基于响应谱传递比估计误差的结构模态参数识别精度分析

Analytical of Structural Modal Parameter Identification Accuracy Based on Estimation Errors in Power Spectrum Density Transmissibility

摘要

为了研究响应谱估计误差及其传递对振动响应功率谱密度传递比（Power Spectrum Density Transmissibility,PSDT）估计的影响，基于摄动理论和统计矩定义，推导了两个变量比例函数的均值和方差近似表达式；将响应谱估计统计矩代入，可以推导出由响应相干函数、谱估计中信号平均分段数，近似表征的PSDT估计幅值的均值和方差解析公式.基于此，揭示了共振频率处PSDT估计幅值误差规律，并实现了模态振型幅值的精度度量.研究发现，共振频率处PSDT幅值方差存在极小值，且变异系数小于相关响应谱.通过数值框架数据验证了文中误差公式的准确性.此外，还研究了参考响应的选择、响应时长、窗函数类型对PSDT和模态振型估计的影响.结果表明，以PSDT两组响应作为参考响应，能得到较好PSDT和模态分析结果；同时模态振型估计标准差随测试数据时长的增加，也随之降低至一定水平.

Abstract

To investigate the statistical errors inherent in this classical process and its influence on PSDT measurements， based on the perturbation technique， the mean and variance of the quotient of the random variables are approximately expressed with the application of the statistical moment method. Then， the statistical moments of two response spectral estimates are substituted to derive the formulae for the mean and variance of the PSDT’s amplitude regarding the coherence function of the response and the number of averaging segments in spectrum analysis. Based on this， the error law in the amplitude of the PSDT estimate at the resonance frequency is revealed to quantify the estimation error of the mode shape. It is found that the error in the PSDT’s amplitude estimate at the resonances tends to a local minimum value， and the coefficient of variation is smaller than the counterparts of two associated response power spectrum densities. Finally， the accuracy of the derived error formulation in the paper is verified by vibration data from one numerical frame. Moreover， a parameter study regarding the influence of the selection of reference response， the time duration of measurements， and the type of window function on the PSDT and mode shape estimates is performed. The results show that using two basic responses of PSDT as the reference responses is beneficial to reduce the error in PSDT estimates and outcomes of modal analysis， and the standard variance of the estimate also decreases with the increasing time duration of measurements and finally to a specific limit.

Graphical abstract

关键词

频谱误差 / 响应功率谱传递比 / 模态识别 / 误差分析 / 摄动法

工作模态分析（Operational Modal Analysis，OMA）仅基于日常运营状态下振动响应，在不打断结构正常工作下，成为分析实际工程结构模态特性的重要手段^［1］. 相对于时域分析技术，频域方法具有物理意义直观、计算快速等优点，通常包括峰值拾取法、频域分解法及最小二乘复频域法等^［2］. 需要指出，频域方法一般建立在未知激励为平稳随机信号假定的基础上.然而，工程结构运营荷载复杂，当激励存在有色噪声或谐波成分时，OMA分析过程必然受到激励频率成分干扰，降低识别结果的可靠性^［3］.

为此，振动响应传递比驱动方法（Transmissibility-based OMA，TOMA）运用结构振型信息定位系统极点. 由于未知激励信息不参与运算，TOMA理论上摆脱激励特性影响，在谐波激励下的结构工作模态分析中已展现优势^［4-6］. 在经典TOMA方法启发下，PSDT方法^［7］不仅延续经典方法克服激励特性干扰的优点，还具备便于大型工程结构应用的特点，受到国内外学者关注^［8-13］. 为提高方法的工程适用性，众多学者展开一系列工作. Yan等^［9］将其拓展到复频域中，并借助稳定图进行模态参数识别，降低人机交互影响. Araújo等构建PSDT矩阵，并与奇异值分解技术^［10］结合，还利用盲源分离技术^［11］处理低信噪比响应数据，提高识别结构密集模态的能力.Kang^［12］利用不同工况下共振频率处PSDT矩阵秩的特性，解决特定工况下非白噪声引起的虚假模态和密集模态识别问题. 此外，Damadipour等^［13］还提出了加权传递比概念，并结合小波变换，成功识别地震作用下某水坝模态特性.

