用容量往往要低于标称容量， 同时在放电末期， 电池内部的化学反应更加剧烈， 自放电现象更加明显， 产生的热量也会随之增加， 使得OCV-SOC曲线不能准确反映电池的开路电压， 导致SOC预测变得更加困难和不准确。为了进一步验证改进后算法在实际驾驶条件下估算的准确性， 采用更侧重于模拟标准城市驾驶周期的UDDS工况来对三种算法进行测试。实验方法和步骤与前者相同， 采样时间间隔为1 s， 共采集13 000个数据点， 采集的电流和电压分别如图 10 和图 11 所示， 估算结果分别如图 12 和图 13 所示。

图 12 和图 13 可知， 在UDDS工况下， 几种算法均能准确实现SOC估算， 都能满足实际驾驶条件下的SOC估算要求。相较于FFRLS-CKF算法， WFRLS-CKF算法的联合估算结果更接近于真实值， FFRLS-CKF算法的平均绝对误差和均方根误差分别为5.31百分点和9.89百分点， WFRLS-CKF算法为0.93百分点和1.57百分点， 平均绝对误差和均方根误差分别提高了4.38百分点和8.33百分点， 说明WFRLS算法辨识的模型参数精确性更高。WFRLS-CKF算法与WFRLS-STCKF算法的估算精度接近， WFRLS-STCKF算法的平均绝对误差和均方根误差分别为0.36%和0.54%， 这是由于UDDS工况中没有过多的系统输入值突变， WFRLS-STCKF算法的优势没有显现， 同时也说明在系统变化较平稳的环境下WFRLS-STCKF算法也具有较高的精确性。

4 结　论

本文针对锂离子电池在工况突变条件下状态估计精度下降的问题， 提出了一种基于加权遗忘因子递推最小二乘法（WFRLS）与强跟踪容积卡尔曼滤波（STCKF）的联合估计方法。该方法采用WFRLS对电池模型参数进行在线辨识， 通过引入权重因子增强对系统动态突变的跟踪能力； 在此基础上， 利用STCKF实现SOC的鲁棒估计。实验结果表明： WFRLS在参数辨识中表现出显著优势， 相较于传统FFRLS算法， 整体误差降低至0.025 V， 有效提升了模型的精度与鲁棒性； 所提出的WFRLS-STCKF联合算法在不同工况下均具备优良的估计性能， 在动态应力测试（DST）工况和城市道路循环（UDDS）工况下的平均绝对误差低于2%， 验证了该方法在突变与平稳工况下均具有良好的适应性与估计准确性。

尽管本文所提WFRLS-STCKF联合算法在计算复杂度上高于FFRLS-CKF等传统方法， 对BMS硬件平台的算力提出了更高要求， 但这与SOC估计精度的提升是一个需要权衡的工程问题。随着低成本、 高性能微控制器的普及， 以及通过算法层面的进一步优化， 该算法具备在下一代BMS中实现在线运行的潜力。未来的工作将聚焦于算法的轻量化设计与在嵌入式平台上的实时性验证。

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基金资助

国家自然科学基金(5217061383)

中国博士后科学基金(2023MD734213)

陕西省博士后科研项目(2023BSHEDZZ290)

陕西省博士后科研项目(2024BSHSDZZ130)

陕西省自然科学基础研究计划(2025JC-YBQN-639)

陕西省教育厅专项科研计划项目(24JK0540)