基于高分辨率模态柔度矩阵桥梁损伤识别的少量传感器方法

Bridge Damage Identification Method Based on High-resolution Modal Flexibility Matrix with Limited Sensors

摘要

为了降低监测系统成本和提高桥梁损伤识别精度，本文利用少量传感器获得高分辨率模态振型.在考虑路面粗糙度的情况下，基于柔度变化率进行损伤识别.在不同路面粗糙度水平下，对移动车辆荷载作用下桥梁上所测位移响应进行特征正交分解，再将得到的主成分矩阵中高频动力分量信息过滤，获得高分辨率的模态振型.利用少量传感器方法得到的高分辨率模态振型计算柔度变化率，将其作为桥梁损伤定位的指标.为了验证该方法的有效性，对一简支梁进行模拟和试验.结果显示，该方法在考虑不同粗糙度水平情况下，利用少量传感器得到高分辨率模态振型的柔度变化率能准确定位损伤.

Abstract

To reduce the cost of the monitoring system and improve the accuracy of bridge damage identification， this paper used limited sensors to obtain high-resolution modal shapes. Considering the road roughness， the damage identification method is proposed based on the flexibility change rate. In different road roughness levels， the proper orthogonal decomposition is used to analyze the displacement response measured on the bridge under moving vehicle loads to obtain the principal component matrix. High-resolution modal shapes can be obtained by filtering the high-frequency dynamic component information in the principal component matrix. The flexibility change rate is calculated using high-resolution modal shapes by limited sensors as an indicator for bridge damage localization. To verify the effectiveness of this method， simulation and experiments were conducted on a simply supported beam. The results show that this method can accurately detect damage by obtaining the flexibility change rate of high-resolution modal shapes based on limited sensors considering different road roughness levels.

Graphical abstract

关键词

损伤识别 / 高分辨率模态振型 / 少量传感器 / 路面粗糙度 / 柔度矩阵

温度变化、环境腐蚀和材料性能退化等因素，导致桥梁结构性能降低甚至出现损伤，严重影响交通正常运营和人民生命财产安全. 因此，桥梁结构的安全监测和损伤识别尤为重要，已成为当前研究的热点^［1］.

由于结构动力参数变化要比静力参数包含更多结构状态信息，所以多数研究基于结构的动力参数开展损伤识别. 而基于模态参数的方法原理简单、计算方便，在损伤识别研究中得到广泛关注，其中以“动力指纹”类为例，模态振型^［2］、固有频率^［3］、曲率模态^［4］、柔度矩阵^［5］以及协调模态置信因子^［6］等都具有良好的损伤识别效果. 聂振华等^［7］利用可视化的图像形式直观地展现结构基于模态的动力指纹指标，验证了该方法的可靠性.

结构在发生损伤后，会导致刚度降低，柔度增加. 柔度具有对损伤更加敏感的特点，Raghavendrachar等^［8］利用固有频率、模态振型以及柔度三个损伤指标，对一座三跨混凝土桥进行了损伤识别，通过对比各损伤指标的识别效果，得到基于柔度的损伤识别指标的灵敏性明显高于基于固有频率以及模态振型的损伤识别指标. 而且对于实际工程中一些大型复杂结构，仅能较精确地测得其低阶的模态参数，而柔度矩阵与固有频率的平方成反比，因此只需测得结构的前几阶模态参数即可得到精度较好的柔度矩阵.基于柔度矩阵的以上优点，国内外学者以柔度作为损伤指标对结构的损伤识别问题进行了研究.

无论是曲率模态还是模态柔度等动力指纹方法，均需要布置大量传感器才能获得较高分辨率的指标效果，高昂的成本导致其在实际工程中难以被推广应用. 而现有方法只能提供稀疏的、低分辨率的模态振型，难以满足基于模态振型的损伤定位. 因此利用少量传感器获取高分辨率模态振型具有重要意义. 一些学者对高分辨模态振型做了研究. Yang等^［9］提出了利用移动车辆的动力响应识别桥梁高分辨率振型的间接方法. Eshkevari等^［10］将二阶盲源识别与频响函数和集成经验模态分解相结合，提出了基于车载传感器数据的桥梁高分辨率模态识别方法. 然而，这些方法仍有缺点. 在间接方法中，车辆的响应不仅包括桥梁的动力信息，还包括车辆本身的动力信息以及路面粗糙度增强的噪声，这给模态参数的识别带来了困难.