PSDT方法本质上是一种频域分析技术，与其他频域方法一样，需先从估计振动响应功率谱（Power Spectrum Density，PSD）着手^［14］. 工程应用中响应测量大多为截取的有限长度非周期信号，其功率谱估计普遍存在频谱泄漏误差^［3］.此外，实际结构测试环境复杂，响应信号难免受到测试误差等干扰^［15-16］. PSDT是关于响应谱估计的比值函数，也存在频谱泄漏及测试噪声干扰，从而影响基于PSDT的工作模态分析^［17］. 因此，有必要在基于PSDT的模态分析中考虑谱估计误差影响，提高识别结果的精度和鲁棒性.

为考虑测试噪声等多源不确定性，有学者以结构频域振动信号为对象，如频响函数和振动响应传递比，进行不确定性及传播机理分析. 例如，Mao等^［18］采用摄动法推导振动响应传递比幅值的方差和期望，在响应信号的自谱估计服从卡方分布假定的基础上，建立传递比估计幅值及相位概率密度函数. 针对响应传递比估计的实部和虚部不确定性，Yan等^［19］证明了传递比服从多元圆对称复高斯比例分布，并通过大型工程结构监测数据分析，验证了传递比概率分布在模态频率处仅与信噪比和模态振型相关. 需要指出，文献［18］中振动响应传递比是两测点响应自功率谱密度之比，而频谱由加权重叠平均谱估计法（即改进平均周期图法）所得；文献［19］则直接利用两测点响应信号的傅里叶变换系数，估计响应传递比，不涉及加窗、重叠、平均等处理. PSDT引入参考响应概念，被定义为两响应互谱密度比值. 显然，PSDT统计特性依赖于参考响应信号的统计特性，无法直接使用文献［18］中统计模型进行误差分析.

本文以频谱估计误差及其传递对PSDT估计精度的影响为出发点，结合Bendat谱估计的实用误差公式^［20］，推导PSDT估计均值和方差近似解析式，进而研究频谱估计误差对结构模态振型估计精度的影响. 最后，通过分析数值框架响应数据，与蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation，MCS）结果进行对比，验证PSDT误差传递公式的适用性和有效性，并研究谱估计中估计参数（平均分段数和窗函数类型）、信号时长以及参考响应选择对估计精度的影响.

1 理论背景

1.1 振动响应功率谱密度传递比

1.1.1 定义

一线性动力系统有N_d 个响应测点，其中y_p （t）和y_q （t）分别为p和q两个测点的动力响应记录. 振动响应功率谱密度传递比{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_k)定义为^［7］：

{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_k)=\frac{{\widehat{S}}_{pu}^{}({\omega }_k)}{{\widehat{S}}_{qu}^{}({\omega }_k)}（1）

式中：{\widehat{S}}_{pu}^{}({\omega }_k)和{\widehat{S}}_{qu}^{}({\omega }_k)分别为基本响应y_p （t）和y_q （t）关于参考响应y_u （t）的互功率谱.

1.1.2 PSDT重要特性

同一工况下，关于不同参考响应y_u （t）和y_m （t）的PSDT在共振频率附近均收敛于振型分量之比^［7］：

\underset{{\omega }_k\to {\omega }_r}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_k)=\frac{{\varphi }_p^r}{{\varphi }_q^r}（2）

\underset{{\omega }_k\to {\omega }_r}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\widehat{T}}_{pq}^m({\omega }_k)=\frac{{\varphi }_p^r}{{\varphi }_q^r}（3）

式中：{\omega }_r为第r阶结构共振频率；{\varphi }_p^r、{\varphi }_q^r分别为第r阶模态振型在测点p的分量和在测点q的分量；{\omega }_k为任一频率点.