针对上述问题，在考虑不同路面粗糙度的前提下，本文提出在移动车辆荷载作用下，通过对桥梁上少量传感器测得的位移信号进行特征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）的方法来提取高分辨率的模态振型，然后利用高分辨率柔度变化率作为损伤指标进行损伤定位.

1 基本理论

1.1 桥梁高分辨率模态振型识别的少量传感器方法

一个移动荷载匀速通过长度为l的均质简支梁，如图1所示，其动力微分方程为：

\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial t^{\mathrm{2}}}+c\frac{\partial u}{\partial t}+EI\frac{{\partial }^{\mathrm{4}}u}{\partial x^{\mathrm{4}}}=f\cdot \delta \left(x-vt\right)（1）

式中：u\mathrm{、}\rho \mathrm{、}c\mathrm{、}E\mathrm{、}I分别表示简支梁的竖向位移、密度、阻尼系数、弹性模量、惯性矩；f\mathrm{、}v分别表示竖向移动荷载和移动速度.

采用振型叠加法，振型叠加的公式表示为：

u(x,t)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{q}_n(t){\phi }_n(x)（2）

式中：q_n表示第n阶振型坐标；{\phi }_n表示第n阶振型.

简支梁在移动荷载作用下的竖向位移响应^［11］表示为：

\begin{array}{l}u\left(x,t\right)=\frac{\mathrm{2}f}{\rho l}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_n^{\mathrm{2}}\left[{\left(\mathrm{1}-S_n^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\mathrm{2}{\xi }_n{S}_n\right)}^{\mathrm{2}}\right]}\cdot \left\{\left(\mathrm{1}-S_n^{\mathrm{2}}\right)\right.\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\Omega }_{n}t-\mathrm{2}{\xi }_n{S}_n\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\Omega }_{n}t+{\mathrm{e}}^{-{\xi }_n{\omega }_{n}t}\cdot \left[\mathrm{2}{\xi }_n{S}_n\right.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\omega }_{d_n}t+\\ \frac{S_n}{\sqrt[]{\mathrm{1}-{\xi }_n^{\mathrm{2}}}}\left(\mathrm{2}{\xi }_n^{\mathrm{2}}+S_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)\cdot \left.\left.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{d_n}t\right]\right\}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{n\mathrm{\pi }x}{l}\end{array}（3）

式中：{\omega }_n为第n阶结构固有频率；S_n=\mathrm{\pi }v/l{\omega }_n，S_n为无量纲参数；{\zeta }_n为第n阶阻尼比；{\Omega }_n为移动荷载的第n阶激励频率，{\Omega }_n=n\mathrm{\pi }v/l；{\omega }_{d_n}为阻尼振动频率.

对竖向位移响应的解析解进行POD分解，由于大多数桥梁由钢、混凝土组成，阻尼系数较小且材料密度较大，式（3）中阻尼比{\zeta }_n是一个无穷小量，故可以忽略阻尼影响，得到无阻尼主成分公式^［11］为：

\mathit{C}=\mathit{U}\mathit{V}=\frac{\mathrm{2}f}{\rho l}{\left[\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\cdot \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{\pi }vt}{l}-\frac{\mathrm{\pi }v}{l{\omega }_{\mathrm{1}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{\mathrm{1}}t\right)\\ \frac{\mathrm{1}}{{\omega }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\cdot \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }vt}{l}-\frac{\mathrm{\pi }v}{l{\omega }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{\mathrm{2}}t\right)\\ ⋮\\ \frac{\mathrm{1}}{{\omega }_m^{\mathrm{2}}}\cdot \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{m\mathrm{\pi }vt}{l}-\frac{\mathrm{\pi }v}{l{\omega }_m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{m}t\right)\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

(t=t_{\mathrm{1}},\cdots ,t_k)（4）

式中：\mathit{U}为位移信号响应矩阵；\mathit{V}为位移响应矩阵的协方差矩阵的特征向量.