1.2 频谱误差

1.2.1 经典谱估计

实际应用中，通过平均周期图法对振动信号平均、加窗手段，从而改善谱估计方差特性. 所得谱估计可由下式计算^［21］：

{\widehat{S}}_{pu}({\omega }_k)=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{s}}U}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{s}}}}{\tilde{S}}_{pu,j}({\omega }_k)（4）

\left\{\begin{array}{l}{\tilde{S}}_{pu,j}=Y_{p,j}^{\mathrm{*}}{Y}_{u,j}^{}\\ U=\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}}}{\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^{L_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}}}}{W}^{\mathrm{2}}(t)\\ Y_{p,j}^{}={\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^{L_{sub}}}W(t)y_{p,j}(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\end{array}\right.（5）

式中：N_s为信号平均分段数；L_sub为每个信号子段长度；W（t）为窗函数；y_{p,j}和Y_{p,j}^{}分别为测点p响应y_p （t） 信号第j个信号子段及对应的傅里叶变换系数；{\tilde{S}}_{pu,j}为测点p第j个响应信号段和测点u第j个响应信号段的互谱估计；\mathrm{*}为复共轭.

1.2.2 Bendat频谱估计误差公式^［20］

改进平均周期图法采用平均、加窗和重叠等手段处理后，难以获取频谱估计的确切概率分布. 为此，本文针对未重叠所得谱估计，在Bendat推导的频谱估计统计特性实用公式基础上，进行PSDT估计误差量化研究. 假定分析信号满足高斯白噪声分布，且各记录噪声水平低，则频谱估计统计特性可近似为^［20］：

1）频谱估计均值：

E\left(\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right)=\left|S_{pu}\right|（6）

2）频谱估计幅值方差：

{\sigma }^{\mathrm{2}}\left(\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right)={\left|S_{pu}\right|}^{\mathrm{2}}/\left({\gamma }_{pu}{N}_{\mathrm{s}}\right)（7）

式中：{\gamma }_{pu}^{}为测点p和测点u响应相干函数，{\gamma }_{pu}^{}={\left|S_{pu}\right|}^{\mathrm{2}}/\left(S_{pp}{S}_{uu}\right).

2 PSDT中频谱误差传播及量化

2.1 随机变量商的统计矩

假定\mathit{y}=[y_{\mathrm{1}},\cdots ,y_j,\cdots ,y_N{]}^{\mathrm{T}}为由N个随机变量组成的向量，相应均值和方差分别为\overline{\mathit{y}}=[{\overline{y}}_{\mathrm{1}},\cdots ,{\overline{y}}_j,\cdots ,{\overline{y}}_N{]}^{\mathrm{T}}和{\sigma }^{\mathrm{2}}(\mathit{y})=[{\sigma }^{\mathrm{2}}(y_{\mathrm{1}}),\cdots ,{\sigma }^{\mathrm{2}}(y_j),\cdots ,{\sigma }^{\mathrm{2}}(y_N{)]}^{\mathrm{T}}. 设\mathrm{𝒢}(\mathit{y})是关于随机变量\mathit{y}的连续函数.假设\mathit{y}中随机误差呈高斯分布且有较小的随机性，而\mathrm{𝒢}(\mathit{y})可以通过变量均值处进行线性表示. 根据摄动理论，随机变量\mathit{y}在其均值\overline{\mathit{y}}处产生微小扰动，因此可将\mathrm{𝒢}(\mathit{y})在随机变量均值处作一阶泰勒展开：

\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\approx \mathrm{𝒢}(\overline{\mathit{y}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_j}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.△y_j（8）

式中：△y_j=y_j-{\overline{y}}_j；\partial \mathrm{𝒢}/\partial y_j为函数\mathrm{𝒢}(\mathit{y})关于变量y_j的一阶偏导数.根据一阶矩估计定义^［22］，函数\mathrm{𝒢}(\mathit{y})的一阶矩（即均值）可通过对式（8）等号两边取期望得到^{［17， 23］}：

E\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right]=E\left[\mathrm{𝒢}(\overline{\mathit{y}})\right]+E\left[{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_j}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.△y_j\right]（9）

式（9）中等号右边第二项满足：

E\left[{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_j}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.△y_j\right]={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_j}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.E(△y_j)=\mathrm{0}（10）

那么，E\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right]可进一步简化为：

E\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right]=\mathrm{𝒢}(\overline{\mathit{y}})（11）

同样，根据二阶矩定义^［22］，函数\mathrm{𝒢}(\mathit{y})的二阶矩（即方差）由下式得：

{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right]\triangleq E\left\{{\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})-E\left\{\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right\}\right]}^{\mathrm{2}}\right\}（12）

将式（11）代入式（12），进一步简化得：

{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{𝒢}(\mathit{y})\right]={\displaystyle \sum _{g=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_j}\left|{}_{{\overline{y}}_j}\right.\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_g}\left|{}_{{\overline{y}}_g}\right.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(y_j,y_g\right)（13）

式中：\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(y_j,y_g)\triangleq E(△y_j△y_g).

令随机变量商\mathrm{𝒢}(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}})=y_{\mathrm{1}}/y_{\mathrm{2}}，则运用式（11）得：

E\left[\mathrm{𝒢}(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}})\right]=\frac{{\overline{y}}_{\mathrm{1}}}{{\overline{y}}_{\mathrm{2}}}（14）

式中：{\overline{y}}_{\mathrm{1}}和{\overline{y}}_{\mathrm{2}}分别表示两变量y_{\mathrm{1}}和y_{\mathrm{2}}的期望. 分别求出在\overline{\mathit{y}}={\left\{{\overline{y}}_{\mathrm{1}},{\overline{y}}_{\mathrm{2}}\right\}}^{\mathrm{T}}处\mathrm{𝒢}(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}})关于y_{\mathrm{1}}和y_{\mathrm{2}}一阶偏导为：

\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_{\mathrm{1}}}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.=\frac{\mathrm{1}}{{\overline{y}}_{\mathrm{2}}}，\frac{\partial \mathrm{𝒢}}{\partial y_{\mathrm{2}}}\left|{}_{\overline{\mathit{y}}}\right.=-\frac{{\overline{y}}_{\mathrm{1}}}{{\overline{y}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}（15）

运用式（13）展开，并将式（15）代入，整理得^{［17， 22］}：

\begin{array}{l}{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{𝒢}(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}})\right]={\left(\frac{{\overline{y}}_{\mathrm{1}}}{{\overline{y}}_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}\left[\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}(y_{\mathrm{1}})}{{{\overline{y}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}(y_{\mathrm{2}})}{{{\overline{y}}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}-\right.\\ \left.\frac{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}}\right)}{{\overline{y}}_{\mathrm{1}}{\overline{y}}_{\mathrm{2}}}\right]\end{array}（16）

由式（14）和式（16）可知，随机函数的均值和方差可通过其随机变量统计特性表示.

2.2 PSDT估计误差量化

2.2.1 PSDT估计幅值误差公式推导

本节将以频谱误差对PSDT幅值估计影响为研究问题，运用上节推导的随机变量商的均值和方差近似表达式开展研究.令y_{\mathrm{1}}=\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}({\omega }_k)\right|，y_{\mathrm{2}}=\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}({\omega }_k)\right|，则\left|{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_k)\right|=\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}({\omega }_k)\right|/\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}({\omega }_k)\right|的期望和方差分别为：