由式（4）可以看出，各阶主成分包含两部分参量：\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{m\mathrm{\pi }vt}{l}为第m阶模态振型，\frac{\mathrm{\pi }v}{l{\omega }_m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\omega }_{m}t为第m阶动力分量信息. 为了获得模态振型，需将动力分量信息过滤.

Nie等^［12］提出了移动平均滤波器，用于直接滤除特定频率的信号. 滤波器公式表达为：

\overline{C(i,n)}=\frac{f_n}{f_s}{\displaystyle \sum _{j=i-K/\mathrm{2}}^{j=i+K/\mathrm{2}}}C(j,n),n=\mathrm{1},\dots ,m（5）

式中：f_n为桥梁的第n个频率；f_s为采样频率；K是由f_s/f_n计算的滤波长度.

利用低通滤波器把高频动力分量信息过滤可得到第m阶模态振型{\phi }_m.

该方法通过少量传感器即可获得高分辨率模态振型，如布置三个传感器即可获得前3阶高分辨率模态振型.

1.2 柔度变化率

Pandey等^［13］提出了柔度变化率的结构损伤识别方法，该方法后期被证明是可靠的. 但由于传感器用量的限制，传统模态识别方法只能得到与传感器数量一致的稀疏振型向量，当结构损伤位于两个传感器之间时，柔度矩阵方法无法精准定位结构损伤，从而制约了该方法在工程中的应用. 而本文方法得到的高分辨率模态振型，为柔度矩阵方法在精准定位损伤上提供了新的解决途径. 结构的柔度矩阵\mathit{F}近似表示为：

\mathit{F}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_i^{\mathrm{2}}}{\phi }_i{\phi }_i^{\mathrm{T}}（6）

式中：{\omega }_i为第i阶固有频率；{\phi }_i为第i阶振型.

Ko等^［14］提出柔度变化率，表示为：

\mathit{D}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{F}}^{\mathbf{u}})-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{F}}^{\mathbf{d}})}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{F}}^{\mathbf{u}})}（7）

式中：{\mathit{F}}^{\mathbf{u}}与{\mathit{F}}^{\mathbf{d}}分别为结构损伤前后柔度矩阵，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\cdot )为取矩阵对角值.

2 数值模拟

2.1 仿真模型及损伤工况

有限元模型中，使用ANSYS中plane42单元建立简支梁模型. 一个质量为1 000 kg的移动质量块从简支梁的一端移动到另外一端，速度设置为1 m/s. 采用矩形截面钢材，矩形截面尺寸为0.1 m×0.2 m，密度为7 850 kg/m³，弹性模量为210 GPa，泊松比为\mathrm{0.3}，全梁长l=20 m，将简支梁模型沿长度方向划分400个单元，高度方向划分10个单元. 在实际情况中路面的粗糙度会显著影响损伤指标的识别效果，为了更加符合实际应用情况，分别考虑了两个不同粗糙度水平A、B的影响. 在简支梁上均匀布置7个传感器，采集位移信号. 采样频率设置为200 Hz. 简支梁模型如图2所示.

路面粗糙度是影响系统分析的关键因素，较差的路面会显著增加车辆荷载和桥梁响应的振动幅度. 基于国际标准^［15］提供的路面功率谱函数，利用谐波叠加法^［16］模拟路面粗糙度分布，公式如下：

G(n_i)=G(n_{\mathrm{0}}){(\frac{n_i}{n_{\mathrm{0}}})}^{-\mathrm{2}}（8）

r(x)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\sqrt[]{\mathrm{2}G(n_i)}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }{n}_{i}x+{\theta }_i)（9）

式中：n_i为每单位长度的空间频率；n_{\mathrm{0}}为0.1 cycle/m；G(n_{\mathrm{0}})为位移功能密度函数值；{\theta }_i为0~\mathrm{2}\mathrm{\pi }之间的随机相位角.

在梁的0.4l和0.7l位置处设置两个单损，通过沿梁高方向从桥底到中性面依次去除相应的单元来设置不同程度的损伤，截面损失率分别为10%、20%和30%，以及在梁的0.4l和0.7l位置处设立两个损伤，工况设置如表1所示. 为验证本方法的有效性，考虑了两个不同粗糙度水平的影响. 以A粗糙度水平下工况1为例，图3为简支梁的位移响应，其中的相对位置为无量纲单位.