E\left(\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right)=E\left(\frac{\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|}{\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|}\right)\approx \frac{E\left(\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right)}{E\left(\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right)}（17）

\begin{array}{l}{\sigma }^{\mathrm{2}}\left(\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right)={\sigma }^{\mathrm{2}}\left(\frac{\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|}{\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|}\right)\approx {\left[\frac{E\left(\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right)}{E\left(\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right)}\right]}^{\mathrm{2}}\times \\ \left\{\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right]}{E{\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right]}^{\mathrm{2}}}+\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right]}{E{\left[\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right]}^{\mathrm{2}}}-\right.\left.\frac{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|,\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right]}{E\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right]E\left[\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right]}\right\}\end{array}（18）

将式（6）和（7）代入式（17）和（18），并整理得PSDT幅值估计均值和方差近似表达式^［17］：

E\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]=\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|（19a）

\begin{array}{l}{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]={\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{\gamma }_{pu}^{}{N}_{\mathrm{s}}}+\frac{\mathrm{1}}{{\gamma }_{qu}^{}{N}_{\mathrm{s}}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|,\left|{\widehat{S}}_{qu}\right|\right]}{\left|S_{pu}\right|\left|S_{qu}\right|}\right)\\ =\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{s}}}{\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|}^{\mathrm{2}}{\left[\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}}-\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{qu}^{}}\right]}^{\mathrm{2}}\end{array}（19b）

为方便推导，式（19b）中假定各测点响应互谱完全相关，即\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|,\left|{\widehat{S}}_{qu}^{}\right|\right]=\sigma \left[\left|{\widehat{S}}_{pu}^{}\right|\right]\times\sigma \left[\left|{\widehat{S}}_{qu}\right|\right]. 由于结构固有频率附近各测点响应互谱包含结构模态振型和固有频率等信息，且出现量级相近的局部最大值，对于固有频率附近的频带，上述假定基本成立，可将式（19b）用于结构模态振型估计精度分析. 式（19b）表明，平均周期图法中信号平均段数N_s影响频谱误差引起的PSDT估计随机误差. 当增大N_s时，PSDT估计方差随之减小. 然而，当响应数据长度固定时，增加信号分段数必然导致信号子段长度缩短，而牺牲响应信号子段的谱估计精度. 因此，需要对信号分段数和信号子段谱估计精度二者进行权衡. 还发现PSDT估计随机误差受参考响应与其基本响应的相干性影响，即PSDT估计方差与参考响应选择有关. 除此以外，PSDT估计方差与其估计本身有关.

2.2.2 PSDT与响应谱的鲁棒性比较

运用式（19），\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|估计变异系数（Coefficient of Variation， c.o.v）近似为：

\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]=\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left(\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right)}{{\left[E\left(\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right)\right]}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{s}}}{\left[\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}}-\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{qu}^{}}\right]}^{\mathrm{2}}（20）

结合式（6）与式（7），相应的响应谱\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|变异系数为：

\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|\right]=\frac{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|\right]}{{\left[E\left(\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|\right)\right]}^{\mathrm{2}}}=\frac{{\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|}^{\mathrm{2}}/\left({\gamma }_{pu}^{}{N}_{\mathrm{s}}\right)}{{\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{s}}{\gamma }_{pu}^{}}（21）

取PSDT及对应响应谱变异系数之比，可得下式^［23］：

\frac{\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]}{\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|\right]}=\frac{{\left[\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}}-\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{qu}^{}}\right]}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}}={\left[\mathrm{1}-\sqrt[]{{\gamma }_{pu}^{}/{\gamma }_{qu}^{}}\right]}^{\mathrm{2}}（22）

在共振频率附近时，相干函数{\gamma }_{qu}^{}和{\gamma }_{pu}^{}将趋于一致并收敛于1.此时，式（22）中的比值项近似等于1，则两变异系数之比右逼近于0.这表明在共振频率附近，PSDT的变异性小于相应响应谱\left|{\widehat{S}}_{pu}\right|的变异性.