2.2 数值模拟结果

在路面粗糙度的影响下，通过对桥梁上布置的7个传感器获取的位移响应进行POD处理，再通过低通滤波器将动力分量信息过滤，即可获得简支梁的前7阶模态振型.

特征值表示其对应分量在振动响应中所占据的能量，所以利用主成分分析中第n个分量的贡献率来估计能量意义上对应的贡献率（Contribution Ratio，CR）^［17-18］. 因此，第n阶模态贡献率表示为：

\mathrm{C}\mathrm{R}=\frac{{\lambda }_n}{{\displaystyle \sum _{\mathit{j}=\mathrm{1}}^{\mathrm{7}}}{\lambda }_{\mathit{j}}},n=\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{7}（10）

式中：{\lambda }_n对应协方差矩阵\mathit{C}的第n个分量的特征值.

利用式（10）计算前7阶模态贡献率，从表2可看出，前3阶的模态参与率达到了99.99%. 因此，从节约成本和低阶就能获取较完备的柔度矩阵的角度来考虑，只在简支梁上均匀布置3个传感器，分别对应图2的1号、4号和7号传感器的位置. 前3阶的固有频率如表3所示.

传统方法利用3个传感器只能获得3个振型数据，基于3个数据对工况3的损伤因子柔度变化率进行计算，如图4所示. 可以看到，由于振型数据点有限，3个不同损伤程度的工况均不能精确对损伤位置进行定位. 因此采用传统模态识别得到的柔度变化率方法在传感器不足的情况下失效，无法推广到实际工程中.

以工况1为例，在车辆速度为1 m/s时，采样点个数为4 000，对桥梁位移信号进行POD处理，获得模态振型个数也为4 000，因此得到的桥梁模态振型具有较高的空间分辨率. 在A、B两个粗糙度水平下，3个传感器获得的前3阶高分辨率模态振型归一化后如图5所示.

利用A粗糙度水平的高分辨率模态振型计算柔度变化率，图中红色三角形表示损伤位置. 损伤识别结果如图6所示，可以看到0.4l与0.7l损伤位置有峰值，可以对损伤进行精确定位.

增大路面粗糙度水平到B后，分别计算各个工况的柔度变化率损伤指标值. 如图7（a）、（b）所示，可以看到在B粗糙度水平下，在0.4l与0.7l两个单损工况下，在损伤位置均有峰值，可以对损伤进行精确定位；如图7（c）所示，在0.4l与0.7l两个双损工况下，损伤位置均有峰值，可以对损伤进行精确定位.

以上结果均表明，在分别考虑了两个不同路面粗糙度水平影响的情况下，基于高分辨率模态振型计算得到的柔度变化率损伤因子仍然能够对损伤进行精确定位，而且随着损伤程度的增大，各个工况的柔度变化率也在增大，可以定性比较各个工况损伤程度的大小. 同时也可以看到，由于边界效应的影响，各个工况在梁两端的曲线会有比较大的波动.

2.3 噪声的鲁棒性

在土木工程结构健康监测中，不可避免地受到环境中各种噪声的影响. 为了验证该方法的噪声鲁棒性，把数值模拟中得到位移响应添加70 dB和 90 dB的高斯白噪音来模拟环境因素的影响. 通过信噪比衡量噪声的水平，信噪比公式如下：

\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\mathrm{10}\mathrm{l}\mathrm{g}\left|\frac{\sum x^{\mathrm{2}}(n)}{\sum y^{\mathrm{2}}(n)}\right|=\mathrm{20}\mathrm{l}\mathrm{g}\frac{A_{\mathrm{S}}}{A_{\mathrm{N}}}（11）

式中：x(n)表示原始信号；y(n)表示噪声；A_{\mathrm{S}}是信号x(n)的均方根；A_{\mathrm{N}}是信号y(n)的均方根；信噪比的单位为分贝(\mathrm{d}\mathrm{B}).

以A粗糙度水平单损和双损工况为例，损伤识别结果分别如图8和图9所示. 在添加70 dB、90 dB噪声后，除了图8（a）中10%损伤程度的峰值不太明显之外，其余工况在损伤位置处均出现峰值，同时可以看到由于边界效应和噪声的影响，梁两端曲线也存在比较大的波动，但是在损伤位置是存在最大峰值的，仍然能精确识别出损伤位置，因此该方法对噪声具有一定的鲁棒性.