共振频率以外频带内，相干函数在（0，1）范围变化. 当两相干函数存在显著差异时，两变异系数之比（\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]/\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{qu}\right|\right]或\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u\right|\right]/\mathrm{c}.\mathrm{o}.\mathrm{v}\left[\left|{\widehat{S}}_{qu}\right|\right]）存在大于1情况，即存在PSDT的鲁棒性比相应响应谱的鲁棒性差的情况.

3 模态振型中频谱误差量化

根据式（19），则在第r阶共振频率{\omega }_r处，PSDT幅值的均值和方差可计算：

E\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_r)\right|\right]=\left|T_{pq}^u({\omega }_r)\right|（23a）

{\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{T}}_{pq}^u({\omega }_r)\right|\right]=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{s}}}{\left|T_{pq}^u({\omega }_r)\right|}^{\mathrm{2}}\left[\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}\left({\omega }_r\right)}-{\left.\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{qu}^{}\left({\omega }_r\right)}\right]}^{\mathrm{2}}\right.（23b）

文献［7］中，证明了在共振频率附近，PSDT收敛于两测点振型分量之比. 通过共振频率处PSDT幅值的估计误差，可近似量化频谱误差引起的结构模态振型估计误差. 测点p处模态振型估计{\widehat{\varphi }}_{p,r}的统计特征与PSDT幅值\left|{\widehat{T}}_{pc}^u({\omega }_r)\right|统计特征存在以下关系：

\mu ({\widehat{\varphi }}_{p,r})=E\left[\left|{\widehat{T}}_{pC}^u({\omega }_r)\right|\right]=\left|T_{pC}^u({\omega }_r)\right|（24a）

{\sigma }^{\mathrm{2}}({\widehat{\varphi }}_{p,r})={\sigma }^{\mathrm{2}}\left[\left|{\widehat{T}}_{pC}^u({\omega }_r)\right|\right]=\frac{{\left|T_{pC}^u({\omega }_r)\right|}^{\mathrm{2}}}{N_{\mathrm{s}}}\times

\left[\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{pu}^{}\left({\omega }_r\right)}-\right.{\left.\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{Cu}^{}\left({\omega }_r\right)}\right]}^{\mathrm{2}}（24b）

式中：\mu ({\widehat{\varphi }}_{p,r})和{\sigma }^{\mathrm{2}}({\widehat{\varphi }}_{p,r})分别表示模态振型分量估计{\widehat{\varphi }}_{p,r}的期望和方差；C为共同测点，用于将一系列测组振型拼装为全局模态振型. 由于PSDT在共振频率处与振型分量比值，因此式（24）中振型为关于归一化的振型向量.

4 算例研究

4.1 数值模型

对一栋12层的剪切型框架进行数值模拟，如 图1所示.设定框架各层质量m_i =100 kg（i=1，2，…， 12），层间刚度均为k_i=125 kN/m. 结构阻尼设定为瑞利阻尼，前2阶阻尼比均为1%；前4阶固有频率理论值为0.71 Hz、2.11 Hz、3.48 Hz、4.79 Hz. 对框架结构施加白噪声激励，采样频率设为50 Hz，时长50 min，共采集50次，生成加速度响应数据样本50个.

4.2 结果分析与验证

选取T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}、T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{6}}，分别计算两PSDT与相应响应谱的变异系数，得到图2所示的变异系数曲线. 对比发现，在前4阶共振频率（竖向虚线所示）附近，T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}的变异系数均明显小于相应响应谱S_{\mathrm{12,2}}、S_{\mathrm{6,2}}的变异系数；而在共振频率以外的频带则不同，甚至相反. 比较T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{6}}与S_{\mathrm{12,6}}、S_{\mathrm{6,6}}可得到类似的结论. 结果表明，在共振频率附近，T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}的变异性显著低于相应的响应谱；而其他频带则不然.

进一步，将公式结果与MCS结果进行比较，并考虑无噪声和信噪比（Singal Noise Ratio， SNR）SNR=10 dB两种情况. 以T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}、T_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{6}} 为例，估计均值及标准差与频率的关系曲线如图3~图4所示. 比较PSDT幅值估计均值结果，可以看出，当无噪声干扰时，在感兴趣频带内公式结果与统计值相吻合，但在估计量均值出现极值处存在较大差异.如图3（c）（d）所示，由误差公式和MCS得到的标准差也显示出相近的趋势. 结果表明，尽管这两组结果值之间存在显著差异，但误差传递公式结果仍能体现频谱误差对 PSDT 估计的统计影响.相同的结论在SNR=10 dB时也成立.此外，从图3（c）（d）和图4（c）（d）可以发现，在共振频率下（竖向虚线所示），估计幅值标准差出现极小值，这是因为共振频率处PSDT函数值趋近于模态振型分量比值，因而，估计方差逼近于0.

4.3 平均周期图法中谱估计参数影响

图5所示采样时长分别为5 min、10 min、15 min、 20 min、35 min、50 min时\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}\right|估计标准差. 从图中可发现，在共振频率附近，随着信号时长增加，估计标准差依序降低；而在共振频率以外频带，估计标准差并未呈现明显规律. 为研究窗函数的选择对PSDT估计统计特性影响，文中选用4种常用窗函数：Kaiser窗、Hanning窗、Hamming窗、矩形窗. 图6所示为不同窗函数下\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}\right|估计标准差曲线，分析采样时长为15 min响应数据. 对比曲线发现，在低于一阶共振频率范围内，Hanning窗与Hamming窗施加结果相对优于其余两个窗；但总体而言，施加4种不同窗函数所得估计误差相差不明显. 因此，文中其他分析时窗函数选取Kaiser窗.

依据式（19b）可知，\sigma \left(\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^i\right|\right)近似表达中包含\left|\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{\mathrm{12}u}^{}}-\sqrt[]{\mathrm{1}/{\gamma }_{\mathrm{6}u}^{}}\right|，也就是说\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|估计效果还受参考响应y_u(t)与y_{\mathrm{12}}(t)和y_{\mathrm{6}}(t)之间的相干性影响，即选择不同参考响应，PSDT估计存在差异. 为合理选择参考响应，将\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|在不同参考响应（u=1、2、…、12）下估计误差进行对比分析，如图7所示，在0~6 Hz内不同参考响应下\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|标准差的L2范数. 从图中可发现，选取测点5响应y_{\mathrm{5}}(t)作为参考响应，得到\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{5}}\right|估计总体标准差较大，而测点1、2、3、4、6、8、9、12作为参考响应时对应估计统计特性较好. 其中测点12、6的响应y_{\mathrm{12}}(t)和y_{\mathrm{6}}(t)也是构成\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|的基本响应. 不同参考响应下\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|（u=1、2、…、6、12）统计特性随频率变化曲线如图8所示. 从图中发现，不同于其余参考响应结果，y_{\mathrm{5}}(t)作为参考响应时，\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{5}}\right|统计标准差在第3阶共振频率附近并未取得极小值. 为确保图片清晰，仅列举部分参考响应结果.

各参考响应与\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^u\right|的组成响应y_{\mathrm{12}}(t)和y_{\mathrm{6}}(t)的相干函数如图9所示.从图中可发现，第3阶共振频率附近，y_{\mathrm{5}}(t)与y_{\mathrm{12}}(t)和y_{\mathrm{6}}(t)相干函数均低于0.2，说明测点5响应与两个基本响应的相干性低. 除此以外，还发现高阶共振频率处，各参考响应与基本响应的相干函数小于低阶处函数值. 对应的不同参考响应下估计标准差呈现出在高阶共振频率处大于低阶频率的趋势. 结果表明，以与PSDT基本响应有较高相干性的结构响应作为参考响应，估计随机误差较小. 在工程实际中，可直接选择基本响应为参考响应，一般可得到较好结果，也避免额外的响应间相干性分析.