3 试验研究

为了进一步验证本文提出的损伤识别方法的可行性，利用简支梁试验模型对其进行验证. 简支梁为一空心矩形钢梁，钢梁长度L=6 m，弹性模量E= 210 GPa，截面参数为200 mm×100 mm×3 mm（长×宽×厚），材料密度为7 850 kg/m³，小车模型质量为10.5 kg，采用直流电动机来牵引小车在轨道上匀速移动，通过改变电动机的转速来控制小车的移动速度. 沿梁长度方向均匀布置5个测点采集位移信号，从左端到右端依次标记传感器序号为1~5，本试验利用DH5922N动态数据采集系统进行信号采集，采样频率设置为500 Hz. 为了检验该方法对不同小车速度激励的敏感性，试验中分别设置小车速度为 0.5 m/s和0.75 m/s. 试验装置简图如图10所示.

由于试验梁表面并不是完全理想化的光滑，会存在加工以及环境因素造成梁表面的不平度，所以以此来等同于粗糙度，研究其对该方法的影响. 试验装置图如图11所示.

在梁0.68l位置处设立一处损伤，在梁0.38l、0.68l位置处设置两处损伤. 利用切割机对简支梁底部进行切割来制造损伤，在0.68l处设置一处损伤，损伤深度为7 mm，在0.38l处设置一处损伤，损伤深度分别为4 mm和7 mm，试验损伤工况如表4所示.

以工况1中0.75 m/s小车速度为例，位移传感器采集到的位移响应如图12（a）所示. 傅里叶频谱图如图12（b）所示.

以工况1中0.75 m/s小车速度为例，5个传感器采集位移信号并进行POD分析，可以得到前5阶高分辨率模态振型，如图13所示，可以看到识别的第4和第5阶振型效果较差，这是由于在测量响应中与模态相关的信息太弱，因此不能很好地识别出高阶模态振型.

计算各个工况下的损伤因子柔度变化率，红色三角形标记点表示损伤位置，在小车速度为0.5 m/s时，从图14（a）可以看出，在0.68l单损工况下，在损伤位置有峰值，精确定位了损伤；如图14（b）所示，在0.38l与0.68l两个双损工况下，在损伤位置均有峰值，说明该方法对多损伤工况同样有效，而且随着损伤程度的增大，柔度变化率也在增大.

为了检验小车速度对该方法的影响，将小车速度增加到0.75 m/s时，损伤识别结果如图15所示. 从图15（a）可以看出，在0.68l单损工况下，在损伤位置有峰值，仍然可以对损伤进行精确的定位；如图15（b）所示，在0.38l与0.68l两个损伤位置的双损工况下，在损伤位置均有峰值，均可对损伤进行精确的定位，而且随着损伤程度的增大，柔度变化率也在增大.

为了进一步检验传感器数量减少时该方法的有效性，将上述试验中5个传感器数量减少到3个（分别取图10中的1号、3号和5号传感器），利用POD处理位移响应得到高分辨率模态振型值，计算柔度变化率损伤指标.在0.5 m/s与0.75 m/s的速度下，损伤识别结果分别如图16~图17所示，无论是在单损还是双损工况下，在损伤位置处均存在峰值，成功地对损伤位置进行精确定位.

4 结 论

本文在考虑了桥面粗糙度影响的情况下，获得移动荷载作用下桥梁少量传感器的位移响应，通过对位移响应进行特征正交分解（POD），得到高分辨率模态振型，并以此计算损伤因子柔度变化率，对桥梁进行损伤定位. 本文主要结论如下：

1）基于少量传感器的柔度变化率损伤指标能够精准识别损伤位置，而且在减少传感器的数量时，仍然具有很好的损伤识别效果.

2）该方法克服了传统模态方法只能获得稀疏振型的缺点，并且考虑了不同路面粗糙度水平和噪声对该方法的影响，更加适合实际工程.

3）利用少量传感器就能实现损伤识别，大大降低了成本.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目（52178289）; 广东省城市生命线工程智慧防灾与应急技术重点实验室资助项目（2022B1212010016）