4.4 谱估计误差对模态振型影响研究

根据式（24），进一步量化不同信号时长下谱估计误差对结构模态振型估计影响. 图10为响应信号时长分别为5 min、10 min、15 min、20 min、35 min、 50 min时，由\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{2}}\right|所得前4阶模态振型分量估计标准差. 正如预期，随着信号时长增加，前4阶模态振型统计特性明显得到改善，但这一改善效果随着采样时长增加趋于稳定. 为避免信号过长造成计算负担增加，本算例选用时长15 min响应信号，得到方差特性较好的结果. 此外，算例前4阶模态振型估计的标准差随模态阶数增加而增大，这可能是结构较高阶模态激起效果较差，引起响应信噪比低，从而导致较高阶模态振型估计标准差高于低阶结果.

将前4阶模态振型估计随机误差统一考虑，得到图11所示的常见4种窗函数下估计标准差随采样时长变化曲线. 由图可知，算例中不同窗函数结果相差不大，具体而言，Hanning窗和Hamming窗结果稍优于Kaiser窗和矩形窗.

同样，参考响应的选取也影响结构模态振型估计效果. 图12为不同参考响应所得模态振型估计标准差曲线. 结合图7和图12发现，参考响应为y_{\mathrm{5}}(t)的PSDT估计和相应的模态振型分量的标准差均高于其余参考响应的标准差，而且所研究的PSDT第3阶（3.48 Hz）处没有极小估计标准差. 这是因为\left|{\widehat{T}}_{\mathrm{12,6}}^{\mathrm{5}}\right|的2个基本输出y_{\mathrm{12}}(t)和y_{\mathrm{6}}(t)与参考响应y_{\mathrm{5}}(t)在第3阶共振频率处（3.48 Hz）相干性低（图9）. 同样可以得出，参考响应与相应的2个基本响应相干性较高，可以产生具有更好统计特征的PSDT估计值及相应的模态振型估计.

5 结论与展望

1） 本文研究了频谱估计误差对PSDT估计影响. 文中推得了由相干函数和信号平均数近似表征的PSDT幅值估计均值及方差解析式；相应模态振型分量幅值的估计随机误差，可通过共振频率处PSDT幅值的估计方差进行度量. 研究发现，在共振频率附近，PSDT幅值出现局部最小估计方差，这是因为此时PSDT趋向于常数（即振型分量之比）. 同时，在共振频率处，PSDT估计鲁棒性优于相关响应谱估计；而在共振频率以外则可能差于相关响应谱.

2）通过数值算例对PSDT误差公式进行验证. 结果表明，频谱估计误差引起的PSDT估计误差变化规律，可由文中所得误差公式进行表征.

3）参数分析结果表明，响应时长和参考响应的选择是影响PSDT和振型分量估计随机误差的重要参数. 随着采样时长增加，估计方差逐渐减小，且最终减少至大于零的误差水平. 另外，实际工程应用中，可直接选择PSDT基本响应为参考响应，一般可获得较好的PSDT估计和模态振型结果.

4）需要指出，在PSDT方法中，结构固有频率的确定，是通过拾取传递比差值倒函数曲线的峰值，而传递比差值函数是关于频率的隐函数，即频率无法根据反函数显式表示为传递比的有理函数. 同样，传递比函数也无法表达阻尼比. 这意味着固有频率（或阻尼比）识别精度无法利用基于摄动理论的PSDT估计误差公式进行分析. 因此，如何度量频率和阻尼比识别精度是后续研究的重要内容之一. 此外，目前文中公式仅适用于数值结构算例，因此，针对实际工程的适用性研究是下一步需要开展的工作.

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基金资助

安徽省高校自然科学研究重点项目（2023AH052185）; 合肥学院人才科研基金项目（20RC30）; 澳门科学技术发展基金（FDCT/017/2020/A1）; 深圳市科技创新委员会项目（KQTD20180412181337494,JSGG20210802093207022,ZDSYS20201020162400001）